Lista 04 - Unifal-MG

4a Lista de Exercı́cios de Álgebra Linear
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 4o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Verifique se as transformações abaixo são lineares.
(a) T : R3 → R, dada por T (x, y, z) = x + 5y − z.
(b) T : R3 → R, dada por T (x, y, z) = x + 5y − z + 1.
(c) T : R3 → R, dada por T (x, y, z) = x2 + 5y − z.
(d) T : Mn×1 (R) → Mn×1 (R), dada por T (X) = AX + X, onde A ∈ Mn (R) é uma
matriz fixada.
(e) T : Pn (R) → Pn (R), dada por T (p) = p0 + p00 .
(f) T : M2 (R) → M2 (R), dada por T (X) = AX, onde A ∈ M2 (R) é uma matriz fixada.
(g) T : P2 (R) → P2 (R), dada por T (p) = p + q, onde q(t) = t2 + 1, t ∈ R.
2. Determinar o núcleu das transformações lineares abaixo e descreva-os geometricamente.
(a) T : R2 → R, dada por T (x, y) = y + 2x.
(b) T : R3 → R, dada por T (x, y, z) = z − 2x.
(c) T : R2 → R2 , dada por T (x, y) = (2x + 2y, x + y).
(d) T : R2 → R2 , dada por T (x, y) = (x + y, x − y).
(e) T : R3 → R3 , dada por T (x, y, z) = (z − x, z − 2x, z − 3x).
3. Determinar bases para o núcleo e para a imagem das transformações lineares abaixo.
(a) T : R3 → R3 , dada por T (x, y, z) = (x + y, 2x + y, 3x + y).
(b) T : R2 → R, dada por T (x, y) = y + 2x.
1 2
(c) T : M2 (R) → M2 (R), dada por T (X) = AX, onde A =
.
2 4
(d) T : P2 (R) → P2 (R), dada por T (p) = p0 .
(e) T : P2 (R) → P2 (R), dada por T (p) = p0 + p00 .
1 4
(f) T : M2 (R) → M2 (R), dada por T (X) = AX + X, onde A =
.
2 3
4. Seja T : R3 → R3 um operador linear tal que T (1, 0, 0) = (2, 3, 1), T (1, 1, 0) = (5, 2, 7) e
T (1, 1, 1) = (−2, 0, 7).
(a) Encontre T (x, y, z), para (x, y, z) ∈ R3 .
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
5. Seja T : P2 (R) → P2 (R) um operador linear tal que: T (p0 (t)) = 1 + t, T (p1 (t)) = t + t2
e T (p2 (t)) = 1 + t − 2t2 , onde p0 (t) = 1, p1 (t) = t, p2 (t) = t2 .
(a) Encontre T (p) para p ∈ P2 (R).
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
6. Seja T : M2 (R) → M2 (R) um operador linear tal que:
1 0
1 4
1 1
−1 0
0 0
0 0
0 0
1 0
T
=
,T
=
,T
=
,T
=
0 0
2 3
0 0
0 3
1 0
2 1
0 1
2 0
(a) Encontre T (X) para X ∈ M2 (R).
(b) T é sobrejetora? Justifique sua resposta.
(c) T é injetora? Justifique sua resposta.
(d) T é bijetora? Justifique sua resposta.
7. (a) Determinar um operador linear em R4 cujo núcleo é gerado pelos vetores (1, 1, 0, 0),
(0, 0, 1, 0).
(b) Determinar um operador linear em R3 cujo núcleo tem dimensão 1.
(c) Determinar um operador linear em R3 cujo núcleo é gerado pelos vetores (1, 1, 0),
(0, 0, 1) e a imagem é gerada pelo vetor (1, −1, 1).
8. Verifique se os operadores lineares em R3 abaixo são isomorfismos e no(s) caso(s) afirmativo(s) determinar o isomorfismo inverso.
(a) T (x, y, z) = (x − 3y − 2z, y − 4z, z).
(b) T (x, y, z) = (x, x − y, 2x + y − z).
9. Considere o operador linear em R3 tal que T (1, 0, 0) = (1, 1, 1), T (0, 0, 1) = (1, 0, 1),
T (0, 1, 2) = (0, 0, 4). Pergunta-se: T é um isomorfismo? Em caso afirmativo, obtenha o
isomorfismo inverso.
10. Verifique, em cada um dos itens abaixo, se os espaços vetoriais U e V são isomorfos,
justificando sua resposta.
(a) U = R2 , V = {(x, y, z) ∈ R3 ; z = 0}.
(b) U = M2×3 (R), V = {p ∈ P4 (R); p0 (t) = 0, ∀ t ∈ R}.
(c) U = R3 , V
a
(d) U =
0
= {A ∈ M2 (R); At = A}.
