RACIOCÍNIO LÓGICO - Passe já Concursos

CURSOS ON-LINE – RACIOCÍNIO LÓGICO – PROF. SÉRGIO CARVALHO
AULA 0: ORIENTAÇÕES INICIAIS
Olá, amigos!
Venho hoje apresentar-lhes o novo Curso on-line de RACIOCÍNIO LÓGICO!
Antes de tratarmos acerca do conteúdo, uma breve palavra sobre a matéria. Do que se
trata? Trata-se de uma disciplina bastante nova no cenário dos concursos públicos. Tal como a
Informática, o Raciocínio Lógico começou ainda muito timidamente a freqüentar os editais lá
pelos idos de 1996, só que de forma ainda bastante esporádica.
Todavia, de algum tempo para cá, vêm-se multiplicando as provas que passaram a exigir
o Raciocínio Lógico em seus programas. São exemplos: Auditor-Fiscal e Técnico da Receita
Federal (até 1998), Fiscal do Trabalho, Analista e Técnico de Finanças e Controle, Tribunal de
Contas da União (TCU) e Tribunais de Contas Estaduais, Especialista de Políticas Públicas e
Gestão Governamental (MPOG), Analista de Planejamento e Orçamento (MPOG), Assistente de
Chancelaria (MRE), Auditor de Tributos Estaduais e Municipais, Analista do Serpro, Analista e
Técnico do MPU, entre outros.
A grande novidade é que até concursos dos Tribunais Regionais (TRF, TRE e TRT)
passaram, mais recentemente, a exigir também o Raciocínio Lógico. E o que parecia ainda mais
improvável: até para cargos jurídicos, como é o caso do Delegado da Polícia Federal, está-se
exigindo a disciplina. Aliás, no caso específico da Polícia Federal, todos os cargos – Delegado,
Perito, Escrivão, Agente e Papiloscopista – fazem esta prova!
Enfim, a quem pode interessar este curso on-line? A toda e qualquer pessoa que pretende
prestar concurso público.
Outra coisa que sempre me perguntam: qualquer pessoa pode aprender Raciocínio
Lógico? Sem hipocrisia, a resposta é sim. Se não cresse nisso, sequer me atreveria a iniciar este
curso. Obviamente que, a princípio, alguns têm mais facilidade em resolver as questões que
outros, mas o importante é que, ao passar a conhecer as técnicas de resolução, todos serão
capazes de chegar ao resultado! O curso é, portanto, escrito para os alunos que nunca viram a
matéria, para que estes possam – logo, logo – chegar ao nível daqueles que sabem tudo!
Para isso, abusaremos da resolução de questões de provas passadas. Não se aprende o
Raciocínio Lógico sem se resolver o máximo de exercícios!
Estou muito confiante que este curso on-line será um marco na preparação de quem o
fizer. E muito contente, pois terei ao meu lado um professor que ainda não é conhecido do
grande público concurseiro, senão no Recife, que é o meu grande amigo Weber Campos. Tratase, a meu ver, de um dos maiores conhecedores do Raciocínio Lógico para concursos do Brasil.
Será meu parceiro nesta empreitada, e sua participação somente enriquecerá nossas aulas. O
Prof. Weber tem graduação e mestrado em Engenharia de Telecomunicações pelo IME – Instituto
Militar de Engenharia, e é uma das pessoas mais inteligentes e brilhantes que conheço.
Passemos a falar do curso em si.
Dividiremos as aulas por módulos, que correspondem aos diferentes assuntos a serem
estudados. O conteúdo destas aulas abrangerá o mais completo dos programas da disciplina,
elaborado pela Esaf. Após a apresentação de cada módulo, seguem duas questões de prova que
se referem ao respectivo assunto, somente para dar uma noção do que tratará aquele estudo.
A programação que seguiremos é a seguinte:
Módulo I – Conceitos Iniciais do Raciocínio Lógico
Esse módulo tratará dos primeiros conceitos, imprescindíveis ao entendimento da
matéria. Falaremos sobre proposições, valores lógicos, conectivos, tabelas-verdade, tautologia,
contradição, equivalência entre proposições, validade dos argumentos, entre vários outros.
Trabalharemos este módulo em duas aulas.
Questões Modelo:
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01.(Papiloscopista 2004 CESPE) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações,
ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas
novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F
quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P ∨ Q,
que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q,
denotada por P ∧ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e
a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de
valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a
essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
1. As tabelas de valorações das proposições P∨Q e Q Æ ¬P são iguais.
2. As proposições (P∨Q)ÆS e (PÆS) ∨ (QÆS) possuem tabelas de valorações iguais.
02.(AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente
equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Módulo II – Estruturas Lógicas e Lógica de Argumentação
Um dos assuntos prediletos da Esaf e de outras mesas elaboradoras! Questão
costumeiramente certa nas provas de raciocínio lógico. Aqui conheceremos a fundo os tipos de
estrutura lógica e como são trabalhadas nos enunciados. Usaremos três aulas neste módulo.
Questões Modelo:
01. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos
finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar
tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no
final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão
de Maria, então Breno não é neto de Beto. Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de
Beto. Ora, Jorge é irmão de Maria. Logo:
a) Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto.
b) Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia.
c) Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro.
d) Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto.
e) Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.
Módulo III – Questões de Associação
Também um estilo de questão quase sempre presente nas provas. Às vezes, enunciados
imensos deixam os alunos sem estímulo para resolvê-los. Aprenderemos as técnicas necessárias
para ganhar tempo nestas resoluções! Usaremos duas aulas.
Questões Modelo:
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01. (TCE-RN 2000 ESAF) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas,
sentaram-se, lado a lado, à beira do cais, para apreciar o pôr-do-sol. Um deles é
flamenguista, outro é palmeirense, e outro vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto,
outro é biólogo, e outro é cozinheiro. Nenhum deles sentou-se ao lado da esposa, e nenhuma
pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não
necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra e Tânia. O arquiteto sentou-se em um dos
dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do
flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas, e a esposa do cozinheiro está
sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As
esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Regina e Sandra
Tânia e Sandra
Sandra e Tânia
Regina e Tânia
Tânia e Regina
02. (Fiscal do Trabalho 2003 - ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há
apenas um tabuleiro, eles combinam que:
a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;
b) marido e esposa não jogam entre si.
Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de
Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga
contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o
marido de Helena são, respectivamente:
a) Celina e Alberto
b) Ana e Carlos
c) Júlia e Gustavo
d) Ana e Alberto
e) Celina e Gustavo
Módulo IV – Verdades e Mentiras
Questão igualmente obrigatória nas provas. Talvez seja este o assunto em que mais se
evidencia a necessidade da técnica de resolução. Uma pessoa que não conhece a técnica será até
capaz de acertar a questão, mas certamente suará muito mais para isso! Trabalharemos esse
tema em duas aulas.
Questões Modelo:
01. (AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de
haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei
que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:
Bebelim: Cebelim é inocente .
Cebelim: Dedelim é inocente .
Dedelim: Ebelim é culpado .
Ebelim: Abelim é culpado .
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados,
disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a
verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram . O velho rei, que
embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:
a) Abelim
b) Bebelim
c) Cebelim
d) Dedelim
e) Ebelim
02. (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre
dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em
Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa,
Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para determinar quantos entre
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os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde mas Dr.
Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes
declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”.
Gama: “Beta está mentindo”.
Delta: “Gama está mentindo”.
Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir
corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a) 1.
b) 2.
d) 4.
c) 3.
e) 5.
Módulo V – Diagramas Lógicos
Um assunto bem tranqüilo. Um oásis, depois de verdades e mentiras! Estudo para apenas
uma aula.
Questões Modelo:
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também,
que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
02. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e
piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum
professor de dança é professor de teatro. Todos os professores de violão são, também,
professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro.
Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano,
violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:
a) nenhum professor de violão é professor de canto
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro
c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro
d) todos os professores de piano são professores de canto
e) todos os professores de piano são professores de violão
Módulo VI – Análise Combinatória
Estudaremos detalhadamente teorias do Arranjo, Combinação e Permutação, com todas
as suas variações, explorando, sobretudo, os tópicos mais comumente cobrados nas provas.
Duas aulas.
Questões Modelo:
01.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares
contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem
sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b)
todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são,
respectivamente,
a) 1112 e 1152.
b) 1152 e 1100.
c) 1152 e 1152.
d) 384 e 1112.
e) 112 e 384.
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02.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os
cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se
nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
d) 48
b) 4
e) 120
c) 24
Módulo VII – Probabilidade
Um assunto que às vezes assusta muita gente! Felizmente, o grau de complexidade das
questões de concurso sobre probabilidade não é assim tão profundo! Resolvendo o máximo de
exercícios extraídos de provas recentes, certamente nos familiarizaremos com alguns segredos
muito importantes! Duas aulas nesse estudo.
Questões Modelo:
01.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um
vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as
decisões de compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o
vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a
a) 0,624.
b) 0,064.
c) 0,216.
d) 0,568.
e) 0,784.
02.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a
probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir
para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos,
óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não
pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a
a) 0,25.
b) 0,35.
c) 0,45.
d) 0,15.
e) 0,65.
Módulo VIII – Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Assuntos vistos por todos nós, no ensino médio (antigo 2º grau). Certamente que muitos
já estão esquecidos daqueles dias... (e outros tantos talvez fizeram questão de esquecê-los!),
mas na verdade não são questões difíceis! Teremos, obviamente, que relembrar vários conceitos.
E o faremos em duas aulas.
Questões Modelo:
01.(AFTN/98 ESAF) - Sejam as matrizes
⎡3 / 5
⎡1 0 ⎤
,B= ⎢
⎥
⎣0 1 ⎦
⎣4 / 7
A =⎢
− 7 / 8⎤
,C=
25 / 4 ⎥⎦
0 ⎤
⎡ 0
⎢3 / 7 − 29 / 4⎥
⎣
⎦
e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é
dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é:
a) - 7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
02. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se
localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes
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A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos
x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Módulo IX – Trigonometria
Para quem se lembra, o estudo deste assunto no colégio é feito em um semestre,
aproximadamente. Ou até um pouco mais! Gastaremos apenas uma aula, para recordar as
relações trigonométricas mais importantes. Felizmente (ou não!) este não é um dos assuntos
mais cobrados em prova!
Questões Modelo:
01. (Fiscal do Trabalho 98 ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica:
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0
representa uma identidade é:
a) 2
b) 0
c) -1
d) -2
e) 1
02. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3 sen t e y = 4 cos t, então, uma
relação entre x e y, independente de t é dada por:
a) 16 y2 - 9 x2 = 144
b) 16 x2 - 9 y2 = 144
c) 16 y2 + 9 x2 = 144
d) 16 x2 + 9 y2 = 144
e) 9 y2 - 16 x2 = 144
Módulo X – Geometria
Este tópico está presente em alguns editais, aonde vem escrito Geometria Básica.
Veremos noções de geometria plana e espacial de acordo com o que tem sido exigido nos
concursos.
Também veremos que alguns enunciados podem ser rapidamente resolvidos pelo uso da
geometria. Usaremos uma aula em seu estudo.
Questões Modelo:
01.(Oficial de Chancelaria - MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer ABC mede
76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices B e C
deste triângulo vale:
a) 50°
b) 52°
c) 56°
d) 64°
e) 128°
02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontram-se perdidos,
uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um ponto, gritando o mais
alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível
ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente daquele) em que
é possível ouvir simultaneamente Bruno e João Guilherme, e há ainda um outro único ponto
(diferente dos outros dois) em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e
Fernando. Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra
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Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde
está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer
ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra.
Portanto, a distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno
e João Guilherme é:
a) 650
b) 600
c) 500
d) 700
e) 720
Módulo XI – Porcentagem
Um assunto elementar e essencial para o Raciocínio Lógico. Muitas questões já foram
cobradas em concurso. Outras tantas ainda o serão! Esse tema merece, portanto, a nossa
atenção. Uma aula.
Questões Modelo:
01.(Fiscal do Trabalho 2003) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos.
Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo
modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10% agem como cães. Observouse que 20% de todos os animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e
que os 80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária estão
hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
b) 10
c) 20
d) 40
e) 70
02.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha, entre
seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social.
Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia
necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por
associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a
pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não
contatados, deve ser igual a
a) R$ 25,00.
d) R$ 50,00.
b) R$ 30,00.
e) R$ 60,00.
c) R$ 40,00.
Módulo XII – Questões envolvendo Movimento
Algumas questões de raciocínio lógico nos fazem relembrar um pouco da física que
estudamos no ensino médio, nas quais trabalharemos conceitos como velocidade e espaço.
Veremos que algumas dessas questões poderão ser resolvidas até mesmo sem o uso de
nenhuma fórmula da cinemática. Em duas aulas concluiremos este módulo.
Questões Modelo:
01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas no mesmo
instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam pelo mesmo
percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam quando se cruzaram. Dez
minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de Paulo. Já Paulo chegou à casa
de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após Pedro ter chegado à casa de Paulo).
Sabendo que cada um deles caminhou a uma velocidade constante, o tempo total de
caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, foi de
a) 60 minutos
b) 50 minutos
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c) 80 minutos
d) 90 minutos
e) 120 minutos
02. (AFC/CGU - 2003/2004 ESAF) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina
e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da
piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em 45
segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em 30 segundos. Durante 12 minutos,
eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses
12 minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer
quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando
ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de
vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:
a) 10
d) 18
b) 12
e) 20
c) 15
Módulo XIII – Questões Variadas
Haverá questões de prova que não trazem um assunto específico. Simplesmente não
poderiam ser enquadradas em nenhum dos tópicos anteriores. São problemas que se resolvem,
muitas vezes, com um mero e rápido raciocínio. E olha que não são tão poucas as questões
deste tipo. Dedicaremos a elas duas aulas.
Questões Modelo:
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi totalmente
dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a
metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter recebido sua parte, Beatriz
recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante da
herança, igual a uma barra e meia. Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeu
foi:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
02. (MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez que uma
jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando sua vez de jogar. Ao
final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e Bia venceu 21 partidas.
Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o número de vezes em que Ana e Bia se
enfrentaram foi:
a) 14
d) 17
b) 15
e) 18
c) 16
Módulo Final – Simulados
Usaremos as duas últimas aulas do curso para fazermos dois grandes simulados, os quais
contemplarão, na medida do possível, o maior número de assuntos estudados, com destaque
para os mais freqüentes. Será o arremate dos trabalhos.
É isso mesmo, meus amigos: previsão inicial de vinte e cinco aulas.
Praticamente seis meses de curso! Tempo suficiente para ficarmos craques nesta
disciplina, que poderá vir a ser um grande diferencial em concursos que virão em breve.
O valor do investimento é de R$200,00 (duzentos reais), podendo ser dividido em três
parcelas fixas de R$66,67 (sessenta e seis reais e sessenta e sete centavos).
Quem já fez algum curso on-line comigo sabe da seriedade com a qual eu assumo estes
compromissos. E sabe da minha dedicação e empenho em fazer sempre o melhor que posso.
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Com a Matemática Financeira foi assim. Com a Estatística também. Com o Raciocínio Lógico não
será diferente.
A data prevista para início do curso é 29 de junho, e assim seguirão as nossas aulas,
sempre às quartas-feiras, até a provável data de encerramento, que é 15 de dezembro.
Que Deus abençoe este novo projeto, e a cada um de vocês.
Forte abraço a todos! E até breve!
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CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO
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AULA 1: CONCEITOS INICIAIS
Olá, amigos! É uma alegria recebê-los para darmos início a mais este projeto. Dentro de
algumas semanas, se Deus quiser, e contando com o esforço e a vontade de cada um, estaremos
muito mais preparados para enfrentar o desafio de resolver uma prova de Raciocínio Lógico de
concurso.
Gostaria, antes de dar início, de ratificar a presença, na feitura destas aulas, do Prof. Weber
Campos. É um curso escrito a quatro mãos, e estou certo que todos só têm a ganhar com isso. O
prof. Weber é profundo conhecedor da matéria, e isso se fará ver ao longo das semanas que virão.
Iniciemos, pois, tratando dos fundamentos da lógica.
Fundamentos da Lógica:
# Primeiros Conceitos:
O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o de
Proposição.
Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavras
ou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.
Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição, cujo
valor lógico é verdadeiro.
Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dos
dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).
E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa?
Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico.
Concluímos, pois, que...
Æ sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”
Æ sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”
Æ sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”.
... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas –
que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.
Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). São
outros exemplos de proposições, as seguintes:
p: Pedro é médico.
q: 5 < 8
r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.
Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico
(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p
é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.
Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não!
Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns
princípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os
seguintes:
Æ Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade);
Æ Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da NãoContradição);
Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do
Terceiro Excluído).
Æ
Proposições podem ser ditas simples ou compostas.
Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras
proposições. Nada mais fácil de ser entendido.
Exemplos:
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Æ Todo homem é mortal.
2
Æ O novo papa é alemão.
Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só
sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:
Æ João é médico e Pedro é dentista.
Æ Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.
Æ Ou Luís é baiano, ou é paulista.
Æ Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.
Æ Comprarei uma mansão se e somente se eu ganhar na loteria.
Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos
lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada um deles
a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas.
Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, isso
dependerá de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; e 2º) do tipo de
conectivo que as une.
# Conectivo “e”: (conjunção)
Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas conjunções.
Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença:
Æ “Marcos é médico e Maria é estudante”
... poderemos representá-la apenas por: p ∧ q
onde: p = Marcos é médico e
q = Maria é estudante.
Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma
conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras.
Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir
que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é
médico e que Maria é estudante.
Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes
seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também
ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.
Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma
pequena tabela. Trata-se da tabela-verdade, de fácil construção e de fácil entendimento.
Retomemos as nossas premissas:
p = Marcos é médico e
q = Maria é estudante.
Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e
Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos:
Marcos é médico
p
V
Maria é estudante
q
V
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
V
Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos:
Marcos é médico
p
V
Maria é estudante
q
F
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
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Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico,
teremos:
Marcos é médico
p
F
Maria é estudante
q
V
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:
Marcos é médico
p
F
Maria é estudante
q
F
Marcos é médico e Maria é estudante
p∧q
F
Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora
disso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a
tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em
nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a
compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.
Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples
como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola e te darei uma bicicleta”. Ora,
pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai
não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido
falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras!
Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q),
saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a
seguinte estrutura:
p
q
Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos
de dois “efes”. Assim:
p
V
V
F
F
q
Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas,
para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando com um V.
Assim:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
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Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A
terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do
conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabelaverdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
conjunção " p e q " corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q. Teremos:
p∩q
p
q
Passemos ao segundo conectivo.
# Conectivo “ou”: (disjunção)
Recebe o nome de disjunção toda proposição composta em que as partes estejam unidas
pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a
sentença:
Æ “Marcos é médico ou Maria é estudante”
... então a representaremos por: p ∨ q.
Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta
nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola ou te darei
uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos
presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu!
Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do
menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso,
todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem
a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção.
Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem
forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis
situações:
Te darei uma bola
p
V
Te darei uma bicicleta
q
V
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Te darei uma bicicleta
q
F
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Te darei uma bicicleta
q
V
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
V
Ou:
Te darei uma bola
p
V
Ou:
Te darei uma bola
p
F
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5
Ou, finalmente:
Te darei uma bola
p
F
Te darei uma bicicleta
q
F
Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta
p∨q
F
Juntando tudo, teremos:
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas!
Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do
q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p e q). Muda apenas a terceira
coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a
disjunção "p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,
p∪q
p
q
# Conectivo “ou ... ou...”: (disjunção exclusiva)
Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos
que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:
“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
“ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”
A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente
que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te
darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma
bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te
darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola.
Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte
que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.
Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao
mesmo tempo, falsas.
Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela
presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente
verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é
disjunção exclusiva.
E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se
obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma
das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa.
O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a
seguinte:
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p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
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ou p ou q
F
V
V
F
# Conectivo “Se ... então...”: (condicional)
Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:
Æ Se Pedro é médico, então Maria é dentista.
Æ Se amanhecer chovendo, então não irei à praia.
Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição.
Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.
Æ Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.
Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo
nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado.
Por exemplo:
Æ Se nasci em Belém, então sou paraense.
Æ Se nasci em Niterói, então sou fluminense.
E assim por diante. Pronto?
Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, só há
um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.
Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu
sou cearense.
Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou
cearense, então este conjunto estará todo falso.
Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (basta isso!)
para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense. Mirem nessas palavras:
suficiente e necessário.
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria
ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional.
Teremos:
“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condição necessária
para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:
“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” é igual a:
“Se Pedro for rico, então Maria é médica”
O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para o
formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.
Não podemos, pois esquecer disso:
Æ Uma condição suficiente gera um resultado necessário.
Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional?
Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condição
suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for
verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.
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A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: pÆ q.
7
Na proposição “Se p, então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a
proposição q é dita conseqüente.
Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q":
Se A, B.
B, se A.
Quando A, B.
A implica B.
A é condição suficiente para B.
B é condição necessária para A.
A somente se B.
Todo A é B.
Daí, a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita das
seguintes maneiras:
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Se chove, faz frio.
Faz frio, se chove.
Quando chove, faz frio.
Chover implica fazer frio.
Chover é condição suficiente para fazer frio.
Fazer frio é condição necessária para chover.
Chove somente se faz frio.
Toda vez que chove, faz frio.
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p
está contido em q):
p⊂q
q
p
# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional)
A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duas
sentenças simples.
Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:
“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.
É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:
Æ “Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri e Mariana sorri somente se Eduardo fica
alegre”.
Ou ainda, dito de outra forma:
Æ “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica
alegre”.
São construções de mesmo sentido!
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Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais, então a
bicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que a compõem
forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando
antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais
casos, a bicondicional será falsa.
Sabendo que a frase “p se e somente se q” é representada por “p↔q”, então nossa tabelaverdade será a seguinte:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a
proposição bicondicional "p se e somente se q" corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q.
p=q
Observação: Uma proposição bicondicional "p se e somente se q" equivale à proposição
composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,
“ p ↔ q “ é a mesma coisa que “ (p → q) e (q → p) “
São também equivalentes à bicondicional "p se e somente se q" as seguintes
expressões:
Æ A se e só se B.
Æ Se A então B e se B então A.
Æ A somente se B e B somente se A.
Æ A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.
Æ B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.
Æ Todo A é B e todo B é A.
Æ Todo A é B e reciprocamente.
Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato
tradicional: “p se e somente se q”.
# Partícula “não”: (negação)
Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.
No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não
antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:
Æ João é médico.
Negativa: João não é médico.
Æ Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante.
Reparemos que, caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não),
então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não. Assim:
Æ João não é médico.
Negativa: João é médico.
Æ Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante.
Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques!
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O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~),
antecedendo a frase. (Adotaremos o til). Assim, a tabela-verdade da negação é mais simplificada
que as demais já vistas. Teremos:
p
V
F
~p
F
V
Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:
Æ Não é verdade que A.
Æ É falso que A.
Daí as seguintes frases são equivalentes:
Æ Lógica não é fácil.
Æ Não é verdade que Lógica é fácil.
Æ É falso que Lógica é fácil.
# Negativa de uma Proposição Composta:
O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Já
sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí,
dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição.
Veremos, pois, uma a uma:
Æ Negação de uma Proposição Conjuntiva: ~(p e q)
Para negarmos uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos e por ou.
E só!
Daí, a questão dirá: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá que
encontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta
fornecida.
Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade
que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.
E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!
Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Da forma explicada acima:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “João não é médico”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Pedro não é dentista”
3) Troca-se e por ou, e o resultado final será o seguinte:
Æ “João não é médico ou Pedro não é dentista”.
Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Como fomos chegar à essa conclusão? Ora, por meio da comparação entre as tabelasverdade das duas proposições acima. Vejamos como foi isso. Primeiro, trabalhemos a tabelaverdade do ~(p ∧ q).
Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:
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p
V
V
F
F
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q
V
F
V
F
Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com a
negativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro.
Logo, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
(p ∧ q)
V
F
F
F
~(p ∧ q)
F
V
V
V
Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado lógico da
estrutura ~(p ∧ q).
Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~p v ~q, e comparemos os resultados.
No início, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já
sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
Agora, passemos à coluna final: ~p v ~q. Aqui nos lembraremos de como funciona uma
disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma das sentenças
também o seja. Daí, teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p ∨ ~q
F
V
V
V
Finalmente, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∨ ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∧ q). Teremos:
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~(p ∧ q)
F
V
V
V
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~p ∨ ~q
F
V
V
V
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar p e q, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos e por ou.
Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para saber
como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima, de comparar as
colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessa equivalência lógica.
Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a outra,
basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.
Æ Negação de uma Proposição Disjuntiva: ~(p ou q)
Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:
1) Negaremos a primeira (~p);
2) Negaremos a segunda (~q);
3) Trocaremos ou por e.
Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à
seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”.
Pensemos: a frase em tela começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue
está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos
passos descritos acima, faremos:
1) Nega-se a primeira parte: (~p): “Pedro não é dentista”
2) Nega-se a segunda parte: (~q): “Paulo não é engenheiro”
3) Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:
Æ “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro”.
Na linguagem apropriada, concluiremos que:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Se formos curiosos, poderemos fazer a comprovação – via tabelas-verdade – desta
conclusão acima. Somos curiosos? Claro! Tomemos a primeira parte: ~(p ∨ q). Teremos, de início:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção, teremos:
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p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
12
~(p ∨ q)
F
F
F
V
p∨q
V
V
V
F
Guardemos essa coluna resultado para o final. E passemos à segunda parte da análise: a
estrutura ~p ∧ ~q. Teremos, a princípio, o seguinte:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
Finalmente, fazendo a conjunção ~p e ~q, teremos o seguinte resultado:
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~p ∧ ~q
F
F
F
V
Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (~p ∧ ~q) com
aquela que estava guardada da estrutura ~(p ∨ q). Teremos
~(p ∨ q)
V
V
V
F
~p ∧ ~q
V
V
V
F
Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico, para negar “p ou q”, negaremos p,
negaremos q, e trocaremos ou por e.
Æ Negação de uma Proposição Condicional: ~(p Æ q)
Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bem
recentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:
1º) Mantém-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda.
Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”?
1º) Mantendo a primeira parte: “Chove” e
2º) Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”.
Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.
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13
Na linguagem lógica, teremos que:
~(p Æ q) = p ∧ ~q
Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazendário de Minas Gerais,
realizada há poucos dias:
(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo
está em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:
a)
b)
c)
d)
e)
É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’.
Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’.
Não é verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’.
É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’.
Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade que...”.
Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposição
condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.
Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional,
manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:
1) Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e
2) Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.
O resultado ficou assim: “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”.
Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “É
verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só
há duas opções de resposta que começam com “É verdade que...”, que são as letras a e e. Estão,
pois, descartadas essas duas opções.
Restam as letras b, c e d. Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja,
começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar
uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em Roma e Paulo não
está em Paris, a qual havíamos chegado.
Ou seja, a proposição Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris será o resultado
de uma negação!
Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma conjunção
(e), e vice-versa. Vejamos:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
e
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (e):
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao
resultado ~p ∧ ~q, que é a segunda parte da igualdade.
Estamos à procura da primeira parte, que é ~(p ∨ q).
Logo, teremos que:
Æ o til (~) corresponde a: “Não é verdade que...”
Æ o p corresponde a: “Pedro não está em Roma”;
Æ o ∨ corresponde a ou;
Æ o q corresponde a: “Paulo está em Paris”.
E chegamos a:
“Não é verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.
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Esta é nossa resposta! Letra d.
14
Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:
1º) Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado deste
primeiro passo é sempre uma conjunção (e).
2º) Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.
Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até
este momento. Vejamos:
:
Estrutura
lógica
É verdade quando
É falso quando
p∧q
p e q são, ambos, verdade
um dos dois for falso
p∨q
um dos dois for verdade
p e q, ambos, são falsos
p→ q
nos demais casos
p é verdade e q é falso
p↔ q
p e q tiverem valores lógicos iguais
p e q tiverem valores lógicos diferentes
~p
p é falso
p é verdade
Negativas das Proposições Compostas:
negação de (p e q)
é
~p ou ~q
negação de (p ou q)
é
~p e ~q
negação de (p → q)
é
p e ~q
negação de (p ↔ q)
é
[(p e ~q) ou (q e ~p)]
Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso, as quais
poderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. É o nosso...
DEVER DE CASA
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
estudar é condição necessária para João não passear.
estudar é condição suficiente para João passear.
não estudar é condição necessária para João não passear.
não estudar é condição suficiente para João passear.
estudar é condição necessária para João passear.
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja
verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
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15
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente
equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto
de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de
vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o
guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa
é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Não esgotamos ainda o tópico de conceitos iniciais! Ainda há vários deles a serem explanados, o
que será feito na próxima aula.
Voltaremos também a falar em Tabela-Verdade, e faremos muitos exercícios com elas!
Essas aulas iniciais são de fundamental importância, pois muitos destes conceitos nos
acompanharão por todo o curso.
Por isso, é importante que vocês leiam e releiam tudo o que foi visto aqui hoje. Com calma, sem
aperreios! E não esqueçam de tentar fazer as questões do dever de casa. As resoluções serão trazidas
na próxima aula.
Ficamos hoje por aqui. Forte abraço a todos, e fiquem com Deus!
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1
AULA 2: CONCEITOS INICIAIS (Continuação)
Olá, amigos!
Retornamos hoje para dar seqüência aos Fundamentos da Lógica – conceitos iniciais – que
demos início na aula passada.
Convém sabermos que estas duas primeiras aulas são, por assim dizer, os pilares do curso
inteiro. É possível que hoje tenhamos uma aula de muitas páginas, mas faremos o máximo esforço
para que tudo seja explicado da forma mais minuciosa possível.
Doravante, passaremos a ter o cuidado de numerar todas as tabelas do texto, a fim de
facilitar futuras referências a qualquer uma delas.
Comecemos com duas erratas da aula um. A primeira delas foi logo na primeira página,
quando estávamos apresentando o conceito de proposição, e citamos alguns exemplos, chamandoas de proposições p, q e r. Pois bem, a premissa q tinha o texto: “5 < 8”. Acharam? Logo em
seguida, dissemos que o valor lógico dessa proposição era falso (VL(q)=F)! Erramos! Obviamente
que é verdadeiro que 5<8. Corrigiremos, trocando o sinal de ‘menor que’ pelo ‘maior que’ (>). E aí,
sim, terá valor lógico falso a proposição “5 > 8”.
A segunda correção diz respeito à última tabela que apresentamos na página 12, no
momento em que estávamos comparando as tabelas-verdade que resultam das estruturas
~(p v q) e ~p ∧~q. Na ocasião, concluímos que:
TABELA 01
~(p ∨ q)
V
V
V
F
~p ∧ ~q
V
V
V
F
Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seus
resultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes:
TABELA 02
~(p ∨ q)
F
F
F
V
~p ∧ ~q
F
F
F
V
Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos até aqui, e
do que temos obrigação de saber até agora:
REVISÃO DA AULA PASSADA:
# Proposição: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso);
haverá proposições simples ou compostas.
# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas,
dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim,
haverá proposições compostas chamadas conjunções (E), disjunções (OU), disjunções
exclusivas (OU...OU...), condicionais (SE...ENTÃO...), e bicondicionais (...SE E SOMENTE
SE...).
# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposições
compostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a
promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta”; “te
darei uma bola ou te darei uma bicicleta”, “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”.
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2
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# Conjunção é aquela proposição composta que assume o formato “proposição p E proposição
q”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também forem
verdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 03
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∧q
V
F
F
F
Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas!
# Disjunção é a proposição composta que assume o formato “proposição p OU proposição q”.
Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes também o
seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte:
TABELA 04
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
F
Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida!
# Disjunção Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q”.
Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento da outra
parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte:
TABELA 05
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p∨q
V
F
F
V
Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente!
# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTÃO
proposição q”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente para efeitos
didáticos, lembraremos da seguinte proposição:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultado
necessário”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para o
resultado necessário: ser cearense.
Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no caso em
que existe a condição suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não se verifica!
Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) for
VERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma
condicional será, portanto, a seguinte:
TABELA 06
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
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3
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Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaram
acerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qual
trabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense”) foi escolhido exclusivamente para
efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o
conteúdo das proposições componentes da condicional.
Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença:
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma
condição suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultado necessário
será justamente a segunda parte da condicional.
Voltemos a pensar na frase modelo da condicional:
“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.
No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA,
sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade):
TABELA 07
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza, e ainda assim que eu seja
cearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que não
Fortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e a
segunda ser verdadeira. Ok?
É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão:
A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e o
conseqüente for FALSO!
Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, neste
primeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, é guardar
bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irão clareando
mais e mais.
# Bicondicional é a proposição composta do formato “proposição p SE E SOMENTE SE
proposição q”. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer, amarradas:
se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma for FALSA, a outra
também terá que ser FALSA.
Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as
proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, a
seguinte:
TABELA 08
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p↔q
V
F
F
V
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# Negação de uma Proposição Simples:
Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa!
A tabela-verdade será, portanto, a seguinte:
TABELA 09
p
V
F
~p
F
V
# Negação de uma Proposição Composta:
Æ Negação de uma Conjunção:
A negativa de uma conjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o E por um OU.
Ou seja:
~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta”
Faremos:
“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta”
Æ Negação de uma Disjunção:
A negativa de uma disjunção se faz assim:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o OU por um E.
Ou seja:
~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q
Assim, para negar a seguinte sentença:
“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”
Faremos:
“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta”
Æ Negação de uma Condicional:
A negativa de uma condicional se faz assim:
1º) Mantém-se a primeira parte; E
2º) Nega-se a segunda parte;
Ou seja:
~(p → q) = p ∧ ~q
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Assim, para negar a seguinte sentença:
5
“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”
Faremos:
“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão”
Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula.
Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem.
RESOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremos
algumas delas. As demais, em páginas mais adiante.
Comecemos com a questão 2:
02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é
verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição
necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja
verdadeira a seguinte proposição:
a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.
c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.
e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.
Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposição simples no enunciado, e que precisa ser
analisada. Qual é essa proposição? A seguinte:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos em
destaque:
“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”
Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que com
negações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima por
afirmações correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira”. Todos
concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficam
acordados”. Pode ser? Teremos:
“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados”
Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados,
significa que pelo menos um deles dorme! Concordam? É a resposta da questão, opção C!
Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS. É esta
palavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM
(=ALGUM).
Podemos até criar a seguinte tabela:
TABELA 10
p
TODO A é B
ALGUM A é B
~p
ALGUM A não é B
NENHUM A é B
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6
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Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise então era
a seguinte: “Não é verdade que todas as pessoas daquela família não são magras”. Como
interpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas por
afirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “É mentira que todas as pessoas daquela
família são gordas”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos uma
delas é magra! Só isso e mais nada.
Adiante!
03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é
logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
Sol.: Esta é bem simples! Trata-se da negação (“não é verdade que...) de uma conjunção
(E). Ora, sabemos que na hora de negar uma conjunção, teremos: ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q
Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre. Negando a segunda parte:
Alberto não é alto. Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que:
Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto
é igual a:
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. Æ Resposta (letra A)!
Deixemos a questão 4 para daqui a pouco.
05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do
ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico
b) nenhum economista é médico
c) nenhum médico é economista
d) pelo menos um médico não é economista
e) todos os não médicos são não economistas
Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos,
inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM
(=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o
que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase!
Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo
menos um economista não é médico! É nossa resposta – opção A!
Pulemos a sexta, por enquanto!
07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu
levo o guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de uma
condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a
segunda! Daí, concluiremos o seguinte:
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7
"se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva"
é igual a:
“está chovendo E eu não levo o guarda-chuva” Æ Resposta (letra E)!
Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando!
# TABELAS-VERDADE:
Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE.
Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos de
proposições compostas.
Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentará
exatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição
composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade neste caso?
Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade
será dado por:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões
Ou seja: se estivermos trabalhando com duas proposições p e q, então a tabela-verdade
terá 4 linhas, já que 22=4.
E se estivermos trabalhando com uma proposição composta que tenha três componentes p,
q e r? Quantas linhas terá essa tabela-verdade? Terá 8 linhas, uma vez que 23=8.
E assim por diante.
Æ TABELAS-VERDADES PARA p E q:
Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade será
sempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja:
TABELA 11
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos que
estarão presentes na proposição composta.
Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas! Claro!
A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicional e da
bicondicional.
Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade de qualquer
outra proposição condicional formada por duas proposições componentes (p e q). Designaremos tal
proposição composta da seguinte forma: P(p, q).
Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:
P(p, q)=~(p v ~q)
...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conforme
sabemos, sempre o mesmo. Teremos:
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p
V
V
F
F
TABELA 12
8
q
V
F
V
F
Agora olhemos para a proposição que estamos trabalhando [~(p v ~q)] e comparemos o
que já temos na tabela acima com o que ainda precisamos encontrar. Já temos o ~q? Ainda não!
Então, é nosso próximo passo: construir a coluna da negação de q. Teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 13
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
Seguindo adiante, construiremos agora a coluna referente ao parênteses (p v ~q). Trata-se
pois, de uma disjunção, cujo funcionamento já é nosso conhecido (só será falsa se as duas partes
forem falsas!). Colocaremos em destaque (sombreado) as colunas de nosso interesse para a
formação desta disjunção. Teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 14
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
Ficou claro para todo mundo? Vejamos de novo: colocando as duas colunas (p e ~q) lado a
lado, veremos que só na terceira linha ocorre a situação FALSO e FALSO, a qual torna também
FALSA a conjunção. Vejamos:
p
V
V
F
F
TABELA 15
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
Por fim, concluindo a análise desta proposição composta, resta-nos construir a coluna que é
a própria proposição: ~(p v ~q). Ou seja, faremos a negação da conjunção acima. Para isso,
quem for VERDADEIRO vira FALSO e vice-versa. Teremos:
TABELA 16
p
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p v ~q
V
V
F
V
~(p v ~q)
F
F
V
F
É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~(p v ~q).
Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora de
construirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguir uma
certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão que obedecer a
uma seqüência.
Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses. Só depois,
passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinte ordem:
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1º) Faremos as negações (~);
9
2º) Faremos as conjunções (E) ou disjunções (OU), na ordem em que aparecerem;
3º) Faremos a condicional (SE...ENTÃO...);
4º) Faremos a bicondicional (...SE E SOMENTE SE...).
Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade da
proposição [~(p v ~q)]. Vide tabelas 12 a 16 supra. Primeiro, trabalhamos o parênteses, fazendo
logo uma negação (tabela 13). Depois, ainda dentro do parênteses, fizemos uma disjunção
(tabela 14). E concluímos trabalhando fora do parênteses, fazendo nova negação. Observemos
que só se passa a trabalhar fora do parênteses quando não há mais o que se fazer dentro dele.
Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade! Caso você queira, pode tentar
a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:
Æ EXERCÍCIO: Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta:
P(p,q)= (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles,
isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão os
seguintes:
Æ 1º Passo) A negação de q:
TABELA 17
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
~q
F
V
F
V
Æ 2º Passo) A conjunção:
TABELA 18
p
V
V
F
F
p ∧ ~q
F
V
F
F
Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar o
segundo parênteses. Teremos:
Æ 3º Passo) A negação de p:
TABELA 19
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~p
F
F
V
V
Æ 4º Passo) A conjunção:
TABELA 20
p
V
V
F
F
q ∧ ~p
F
F
V
F
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Æ 5º Passo) Uma vez trabalhados os dois parênteses, faremos, por fim, a disjunção que os une.
Teremos:
(p ∧ ~q)
F
V
F
F
TABELA 21
(q ∧ ~p)
F
F
V
F
(p ∧~q) v (q ∧~p)
F
V
V
F
Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:
TABELA 22
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
~p
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
V
F
F
q ∧ ~p
F
F
V
F
(p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
F
V
V
F
Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades
para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com três proposições
simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade?
Æ TABELAS-VERDADE PARA TRÊS PROPOSICOES (p, q E r):
A primeira coisa a saber é o número de linhas que terá esta tabela-verdade. Conforme já
aprendemos, este cálculo será dado por Nº linhas = 2 Nº de proposições. Daí, teremos que haverá oito
linhas (23=8) numa tabela-verdade para três proposições simples.
Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O
mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início. E será o seguinte:
p
q
r
TABELA 23
A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com
quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna da
proposição r alternará sempre um V com um F. Teremos, portanto, sempre a mesma estrutura
inicial:
TABELA 24
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, à
estrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!
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Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça que construamos
a tabela-verdade da proposição composta seguinte:
P(p,q,r)=(p ∧ ~q) Æ (q v ~r)
A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q, então q ou não r.
Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para três
proposições. Teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 25
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo que
trabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles, faremos
os seguintes passos:
Æ 1º Passo) Negação de q:
P
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 26
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
Æ 2º Passo) A conjunção do primeiro parênteses: (Só recordando: somente se as duas partes
forem verdadeiras é que a conjunção (e) também o será!)
TABELA 27
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
Æ 3º Passo) Trabalhando agora com o segundo parênteses, faremos a negação de r:
TABELA 28
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
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Æ 4º Passo) A disjunção do segundo parênteses:
12
Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção (ou) também o será!
q
V
V
F
F
V
V
F
F
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 29
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
q v ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
Æ 5º Passo) Finalmente, já tendo trabalhado os dois parênteses separadamente, agora vamos
fazer a condicional que os une:
Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO na
segunda!
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
TABELA 30
q v ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
(p ∧ ~q) Æ (q v ~r)
V
V
F
V
V
V
V
V
Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só
tabela, como se segue:
TABELA 31
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
~q
F
F
V
V
F
F
V
V
p ∧ ~q
F
F
V
V
F
F
F
F
~r
F
V
F
V
F
V
F
V
q ∨ ~r
V
V
F
V
V
V
F
V
(p ∧ ~q) Æ (q ∨ ~r)
V
V
F
V
V
V
V
V
Pronto! Concluímos mais uma etapa! Já estamos aptos a construir qualquer tabela-verdade
para proposições compostas de duas ou de três proposições componentes!
Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição
e Contingência.
# TAUTOLOGIA:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma
Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das
proposições p, q, r, ... que a compõem.
Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia,
construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar
verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!
Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira,
independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade
abaixo:
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p
q
p∧q
p∨q
(p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
V
TABELA 32
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
13
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na
última coluna, é sempre verdadeiro.
Passemos a outro exemplo de Tautologia:
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p .
Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia:
TABELA 33:
p
q
s
p∨q
p∧s
(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
Demonstrado!
Observemos
que
o
valor
lógico
da
proposição
composta
[(p ∨ q) ∧ (p ∧
s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro,
independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem.
# CONTRADIÇÃO:
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma
contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p,
q, r, ... que a compõem.
Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados
da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.
Exemplo 1:
A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre
falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
TABELA 34
p
V
F
~p
F
V
p ↔ ~p
F
F
Exemplo 2:
A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por
meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
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p
q
(p ↔ ~q) (p ∧ q) (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q)
TABELA 35
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
14
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece
na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos
que p e q assumem.
# CONTINGÊNCIA:
Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia
nem uma contradição.
Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao
final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma
contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!
Exemplo:
A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores
lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
TABELA 36
p
V
q
(p ∧ q)
p ↔ (p ∧ q)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem
é uma contradição! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso.
# Questões de Concurso:
(TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o
candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da
proposição caracteriza:
(A) um silogismo.
(B) uma tautologia.
(C) uma equivalência.
(D) uma contingência.
(E) uma contradição.
Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição apresentada
no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição, definiremos a seguinte proposição
simples:
p : o candidato A será eleito
Então, a sentença “o candidato A será eleito OU não será eleito” passará ser
representada simbolicamente como: p ∨ ~p .
Construindo a tabela- verdade, teremos que:
TABELA 37
p
V
F
~p
F
V
p ∨ ~p
V
V
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15
Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o valor
lógico Verdadeiro, estamos inequivocamente diante de uma Tautologia. A alternativa correta é a
letra B.
Passemos a mais uma questão.
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples:
Æ p : João é alto.
Æ q : Guilherme é gordo.
Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativas da
questão poderão ser reescritas simbolicamente como:
a) p → (p ∨ q) (=se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo)
b) p → (p ∧ q) (=se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo)
c) (p ∨ q) → q (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo)
d) (p ∨ q)→(p ∧ q) (=se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo)
e) (p ∨ ~p) → q (=se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo)
O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que seja uma
Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta.
Teste da alternativa “a”: p → (p ∨ q)
TABELA 38
p
V
q
(p ∨ q)
p → (p ∨ q)
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última coluna da
tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros! Com isso, concluímos: a
proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo – é uma
Tautologia!
Daí: Resposta: Letra A!
Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B:
Teste da alternativa B: p → (p ∧ q)
TABELA 39
p
q
(p ∧ q)
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
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16
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Como podemos observar na última coluna da tabela-verdade acima, o valor lógico da
proposição p → (p ∧ q) pode ser verdadeiro ou falso. Isto nos leva a concluir, portanto, que esta
proposição não é uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, a chamada contingência.
Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima:
Observem que em todas as alternativas aparece o conectivo “→”, ou seja, todas as
proposições são condicionais. Na tabela verdade do conectivo “→” só temos o valor lógico falso
quando na proposição condicional o antecedente for verdade e o conseqüente for falso. Sabendo
que uma tautologia sempre tem valor lógico verdade, então dentre as proposições condicionais
apresentadas nas alternativas, aquela em que nunca ocorrer o antecedente verdade e o
conseqüente falso será uma tautologia.
- Análise do item ‘a’:
p → (p ∨ q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, também o conseqüente
será verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia.
A questão terminou, mas vamos analisar os restantes.
- Análise do item ‘b’:
p → (p ∧ q)
Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o conseqüente será
verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os valores
lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia.
- Análise do item ‘c’:
(p ∨ q) → q
O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor lógico de q pode ser verdade ou
falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso, logo
concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.
- Análise do item ‘d’:
(p ∨ q) → (p ∧ q)
O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser verdade
ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logo concluímos que a
proposição desta alternativa não é uma tautologia.
- Análise do item ‘e’:
(p ∨ ~p) → q
Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, já o
conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos que a
proposição desta alternativa não é uma tautologia.
Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que,
inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos. Estamos
nos referindo à Equivalência Lógica. Ou seja, vamos aprender a identificar quando duas
proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá!
# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES:
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são
equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas
tabelas-verdade são idênticos.
Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por
qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, p
simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q.
e
q,
pode
ser
representada
Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém
conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões.
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¾ Equivalências Básicas:
17
Æ 1ª) p e p = p
Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente
Æ 2ª) p ou p = p
Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema
Æ 3ª) p e q = q e p
Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte
Æ 4ª) p ou q = q ou p
Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco
Æ 5ª) p ↔ q = q ↔ p
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo
Æ 6ª) p ↔ q = (p Æ q) e (q Æ p)
Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte:
TABELA 40
pep
=
P
p ou p
=
P
peq
=
qep
p ou q
=
q ou p
p↔q
=
q↔p
p↔q
=
(p → q) e (q → p)
¾ Equivalências da Condicional:
As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive, serão
utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes.
Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação
entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes
as equivalências da condicional:
Æ 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p.
Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove
Æ 2ª) Se p, então q = Não p ou q.
Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso
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Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos:
TABELA 41
p→q
=
~q → ~p
p→q
=
~p ou q
18
Tomemos as questões restantes do dever de casa, e as resolvamos agora:
01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
Marcos
estudar é condição necessária para João não passear.
estudar é condição suficiente para João passear.
não estudar é condição necessária para João não passear.
não estudar é condição suficiente para João passear.
estudar é condição necessária para João passear.
Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzida também
com uso das expressões condição suficiente e condição necessária. Lembrados? Usando essa
nomenclatura, teremos que:
Æ a primeira parte da condicional é uma condição suficiente; e
Æ a segunda parte da condicional é uma condição necessária.
Daí, tomando a sentença “Se Marcos não estuda, então João não passeia”, teremos que:
Æ Marcos não estudar é condição suficiente para João não passear ou
Æ João não passear é condição necessária Marcos não estudar.
Ocorre que nenhum desses dois resultados possíveis acima consta entre as opções de
resposta! Daí, resta-nos uma saída: teremos que encontrar uma condicional equivalente à esta
da questão. Qual seria? Basta ver a primeira linha da Tabela 39 acima: p Æ q = ~q Æ ~p.
Teremos:
Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcos estuda.
Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem!
Daí, agora analisando esta condicional equivalente, concluiremos que:
Æ João passear é condição suficiente para Marcos estudar ou
Æ Marcos estudar é condição necessária para João passear. Æ Resposta! (Letra E)
04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente
equivalente a dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
André não é artista e Bernardo é engenheiro
Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências da condicional
para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjunção. Replicando a tabela 39, temos
que...
TABELA 42
p→q
=
~q → ~p
p→q
=
~p ou q
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19
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... a segunda linha da equivalência da condicional resulta numa disjunção! Ora, podemos
tentar começar a desenvolver nosso raciocínio por aí. Invertendo a ordem desta segunda linha da
tabela acima, concluímos que: ~p ou q = p Æ q.
Daí, chamaremos André é artista ou Bernardo não é engenheiro de ~p ou q.
Assim:
Æ André é artista = ~p e Æ Bernardo não é engenheiro = q.
Encontrando agora a estrutura equivalente p Æ q, teremos:
“Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro”.
Ocorre que esta sentença acima não figura entre as opções de resposta. Isso nos leva a
concluir que teremos ainda que mexer com essa condicional, encontrando uma condicional
equivalente a ela. Daí, usaremos a equivalência da primeira linha da tabela
acima: p Æ q = ~qÆ~p. Teremos, pois que:
Æ “Se André não é artista, então Bernardo não é engenheiro” é o mesmo que:
Æ “Se Bernardo é engenheiro, então André é artista” Æ Resposta! (Letra D)
06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do
ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
Sol.: Aqui também teremos que transformar uma disjunção em uma condicional. Já sabemos, pela
resolução da questão anterior, que poderemos usar a seguinte equivalência: ~p ou q = p Æ q.
Teremos, pois que:
Æ Pedro não é pedreiro = ~p
Æ Paulo é paulista = q
Daí, a condicional equivalente a esta disjunção será a seguinte:
Æ Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. Æ Resposta! (Letra A)
08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa
é solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
Sol.: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemos testar
as duas equivalências da condicional que conhecemos.
Comecemos pela seguinte: p Æ q = ~q Æ ~p
Daí, considerando que:
Æ Pedro é economista = p e Æ Luísa é solteira = q
Sua condicional equivalente será:
Æ Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. Æ Resposta! (Letra E)
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20
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Tivemos sorte de encontrar a resposta logo na primeira tentativa! Todavia, se não houvesse
essa sentença entre as opções de resposta, teríamos que tentar a segunda equivalência da
condicional, a qual resulta em uma disjunção. Teríamos, pois que: p Æ q = ~p ou q.
Daí:
Se Pedro é economista, então Luísa é solteira = Pedro não é economista ou Luísa é solteira.
Seria a segunda resposta possível.
Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa, mas ainda
não terminamos a aula de hoje! Demos seqüência ao estudo das equivalências! Adiante!
¾ Equivalências com o símbolo da negação:
Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Trata-se, tão somente,
das negações das proposições compostas! Como tais equivalências já foram inclusive revisadas
nesta aula de hoje, nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente. Teremos:
TABELA 43
~(p e q)
=
~p ou ~q
~(p ou q)
=
~p e ~q
~(p → q)
=
p e ~q
~(p ↔ q)
=
[(p e ~q) ou (~p e q)]
Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos
lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16):
Æ
(p ↔ q) = (p Æ q) e (q Æ p)
(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!)
Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção
equivalente. E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por
um OU.
Fica também como tarefa para casa a demonstração desta negação da bicondicional. Ok?
¾ Outras equivalências:
Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as seguintes:
1ª) p e (p ou q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo é dentista
2ª) p ou (p e q) = p
Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista
Por meio das tabelas-verdade, estas equivalências também podem ser facilmente
demonstradas. Para auxiliar nossa memorização, criaremos a tabela seguinte:
TABELA 44
p e (p ou q)
=
p
p ou (p e q)
=
p
¾ Equivalência entre “nenhum” e “todo”:
Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. É
uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:
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1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B
21
Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco)
2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B
Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)
Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:
TABELA 45
Nenhum A é B
=
Todo A é não B
Todo A é B
=
Nenhum A é não B
# LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO:
Na seqüência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise de alguma
questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las.
¾ Leis associativas:
TABELA 46
(p e q) e s
=
p e (q e s)
(p ou q) ou s
=
p ou (q ou s)
¾ Leis distributivas:
TABELA 47
p e (q ou s)
=
(p e q) ou (p e s)
p ou (q e s)
=
(p ou q) e (p ou s)
¾ Lei da dupla negação:
~(~p)
TABELA 48
=
p
Daí, concluiremos ainda que:
TABELA 49
S não é não P
Todo S não é não P
Algum S não é não P
Nenhum S não é não P
=
=
=
=
S é P
Todo S é P
Algum S é P
Nenhum S é P
Exemplos:
1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica
2) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional
3) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural
4) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural
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Bem! Acreditamos que por hoje já houve uma dose suficiente de informações!
22
A princípio, planejávamos uma aula ainda maior, mas decidimos ficar por aqui, e deixar
que vocês tenham condições de ler com calma o conteúdo visto até este momento, e de fixar bem
o que aprenderam.
E não há jeito melhor no mundo de fixar o aprendizado do que resolvendo questões, não é
mesmo? Por isso, trazemos na seqüência o Dever de Casa, para vocês se divertirem durante esta
semana! Não deixem passar a oportunidade de tentar resolvê-las! Mesmo que surjam algumas
dificuldades, não desanimem! Há muito mais mérito em tentar e não conseguir, do que em ficar
esperando a resolução pronta na aula seguinte! Lembrem-se disso.
E chega de lero-lero. Fiquem todos com Deus! Um grande abraço nosso! E estudem!
DEVER DE CASA
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE)
Texto para os itens de 01 a 08
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é
verdadeira.
02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
03.Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) →
(¬ Q) é verdadeira.
-------------------------------------Considere as sentenças abaixo.
i.
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve
ser proibido.
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser encorajado.
R
Fumar não faz bem à saúde.
T
Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens
seguintes.
04.A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
05.A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
06.A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.
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08.A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).
Gabarito:
01. E
02. E
03. C
04. E
05. C
06. C
07. C
23
08. E
(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente
a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com
base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia
pode ser corretamente representada por ¬P Æ (¬R ∧ ¬Q)
10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada
por P ∧ ¬Q
11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for
valorada como V, então a sentença representada por ¬P Æ Q é falsa.
12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) Æ P é inferior a 9.
Gabarito: C C E C
13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
(SERPRO 2004 – CESPE)
14. Julgue o item seguinte:
de (P → ¬Q) → ¬P .
A tabela de verdade de P → Q
é igual à tabela de verdade
(Analista Petrobrás 2004 CESPE)
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção
de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à
assertiva acima.
15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
Gabarito: C, E
(Papiloscopista 2004 CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V)
ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a
proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros
casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V
nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q
forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e
será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de
possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
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A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
17. As tabelas de valorações das proposições P→Q
18. As proposições (P∨Q)→S
e
e
24
Q → ¬P são iguais.
(P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.
Gabarito: E, E
19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo.
21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo”
é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
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AULA TRÊS: Lógica de Argumentação
1
Olá, amigos!
