Evento A

1
Procedimento que, ao ser repetido sob as
mesmas condições, pode fornecer
resultados diferentes.
2
EXEMPLOS




Resultado no lançamento de um dado;
Taxa de inflação do próximo mês;
Resultados de loteria;
Jogos.
3
Conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório.
4
EXEMPLOS
 Lançamento de um dado
 Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 Lançamento de duas moedas
 Ω = {CC, CK, KC, KK} em que C = cara e K = coroa
5
São subconjuntos do Espaço Amostral (Ω).
Notação: A, B, C, D ....
  evento impossível
Ω  evento certo
6
Exemplos:
 Considere o Ω do lançamento de um dado:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Alguns Eventos:
A: sair uma face par
B: sair uma face maior que 3
 A = {2, 4, 6}
 B = {4, 5, 6}
7
Definição:
𝒏(𝑨)
𝒑 𝑨 =
𝒏(𝜴)
Em que:
p(A) = probabilidade de ocorrência do Evento A
n(A) = número de casos favoráveis
n(Ω) = número de casos possíveis
8
9
 No lançamento de 1 dado perfeito, determine:




A) probabilidade de sair um número par;
B) probabilidade de sair um número primo;
C) probabilidade de sair um número maior que 4;
D) probabilidade de sair um número menor do
que 7.
10
 No lançamento simultâneo de 2 dados
perfeitos, determine:
 A) probabilidade de sair uma soma par;
 B) probabilidade de sair uma soma igual a 7;
 C) probabilidade de sair uma soma que é um
número primo;
 D) probabilidade de sair em ambos os dados
números pares.
11
Um famoso jogo do sistema operacional
Windows é o Campo Minado, em que o jogador
precisa descobrir em que posições (delimitadas
pelos quadrados) estão colocadas 10 minas
(bombas).
12
13
Qual a melhor opção de clique para o jogador
efetuar:
 A) Qualquer um dos 8 quadrados que cercam
o número 2 já revelado.
 B) Qualquer um dos 8 quadrados que cercam
o número 1 já revelado.
 C) Qualquer um dos quadrados restantes não
incluídos nas opções anteriores.
14
 No lançamento simultâneo de 3 moedas
perfeitas e distinguíveis, qual é a
probabilidade de serem obtidas:
 A) Pelo menos 2 caras
 B) Exatamente 2 caras
15
 Consideremos todos os números naturais de 4
algarismos distintos que se podem formar
com os algarismos 1, 3, 4, 7, 8 e 9. Escolhendo
um deles ao acaso, qual é a probabilidade de
sair um número que comece por 3 e termine
por 7?
16
ഥ = 1 − 𝑝(𝐴)
𝑝 A
A
ഥ
𝑨
U
Ou seja, 100% dos casos, menos os casos que não
são favoráveis.
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No lançamento simultâneo de dois dados,
vamos determinar a probabilidade de não sair
soma 4.
n(Ω) = 36 elementos
Evento A  Soma 4: {(3,1), (1,3), (2,2)}
3
1
𝑝 𝐴 =
=
36 12
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Evento Complementar  Não sair soma 4
1
12 1
𝑝 𝐴ҧ = 1 −
=
−
12 12 12
𝟏𝟏
ഥ =
𝒑 𝑨
𝟏𝟐
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Existência de, pelo menos, dois eventos: A e B.
Sendo que a probabilidade de ocorrência de um
deles depende da ocorrência do outro.
𝒑(𝑨 ∩ 𝑩)
𝒑(𝑨/𝑩) =
𝒑(𝑩)
restrição do número
de elementos do
espaço amostral (Ω)
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Exemplo: Uma família planeja ter 3 filhos. Qual a
probabilidade de nascerem 3 filhos homens, sabendo
que o primeiro que nasceu é homem?
Evento A: nascer 3 homens
Evento B: o 1º é homem
Espaço Amostral
Ω = {HHH,HHM,HMH,HMM,MMM,MMH,MHM,MHH}
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Uma família planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade
de nascerem 3 filhos homens, sabendo que o primeiro
que nasceu é homem?
