MATEMATICA_CAA_8s_Vol3_2010 – completo

Caro(a) aluno(a),
Neste Caderno, você explorará a ideia de semelhança entre figuras planas quando uma delas é obtida a partir de ampliação ou de redução da outra. Para isso, você
terá contato com dois processos: o primeiro, que recebe o nome de “homotetia” –
palavra que significa “mesma forma” –, e o segundo, que trata da representação de
figuras na malha quadriculada.
O Caderno mostra como a semelhança de figuras planas é aplicada no cotidiano:
uma prefeitura que pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre
duas ruas é um exemplo aplicado de semelhança de figuras. Sabendo que os dois
parques terão formatos semelhantes, você poderá calcular as medidas dos terrenos,
aplicando o que aprenderá nas atividades aqui propostas.
Agora imagine algumas ruas espalhadas pelas cidades: há aquelas que cortam
trechos planos e outras com percursos íngremes, que sobem e/ou descem. Pense em
uma rua que você conheça e que seja bastante íngreme. Quantos graus você acha
que tem a elevação dessa rua? E qual seria a rua mais íngreme do mundo? Você terá
a oportunidade de avaliar o grau de elevação de uma rua e de conhecer um pouco
mais a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, utilizando as
razões trigonométricas.
Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu professor
e, com isso, possa aprender cada vez mais!
Equipe Técnica de Matemática
Área de Matemática
Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
?
!
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
SEMELHANÇA ENTRE FIGURAS PLANAS
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 1 – Ampliação e redução: o que se altera e o que não se altera?
Problema 1
A Figura 2 foi obtida pela ampliação da Figura 1:
C’
C
A
B
B’
A’
Figura 1
Figura 2
Assinale X ao lado do conjunto de medidas iguais nas duas figuras:
(
) Segmento AB e segmento A’B’.
(
) Segmento BC e segmento B’C’.
(
) Perímetro da Figura 1 e perímetro da Figura 2.
(
) Área da Figura 1 e área da Figura 2.
(
) Medida do ângulo CAB e medida do ângulo C’A’B’.
3
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 2
Observe a estrela de seis pontas desenhada na malha quadriculada. Desenhe, ao lado, duas
ou­tras estrelas de seis pontas, de modo que uma delas seja uma redução e a outra seja uma
ampliação da estrela inicial, ambas de um fator 2.
A
F
B
E
C
D
Problema 3
Observe nos desenhos que o retângulo (III) tem o triplo da largura de (I), o retângulo (II) tem
o dobro da largura de (I) e os três têm a mesma medida de altura.
(I)
(III)
(II)
a) É correto afirmar que os ângulos nos três retângulos são correspondentemente congruentes?
Por quê?
b) Podemos dizer que uma dessas figuras é redução ou ampliação da outra? Por quê?
4
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 4
Observe o pentágono FATOS. Por meio de um processo de ampliação, desenhou-se
outro pentágono: F’A’T’O’S’. Para construir o segundo pentágono, desenhamos linhas retas partindo de um ponto fixo que chamamos de H. Essas linhas, como mostra o desenho,
passam pelos vértices do pentágono FATOS. Para desenhar o pentágono maior, foi preciso
HT’ 
HF’ 
 ​ e assim por diante
 ​ 
, ​ ____
 ​ 
, ​ ____
respeitar a regra de que as razões entre os segmentos ____
​ HA’ 
HA HF HT
devem ser iguais.
A’
A
F
H
T
F’
O
S
S’
T’
O’
Esse processo recebe o nome de “homotetia”, palavra que significa “mesma forma”. Veja outros
dois desenhos produzidos por homotetia, com o ponto H colocado em outros lugares em relação às duas figuras.
E’
B
L’
A’
H
A’
L
H
A
L
A
U’
B’
U
L’
E
Podemos usar homotetia para, por exemplo, ampliar uma figura por um fator 2, isto é, dese­
nhar uma figura com medidas de lados iguais ao dobro das medidas dos lados da figura original.
Fazemos assim: desenhamos a figura inicial, começamos o processo de homotetia e deixamos para você terminar. Sobre a figura iniciada, desenhe uma figura que seja ampliação de
fator 2 do losango ABCD.
A
D
O
B
C
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Atividade 2 – Razão de semelhança
Problema 1
Observe a figura que representa a ampliação do polígono ABCDE, realizada com base nas
linhas convergentes a um ponto F. Suponha que F esteja 6 cm distante de B e 9 cm de B’.
