(120 cos 36 ) km

a)
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS
b)
1.
Seja um triângulo inscrito em uma circunferência de raio
R. Se esse triângulo tem um ângulo medindo 30°, seu lado
oposto a esse ângulo mede
c)
d)
e)
R
2
b) R
c) 2R
2R
d)
3
R$ 300,00
R$ 420,00
R$ 450,00
R$ 500,00
R$ 520,00
a)
5. Num mapa, uma estrada retilínea passa sucessivamente
pelas cidades A, B e C e uma cidade D, distante 120 km
de A, está localizada de tal forma que o ângulo
µ mede
DAB
36°. Um viajante fez o trajeto AB, BD e DC, percorrendo
em cada trecho a mesma distância. Se ele tivesse ido
diretamente de A até C, teria percorrido uma distância de:
2.
O projeto de madeiramento é fundamental para a
construção de um bom telhado em uma residência.
Na figura, temos a vista frontal do madeiramento de um
telhado. O triângulo ABC é isósceles de base BC tal que
a)
120 km
b) 60 3 km
(120 ⋅ cos 36°) km
120
d)
km
cos 36°
e) 140 km
c)
 = 120°. Observa-se também que os segmentos DE e
FG são perpendiculares à base BC.
6. Certo fabricante vende biscoitos em forma de canudinhos
recheados, de diversos sabores. A caixa em que esses
biscoitos são vendidos tem a forma de um prisma hexagonal.
A parte de cima dessa caixa tem a forma de um hexágono,
com as medidas indicadas na figura:
ˆ
De acordo com os dados acima, a medida do ângulo é BED
é
a) 30°
b) 45°
c) 60°
d) 75°
3. Um triângulo possui lados iguais a
6, 9 e 11. O cosseno
do maior ângulo interno desse triângulo é:
a)
b)
c)
d)
e)
Considerando a aproximação racional 1,7 para o valor de
11
.
15
1
− .
27
26
.
33
2
− .
27
−1.
3, a área da parte de cima dessa caixa, em centímetros
quadrados, mede
a) 49,6.
b) 63,2.
c) 74,8.
d) 87,4.
4. João está procurando cercar um terreno triangular que ele
comprou no campo. Ele sabe que dois lados desse terreno
medem, respectivamente, 10 m e 6 m e formam entre si
um ângulo de 120°. O terreno será cercado com três voltas
de arame farpado. Se o preço do metro do arame custa
R$ 5,00, qual será o valor gasto por João com a compra do
arame?
Dados:
3
2
1
cos de 120° = −
2
sen de 120° =
1
7. Os drones 1 e 2 (veículos aéreos não tripulados) saem
em missão de um mesmo ponto geográfico P às 20 h.
10. Um professor de geografia forneceu a seus alunos um
mapa do estado de São Paulo, que informava que as
distâncias aproximadas em linha reta entre os pontos que
representam as cidades de São Paulo e Campinas e entre os
pontos que representam as cidades de São Paulo e
Guaratinguetá eram, respectivamente, 80km e 160km. Um
dos alunos observou, então, que as distâncias em linha reta
entre os pontos que representam as cidades de São Paulo,
Campinas e Sorocaba formavam um triângulo equilátero. Já
um outro aluno notou que as distâncias em linha reta entre os
pontos que representam as cidades de São Paulo,
Guaratinguetá e Campinas formavam um triângulo retângulo,
conforme mostra o mapa.
Conforme a figura abaixo, o drone 1 tem sua rota dada na
direção 60° nordeste, enquanto o drone 2 tem sua rota dada
na direção 15° sudeste. Após 1 minuto, o drone 1 percorreu
1,8 km e o drone 2 percorreu 1km, ambos em linha reta.
A distância aproximada, considerando
2 e
3
aproximadamente 1,4
e 1,7, respectivamente, em
quilômetros, entre os dois drones, após 1 minuto, é igual a:
a) 1,8 km.
2,2 km.
2,6 km.
d) 3,4 km.
e) 4,7 km.
b)
c)
8.