Nosso assunto de hoje – Lógica de Argumentação – é um tópico constantemente presente
nos programas de diversos editais de concursos!
Antes disso, vejamos algumas correções que têm que ser feitas referentes à aula passada.
Tais correções foram reclamadas por vocês próprios, no fórum, pelo que agradecemos e nos
desculpamos! São as seguintes:
Æ Logo na página 2, nos equivocamos ao construir a Tabela 05, referente à disjunção
exclusiva. A tabela correta, como já sabíamos, é a seguinte:
p
V
V
F
F
TABELA 05
q
V
F
V
F
p∨q
F
V
V
F
Æ No finalzinho da página 15, na Tabela 39, trocamos dois valores lógicos da terceira
coluna: assim, na segunda linha, onde há um V, leia-se F; e na terceira linha, o inverso: onde há
um F, leia-se V. A Tabela 39 correta é a seguinte:
TABELA 39
p
q
(p ∧ q)
p → (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
Æ Na página 18, ao resolver as questões 1 e 4, em dois momentos fizemos referência à
Tabela 39, quando o correto seria mencionar a Tabela 41 (que trata das equivalências da
condicional)!
Æ Finalmente, na página 20, após a Tabela 43, onde se lê “Tabela 38 pág. 16”, leia-se
“Tabela 40, página 17”.
Até agora, foi o que encontramos! Novamente nos desculpamos com vocês.
Na seqüência, a resolução das questões do dever de casa passado.
DEVER DE CASA
(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE)
Texto para os itens de 01 a 08
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e →
sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então,
respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),
que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
01.Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é
verdadeira.
Sol.: Para este tipo de questão, um artifício útil é o de substituir a letra que representa a
proposição pelo seu respectivo valor lógico. Neste caso, vemos que o enunciado definiu que as
proposições (P e Q) são ambas verdadeiras! Daí, em lugar de P e de Q, usaremos o valor lógico V.
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2
Teremos:
(~P) ∨ (~Q)
= (~V) ∨ (~V)
Ora, a negação (~) do Verdadeiro é o Falso (~V=F) e vice-versa (~F=V). Daí, teremos:
= F∨F
Estamos diante de uma disjunção (OU), a qual já conhecemos bem: basta que uma das
partes seja verdadeira, que a disjunção será verdadeira. Mas, se as duas partes forem falsas, como
neste caso, então, a disjunção é FALSA. Teremos, finalmente, que:
F ∨ F = F Æ Resposta! Æ O item 1 está errado!
02.Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa.
Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos:
R Æ (~T)
F Æ (~V)
FÆF
Redundamos numa condicional. Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando a
primeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos:
F Æ F = V Æ Resposta! Æ O item 2 está errado!
03.Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição
(P∧R)→(¬Q) é verdadeira.
Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos:
(P ∧ R) Æ (~Q)
(V ∧ F) Æ (~V)
Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjunção. Como já é
do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que a conjunção o
também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos:
F Æ (~V)
Ora, sabemos que ~V=F. Daí:
FÆF
E agora? O que dizer desta condicional? Teremos:
F Æ F = V Æ Resposta! Æ O item 3 está correto!
Considere as sentenças abaixo.
i.
Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve
ser proibido.
v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;
conseqüentemente, muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
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P
Fumar deve ser proibido.
Q
Fumar deve ser encorajado.
R
Fumar não faz bem à saúde.
T
Muitos europeus fumam.
3
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens
seguintes.
04.A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬ T).
Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase.
Ora, P ∧ (~T) = P e não T
= Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeus fumam.
Conclusão: o item 4 está errado!
A representação correta para a sentença I é P ∧ T .
05.A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬ R).
Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradução. Teremos:
(~P) ∧ (~R) = não P e não R
= Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
Conclusão: o item 5 está correto!
06.A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.
Sol.: Temos que R Æ P = Se R, então P. Daí:
= Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve ser proibido.
Conclusão: o item 6 está correto!
07.A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬ T)) → P.
Sol.: Temos que (R ∧ (~T)) Æ P
= Se R e não T, então P
= Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam,
então fumar deve ser proibido.
Conclusão: o item 7 está correto!
08.A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ∧ (¬ P)).
Sol.: Temos que: T Æ ((~R) ∧ (~P))
= Se T, então não R e não P
= Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde e é
falso que fumar deve ser proibido.
Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima.
Ora, sabemos que p Æ q não é equivalente a q Æ p.
Daí, o item 8 está errado!
A representação correta para a sentença V é ((~R) ∧ (~P)) Æ T .
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4
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(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente
a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com
base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:
09. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia
pode ser corretamente representada por ¬P Æ (¬R ∧ ¬Q)
Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos sua tradução.
Sabendo que:
P = hoje choveu
Q = José foi à praia
R = Maria foi ao comércio
Teremos:
~P Æ (~R ∧ ~Q) = Se não P, então não R e não Q
= Se hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia.
Conclusão: o item 9 está correto!
10. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada
por P ∧ ¬Q
Sol.: Tomando a sentença P ∧ ~Q , teremos que sua tradução será a seguinte:
= Hoje choveu e José não foi à praia.
Conclusão: o item 10 está correto!
11. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for
valorada como V, então a sentença representada por ¬P Æ Q é falsa.
Sol.: Questão semelhante às primeiras que resolvemos hoje! Usaremos o mesmo artifício.
Primeiramente, observemos que a questão atribuiu valores lógicos às seguintes sentenças:
Æ Hoje não choveu = (~P) = F ; e
Æ José foi à praia = Q = V
~P Æ Q
FÆV
Ora, sabemos que a única situação em torna a condicional falsa é Verdadeiro na primeira
parte e Falso na segunda! Como isso não está ocorrendo, teremos que:
FÆV=V
Conclusão: o item 11 está errado!
12. O número de valorações possíveis para (Q ∧ ¬R) Æ P é inferior a 9.
Sol.: Observem que se trata de uma proposição composta, formada por três proposições simples
(P, Q e R). Daí, se fôssemos formar uma tabela-verdade para esta sentença composta, quantas
linhas ela teria?
Teremos que nos lembrar da aula passada, na página 7, que:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 Nº de proposicões
Daí, se há 3 proposições, teremos que:
Nº de Linhas da Tabela-Verdade = 2 3 = 8
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Finalmente, para matar essa questão, só precisaríamos saber que o número de valorações
possíveis de uma proposição composta corresponde justamente ao número de linhas da sua tabelaverdade!
Conclusão: o item 12 está correto!
13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
Sol.: Tomemos a segunda parte desta equivalência: (QÆ~P).
Agora, vamos nos lembrar de um tipo de equivalência da condicional que aprendemos na
aula passada: a Æ b = ~b Æ ~a.
Esta equivalência se forma, portanto, da seguinte maneira: trocam-se as proposições de
lugar, e negam-se ambas! Só isso!
Daí, retomemos nossa sentença: (QÆ~P).
Agora, invertamos as posições: (~PÆ Q)
Agora, façamos as duas negativas: (PÆ ~Q)
Pronto! Achamos a proposição equivalente! Teremos, pois, que:
(PÆ~Q)=(QÆ~P)
parte!
Conclusão: o item está errado, pois colocou um sinal de negação (~) antes da primeira
Haveria outra forma de se chegar a essa resposta? Obviamente que sim! Poderíamos, por
exemplo, construir as tabelas-verdades de ambas as proposições e compará-las. Vejamos.
Comecemos com ~(P Æ ~Q). Teremos:
TABELA 01
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
pÆ~q
F
V
V
V
~(pÆ~q)
V
F
F
F
Agora, a segunda parte: (QÆ~P). Teremos:
TABELA 02
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
(qÆ~p)
F
V
V
V
Comparando os resultados, concluímos igualmente que tais sentenças não são equivalentes!
(SERPRO 2004 – CESPE)
14. Julgue o item seguinte:
de (P → ¬Q) → ¬P.
A tabela de verdade de P → Q
é igual à tabela de verdade
Sol.: Façamos o que manda a questão: comparemos as tabelas-verdade. A primeira sentença é
uma mera condicional. Teremos, pois, que:
TABELA 03
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pÆq
V
F
V
V
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Agora, passemos à segunda parte: (PÆ~Q)Æ~P. Teremos:
TABELA 04
P
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
pÆ~q
F
V
V
V
~p
F
F
V
V
6
(pÆ~q)Æ~p
V
F
V
V
Conclusão: o item 14 está correto!
(Analista Petrobrás 2004 CESPE)
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção
de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente
à assertiva acima.
Sol.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes, definiremos as seguintes
proposições simples p e q:
p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo.
e
q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.
Assim, teríamos que a assertiva desta questão ficaria simbolizada apenas como: p → q
Analisemos o item 15.
15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da
exploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.
Traduzindo essa sentença para a linguagem simbólica, tomando por base as proposições p e
q definidas acima, encontraremos o seguinte: ~q → ~p
Ora, já aprendemos que uma forma de fazer a equivalência da condicional é invertendo as
posições e negando as duas partes. Daí, resta-nos ratificar que: pÆq = ~qÆ~p.
Conclusão: o item 15 está correto!
16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo e
derivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil
barris/dia.
A tradução da sentença acima para a linguagem simbólica nos faz chegar a: ~p → ~q
Daí, sabemos que não há equivalência lógica entre essa construção e a condicional (pÆq).
Conclusão: o item 16 está errado!
(Papiloscopista 2004 CESPE)
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V)
ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a
proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros
casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V
nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q
forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e
será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de
possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
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A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
17. As tabelas de valorações das proposições P→Q
e
7
Q → ¬P são iguais.
Sol.: Sequer necessitaríamos construir as respectivas tabelas-verdades, uma vez que já sabemos
que não há equivalência lógica entre essas duas condicionais! Na verdade, a única condicional que
seria equivalente a pÆq seria a seguinte: ~qÆ~p.
Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade, e começando com a
condicional, teremos:
p
V
V
F
F
TABELA 05
(pÆq)
V
F
V
V
q
V
F
V
F
Já a tabela-verdade da segunda construção (qÆ~p) será a seguinte:
p
V
V
F
F
TABELA 06
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
qÆ~p
F
V
V
V
Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construções
analisadas. Conclusão: o item 17 está errado!
18. As proposições (P∨Q)→S
e
(P→S) ∨ (Q→S) possuem tabelas de valorações iguais.
Sol.: Faremos o mesmo procedimento: construiremos as duas tabelas-verdade. Para a sentença
(p∨q)Æs, teremos:
p
V
V
V
V
F
F
F
F
TABELA 07
q
V
V
F
F
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
pvq
V
V
V
V
V
V
F
F
s
V
F
V
F
V
F
V
F
(p v q)Æs
V
F
V
F
V
F
V
V
Para a segunda sentença: (pÆs) v (qÆs), teremos:
TABELA 08
P
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
S
V
F
V
F
V
F
V
F
pÆs
V
F
V
F
V
V
V
V
qÆs
V
F
V
V
V
F
V
V
(pÆs) v (qÆs)
V
F
V
V
V
V
V
V
Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado!
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19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:
8
P: “A ou B”
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista”
B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”.
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de uma
disjunção: A ou B.
Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que uma
sentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “não é verdade que...” antes dela.
Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção. É isso!
Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer:
1º) Nega-se a primeira parte;
2º) Nega-se a segunda parte;
3º) Troca-se o ou por um e.
Teremos: ~(A ou B) = ~A e ~B
Vamos por partes! Negando A, teremos:
~A = Carlos não é dentista.
Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposição
B é uma condicional. Como se nega uma condicional? Já sabemos:
1º) Repete-se a primeira parte; e
2º) Nega-se a segunda parte.
Teremos:
~B = Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
Finalmente, concluímos que:
~(A ou B) =
~A e ~B = Carlos não é dentista e Ênio é economista e Juca não é arquiteto.
Æ Resposta! = Opção B.
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.
Sol.:
Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposições
simples. Teremos:
Æ P = Pedro é pintor
Æ C = Carlos é cantor
Æ M = Mário é médico
Æ S = Sílvio é sociólogo
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Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).
9
Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!
A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da
sentença do enunciado. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempre verdadeira
se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira.
Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada
uma das alternativas. Executando este procedimento, teremos:
a) (P e ~C) → (M ou S)
b) (P e ~C) → (M ou ~S)
c) (P e C)
→ (M e ~S)
d) (P e C)
→ (M ou S)
e) (~P ou C) → (~M e S)
Como já foi dito, precisaremos atribuir à sentença trazida no enunciado da questão o valor
lógico Verdade. Simbolicamente, teremos que: (P ou C) → (~M e ~S) é Verdade.
Ora, em uma proposição condicional, se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade, a 2ª
parte também deverá ter este mesmo valor lógico, a fim de que toda a condicional seja verdadeira,
não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componente for verdadeira e
a segunda for falsa).
Assim, considerando a 1ª parte da condicional – (P ou C) – como verdade, a 2ª parte da
condicional – (~M e ~S) – necessariamente será também verdade.
Daí, para que (P ou C) seja Verdade, em se tratando de uma disjunção, teremos as
seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjunção):
- PéV eCéV
- PéV eCéF
- PéF eCéV
Obs.: Estamos lembrados que para a disjunção ser verdadeira, basta que uma de suas partes o
seja.
Trabalhemos agora com a segunda parte da nossa condicional. Para que (~M e ~S) seja
Verdade, em se tratando de uma conjunção, concluímos que só há uma combinação possível:
- M é F e S é F.
Obs.: Lembramos que uma conjunção só será verdadeira se ambas as suas componentes também
o forem. Daí, neste caso, ~M e ~S são verdadeiras; logo, as suas negativas (M e S) são falsas!
Pois bem! Entendido isto, agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em cada
uma das alternativas da questão, a fim de encontrar a nossa resposta. Lembrando que a
alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempre Verdade.
Todas as alternativas desta questão trazem proposições condicionais, e sabemos que a
condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F .
Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das condicionais das opções de resposta,
lembrando-nos de que M e F são ambas falsas! Chegaremos aos seguintes resultados:
a) ... → (M ou S) = (F ou F) = F
b) ... → (M ou ~S) = (F ou V) = V
c) ...
→ (M e ~S) = (F e V) = F
d) ...
→ (M ou S) = (F ou F) = F
e) ...
→ (~M e S) = (V e F) = F
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Somente a alternativa B tem a segunda parte da condicional com valor lógico verdade,
significando que ela jamais será falsa, ou em outras palavras, ela sempre será verdade.
Conclusão: a opção correta é a B.
Observemos que sequer foi necessário testar, nas alternativas de resposta, a primeira parte
das condicionais. Fica para cada um realizar esse teste.
Mais adiante, resolveremos novamente esta mesma questão, por um outro caminho.
A propósito, esta questão também poderia ter sido resolvida construindo-se a tabelaverdade de cada alternativa de resposta, mas cada tabela teria 16 linhas, pois há quatro
proposições simples, o que tornaria a resolução demasiadamente custosa e quase que inviável para
o tempo da prova.
21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo”
é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:
a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.
d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.
e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não é baixo.
Sol.: Uma questão muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta, formada por três
proposições simples interligadas pelo conectivo ou.
Para simplificar, definiremos as seguintes proposições simples:
Æ A = Alda é alta
Æ B = Bino é baixo
Æ C = Ciro é calvo
Traduzindo a afirmação apresentada no enunciado para a linguagem simbólica, tomando por
base as proposições A, B e C definidas acima, encontraremos o seguinte: A ou ~B ou C
Segundo o enunciado da questão, a afirmação trazida é falsa! Ora, dizer que uma
afirmação qualquer é falsa, e solicitar a verdade, é o mesmo que pedir a negação daquela
sentença.
Iniciemos, portanto, fazendo a negação da sentença trazida no enunciado. Ou seja, façamos
a negação da proposição composta: A ou ~B ou C
Como se faz a negação de p ou q ou r ?
Dispensando a demonstração, simplesmente assim: ~p e ~q e ~r
Daí, a negação de A ou ~B ou C é:
~A e B e ~C
Traduzindo esta linguagem simbólica para uma sentença em palavras, obtemos:
“Alda não é alta, e Bino é baixo, e Ciro não é calvo” ,
Esta poderia ser a resposta da questão! Todavia, nenhuma das opções apresenta este texto!
Vemos que todas as alternativas de resposta trazem o conectivo “se ... então”, ou seja, o
formato da condicional. Ora, a equivalente de uma condicional, como já sabemos, ou será uma
outra condicional, ou, alternativamente, uma disjunção. (Aprendemos isso na aula passada!).
Daí, não há como fazer facilmente a equivalência entre a sentença acima, que é formada
por conjunções, e as alternativas de resposta! O que fazer? Nesta situação, o melhor será
traduzirmos em símbolos estas alternativas, tomando por base as proposições A, B e C definidas
anteriormente, e assim, teremos:
a) B → A
e
~B → ~C
b) A → B
e
B→C
c) A → B
e
~B → ~C
d) ~B → A
e) ~A → ~B
e
B→C
e
C → ~B
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Para não termos que construir a tabela-verdade para cada alternativa (procurando por uma
proposição equivalente a ~A e B e ~C), utilizaremos o seguinte artifício:
A proposição ~A e B e ~C utiliza somente o conectivo “e” . Então, para que esta sentença
inteira tenha valor lógico verdade, é necessário que estas três partes que a compõem sejam todas
verdadeiras. Daí, concluiremos que:
Æ se ~A é V, então A é F.
Æ B é V.
Æ se ~C é V, então C é F.
Ou seja, teremos:
AéF
BéV
CéF
Daí, a alternativa que for equivalente a ~A e B e ~C deverá necessariamente apresentar
valor lógico V ao substituímos A por F, B por V e C por F.
Fazendo esse teste para cada opção de resposta, teremos:
a) B → A
e
~B → ~C
⇒ (V→F) e (~V→~F)
Ö
valor lógico é F
b) A → B
e
B→C
⇒ (F→V) e (V→F)
Ö
valor lógico é F
c) A → B
e
~B → ~C
⇒ (F→V) e (~V→~F)
Ö
valor lógico é V
⇒ (~V→F) e (V→F)
Ö
valor lógico é F
Ö
valor lógico é F
d) ~B → A
e) ~A → ~B
e
B→C
e
C → ~B ⇒ (~F→~V) e (F→~V)
A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativa correta!
Conclusão: nossa resposta é a opção C.
É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões! Mais
importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa, pois aprendemos
com o erro e não o repetimos na prova!
Na seqüência, passaremos a falar em Lógica da Argumentação, que é nosso assunto de
hoje. Adiante!
# Argumento:
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma
outra proposição final, que será conseqüência das primeiras!
Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2,
... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do
argumento.
No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes
hipótese e tese, respectivamente.
Vejamos alguns exemplos de argumentos:
Exemplo 1)
p1: Todos os cearenses são humoristas.
p2: Todos os humoristas gostam de música.
c : Todos os cearenses gostam de música.
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Exemplo 2)
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p1: Todos os cientistas são loucos.
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p2: Martiniano é louco.
c : Martiniano é um cientista.
O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja,
silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão.
Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são
válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa
um argumento válido e um argumento inválido.
# Argumento Válido:
Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a
sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser
visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto
pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a
falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste.
Exemplo: O silogismo...
p1: Todos os homens são pássaros.
p2: Nenhum pássaro é animal.
c: Portanto, nenhum homem é animal.
... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito
embora a veracidade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis.
Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção
está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da
conclusão!
Num raciocínio dedutivo (lógico), não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se
as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das
premissas é tarefa que incumbe à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer
tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito etc., assuntos que talvez
desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do
argumento!
Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo
válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de
diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em
questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona,
usando esse exemplo acima.
Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos
representar essa frase da seguinte maneira:
Conjunto
dos pássaros
Conjunto dos
homens
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Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja,
pertencem ao conjunto maior (dos pássaros).
E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro
do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo.
Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa.
Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavrachave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois
conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica:
Conjunto dos
Pássaros
Conjunto dos
Animais
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois
conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum.
Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as
analisemos em conjunto. Teremos:
Pássaros
Animais
Homens
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o
desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma
conseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens
está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais.
Resultado: este é um argumento válido!
Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido.
# Argumento Inválido:
Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído,
falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a
verdade da conclusão.
Entenderemos melhor com um exemplo.
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14
Exemplo:
p1: Todas as crianças gostam de chocolate.
p2: Patrícia não é criança.
c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate.
Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as
premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão.
Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não
afirmou que somente as crianças gostam de chocolate.
Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do
argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é
inválido. Vamos lá:
Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já
aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:
Pessoas que gostam
de chocolate
crianças
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que
fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar
localizada a Patrícia, obedecendo ao que consta nesta segunda premissa.
Vemos facilmente que a Patrícia só não poderá estar dentro do círculo vermelho (das
crianças). É a única restrição que faz a segunda premissa! Isto posto, concluímos que a Patrícia
poderá estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do
conjunto maior (sem tocar o círculo vermelho!). Vejamos:
Pessoas que gostam
de chocolate
PATRÍCIA
PATRÍCIA
crianças
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15
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Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o
que nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse
resultado (se esta conclusão) é necessariamente verdadeiro! O que vocês dizem? É
necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima,
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo azul),
mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo azul)!
Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!
Passemos a uma questão de concurso que versa sobre esse tema.
TCU-2004/CESPE) Julgue o item a seguir.
Considere o seguinte argumento:
Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é
considerada irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi
considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato antieconômico.
Nessa situação, esse argumento é válido.
Sol.: A questão apresenta um argumento (um silogismo) e deseja saber se ele é válido. Ora, vimos
que um argumento só será válido se a sua conclusão for uma conseqüência obrigatória do seu
conjunto de premissas.
No argumento em tela temos duas premissas e a conclusão, que se seguem:
p1: Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é
considerada irregular.
p2: A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular.
c: Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato
antieconômico.
Usaremos o método dos diagramas para verificar a validade (ou não) do argumento.
Começando pela primeira premissa, observemos que a palavra cada tem o mesmíssimo
sentido de toda. Daí, teremos:
Conta irregular
Conta com ato
antieconômico
Analisemos agora a segunda premissa que afirma que “a prestação de contas da prefeitura
de uma cidade (qualquer) foi irregular”.
Ora, no desenho acima, vamos indicar quais as possíveis localizações (se houver mais de
uma!) desta prestação de contas da cidade qualquer.
Teremos:
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16
Conta irregular
Prest. Cidade
qualquer
Conta com ato
antieconômico
Prest. Cidade
qualquer
Daí, verificamos que há duas posições em que a tal prestação de contas desta cidade
qualquer poderia estar. Ora, por ser irregular, terá necessariamente que estar dentro do círculo
maior (azul). Uma vez dentro do círculo azul (conta irregular), surgem duas novas possibilidades:
ou estará dentro do círculo vermelho (conta com ato antieconômico), ou fora dele. Em outras
palavras: a prestação de contas desta cidade qualquer, embora irregular, pode ter apresentado
uma conta com ato antieconômico, ou não!
Analisemos agora a conclusão do argumento: “a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato antieconômico”. Será que esta é uma conclusão necessária, ou seja,
obrigatória, em vista do que foi definido pelas premissas? A resposta, como vimos acima, é
negativa!
Concluímos, pois, que se trata de um argumento inválido, e este item está errado!
Vimos que a utilização de diagramas de conjuntos pode ajudar-nos a descobrir se um
argumento é válido. Ocorre que, em alguns exercícios, será mais conveniente utilizarmos outros
procedimentos. Aprenderemos a seguir alguns diferentes métodos que nos possibilitarão afirmar se
um argumento é válido ou não!
1º MÉTODO) Utilizando diagramas de conjuntos:
Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo,
algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um etc.
Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior
verificação da verdade da conclusão. Já fizemos acima alguns exercícios com uso deste método!
2º MÉTODO) Utilizando a tabela-verdade:
Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo primeiro método, o que
ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os
conectivos “ou” , “e”, “→” e “↔”.
Baseia-se na construção da tabela-verdade, destacando-se uma coluna para cada premissa
e outra para a conclusão.
Após a construção da tabela-verdade, verificam-se quais são as suas linhas em que os
valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas (com premissas verdadeiras),
os valores lógicos da coluna da conclusão forem também Verdadeiros, então o argumento é
válido! Porém, se ao menos uma daquelas linhas (que contêm premissas verdadeiras) houver na
coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido.
Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve
várias proposições simples.
Passemos a um exemplo com aplicação deste método.
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Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
17
(p ∧ q) → r
~r_______
~p ∨ ~q
Sol.:
Como interpretar este argumento sem frases? A primeira coisa a saber é que o que há
acima da linha são as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a conclusão! Neste caso,
temos duas premissas e a conclusão (um silogismo).
As premissas e a conclusão deste argumento poderiam ser frases que foram traduzidas para
linguagem simbólica.
1º passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a conclusão.
Teríamos, portanto, três tabelas a construir. Para economizarmos espaço, ganharmos tempo e
facilitarmos a execução do 2º passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e
a conclusão corresponderão a colunas nesta tabela, como pode ser visto abaixo.
Observemos que as premissas e a conclusão são obtidas pelos seguintes procedimentos:
- A 1ª premissa (5ª coluna da tabela) é obtida pela condicional entre a 4ª e a 3ª colunas.
- A 2ª premissa (6ª coluna) é obtida pela negação da 3ª coluna.
- A conclusão (9ª coluna) é obtida pela disjunção entre a 7ª e a 8ª colunas.
TABELA 09
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
8ª
p
q
r
(p ∧ q)
1ª Premissa
2ª Premissa
(p ∧ q) → r
~r
1ª
V
V
V
V
V
2ª
V
V
F
V
3ª
V
F
V
4ª
V
F
5ª
F
6ª
9ª
~p
~q
F
F
F
F
F
V
F
F
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
V
V
F
V
7ª
F
F
V
F
V
F
V
V
V
8ª
F
F
F
F
V
V
V
V
V
Conclusão
~p ∨ ~q
2º passo) Agora, vamos verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das
premissas são todos V. Daí, observamos que a 4ª, 6ª e 8ª linhas apresentam todas as duas
premissas com valor lógico V.
Prosseguindo, temos que verificar qual é o valor lógico da conclusão para estas mesmas 4ª,
6ª e 8ª linhas. Em todas elas a conclusão é também V. Portanto, o argumento é válido.
3º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos e considerando as
premissas verdadeiras.
Por este método, fácil e rapidamente demonstraremos a validade de um argumento. Porém,
só devemos utilizá-lo na impossibilidade do primeiro método.
Iniciaremos aqui considerando as premissas como verdades. Daí, por meio das operações
lógicas com os conectivos, descobriremos o valor lógico da conclusão, que deverá resultar
também em verdade, para que o argumento seja considerado válido.
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Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
18
p∨q
~p___
q
Sol.:
Este terceiro método de teste de validade de argumentos se dá considerando-se as
premissas como verdades e, por meio de operações lógicas com os conectivos, descobriremos o
valor lógico da conclusão, que deverá resultar em verdade, para que o argumento seja válido.
1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:
Æ para a 1ª premissa
Æ o valor lógico de p ∨ q é verdade
Æ para a 2ª premissa
Æ o valor lógico de ~p
é verdade.
2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples p e q, com a finalidade
de, após isso, obter o valor lógico da conclusão.
Vamos iniciar pela análise da 2ª premissa, a fim de obter o valor lógico da proposição
simples p. (Se iniciássemos pela 1ª premissa não teríamos como obter de imediato o valor lógico
de p, e nem de q.)
- Análise da 2ª premissa:
~p é verdade
Como ~p é verdade, logo p é falso.
- Análise da 1ª premissa:
p ∨ q é verdade
Sabendo que p é falso, e que p ∨ q é verdade, então o valor lógico de q, de acordo
com a tabela verdade do “ou”, é necessariamente verdade.
Em suma, temos até o momento:
O valor lógico de p é Falso
O valor lógico de q é Verdade
3º passo) Agora vamos utilizar os valores lógicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor
lógico da Conclusão.