B’
A
D’
D
E
C’
C
F
A’
B
E’
ÄÄÄÄ
ÄÄÄ
a) Se ​AB​ = 2 cm, quanto mede A’B’​
​  
?
b) Os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são semelhantes e a razão de semelhança é um valor k,
tal que FB’ = k . FB. Qual é a razão de semelhança nesse caso?
Problema 2
Considere que o triângulo ABC, na figura original do problema anterior, seja equilátero e que​
ÄÄÄ
AB​ = 2 cm. Nesse caso:
B
A
C
D
E
a) calcule a área de ABC;
6
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
b) calcule a área de A’B’C’;
c) quantas vezes a área de A’B’C’ é maior do que a área de ABC?
Problema 3
Desenhe, na figura, um polígono A’’B’’C’’D’’E’’ que seja semelhante a ABCDE, com razão de
semelhança 2,0.
B
A
C
F
E
D
Atividade 3 – Ampliações e reduções: perímetros e áreas
Problema 1
L
O triângulo GIL é uma ampliação do triângulo SAM.
M
8 cm
6 cm
4 cm
65º
27º
A
I
S
G
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Sendo assim, escreva a medida de:
a) LI b) SÂM c) SM̂A d) LĜI e) GL̂I Problema 2
Reduzindo proporcionalmente o trapézio isósceles TUBA de um fator 2,5, obtemos o quadrilátero NECO. Suponha que cada quadrícula da malha tenha lados de 1 cm e faça o que se pede.
T
U
A
B
a) Desenhe o quadrilátero NECO sobre o quadrilátero TUBA.
b) Qual tipo de quadrilátero é NECO?
c) Qual é a altura de TUBA? E a altura de NECO?
d) Quais são as medidas das bases de NECO?
8
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
e) Em relação ao perímetro de NECO, quantas vezes é maior o perímetro de TUBA?
f ) Em relação à área de NECO, quantas vezes é maior a área de TUBA?
Atividade 4 – Semelhança entre prismas representados na malha quadriculada
Problema 1
Quais dos seguintes prismas retos de base triangular, representados na malha quadriculada, são
semelhantes? Em cada caso, qual é o fator de ampliação?
(1)
(2)
(3)
(5)
(4)
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 2
Desenhe na malha quadriculada:
a) um prisma de base hexagonal, ampliando-o de um fator 1,5;
b) um prisma de base hexagonal, reduzindo-o de um fator 2.
Problema 3
Observe o prisma oblíquo representado na malha quadriculada. Desenhe um prisma seme1.
lhante a ele, com razão de semelhança __
3
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 4
Represente dois cubos de volumes diferentes na malha quadriculada e responda: os cubos desenhados são ou não semelhantes? Por quê?
Resposta:
Problema 5
Considere dois paralelepípedos retos semelhantes, na razão 1 : 4. Complete a tabela com as
medidas da aresta, da área da base, da área total e do volume do maior sólido, em função de
x, y, z e w.
Medida
Aresta
Área da base
Área total
Volume
Menor sólido
x
y
z
w
Maior sólido
LIÇÃO DE CASA
Atividade 5 – Semelhança entre figuras planas: contexto e aplicações
A prefeitura de uma cidade pretende construir dois parques próximos ao cruzamento entre as
ruas Alfa e Beta. Observando a planta do lugar, pode-se perceber que os dois parques terão formato de
trapézios semelhantes (ABCD e EFGH). Os ângulos internos de um serão, correspondentemente,
de mesma medida que os ângulos internos do outro. Além disso, há uma proporcionalidade entre as
medidas correspondentes dos lados das figuras. Acontece, entretanto, que apenas a medida da base
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
maior de cada trapézio foi definida, sendo 180 m em um deles e 60 m no outro. As demais medidas
dependerão de desapropriações a serem realizadas no local.
C
D
180 m
Parque 1
E
Parque 2
A
a
Rua Alf
F
60 m
H
B
G
Ru
a
Bet
a
Problema 1
As medidas de CB e de FG são fixas e valem, respectivamente, 180 m e 60 m, enquanto as demais medidas podem variar, mantendo-se, todavia, a semelhança entre as duas figuras. Com
base nisso, resolva:
a) Se a medida de EH for igual a 25 m, qual será a medida de DA ?
b) Se DA = 18 m, quanto medirá EH ?
c) Se EH = k, quanto medirá DA em função de k?