Com essas informações, os alunos determinaram que a
distância em linha reta entre os pontos que representam as
cidades de Guaratinguetá e Sorocaba, em km, é próxima de
Em certa cidade, a igreja está localiza no ponto A, a
prefeitura no ponto B, e a livraria no ponto C, como mostra
os pontos a seguir. Sabendo-se que a distância da igreja à
prefeitura é de 10 metros, a distância da prefeitura à livraria
corresponde a 15 metros, e que o ângulo formado por essas
duas direções é 60°, a distância da livraria à igreja é
a) 80 ⋅ 2 + 5 ⋅ 3
b) 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3
c)
80 ⋅ 6
d) 80 ⋅ 5 + 3 ⋅ 2
e) 80 ⋅ 7 ⋅ 3
11. A caminhada é uma das atividades físicas que, quando
realizada com frequência, torna-se eficaz na prevenção de
doenças crônicas e na melhora da qualidade de vida.
Para a prática de uma caminhada, uma pessoa sai do ponto
A, passa pelos pontos B e C e retorna ao ponto A, conforme
trajeto indicado na figura.
a) 17 5 m
b) 5 7 m
c) 25 7 m
d) 7 5 m
9.
Dois navios deixam um porto ao mesmo tempo. O
primeiro viaja a uma velocidade de 16 km/h em um curso de
45° em relação ao norte, no sentido horário. O segundo viaja
a uma velocidade 6 km/h em um curso de 105° em relação ao
norte, também no sentido horário. Após uma hora de viagem,
a que distância se encontrarão separados os navios, supondo
que eles tenham mantido o mesmo curso e velocidade desde
que deixaram o porto?
a) 10 km.
b) 14 km.
c) 15 km.
d) 17 km.
e) 22 km.
Quantos quilômetros ela terá caminhado, se percorrer todo o
trajeto?
a) 2,29.
b) 2,33.
c) 3,16.
d) 3,50.
e) 4,80.
2
12.
Quadros interativos são dispositivos de interface
humana que permitem ao usuário interagir com as imagens
projetadas sobre uma tela grande, geradas por um
computador. O uso desses quadros é cada vez mais comum
em instituições de ensino, substituindo o quadro para giz ou o
quadro branco.
Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona
a partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela
onde a imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica
especial que, ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos:
um pulso sonoro (ultrassom) e um pulso luminoso
(infravermelho). O pulso de ultrassom é usado para calcular a
distância da ponta da caneta até o sensor, enquanto o pulso
de infravermelho indica ao sistema o ângulo entre a base da
tela e o segmento de reta que une o sensor à ponta da
caneta.
Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2
metros de altura, representado no primeiro quadrante de um
plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um
usuário aciona a caneta em três pontos distintos da tela,
gerando as leituras de distância e de ângulo apresentadas na
tabela:
Ponto
A
B
C
Distância
2m
2m
1m
14. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e
C, que são ligadas por estradas em linha reta. Sabe-se que,
seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24
km, e entre A e B é de 36 km.
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B
e C é igual a
8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.
a)
Ângulo
60°
30°
30°
15. No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido por
terremoto com intensidade de 8,9 na Escala Richter, com o
epicentro no Oceano Pacífico, a 360 km de Tóquio, seguido
de tsunami. A cidade de Sendai, a 320 km a nordeste de
Tóquio, foi atingida pela primeira onda do tsunami após 13
minutos.
O triângulo com vértices nos pontos A, B e C é:
a) escaleno.
b) equilátero.
c) isósceles de base BC.
d) isósceles de base AB.
e) retângulo em A.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
13. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da
planta a seguir:
Os segmentos
AB, BC e CA simbolizam ciclovias
construídas no interior da praça, sendo que AB = 80 m. De
acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO
afirmar que a medida de R é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
160 3
m
3
80 3
m
3
16 3
m
3
8 3
m
3
3
m
3
Baseando-se
nos
dados
fornecidos
e
sabendo
que
cos α ≅ 0,934 , onde α é o ângulo Epicentro-Tóquio-Sendai,
e que 28 ⋅ 32 ⋅ 93,4 ≅ 215 100 , a velocidade média, em
km/h, com que a 1ª onda do tsunami atingiu até a cidade de
Sendai foi de:
a) 10.
b) 50.
c) 100.
d) 250.
e) 600.
3
Gabarito:
Teremos:
Resposta
[B]
da
questão
1:
Seja l a medida do lado do triângulo que é oposto ao ângulo
de 30°. Pela Lei dos Senos, tem-se que
l
= 2R ⇔ l = R.
sen30°
Resposta
[C]
da
questão
2:
BA = BD → DAB = ADB = BDC = 36°
ˆ = 120°,
Como o triângulo ABC é isósceles e o ângulo BAC
2 ⋅ 36 + ABD = 180° → ABD = 108° → DBC = BCD = 72°
ˆ = 30°.