Como a conclusão é formada somente pela proposição simples q, então a conclusão tem o
mesmo valor lógico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento é válido.
Passemos a mais um exemplo utilizando o terceiro método.
Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:
1ª premissa:
A → (~B ∧ C)
2ª premissa:
~A → B
3ª premissa:
D ∧ ~C_
Conclusão:
B → ~D
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19
Sol.:
1º passo) Consideraremos as premissas como proposições verdadeiras, isto é:
para a 1ª premissa Æ o valor lógico de A → (~B ∧ C)
é verdade
para a 2ª premissa Æ o valor lógico de ~A → B
é verdade
para a 3ª premissa Æ o valor lógico de D ∧ ~C
é verdade
2º passo) Partimos para descobrir o valor lógico das proposições simples A, B, C e D, com a
finalidade de obter o valor lógico da conclusão. Vamos iniciar pela análise da 3ª premissa, pois
somente esta pode fornecer de imediato o valor lógico de pelo menos uma proposição simples,
conforme veremos a seguir.
- Análise da 3ª premissa:
D ∧ ~C
é verdade
Para que a proposição D ∧ ~C seja verdade, é necessário (segundo a tabela-verdade do
conectivo “e”) que o valor lógico de D seja verdade e de ~C seja verdade. Logo, o valor lógico de
C é falso.
- Análise da 1ª premissa:
A → (~B ∧ C)
é verdade
Sabemos que C é falso, então a proposição (~B ∧ C) também terá valor lógico falso. E o
valor lógico de A? Pela tabela-verdade da condicional, sabemos que quando o conseqüente é falso,
é necessário que o antecedente também seja falso, para que a condicional seja verdadeira. Então,
como a proposição composta A→(~B ∧ C) deve ser verdade e como o valor lógico obtido para
(~B∧C) foi falso, conclui-se que o valor lógico de A é falso.
- Análise da 2ª premissa:
~A → B
é verdade
O valor lógico de A é falso, daí ~A é verdadeiro! Então, de acordo com a tabela verdade
da condicional, para que a proposição ~A → B seja verdade é necessário que B seja verdade.
- Em suma:
O valor lógico de D é verdade
O valor lógico de C é falso
O valor lógico de A é falso
O valor lógico de B é verdade
3º passo) Obtenção do Valor Lógico da Conclusão:
A conclusão é dada pela condicional B→~D, e sabemos que o valor lógico de B é verdade e
o valor lógico de D também é verdade. Então qual será o valor lógico da conclusão?
Substituindo os valores lógicos de B e de D na conclusão, obteremos:
verdade → não (verdade) = verdade → falso = falso.
Daí, como a conclusão é falsa, o argumento é inválido.
4º MÉTODO) Utilizando as operações lógicas com os conectivos, considerando premissas
verdadeiras e conclusão falsa.
É indicado este caminho quando notarmos que a aplicação do terceiro método (supra) não
possibilitará a descoberta do valor lógico da conclusão de maneira direta, mas somente por meio
de análises mais complicadas.
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20
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Foi descrito no segundo método que, se após a construção da tabela-verdade houver uma
linha em que as colunas das premissas têm valor lógico V e a conclusão tem valor lógico F, então o
argumento é inválido.
Ou seja, um argumento é válido se não ocorrer a situação em que as premissas são
verdades e a conclusão é falsa. Este quarto método baseia-se nisso: faremos a consideração de
que as premissas são verdades e a conclusão é falsa, e averiguaremos se é possível a
existência dessa situação. Se for possível, então o argumento será inválido.
Para a solução do próximo exemplo, vamos utilizar o 4º método. Não utilizaremos o 3º, pois
não teríamos condições de descobrir de maneira direta o valor lógico da conclusão, senão por meio
de uma análise mais trabalhosa.
Exemplo: Vamos verificar a validade do seguinte argumento:
A → (B ∨ C)
B → ~A
D → ~C____
A → ~D
Sol.: De acordo com o este método, consideraremos as premissas como verdades e a
conclusão como falsa, e verificaremos se é possível a existência dessa situação. Se for possível,
então o argumento é inválido.
1º passo) Considerando as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, teremos:
para a 1ª premissa Æ o valor lógico de A → (B ∨ C)
é verdade
para a 2ª premissa Æ o valor lógico de B → ~A
é verdade
para a 3ª premissa Æ o valor lógico de D → ~C
é verdade
para a Conclusão
é falso
Æ o valor lógico de A → ~D
2º passo) Quando usamos este método de teste de validade, geralmente iniciamos a análise dos
valores lógicos das proposições simples pela conclusão.
- Análise da conclusão:
A → ~D
é falso
Em que situação uma condicional é falsa? Isso já sabemos: quando a 1ª parte é verdade
e a 2ª parte é falsa. Daí, concluímos que o valor de A deve ser V e o de ~D deve ser F.
Conseqüentemente D é V.
- Análise da 2ª premissa: B → ~A
é verdade
Na análise da proposição da conclusão, obtivemos que A é V. Substituindo, A por V na
proposição acima, teremos: B → ~V , que é o mesmo que: B → F . Como esta proposição
deve ser verdade, conclui-se que B deve ser F, pela tabela-verdade da condicional.
- Análise da 3ª premissa: D → ~C
é verdade
O valor lógico de D é V, obtido na análise da conclusão. Substituindo este valor lógico na
proposição acima, teremos: V → ~C . Para que esta proposição seja verdade é necessário que
a 2ª parte da condicional, ~C, seja V. Daí, C é F.
Observemos que, se quiséssemos, poderíamos ter analisado esta 3ª premissa antes da
2ª, sem qualquer prejuízo à resolução.
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- Agora, só resta analisar a 1ª premissa: A → (B ∨ C) é verdade
21
Até o momento, temos os seguintes valores lógicos: A é V, B é F, C é F e D é V .
Substituindo estes valores na proposição acima, teremos: V → (F ∨ F) . Usando o
conectivo da disjunção, a proposição simplifica-se para V → F , e isto resulta em um valor
lógico Falso. Opa!!! A premissa A → (B ∨ C) deveria ser verdade!!!
Este contradição nos valores lógicos ocorreu porque não foi possível, considerando todas
as premissas verdadeiras, chegarmos a uma conclusão falsa. Daí, concluímos que nosso
argumento é válido.
Em outras: para que o argumento fosse dito inválido, teriam que se confirmar todos os
valores lógicos previstos no 1º passo acima. Em não se confirmando qualquer deles, concluímos
(como fizemos!) que o argumento é válido!
Vamos aproveitar o ensejo para resolver novamente a questão 20 do dever de casa da aula
passada, só que agora de uma maneira diferente: usando o quarto método que acabamos de
aprender. Vejamos:
20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico
e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:
a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.
c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.
d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.
e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.
Sol.:
Iniciaremos definindo as seguintes proposições simples:
Æ P = Pedro é pintor
Æ C = Carlos é cantor
Æ M = Mário é médico
Æ S = Sílvio é sociólogo
Daí, a sentença trazida pelo enunciado será a seguinte: (P ou C) → (~M e ~S).
Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!
A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente da
sentença do enunciado.
Podemos considerar que estamos diante de um argumento com uma premissa e queremos
encontrar uma conclusão válida para este argumento, entre as apresentadas nas alternativas.
Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólica cada
uma das opções de resposta. Executando este procedimento, obtemos:
a) (P e ~C) → (M ou S)
b) (P e ~C) → (M ou ~S)
c) (P e C)
→ (M e ~S)
d) (P e C)
→ (M ou S)
e) (~P ou C) → (~M e S)
Usando o 4º método, consideraremos as premissas verdades e a conclusão falsa,
verificaremos se essa situação é possível de ocorrer. Se possível, então o argumento
inválido, ou seja, a conclusão não é conseqüência obrigatória das premissas. Se não é possível
ocorrência daquela situação, então o argumento é válido, conseqüentemente a conclusão
conseqüência obrigatória das premissas. E aí, achamos a alternativa correta.
Vamos analisar as alternativas:
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e
é
a
é
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Æ Análise da alternativa “a”: (P e ~C) → (M ou S)
22
Vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do argumento.
Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da conclusão. Daí: (P e
~C) → (M ou S) é falso
Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C),
tenha valor V e a 2ª parte, (M ou S), tenha valor F. Daí:
- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).
- Para que (M ou S) seja F, é necessário que: M é F e S é F .
Em suma: P é V , C é F, M é F e S é F
A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos
testar substituindo os valores lógicos:
(V ou F) → (~F e ~F)
, que é o mesmo que: (V ou F) → (V e V) .
Resolvendo esta última proposição, obtemos V → V, que resulta no valor lógico V.
Portanto, acabamos de verificar que é possível existir a situação: conclusão falsa e
premissa verdade. Logo, esta conclusão não é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso
esta alternativa não é a correta.
Æ Análise da alternativa “b”: (P e ~C) → (M ou ~S)
Agora vamos considerar que a proposição trazida nesta alternativa é a conclusão do
argumento. Pelo 4º método, devemos designar o valor lógico falso para a proposição da
conclusão. Daí: (P e ~C) → (M ou ~S) é falso
Para que esta condicional tenha valor lógico falso é necessário que 1ª parte, (P e ~C),
tenha valor V e a 2ª parte, (M ou ~S), tenha valor F. Daí:
- Para que (P e ~C) seja V, é necessário que: P é V e ~C é V (e é claro C é F).
- Para que (M ou ~S) seja F, é necessário que: M é F e ~S é F (e é claro S é V).
Em suma: P é V , C é F, M é F e S é V
A premissa (P ou C) → (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lógicos? Vamos
testar substituindo os valores lógicos:
(V ou F) → (~F e ~V)
, que é o mesmo que: (V ou F) → (V e F) .
Resolvendo esta última proposição, obtemos V → F, que resulta no valor lógico F.
Portanto, acabamos de verificar que não é possível existir a situação: conclusão falsa e
premissa verdade. Logo, esta conclusão é conseqüência obrigatória da premissa, e por isso esta
alternativa é a resposta da questão.
Pronto! Por hoje é só de teoria! Esta aula de hoje é uma que merece ser estudada e
revisada com calma e com carinho, procurando-se sempre entender cada passo de resolução
explicado! Nossas duas próximas serão bem, digamos, interessantes: trabalharemos um assunto
chamado Estruturas Lógicas!
Portanto, nossa recomendação é a seguinte: aproveitem, enquanto ainda estamos na fase
inicial do curso, e revisem, durante esta semana, tudo o que foi visto. Refaçam os exercícios todos,
rememorizem os conceitos, as tabelas, as negações, as equivalências, tudo!
A partir da próxima aula a bola de neve ganhará mais e mais volume! E um número
crescente de informações será passado a cada módulo.
Façam, pois, bom proveito desta semana! Não percam esta oportunidade, ok?
Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus, e com o nosso dever de casa!
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DEVER DE CASA
23
(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:
Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
Gabarito: 1.E, 2.E
(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.
Item 3. A argumentação
•
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
•
Lógica não é fácil.
•
Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
•
P→Q
•
¬P
•
¬Q
Gabarito: 3.E
(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças
denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a
conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base
nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo
todo cachorro é vegetal.
Gabarito: 4.E, 5.E, 6.E, 7.C
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Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
24
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri,
Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não
é um argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:
10.
P→Q
¬P____
¬Q
11.
P∨Q
Q ∨ R_
P∨R
12.
P→Q
R → ¬Q
R______
¬P
13.
Se x=1 e y=z, então y>2
Y = 2________________
y≠z
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14.
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Se trabalho não posso estudar.
25
Trabalho ou serei aprovado em Matemática.
Trabalhei.___________________________
Fui aprovado em Matemática.
Gabarito:
10. inválido 11. inválido 12. válido
13. inválido 14. inválido
15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.
a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.
b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.
Gabarito: 15.b
16. Considere as premissas:
P1. Os bebês são ilógicos.
P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.
P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas
apresentadas.
a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b) Pessoas desprezadas são ilógicas.
c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.
d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.
e) Bebês são desprezados.
Gabarito: 16. b
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AULA QUATRO: Estruturas Lógicas
1
Olá, amigos!
Sem mais demora, daremos início hoje fazendo uma revisão sucinta da essência de nossa
aula passada. Foram várias as dúvidas trazidas ao nosso fórum, sobretudo questionando acerca da
escolha do melhor método para averiguar a validade de um argumento.
Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de
um ou de outro, em cada caso. Vejamos: (TABELA 01)
1º Método
2º Método
3º Método
4º Método
Utilização dos
Diagramas
(circunferências)
Construção das
Tabelas-Verdade
Considerando as
premissas
verdadeiras e
testando a
conclusão
verdadeira
Verificar a
existência de
conclusão falsa
e premissas
verdadeiras
Deve ser usado quando...
Não deve ser usado
quando...
O argumento apresentar as palavras
todo, nenhum, ou algum
O argumento não
apresentar tais
palavras.
Em qualquer caso, mas
preferencialmente quando o
argumento tiver no máximo duas
proposições simples.
O argumento
apresentar três ou
mais proposições
simples.
O 1º Método não puder ser
empregado, e houver uma
premissa...
...que seja uma proposição
simples; ou
Nenhuma premissa for
uma proposição
simples ou uma
conjunção.
... que esteja na forma de uma
conjunção (e).
O 1º Método não puder ser
empregado, e a conclusão...
...tiver a forma de uma proposição
simples; ou
... estiver a forma de uma disjunção
(ou); ou
A conclusão não for
uma proposição
simples, nem uma
disjunção, nem uma
condicional.
...estiver na forma de uma
condicional (se...então...)
Vejamos o exemplo seguinte:
Exemplo: Diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
~r_______
~p ∨ ~q
Sol.: Esse mesmo exercício foi resolvido na aula passada. Lá, utilizamos o 2º método (tabelasverdade) para resolvê-lo, pois estávamos interessados em ensinar como se fazia a tabela-verdade
para uma sentença formada por três premissas (p, q e r).
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2
Todavia, vamos seguir um roteiro baseado no quadro acima, para chegarmos ao melhor
caminho de resolução. Poderemos usar as seguintes perguntas:
Æ 1ª Pergunta) O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
A resposta é não! Logo, descartamos o 1º método e passamos à pergunta seguinte.
Æ 2ª Pergunta) O argumento contém no máximo duas proposições simples?
A resposta também é não! Temos aí três proposições simples! Portanto, descartamos
também o 2º método. Adiante.
Æ 3ª Pergunta) Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
A resposta é sim! A segunda proposição é (~r). Podemos optar então pelo 3º método? Sim,
perfeitamente! Mas caso queiramos seguir adiante com uma próxima pergunta, teríamos:
Æ 4ª Pergunta) A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma disjunção
ou de uma condicional?
A resposta também é sim! Nossa conclusão é uma disjunção! Ou seja, caso queiramos,
poderemos utilizar, opcionalmente, o 4º método!
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º métodos.
Obviamente que, na prova, ninguém vai fazer isso! Basta resolver uma vez! Adiante:
Resolução pelo 3º Método)
Considerando as premissas verdadeiras e testando a conclusão verdadeira. Teremos:
Æ 2ª Premissa) ~r é verdade. Logo: r é falsa!
Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que r é falsa, concluímos que (p∧q) tem que
ser também falsa. E quando uma conjunção (e) é falsa? Quando as duas partes são falsas. Logo: p
é falsa e q é falsa.
Em suma, obtivemos que: p, q e r são todos falsos!
Agora vamos testar a conclusão, a qual terá que ser verdadeira, com base nos valores
lógicos obtidos acima. Teremos:
~p ∨ ~q = V ou V = V
Só precisaremos nos lembrar de que o teste, aqui no 3º método, funciona assim: se a
conclusão for também verdadeira, então o argumento é válido!
Conclusão: o argumento é válido!
Resolução pelo 4º Método)
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
Æ Conclusão) ~p v ~q é falso. Logo: p é verdadeiro e q é verdadeiro!
Agora, passamos a testar as premissas, que são consideradas verdadeiras! Teremos:
Æ 1ª Premissa) (p∧q)Ær é verdade. Sabendo que p e q são verdadeiros, então a primeira
parte da condicional acima também é verdadeira. Daí, resta que a segunda parte não pode ser
falsa. Logo: r é verdadeiro.
Æ 2ª Premissa) Sabendo que r é verdadeiro, teremos que ~r é falso! Opa! A premissa
deveria ser verdadeira, e não foi!
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3
Neste caso, precisaríamos nos lembrar de que o teste, aqui no 4º método, é diferente do
teste do 3º: não havendo a existência simultânea da conclusão falsa e premissas
verdadeiras, teremos que o argumento é válido!
Conclusão: o argumento é válido!
Nem poderia ser outro modo! Vimos, pois, que os distintos métodos, se aplicados da forma
correta, não podem ter resultados diferentes. Na aula passada, resolvemos esse mesmo exercício
usando o 2º método, e a conclusão foi a mesma: argumento válido!
Passemos agora à resolução do dever de casa.
DEVER DE CASA
(TCE-ES/2004/CESPE) Julgue os itens a seguir:
Item 1. A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
Sol.: Claramente vemos que é possível usarmos o 1º método. Teremos:
Conhece
contabilidade
Sabe lidar
com
orçamento
JOÃO
A conclusão nos diz que João não sabe lidar com orçamento, logo, o argumento é válido!
Como a questão afirma que a argumentação é inválida, teremos que o item é ERRADO!
Item 2. A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
Paga imposto
CARLOS
É honesto
CARLOS
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4
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Carlos não necessariamente é uma pessoa honesta! Vejam que ele pode estar simplesmente
dentro do círculo maior (azul) e sem tocar o menor (vermelho)!
Daí, o argumento é inválido! Como a questão diz que é válido, o item está ERRADO!
(SERPRO/2004/ CESPE) Julgue o item a seguir.
Item 3. A argumentação
•
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
•
Lógica não é fácil.
•
Sócrates não foi mico de circo.
é válida e tem a forma
•
P→Q
•
¬P
•
¬Q
Sol.: A forma simbólica está correta. Isso é facilmente constatado. O que temos que analisar é
sobre a validade do argumento.
Qual o melhor método a ser utilizado? Vamos ao roteiro aprendido acima!
1ª Pergunta)
O argumento apresenta as palavras todo, algum ou nenhum?
Resposta:
Não! Descartamos o 1º método!
2ª Pergunta)
O argumento contém no máximo duas proposições simples?
Resposta:
Sim! Se quisermos, podemos usar o 2º método, facilmente!
3ª Pergunta)
Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
Resposta:
Sim! A segunda premissa é uma proposição simples! Se quisermos, poderemos
usar o 3º método!
4ª Pergunta)
A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma
disjunção ou de uma condicional?
Resposta:
Sim, também! A conclusão é uma proposição
poderemos igualmente usar o 4º método!
simples.
Opcionalmente,
São três alternativas: poderemos concluir acerca da validade do argumento, por meio do 2º
ou do 3º ou do 4º método! Como são apenas duas proposições simples, optaremos pelo 2º
método, e construiremos a tabela-verdade! Teremos:
TABELA 02
P
Q
PÆQ
~P
~Q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
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Da tabela-verdade acima nos interessarão somente as duas últimas linhas! Por que isso?
Porque são as duas únicas em que as premissas têm, simultaneamente, valor lógico verdade! Daí,
para que o argumento fosse válido, seria preciso que a conclusão (última coluna) fosse também
verdade nas duas linhas! Como isso não ocorre (vide terceira linha!), diremos que o argumento é
inválido!
O item está, portanto, ERRADO!
(Agente da Polícia Federal/2004/CESPE)
Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças
denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a
conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base
nessas informações, julgue os itens que se seguem.
Item 4. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
Sol.: A bem da verdade, para responder a este item (e aos próximos), podemos até deixar de lado
as palavras do enunciado. Já sabemos o que é um argumento válido!
Já é do nosso conhecimento que a análise da validade do argumento se prende à forma,
e não ao conteúdo das premissas (ou da conclusão!). Logo, mesmo uma premissa sendo absurda
em seu conteúdo, ou seja, mesmo sendo falsa, pode perfeitamente gerar um argumento válido.
O item 4 está, portanto, ERRADO!
Item 5. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido.
Sol.: Mesmo raciocínio do item anterior. O que se leva em conta na verificação da validade do
argumento é se a construção é perfeita em sua forma. A conclusão pode ter conteúdo falso, e isso
não necessariamente redundará em um argumento inválido!
O item 5 está ERRADO!
Item 6. Se a conclusão é verdadeira, o argumento é válido.
Sol.: Não necessariamente! A idéia é a mesma dos dois itens anteriores.
O item 6 está ERRADO!
Item 7. É válido o seguinte argumento: todo cachorro é verde, e tudo que é verde é vegetal, logo
todo cachorro é vegetal.
VEGETAL
VERDE
CACHORRO
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Os diagramas acima não deixam qualquer dúvida: a conclusão é resultado necessário das
premissas! Ou seja, o argumento é válido.
O item 7 está, pois, CORRETO!
Questão 8: (TRT-9ª Região/2004/FCC) Observe a construção de um argumento:
Premissas: Todos os cachorros têm asas.
Todos os animais de asas são aquáticos.
Existem gatos que são cachorros.
Conclusão: Existem gatos que são aquáticos.
Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que:
(A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro.
(B) A não é válido, P e C são falsos.
(C) A é válido, P e C são falsos.
(D) A é válido, P ou C são verdadeiros.
(E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.
Sol.: Para dizer se a conclusão (C) ou se as premissas (P) são verdadeiras ou falsas,
observaremos o que há em seu conteúdo.
Ora, sabemos que cachorros não têm asas; que gatos não são cachorros; e que não
existem gatos aquáticos! Portanto, são falsas tanto as premissas quanto a conclusão!
Há duas opções de resposta que nos dizem isso: as letras B e C.
O que vai definir a resposta da questão é a análise da validade do argumento!
Façamos tal análise com uso do 1º método (diagramas). Teremos:
AQUÁTICOS
TEM ASAS
CACHORROS
GATOS
Mais uma vez o desenho é inequívoco: necessariamente a conclusão do argumento será
verdadeira, uma vez consideradas verdadeiras as premissas! Ou seja, o argumento é válido!
Isso somente ratifica o que dissemos na análise dos itens anteriores: mesmo sendo
absurdos os conteúdos das premissas e da conclusão, a construção é perfeita em sua forma, o
que nos leva a um argumento válido!
A resposta da questão é a LETRA C.
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7
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Questão 9: (SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri,
Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não
é um argumento logicamente válido, uma vez que:
a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.
b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.
c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.
d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.
e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.
Sol.: Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.
Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tãosomente, que a conclusão não é decorrência necessária (obrigatória) das premissas!
É o que diz a opção A Æ Resposta!
Classifique, quanto à validade, os seguintes argumentos:
10.
P→Q
¬P____
¬Q
Sol.: Mesmo argumento já foi analisado no item 03 supra! Como o argumento traz apenas duas
proposições simples (p e q), usamos o 2º método, da construção da tabela-verdade. Chegamos a:
TABELA 03
P
Q
PÆQ
~P
~Q
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
V
Pela análise das duas últimas linhas, concluímos que o argumento é inválido!
11.
P∨Q
Q ∨ R_
P∨R
Sol.: Temos três proposições simples neste argumento, de sorte que não é muito conveniente
usarmos o 2º método. Vamos escolher entre o 3º e o 4º.
Façamos as duas últimas perguntas do roteiro. Teremos:
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3ª Pergunta)
8
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Há alguma das premissas que seja uma proposição simples ou uma
conjunção?
Resposta:
Não! Descartemos, pois, o 3º método!
4ª Pergunta)
A conclusão tem a forma de uma proposição simples ou de uma
disjunção ou de uma condicional?
Resposta:
Sim! A conclusão é uma condicional. Adotaremos, pois, o 4º método!
4º Método)
Considerando a conclusão falsa e premissas verdadeiras. Teremos:
Æ Conclusão) P v R é falso. Logo: P é falso e R é falso!
Agora, passamos a testar as premissas. Teremos:
Æ 1ª Premissa) P v Q é verdade. Sabendo que P é falso, teremos que Q terá que ser
verdadeiro!
Æ 2ª Premissa) Q v R é verdade.
Os valores lógicos obtidos anteriormente foram: Q é V e R é F. Substituindo estes valores
lógicos nesta premissa (Q v R), teremos como resultado um valor verdadeiro. O que concorda
com a consideração feita inicialmente de que a premissa era verdadeira.
Lembramos que, no 4º método, quando se confirma a situação premissas verdadeiras e
conclusão falsa, constataremos que o argumento é inválido!
12.
P→Q
R → ¬Q
R______
¬P
Sol.: Aplicaremos novamente aqui o 4º método. Teremos:
Æ Conclusão) ~P é falso. Logo: P é verdadeiro!
Considerando as premissas verdadeiras e testando-as, teremos:
Æ 1ª Premissa) PÆQ é verdade. Sabendo que P é verdadeiro, teremos que Q terá que ser
também verdadeiro!
Æ 2ª Premissa) RÆ~Q é verdade. Sabendo que Q é verdadeiro então ~Q é falso. Daí,
sendo ~Q falso, teremos que R terá que ser também falso.
Æ 3ª Premissa) Sabendo (da 2ª premissa) que R é falso, constatamos que a 3ª premissa
é falsa! Ou seja, se a conclusão é falsa, e 1ª e 2ª premissa são verdadeiras, então esta
premissa não pode ser verdadeira!
Ora, falhou a situação premissas verdadeiras e conclusão falsa! Daí, o argumento é
válido!
13.
Se x=1 e y=z, então y>2
Y = 2________________
y≠z
Sol.: Aplicando o 3º método, iremos considerar as premissas verdadeiras e testar a conclusão.
Teremos:
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Æ 2ª Premissa: y=2 é verdadeira!
9
Æ 1ª Premissa: Ora, se é verdadeiro que y=2, então a segunda parte da 1ª premissa (y>2)
é falsa. E sendo falso que y>2, teremos que a primeira parte desta condicional deverá ser também
falsa. Ou seja, é falso que x=1 e y=z. Daí, teremos que: x≠1 OU y≠z.
Este ou da análise acima denota que não é uma conclusão necessária que y≠z. Pode ser, ou
não! Daí, diremos que o argumento é inválido!
14.
Se trabalho não posso estudar.
Trabalho ou serei aprovado em Matemática.
Trabalhei.___________________________
Fui aprovado em Matemática.
Sol.: Só para variar, vamos resolver essa aqui por meio da Tabela-Verdade, embora sejam três
proposições simples a compor esse argumento. Vamos chamar de:
Æ P = trabalho
Æ Q = estudo
Æ R = aprovado em matemática
Daí, nosso argumento em linguagem simbólica será o seguinte:
PÆ~Q
P ou R
P
R
Nossa tabela-verdade será a seguinte: TABELA 04:
P
Q
R
~Q
PÆ~Q
P ou R
P
R
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Nossa análise se prenderá à terceira e à quarta linhas, nas quais os valores lógicos das
premissas são, simultaneamente, verdadeiro! Daí, vemos que na terceira linha a conclusão é
verdadeira, mas o mesmo não se dá na quarta linha.
Logo, constatamos que o argumento é inválido!
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15. Assinale a alternativa que contém um argumento válido.
a) Alguns atletas jogam xadrez.
Todos os intelectuais jogam xadrez.
Conclusão: Alguns atletas são intelectuais.
Sol.: Fazendo os diagramas do 1º método, teremos:
ENXADRISTAS
ATLETAS
INTELECTUAIS
Observemos que não é um resultado necessário que haja um ponto em comum entre o
diagrama dos intelectuais e dos atletas. Logo, este argumento é inválido!
b) Se estudasse tudo, eu passaria.
Eu não passei.
Conclusão: Eu não estudei tudo.
Sol.: Terceiro método! Começando pela 2ª premissa. Teremos:
Æ “Eu não passei” é verdade. Logo, que eu passei é falso.