12
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 2
No final das negociações e desapropriações, chegou-se à conclusão de que as medidas de EF e
HG serão, respectivamente, 15 m e 18 m. Qual será a medida de:
a) CD ?
b) AB ?
Problema 3
O construtor dos parques sabe que precisará de 309 m de cerca para fechar todo o parque maior.
Nessas condições, adotando os resultados calculados no problema anterior, quanto mede DA ?
Problema 4
Complete a tabela abaixo com as medidas dos lados de cada trapézio:
Trapézio ABCD
BC DA AB CD Trapézio EFGH
FG EH EF GH 13
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
TRIÂNGULOS: UM CASO ESPECIAL DE SEMELHANÇA
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 1 – Triângulos semelhantes: reconhecimento
Problema 1
Utilize a malha quadriculada para desenhar dois pares de triângulos semelhantes. Um dos triângulos
de um dos pares possui dois ângulos internos medindo 45º cada um. Um triângulo do outro par tem
um lado que mede 4 unidades da malha, e o outro tem um lado que mede 6 unidades da malha.
Problema 2
Quando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, forma-se uma série de pares de
ângulos congruentes. No desenho seguinte, em que duas retas paralelas r e s são cortadas por
uma transversal t, identifique as medidas dos ângulos assinalados.
t
ê
fˆ
ĝ
r
d̂
58º
ĉ
15
â
s
b̂
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 3
No problema anterior, você reconheceu vários pares de ângulos congruentes. Escreva-os
novamente, apresentando, em cada caso, a justificativa para a congruência.
Problema 4
As retas a e b são paralelas. Quais são as medidas dos ângulos internos dos triângulos BCA
e DEA?
A
E
C
32º
83º
B
D
a
b
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Atividade 2 – Triângulos semelhantes: contexto e aplicações
Problema 1
O triângulo GIL é uma ampliação proporcional do triângulo MEU.
M
2 cm
E
100o
U
5,2 cm
G
58o
I
10 cm
Observe as medidas assinaladas nos desenhos anteriores e responda:
a) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo MEU?
b) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo GIL?
17
L
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
c) Qual é a medida do lado IG do triângulo GIL?
Problema 2
Observe a representação das ruas Alfa e Beta e dos parques 1 e 2. Os terrenos dos parques têm
formato de trapézio e, além disso, as bases de um parque são paralelas às do outro. São conhecidas as seguintes medidas:
Parque 1
BC 180
AD 30
AB 45
CD 54
Parque 2
FG 60
EH 10
EF 15
GH 18
C
D
180 m
Parque 1
B
S
A
F Rua Alfa
E
T
Parque 2
60 m
H
G
Ru
a
Be
ta
Os triângulos SAD e SBC são semelhantes, isto é, têm ângulos internos correspondentes
de mesma medida e lados correspondentes cujas medidas obedecem a uma proporcionalidade.
Observe-os desenhados separadamente da figura inicial. O lado AD do triângulo SAD é correspondente do lado BC do triângulo SBC.
18
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
S
D
30 m
A
54 m
C
45 m
B
180 m
a) Quais são os outros lados correspondentes nos dois triângulos?
b) Que proporção podemos estabelecer entre as medidas dos lados dos triângulos SAD e SBC?
c) Calcule as medidas dos lados de cada triângulo e escreva-as na tabela abaixo.
Triângulo SAD (m)
SA AD SD Triângulo SBC (m)
SB BC SC 19
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
d) Separe os triângulos TEH e TFG da figura inicial, desenhando-os novamente. Em seguida, calcule a medida dos lados de cada triângulo, registrando na tabela abaixo os valores
corres­pondentes.
Triângulo TEH (m)
TE TH EH Triângulo TFG (m)
TF TG FG LIÇÃO DE CASA
Problema 3
Usando seu transferidor, um aluno desenhou um ângulo. Em seguida, com régua e esquadro,
traçou três segmentos de reta paralelos, obtendo três triângulos (OBE, OCF e ODG).
G
F
E
B
O
20
C
D
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
ÄÄÄ
ÄÄÄ
ÄÄÄ
Medindo os lados do triângulo OBE, ele encontrou: OB​
​  = 12 cm; BE​
​  = 8 cm; OE​ = 10 cm.
