SEQUÊNCIA DE FIBONACCI

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E
COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
FERNANDA ALVES DE OLIVEIRA
MAYARA DUARTE DE ARAÚJO CALDAS
CAMPINAS, ABRIL 2013
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E
COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
FERNANDA ALVES DE OLIVEIRA (146049)
MAYARA DUARTE DE ARAÚJO CALDAS (147422)
ORIENTADOR: FERNANDO TORRES
CAMPINAS, ABRIL 2013
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.................................................................................................................................... 4
CAPÍTULO 1 - A HISTÓRIA. .............................................................................................................. 5
1.1 - A HISTÓRIA DE LEONARDO FIBONACCI .............................................................................................. 5
1.2 - O PROBLEMA DOS COELHOS ........................................................................................................... 5
CAPÍTULO 2 - PROPRIEDADES DA SEQUENCIA. ........................................................................... 6
2.1 - PERIODICIDADE ............................................................................................................................. 6
2.2 - SOMA DOS NÚMEROS DA SEQUÊNCIA ............................................................................................... 6
2.3 - SOMA DOS NÚMEROS DE ORDEM ÍMPAR ............................................................................................ 6
2.4 - SOMA DOS NÚMEROS DE ORDEM PAR ............................................................................................... 7
2.5 - SOMA DOS QUADRADOS DOS NÚMEROS ............................................................................................ 7
CAPÍTULO 3 - A SEQUENCIA E O NUMERO DE OURO. .................................................................. 9
3.1 - HISTÓRIA DO NÚMERO DE OURO ...................................................................................................... 9
3.2 - A SEQUÊNCIA E O NÚMERO DE OURO ................................................................................................ 9
3.3 - A SEQUÊNCIA E O RETÂNGULO ÁUREO ............................................................................................ 10
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................................. 11
INTRODUÇÃO
A monografia foi feita com o intuito de estudar a sequência de Fibonacci,
desde sua história, o problema de reprodução dos coelhos e a ligação entre a
sequência e o número de ouro.
Apresentamos algumas fórmulas e propriedades relacionadas à
sequência.
O enfoque principal está na investigação das principais propriedades
dessa sequência e na sua relação com o Número de Ouro (ou Razão Áurea).
Também está presente o uso de construções geométricas para a
obtenção do Retângulo Áureo.
O trabalho foi realizado em três capítulos. Apresentamos no primeiro
capítulo a história de Leonardo Fibonacci e o Problema dos coelhos.
No segundo capítulo definimos algumas Propriedades relacionadas aos
números de Fibonacci. Em seguida, no terceiro capítulo definimos o número de
ouro e o retângulo áureo.
Palavras-chave: Sequência de Fibonacci, Número de Ouro, Retângulo Áureo,
Leonardo Fibonacci.
ABSTRACT
The monograph was made in order to study the Fibonacci sequence,
from its history, the problem of reproduction of rabbits and the link between the
sequence and the golden ratio.
Here are some formulas and properties related to the sequence.
The main focus is the investigation of the main properties of this
sequence and its relationship with the Golden Mean (or Golden Ratio). Also
present is the use of geometric constructions for obtaining the golden rectangle.
The study was conducted in three chapters. Presented in the first chapter
the story of Leonardo Fibonacci and the Problem of rabbits.
In the second chapter we define some properties related to the Fibonacci
numbers. Then, in the third chapter we define the number of gold and the
golden rectangle.
Keywords: Fibonacci, Golden Mean, Golden Rectangle, Leonardo Fibonacci.
CAPÍTULO 1 – A HISTÓRIA
1.1 – A história de Leonardo Fibonacci
O nome completo de Fibonacci é Leonardo Pisano, que nasceu por volta
de 1175 na Itália. Seu sobrenome é conhecido por Fibonacci, por ser um
diminutivo de fillius Bonacci, porque seu pai se chamava Guilielmo Bonacci.
No inicio de seus estudos de matemática Leonardo começou com
professores islâmicos, pois seu pai trabalhava em um dos entrepostos
comerciais espalhados pelos postos do Mediterrâneo.
Como Leonardo viajou pelo Mediterrâneo, onde o sistema de numeração
hindu era muito usado, acabou conhecendo vários estudiosos islâmicos,
aprimorando assim o conhecimento matemático do mundo árabe.
Leonardo voltou em 1200 a Pisa, passando a escrever durante 25 anos
trabalhos, onde transmitia os conhecimentos que tinha adquirido com os
árabes. O seu livro mais conhecido é Líber Abacci (Livro de Cálculo) que foi
escrito em 1202.