Restrição do Espaço Amostral
O primeiro que nasceu é homem
Evento B = {HHH,HHM,HMH,HMM}
Evento A = {HHH}
𝟏
𝒑 𝑨 =
𝟒
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Na ocorrência de, pelo menos, 2 eventos,
podemos ter:
Evento A depende da ocorrência do Evento B, ou
vice-versa: Probabilidade Condicional.
Evento A não depende da ocorrência do Evento
B, ou vice-versa: Eventos Independentes.
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Nesse caso, basta multiplicar as probabilidades
de cada evento:
𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝒑 𝑨 . 𝒑(𝑩)
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No lançamento de 3 moedas, qual a probabilidade
de obtermos 3 resultados iguais a CARA (C)?
(Considere Cara: C e Coroa: K)
𝒑 𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 = 𝒑 𝑨 .𝒑 𝑩 .𝒑 𝑪
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏
𝒑 𝑨∩𝑩∩𝑪 = . . =
𝟐 𝟐 𝟐 𝟖
Ou seja, apenas 1 elemento dos 8 elementos do
espaço amostral é resultado favorável.
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𝑝 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑝 𝐴 + 𝑝 𝐵 − 𝑝(𝐴 ∩ 𝐵)
A
B
29
O gamão é um jogo de tabuleiro muito antigo, para dois oponentes,
que combina a sorte, em lances de dados, com estratégia, no
movimento das peças. Pelas regras adotadas, atualmente, no Brasil,
o número total de casas que as peças de um jogador podem
avançar, numa dada jogada, é determinado pelo resultado do
lançamento de dois dados. Esse número é igual à soma dos valores
obtidos nos dois dados, se esses valores forem diferentes entre si; e
é igual ao dobro da soma, se os valores obtidos nos dois dados
forem iguais. Supondo que os dados não sejam viciados, a
probabilidade de um jogador poder fazer suas peças andarem pelo
menos oito casas em uma jogada é
a)
1
3
b)
5
12
c)
17
36
d)
1
2
e)
19
36
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Uma pesquisa sobre grupos sanguíneos ABO, na
qual foram testadas 6 000 pessoas, revelou que
2 527 têm o antígeno A, 2 234 o antígeno B e 1
846 não têm nenhum antígeno. Nessas
condições, qual é a probabilidade de que uma
dessas pessoas, escolhida aleatoriamente, tenha
os dois antígenos?
Dica: união e interseção de eventos
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Lança-se um par de dados não-viciados. Se a
soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade
de ocorrer a face 5 em um deles.
Dica: probabilidade condicional
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A probabilidade de um casal ter um filho do sexo
1
masculino é . Então, supondo que o casal venha a
4
ter três filhos, a probabilidade de serem
exatamente dois do mesmo sexo é:
a)
3
16
b)
1
16
c)
3
8
d)
1
8
e)
9
16
Dica: evento complementar
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Gustavo e sua irmã Caroline viajaram de férias para cidades
distintas. Os pais recomendam que ambos telefonem quando
chegarem ao destino. A experiência em férias anteriores
mostra que nem sempre Gustavo e Caroline cumprem esse
desejo dos pais. A probabilidade de Gustavo telefonar é 0,6 e
a probabilidade de Caroline telefonar é 0,8. A probabilidade
de pelo menos um dos filhos contactar os pais é:
a) 0,20
b) 0,48
c) 0,64
d) 0,86
e) 0,92
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Um piloto de Fórmula 1 estima que suas
chances de subir ao pódio numa dada prova são
de 60% se chover no dia da prova, e de 20% se
não chover. O Serviço de Meteorologia prevê
que a probabilidade de chover durante a prova é
de 75%. Nessas condições, calcule a
probabilidade de que o piloto venha a subir ao
pódio.