​  
ÄÄÄ
ÄÄÄ
​  = 5 cm. Então,
Em seguida, mediu segmentos da linha horizontal e obteve: BC​
​  = 3 cm e CD​
percebeu que poderia determinar as medidas de todos os demais lados dos triângulos sem
necessidade de fazer qualquer medição, apenas efetuando alguns cálculos. Calcule as demais
medidas dos segmentos do desenho e escreva-as na tabela seguinte.
Segmento
OB
OC
OD
BE
CF
DG
OE
OF
OG
Medida
(cm)
Problema 4
O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um triângulo escaleno, isto é, um triângulo
em que não há dois lados de mesma medida, conforme o desenho a seguir.
A
α
18 m
C
15 m
β
B
24 m
Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base (BC), será colocada uma viga de madeira (AD), de
modo que o ângulo ADB seja congruente ao ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida
dessa viga?
A
α
α
C
D
21
B
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Atividade 3 – Semelhanças: cordas, arcos e ângulos
Problema 1
Um arco AB de uma circunferência é “enxergado” sob um ângulo α cujo vértice C pertence à
circunferência (Figura 1).
Figura 1
B
α
C
A
Deslocando o vértice do ângulo até outro ponto da circunferência, D, o arco AB passa a ser “en­
xergado” sob um ângulo de medida igual ao anterior, isto é, de medida igual a α (Figura 2).
Figura 2
B
A
a
D
Sobrepondo as Figuras 1 e 2, obtemos uma situação em que dois triângulos semelhantes se
destacam: PBC e PAD (Figuras 3 e 4).
Figura 3
Figura 4
B
α
C
P
B
α
C
β
A
α
α
D
D
22
P
β
A
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
a) Identifique os ângulos correspondentes nos dois triângulos e escreva uma proporção entre
as medidas de seus lados.
b) Com base na proporção entre as medidas dos lados, verifique a validade da relação
(PC).(PA) = (PB).(PD)
Problema 2
Observe a figura em que duas cordas AC e BD se cruzam no ponto P. De acordo com as me­
didas indicadas na figura, quanto mede o segmento PA?
B
9
P
12
C
8
D
23
A
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 3
Um ponto P é o encontro de duas cordas de uma mesma circunferência (Figura 1). Unindo os
pontos em que as cordas cruzam a circunferência podemos observar dois triângulos (Figura 2).
Figura 1
Figura 2
D
D
C
C
P
P
A
A
B
B
a) Assinale na Figura 2 os ângulos internos dos triângulos PAD e PCB, atribuindo letras iguais
a ângulos congruentes.
b) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos PAD e PCB.
c) Com base na proporção escrita, verifique que é válida a relação
(PA).(PB) = (PC).(PD)
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 4
De acordo com as medidas indicadas na figura a seguir, qual é a medida x?
8
4
10
x
25
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
RELAÇÕES MÉTRICAS NOS TRIÂNGULOS RETÂNGULOS;
TEOREMA DE PITÁGORAS
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 1 – Triângulos retângulos: métrica e semelhança
Problema 1
Traçando a altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo, são obtidos dois novos triângulos retângulos, semelhantes entre si, como representado na figura:
α
α
n
α + β = 90o
a
m
h
β
β
β
α
b
a) Um dos triângulos tem lados a, n e h, enquanto o outro tem lados b, m e h. Desenhe separadamente os dois triângulos e escreva a proporção entre as medidas dos lados
correspondentes.
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
b) Verifique que o quadrado da medida da altura traçada é igual ao produto das medidas das
projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Em outras palavras, verifique que h2 = m.n.
Problema 2
Determine as medidas x, y e z em cada figura:
a)
b)
4
z
9
z
x
6
x
y
y
27
2
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 3
Observe a figura com o triângulo retângulo maior I separado em dois triângulos retângulos
menores – II e III – pela altura relativa à hipotenusa do triângulo maior. Os três triângulos são
semelhantes, pois possuem ângulos correspondentemente congruentes.
n
β
a
II
m
h h
α
III
β
β
b
c
α
a
α
I
β
α
b
a) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e II.
b) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa
pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que a2 = c.n.
c) Escreva a proporção entre as medidas dos lados dos triângulos I e III.
d) Verifique que o quadrado da medida do cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa
pela medida da projeção do cateto sobre ela. Em outras palavras, verifique que b2 = c.m.
