Inequação do Primeiro Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Inequação do Primeiro
Grau
Isabelle da Silva Araujo - Engenharia de Produção
Definição
Equação x Inequação
• Uma equação é uma igualdade entre dois
membros e por isso usa-se o sinal de igual(=) entre
eles.
• Uma inequação é uma desigualdade, então, em
vez de um sinal de igual, usa-se sinais de:
Definição
Inequação
Nas inequações utiliza-se a mesma linguagem das
equações: membro, termo, incógnita e solução.
Inequação
Assim, na desigualdade x+2 > 4, tem-se:
Incógnita - x
1º membro - X + 2
2º membro - 4
Numa inequação temos muitas soluções:
5 é solução de 5 + 2 > 4
3 é solução de 3 + 2 > 4
OBS: Uma inequação está resolvida quando se
determina o conjunto – solução da mesma.
Inequação
Toda sentença matemática que contém um ou mais
elementos desconhecidos e que representa uma
desigualdade é denominada inequação.
Não é inequações:
5² + 5 > 3² - 2. Embora seja desigualdade, não possui
elemento desconhecido.
3x + 1 = 45 - 4x. É uma equação.
Princípios Das Desigualdades
Princípio Aditivo
Se numa balança tivermos 3kg num prato e 5kg no
outro, e se acrescentarmos 2kg a cada um dos
pratos, a situação não se altera.
Matematicamente
5>3
5+2>3+2
ou
5–2>3-2
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número positivo:
Observando que 2 é menor que 3 matematicamente
escrevemos: 2 < 3
Podemos multiplicar ambos os membros por
qualquer número positivo, que a desigualdade não
se alterará:
2x6<3x6
2 x 0,01 < 3 x 0,01
Princípio Multiplicativo
Podemos multiplicar ambos
os membros de uma
inequação por um n.º
positivo, mantendo o sinal
da
desigualdade,
que
obtemos uma inequação
equivalente à primeira.
Princípio Multiplicativo
Multiplicação por um número negativo:
Tendo que: 2 < 3, se multiplicarmos ambos os lados
por -1 verifica-se que:
(-1) x 2 = -2 e
(-1) x 3 = -3
Nota-se que -2 é maior que -3, por isso ao
multiplicarmos uma inequação por um número
negativo, deve-se inverter o sinal da desigualdade.
2 x (-1) < 3 x (-1)
-2 > -3
Princípio Multiplicativo
Podemos
multiplicar
ambos os membros de uma
inequação por um n.º
negativo,
INVERTENDO o sinal da
desigualdade, que obtemos
uma inequação equivalente
à primeira.
Inequações
Consideremos a seguinte situação:
Um retângulo tem y metros de comprimento e x
metros de largura, enquanto um triângulo equilátero
tem 3 m de lado. Qual a sentença matemática que
podemos escrever para expressar o fato de o
perímetro do retângulo ser maior que o perímetro
do triângulo equilátero?
Inequações
Resolução:
Sendo p1 o perímetro do retângulo e p2 o perímetro
do triângulo, temos:
p1 = 2x + 2y e p2 = 9
Como, de acordo com a situação, devemos ter p1 >
p2, a sentença matemática pedida é: 2x + 2y > 9
Inequações do Primeiro Grau
Exemplos:
Vamos resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7,
sendo U =
Resolução:
7x - 4x > 7 - 6; 3x > 1 .: x > 1/3
Podemos dizer que todos os números racionais
maiores que 1/3 formam o conjunto solução da
inequação dada, que representamos por:
Inequações Do Primeiro Grau
Pode-se resolver qualquer inequação do 1° grau
por meio do estudo do sinal de uma função do
1° grau, com o seguinte procedimento:
1. Iguala-se a expressão ax + b a zero;
2. Localiza-se a raiz no eixo x;
3. Estuda-se o sinal conforme os exemplos.
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo 1:
-2x + 7 > 0 x (-1)
2x - 7 < 0
-2x + 7 = 0
x = 7/2
Exemplo 2:
2x – 6 < 0
2x – 6 = 0
x=3
Inequações Do Primeiro Grau
Exemplo 3: Resolver a inequação (x+3) > (-x-1).
(x+3) > (-x-1) ⇔ x+3 > -x-1 ⇔ x + x + 3 + 1 > 0
⇔ 2x + 4 > 0
Seja y = 2x + 4
2x + 4 = 0 x = -2
Estudando os sinais da função:
Sistemas De Inequações do 1º Grau
Os sistemas são conjuntos de inequações cuja solução satisfaz
a todas, simultaneamente.