Æ 1ª premissa) “Se estudasse tudo, eu passaria” é verdade! Sabendo que a segunda parte
é falsa, então a primeira parte (estudei tudo) é também falsa!
Analisando a conclusão: “Eu não estudei tudo”, vemos que será verdadeira!
Com isso, constatamos: o argumento é válido!
16. Considere as premissas:
P1. Os bebês são ilógicos.
P2. Pessoas ilógicas são desprezadas.
P3. Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.
Assinale a única alternativa que não é uma conseqüência lógica das três premissas
apresentadas.
a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.
b) Pessoas desprezadas são ilógicas.
c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos.
d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos.
e) Bebês são desprezados.
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Sol.: Trabalhando com o 1º método, teremos:
11
DESPREZADOS
AMESTRADORES DE
CROCODILOS
ILÓGICOS
BEBÊS
Analisando as opções de resposta com base no desenho acima, vemos que a única delas que
não apresenta um resultado necessariamente verdadeiro é justamente a constante na letra B.
Notem que pode haver pessoas desprezadas que não são necessariamente ilógicas! São
aqueles que estão no círculo maior (marrom) mas não tocam o círculo azul.
Passemos agora ao nosso assunto de hoje!
O tipo de questão que estudaremos agora é o que chamamos de Estruturas Lógicas.
Caracteriza-se por apresentar um conjunto de afirmações (premissas), formado por proposições
compostas (os termos são interligados pelos conetivos lógicos: e, ou, se...então, se e somente se),
e também podem apresentar proposições simples.
A resposta solicitada para este tipo de questão é a alternativa que traz uma conclusão que
é necessariamente verdadeira para o conjunto de premissas fornecidas no enunciado.
Assim, notamos que as questões de estruturas lógicas se assemelham às de Argumento
Válido, pois apresenta premissas (trazidas no enunciado) e uma conclusão válida (que será a
própria resposta procurada!).
Para resolver as questões de estruturas lógicas utilizaremos os métodos de teste de validade
de argumentos apresentados na AULA TRÊS, basicamente o 3º e o 4º métodos.
Dividiremos as questões de Estruturas lógicas em dois tipos, a saber:
1º tipo: Quando uma das premissas apresenta somente uma forma de ser verdadeira. Isso ocorre
em duas situações:
1) o conjunto de premissas traz alguma proposição simples; ou
2) o conjunto de premissas traz alguma proposição composta em forma de conjunção
(com o conectivo “e” interligando os seus termos).
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2º tipo: Quando todas as premissas do argumento possuem mais uma forma de ser verdadeira.
12
Nesta presente aula, veremos somente o 1º tipo, deixando o 2º para a próxima.
O 1º tipo, definido acima, é resolvido utilizando-se o 3º método de teste de validade de
argumentos, já nosso conhecido! Como já vimos, o 3º método é realizado por meio dos seguintes
passos:
1º passo: consideram-se as premissas verdadeiras, e com o conhecimento das tabelas-verdade
dos conectivos, descobrimos os valores lógicos das proposições simples que compõe o
argumento.
2º passo: A partir dos valores lógicos das proposições simples, devemos encontrar qual é a
alternativa que traz uma proposição que é conseqüência obrigatória das premissas, ou
seja, que possui valor lógico necessariamente verdadeiro.
Não há melhor maneira de se aprender a trabalhar questões de Estruturas Lógicas do que
por meio da resolução de questões! Passemos a elas!
EXEMPLO 01:
(AFC 2002 ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem
não é cunhada de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de
Carol. Logo,
a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol.
b) Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem.
c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol.
d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol.
e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
Solução:
O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol.
P2. Carmem não é cunhada de Carol.
P3. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol.
Da mesma forma que já fizemos em diversas soluções de questões, vamos traduzir
simbolicamente as frases acima, a fim de tornar a solução mais rápida. Para isso, vamos definir as
seguintes proposições simples:
A = Carina é amiga de Carol
B = Carina é cunhada de Carol
C = Carmem é cunhada de Carol
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A → C
P2. ~C
P3. ~B → A
Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:
1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A , B e C).
Veja o procedimento seqüencial feito abaixo:
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a) Começamos pela 2ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só possui uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A →
P2.
~C
P3.
~B →
C
⇒ Como ~C é verdade, logo C é F
A
Resultado: O valor lógico de C é F.
b) Substitua C pelo seu valor lógico F
P1.
A →
P2.
~F
P3.
~B →
F
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que A tenha valor lógico F
A
Resultado: O valor lógico de A é F.
c) Substitua A pelo seu valor lógico F
P1.
F →
P2.
~F
P3.
~B →
F
F
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~B tenha valor lógico
F, e daí B é V.
Resultado: O valor lógico de B é V.
- Em suma:
A é F , significa que: “Carina é amiga de Carol” é falso.
Daí: (“Carina não é amiga de Carol” é verdade)
B é V , significa que: “Carina é cunhada de Carol” é verdade.
C é F , significa que: “Carmem é cunhada de Carol” é falso.
Daí: (“Carmem não é cunhada de Carol” é verdade)
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz
uma proposição necessariamente verdadeira.
Não há necessidade de traduzirmos as frases das alternativas da questão para linguagem
simbólica. Observemos como é fácil descobrir a alternativa correta:
falso
a) Carina é cunhada de Carmem
falso
e
é amiga de Carol.
Æ falso
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verdade
verdade
b) Carina não é amiga de Carol
ou
falso
c) Carina é amiga de Carol
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não é cunhada de Carmem.
Æ verdade
falso
ou
falso
d) Carina é amiga de Carmem
Æ falso
falso
e
falso
e) Carina é amiga de Carol
não é cunhada de Carol.
é amiga de Carol.
Æ falso
verdade
e
não é cunhada de Carmem.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a letra “B” Æ Resposta!
EXEMPLO 02:
(ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não
velejo. Assim,
a) estudo e fumo.
b) não fumo e surfo.
c) não velejo e não fumo.
d) estudo e não fumo.
e) fumo e surfo.
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. Surfo ou estudo.
P2. Fumo ou não surfo.
P3. Velejo ou não estudo.
P4. Não velejo.
Ora, as premissas são frases pequenas, então não há necessidade de definir letras para
representar as proposições simples. Vamos trabalhar do jeito que está!
Agora vamos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Vejamos a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
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P1.
Surfo ou estudo
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
Velejo ou não estudo
P4.
Não velejo
⇒ Como ‘Não velejo’ é verdade, logo ‘velejo’ é F
Resultado: O valor lógico ‘velejo’ é F.
b) Substitua ‘velejo’ por F, e ‘não velejo’ por V
P1.
Surfo ou estudo
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
F ou não estudo
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘não
estudo’ tenha valor lógico V . Daí ‘estudo’ é F.
Resultado: O valor lógico de ‘estudo’ é F.
c) Substitua ‘estudo’ por F, e ‘não estudo’ por V
P1.
Surfo ou F
P2.
Fumo ou não surfo
P3.
F ou V
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘surfo’
tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de ‘surfo’ é V.
d) Substitua ‘surfo’ por V, e ‘não surfo’ por F
P1.
V ou F
P2.
Fumo ou F
P3.
F ou V
P4.
V
⇒ para que a disjunção seja verdade é necessário que ‘Fumo’
tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de ‘Fumo’ é V.
- Em suma, as verdades são:
‘não velejo’
;
‘não estudo’
‘surfo’
;
‘Fumo’
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16
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2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
F
V
a) estudo
e
fumo
F
Æ falso
V
b) não fumo e surfo
V
Æ falso
F
c) não velejo e não fumo
F
Æ falso
F
d) estudo e não fumo
V
Æ falso
V
e) fumo e surfo
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “E” Æ Resposta!
EXEMPLO 03:
(Fiscal Recife 2003 ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então
Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado.
Logo:
a) Caio e Beto são inocentes
d) Caio e Dênis são culpados
b) André e Caio são inocentes
e) André e Dênis são culpados
c) André e Beto são inocentes
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. André é inocente ou Beto é inocente.
P2. Se Beto é inocente, então Caio é culpado.
P3. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado.
P4. Dênis é culpado.
Apesar de as premissas serem frases pequenas, nós as traduziremos para a forma
simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:
A = André é inocente
B = Beto é inocente
C = Caio é inocente
D = Dênis é culpado
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Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A ou B
P2. B → ~C
P3. C ↔ D
P4. D
Agora passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C e D).
Vejamos a seqüência abaixo:
a) Começaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A ou B
P2.
B → ~C
P3.
C ↔ D
P4.
D
⇒ DéV
Resultado: O valor lógico de D é V .
b) Substitua D por V
P1.
A ou B
P2.
B → ~C
P3.
C ↔ V
P4.
V
⇒ para que a bicondicional seja verdade, é necessário que C tenha valor
lógico V
Resultado: O valor lógico de C é V.
c) Substitua C por V, e ~C por F
P1.
A ou B
P2.
B → F
P3.
V ↔ V
P4.
V
para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor lógico F.
Resultado: O valor lógico de B é F.
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d) Substitua B por F
P1.
A ou F
P2.
F → F
P3.
V ↔ V
P4.
V
⇒ para que a conjunção seja verdade, A deve ser V.
Resultado: O valor lógico de A é V.
- Em suma:
A é V , significa que é verdade que: “André é inocente”
B é F , significa que é verdade que: “Beto não é inocente”, ou seja, “Beto é culpado”
C é V , significa que é verdade que: “Caio é inocente”
D é V , significa que é verdade que: “Dênis é culpado”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
a) Caio e Beto são inocentes.
Æ falso
b) André e Caio são inocentes
Æ verdade
c) André e Beto são inocentes
Æ falso
d) Caio e Dênis são culpados
Æ falso
e) André e Dênis são culpados
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a “B” Æ Resposta!
EXEMPLO 04:
(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se a professora de matemática foi à reunião,
nem a professora de inglês nem a professora de francês deram aula. Se a professora de
francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de
português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um
problema não foi resolvido. Logo,
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula.
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à reunião.
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião.
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião.
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
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P1.
19
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Se a professora de matemática foi à reunião, então nem a professora de inglês nem a
professora de francês deram aula.
P2. Se a professora de francês não deu aula, então a professora de português foi à reunião.
P3. Se a professora de português foi à reunião, então todos os problemas foram resolvidos.
P4. Pelo menos um problema não foi resolvido.
Na premissa P1 aparece a palavra nem. Podemos reescrever esta premissa tirando tal
palavra, mas sem mudar o sentido:
P1. Se a professora de matemática foi à reunião, então a professora de inglês não deu aula e a
professora de francês não deu aula.
Na premissa P3 temos a proposição: “todos os problemas foram resolvidos”, e na premissa
P4 temos a proposição: “Pelo menos um problema não foi resolvido”. Qual a relação entre estas
duas proposições?
Ora, a proposição “Pelo menos um problema não foi resolvido” é a negação de “todos os
problemas foram resolvidos”. Vamos utilizar este resultado na representação simbólica das
premissas que será feita abaixo.
Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes
proposições simples:
M = a professora de matemática foi à reunião
I = a professora de inglês deu aula
Fr = a professora de francês deu aula
P = a professora de português foi à reunião
R = todos os problemas foram resolvidos
Assim, as frases traduzidas para a linguagem simbólica serão as seguintes:
P1. M → (~I e
~Fr)
P2. ~Fr → P
P3. P → R
P4. ~R
Agora vamos a solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → P
P3.
P → R
P4.
~R
⇒ Como ~R é V , então R é F
Resultado: O valor lógico de R é F.
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20
b) Substitua R por F, e ~R por V
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → P
P3.
P → F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade, P deve ser F
Resultado: O valor lógico de P é F.
c) Substitua P por F
P1.
M → (~I e ~Fr)
P2.
~Fr → F
P3.
F → F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade, ~Fr deve ser F, daí Fr é V
Resultado: O valor lógico de Fr é V.
d) Substitua ~Fr por F
P1.
M → (~I e F)
P2.
F → F
P3.
F → F
P4.
V
⇒ Como um dos termos da conjunção (~I e F) é falso, logo toda a
conjunção será falsa. Daí a condicional passa a ser: M → F . Para que
esta condicional seja verdadeira, M deve ser F.
Resultado: O valor lógico de M é F.
- Em suma:
M é F , significa que é verdade que: “a professora de matemática não foi à reunião”.
I é indeterminado, significa que pode ser falso ou verdade que:“a professora de inglês deu aula”
Fr é V , significa que é verdade que: “a professora de francês deu aula”.
P é F , significa que é verdade que: “a professora de português não foi à reunião”.
R é F , significa que é verdade que: “Pelo menos um problema não foi resolvido”.
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2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
V
F
a) a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês
não deu aula.
V
V
b) a professora de matemática e a professora de português não foram à
reunião.
F
Æ verdade
V
c) a professora de francês não deu aula e a professora de português não
foi à reunião.
F
Æ falso
F
d) a professora de francês não deu aula ou a professora de português foi
à reunião.
indeterminado
Æ falso
Æ falso
F
e) a professora de inglês e a professora de francês não deram aula.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!
EXEMPLO 05:
(AFC-SFC 2001 ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se
Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou.
Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento
b) Camile e Carla não foram ao casamento
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
e) Vera e Vanderléia não viajaram
Solução:
O enunciado da questão apresenta quatro afirmações (premissas), que são apresentadas
abaixo:
P1. Se Vera viajou, então nem Camile nem Carla foram ao casamento.
P2. Se Carla não foi ao casamento, então Vanderléia viajou.
P3. Se Vanderléia viajou, então o navio afundou.
P4. O navio não afundou
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Na 1ª premissa aparece a palavra 'nem'. Vamos reescrever esta premissa tirando tal
palavra, mas preservando o sentido:
P1. Se Vera viajou, então Camile não foi ao casamento e Carla não foi ao casamento.
Agora, vamos traduzir as premissas acima para a forma simbólica, a fim de tornar mais
rápida a solução. Para isso, vamos definir as seguintes proposições simples:
A = Vera viajou
B = Vanderléia viajou
C = Camile foi ao casamento
D = Carla foi ao casamento
E = o navio afundou
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. A → (~C e ~D)
P2. ~D → B
P3. B → E
P4. ~E
Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples (A, B, C, D e
E). Vejamos a seqüência abaixo:
a) Começamos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → B
P3.
B → E
P4.
~E
⇒ Como ~E é verdade, logo E é F
Resultado: O valor lógico de E é F.
b) Substitua E por F , e ~E por V
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → B
P3.
B→ F
P4.
V
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que B tenha valor
lógico F
Resultado: O valor lógico de B é F.
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23
c) Substitua B por F
P1.
A → (~C e ~D)
P2.
~D → F
P3.
F→ F
P4.
⇒ para que a condicional seja verdade é necessário que ~D tenha
valor lógico F, daí D é V.
V
Resultado: O valor lógico de D é V.
d) Substitua D por V, e ~D por F
P1.
A → (~C e F)
P2.
F→ F
P3.
F→ F
P4.
V
⇒ A conjunção (~C e F) tem um termo F, daí o valor da conjunção
também é F . Logo a condicional simplifica para: A → F . Esta
condicional deve ser verdadeira, então A é F .
Resultado: O valor lógico de A é F.
- Em suma:
A é F , significa que é verdade que: “Vera não viajou”
B é F , significa que é verdade que: “Vanderléia não viajou”
D é V , significa que é verdade que: “Carla foi ao casamento”
E é F , significa que é verdade que: “o navio não afundou”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
Não há necessidade de traduzir as frases das alternativas da questão para linguagem
simbólica. Observe como é que descobriremos qual é a alternativa correta.
V
a) Vera não viajou
F
e
Carla não foi ao casamento.
indeterminado
b) Camile não foi ao casamento
Æ falso
F
e
Carla não foi ao casamento
Æ falso
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F
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V
c) Carla não foi ao casamento
e
Vanderléia não viajou
F
Æ falso
F
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
V
e) Vera não viajou
24
Æ falso
V
e
Vanderléia não viajou
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!
EXEMPLO 06)
(MPOG 2002 ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w
– 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1.
Logo,
a) 2w – 3r = 0
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
c) M ≠ 2x + 3y
d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
Solução:
O enunciado da questão traz cinco afirmações (premissas), que são descritas abaixo:
P1. Se M=2x+3y, então M=4p+3r.
P2. Se M=4p+3r, então M=2w–3r.
P3. M=2x+3y, ou M=0.
P4. Se M=0, então M+H=1.
P5. M+H≠1
Quando a questão se apresenta desta forma é melhor não substituirmos as proposições
simples por letras, mas somente simplificar os conectivos. Assim teremos:
P1. M=2x+3y → M=4p+3r.
P2. M=4p+3r → M=2w–3r.
P3. M=2x+3y ou M=0.
P4. M=0 → M+H=1.
P5. M+H≠1
Observemos os passos de resolução abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
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a) Iniciaremos pela 5ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou (M=0)
P4.
(M=0) Æ (M+H=1)
P5.
(M+H≠1)
⇒Todas as premissas são verdadeiras, então (M+H≠1) é V
Resultado: O valor lógico de (M+H≠1) é V
b) Substitua (M+H≠1) por V, e (M+H=1) por F
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou (M=0)
P4.
(M=0) Æ F
P5.
V
⇒ Esta condicional deve ser verdadeira, logo (M=0) é F
Resultado: O valor lógico de (M=0) é F
c) Substitua (M=0) por F
P1.
(M=2x+3y) Æ (M=4p+3r)
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
(M=2x+3y) ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
⇒ Para que esta disjunção seja verdade, é necessário que
(M=2x+3y) tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de (M=2x+3y) é V
d) Substitua (M=2x+3y) por V
P1.
V Æ (M=4p+3r)
⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que
(M=4p+3r) tenha valor lógico V.
P2. (M=4p+3r) Æ (M=2w–3r)
P3.
V ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
Resultado: O valor lógico de (M=4p+3r) é V
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26
e) Substitua (M=4p+3r) por V
P1.
V Æ V
P2. V Æ (M=2w–3r)
P3.
V ou F
P4.
F ÆF
P5.
V
⇒ Para que esta condicional seja verdade, é necessário que
(M=2w–3r) tenha valor lógico V.
Resultado: O valor lógico de (M=2w–3r) é V
- Em suma:
(M+H≠1) é V , significa que é verdade que: “(M+H ≠ 1)”
(M=0) é F
, significa que é verdade que: “(M ≠ 0) ”
(M=2x+3y) é V , significa que é verdade que: “(M = 2x+3y) ”
(M=4p+3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 4p+3r)”
(M=2w–3r) é V , significa que é verdade que: “(M = 2w–3r)”
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
a) 2w – 3r = 0
Temos que M=2w–3r e que M≠0 , daí 2w–3r ≠ 0
Æ falso
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
Temos que M=4p+3r e que M=2w–3r , daí
4p+3r = 2w–3r
Æ falso
Æ falso
c) M ≠ 2x + 3y
d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
Temos que M=2x+3y e que M=2w–3r , daí
2x+3y = 2w–3r .
Æ falso
Æ verdade
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a E Æ Resposta!
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EXEMPLO 07)
(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto
é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.
Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
Solução:
O enunciado da questão traz quatro afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão.
P2. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol.
P3. Se Pedro não é português, então Frederico é francês.
P4. Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana.
Na premissa P4 aparece a palavra nem. Vamos reescrever esta premissa de outra maneira
(sem mudar o sentido):
P4. Egídio não é espanhol e Isaura não é italiana.
Traduziremos as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as seguintes
proposições simples:
Fr = Frederico é francês
A = Alberto é alemão
P = Pedro é português
E = Egídio é espanhol
I = Isaura é italiana
Destarte, as frases traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. Fr → ~A
P2. ou A ou E
P3. ~P → Fr
P4. ~E e ~I
Passemos à solução propriamente dita. Observemos os passos abaixo:
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e, a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
seqüência abaixo:
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a) Iniciaremos pela 4ª premissa, pois esta é uma proposição composta que usa somente o
conectivo “e”, e, portanto, só tem uma forma de ser verdadeira.
P1.
Fr → ~A
P2.
ou A ou E
P3.
~P → Fr
P4.
~E e ~I
⇒ para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser
verdade, daí ~E deve ser V e ~I deve ser V. Portanto, E é F e I é F.
Resultado: O valor lógico de E é F , e o de I também é F.
b) Substitua E por F (e ~E por V), e I por F (e ~I por V).
P1.
Fr → ~A
P2.
ou A ou F
P3.
~P → Fr
P4.
V e V
⇒ para que a conjunção exclusiva seja verdade, A deve ser V.
Resultado: O valor lógico de A é V.
c) Substitua A por V (e ~A por F)
P1.
Fr → F
P2.
ou V ou F
P3.
~P → Fr
P4.
V e V
⇒ para que a condicional seja verdade, Fr deve ser F.
Resultado: O valor lógico de Fr é F.
d) Substitua Fr por F
P1.
F → F
P2.
ou V ou F
P3.
~P → F
P4.
V e V
⇒ para que a condicional seja verdade, ~P deve ser F, daí P é V.
Resultado: O valor lógico de P é V.
- Em suma:
Fr é F , significa que é verdade que: “Frederico não é francês”.
A é V , significa que é verdade que: “Alberto é alemão”
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P é V , significa que é verdade que: “Pedro é português”.
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E é F , significa que é verdade que: “Egídio não é espanhol”.
I é F , significa que é verdade que: “Isaura não é italiana”.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificaremos qual é a alternativa que traz
uma proposição necessariamente verdadeira.
V
F
a) Pedro é português e Frederico é francês
V
V
b) Pedro é português e Alberto é alemão
F
Æ falso
F
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
V
Æ verdade
V
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
F
Æ falso
Æ falso
F
e) Se Alberto é alemão, então Frederico é francês.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a B Æ Resposta!
EXEMPLO 08)
(ACExt TCU 2002 ESAF) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do
castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde
encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição
necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo:
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
Solução:
O enunciado da questão traz três afirmações (premissas), que são apresentadas abaixo:
P1. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente
para a duquesa ir ao jardim.
P2. o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é
condição necessária para a duquesa ir ao jardim.
P3. O barão não sorriu.
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Para resolver esta questão devemos relembrar alguns conceitos dados na AULA UM:
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1) A proposição condicional: “Se p, então q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:
“p é condição suficiente para q” ou “q é condição necessária para p”.
2) A proposição bicondicional: “p se e só se q” , pode ser expressa das seguintes maneiras:
“p é condição suficiente e necessária para q” ou
“q é condição suficiente e necessária para p”.
A partir disto vamos reescrever as premissas utilizando os conectivos do condicional
(se...então) e do bicondicional (se e só se):
P1. Se o duque sair do castelo, então o rei vai a caça, e
se o rei vai a caça, então a duquesa vai ao jardim.
P2. O conde encontra a princesa se e só se o barão sorrir e
se a duquesa vai ao jardim, então o conde encontra a princesa.
P3. O barão não sorriu.
Agora vamos traduzir as premissas para a forma simbólica. Para isso, vamos definir as
seguintes proposições simples:
D = o duque sair do castelo.
R = o rei vai a caça.
J = a duquesa vai ao jardim
C = o conde encontra a princesa.
B = o barão sorrir.
Destarte, as premissas traduzidas para a linguagem simbólica ficam assim:
P1. (D → R) e (R → J)
P2. (C ↔ B) e (J → C)
P3. ~B
Agora vamos a solução propriamente dita. Observe os passos abaixo:
1º PASSO: Considerando as premissas como verdadeiras e a partir do conhecimento das
tabelas-verdade dos conectivos, vamos obter o valor lógico das proposições simples. Veja a
sequência abaixo:
a) Iniciaremos pela 3ª premissa, pois esta é uma proposição simples, e, portanto, só tem uma
forma de ser verdadeira.
P1.
(D → R) e (R → J)
P2.
(C ↔ B) e (J → C)
P3.
~B
Como ~B é V , então B é F
Resultado: O valor lógico de B é F.
b) Substitua B por F, e ~B por V
P1.
(D → R) e (R → J)
P2.
(C ↔ F) e (J → C)
P3.
V
para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem ser
verdade, daí (C ↔ F) é V , e (J → C) é V. Para que a bicondicional
(C ↔ F) seja V, C deve ser F. E para que a condicional (J → C) seja
V, J deve ser F, já que C é F.
Resultado: O valor lógico de C é F, e o de J também é F.
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c) Substitua C por F, e J por F
P1.
(D → R) e (R → F)
P2.
(F ↔ F) e (F → F)
P3.
V
31
para que a conjunção seja verdade, ambos os seus termos devem
ser verdade, daí (D → R) é V , e (R → F) é V. Para que a
condicional (R → F) seja V, R deve ser F. E para que a condicional
(D → R) seja V, D deve ser F, já que R é F.
Resultado: O valor lógico de R é F, e o de D também é F.
- Em suma:
D é F , significa que é verdade que: “o duque não sai do castelo”.
R é F , significa que é verdade que: “o rei não vai a caça”
J é F , significa que é verdade que: “a duquesa não vai ao jardim”.
C é F , significa que é verdade que: “o conde não encontra a princesa”.
B é F , significa que é verdade que: “o barão não sorrir”.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas no 1° passo, verificar qual é a alternativa que traz uma
proposição necessariamente verdadeira.
F
F
a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.
V
Æ falso
F
b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa.
V
Æ falso
V
c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
F
Æ verdade
V
d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim.
F
Æ falso
V
e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.
Æ falso
A única alternativa que traz uma proposição verdadeira é a c Æ Resposta!
Com estes exemplos resolvidos acima, esperamos que fique paulatinamente automatizado o
raciocínio para matarmos quaisquer outras questões semelhantes. E há muitas delas!
Na seqüência, apresentamos o dever de casa para esta semana!
O bonde está andando, meus amigos! O melhor é não perder a viagem! E isso se faz
estudando a aula da semana, revisando tudo e resolvendo as questões propostas! Sem isso, não
há aprendizado!
Um abraço forte a todos e fiquem com Deus!
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DEVER DE CASA
32
01.(AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então
ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala
espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala
francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
02.(MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida.
Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos.
Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
03.(MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para
Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela
abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando
Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
04.(AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem
certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões
discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está
enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado,
então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido, ou
José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
b) Luís e Júlio não estão enganados
c) Júlio está enganado, mas não Luís
d) Luís está engando, mas não Júlio
e) José não irá ao cinema
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33
05.(TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será
pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana
será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
06.(Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao parque.
Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também, que, nos finais
de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que Dadá vai visitar tia Célia,
Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi estuda. Então, no final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
07.(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤
T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
Gabarito: 01.A
02.C
03.D
04.E
05.A
06.A
07.A
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CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO
AULA CINCO: Estruturas Lógicas (Continuação)
1
Olá, amigos!
Iniciaremos nossa aula de hoje com a resolução do dever de casa da semana passada!
Esperamos que todos tenham resolvido – ou ao menos tentado, o que é mais importante! - as oito
questões que foram propostas. Passemos às resoluções.
Dever de Casa
01.(AFC 2002 ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala
italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala
dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for
verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não
fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Sol.: Como vimos na aula passada, dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso,
convém traduzirmos as premissas do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:
I: Iara fala italiano.
A: Ana fala alemão.
C: Ching fala chinês.
D: Débora fala dinarmaquês.
E: Elton fala espanhol.
F: Francisco fala francês.
Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças do enunciado estarão assim
traduzidas:
P1:
P2:
P3:
P4:
P5:
~I Æ A
I Æ (C ou D)
DÆE
E ↔ ~(~F)
~F e ~C
Antes de passarmos à resolução propriamente dita, façamos uma rápida análise da premissa
quatro (P4) acima. Ela é curiosa, pois traz, na segunda parte da condicional, a negação de uma
negação! Vejamos: Não é verdade que Francisco não fala francês.
Ora, negar uma negação é o mesmo que afirmar! Aprendemos isso na primeira aula!