28
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 4
Determine as medidas x e y em cada triângulo.
b)
a)
12
y
y
x
x
9
4
8
Problema 5
Considere novamente a semelhança entre os triângulos I e II, bem como entre os triângulos I
e III, discutida no problema anterior.
n
α
Com base na semelhança entre esses pares de
triângulos, foram obtidas as relações:
a
II
h
h
β
a2 = c . n
m
b2 = c . m
III
α
β
α
Adicionando essas duas expressões, termo a
termo, e, em seguida, colocando c em evidência, fazemos surgir uma expressão matemática traduzida na linguagem cotidiana da
seguinte forma:
b
c
a
I
β
β
α
b
29
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma
dos quadrados das medidas dos catetos.
Esse é o enunciado do teorema de Pitágoras. Faça a verificação e escreva a sentença matemática
do teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa (c) aos catetos (a) e (b).
LIÇÃO DE CASA
A
Problema 6
Um quadrilátero ABCD pode ser separado em dois triângulos retângulos ABD e BCD, sendo que BCD é isósceles,
conforme representado na figura. AF é a altura relativa à
hipotenusa de ABD e CE é a altura relativa à hipotenusa
de BCD. Determine a medida de cada um dos segmentos:
a) BD
c) BF
e) BC
g) CE
b) DF
d) AF
f ) BE
h) FE
30
40 m
D
30 m
E
F
C
B
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 7
Duas rodovias retilíneas cruzam-se perpendicularmente na cidade A. Em uma das rodovias, a
60 km de distância de A, encontra-se uma cidade B; na outra, a 80 km de A, encontra-se outra
cidade, C. Outra rodovia, também retilínea, liga as cidades B e C.
cial
posto poli
x
C
B
a
h
80 km
60 km
A
Pergunta-se:
a) Qual é a distância entre B e C?
b) Qual é a menor distância de A até a rodovia que liga B a C?
c) Um posto policial deve ser construído na rodovia que liga B a C, devendo situar-se a igual
distância de B e C. Qual é a distância do posto policial até A?
31
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 8
Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo de catetos 30 m e 40 m. Seu proprietário
deseja construir uma casa na região retangular representada na figura a seguir, deixando livre o
restante da área.
40 m
30 m
Pergunta-se:
a) Qual é a área total do terreno?
b) Qual é a área da região retangular da construção?
32
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 2 – Pitágoras: significado, contextos
Problema 1
O triângulo retângulo representado na figura é isósceles e está inscrito em uma circunferência de raio 4 cm. Quais são as medidas
dos lados desse triângulo?
Problema 2
© Conexão Editorial
Um balão de propaganda flutuava a 30 m de altura quando foi visto do solo, simultaneamente,
por Maria e por João. Maria estava a 50 m do balão e João estava a 40 m dele, como representado na figura. Qual era a distância entre João e Maria no momento em que viram o balão?
33
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 3
Para dar firmeza à estrutura de um por­
tão retangular ABCD, de lados 2 m
e 3 m, devem ser fixadas duas barras
rígidas – AC e BD – ao longo das dia­
gonais, conforme mostra a figura. Para
isso, dispõe-se de uma barra de 6,5 m de
comprimento, que será dividida em duas
partes iguais. A barra será suficiente para
as duas diagonais?
D
3m
C
2m
A
Problema 4
B
6m
Do centro de uma sala retangular de lados
4 m e 6 m serão feitas canalizações independentes em linha reta até os quatro cantos da sala e também até o ponto médio de
cada um dos lados da sala, usando sempre
o mesmo tipo de conduíte (cano plástico
flexível). Quantos metros deste conduíte
serão necessários?
34
4m
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 5
Nove caixas com a forma de um cubo de aresta 10 cm foram empilhadas conforme mostra a
figura ao lado, em vista frontal. O ponto A é o vértice inferior
esquerdo da caixa I. Calcule a distância de A até:
IX
a) o vértice superior esquerdo da caixa VI;
b) o vértice superior direito da caixa VIII;
c) o centro da face visível da caixa IX.
A
I
VI
VII
VIII
II
III
IV
V
LIÇÃO DE CASA
Problema 6
Uma embalagem de pizza tem a forma de um prisma hexagonal regular de 3 cm de altura,
tendo o lado do hexágono da base 18 cm.
18 cm
35
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
a) Qual é o diâmetro da maior pizza circular que cabe na embalagem?
b) Qual é a área de papelão necessária para construir a parte de baixo da caixa, em que a pizza
vem acomodada?
