Números de Fibonacci e a Razão Dourada

Números de Fibonacci e a Razão
Dourada
O Problema dos coelhos
- Cada par de coelhos gera outro par a cada mês
- Um par recém nascido leva um mês para amadurecer e dar cria
- Nenhum coelho morre no período em estudo
Mês Número de coelhos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
.
.
.
Quantos coelhos haverao no mes k?
n(k) = n(k-1) + n(k-2) NÚMEROS DE FIBONACCI
1
1
2
3
5
8
13
21
34
55
Número de Pétalas em Flores
1
2
3
5
8
13
21
34
MARGARIDAS
O número de espirais em cada direção, 21 e 34, são números de Fibonacci.
Existe uma explicação para o aparecimento desses números?
Em primeiro lugar notamos que a razão entre dois números de Fibonacci
consecutivos tende a um valor constante, chamado de razão dourada:
1/2 = 0.5
2/3 = 0.666...
3/5 = 0.6
5/8 = 0.625
8/13 = 0.6154...
13/21 = 0.6190...
21/34 = 0.6176....
.
.
.
Existe uma explicação para o aparecimento desses números?
Em muitos casos, uma flor é composta por pequenas sementes que são
produzidas no centro e depois migram para a parte externa, até completar todo
o espaço disponível. Cada nova semente surge a um certo ângulo em relação à
semente anterior. Por exemplo, se o ângulo é 90 graus, ¼ de volta, o resultado
depois de várias gerações seria com na figura 1 do próximo slide:
Claramente essa não é a maneira mais eficiente de preencher o espaço! Para
obtermos maior sucesso temos que escolher o ângulo como um múltiplo
irracional de 360 graus. Na figura do meio o ângulo é 137.6 e na última 137.5,
que corresponde ao ângulo dourado:
360 x 0.6180 = 222.5 como o resultado é maior que 180, tomamos seu
complemento:
360 – 222.5 = 137.5
90 graus
137.6
137.5 --- ângulo dourado
Hurricane Sandy – outubro de 2012