Ondas - Instituto de Física / UFRJ

IF/UFRJ – Física II – 2010/2 – Raimundo
Turmas IFA/OV1/IGM1/MAB/MAI/MAA/BCMT
5a Lista de Problemas – Ondas – 1a. Parte
1. [RHK4-19.12] Mostre que, em termos da tensão S e da densidade de massa ρ, a
velocidade v das ondas transversais em um fio é dada por
.
2. [RHK4-19.13] A equação de uma onda transversal em uma corda é y = 1,8 sen (23,8
x + 317 t), onde x é dado em metros, y em milímetros, e t em segundos. A corda está
sendo esticada com uma força de 16,3 N. Encontre a densidade linear de massa da
corda.
3. [RHK4-19.14] Uma onda contínua senoidal propaga-se em uma corda com
velocidade de 82,6 cm/s. O deslocamento das partículas da corda em x = 9,60 cm
varia com o tempo de acordo com a equação y = 5,12 sen (1,16 − 4,08 t), onde y é
dado em milímetros, e t em segundos. A densidade linear de massa da corda é 3,86
g/cm. Determine (a) a freqüência da onda e (b) o comprimento de onda. (c) Escreva
a equação geral para o deslocamento transversal das partículas da corda em função
da posição e do tempo. (d) Calcule a tração na corda.
4. [HMN-5.1] Uma corda uniforme, de 20 m de comprimento e massa 2 kg, está
esticada sob uma tensão de 10N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade
da corda, com amplitude de 3 cm e freqüência de 5 oscilações por segundo. O
deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade
de propagação v, e o comprimento de onda, λ, da onda progressiva gerada na corda.
(b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal, y, de um ponto da
corda, situado à distância x da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela
onda, e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade I da
onda progressiva gerada.
5. [HMN-5.2] A mesma corda do problema anterior está com uma extremidade
amarrada num poste. A outra, inicialmente na posição de equilíbrio, é deslocada de
10 cm para cima, com velocidade uniforme, entre t = 0 e t = 0,5 s. A seguir, é
deslocada para baixo, com a magnitude da velocidade reduzida à metade da anterior,
entre t = 0,5 s e t = 1,5 s, quando retorna à posição de equilíbrio. (a) Desenhe a
forma da corda no instante t = 1,7 s; (b) Desenhe a forma da corda no instante t =
2,6 s.
6. [RHK4-19.16] Prove que a inclinação de uma corda em qualquer ponto é
numericamente igual à razão da velocidade da partícula pela velocidade da onda
nesse ponto.
7. [RHK4-19.17] Para uma onda em uma corda esticada, encontre a razão entre a
velocidade máxima da partícula (i.e., a velocidade máxima com que uma dada
partícula da corda se move transversalmente em relação à onda) e a velocidade da
onda. Se uma onda de freqüência e amplitude dadas propagar-se em uma corda, essa
razão de velocidades dependeria do material com o qual a corda é feita, como arame
ou nylon?
8. [RHK4-19.19] Um arame com 10,3 m de comprimento e massa 97,8 g é esticado
com uma força de 248 N. Dois pulsos, separados por 29,6 ms, são gerados no arame,
um em cada extremidade; onde eles se encontrarão?
9. [RHK4-19.21] O tipo de borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe
obedece à lei de Hooke numa ampla faixa de alongamentos. Uma tira desse material
tem comprimento L e massa m. Quando uma força F é aplicada, a tira aumenta de
ΔL. (a) Qual a velocidade (em termos de m, ΔL, e constante de força k) para ondas
transversais nessa tira? (b) Usando sua resposta de (a), mostre que o tempo
necessário para um pulso transversal percorrer o comprimento da tira de borracha é
proporcional a
, se ΔL<<L, e é constante se ΔL>>L.
10. [RHK4-19.22] Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está pendurada no
teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal nesta corda é uma função
de y, a distância a partir do extremo inferior, e é dada por
. (b) Mostre que o
tempo necessário para uma onda transversal percorrer o comprimento da corda é
. (c) A massa da corda afeta os resultados de (a) e (b)?
11. [RHK4-19.23] Um fio não-uniforme de comprimento L e massa M tem densidade
linear de massa variável, dada por µ = kx, onde x é a distância a uma extremidade do
fio, e k é uma constante. (a) Mostre que M = kL2/2. (b) Mostre que o tempo t
necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à
outra extremidade é
, onde F é a tração do fio.
12. [RHK4-19.26] Uma fonte linear emite uma onda cilíndrica que se expande.
Considerando que o meio não absorva energia, determine a dependência com a
distância à fonte (a) da intensidade e (b) da amplitude da onda.
13. [RHK4-19.29] (a) Mostre que a intensidade I é o produto da densidade de energia u
(energia por unidade de volume) pela velocidade de propagação v da perturbação
ondulatória; isto é, mostre que I = uv. (b) Calcule a densidade de energia em uma
onda sonora a 4,82 km de distância de uma sirene cuja potência é de 47,5 kW;
suponha que as ondas sejam esféricas, a propagação isotrópica e sem absorção
atmosférica e a velocidade do som de 343 m/s.
14. [RHK4-19.30] Uma onda transversal senoidal é gerada em uma extremidade de uma
longa corda horizontal por uma barra que se move para cima e para baixo,
percorrendo uma distância total de 1,12 cm. O movimento é contínuo e se repete
regularmente 120 vezes por segundo. A corda tem densidade linear 117 g/m e é
tracionada por uma força de 91,4 N. Encontre (a) o valor máximo da velocidade
transversal u e (b) o valor máximo da componente transversal da tração. (c) Mostre
que os dois valores máximos calculados antes ocorrem quando a fase da onda
assume o mesmo valor. Qual é o deslocamento transversal y da corda para essa fase?