ˆ = ACB
os ângulos ABC
Logo:
ˆ = 30° e os segmentos DE e FG são
Logo, como ABC
perpendiculares à base BC, ou seja, formam um ângulo reto
ADC = ACD = 72 → AC = AD = 120 km
ˆ oposto pelo
entre a base e os segmentos, o ângulo BDE
vértice DE, também é reto e vale 90°.
Resposta
[C]
Desta maneira, para obter o valor de x, deve-se somar todos
ˆ + EBD
ˆ = 180°
x + BDE
questão
6:
serão iguais a 30°.
Considerando x como sendo a base do triângulo isósceles,
pela lei dos senos tem-se:
x + 90 + 30 = 180 ⇒ x = 60°.
da
questão
Como cada um dos triângulos laterais que formam o
hexágono são triângulos isósceles, pode-se deduzir que, se
seu maior ângulo é 120°, então os dois menores ângulos
ângulos do triângulo BDE :
Resposta
[B]
da
3:
Note que um triangulo com tais lados não forma um triangulo
retângulo, para comprovar basta aplicar o Teorema de
Pitágoras.
x
4
x
4
x
=
→
=
→
sen 120° sen 30°
sen 2 ⋅ 60° sen 30°
2 ⋅ sen 60° ⋅ cos
hip2 = cat 2 + cat 2
x
3 1
= 8⋅
⋅ →x=4 3
2
Assim,
a 2área2 total do hexágono será igual a soma das áreas
112 = 62 + 92
dos dois triângulos isósceles e do retângulo, ou seja:
121 ≠ 36 + 81
Stotal = 2 ⋅ SV+SX
Nesse sentido, para obter o valor do cosseno desejado, basta
aplicar a lei dos cossenos sobre os três lados. Seja θ o
ângulo relativo ao lado de maior medida e a, b, c os lados do
Stotal = 2 ⋅
Stotal = 44 3 → Stotal ; 74,8 cm2
triângulo. Logo:
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos(θ)
2
2
Resposta
[A]
2
11 = 9 + 6 − 2 ⋅ 9 ⋅ 6 ⋅ cos(θ)
121 = 117 − 108 ⋅ cos(θ)
−1
cos(θ) =
27
Resposta
[C]
da
4 ⋅ 4 3 ⋅ sen 30°
16 3
+9⋅4 3 =
+ 36 3
2
2
O
ângulo
da
entre
as
direções
questão
das
duas
7:
rotas
é
de
60° + 15° = 75°. Logo, desde que
cos75° = cos(30° + 45°)
questão
= cos30° cos 45° − sen30° sen 45°
4:
=
Pela lei dos cossenos:
3 2 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
2
⋅ ( 3 − 1)
4
⎛ 1⎞
a2 = 102 + 62 − 2 ⋅ 10 ⋅ 6 ⋅ cos 120° ⇒ a2 = 136 − 120 ⋅ ⎜ − ⎟ ⇒ a2 = 196 → ≅a 1,4
= 14⋅ (1,7 − 1)
⎝ 2⎠
4
≅ 0,245,
Perímetro = 10 + 6 + 14 = 30 m
=
3 voltas = 90 m ⇒ custo = 5 ⋅ 90 = 450 reais
Resposta
[A]
da
questão
e sendo d a distância pedida, pela Lei dos Cossenos,
obtemos
5:
4
d2 = 12 + 1,82 − 2 ⋅ 1⋅ 1,8 ⋅ cos75°
Sejam
= 1 + 3,24 − 3,6 ⋅ 0,245
= 3,358,
o que implica em d =
Resposta
[B]
questão
de
Sorocaba,
São
Paulo,
$ = 60° e CPG
$ = 150°.
$ = 90°, vem SPG
Sabendo que SPC
Logo, aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo SPG,
encontramos
3,358 ≅ 1,8km.
da
S, P, G e C, respectivamente, os pontos que
representam as cidades
Guaratinguetá e Campinas.
8:
2
2
2
$
SG = SP + PG − 2 ⋅ SP ⋅ PG ⋅ cosSPG
Colocando graficamente as informações dadas no enunciado:
= 802 + 1602 − 2 ⋅ 80 ⋅ 160 ⋅ cos150°
⎛
3⎞
⎟
= 6400 + 25600 − 2 ⋅ 12800 ⋅ ⎜ −
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
= 6400 ⋅ (5 + 2 ⋅ 3)
Portanto, SG = 80 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 km.