1.2 – O problema dos coelhos
O problema da reprodução dos coelhos é um dos mais famosos
conhecidos de Leonardo Fibonacci.
Problema: Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de
coelhos em um ano?
Temos as seguintes hipóteses:
- A cada mês ocorre a produção de um par de coelhos;
- Um par de coelhos começa a produzir coelhos quando completa dois
meses.
Resolução: Um homem colocou um par de coelhos jovem em um local
cercado.
No primeiro mês temos apenas um par de coelhos jovem.
No segundo mês temos um par de coelhos adulto, que está no período fértil.
No terceiro mês temos dois pares de coelhos, um adulto é um jovem.
No quarto mês temos três pares de coelhos, dois adultos e um jovem.
No quinto mês temos cinco pares de coelhos, três adultos e dois jovens.
No sexto mês temos oito pares de coelhos, cinco adultos e três jovens.
No sétimo mês temos treze pares de coelhos, oito adultos e cinco jovens.
No oitavo mês temos vinte e um pares de coelhos, treze adultos e oito jovens.
No nono mês temos trinta e quatro pares de coelhos, vinte e um adultos e treze
jovens.
No décimo mês temos cinquenta e cinco pares de coelhos, trinta e quatro
adultos e vinte e um jovens.
No décimo primeiro mês temos oitenta e nove pares de coelhos, cinquenta e
cinco adultos e tinta e quatro jovens.
No décimo segundo mês temos cento e quarenta e quatro pares de coelhos,
oitenta e nove adultos e cinquenta e cinco jovens.
Temos assim a sequência de Fibonacci: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 1 3 + 2 +
1 + 34 + 55 + 89 + 114 + ...
CAPÍTULO 2 – PROPRIEDADES DA SEQUÊNCIA
2.1 - Periodicidade
Podemos notar que os números de Fibonacci se tornam grandes
rapidamente, pois para se formar um número, somam-se os dois números
anteriores.
O 5º número de Fibonacci é 5 e o 125º é
59.425.114.757.512.643.212.875.125, deste modo, podemos perceber que o
número da unidade sempre surge com uma periodicidade de 60. Por exemplo,
o 2º número é 1 e o 62º é 4.052.739.537.881, que também termina em 1. Isto
vale para o 122º, 182º, 242º e assim sucessivamente.
A propriedade da periodicidade foi descoberta pelo matemático francês
nascido na Itália, Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) em 1774.
2.2 – Soma dos números da sequência
Temos que:
F(1) = F(3) – F(2)
F(2) = F(4) – F(3)
Então:
F(n-1) = F(n+1) – F(n)
F(n) = F(n+2) – F(n+1)
Se somarmos todos os membros:
[ F(3) – F(2) ] + [ F(4) – F(3) ] + ... + [ F(n+1) – F(n) ] + [ F(n+2) – F(n+1) ]
Pelo inverso aditivo temos que x + (-x) = 0
Então se anularmos os termos inversos, temos:
F(n+2) – F(2)
Definimos anteriormente que F(2) = 1, isso gera a fórmula geral:
F(n+2) - 1
2.3 – Soma dos números de ordem ímpar
Temos que:
F(2) = F(1) → F(1) = F(2)
F(4) = F(3) + F(2) → F(3) = F(4) – F(2)
F(6) = F(5) + F(4) → F(5) = F(6) – F(4)
Então:
F(2n) = F(2n-1) + F(2n-2) → F(2n-1) = F(2n) – F(2n-2)
A soma dos números de ordem ímpar é:
F(1) + F(3) + F(5) + F(7) + ...+ F(2n-1)
Substituindo, temos que:
F(2) + F(4) – F(2) + F(6) – F(4) + ... + F(2n) – F(2n-2)
Anulando os termos inversos aditivos, chegamos à fórmula geral:
F(1) + F(3) + F(5) + F(7) + ... + F(2n-1) = F(2n)
2.4 – Soma dos números de ordem par
A soma dos números de Fibonacci é:
F(1) + F(2) + F(3) + F(3) + ...+ F(2n-1) + F(2n) = F(2n+2) – 1
A soma dos números de ordem ímpar é:
F(1) + F(3) + F(5) + F(7) + ...+ F(2n-1) = F(2n)
Subtraindo as igualdades, sobrará apenas a soma dos números de
ordem par no 1º e 2º membros:
F(2) + F(4) + F(6) + F(8) + ... + F(2n) = F(2n+2) – F(2n) – 1
Sabemos que:
F(2n+2) = F(2n+1) + F(2n) ↔ F(2n+1) = F(2n+2) – F(2n)
