Integrais Duplas - Funções de Várias Variáveis

Lista 6 Funções de Várias Variáveis
Integrais Duplas
1
Calcule
RR
6
f(x, y) dx dy, onde:
tada por y = x, y =
7
a)
2
R1 2x
R
a)
(2x + 4y) dy dx;
b)
Re lnx
R 1
( e−ey ) dy dx;
c)
1 0
R1
0
√
x dx dy;
d)
0
√
(x2 + y2 )2 dx dy, onde R = {(x, y) ∈
e)
√
1−x
R 2
√
−1 − 1−x2
p
1 − x2 − y2 dy dx;
RR p
x2 + y2 dx dy, onde R é a região delimi-
RR
xy dx dy, onde R é a região delimitada por
+
y2
9
= 1;
RR p
(x − 1)2 + (y − 2)2 dx dy, onde R é a reR
f(x, y) dy dx;
0 x3
g)
R
R1 3x
f(x, y) dy dx.
RR
dx dy, onde R é a região limitada por
R
4(x − 3)2 + (y − 2)2 = 4. Interprete o resul-
0 2x
tado geometricamente.
RR
(8 − x − y) dx dy, onde R é a região
R
delimitada por y = x2 e y = 4.
Calcule
x dx dy, onde R é a região delimitada por
gião delimitada por (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1;
0 0
Calcule
RR
R
x2
4
f)
R
R4 y/2
f(x, y) dx dy;
a)
R1 xR2
R1
x2 + y2 − 4x = 0;
Inverta a ordem de integração das seguintes integrais duplas iteradas:
RR
sen(x)sen(y) dx dy, onde R é o qua-
R
drado {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤
1
RR
R
3
5
Usando coordenadas polares, calcule:
tada por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9;
0 x2
4
e x = 2.
R
2
1−y
R
R1 Rx
d)
2xy dy dx.
c)
1
x
R2 | x2 + y2 ≤ 4 , x ≥ 0};
0 x
b)
dx dy, onde R é a região delimi-
R
Esboçe a região de integração e calcule as integrais iteradas a seguir:
c)
R
x2
y2
R
a) f(x, y) = xexy e R é o retângulo {(x, y) ∈
R2 | 1 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 1};
1
b) f(x, y) = x+y
e R é o retângulo {(x, y) ∈
2
R | 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤ y ≤ 2}.
b)
RR
Calcule
π
2
, 0 ≤ y ≤ π2 .
8
Uma região R é mostrada em cada um dos grácos da gura abaixo. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangularesRRe escreva os limites
de integração da integral iterada
f(x, y) dA, onde
R
f é uma função arbitrária qualquer contínua em R.
Fonte da gura: J. Stewart, Cálculo, 5a. edição, vol. 2, pág. 1006. Cengage Learning, 2006.
1
10 Calcule a área da elipse x2 + 4y2 − 4x = 0.
11 Determine a área de região R delimitada pelas
curvas y = x3 , x + y = 2 e y = 0.
12 Calcule
RR
y−x
e y+x dx dy, onde R é a região tri-
R
angular limitada pela reta x + y = 2 e os eixos coordenados.
13 Prove que
lim
Z1 Z1
n→+∞
xn yn dx dy = 0 .
0 0
14 Figura 1
Calcule a integral dupla
lim
ZZ
n→+∞
9
1
dx dy ,
1 + x 2 + y2
R
Calcule o volume dos sólidos delimitados pelas
surperfícies dadas:
a) x2 + y2 = 1, z = 0 e z = x2 + y2 .
b) z − 0, x2 + y2 = 16 e z = 10 + x.
onde R = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 =
1
},
a2
lim I(a) = 0 .
a→∞
2
e mostre que
1
2
Respostas dos Exercícios
7
a) e3 − e − 2.
b) 10ln(2) − 6ln(3).
a) 8/3.
a)
32π
3 .
b)
2π
3 .
c)
52π
3 .
b) 1.
d) 8π.
c) 1/3.
e) 0.
d) 1/6.
f)
3
a)
R2 R4
f(x, y) dx dy.
8
9
0 2x
√
3
R1 Ry
b)
f(x, y) dx dy.
0
c)
√
y
+
g) 2π.
a)
π
2.
b) 160π.
R2 y/2
R
f(x, y) dx dy
0 y/3
R3 R1
2π
3 .
10 2π.
11 3/4.
12 e − e
13
14
f(x, y) dx dy.
2 y/3
4 896/15.
5 1.
6 9/4.
3
−1 .