Aplicando-se a Lei dos Cossenos, tem-se que a distância “a”
entre os pontos A e C será:
Resposta
[D]
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
da
questão
a2 = 102 + 152 − 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ cos60°
Pela Lei dos Cossenos, obtemos:
a2 = 325 − 300 ⋅ 0,5 → a2 = 175
2
2
2
µ
BC = AC + AB − 2 ⋅ AC ⋅ AB ⋅ cosBAC
a = 175 = 5 7 m
Resposta
[B]
11:
= (0,8)2 + 12 − 2 ⋅ 0,8 ⋅ 1⋅ cos150°
da
questão
⎛
3⎞
⎟
= 0,64 + 1 − 2 ⋅ 0,8 ⋅ ⎜ −
⎝ 2 ⎠
≅ 1,64 + 0,8 ⋅ 1,7
≅ 3.
9:
Depois de uma hora de viagem o navio 1 (N1) terá percorrido
16 km e o navio 2 (N2) terá percorrido 6 km.
Temos, então, a seguinte figura:
Logo, BC ≅ 1,7 e, portanto, o resultado é 1 + 0,8 + 1,7 = 3,5.
Resposta
[A]
da
questão
12:
Considere a figura.
Sendo d a distância entre os navios, temos:
d2 = 162 + 62 − 2 ⋅ 16 ⋅ 6 ⋅ cos 60o
Sabendo que OA = 2 m, OB = 2 m e OC = 1m, temos
⎛ 1⎞
d2 = 256 + 36 − 192 ⋅ ⎜ ⎟
⎝2⎠
que BC = OB − OC = 1m. Além disso, o triângulo OAB é
$ ≡ OAB
µ = 75°.
isósceles de base AB. Logo, OBA
d2 = 196
d = 14km
Resposta
[B]
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo OAB, segue que
da
questão
10:
5
2
2
2
ES = ET + ST − 2 ⋅ ET ⋅ ST ⋅ cos α ⇒
2
2
2
2
3
2
2
AB = OA + OB − 2 ⋅ OA ⋅ OB ⋅ cos30° ⇔ AB = 2 + 2 − 2 ⋅ 2 ⋅ ES
2 ⋅ 2 = 3602 + 3202 − 2 ⋅ 360 ⋅ 320 ⋅ 0,934 ⇒
2
2
2
⇔ AB = 8 − 4 3
ES = 129600 + 102400 − 2 ⋅ 22 ⋅ 32 ⋅ 25 ⋅ 93,4 ⇔
⇒ AB = ( 6 − 2) m.
ES = 232000 − 28 ⋅ 32 ⋅ 93,4 ⇒
Como AC é mediana do triângulo ABO, vem
2
ES = 232000 − 215100 ⇒
2
2
2
1
⋅ 2 ⋅ (OA + AB ) − OB
2
1
= ⋅ 2 ⋅ (22 + 8 − 4 3) − 22
2
1
= ⋅ 4 ⋅ (5 − 2 3)
2
ES = 16900 ⇔ ES = 130km.
AC =
Portanto, como 13min =
média pedida é dada por
130
= 600km h.
13
60
= 5 − 2 3 m.
Portanto, como AB ≠ AC ≠ BC, segue que o triângulo ABC
é escaleno.
Resposta
[B]
da
questão
13:
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
80
80 3 80 3
= 2R ⇔ 2R =
⇔R=
⋅
=
m.
sen60°
3
3
3 3
2
Resposta
[B]
da
questão
14:
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
2
2
2
µ ⇔
BC = AB + AC − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cosBAC
2
⎛ 1⎞
BC = 362 + 242 − 2 ⋅ 36 ⋅ 24 ⋅ ⎜ − ⎟ ⇔
⎝ 2⎠
2
BC = 1296 + 576 + 864 ⇒
BC = 2736 = 12 19 km.
Resposta
[E]
da
2
questão
15:
Considere a figura.
Sabendo que ET = 360km, ST = 320km, cos α ≅ 0,934
e que 28 ⋅ 32 ⋅ 93,4 ≅ 215100, pela Lei dos Cossenos, vem
6
13
h, temos que a velocidade
60