Monografia Números de Fibonacci

Mariana Aparecida de Jesus Pereira RA:103367
Monografia
Números de Fibonacci
A sequência de Fibonacci é uma sequência de números naturais, na qual os primeiros dois
termos são 0 e 1, e cada termo subsequente corresponde à soma dos dois precedentes. É uma
sucessão de números que, misteriosamente, aparece em muitos fenômenos da natureza. Descrita no
final do século 12, ela é infinita
A sequência tem o nome do Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci, e os
termos dessa sequência são chamados números de Fibonacci. Ele escreveu em 1202 um livro
denominado Liber Abacci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. Este livro
contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e
realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois
por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados
arábicos. A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos problemas que representam
uma grande parte do livro.
Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de
coelhos (paria coniculorum):Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em
um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos
saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a
cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois
meses de vida.
Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois
pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1
existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém-nascido.
No início do 3º mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá
completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês
existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recémnascido.
No início do 4º mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e
um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2
pares recém-nascidos.
No início do 5º mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e
dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2
pares(1 mês) + 3 pares recém-nascidos.
No início do 6º mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e
três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1
mês + 5 pares recém-nascidos. Tal processo continua através dos diversos meses até completar um
ano.
Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
Ao transformar esses números em quadrados e dispô-los de maneira geométrica, é possível
traçar uma espiral perfeita, que também aparece em diversos organismos vivos. Outra curiosidade é
que os termos da sequência também estabelecem a chamada “proporção áurea”, muito usada na
arte, na arquitetura e no design por ser considerada agradável aos olhos. Seu valor é de 1,618 e,
quanto mais você avança na sequência de Fibonacci, mais a divisão entre um termo e seu antecessor
se aproxima desse número.
Segundo a teoria, em uma composição perfeita, cada número de Fibonacci, a partir do
terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Um exemplo: 1 + 1 = 2; 2 + 1 = 3; 3 + 2 = 5; 5 + 3
= 8 e assim por diante. Assim, a sequência é definida pela fórmula abaixo, sendo os dois primeiros
termos F(0)= 0 e F(1)= 1. Logo:
Os números de Fibonacci se tornam grandes rapidamente, porque sempre se somam dois
números sucessivos para formar o seguinte. Enquanto o 5º número de Fibonacci é 5, o 125º número
é 59.425.114.757.512.643.212.875.125, e é interessante notar que o dígito da unidade aparece com
uma periodicidade de 60 (isto é, a cada 60 números o digito se repete). Por exemplo, o segundo
número é 1, e o sexagésimo segundo é 4.052.739.537.881 (também terminado em 1), e o 122º
número, 14.028.366.653.498.915.298.923.761, também termina em 1; o mesmo vale para o 182º, e
assim por diante.
Conexão da sequência de Fibonacci com o número de ouro
De que forma ocorre esta conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a sequência de
Fibonacci é dada por:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …
E os termos desta sequência são denominados números de Fibonacci. Pode-se tomar a definição
desta sequência para todo n natural, como:
F(1) = 1, F(2) = 1
F(n+1) = F(n-1) + f(n)
Esta sequência não é limitada superiormente, mas existe um fato interessante: Tomando as
razões (divisões) de cada termo pelo seu antecessor, obtemos uma outra sequência numérica cujo
termo geral é dado por:
f(n) = f(n+1)
f(n)
que é uma sequência limitada. Se considerarmos a sequência de Fibonacci como um conjunto da
forma (1,1,2,3,5,8,13,...) e a divisão de cada número pelo seu antecessor, obteremos outra
sequência:
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.666..., 8/5=1.6, ...
É fácil perceber o que ocorre quando colocamos estas razões sucessivas (alturas) em um gráfico
em que o eixo horizontal indica os elementos da sequência de Fibonacci:
As razões vão se aproximando de um valor particular, conhecido como Número de Ouro
(Número Áureo), que é frequentemente representado pela letra grega Phi
Quando n tende a infinito, o limite é exatamente Phi, o número de ouro.
Phi =
= lim f(n+1) = 1,618033988749895
f(n)
Existem muitas sequências com as mesmas propriedades que a sequência de Fibonacci.
Propriedades
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Soma dos números da sequência
A soma de todos os números de Fibonacci do primeiro ao n-ésimo é simplesmente igual ao
(n+2)-ésimo número menos 1 (S(n) = F(n+2) - 1).
Exemplo: a soma dos 10 primeiros números, 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143, é
igual ao décimo segundo número (144) menos 1. A soma dos primeiros 78 números de Fibonacci é
igual ao 80º menos 1, e assim por diante.
Demonstração:
Temos que F(n) = F(n-1) + F(n-2) => F(n+2) = F(n+1) + F(n) => F(n) = F(n+2) – F(n+1).
Logo:
F(1)= F(3) - F(2)
F(2) = F(4) – F(3)
F(3) = F(5) – F(4)
.........
F(n-1) = F(n+1) – F(n)
F(n) = F(n+2) – F(n+1)
Se somarmos todos os membros teremos:
F(3) – F(2) + F(4) – F(3) + F(5) – F(4) +..... +F(n+1) – F(n) + F(n+2) – F(n+1)
Cancelando todos os membros que se anulam teremos:
F(n+2) – F(2)
Sabendo que F(2) =1 temos:
S(n) = F(1) + F(2) + F(3) + F(4) +..... +F(n -1) + F(n) = F(n+2) – 1
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Soma dos números ímpares da sequência
F(1) + F(3) +...+F(2n−1) = F2(n), ∀n ≥ 1
F(1) + F(3) + … + F(2n−1) + F(2n+1) = F(2n) + F(2n+1) = F2(n+1).
Demonstração: De fato, F1 = 1 = F2. Suponha a proposição verdadeira para um n > 1. Daí,
Portanto, por indução, a proposição é verdadeira para todo n ≥ 1.
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Soma dos números pares da sequência
F(2) + F(4) + … + F(2n) = F(n)F(n+1), ∀n ≥ 1.
Demonstração: Por indução, a propriedade é verdadeira para todo n ≥ 1.
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F(0) − F(1) + F(2) − … − F(2n−1) + F(2n) = F(2n−1) − 1, ∀n > 1.
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F(1) + 2.F(2) + 3.F(3) + … + n.F(n) = (n + 1).F(n+2) − F(n+4) + 2,∀n ≥ 1.