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A figura a seguir representa uma parede quadrada na qual estão
pintados discos de raio r. Se uma bola é lançada totalmente ao
acaso contra a parede, a probabilidade de ela tocar fora dos
discos está entre
a) 14% e 16%
b) 17% e 19%
c) 20% e 22%
d) 23% e 25%
e) 26% e 28%
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Um município de 628km² é atendido por duas emissoras de rádio cujas
antenas A e B alcançam um raio de 10km do município, conforme mostra a
figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a
probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município,
encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa
probabilidade é de, aproximadamente,
a) 20%
b) 25%
c) 30%
d) 35%
e) 40%
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Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a
seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola
que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a
coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma
bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do
palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele
tenha a maior probabilidade de ganhar?
A) Azul.
B) Amarela.
C) Branca.
D) Verde.
E) Vermelha.
Cor
Urna 1
Urna 2
Amarela
4
0
Azul
3
1
Branca
2
2
Verde
1
3
Vermelha
0
4
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Em que lugar do campo minado é melhor o jogador
efetuar o próximo clique?
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O mal funcionamento de uma das máquinas de uma
indústria fez com que 10% das peças produzidas em
um determinado lote apresentassem defeito.
Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote,
a probabilidade aproximada de que menos de três
delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é
reposta antes de se retirar a próxima, é de
a) 90%
b) 91%
c) 93%
d) 96%
e) 99%
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Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa.
Com as informações que dispõe, ele estima corretamente
que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que
a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que
a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em
Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana,
informando que ela está hoje em Paris. Com a informação
recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima
corretamente que a probabilidade de Beatriz também
estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
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Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor
fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é
0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são
eventos independentes, então a probabilidade de que o
vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é
igual a:
a) 0,624
b) 0,064
c) 0,216
d) 0,568
e) 0,784
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A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que
interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na
figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento
quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de
30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao
ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por
E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.
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Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B
usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo
um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento
possível. O melhor trajeto para Paula é
A) E1E3.
B) E1E4.
C) E2E4.
D) E2E5.
E) E2E6.
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Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas,
foram postados ”Contos de Halloween“. Após a leitura, os visitantes
poderiam opinar, assinalando suas relações em: ”Divertido“,
”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de uma semana, o blog registrou
que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a
seguir apresenta o resultado da enquete.
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O administrador do blog irá sortear um livro entre os
visitantes que opinaram na postagem ”Contos de
Halloween“. Sabendo que nenhum visitante votou mais de
uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao
acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto
”Contos de Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por
A) 0,09.
B) 0,12.
C) 0,14.
D) 0,15.
E) 0,18.
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A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de
carbono e de material particulado na atmosfera, causa
alteração do clima e contribui para o aumento de doenças
respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos
a pacientes internados em um hospital no período da
queima da cana.
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Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital
por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade
de que ele seja uma criança é igual a
A) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas
respiratórios que atingem a população nas regiões das queimadas.
B) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil
pode ser negligenciado.
C) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização
que objetivem a eliminação das queimadas.
D) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos
efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de pediatria
seja reforçado.
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O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres
estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos
calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa
com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir:
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem
calçado maior que 36,0 a probabilidade de ela calçar 38,0 é
A) 1/3
B) 1/5
C) 2/5
D) 5/7
E) 5/14
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Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade
de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez.
1ª opção: comprar três números para um único sorteio.
2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para
um segundo sorteio.
3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três
sorteios.
Se X, Y, Z representam as probabilidades de o apostador GANHAR
ALGUM PRÊMIO, escolhendo, respectivamente, a 1ª, a 2ª ou a 3ª
opções, é correto afirmar que:
a) X<Y<Z
b) X=Y=Z
c) X>Y=Z
d) X=Y>Z
e) X>Y>Z
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Um apostador tem três opções para participar de certa modalidade
de jogo, que consiste no sorteio aleatório de um número dentre dez.
1ª opção: comprar três números para um único sorteio.
