12 Boletim do LABEM, ano 4, n. 7, jul/dez de 2013 www.labem.uff.br

Boletim do LABEM, ano 4, n. 7, jul/dez de 2013
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Origami e Educação Matemática
Eliane Moreira da Costa
FEUFF
O disco de Newton
O copo de papel (diagrama 1) é um dos modelos mais simples de fazer e um dos primeiros
apresentados para os iniciantes na arte do origami. Bem prático, é um “quebra-galho” interessante
quando precisamos tomar um pouco de água para engolir um comprimido e estamos em frente a
um bebedouro. Há quem consiga tomar o remédio sem precisar da água no copo, mas
convenhamos, usar um copo descartável é bem mais confortável e, quando você mesmo o faz,
bastante original.
Diagrama 1
No trabalho com frações e origami, este é um dos meus modelos favoritos para mostrar a
metade do papel na forma triangular. Como temos o costume de dobrar papéis juntando lados
opostos, quando pedimos a um grupo de pessoas para dobrarem um papel quadrado ao meio, de
modo geral os resultados mostram a forma retangular. Dificilmente alguém mostrará a forma
triangular e menos ainda as demais formas (fica o desafio para você descobrir quais são).
O fato é que o copo descartável feito em origami é um bom exemplo de que “a simplicidade
é o auge da sofisticação”, porque são obtidas variações fascinantes com a mudança do sentido de
apenas um vinco. É o caso do disco formado por sete unidades derivadas do copo, em que para
cada uma delas usa-se um papel de cor diferente (diagrama 2).
Diagrama 2
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Este disco pode ser apresentado como o disco de Newton se os papéis tiverem as cores do
arco íris (vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, roxo e violeta) e se for possível girá-lo tão
rapidamente que as cores se misturem visualmente, fazendo aparecer a cor branca como
composição das outras. Esta é uma boa oportunidade para articular os conteúdos da física e da
matemática.
Nesta edição apresento a sugestão de explorar os triângulos formados ao longo do processo
de construção destas unidades, determinando a medida dos seus ângulos internos e aplicando a
Lei angular de Tales1, sempre que necessária.
Logo nas duas etapas iniciais pode-se observar o triângulo retângulo isósceles obtido a
partir do primeiro vinco que divide o papel quadrado ao meio (figura 1). Como os ângulos agudos
são congruentes, é fácil concluir que medem 45°. Aliás, num triângulo retângulo isósceles os
ângulos agudos sempre medirão 45°.
Figura 1
Na terceira etapa (figura 2), o papel dobrado mostra um novo triângulo retângulo do qual
também pode-se determinar os ângulos agudos. O vinco marcado na segunda etapa divide o
ângulo de 45° ao meio formando dois ângulos de 22°30’. Aplicando-se a lei angular de Tales, o
terceiro ângulo mede 67°30’.
Figura 2
Na quinta etapa forma-se mais um triângulo isósceles (∆A’B’E) cujo ângulo do vértice é o
ângulo de 45° e os ângulos agudos medem 67°30’ (figura 3). A afirmação de que este triângulo é
isósceles decorre da observação dos vincos realizados na segunda e na quarta etapas do diagrama.
Figura 3
1
Em qualquer triângulo a soma dos ângulos internos é 180°.
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Depois de executar a quarta etapa, ao voltar para o lado direito a ponta do papel que foi para
a esquerda, pode-se observar a figura de um losango (figura 4). Este losango garantirá o
paralelismos das bases dos triângulos ABC e B’A’C e permitirá concluir a semelhança entre eles.
Sendo assim, o triângulo B’A’C é um triângulo retângulo isósceles e seus ângulos agudos medem
45° respectivamente. Os três ângulos formados em torno do ponto B’ formam um ângulo raso
(180°), como dois deles medem 45º o terceiro é o suplemento do ângulo reto (soma dos ângulos de
45º) e, portanto, trata-se também de um ângulo reto. Assim, o triângulo AEB’ é um triângulo
retângulo isósceles.
Figura 4
Resta determinar as medidas dos ângulos do triângulo obtusângulo que aparece na sétima
etapa (figura 5). Ao voltar com o vértice A para sua posição anterior, conforme raciocínios
anteriores, pode-se afirmar que o triângulo AFB’ é isósceles e seus ângulos congruentes medem
67°30’. Assim determina-se a medida do ângulo obtuso, que é 112°30’, já que este ângulo é
suplementar do ângulo de 67°30’. Pela lei angular de Tales calcula-se a medida do terceiro ângulo,
que é 22°30’.
Figura 5
Para finalizar, vale destacar que o contorno da base da figura formada pelas sete unidades do
disco mostrará um heptágono regular, uma figura não tão facilmente encontrada e com mais uma
unidade estará completa a figura de um octógono regular.
Com o calor deste verão fazer um copo descartável e usá-lo para tomar um pouco de água
geladinha é um bom jeito de iniciar o ano. Ninguém vai precisar sair de sala para beber água.
Referencias Bibliográficas
COSTA, E. M. da. Enseñar y aprender matemáticas con origami. Separata de: Revista de Didáctica de las
Matemáticas, Espanha: GRAÓ, ano XVII, n.53, p. 25-37, jan./mar.2010.
COSTA, E. M. da. Matemática e Origami Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
COSTA, E. M. Origami e Educação Matemática. Boletim Labem. Ano 1, n.1, jul/ dez 2012 (pp 6-7). Disponível em
http://www.labem.uff.br/index.php/boletim/edicoes-anteriores/boletim-n-1.
COSTA, E. M. Origami e Educação Matemática. Boletim Labem. Ano 3, n. 5, jan/ jun de 2012 (pp 6-7). Disponível em
http://www.labem.uff.br/index.php/boletim/edicoes-anteriores/boletim-n-4.
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