0
; a ∈ R , V = {p ∈ P3 (R); p0 (t) = 0, ∀ t ∈ R}.
0
11. (a) Determinar uma aplicação linear T : R3 → R4 , tal que T (R3 ) = [(2, 2, 3, 2), (3, 2, 0, 2)].
(b) Determinar uma aplicação linear T : R5 → R3 , tal que T (R5 ) = [(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 1)]
e N (T ) = [(1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1, 0)].
(c) Determinar uma aplicação linear T : R3 → R2 , tal que T (1, 0, 0) = (1, 2),
T (0, 1, 0) = (3, 4), T (0, 0, 1) = (0, 0).
(d) Determinar uma aplicação linear T : R5 → R3 , tal que dim(N (T )) = 2 e
dim(T (R5 )) = 3.
(e) Determinar uma aplicação linear T : R3 → R4 , tal que N (T ) = [(1, 0, 1)].
(f) Determinar uma aplicação linear T : R2 → R3 , tal que T (R2 ) = [(1, 1, 1), (1, 2, 0)].
(g) Determinar uma aplicação linear T : R2 → R3 , tal que T (R2 ) = [(1, 1, 1)] e N (T ) =
[(1, 1)].
12. (a) Considere T : R2 → R2 , dada por T (x, y) = (y, x). Determine T n (x, y), onde n ∈ N.
(b) Mostre que os operadores lineares F, G, H definidos em R2 , dados por
F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (x, x + y) e H(x, y) = (0, x), formam um subconjunto
l.i. em L (R2 ).
(c) Sejam U, V, W espaços vetoriais, F ∈ L (U, V ) e G ∈ L (V, W ), tais que N (F ) = {0}
e N (G) = {0}. Mostre que N (G ◦ F ) = {0}.
13. Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação as bases canônicas
dos respectivos espaços vetoriais.
(a) T : R3 → R2 , dada por T (x, y, z) = (x + y, z).
(b) T : R4 → R, dada por T (x, y, z, t) = 2x + y − z + 3t.
(c) T : R → R3 , dada por T (x) = (x, 2x, 3x).
1 2
14. Considere M =
. Determinar a matriz do operador linear T : M2 (R) → M2 (R),
0 −1
dado por T (X) = M · X − X · M , em relação a base canônica de M2 (R).
15. Seja T :R2
1
[T ]B =
5
2
→
R o operador linear cuja matriz em relação à base B = {(1, 0), (1, 4)} é
1
. Determinar a matriz de T em relação à base canônica de R2 .
1
R1
16. Seja T : P2 (R) → R, uma transformação linear definida por T (p) = −1 p(t) dt. Determine a matris de T em relação as seguintes bases.
(a) B = {1, t, t2 }, C = {1}.
(b) B = {1, 1 + t, 1 + t + t2 }, C = {−2}.
17. 
Se a matrizde um operador linear T : R3 → R3 em relação à base canônica é dada por
1 1 0
0 1 0  e se H : R3 → R3 é dado por H = I3 + T + 2T 2 , determinar a matriz de H
0 1 −1
em relação à base canônica de R3 . Encontre também H(x, y, z).
18. Seja T : P2 (R) → P2 (R), dado por (T (p))(t) = p(t) − p(1). Se B = {1, t − 1, (t − 1)2 } e
C = {1, t, t2 }, encontre [T ]B,C , [T ]B e [T ]C .
19. Seja B = {e1 , e2 , e3 } uma base de um espaço vetorial V . Se T, S : V → V são operadores
lineares em V tais que
T (e1 ) = 2e1 − 3e2 + e3
T (e2 ) = e1 + e2
T (e3 ) = e2 + e3
S(e1 ) = 3e1 + 2e2
S(e2 ) = e1 − e2 − e3
S(e3 ) = e1 + e2 − 2e3
Determine as seguintes matrizes [T ]B , [S]B , [S ◦ T ]B , [S 2 + I]B e [T 3 − S 2 ]B .
20. Sejam U = R3 , V = R2 , B = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e C = {(1, 0), (0, 1)} bases de
U e V respectivamente. Encontrar, em cada um dos itens abaixo, T ∈ L (U, V ) tal que
[T ]B,C seja a matriz:
1 2 3
0 0 1
10 5 −3
(a)
(b)
(c)
4 5 1
0 1 0
2 −1 4
21. Sejam V um espaço vetorial e T : V → V um operador linear idempotente, isto é, T 2 = T .
Mostre que V = N (T ) ⊕ T (V ).
22. Seja T : R3 → R3 o operador linear dado por T (x, y, z) = (3x, x − y, 2x + y + z). Mostre
que (T 2 − I) ◦ (T − 3I) = 0.