Assim, podemos reescrever a quarta premissa, sem prejuízo do sentido original, da seguinte
forma: P4: E ↔ F. Só isso! Nossas premissas agora são as seguintes:
P1: ~I Æ A
P2: I Æ (C ou D)
P3: D Æ E
P4: E ↔ F
P5: ~F e ~C
Passemos aos passos efetivos de resolução.
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2
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1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito de
ser verdadeira!
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (C ou D)
P3.
DÆE
P4.
E↔F
P5.
~F e ~C
⇒ ~F é verdade e ~C é verdade
Resultado: F é Falso e C é Falso.
b) Substitua F por F, e C por F
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou D)
P3.
DÆE
P4.
E↔F
P5.
VeV
⇒ Na bicondicional, ambas as sentenças têm que ter o mesmo valor
lógico! Logo: E é Falso!
Resultado: O valor lógico de E é F.
c) Substitua E por F:
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou D)
P3.
DÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que D seja
também falsa. Logo: D é Falso!
Resultado: O valor lógico de D é F.
d) Substitua D por F
P1.
~I Æ A
P2.
I Æ (F ou F)
P3.
FÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ A disjunção que está na segunda parte desta condicional é falsa.
Logo, para que a condicional seja verdadeira, é preciso que I seja
também falsa. Logo: I é Falso!
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Resultado: O valor lógico de I é F.
e) Substitua I por F (e ~I por Verdadeiro!)
P1.
VÆA
P2.
F Æ (F ou F)
P3.
FÆF
P4.
F↔F
P5.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que A seja
também verdadeira. Logo: A é Verdadeiro!
Resultado: O valor lógico de A é V.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
AéV
É verdade que Ana fala alemão.
⇒
CéF
~C é V ⇒
É verdade que Ching não fala chinês.
DéF
~D é V ⇒
É verdade que Débora não fala dinamarquês.
EéF
~E é V ⇒
É verdade que Elton não fala espanhol.
FéF
~F é V ⇒
É verdade que Francisco não fala francês.
IéF
~I é V ⇒
É verdade que Iara não fala italiano.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
V
Æ verdade
F
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
V
F
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
F
Æ falso
F
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
V
Æ falso
Æ falso
F
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
Æ falso
Resposta: alternativa A.
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4
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02.(MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico
deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e
passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje,
passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
Sol.: Iniciaríamos fazendo a tradução das proposições para a linguagem simbólica. Mas, como as
frases são curtas, deixemos como está! Nossas premissas são, pois, as seguintes:
P1.
~Vejo Carlos Æ ~Passeio ou Deprimida
P2.
Chove Æ ~Passeio e Deprimida
P3.
~Faz calor e Passeio Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ ~Passeio
P5.
Passeio
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
~Vejo Carlos Æ ~Passeio ou Deprimida
P2.
Chove Æ ~Passeio e Deprimida
P3.
~Faz calor e Passeio Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ ~Passeio
P5.
Passeio
⇒ Passeio é verdade
Resultado: Passeio é verdade.
b) Substitua Passeio por V , e ~Passeio por F
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou Deprimida
P2.
Chove Æ F e Deprimida
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
~Chove e Deprimida Æ F
P5.
V
⇒
A conjunção (segunda parte desta
condicional) é falsa. Logo, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que
Chove seja falso!
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Resultado: O valor lógico de Chove é F.
c) Substitua Chove por F , e ~Chove por V
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou Deprimida
P2.
F Æ F e Deprimida
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
V e Deprimida Æ F
P5.
V
⇒
A conjunção (primeira parte desta
condicional) terá que ser falsa. Para tanto, é
preciso que Deprimida seja falso!
Resultado: O valor lógico de Deprimida é F.
d) Substitua Deprimida por F
P1.
~Vejo Carlos Æ F ou F
P2.
FÆFeF
P3.
~Faz calor e V Æ ~Vejo Carlos
P4.
VeFÆF
P5.
V
⇒
A disjunção (segunda parte desta
condicional) é falsa. Logo, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que
~Vejo Carlos seja falso!
Resultado: O valor lógico de ~Vejo Carlos é F.
e) Substitua ~Vejo Carlos por F
P1.
F Æ F ou F
P2.
FÆFeF
P3.
~Faz calor e V Æ F
P4.
VeFÆF
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que a conjunção (primeira parte)seja
falsa. Para tanto, teremos ~Faz calor seja
falso!
Resultado: O valor lógico de ~Faz calor é F.
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5
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Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
Passeio é V
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⇒
É verdade que Passeio.
Chove é F
~Chove é V ⇒
É verdade que não chove.
Deprimida é F
~Deprimida é V ⇒
É verdade que não fico deprimida.
~Vejo Carlos é F
Vejo Carlos é V ⇒
É verdade que Vejo Carlos.
~Faz calor é F
Faz calor é V ⇒
É verdade que Faz calor.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
F
V
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
F
F
F
V
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
V
V
V
F
V
F
V
Æ verdade
F
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
V
Æ falso
V
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
F
Æ falso
Æ falso
V
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
Æ falso
Resposta: alternativa C.
03.(MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária
para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também,
que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar
Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio,
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Sol.: Nesta questão, há um trabalho preliminar a ser
efetivos de resolução, teremos que traduzir essas
suficientes para a linguagem convencional de uma
conforme o caso). Isso também já aprendemos como se
realizado! Antes de iniciarmos os passos
tais condições necessárias e condições
estrutura condicional (ou bicondicional,
faz. Teremos, pois, que:
Æ João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir
É o mesmo que: Se Maria sorri, então João está feliz.
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7
E:
Æ João estar feliz é condição suficiente para Daniela abraçar Paulo
É o mesmo que: Se João está feliz, então Daniela abraça Paulo.
Por fim, sabemos que:
Æ Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio
É o mesmo que: Daniela abraça Paulo se e somente se Sandra abraça Sérgio
Feito isto, podemos reescrever as sentenças do enunciado, da seguinte forma:
P1.
Maria sorri Æ João está feliz
P2.
João está feliz Æ Daniela abraça Paulo
P3.
Daniela abraça Paulo ↔ Sandra abraça Sérgio
P4.
Sandra não abraça Sérgio
Podemos definir cada proposição simples por uma única letra, se assim o quisermos.
Teremos:
Æ M = Maria sorri
Æ J = João está feliz
Æ D = Daniela abraça Paulo
Æ S = Sandra abraça Sérgio
Daí, traduziremos as premissas do enunciado para a linguagem reduzida da lógica, da
seguinte forma:
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔S
P4.
~S
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔S
P4.
~S
⇒ ~S é verdade
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8
Resultado: ~S é verdade.
b) Substitua ~S por V , e S por F
P1.
MÆJ
P2.
JÆD
P3.
D↔F
P4.
V
⇒ Na bicondicional, as duas partes têm que
ter mesmo valor lógico. Daí: D é Falso.
Resultado: D é falso.
c) Substitua D por F
P1.
MÆJ
P2.
JÆF
P3.
F↔F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que J seja também Falso.
Resultado: J é falso.
d) Substitua J por F
P1.
MÆF
P2.
FÆF
P3.
F↔F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que M seja também Falso.
Resultado: M é falso.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~S é V
⇒
É verdade que Sandra não abraça Sérgio.
DéF
~D é V ⇒
É verdade que Daniela não abraça Paulo.
JéF
~J é V ⇒
É verdade que João não está feliz.
MéF
~M é V ⇒
É verdade que Maria não sorri.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
F
V
F
a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.
Æ falso
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V
F
V
b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
F
F
Æ falso
V
c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.
V
V
Æ falso
V
d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo.
V
9
F
Æ verdade
F
e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.
Æ falso
Resposta: alternativa D.
04.(AFTN 1996 ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra Fogo" , mas
não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm
opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,
então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se
Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme "Fogo
contra Fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria
está certa. Logo:
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
b) Luís e Júlio não estão enganados
c) Júlio está enganado, mas não Luís
d) Luís está engando, mas não Júlio
e) José não irá ao cinema
Sol.: Começaremos atribuindo letras às proposições do enunciado. Teremos:
Æ M = Maria está certa
Æ J = Júlio está certo
Æ L = Luís está certo
Æ F = Filme sendo exibido
Æ Jo = José irá ao cinema
Agora, traduzindo as premissas da questão, teremos:
P1.
M Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
M
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10
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem um
jeito de ser verdadeira!
P1.
M Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
M
⇒ M é verdade
Resultado: M é verdade.
b) Substitua M por V
P1.
V Æ ~J
P2.
~J Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~J seja também verdade
Resultado: ~J é verdade.
c) Substitua ~J por V
P1.
VÆV
P2.
V Æ ~L
P3.
~L Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~L seja também verdade
Resultado: ~L é verdade.
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11
d) Substitua ~L por V
P1.
VÆV
P2.
VÆV
P3.
V Æ ~F
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é
preciso que ~F seja também verdade
Resultado: ~F é verdade.
e) Substitua ~F por V e F por Falso.
P1.
VÆV
P2.
VÆV
P3.
VÆV
P4.
Ou F ou ~Jo
P5.
V
⇒ Para que a disjunção exclusiva seja
verdadeira, é preciso que ~Jo seja verdade
Resultado: ~Jo é verdade.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
MéV
É verdade que Maria está certa.
~J é V
É verdade que Júlio está enganado.
~L é V
É verdade que Luís está enganado.
~F é V
É verdade que o filme não está sendo exibido.
~Jo é V
É verdade que José não irá ao cinema.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
F
a) o filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido
F
F
b) Luís não está enganado e Júlio não está enganado
V
Æ falso
F
c) Júlio está enganado, e Luís não está enganado
V
Æ falso
Æ falso
F
d) Luís está enganado, e Júlio não está enganado.
Æ falso
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V
e) José não irá ao cinema
Æ verdade
Resposta: alternativa E.
05.(TFC-SFC 2001 ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia
será pianista. Se Ana for atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora,
então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
Sol.: Aqui, pela similitude dos nomes, é melhor fazer o seguinte:
Æ Anaís = Anaís será professora
Æ Anelise = Anelise será cantora
Æ Anamélia = Anamélia será pianista
Æ Ana = Ana será atleta
Daí, nossas premissas são as seguintes:
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia
P2.
Ana Æ Anamélia
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
~Anamélia
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou Anamélia
P2.
Ana Æ Anamélia
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
~Anamélia
⇒ ~Anamélia é verdade
Resultado: ~Anamélia é verdade.
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b) Substitua ~Anamélia por V e Anamélia por F
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou F
P2.
Ana Æ F
P3.
Anelise Æ Ana
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja
verdadeira, é preciso que Ana seja
também falsa
Resultado: Ana é falso.
c) Substitua Ana por F
P1.
Ou Anaís, ou Anelise, ou F
P2.
FÆF
P3.
Anelise Æ F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja
verdadeira, é preciso que Analise seja
também falsa
Resultado: Anelise é falso.
d) Substitua Analise por F
P1.
Ou Anaís, ou F, ou F
P2.
FÆF
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ Para que a disjunção seja
verdadeira, é preciso que Anaís seja
também verdadeira
Resultado: Anaís é verdadeira.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~Anamélia é V
⇒
É verdade que Anamélia não será pianista.
Ana é F
⇒
É verdade que Ana não será atleta.
Anelise é F
⇒
É verdade que Anelise não será cantora.
Anaís é V
⇒
É verdade que Anaís será professora.
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14
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
F
V
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
V
Æ falso
F
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
F
e)
Æ falso
F
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
F
Æ verdade
Æ falso
V
Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
Æ falso
Resposta: alternativa A.
06.(Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) No final de semana, Chiquita não foi ao
parque. Ora, sabe-se que sempre que Didi estuda, Didi é aprovado. Sabe-se, também,
que, nos finais de semana, ou Dadá vai à missa ou vai visitar tia Célia. Sempre que
Dadá vai visitar tia Célia, Chiquita vai ao parque, e sempre que Dadá vai à missa, Didi
estuda. Então, no final de semana,
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
Sol.: Iniciemos fazendo uma tradução das proposições simples do enunciado para uma linguagem
resumida. Teremos:
Æ Ch = Chiquita vai ao parque
Æ Didi est = Didi estuda
Æ Didi aprov = Didi é aprovado
Æ Dadá missa = Dadá vai à missa
Æ Dadá tia = Dadá vai visitar tia Célia
Agora, passando as premissas para o formato definido acima, teremos:
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P1.
~Ch
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dada tia
P4.
Dada tia Æ Ch
P5.
Dadá missa Æ Didi est
15
Passemos à resolução em si.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 1ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
~Ch
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dada tia
P4.
Dada tia Æ Ch
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ ~Ch é verdade
Resultado: ~Ch é verdade.
b) Substitua ~Ch por V e Ch por F
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou Dadá tia
P4.
Dada tia Æ F
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Dadá tia seja também falso
Resultado: Dadá tia é falso.
c) Substitua Dadá tia por F
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou Dadá missa ou F
P4.
FÆF
P5.
Dadá missa Æ Didi est
⇒ Para que a disjunção exclusiva seja verdadeira, é
preciso que Dadá missa seja também verdade
Resultado: Dadá missa é verdade.
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d) Substitua Dadá missa por V
P1.
V
P2.
Didi est Æ Didi aprov
P3.
ou V ou F
P4.
FÆF
P5.
V Æ Didi est
16
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Didi est seja verdade
Resultado: Didi est é verdade.
e) Substitua Didi est por V
P1.
V
P2.
V Æ Didi aprov
P3.
ou V ou F
P4.
FÆF
P5.
VÆV
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
Didi aprov seja verdade
Resultado: Didi aprov é verdade.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
~Ch é V
⇒
É verdade que Chiquita não vai ao parque.
Dadá tia é F
⇒
É verdade que Dadá não vai visitar tia Célia.
Dadá missa é V
⇒
É verdade que Dadá vai à missa.
Didi est é V
⇒
É verdade que Didi estuda.
Didi aprov é V
⇒
É verdade que Didi é aprovado.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) Dadá foi à missa e Didi foi aprovado.
F
V
b) Didi não foi aprovado e Dadá não foi visitar tia Célia.
F
Æ verdade
Æ falso
V
c) Didi não estudou e Didi foi aprovado.
Æ falso
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F
V
d) Didi estudou e Chiquita foi ao parque.
F
17
Æ falso
F
e) Dadá não foi à missa e Didi não foi aprovado.
Æ falso
Resposta: alternativa A.
07.(Oficial de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P,
então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
Sol.: Nesta questão as proposições simples já são – elas próprias – letras! Daí, só nos resta colocálas na linguagem da lógica. Teremos:
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou (Q ≤ R)
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ (Q ≤ R)
P4.
Q>R
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma proposição simples e, como tal, só tem
um jeito de ser verdadeira!
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou (Q ≤ R)
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ (Q ≤ R)
P4.
Q>R
⇒ (Q > R) é verdade
Resultado: (Q > R) é verdade.
b) Substitua (Q > R) por V e (Q ≤ R) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou F
P2.
(Z > P) Æ (S ≤ T)
P3.
(S ≤ T) Æ F
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
(S ≤ T) seja falsa
Resultado: (S ≤ T) é falso.
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c) Substitua (S ≤ T) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ (Z > P) ou F
P2.
(Z > P) Æ F
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ Para que a condicional seja verdadeira, é preciso que
(Z > P) seja falsa
Resultado: (Z > P) é falso.
d) Substitua (Z > P) por F
P1.
(X ≥ Y) Æ F ou F
P2.
FÆF
P3.
FÆF
P4.
V
⇒ A disjunção (segunda parte) é falsa. Daí, para que a
condicional seja verdadeira, é preciso que (X ≥ Y)seja
falsa
Resultado: (X ≥ Y) é falso.
Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
(Q > R) é V
⇒
É verdade que (Q > R).
(S ≤ T) é F
⇒
É verdade que (S > T).
(Z > P) é F
⇒
É verdade que (Z ≤ P).
(X ≥ Y) é F
⇒
É verdade que (X < Y).
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta. Teremos:
V
V
a) (S > T) e (Z ≤ P)
F
Æ verdade
F
b) (S ≥ T) e (Z > P)
F
V
c) (X ≥ Y) e (Z ≤ P)
F
Æ falso
V
d) (X > Y) e (Z ≤ P)
V
Æ falso
Æ falso
F
e) (X < Y) e (S < T)
Æ falso
Resposta: alternativa A.
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19
Daremos início agora ao estudo do 2º tipo de questão de Estruturas Lógicas. Até o
momento, estudamos um tipo de enunciado, em que havia sempre (pelo menos) uma sentença
apropriada para ser o ponto de partida da resolução. E por que isso? Porque esta tal sentença
estava na forma de uma proposição simples ou de uma conjunção. Assim, só haveria uma forma de
ela ser verdadeira!
Na seqüência, veremos questões um pouco mais, digamos, interessantes: nelas, não haverá
nenhuma sentença em forma de proposição simples ou de conjunção, de sorte que não estará
previamente definido qual o ponto de partida da resolução. A análise se aprofunda um pouco.
Aprenderemos esse tipo de resolução da mesma forma que aprendemos o anterior:
resolvendo questões. Na seqüência, apresentamos vários enunciados de provas recentes, em que
se trabalha esse segundo tipo de estruturas lógicas.
Com um pouco de calma e paciência, aprenderemos tranqüilamente. Adiante.
01.(Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Se não durmo, bebo. Se estou furioso, durmo. Se
durmo, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo,
a) não durmo, estou furioso e não bebo
b) durmo, estou furioso e não bebo
c) não durmo, estou furioso e bebo
d)) durmo, não estou furioso e não bebo
e) não durmo, não estou furioso e bebo
Sol.: Resolveremos essa questão de duas formas diferentes!
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se não durmo, bebo.
P2: Se estou furioso, durmo.
P3: Se durmo, não estou furioso.
P4: Se não estou furioso, não bebo.
Indicaremos essas premissas para a seguinte representação simbólica:
D = Durmo
B = Bebo
E = estou furioso
Traduzindo-as para a forma simbólica, teremos:
P1: ~D → B
P2:
E→D
P3:
D → ~E
P4: ~E → ~B
1ª Solução:
Para resolvermos esta questão, devemos:
1º Passo) consideraremos todas as premissas verdadeiras;
2º Passo) atribuiremos um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples (neste
caso, D, B,ou E);
3º Passo) Finalmente, substituiremos este valor lógico (escolhido do 2º passo) nas
premissas e verificaremos se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição
entre os resultados obtidos.
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Vamos escolher a proposição D que aparece na 1ª parte da condicional de P3, e atribuir o
valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como descobrir o valor lógico de E em P3, pois se
E é V ou se E é F a premissa seria verdadeira). Vamos executar os seguintes passos, mostrados
abaixo, para testar esta hipótese criada por nós, ou seja para sabermos se está certo que D é V.
Teremos:
1° passo
(trocar D por V)
2° passo
3° passo
(trocar E por F, e ~E é V) (trocar B por F)
P1: ~D → B
F→B
F→ B
F→ F
⇒V
P2: E → D
E→V
F→ V
F→ V
⇒V
P3: D → ~E
V → ~E , daí
V→ V
V→ V
⇒V
V → ~B , daí
V→ V
⇒V
~E é V (e E é F)
P4: ~E → ~B
~E → ~B
~B é V (e B é F)
Veja que não houve contradição em considerar que D é V. E com esse teste também
descobrimos o valor lógico de todas as proposições simples, que são os seguintes:
D é V , daí: durmo!
BéF
, daí: não bebo!
EéF
, daí: não estou furioso!
Portanto, a resposta é a alternativa D.
2ª Solução:
Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por
encadeamento lógico das premissas. Isto é feito modificando-as de forma que a segunda parte
da condicional de uma premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa
seguinte. Isto é uma espécie de quebra-cabeça no qual temos que encaixar uma premissa na
outra!
O encadeamento das premissas é feito por tentativa e erro. Durante a execução do
encadeamento, muito provavelmente teremos que usar a seguinte equivalência, vista na primeira
aula: (p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e
troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas inverte e
troca!)
Vamos tentar montar o quebra-cabeça:
- Vamos iniciar pela premissa P2:
Fu → D
- Depois da P2 vamos colocar a premissa P3:
D → ~Fu
- Depois da P3 vamos colocar a premissa P4:
~Fu → ~B
- Finalmente, colocamos o equivalente condicional de P1: ~B → D
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Assim, teremos o seguinte encadeamento:
Fu → D → ~Fu → ~B → D
Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos lembrar
que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na segunda.
Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes possíveis
valores lógicos a serem analisados:
Fu
→
D
→
~Fu
→
~B
→
D
1ª linha:
V
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
V
5ª linha:
F
F
F
F
V
6ª linha:
F
F
F
F
F
Daí, resta-nos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
-
Análise da 1ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é V e na 3ª coluna ~Fu também é V. Isto é impossível!
Daí devemos descartar esta 1ª linha!
-
Análise da 2ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
-
Análise da 3ª linha:
Na 2ª coluna de valores lógicos D é F e na última coluna D é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 3ª linha!
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos Fu é F e na última coluna ~Fu é F. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 4ª linha!
Da 2ª linha que restou, obtivemos os seguintes valores lógicos:
DéV
, daí: durmo!
~B é V (B é F)
, daí: não bebo!
Fu é F
, daí: não estou furioso!
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Portanto, a resposta é a alternativa D.
Lembrando apenas que essa segunda solução foi possível porque estávamos trabalhando
apenas com estruturas condicionais.
02.(MPU Administrativa 2004 ESAF) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se
Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos,
Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente.
Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo,
a) Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
b) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente.
c) Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente.
d) Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
e) Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.
Solução:
Temos aqui as seguintes premissas:
P1: Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado
P2: Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos,
Beltrano e Sicrano, são culpados.
P3: Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente.
P4: Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado.
Na premissa P2 podemos fazer uma simplificação, pois de acordo com a definição
disjunção vista na primeira aula, quando se diz: “ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado,
ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados”, isto é o mesmo que dizer: “Beltrano é culpado
Sicrano é culpado”. A ESAF usou a forma menos simplificada para tentar dificultar a solução
questão!
Indicaremos as premissas com a seguinte representação simbólica:
Fu = Fulano é culpado
B = Beltrano é culpado
S = Sicrano é culpado
Traduzindo para a forma simbólica, teremos:
P1:
Fu → B
P2: ~Fu → (B ou S)
P3: ~S → ~B
P4:
S → Fu
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de
ou
ou
da
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Uma vez que nossas sentenças são todas condicionais, poderemos também utilizar duas
soluções. Vejamos.
1ª Solução:
Iniciemos fazendo uma escolha: vamos escolher a proposição Fu que aparece na 1ª parte
da condicional de P1, e atribuir-lhe o valor lógico V. (Se atribuíssemos F não teríamos como
descobrir o valor lógico de B em P1, pois se B é V ou se B é F a premissa seria verdadeira).
Executando os seguintes passos, mostrados abaixo, testaremos se está certo que Fu é V.
1° passo
2° passo
3° passo
(trocar Fu por V, (trocar B por V, e (trocar S por V,
e ~F por F)
~B por F)
e ~S por F )
P1: Fu → B
V → B , daí B é V V → V
V→V
⇒V
P2: ~Fu → (B ou S) F → (B ou S)
F → (V ou S)
F → (V ou F)
⇒V
P3: ~S → ~B
~S → F , daí
F→F
⇒V
V→V
⇒V
~S → ~B
~S é F (S é V)
P4: S → Fu
S→V
S→V
Vejamos que não houve contradição em considerar que Fu é V. E com esse teste,
também descobrimos o valor lógico de todas as proposições. Obtemos que:
Fu é V , daí: Fulano é culpado!
BéV
, daí: Beltrano é culpado!
SéV
, daí: Sicrano é culpado!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
2ª Solução:
Como as sentenças são proposições condicionais, então podemos resolver esta questão por
encadeamento lógico das premissas. Já vimos como isso é feito, no exercício anterior.
Atentemos que, quando há uma disjunção dentro de uma condicional, sempre devemos
considerar esta disjunção como primeiro ou último termo do encadeamento. Vamos arbitrar
como primeiro termo, e tentar montar o quebra-cabeça. Teremos:
- Na premissa P2 vamos usar a outra forma equivalente da condicional: ~(B ou S) → Fu
- Esta última condicional pode ser encadear com a premissa P1: Fu → B
- Podemos encadear a premissa P1 com o equivalente condicional de P3 dado por: B → S
- Esta última condicional pode ser encadeada com a premissa P4: S → Fu
Assim teremos o seguinte encadeamento:
~(B ou S) → Fu → B → S → Fu
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Conforme já explicado na questão passada, teremos os seguintes valores lógicos a serem
analisados:
~(B ou S) →
Fu
→
B
→
S
→
Fu
1ª linha:
V
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
V
5ª linha:
F
F
F
F
V
6ª linha:
F
F
F
F
F
Analisemos qual dessas linhas lógicas é aceitável:
-
Análise da 1ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja V, quando se tem que B é V e S é V ? Obviamente que não!
Vamos descartar essa linha.
-
Análise da 2ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é V e S é V ? Lógico que sim! Esta
linha permanece!
-
Análise da 3ª linha:
Na 2ª coluna lógica, o valor de Fu é F, e na última coluna Fu é V. Isto é impossível! Logo,
devemos descartar essa linha!
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
É possível que ~(B ou S) seja F, quando se tem que B é F e S é F ? Lógico que não! Vamos
descartar essa linha.
Da 3ª linha, a única que foi aceita, obtivemos os seguintes valores lógicos:
Fu é V
, daí: Fulano é culpado!
BéV
, daí: Beltrano é culpado!
SéV
, daí: Sicrano é culpado!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
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03.(AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Homero não é honesto, ou Júlio é justo. Homero é
honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso. Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.
Beto não é bondoso, ou Homero é honesto. Logo,
a) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
b) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio não é justo.
c)) Beto é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
d) Beto não é bondoso, Homero não é honesto, Júlio não é justo.
e) Beto não é bondoso, Homero é honesto, Júlio é justo.
Solução:
Eis nossas premissas:
P1: Homero não é honesto, ou Júlio é justo
P2: Homero é honesto, ou Júlio é justo, ou Beto é bondoso.
P3: Beto é bondoso, ou Júlio não é justo.
P4: Beto não é bondoso, ou Homero é honesto.
Vamos usar a seguinte representação simbólica:
H = Homero é honesto
J = Júlio é justo
B = Beto é bondoso
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: ~H ou J
P2: H ou J ou B
P3:
B ou ~J
P4: ~B ou H
Façamos nossa escolha. Vamos escolher a proposição J que aparece em P1, e atribuir-lhe o
valor lógico F. (Se atribuíssemos V não teríamos como descobrir o valor lógico de H em P1, pois se
H é V ou se H é F a premissa seria sempre verdadeira).
Daí, vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar se está certo que J
é F (e ~J é V). Teremos:
P1: ~H ou J
1° passo
2° passo
(trocar J por F, e
~J por V)
(trocar H por F, e
~H por V)
~H ou F , daí
V ou F
~H é V (H é F)
P2: H ou J ou B
H ou F ou B
F ou F ou B , daí
BéV
P3: B ou ~J
B ou V
B ou V
P4: ~B ou H
~B ou H
~B ou F , daí
~B é V (B é F)
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Opa! Vejamos que houve uma contradição, pois no 2º passo, obtivemos na premissa P1 que
B é V e na premissa P2 que B é F. Logo, está errado atribuir F para J. Então, J só pode ser V.
Vamos substituir este valor lógico nas premissas iniciais para achar o valor lógico das
outras proposições:
1° passo
2° passo
3° passo
(trocar J por V, e
~J por F)
(trocar B por V, e
~B por F)
(trocar H por V,
e ~H por F)
P1: ~H ou J
~H ou V
~H ou V
F ou V
⇒V
P2: H ou J ou B
H ou V ou B
H ou V ou V
V ou V ou V
⇒V
P3: B ou ~J
B ou F , daí B é V
V ou F
V ou F
⇒V
P4: ~B ou H
~B ou H
F ou H , daí H é V
F ou V
⇒V
Daí, obteremos que:
H é V , daí: Homero é honesto!
