Prova 3 Cálculo I 26/06/2014 – Prof. Luis Nome:_______________________________________________RA:______________ Questão 1: Calcule a Integral x3 + x + 1 dx (1,5 pontos) a) ∫ 4 x + 2x2 + 4 x b) ∫ sen 2 x cos3 x dx (1,5 pontos) Questão 2: Calcule a Integral (1,5 pontos) ∫ 2 0 x3 + x 2 − 12 x + 1 dx x 2 + x − 12 Questão 3: Calcule a Integral (2 pontos) ∫ sen ( ln x ) dx Questão 4: Considere a região delimitada pela parábola semicúbica y 2 = x 3 , por x = 4 e por y=0 . Figura 1. gráfico da região delimitada pelas curvas e gráfico da rotação da região em torno do eixo x. a) Calcule a área da região delimitada pelas curvas. (1 ponto) b) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x. (1,5 pontos) Calcule o comprimento do arco da parábola semicúbica no intervalo da região delimitada pelas curvas. (1 ponto) Gabarito. Questão 1 u = x4 + 2 x2 + 4 x du = 4 ( x3 + x + 1) dx a) b) 2) 3. 1 x3 + x + 1 1 1 1 ∴ ( x + x + 1) dx = du → ∫ 4 dx = ∫ du = ln u + C 2 4 x + 2x + 4x 4 u 4 Assim, 3 integrando por partes duas vezes: Questão 4 a) A=∫ 4 L=∫ 4 0 4 2 64 x dx = x 5/2 = 5 5 0 3/2 b) c) 0 1 + ( y ' ) dx 2 y = x 3/ 2 ⇒ y ' = 3 1/ 2 9 2 x ∴ ( y ') = x 2 4 9 x dx 0 4 9 9 4 Fazendo u = 1 + x, du = dx ⇒ dx = du 4 4 9 Os limites de integração de u ficam 0 para x = 0 e 10 para x = 4 ⇒L=∫ 4 1+ 10 4 10 8 80 10 ⇒ L = ∫ u du = u 3/ 2 = 0 9 27 27 0