Para resolver um sistema de inequações procedemos da
seguinte maneira:
• Resolvemos individualmente cada inequação;
• O conjunto-solução do sistema é o conjunto resultado da
intersecção das inequações resolvidas individualmente.
Sistemas De Inequações Do 1º Grau
Inequações Simultâneas
 Sentenças matemáticas que tem mais de uma desigualdade.
Veja o exemplo: -3 < x < 4
Nessa inequação, os valores de x variam de –3 até 4.
O processo de resolução das inequações simultâneas é
semelhante ao do sistema de inequações.
1.
Separamos a inequação em duas desigualdades;
2.
Achamos as soluções individuais;
3.
A solução procurada é determinada pela intersecção das
respostas individuais.
Inequações Simultâneas
Exemplo 1: Achar o conjunto solução da inequação
simultânea
-x + 3 < x+ 1 < 2x
Resolução
Separando as desigualdades, temos:
-x + 3 < x + 1
x+1 < 2x
inequação 1
inequação 2
Inequação Simultâneas
Continuando:
Encontrando o conjunto solução de cada inequação,
individualmente, temos:
INEQUAÇÕES SIMULTÂNEAS
Resolução (continuação)
A solução do sistema é obtida fazendo a intersecção (∩) das
soluções individuais, ou seja das soluções da Inequação 1 e 2:
1 ∩ 2 = {x∈ IR | x > 1} ∩ {x∈ IR | x > 1}= {x∈ IR | x > 1}
Observe que nesse exemplo, as desigualdades são iguais.
Assim, a solução da desigualdade é S = {x∈ IR | x >1} = ]1, +∞)
Inequações Produto e Quociente
Sentenças
matemáticas
constituídas
por
desigualdades com produto ou quociente de
funções. Essas inequações, em geral, tem sua
solução baseada no estudo da variação do sinal de
uma função do 1o grau e nas propriedades dos
sinais do produto e do quociente dos números
reais.
Inequação Produto
Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação
produto do 1º grau (x-4) (x+2)>0
Resolvendo:
Cada um dos fatores (x-4) (x+2) representa uma
função do 1o grau. Assim, iniciamos pelo estudo dos
sinais dessas expressões que chamaremos de y e z,
respectivamente.
Para y = x-4 e z = x+2 temos:
(1) Se y = x - 4, então sua raiz é obtida
(2) Se z = x+2 então sua raiz é
fazendo x - 4 = 0 ⇔ x = 4.
obtida fazendo x + 2 = 0 ⇔ x = -2.
Inequação Produto
(Continuação)
(1)
(2)
A solução da inequação produto é obtida a partir da
integração das análises das variações de sinais de y e
z, representadas acima. Após, aplicamos a regra de
sinais do produto dos números reais e analisamos o
resultado final encontrado.
Inequação Produto
(Continuação)
y
z
yz
Assim, a inequação produto (x-4) (x+2)>0 está
definida no intervalo real
{ x ∈ IR | x < -2 ou x > 4}
Inequação Quociente
Exemplo: Encontre o conjunto solução da inequação
quociente do 1º grau:
<0
Resolvendo:
A resolução da inequação quociente é similar ao da inequação
produto pois no conjunto dos números reais, a divisão ou
multiplicação de dois números apresenta a mesma regra de
sinais. Assim, cada termo do quociente
representa uma
expressão do 1o grau. Iniciamos pelo estudo dos sinais dessas
expressões que chamamos de a e b, respectivamente.
Inequação Quociente
(Continuação)
Para a = x-1 e b = x+5 temos:
(1) Se a = x-1 então sua raiz é obtida
fazendo x-1 = 0 ⇔ x = 1.
(2) Se b = x+5 então sua raiz é
obtida fazendo x+5 = 0 ⇔ x = -5.
A solução da inequação quociente é obtida a partir da integração das
análises das variações de sinais das expressões a e b, representadas
acima. Após, aplicamos a regra de sinais do quociente dos números reais e
analisamos o resultado final encontrado.
Inequação Quociente
(Continuação)
Observe:
Assim, a inequação quociente
real
< 0 está definida no intervalo
{ x ∈ IR | -5 < x < 1}
Obrigado pela atenção!
www.ufal.edu.br
www.facebook.com/PETEngenharias