Problema 7
Uma caixa tem a forma de um paralelepípedo com todas as faces retangulares. Suas dimensões são 20 cm, 30 cm e 40 cm. Calcule o
comprimento:
a) da maior das diagonais das faces;
b) da diagonal da caixa.
20 cm
30 cm
40 cm
36
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 3 – Relações métricas em triângulos retângulos: composição e
decomposição
Problema 1
Na Figura 1, você já sabe que a área de CDEB é igual à soma das áreas de CAHI e de ABFG, ou
seja, que a2 = b2 + c2. Agora, você vai explorar outras relações entre as áreas componentes dessa
figura. Para tanto, observe, na Figura 2, o segmento AJ e note que ele divide a hipotenusa em
duas partes, m e n, e também divide o quadrado CDEB em dois retângulos.
G
G
H
H
A
I
b
a
b
c
B
C
m
b h
c
K n
a
a
a2
D
F
A
I
b
C
F
c2
2
E
D
Figura 1
B
a
J
E
Figura 2
a) Calcule a área do retângulo CDJK e a área do retângulo JEBK. Mostre que a soma das duas
áreas é igual a a2.
b) Calcule a área do triângulo ABC de duas maneiras, usando os catetos b e c, bem como a
hipotenusa a e a altura h. Mostre que bc = ah.
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
c) Mostre, na figura, que a área do quadrado ACIH é igual à área do retângulo CDJK.
d) Mostre que a área do retângulo JEBK é igual à área do quadrado ABFG.
Problema 2
Considere um triângulo de catetos 5 cm e 12 cm.
a) Calcule a altura relativa à hipotenusa desse triângulo retângulo.
b) A altura relativa à hipotenusa divide esse triângulo em dois triângulos retângulos menores;
calcule a área de cada um deles.
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 3
Um painel deve ser mantido na vertical com a ajuda de dois cabos de aço perfeitamente
esticados, de 3 m e 4 m, um de cada lado, como mostra a figura. Os cabos estão situados
em um plano vertical e a distância entre os pontos de fixação dos dois cabos de aço no solo é de
5 m. A que altura do solo os cabos devem ser fixados no painel?
4m
h
5m
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3m
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS AGUDOS
VOCÊ APRENDEU?
Atividade 1 – Ângulo de elevação: contexto e estimativas
Problema 1
Em quase todas as cidades do mundo, há ruas que cortam trechos planos, mas há também ruas
com percursos íngremes, subindo ou descendo. Nesses casos, de ruas com “fortes” subidas, vamos refletir sobre a medida do ângulo de elevação. Inicialmente, veja estas figuras:
θ
β
α
Em sua estimativa, quantos graus medem os ângulos α, β e θ?
Problema 2
Pegue um transferidor e meça os ângulos α, β e θ apresentados na atividade anterior. Registre
aqui suas respostas:
α =
β=
θ=
Problema 3
Pense em alguma rua que você conheça e que seja uma subida bastante íngreme. De quantos graus
você avalia que seja a elevação dessa rua? Escreva aqui sua estimativa antes de ler o texto a seguir.
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Leitura e Análise de Texto
• O Departamento Nacional de Infraestrutura e Transporte (DNIT) regulamenta
recomendações a respeito das inclinações máximas para estradas de rodagem, por intermédio de uma medida que denomina inclinação. Por exemplo, em uma estrada com
inclinação 0,15, ou 15%, sobe-se 15 m a cada 100 m de deslocamento horizontal.
Inclinação 0,15, ou 15%
15 m
100 m
• Para pequenas inclinações, o deslocamento horizontal é praticamente igual ao
deslocamento na rampa de subida, isto é, a medida do cateto é quase igual à
medida da hipotenusa. Por isso, costuma-se dizer, por exemplo, que em uma subida de 10% percorrem-se 10 m em cada metro de subida.
10 m
Inclinação 10%
• As inclinações máximas recomendadas pelo DNIT dependem do tipo de estrada, mas
variam de 5%, nas estradas de maior volume de tráfego, a 9%, nas estradas com baixo
volume de tráfego.
• Alguns trechos de estradas podem,
excepcionalmente, atingir inclinações
maiores do que as recomendadas,
chegando a valores da ordem de 10%.
• Uma maneira de avaliar o grau de
elevação da rua é efetuar medidas
de deslocamento vertical (b), do deslocamento horizontal (a), e também,
se possível, do deslocamento real
sobre a rua (c).