2ª opção: comprar dois números para um sorteio e um número para
um segundo sorteio.
3ª opção: comprar um número para cada sorteio, num total de três
sorteios.
Escolhendo a 2ª opção, a probabilidade de o apostador NÃO
GANHAR em qualquer dos sorteios é igual a:
a) 90%
b) 81%
c) 72%
d) 70%
e) 65%
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José Antônio viajarão em seus carros com as respectivas famílias
para a cidade de Serra Branca. Com a intenção de seguir viagem
juntos, combinam um encontro no marco inicial da rodovia, onde
chegarão, de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da tarde.
Entretanto, como não querem ficar muito tempo esperando um pelo
outro, combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial
esperará pelo outro, no máximo, meio hora; após esse tempo,
seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o horário de
chegada de Antônio, e representando os pares (x; y) em um sistema
de eixos cartesianos, a região OPQR a seguir indicada corresponde
ao conjunto de todas as possibilidades para o par (x; y):
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Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem juntos, é
necessário que y – x ≤ 1/2 ou que x – y ≤ ½. De acordo com o gráfico
e nas condições combinadas, as chances de José e Antônio viajarem
juntos são de:
a) 0 %
b) 25 %
c) 50 %
d) 75 %
e) 100 %
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Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante três
fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma
delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma
ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto,
mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE.
Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará
um prêmio de R$200,00.
A probabilidade de o PARTICIPANTE não ganhar qualquer prêmio é
igual a:
a) 0
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/2
e) 1/6
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Em um concurso de televisão, apresentam-se ao participante três
fichas voltadas para baixo, estando representadas em cada uma
delas as letras T, V e E. As fichas encontram-se alinhadas em uma
ordem qualquer. O participante deve ordenar as fichas a seu gosto,
mantendo as letras voltadas para baixo, tentando obter a sigla TVE.
Ao desvirá-las, para cada letra que esteja na posição correta ganhará
um prêmio de R$200,00.
A probabilidade de o CONCORRENTE ganhar exatamente o valor de
R$400,00 é igual a:
a) 0
b) 1/3
c) 1/2
d) 2/3
e) 1/6
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Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por
recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial,
Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal
recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor”
da região, que deveriam ser inferiores a 31ºC. Tais temperaturas são
apresentadas no gráfico:
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Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a
probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às
recomendações médicas é
A)
1
5
B)
1
4
2
C)
5
D)
3
5
E)
3
4
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Um dado cúbico, não viciado, com faces numeradas de 1 a 6, é
lançado três vezes. Em cada lançamento, anota-se o número obtido
na face superior do dado, formando-se uma sequência (a, b, c). Qual
é a probabilidade de que b seja sucessor de a ou que c seja sucessor
de b?
A) 4/27
B) 11/54
C) 7/27
D) 10/27
E) 23/54
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O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones
celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de
determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se
uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com
exatamente dois aparelhos defeituosos?
A) 2 × (0,2%)4
B) 4 × (0,2%)²
C) 6 × (0,2%)² × (99,8%)²
D) 4 × (0,2%)
E) 6 × (0,2%) × (99,8%)
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A maioria dos sistemas informatizados é protegida por senhas,
sendo usual o sistema bloquear o acesso quando ocorrem três
tentativas de acesso, com fornecimento de senha incorreta. Pedro
esqueceu a senha do computador que usa na casa de sua avó,
chamada JOAQUINA. Porém, lembra-se que a senha é um anagrama
do nome de sua avó, começando com A. Supondo que Pedro faça as
suas tentativas, fornecendo anagramas distintos que começam com
A, a probabilidade de Pedro ter acesso ao computador com 1, 2 ou 3
tentativas, sem que o sistema bloqueie seu acesso, é igual a:
A)
1
7!
C)
1 1 1
. .
7! 6! 5!
+
1
7!
+
1
7!
B)
1
7!
D)
1 1 1
. .
7! 7! 7!
+
1
1
+
(7!−1)
(7!−2)
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