JéV
, daí: Júlio é justo!
BéV
, daí: Beto é bondoso!
Portanto, a resposta é a alternativa C.
Este exercício serviu para mostrar que nem sempre acertaremos de primeira na escolha do
valor lógico para uma das proposições simples. Somente o teste nos dirá se a hipótese criada
foi feliz ou não.
Adiante.
04. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática.
Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou
Helena estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamente que:
a)) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina
b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina
c) Se Luís não estuda História, então Jorge não estuda Medicina
d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemática
e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia
Solução:
Observe que nas questões anteriores, as opções de resposta (A, B, C, D, E) eram formadas
somente por afirmações interligadas pelo conectivo “e” ou por vírgula (que funciona da mesma
maneira que o conectivo “e”). Aqui, as alternativas C, D e E, apresentam outros conectivos.
Quando isso ocorrer, ou seja, se algumas ou todas as alternativas apresentarem conectivos
que não sejam o conectivo “e”, então é aconselhável utilizarmos o quarto método do teste de
validade de argumentos. Já havíamos dito no início da quarta aula que usaríamos este método para
solução de questões de Estruturas Lógicas.
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Este método consiste, conforme já é do nosso conhecimento, em se verificar a existência
simultânea da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas,
somente são fornecidas as
premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.
Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a correta,
que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras não for
possível.
Qual é a primeira alternativa que testaremos? Vamos obedecer à seguinte precedência:
1º) Testar as alternativas que são disjunções (conectivo “ou”);
2º) Testar as condicionais (conectivo “se...então”);
3º) Testar as bicondicionais (conectivo “se e somente se”).
Passemos à solução desta questão. Temos as seguintes premissas:
P1: Se Luís estuda História, então Pedro estuda Matemática.
P2: Se Helena estuda Filosofia, então Jorge estuda Medicina.
P3: Luís estuda História ou Helena estuda Filosofia.
Usaremos a seguinte representação simbólica:
L = Luís estuda História
P = Pedro estuda Matemática
H = Helena estuda Filosofia
J = Jorge estuda Medicina
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: L → P
P2: H → J
P3: L ou H
De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar os testes pela
alternativa A ou pela alternativa E, uma vez que ambas são disjunções. O gabarito desta questão
aponta para a alternativa A, então para que façamos pelo menos dois testes, iniciaremos pela
alternativa E.
- Teste da alternativa E (Pedro estuda Matemática ou Helena não estuda Filosofia):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: P ou ~H
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
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Fazendo a conclusão falsa teremos: (P ou ~H) é F . Sabemos que uma disjunção é falsa
somente quando os termos que a compõe também são falsos.
Daí, obtemos que P é F e ~H é F (e H é V).
Agora, substituindo estes valores lógicos de P e H nas premissas, teremos:
1° passo
2° passo
(trocar P por F e H por V) (trocar L por F e J por V)
P1: L → P
L→ F
, daí L é F
F→
F
⇒V
P2: H → J
V→ J
, daí J é V
V→
V
⇒V
P3: L ou H
L ou V
F ou V
⇒V
Concluímos que é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí a
alternativa utilizada como conclusão não pode ser a resposta da questão. Passemos a testar a
alternativa A.
- Teste da alternativa A (Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicina):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: P ou J
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão ser falsa, teremos: (P ou J) é F .
Daí, obteremos que P é F e J é F.
Agora, substituindo estes valores lógicos de P e J nas premissas, teremos:
1° passo
2° passo
(trocar P por F e J por F)
(trocar L por F e H por F)
P1: L → P
L→ F
, daí L é F
F→ F
⇒V
P2: H → J
H→ F
, daí H é F
F→ F
⇒V
P3: L ou H
L ou H
F ou F
⇒F
Concluímos que não é possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras, daí
a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.
Resposta: alternativa A.
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05. (ANEEL 2004 ESAF) Se não leio, não compreendo. Se jogo, não leio. Se não desisto,
compreendo. Se é feriado, não desisto. Então,
a)) se jogo, não é feriado.
b) se não jogo, é feriado.
c) se é feriado, não leio.
d) se não é feriado, leio.
e) se é feriado, jogo.
Solução:
Nesta questão, todas as opções de resposta são estruturas condicionais, portanto usaremos
o mesmo método aplicado na solução da questão anterior.
Temos as seguintes premissas:
P1: Se não leio, não compreendo.
P2: Se jogo, não leio.
P3: Se não desisto, compreendo.
P4: Se é feriado, não desisto.
Vamos usar a seguinte representação simbólica:
L = Leio
C = Compreendo
J = Jogo
D = Desisto
E = fEriado
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
P1: ~L → ~C
P2:
J → ~L
P3: ~D → C
p4:
E → ~D
De acordo com a precedência de teste das alternativas, poderemos iniciar por qualquer
uma. Iniciemos pela alternativa A.
- Teste da alternativa A (se jogo, não é feriado):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
C: J → ~E
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão ser falsa teremos: (J → ~E) é F . Sabemos que uma
condicional é falsa somente quando a primeira parte é V e a segunda parte é F, daí obtemos que J
é V e ~E é F (logo E é V). Agora vamos substituir estes valores lógicos de J e E nas premissas.
Teremos:
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P1:
~L → ~C
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1° passo
2° passo
(trocar J por V e E por V)
(trocar L por F e D por F)
~L → ~C
V → ~C , daí
~C é V (C é F)
P2:
J → ~L
V → ~L , daí
V → V
~L é V (L é F)
P3:
~D → C
~D →
C
V→
C
, daí
CéV
P4:
E → ~D
V → ~D
, daí
V → V
~D é V (D é F)
Observemos que ocorreu uma contradição quanto ao valor lógico de C, pois no 2º passo
obtivemos, na linha de P1, que C é F, e na linha de P3 que C é V. Daí concluímos que não é
possível a existência de conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Daí, a alternativa utilizada como conclusão é a resposta da questão.
Resposta: alternativa A.
06.(AFTN 1998 ESAF) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor
diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena
não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico
dessas três afirmações permite concluir que elas:
a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga
b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga
c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga
d)) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa
amiga
e) são inconsistentes entre si
Solução:
Vamos resolver esta questão por encadeamento lógico, como a própria questão sugere.
Temos as seguintes premissas:
P1: se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade;
P2: se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga;
P3: se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga.
Vamos usar a seguinte representação simbólica para as proposições simples:
P = Patrícia é uma boa amiga
R = Vítor diz a verdade
H = Helena é uma boa amiga
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Traduzindo as premissas para a forma simbólica, teremos:
31
P1: P → R
P2: R → ~H
P3: ~H → P
Observemos que é muito fácil encadear estas premissas. Iniciaremos o encadeamento por P1,
seguido de P2 e finalmente por P3, assim teremos:
P → R → ~H → P
Teremos os seguintes valores lógicos a serem analisados:
P
→
R
→
~H
→
P
1ª linha:
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
5ª linha:
F
F
F
F
Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
-
Análise da 1ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
-
Análise da 2ª linha:
Na 1ª coluna lógica, o valor de P é F, e na última coluna P é V. Isto é impossível! Logo,
devemos descartar essa linha!
-
Análise da 3ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 2ª linha.
-
Análise da 4ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 2ª linha.
-
Análise da 5ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 3ª linha.
-
Análise da 6ª linha:
Não há contradições nesta linha, então vamos mantê-la!
Então as linhas que possuem valores lógicos aceitáveis são: a 1ª e a 6ª linhas. Isto significa
que teremos duas situações válidas para os valores lógicos das proposições simples.
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- Da 1ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:
PéV, RéV,
~H é V (H é F) ,
PéV
Ou seja:
Patrícia é uma boa amiga!
Vítor diz a verdade!
Helena não é uma boa amiga!
- Da 6ª linha obtivemos os seguintes valores lógicos válidos:
PéF, RéF,
~H é F (H é V) ,
PéF
Ou seja:
Patrícia não é uma boa amiga!
Vítor não diz a verdade!
Helena é uma boa amiga!
Por meio de uma análise rápida das alternativas da questão, percebemos que a alternativa
correta só pode ser a D, ou seja, são admissíveis, neste encadeamento, as duas situações:
Patrícia ser uma boa amiga, ou Patrícia não ser uma boa amiga. Em ambos os casos, as
premissas são consistentes.
Resposta: alternativa D.
Esta última foi uma questão mais diferenciada. (E muito rara, também!)
É preciso que vocês estudem essa aula de hoje com muito carinho. Lendo atentamente,
percebendo os detalhes das resoluções apresentadas e, obviamente, tentando resolver as
questões do dever de casa, que se segue.
Iniciaremos a próxima aula com as respectivas resoluções!
Bom estudo a todos! Forte abraço e fiquem com Deus!
DEVER DE CASA
01. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos
carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o
Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é
azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do
Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
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02. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que ou José é o
mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou Adriano é o mais velho,
ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são,
respectivamente:
a) Caio e José
b) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
03. (Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles
é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou
Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico,
ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Portanto, as
profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,
a) professor, médico, músico.
b) médico, professor, músico.
c) professor, músico, médico.
d) músico, médico, professor.
e) médico, músico, professor.
04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso detetive
colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b)) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é inocente,
então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é inocente, então
Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo, André, Bruno e Leo são,
respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
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06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias.
Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Seguese, portanto que, Pedro:
a) bebe, visita Ana, não lê poesias.
b) não bebe, visita Ana, não lê poesias.
c) bebe, não visita Ana, lê poesias.
d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.
e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.
07. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se Roberto é
inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é culpada. Segue-se
logicamente, portanto, que:
a) Lauro é culpado e Sônia é culpada
b) Sônia é culpada e Roberto é inocente
c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado
d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado
e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente
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AULA SEIS: Diagramas Lógicos
Olá, amigos!
Iniciamos nossa presente aula com uma notícia: hoje trataremos de um assunto que
estava previsto para ser estudado em um encontro futuro. Todavia, melhor analisando,
julgamos que é mais conveniente – didaticamente – encaixarmos o assunto “Diagramas
Lógicos” agora. Daí, a troca é apenas essa: Diagramas Lógicos em vez de Associação Lógica.
Este último assunto será visto oportunamente.
Atentem que não haverá, portanto, qualquer redução do conteúdo inicialmente previsto
para este curso, senão uma mera troca na seqüência dos dois referidos assuntos.
Nos próximos dias colocaremos no fórum do curso on-line, uma síntese dos métodos
utilizados nas soluções de questões de estruturas lógicas.
Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula
passada. Adiante!
DEVER DE CASA
01.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o
Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o
Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e)) branco, azul, preto
Sol.:
O enunciado informa que:
- Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta.
- Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul.
Também temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco.
P2: ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul.
P3: ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul.
P4: ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Para resolvermos esta questão, devemos:
1º) considerar todas as premissas verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e
3º) Finalmente, substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e
verificar se está correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os
resultados obtidos.
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2
Vamos escolher a proposição Fiesta é branco que aparece na 1ª premissa, e atribuir o
valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar esta
hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Fiesta é branco é V.
Æ Teste da hipótese: Fiesta é branco é V.
1º. F
P1.
ou o Gol é branco,
4º. F
P2.
ou o Gol é preto,
1º. F
P3.
ou o Fiesta é azul,
3º. F
P4.
ou o Corsa é preto,
1º. V
ou o Fiesta é branco.
3º. V
ou o Corsa é azul.
2º. V
ou o Corsa é azul.
1º. F
ou o Fiesta é preto.
1º passo) Da hipótese Fiesta é branco é V (em P1), e como cada carro possui cores
diferentes, teremos: Gol é branco é F (em P1), Fiesta é azul é F (em P3) e
Fiesta é preto é F (em P4).
2º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Corsa é azul é V.
3º passo) Atribuir: Corsa é preto é F (em P4) e Corsa é azul é V (em P2).
4º passo) P2 é uma disjunção exclusiva, daí Gol é preto tem que ser F.
Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Claro que sim, pois obtemos
que o Gol não é preto, nem branco e nem azul! Daí, a hipótese Fiesta é branco é Falsa!
Vamos estabelecer outra hipótese (com relação ao Fiesta): Fiesta é preto é Verdade!
Æ Teste da hipótese: Fiesta é preto é V.
2º. V
P1.
ou o Gol é branco,
1º. F
P2.
ou o Gol é preto,
1º. F
P3.
ou o Fiesta é azul,
1º. F
P4.
ou o Corsa é preto,
1º. F
ou o Fiesta é branco.
3º. V
ou o Corsa é azul.
3º. V
ou o Corsa é azul.
1º. V
ou o Fiesta é preto.
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3
1º passo) A hipótese é Fiesta é preto é V (em P4), e como cada carro deve ter cor
diferente, teremos: Corsa é preto é F (em P4), Fiesta é branco é F (em P1), Gol
é preto é F (em P2) e Fiesta é azul é F (em P3).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí Gol é branco é V.
3º passo) P2 e P3 devem ser verdadeiras, daí Corsa é azul é V.
Houve alguma contradição entre os resultados obtidos? Agora não houve!
Resultados obtidos:
Fiesta é preto!
Gol é branco!
Corsa é azul!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
02.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) De três irmãos – José, Adriano e Caio –, sabe-se que
ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se, também, que ou
Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais
moço dos três irmãos são, respectivamente:
a) Caio e José
b)) Caio e Adriano
c) Adriano e Caio
d) Adriano e José
e) José e Adriano
Sol.:
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço.
P2: ou Adriano é o mais velho, ou Caio é o mais velho.
A receita de bolo é a mesma. Ou seja, devemos agora:
1º) considerar todas as premissas verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e
3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está
correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.
Vamos escolher a proposição Adriano é o mais velho que aparece na 2ª premissa, e
atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar
esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Adriano é o mais
velho é V.
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Æ Teste da hipótese: Adriano é o mais velho é V.
1º. F
P1.
ou José é o mais velho,
1º. F
ou Adriano é o mais moço
1º. V
P2.
ou Adriano é o mais velho,
1º. F
ou Caio é o mais velho
1º passo) Da hipótese Adriano é o mais velho é V (em P2), teremos, mesmo sem fazer
nenhuma operação com conectivos, que: Caio é o mais velho é F (em P2), José é
o mais velho é F (em P1) e Adriano é o mais moço é F (em P1).
Só tivemos um passo!
Ao verificar a primeira premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos
obtidos, esta não será verdadeira! Sabemos que para uma disjunção exclusiva ser verdadeira,
é preciso que uma das proposições seja verdadeira e a outra, falsa. Daí, ocorreu uma
contradição, pois a premissa deveria ser verdadeira!
Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Adriano é o mais moço é V.
Æ Teste da hipótese: Adriano é o mais moço é V.
2º. F
P1.
ou José é o mais velho,
1º. V
ou Adriano é o mais moço
3º. V
1º. F
P2.
ou Adriano é o mais velho,
ou Caio é o mais velho
1º passo) Da hipótese Adriano é o mais moço é V (em P1), teremos, sem fazer nenhuma
operação com conectivos, que: Adriano é o mais velho é F (em P2).
2º passo) P1 é uma disjunção exclusiva, daí José é o mais velho tem que ser F.
3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí Caio é o mais velho é V.
Resultados obtidos: Adriano é o mais moço!
Caio é o mais velho!
Portanto, a resposta é a alternativa B.
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03.(Técnico MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos.
Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou
Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é
músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é professor,
ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são,
respectivamente,
a) professor, médico, músico.
b) médico, professor, músico.
c) professor, músico, médico.
d) músico, médico, professor.
e)) médico, músico, professor.
Sol.:
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: ou Ricardo é médico, ou Renato é médico.
P2: ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico.
P3: ou Renato é músico, ou Rogério é músico.
P4: ou Rogério é professor, ou Renato é professor.
Nossos passos de resolução serão aqueles mesmos:
1º) considerar todas as premissas verdadeiras;
2º) atribuir um valor lógico (V ou F) para uma das proposições simples; e
3º) substituir este valor lógico (escolhido no passo anterior) nas premissas e verificar se está
correto, ou seja, se não vai se observar alguma contradição entre os resultados obtidos.
Vamos escolher a proposição Rogério é professor que aparece na 4ª premissa, e
atribuir o valor lógico V. Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo, para testar
esta hipótese criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Rogério é professor é
V.
Æ Teste da hipótese: Rogério é professor é V.
P1.
ou Ricardo é médico,
1º. F
P2.
ou Ricardo é professor,
ou Renato é médico.
1º. F
ou Rogério é músico.
1º. F
P3.
ou Renato é músico,
1º. V
P4.
ou Rogério é professor,
ou Rogério é músico.
1º. F
ou Renato é professor.
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6
1º passo) Da hipótese Rogério é professor é V (em P4), teremos sem fazer nenhuma
operação com conectivos que: Renato é professor é F (em P4), Ricardo é
professor é F (em P2) e Rogério é músico é F (em P3).
Só tivemos um passo!
Ao verificar a segunda premissa concluímos facilmente que, com os valores lógicos
obtidos, esta disjunção exclusiva não é verdadeira! daí ocorre uma contradição, pois a
premissa deveria ser verdadeira!
Agora, vamos testar a seguinte hipótese: Rogério é músico é V.
Æ Teste da hipótese: Rogério é músico é V.
4º. V
P1.
ou Ricardo é médico,
3º. F
ou Renato é médico.
1º. F
P2.
ou Ricardo é professor,
1º. V
ou Rogério é músico.
1º. F
P3.
ou Renato é músico,
1º. V
ou Rogério é músico.
1º. F
P4.
ou Rogério é professor,
2º. V
ou Renato é professor.
1º passo) Da hipótese Rogério é músico é V (em P4), teremos, sem precisar fazer nenhuma
operação com conectivos, que: Ricardo é professor é F (em P2), Renato é
músico é F (em P3) e Rogério é professor é F (em P4).
2º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Renato é professor é V.
3º passo) Como Renato é professor é V, em P1 vamos atribuir a Renato é médico o valor
F.
4º passo) P4 é uma proposição verdadeira, daí Ricardo é médico é V.
Resultados obtidos: Rogério é músico!
Renato é professor!
Ricardo é médico!
Portanto, a resposta é a alternativa E.
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7
04.(Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Investigando uma fraude bancária, um famoso
detetive colheu evidências que o convenceram da verdade das seguintes
afirmações:
1) Se Homero é culpado, então João é culpado.
2) Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
3) Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
4) Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
As evidências colhidas pelo famoso detetive indicam, portanto, que:
a) Homero, João e Adolfo são inocentes.
b)) Homero, João e Adolfo são culpados.
c) Homero é culpado, mas João e Adolfo são inocentes.
d) Homero e João são inocentes, mas Adolfo é culpado.
e) Homero e Adolfo são culpados, mas João é inocente.
Sol.:
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se Homero é culpado, então João é culpado.
P2: Se Homero é inocente, então João ou Adolfo são culpados.
P3: Se Adolfo é inocente, então João é inocente.
P4: Se Adolfo é culpado, então Homero é culpado.
Os passos de resolução são os mesmos já nossos conhecidos.
Vamos escolher a proposição Homero é culpado que aparece na 1ª e 4ª premissas, e
atribuir o valor lógico V. Executaremos os seguintes passos abaixo, para testar esta hipótese
criada por nós, ou seja, para sabermos se está certo que Homero é culpado é V.
Æ Teste da hipótese: Homero é culpado é V.
1º. V
P1.
Homero é culpado
1º. F
P2.
Homero é inocente
4º. F
P3.
Adolfo é inocente
5º. V
P4.
Adolfo é culpado
2º. V
→ João é culpado.
3º. F
→ (João ou Adolfo são culpados)
3º. F
→ João é inocente.
1º. V
→ Homero é culpado.
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8
1º passo) Da hipótese Homero é culpado é V (em P1 e P4), teremos que: Homero é
inocente é F (em P2).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí João é culpado tem que ser V.
3º passo) Como João é culpado é V, em P3 vamos atribuir a João é inocente o valor F e
na premissa P2 a disjunção João ou Adolfo são culpados vai ter valor V.
4º passo) P3 deve ser verdadeira, daí Adolfo é inocente tem que ser F.
5º passo) Como Adolfo é inocente é F, em P4 atribuiremos a Adolfo é culpado o valor V.
Resultados obtidos: Homero é culpado!
João é culpado!
Adolfo é culpado!
Não houve contradição entre os resultados obtidos! E todas as premissas assumiram o
valor lógico verdade!
Portanto, a resposta é a alternativa B.
05. (AFRE MG 2005 ESAF) Se André é culpado, então Bruno é inocente. Se André é
inocente, então Bruno é culpado. Se André é culpado, Leo é inocente. Se André é
inocente, então Leo é culpado. Se Bruno é inocente, então Leo é culpado. Logo,
André, Bruno e Leo são, respectivamente:
a) Culpado, culpado, culpado.
b) Inocente, culpado, culpado.
c)) Inocente, culpado, inocente.
d) Inocente, inocente, culpado.
e) Culpado, culpado, inocente.
Sol.:
Esta questão é muito parecida com a anterior. Para termos uma solução diferente da que
fizemos anteriormente, vamos utilizar o método do encadeamento das premissas.
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se André é culpado, então Bruno é inocente.
P2: Se André é inocente, então Bruno é culpado.
P3: Se André é culpado, então Leo é inocente.
P4: Se André é inocente, então Leo é culpado.
P5: Se Bruno é inocente, então Leo é culpado
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9
Vamos atribuir letras as proposições simples;
A = André é inocente
B = Bruno é inocente
L = Leo é inocente
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos:
P1: ~A → B
P2:
A → ~B
P3: ~A → L
P4:
A → ~L
P5:
B → ~L
Agora, vamos efetuar o encadeamento das premissas. Da aula passada, vimos que não
há uma regra para a seqüência em que ficarão as premissas, devemos fazer por tentativa e
erro, e modificando as premissas de forma que a segunda parte da condicional de uma
premissa seja igual à primeira parte da condicional da premissa seguinte.
Para modificar as proposições condicionais devemos utilizar a regra de equivalência:
(p → q) = (~q → ~p). (Podemos memorizar essa equivalência com as palavras inverte e
troca. Vejamos: inverte-se a ordem das proposições e trocam-se os sinais. Daí, apenas
inverte e troca!)
Vamos tentar montar o quebra-cabeça:
- Vamos iniciar pelo equivalente condicional de P2:
B → ~A
- Depois da P2 vamos colocar a premissa P1:
~A → B
- Depois da P1 vamos colocar a premissa P5:
B → ~L
- Depois da P5 vamos colocar o equivalente condicional de P3: ~L → A
- Finalmente, depois da P4 vamos colocar a premissa P4:
A → ~L
Assim, teremos o seguinte encadeamento:
B → ~A → B → ~L → A → ~L
Uma vez que estamos trabalhando apenas com estruturas condicionais, devemos
lembrar que a única situação inadmissível para uma condicional é V na primeira parte e F na
segunda. Assim, de modo que nunca ponhamos um V antes de um F, teremos os seguintes
possíveis valores lógicos a serem analisados:
1ª
2ª
3ª
4ª
B
→ ~A →
B
1ª linha:
V
V
V
V
V
V
2ª linha:
F
V
V
V
V
V
3ª linha:
F
F
V
V
V
V
4ª linha:
F
F
F
V
V
V
5ª linha:
F
F
F
F
V
V
6ª linha:
F
F
F
F
F
V
7ª linha:
F
F
F
F
F
F
→
~L
5ª
→
A
6ª
→
~L
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10
Vamos analisar qual dessas linhas lógicas é aceitável.
-
Análise da 1ª linha:
Na 2ª coluna de valores lógicos ~A é V e na 5ª coluna A também é V. Isto é
impossível! Daí devemos descartar esta 1ª linha!
-
Análise da 2ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 1ª linha!
-
Análise da 3ª linha:
Na 1ª coluna de valores lógicos B é F e na terceira coluna B é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 3ª linha!
-
Análise da 4ª linha:
Não há contradições entre os valores lógicos, então mantemos esta linha!
-
Análise da 5ª linha:
Na 4ª coluna de valores lógicos ~L é F e na sexta coluna ~L é V. Isto é impossível! Daí
devemos descartar esta 5ª linha!
-
Análise da 6ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!
-
Análise da 7ª linha:
Devemos descartar essa linha pelo mesmo motivo dado na análise da 5ª linha!
Da 4ª linha que restou, obtemos os seguintes valores lógicos:
AéV
, daí: André é inocente!
BéF
, daí: Bruno é culpado!
~L é F (e L é V) , daí: Leo é inocente!
Portanto, a resposta é a alternativa C.
06. (AFC/STN 2005 ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê
poesias. Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não
visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:
a) bebe, visita Ana, não lê poesias.
b)) não bebe, visita Ana, não lê poesias.
c) bebe, não visita Ana, lê poesias.
d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.
e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.
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11
Sol.: Podemos resolver esta questão pelo Método da Atribuição, ou pelo Método do
Encadeamento, e também pelo Método da Tabela-Verdade. Vamos escolher este último
método para a solução desta questão.
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se Pedro não bebe, ele visita Ana.
P2: Se Pedro bebe, ele lê poesias.
P3: Se Pedro não visita Ana, ele não lê poesias.
P4: Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana.
Vamos atribuir letras as proposições simples;
B = Pedro bebe
A = Pedro visita Ana
P = Pedro lê poesias
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos:
P1: ~B → A
P2:
B→P
P3: ~A → ~P
P4:
P → ~A
Devemos construir a tabela-verdade para cada uma das premissas! Como faremos
uma comparação entre os valores lógicos obtidos das premissas é interessante que
construamos uma única tabela que contenha todas elas, conforme é mostrado abaixo.
P1
P2
P3
P4
1ª
B
A
P
~B
~B → A
B
P
B→P
~A
~P
~A → ~P
P
~A
P → ~A
2ª
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
3ª
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
4ª
V
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F
V
V
V
5ª
V
F
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
V
V
6ª
F
V
V
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
7ª
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
8ª
F
F
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
V
V
9ª
F
F
F
V
F
F
F
V
V
V
V
F
V
V
Temos que verificar qual é a linha da tabela acima cujos valores lógicos das premissas
são todos V. Encontramos esta situação na 7ª linha! Passemos a observar na 7ª linha quais
são os valores lógicos das proposições simples: B, A e P.
Resultados:
B é F , daí: Pedro não bebe!
A é V , daí: Pedro visita Ana!
P é F , daí: Pedro não lê poesias!
Portanto, a resposta é a alternativa B.
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12
07.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente. Se
Roberto é inocente, então Sônia é inocente. Ora, Pedro é culpado ou Sônia é
culpada. Segue-se logicamente, portanto, que:
a) Lauro é culpado e Sônia é culpada
b) Sônia é culpada e Roberto é inocente
c)) Pedro é culpado ou Roberto é culpado
d) Se Roberto é culpado, então Lauro é culpado
e) Roberto é inocente se e somente se Lauro é inocente
Sol.:
Temos, no enunciado, as seguintes premissas:
P1: Se Pedro é inocente, então Lauro é inocente.
P2: Se Roberto é inocente, então Sônia é inocente.
P3: Pedro é culpado ou Sônia é culpada.
Vamos atribuir letras as proposições simples;
P = Pedro é inocente
L = Lauro é inocente
R = Roberto é inocente
S = Sônia é inocente
Traduzindo as premissas para a forma simbólica, obteremos:
P1:
P→ L
P2:
R→ S
P3: ~P ou ~S
Nesta questão, há quatro proposições simples (P, L, R e S), de sorte que fica muito
trabalhoso utilizar o método da Tabela-verdade. Como nas alternativas de resposta aparece
uma disjunção na alternativa “C” e uma condicional na alternativa “D”, é mais aconselhável
utilizarmos o Método da Conclusão Falsa.
Este método consiste, conforme aprendemos, em se verificar a existência simultânea da
conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Obviamente que, em enunciados de estruturas lógicas, somente são fornecidas as
premissas, e a conclusão será uma das cinco alternativas da questão.