A inclinação da rua poderá ser obtida pelo resultado da divisão entre (b) e (a), ou
entre (b) e (c). Com o resultado dessas divisões, podemos recorrer a uma tabela de valores
e encontrar o ângulo correspondente. Para tanto, precisamos saber que cada uma dessas
divisões entre medidas de lados do triângulo retângulo recebe um nome. Por exemplo,
a divisão entre (b) e (a) é a tangente do ângulo que se quer determinar. Para uma
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© Conexão Editorial
1m
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
inclinação de 12%, resultante da comparação entre (b) e (a) na figura, o ângulo correspondente é de, aproximadamente, 7º, pois a tangente de 7º é 0,122.
Voltando às inclinações das ruas, para que se tenha uma ideia, uma rua localizada na
Nova Zelândia é considerada por muitos como a mais inclinada do mundo, com inclinação
de 35%, cerca de 19º. Assim, não é razoável supor que existam ruas com inclinações superio­
res a 20º.
VOCÊ APRENDEU?
Problema 4
Em determinada rua, um pedestre caminha 50 m e percebe que se elevou 2 m em relação ao
ponto onde iniciou a caminhada. Qual é a inclinação porcentual dessa rua? E qual é a medida
do ângulo de inclinação?
50 m
2m
Problema 5
O vendedor de uma loja de telhas afirma ao comprador que o tipo de telha escolhida exige que
o madeiramento do telhado tenha inclinação de 30%. O que significa essa afirmação? Qual é,
em grau, a inclinação desse telhado?
30 m
100 m
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 6
Para avaliar o grau de inclinação de uma rua, um estudante usou um pedaço de papel, um lápis
e um transferidor. Sua estratégia foi colocar o papel ao lado de um poste vertical fixado na rua e
medir o ângulo entre o poste e o piso da rua (β no desenho). Se o ângulo medido pelo estudante
foi de 82º, qual é o ângulo de inclinação da rua?
β
Problema 7
Em uma estrada de rodagem há um trecho retilíneo X que sobe 8 m quando o veículo que o
percorre desloca-se 100 m. Nessa mesma estrada, há outro trecho retilíneo, Y, em declive, no
qual um veículo desce 20 m ao percorrer 500 m. Qual é:
a) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho X?
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
b) em grau, a medida do ângulo de inclinação do trecho Y?
c) em metros, o deslocamento de um carro em Y enquanto ele desce 8 m?
Atividade 2 – Medindo ângulos e calculando distâncias inacessíveis
Problema 1 – Medida da altura de um objeto quando se tem acesso à base
© Conexão Editorial
Na representação seguinte, o ângulo α mede 23º e a distância d à base da árvore mede 12 m.
h
α
d
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
a) Consulte uma tabela trigonométrica para descobrir os valores de seno, cosseno e tangente
de 23º.
b) Se for necessário escolher uma única razão trigonométrica, seno, cosseno ou tangente, para
calcular a medida h da árvore, qual você escolheria? Por quê?
c) Determine a medida de h.
Problema 2 – Medida de uma altura quando não se tem acesso à base
Observe a figura que representa a tentativa de medir a altura (h) de uma árvore, sem, todavia,
conhecer a distância entre o vértice do ângulo de elevação e a base da árvore.
α
© Conexão Editorial
h
b
m
d
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Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Supondo que α = 23º, β = 34º e d = 3 m, determine a altura da árvore.
Problema 3
© Conexão Editorial
Para determinar a altura da montanha, um topógrafo mediu o ângulo de elevação da montanha
a partir de A, obtendo 45º. Em seguida, caminhou 24 m até B e mediu novamente o
ângulo de elevação, obtendo 37,5º. Com esses dados, ele conseguiu seu objetivo. Qual foi
a medida da altura da montanha que o topógrafo determinou?
A
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B
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
Problema 4
Para medir a distância x entre dois pontos inacessíveis, um topógrafo posicionou-se em A e mediu o ângulo α, conforme representado na figura. Em seguida, andou até B e mediu m. Depois,
continuou em linha reta até C, medindo n. Por fim, percorreu uma distância p até chegar a D,
medindo o ângulo β.
Q
x
P
β
α
m
A
n
B
p
C
D
Considere os dados a seguir e determine x.
m=3m
n = 4 m
p = 4 m
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α = 30º
β = 60º
Matemática - 8a série/9o ano - Volume 3
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