(d) Qual é a potência máxima transferida ao longo da corda? (e) Qual é o
deslocamento transversal y onde ocorre essa transferência máxima de potência? (f)
Qual é a mínima transferência de potência ao longo da corda? (g) Qual é o
deslocamento transversal y onde ocorre essa transferência mínima de potência?
15. Mostre que, no caso de duas ondas numa corda, de amplitudes A1 e A2, interferirem,
a amplitude resultante é
, onde φ é a diferença de fase
entre elas. Discuta as condições para interferência construtiva e destrutiva.
16. [HMN-5.4] Mostre, diferenciando a expressão para a velocidade de propagação de
ondas numa corda, que a variação percentual de velocidade, Δv/v, produzida por
uma variação percentual ΔT/T da tensão na corda é dada por Δv/v = ½ ΔT/T. (b)
Um afinador de pianos faz soar a nota lá da escala média de um diapasão, de
freqüência ν = 440 Hz, para compará-la com a nota lá da escala média de um piano.
Com ambas soando simultaneamente, ele ouve batimentos cuja intensidade máxima
se repete a intervalos de 0,5 s. Que ajuste percentual ele deve fazer na tensão da
corda do piano para afiná-la?
17. [HMN-5.5] Desprezando efeitos de tensão superficial, pode-se mostrar que ondas na
superfície da água, com comprimento de onda λ muito menor que a profundidade da
água, propagam-se com velocidade de fase
, onde g é a aceleração da
gravidade. Mostre que a velocidade de grupo correspondente é
.
18. [RHK4-19.49] Quais são as três freqüências mais baixas das ondas estacionárias em
um arame com 9,88 m de comprimento e massa 0,107 kg, que está sob uma tração
de 236 N?
19. [RHK4-19.51] Uma corda de 120 cm é presa em
uma extremidade. A outra extremidade é
amarrada a um anel muito leve que pode deslizar
em uma barra sem atrito, como na figura ao lado.
Quais são os três maiores comprimentos de onda
possíveis para ondas estacionárias nessa corda?
Faça um esboço das ondas estacionárias
correspondentes.
20. [RHK4-19.53] Num experimento sobre ondas estacionárias, uma corda de 92,4 cm é
amarrada a um dos ramos de um diapasão excitado eletricamente e que vibra
perpendicularmente ao comprimento da corda, à freqüência de 60,0 Hz. A massa da
corda é de 44,2 g. Que tração deve ser aplicada à corda, mediante pesos pendurados
à extremidade livre, para que ela vibre com quatro antinós?
21. [RHK4-19.54] Um arame de alumínio de comprimento L1 = 60,0 cm e seção reta
1,00 × 10 2 cm2 está ligado a um arame de
aço de mesma seção reta. O arame
composto suporta um bloco de massa m =
10,0 kg, e é arranjado como na figura ao
lado, de modo que a distância L2 da junção
até a roldana de suporte seja de 86,6 cm.
Provocam-se ondas transversais no arame composto, usando uma fonte externa de
freqüência variável. (a) Encontre a freqüência de excitação mais baixa para que
sejam observadas ondas estacionárias tais que o ponto de junção seja um nó. (b)
Qual é o número total de nós observados a esta freqüência, excluindo os que se
encontram nas duas extremidades do arame composto? A densidade do alumínio é
de 2,60 g/cm3 e a do aço, 7,80 g/cm3.
22. [HMN-5.11+5.12] Duas cordas muito
longas, bem esticadas, de densidades
lineares diferentes µ1 e µ2, estão ligadas
uma à outra. Toma-se a posição de
equilíbrio como eixo dos x e a origem O
no ponto da junção, sendo y o deslocamento transversal da corda; veja a figura. Uma
onda harmônica progressiva, yi = A1 cos (k1x−ωt), viajando na corda 1 (x < 0), incide
sobre o ponto de junção, fazendo-o oscilar com freqüência angular ω. Isto produz na
corda 2 (x > 0) uma onda progressiva de mesma freqüência, yt = A2 cos (k2x−ωt)
(onda transmitida), e dá origem, na corda 1, a uma onda que viaja em sentido
contrário, yr = B1 cos (k1x+ωt) (onda refletida). (a) Dada a tensão T da corda, calcule
as velocidades de propagação v1 e v2 nas cordas 1 e 2, bem como os respectivos
números de onda k1 e k2. (b) Mostre que, no ponto de junção, deve-se ter yi + yr = yt.
(c) Aplicando a 3a. Lei de Newton ao ponto de junção, mostre que, nesse ponto,
−
deve-se ter também
. (d) A partir de (b) e (c), calcule os
coeficientes de reflexão, r ≡ Ir/Ii, e de transmissão, t ≡ It/Ii, onde Ii, Ir e It são as
intensidades das ondas incidente, refletida e transmitida, respectivamente. (e)
Mostre que r + t = 1, e interprete fisicamente.
Respostas:
2) 91,9 g/m. 5) 2πA/λ. 4) (a) v = 10 m/s, λ = 2 m; (b)
; (c)
I = 0,44 W. 8) 7,54 m a partir do extremo do fio em que se originou o pulso. 9)
(a)
. 13) b) 474 nJ/m3. 16) (b) 0,91%. 18) 7,47; 14,9; 22,4 Hz. 19) 480,
160 e 96 cm. 20) 36,8N. 17) 439 Hz e 441 Hz. 22) a)
e
transmitido mais o refletido.
, ki = ω/vi, i = 1,2. d)
e) o fluxo de energia incidente é igual ao fluxo