Temos então a fórmula geral:
F(2) + F(4) + F(6) + F(8) + ... + F(2n) = F(2n+1) -1
2.5 – Soma dos quadrados dos números
Para todo x natural, temos:
F(x).F(x+1) – F(x).F(x-1) = F(x).[ F(x+1) – F(x-1) ] = F(x).F(x) = F(x)²
Temos:
F(1)²
F(2)²
F(3)²
F(4)²
F(5)²
= F(1).F(2)
= F(2).F(3) – F(2).F(1)
= F(3).F(4) – F(3).F(2)
= F(4).F(5) – F(4).F(3)
= F(5).F(6) – F(5).F(4)
Então:
F(n)² = F(n).F(n+1) – F(n).F(n-1)
A soma dos quadrados é:
F(1)² + F(2)² + F(3)² + F(4)² + ... + F(n)²
Substituindo:
F(1).F(2) + F(2).F(3) – F(2).F(1) + F(3).F(4)+ ... + F(n).F(n+1) – F(n).F(n-1)
Se anularmos os inversos aditivos, obtemos a fórmula geral:
F(1)² + F(2)² + F(3)² + F(4)² + ... + F(n)² = F(n).F(n+1)
CAPÍTULO 3 – A SEQUÊNCIA E O NÚMERO DE OURO
3.1 – História do número do ouro
O número de ouro é número irracional mais misterioso e enigmático, que
nos surge em diversos elementos da natureza, na música, na arte e nas
grandes construções feita pelo homem.
Seu símbolo é em homenagem ao escultor e arquiteto Fídias.
O número de ouro está na natureza em diversas coisas, uma delas foi a
reprodução de coelhos estudada por Fibonacci, pois na sequência temos uma
razão entre um número e o que o antecede que vão se aproximando do
número de ouro.
Temos na arte a contribuição de Leonardo da Vinci, que utilizou em
várias de suas obras o número de ouro, uma delas é a tradicional
representação do homem em forma de estrela de cinco pontas, que foi
baseada nos pentágonos, estrelado e regular, inscrito em uma circunferência.
Nas grandes construções temos as pirâmides de Gizé no Egito, a razão
entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é
igual ao número de ouro.
Na música temos a construção dos instrumentos, que em diversos
momentos utilizam o número de ouro.
Temos assim o número de ouro como um enigma a ser desvendado.
3.2 – Proporção Áurea
A proporção ou seção áurea foi estudada por gregos antes de Euclides
de Alexandria (este descreveu a proporção em “dividir um segmento AB em
média e extrema razão”), se AB/BC = BC/AC. Podemos escrever a relação
deste outro modo:
Resolvendo:
a/x = x/(a-x)
a² - ax = x²
x² + ax – a² = 0
x = a (1+√5)/2
x ≈ 1,618034...
3.2 – A sequência e o número do ouro
A sequência de Fibonacci é 1+1+2+3+5+8+13+21+34+...; tendo ela
infinitos números, temos a seguinte fórmula para n sendo número natural:
F(1) = 1, F(2) = 1
F (n+1) = F (n-1) + F (n)
Tomando as razões de cada termo pelo seu antecessor, obtemos outra
sequência numérica que tem a fórmula:
U(n) = F(n+1)
F(n)
Essa nova sequência vai se aproximando cada vez mais do número de
ouro.
3.3 – A sequência e o retângulo áureo
Ao olharmos o
desenho ao lado, a
qualquer
momento
que
pare
a
construção,
sempre
haverá um retângulo.
Se repararmos
no
retângulo,
concluímos que:
1² + 1² + 2² + 3² + 5² +
8² + 13² = 13 x 21
Nos
outros
retângulos podemos
perceber que:
1² + 1²
1² + 1²
1² + 1²
1² + 1²
=1x2
+ 2² = 2 x 3
+ 2² + 3² + 5² = 5 x 8
+ 2² + 3² + 5² + 8² = 8 x 13
Podemos então deduzir:
1² + 1² + 2² + ... + F²(n) = F(n) x F(n+1), n є R
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. ÁVILA, Geraldo. Retângulo Áureo, Divisão Áurea e Sequência de
Fibonacci. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 06, pág. 09-14,
1985.
2. CARVALHO, João Pitombeira de. Um problema de Fibonacci. Revista do
Professor de Matemática, São Paulo, n.17, pág. 04.
3. AZEVEDO, Alberto. Sequências de Fibonacci. Revista do Professor de
Matemática, São Paulo, n. 45, pág. 44-47, 2001.
4. http://www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/fibonacci.html
5. http://www.interaula.com/matweb/alegri/fibon/seqfib1.htm