Daí, devemos realizar testes com as opções de resposta, a fim de descobrimos a
correta, que será aquela em que a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras
não for possível.
Pela regra de precedência dos testes das alternativas, iniciaremos pela alternativa C.
- Teste da alternativa C (Pedro é culpado ou Roberto é culpado):
Traduzindo esta alternativa para a forma simbólica teremos:
Conclusão: ~P ou ~R
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13
Agora vamos verificar a existência da conclusão falsa e premissas verdadeiras.
Fazendo a conclusão falsa teremos: (~P ou ~R) é F . Sabemos que uma disjunção é
falsa somente quando os termos que a compõe também são falsos.
Daí, teremos que ~P é F (e P é V), e ~R é F (e R é V).
Vamos executar os seguintes passos, mostrados abaixo:
1º. V
P1.
P
2º. V
→
1º. V
P2.
R
3º. V
→
1º. F
P3.
~P
L
S
4º. F
→
~S
1º passo) Substituir as proposições simples pelos valores lógicos obtidos acima, ou seja, P
por V (em P1), ~P por F (em P3) e R por V (em P2).
2º passo) P1 deve ser verdadeira, daí L é V.
3º passo) P2 deve ser verdadeira, daí S é V.
4º passo) Do resultado obtido no 3º passo, vamos substituir ~S por F (em P3).
Opa! A premissa P3 deve ser verdadeira, mas pelos valores lógicos que aparecem em
P3, a premissa é falsa!
Daí, utilizando a alternativa C como conclusão falsa, concluímos que não é possível a
existência de premissas verdadeiras e conclusão falsa.
Portanto, a resposta é a alternativa C.
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14
É isso! Passemos ao nosso assunto de hoje!
Na aula quatro, vimos a importância do uso de diagramas de círculos na análise da
validade dos argumentos. Hoje, vamos tecer mais detalhes sobre o uso de diagramas de
círculos (ou diagramas lógicos), e também sobre questões de lógica que envolvem as palavras
todo, algum e nenhum.
São ditas proposições categóricas as seguintes:
Æ Todo A é B
Æ Nenhum A é B
Æ Algum A é B e
Æ Algum A não é B
Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do
conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o
mesmo que Todo B é A.
Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos,
isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente
equivalente a dizer que Nenhum B é A.
Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem
que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.
Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B.
Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de
meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam.
Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também,
as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe
um A que é B.
Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos
um elemento que não pertence ao conjunto B.
Temos as seguintes equivalências:
Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a
Algum B não é A.
Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser
e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
Como nesta aula teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e
nenhum, resolvemos listar algumas regras que já foram vistas na aula dois.
Todo A é B
Algum A é B
Nenhum A é B
=
=
=
Todo A não é não B
Algum A não é não B
Nenhum A não é não B
Todo A é não B
Algum A é não B
Nenhum A é não B
=
=
=
Todo A não é B
Algum A não é B
Nenhum A não é B
Nenhum A é B
Todo A é B
=
=
Todo A é não B
Nenhum A é não B
A negação de Todo A é B
é Algum A não é B
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B
(e vice-versa)
(e vice-versa)
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15
Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas
Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de
Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a
verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.
1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:
B
1
2
A=B
A
Nenhum A é B
é falsa.
Algum A é B
é verdadeira.
Algum A não é B é falsa.
2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:
A
Todo A é B
é falsa.
Algum A é B
é falsa.
Algum A não é B
é verdadeira.
B
3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:
2
1
A
3
B
B
4
A
A
B
A=B
Nenhum A é B
é falsa.
Todo A é B
é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).
Algum A não é B
é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).
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16
4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:
2
1
A
B
A
B
3
A
B
Todo A é B
é falsa.
Nenhum A é B
é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2).
Algum A é B
é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3).
Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é
buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo,
conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos
diagramas lógicos!
Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos às resoluções!
Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é
instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:
a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.
e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
Sol.:
instrutivo
livro
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17
Pode haver questão mais fácil que esta?
A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total
dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!
A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do
diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que
algum livro é instrutivo.
Resposta: opção B.
01. (TTN-98 ESAF) Se é verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então
é necessariamente verdadeiro que:
a)) algum A não é G;
d) algum G é A;
b) algum A é G.
e) nenhum G é A;
c) nenhum A é G;
Sol.:
Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:
1. Alguns A são R
2. Nenhum G é R
Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos
a obter a resposta correta.
Na verdade, para esta questão, não é necessário fazer representações gráficas, pois se
observarmos as alternativas, já podemos excluir as alternativas “b” e “d” (pois algum A é G é
equivalente a algum G é A, e não podemos ter duas respostas corretas), e também excluir as
alternativas “c” e “e” (pois nenhum A é G é o mesmo que nenhum G é A). Só restando-nos
a alternativa “a” para marcar como correta.
Mas para efeitos didáticos vamos também resolver esta questão por diagramas de
círculos!
Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos
separados, sem nenhum ponto em comum.
G
R
Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica
do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam
(mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.
R
A
Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos
qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A
e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e
R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas
representações.
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18
Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas
possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez
e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos
somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão,
desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as
alternativas que foram verdadeiras no teste anterior.
Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em
que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção
entre eles.
G
R
A
A
Teste das alternativas:
1º) Teste da alternativa “a” (algum A não é G)
Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira
para os dois desenhos de A, isto é, nas duas representações há elementos em A que não estão
em G.
Passemos para o teste da próxima alternativa.
2º) Teste da alternativa “b” (algum A é G)
Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está
mais a direita, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que não estão
em G.
Pelo mesmo motivo a alternativa “d” não é correta.
Passemos para a próxima.
3º) Teste da alternativa “c” (Nenhum A é G)
Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está
mais a esquerda, esta alternativa não é verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em
G.
Pelo mesmo motivo a alternativa “e” não é correta.
Portanto, a resposta é a alternativa “A”.
02.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se,
também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que
a) todo C é B
b) todo C é A
c)) algum A é C
d) nada que não seja C é A
e) algum A não é C
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19
Sol.:
Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas:
1. Existe pelo menos um A que é B (= Algum A é B)
2. Todo B é C
Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos
a obter a resposta correta.
A alternativa “d” traz a seguinte sentença: nada que não seja C é A, isto é o mesmo
que nenhum não C é A, ou de outra forma nenhum A é não C. Podemos também passar
para a forma equivalente: Todo A é C. Daí, a alternativa “d” ficou igual a alternativa “b”,
portanto estas alternativas não podem ser resposta da questão.
Vamos iniciar pela representação da proposição categórica Todo B é C:
C
B
Para a proposição categórica do Algum A é B, usaremos a representação mostrada
abaixo:
B
A
Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos
qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A
e C, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, B e
C). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas
representações.
Usando o mesmo procedimento da questão anterior, passaremos ao teste das
alternativas usando o seguinte desenho (colocamos duas situações para o conjunto A):
C
A
B
A
1º) Teste da alternativa “a” (todo C é B)
Observando o desenho acima, claramente esta alternativa está errada.
Passemos para o teste da próxima alternativa.
2º) Teste da alternativa “b” (todo C é A)
Observando o desenho acima, claramente esta alternativa está errada.
Passemos para a próxima.
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20
3º) Teste da alternativa “c” (algum A é C)
Para as duas representações feitas para o conjunto A, esta alternativa é verdadeira.
4º) Teste da alternativa “d” (nada que não seja C é A)
Vimos que “nada que não seja C é A” é o mesmo que “todo C é A”, e igualmente a
alternativa b, este item é incorreto.
5º) Teste da alternativa “e” (algum A não é C)
Observe que em uma das representações do conjunto A, todos os elementos de A estão
dentro de C, e portanto esta alternativa é incorreta.
Daí, a resposta é a alternativa “C”.
03. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de
inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são
também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês,
e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
Sol.:
O enunciado traz as seguintes proposições categóricas:
1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês
2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história
3. Todos os alunos de português são também alunos de informática
4. Alguns alunos de informática são também alunos de história
5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês
6. Nenhum aluno de português é aluno de história
Veja que há várias proposições categóricas, e devemos fazer a representação gráfica de
cada uma para encontrar a resposta correta.
Por qual proposição categórica devemos iniciar os desenhos dos círculos? Não há uma
ordem única na realização dos desenhos, devemos ir rabiscando um a um, de forma que ao
final dos desenhos, tenhamos atendido a todas as proposições categóricas.
Após os rabiscos efetuados para cada proposição categórica, chegamos ao seguinte
desenho final:
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Ing
Hist
21
Info
Port
Mat
Teste das Alternativas
1°) Teste da alternativa “a” (pelo menos um aluno de português é aluno de inglês)
Pelo desenho, já descartamos essa alternativa.
2°) Teste da alternativa “b” (pelo menos um aluno de matemática é aluno de história)
Também pelo desenho, descartamos essa alternativa.
3°) Teste da alternativa “c” (nenhum aluno de português é aluno de matemática)
Observando o desenho, vemos claramente que este item é verdadeiro.
4°) Teste da alternativa “d” (todos os alunos de informática são alunos de matemática)
Pelo desenho, temos que esta alternativa está errada.
5°) Teste da alternativa “e” (todos os alunos de informática são alunos de português)
Pelo desenho, temos que esta alternativa também está errada.
Resposta: alternativa C.
04.(AFCE TCU 99 ESAF) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo
artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não
há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente,
a) todo responsável é artista
b) todo responsável é filósofo ou poeta
c)) todo artista é responsável
d) algum filósofo é poeta
e) algum trabalhador é filósofo
Sol.:
O enunciado traz as seguintes afirmações:
1. Todo trabalhador é responsável.
2. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta.
3. Não há filósofo e não há poeta que não seja responsável.
Iniciaremos pelo desenho da primeira afirmação “Todo trabalhador é responsável”.
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22
Responsáveis
Trabalhadores
Vamos passar a análise da terceira afirmação, porque esta faz uma relação entre o
conjunto dos responsáveis e os conjuntos dos filósofos e o dos poetas, que permitirá fazer o
desenho destes dois últimos conjuntos. A terceira afirmação feita foi: “Não há filósofo e não
há poeta que não seja responsável”. Isto é o mesmo que dizer: “Não há filósofo irresponsável
e também não há poeta irresponsável”. Permanece o mesmo sentido! Daí, os conjuntos dos
filósofos e o dos poetas vão estar dentro do conjunto dos responsáveis.
Responsáveis
Trabalhadores
Poetas
Filósofos
Observe, no desenho acima, que os três conjuntos (trabalhadores, filósofos e poetas)
estão dentro do conjunto dos responsáveis. Desenhamos sem intersecção entre eles. Como a
questão não afirma sobre a relação entre estes três conjuntos, então o desenho acima é uma
das situações possíveis, mas é claro que existem outras situações, como por exemplo, uma
intersecção entre os três.
Na segunda afirmação, quando se diz que “Todo artista, se não for filósofo, ou é
trabalhador ou é poeta”, pelo raciocínio lógico, isto é o mesmo que afirmar: “Todo artista ou é
filósofo ou é trabalhador ou é poeta”. Permanece o mesmo sentido! Desta forma, o conjunto
dos artistas ou está dentro do conjunto dos filósofos ou está dentro do conjunto dos
trabalhadores ou dentro do conjunto dos poetas.
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23
Responsáveis
Trabalhadores
Artistas
Filósofos
Artistas
Poetas
Artistas
O próximo passo é analisar cada uma das alternativas a fim de encontrar a resposta
correta. Lembrando que a resposta correta é aquela que é verdadeira para qualquer situação
desenhada para os conjuntos. Após estas considerações, concluímos facilmente que a
alternativa correta só pode ser a “C”.
Resposta: alternativa C.
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24
Dever de Casa
01. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que
"Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que
a) nenhum músico é escritor
b) algum escritor é músico
c) algum músico é escritor
d) algum escritor não é músico
e) nenhum escritor é músico
02. (MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de
colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os
amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de
Hélcio:
a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de
Hélio.
b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.
c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de
Hélio.
d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de
Hélio.
e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.
03. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro,
violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de
dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os
professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de
piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de
piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm
nenhum professor em comum, então:
a) nenhum professor de violão é professor de canto
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro
c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro
d) todos os professores de piano são professores de canto
e) todos os professores de piano são professores de violão
04. (MPOG 2002 ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são,
também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis.
Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de
cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos
crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma
menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:
a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.
b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.
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25
c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.
d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.
e) nenhuma menina alegre é loira.
05. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de
inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são
também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês,
e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
06. (SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de
aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas
amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que,
das amigas de Aninha,
a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.
b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.
c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha.
e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
Gabarito: 01. d
02. b
03. a
04. e
05. c
06. b
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1
AULA SETE: Associação Lógica
Olá, amigos!
Conforme combinado na aula passada, nosso assunto de hoje será Associação Lógica.
Com isso, doravante nossa programação voltará ao normal, conforme estabelecido na aula de
apresentação.
Podemos dizer que ingressamos agora em uma segunda fase do nosso curso. A parte
mais exigente, que envolve um maior arcabouço teórico, já passou! Daqui para frente,
trataremos de assuntos cujas questões são mais práticas e diretas.
Iniciaremos, como já é de praxe, resolvendo as questões pendentes do último dever de
casa. Adiante!
DEVER DE CASA
01. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que
"Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que
a) nenhum músico é escritor
b) algum escritor é músico
c) algum músico é escritor
d) algum escritor não é músico
e) nenhum escritor é músico
Sol.:
Tratemos de traduzir as frases do enunciado para a linguagem dos diagramas. A
começar pela primeira: Alguns escritores são poetas. Como é que fica? Assim:
escritores
poetas
Agora, completando a resolução, traduziremos a segunda frase: Nenhum músico é
poeta. Teremos três situações possíveis para enquadrar a circunferência dos músicos, sempre
obedecendo ao comando da referida frase. Teremos:
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
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2
Ficou claro? São três as situações em que pode se encontrar o diagrama referente aos
músicos! E em todos esses casos, estará obedecida a ordem que nenhum músico seja poeta!
Uma vez concluído esse desenho, fica muito fácil confrontá-lo com as opções de
resposta!
Concluiremos, de pronto, que a única resposta necessariamente verdadeira é a letra
D. Vejamos as opções, uma a uma.
Opção A) nenhum músico é escritor.
É falsa por quê? Por conta das duas possibilidades em destaque abaixo:
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
Opção B) Algum escritor é músico.
Falsa! Por conta da seguinte possibilidade, em destaque abaixo:
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
Opção C) Algum músico é escritor.
Falsa também, em face da seguinte possibilidade:
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
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3
Opção E) Nenhum escritor é músico.
Falso também por força das duas possibilidades em destaque abaixo:
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
Por via de exceção, restou-nos a letra D, que será a resposta!
Mas onde está o algum escritor que não é músico? Na interseção dos diagramas dos
escritores e dos poetas. Nesta pequena área, há pessoas que são, ao mesmo tempo, escritores
e poetas. Logo, neste espaço há escritores que jamais serão músicos!
escritores
mús.
poetas
mús.
mús.
Logo: Resposta) Letra D.
02. (MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de
colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os
amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de
Hélcio:
a) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e alguns não foram ao casamento de
Hélio.
b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.
c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de
Hélio.
d) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de
Hélio.
e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhum foi ao casamento de Hélio.
Sol.:
Construindo a representação dos diagramas para a primeira frase (Todos os que foram
à formatura foram ao casamento), teremos:
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4
casório
formatura
Segunda frase: nem todos os amigos foram ao casamento! Teremos as seguintes
possibilidades:
casório
amigos
formatura
amigos
Pelo desenho acima, fica quase imediato concluir que a resposta da questão é a letra
B: dos amigos de Hélcio, pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio.
03. (AFC-STN 2000 ESAF) Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro,
violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de
dança, mas nenhum professor de dança é professor de teatro. Todos os
professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de
piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de
piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm
nenhum professor em comum, então:
a) nenhum professor de violão é professor de canto
b) pelo menos um professor de violão é professor de teatro
c) pelo menos um professor de canto é professor de teatro
d) todos os professores de piano são professores de canto
e) todos os professores de piano são professores de violão
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5
Sol.: Esta questão é semelhante a uma que foi resolvida na aula passada (questão 3).
Inclusive, ao construirmos os diagramas, obedecendo às frases do enunciado, chegaremos ao
mesmo desenho, que é o seguinte:
dança
piano
teatro
violão
canto
Vamos fazer passo a passo, até chegarmos ao desenho acima.
Começando pela primeira frase: todo professor de canto é professor de dança.
dança
canto
A segunda frase reza que nenhum professor de dança é professor de teatro. Daí,
teremos:
dança
teatro
canto
Segundo a terceira frase, todos os professores de violão são também professores de
piano.
Ora, até então, estávamos trabalhando com três grupos: professores de dança, canto e
teatro. Nesta nova frase, surgiram dois novos grupos. Daí, como não temos ainda como
saber a localização destes novos em relação aos primeiros grupos, preferível será
deixarmos para trabalhar essa terceira frase daqui a pouco.
Adiante!
Quarta frase: algum professor de piano é professor de teatro.
Teremos:
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dança
teatro
6
piano
canto
Agora, retornaremos à terceira frase – todo professor de violão é professor de piano – e
teremos que:
dança
teatro
piano
violão
canto
Por fim, a derradeira frase somente confirma a correção do desenho acima, quando diz
que não há um só professor que ensine, ao mesmo tempo, piano, violão e teatro.
Pronto!
Em vista do desenho acima, de imediato concluímos que a opção A está perfeitamente
escorreita: (nenhum professor de violão é professor de canto).
Logo, resposta: Letra A.
04. (MPOG 2002 ESAF) Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são,
também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis.
Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de
cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos
crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma
menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então:
a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis.
b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis.
c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras.
d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres.
e) nenhuma menina alegre é loira.
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Sol.: Mais uma questão semelhante e de desenho idêntico! Vejamos:
altas e
magras
olhos
azuis
cabelos
crespos
alegres
loiras
Pelo desenho acima, fica claro que a opção correta é a letra E: (nenhum menina alegre
é loira).
Logo, resposta: Letra E.
05. (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de
inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de
português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são
também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês,
e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:
a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês.
b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história.
c) nenhum aluno de português é aluno de matemática.
d) todos os alunos de informática são alunos de matemática.
e) todos os alunos de informática são alunos de português.
Sol.: Mais uma questão semelhante e de raciocínio e desenho idênticos! Vejamos:
inglês
história
informática
português
mat.
É impressionante como se repetem as resoluções extraídas de questões de provas
diferentes! Mudam as palavras, mas o raciocínio é o mesmo!
Daí, pelo desenho acima, fica evidenciado que a opção correta é a letra C: (nenhum
aluno de português é aluno de matemática).
Logo, resposta: Letra C.
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06. (SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de
aniversário estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas
amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que,
das amigas de Aninha,
a) todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.
b) pelo menos uma não foi à festa de Aninha.
c) todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
d) algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha.
e) algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.
Sol.:
Antes de resolver, façamos um paralelo entre este enunciado e o da segunda questão
deste nosso dever de casa. Vejamos:
(SERPRO 2001 ESAF) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário
estiveram, antes, na festa de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha
estiveram na festa de aniversário de Betinha, conclui-se que, das amigas de Aninha,
(MPOG 2002 ESAF) Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de
grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio
estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Hélcio:
Ora, se olharmos com atenção, veremos que a essência destes dois enunciados é a
mesma. O que muda são os personagens e os eventos. Na questão de cima, existe a Aninha, e
os eventos são o aniversário de Aninha e o aniversário de Betinha. Na questão de baixo,
teremos o Hélcio, e os eventos são a formatura do Hélcio e o casamento do Hélcio.
Em suma, as questões são idênticas. É o mesmo que aprender a somar maçãs, e agora
alguém pedir que você some pêras. Quem sabe somar soma qualquer coisa!
Pois bem, reprisando o raciocínio desenvolvido na segunda questão, chegaremos ao
seguinte desenho:
Festa da Betinha
Amigas de
Aninha
Festa da
Aninha
Amigas de
Aninha
Resta evidente que a única resposta compatível com o desenho acima é a opção B –
pelo menos uma amiga de Aninha não foi à festa de Aninha.
Resposta) Letra B.
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9
Passemos a falar em nosso assunto de hoje: Associação Lógica!
Como dissemos no início desta aula, os assuntos que veremos, de hoje em diante, serão
menos teóricos e mais práticos.
Aprenderemos a reconhecer e a resolver questões de associação lógica do jeito mais
rápido possível: resolvendo-as!
Passemos, pois, a uma série de resoluções que enunciados de associação, cobrados em
provas recentes, e vejamos como é fácil trabalhá-las!
01.(AFTN 96 ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta
ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e
o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo
não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são,
respectivamente:
a) cinza, verde e azul
d)) cinza, azul e verde
b) azul, cinza e verde
e) verde, azul e cinza
c) azul, verde e cinza
Sol.:
Temos as seguintes pessoas: Artur, Bernardo e César.
Temos os seguintes carros: Brasília, Parati e Santana.
As cores dos carros são: cinza, verde, e azul.
São feitas as seguintes afirmações verdadeiras:
1. O carro de Artur é cinza;
2. O carro de César é o Santana;
3. O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília.
A questão pede a associação entre cada carro e a sua cor.
Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os modelos de
carros, e outro quadro relacionando os nomes das pessoas com as cores dos carros:
Artur
Bernardo
Artur
César
Brasília
Parati
Santana
Bernardo
César
cinza
verde
azul
Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação
correta, e um N quando incorreta.
Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X
em cada coluna. Sempre é assim! Pois se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna do 1º
quadro, isto significa que Artur tem dois carros. E se não tivermos X nessa coluna, significa
que Artur não tem carro. Ambas essas situações não interessam as questões do tipo
associação. Portanto, sempre que colocarmos um X em uma célula de um quadro,
automaticamente devemos colocar N nas outras células da mesma linha e mesma coluna!
1º passo: O carro de Artur é cinza!
Marcamos um X na célula correspondente a Artur e cinza. Automaticamente,
marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.
Artur
Brasília
Parati
Santana
Bernardo
César
cinza
verde
azul
Artur
X
N
N
Bernardo
N
César
N
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10
2º passo: O carro de César é o Santana!
Marcamos um X na célula correspondente a César e Santana. Automaticamente,
marcamos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.
Artur
Brasília
Parati
Santana
N
Bernardo
N
César
N
N
X
cinza
verde
azul
Artur
X
N
N
Bernardo
N
César
N
3º passo: O carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília!
Marcamos um N na célula correspondente a Bernardo e verde, e outro N na célula
correspondente a Bernardo e Brasília.
Artur
Brasília
Parati
Santana
N
Bernardo
N
N
César
N
N
X
cinza
verde
azul
Artur
X
N
N
Bernardo
N
N
César
N
4º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X!
Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras
células.
Brasília
Parati
Santana
Artur
X
N
Bernardo
N
X
N
César
N
N
X
cinza
verde
azul
Artur
X
N
N
Bernardo
N
N
X
César
N
X
Bernardo
N
N
X
César
N
X
N
Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas).
Brasília
Parati
Santana
Artur
X
N
N
Bernardo
N
X
N
César
N
N
X
cinza
verde
azul
Artur
X
N
N
Conclusão: Artur tem uma Brasília cinza!
Bernardo tem uma Parati azul!
César tem um Santana verde!
Resposta: alternativa D.
02. (ANEEL 2004 ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e
vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os
papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o
diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes
de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre
qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta,
Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”.
Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”.
Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”.
Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”.
Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”.
Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados;
nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”!
Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os
papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente,
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a) rainha, bruxa, princesa, fada.
b) rainha, princesa, governanta, fada.
c) fada, bruxa, governanta, princesa.
d)) rainha, princesa, bruxa, fada.
e) fada, bruxa, rainha, princesa.
Temos as seguintes pessoas: Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla.
Temos os seguintes papéis da peça de teatro: Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta.
São feitas as seguintes afirmações:
1. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e
Carla é a Princesa”. (Palpites errados!)
Daí, é verdade que: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia
não é a Bruxa, e Carla não é a Princesa!
2. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. (Palpites errados!)
Daí, é verdade que: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa!
3. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. (Palpites errados!)
Daí, é verdade que: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha!
4. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. (Palpite errado!)
Daí, é verdade que: Silvia não é a Princesa!
5. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. (Palpites errados!)
Daí, é verdade que: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa!
A questão pede a associação entre os nomes das pessoas e os respectivos papéis de
teatro.
Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das pessoas com os respectivos
papéis de teatro.
Fátima
Beatriz
Gina
Sílvia
Carla
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação
correta, e um N quando incorreta.
No quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X em
cada coluna. Se tivermos, por exemplo, dois X na 1ª coluna, significa que Fátima tem dois
papéis. E se não tivermos X nessa coluna, significa que Fátima não tem um papel de teatro.
1º passo: Fátima não é a Governanta, e Beatriz não é a Fada, e Sílvia não é a Bruxa,
e Carla não é a Princesa!
Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Governanta, outro N na célula
correspondente a Beatriz e Fada, outro N na célula correspondente a Sílvia e Bruxa, e
finalmente um N na célula correspondente a Carla e Princesa.
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Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Beatriz
N
Gina
Sílvia
12
Carla
N
N
N
2º passo: Fátima não é a Princesa e Fátima não é a Bruxa!
Marcamos um N na célula correspondente a Fátima e Princesa, e outro N na célula
correspondente a Fátima e Bruxa.
Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Beatriz
N
Gina
N
Sílvia
Carla
N
N
N
N
3º passo: Silvia não é a Governanta e Silvia não é a Rainha!
Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Governanta, e outro N na célula
correspondente a Silvia e Rainha.
Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Beatriz
N
Gina
N
Sílvia
Carla
N
N
N
N
N
N
4º passo: Silvia não é a Princesa!
Marcamos um N na célula correspondente a Silvia e Princesa.
Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Beatriz
N
Gina
N
Sílvia
N
N
N
N
N
N
Carla
N
5º passo: Carla não é a Bruxa e Beatriz não é a Bruxa!
Marcamos um N na célula correspondente a Carla e Bruxa, e outro N na célula
correspondente a Beatriz e Bruxa.
Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
N
N
N
Beatriz
N
N
Gina
Sílvia
Carla
N
N
N
N
N
N
6º passo: Cada linha e coluna devem conter uma célula marcada com X!
Assim, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as outras
células.
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Fátima
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
N
Beatriz
N
N
Gina
X
N
N
Sílvia
X
N
N
N
N
13
Carla
N
N
Depois, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X.
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Fátima
N
N
Beatriz
N
N
N
N
Gina
N
X
N
N
N
Sílvia
X
N
N
N
N
Carla
N
N
N
Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as
outras células.
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Fátima
N
N
X
N
N
Beatriz
N
N
X
Gina
N
X
N
N
N
Sílvia
X
N
N
N
N
Carla
N
N
N
Novamente, marcamos N para completar as linhas (ou colunas) que já possui um X.
Fada
Bruxa
Rainha
Princesa
Governanta
Fátima
N
N
X
N
N
Beatriz
N
N
N
X
N
Gina
N
X
N
N
N
Sílvia
X
N
N
N
N
Carla
N
N
N
N
Novamente, marcamos X na célula vazia da linha (ou coluna) que tem N em todas as
outras células.
Fátima Beatriz Gina Sílvia Carla
Fada
N
N
N
X
N
Bruxa
N
N
X
N
N
Rainha
X
N
N
N
N
Princesa
N
X
N
N
N
Governanta
N
N
N
N
X
Conclusão: Fátima é a Rainha!
Beatriz é a Princesa!
Gina é a Bruxa!
Sílvia é a Fada!
Carla é a Governanta!
Resposta: alternativa D.
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03. (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é
morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama
Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país
diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha.
Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram
as seguintes informações:
A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.
A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.
A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.
Sol.:
Temos as seguintes amigas: Bete, Elza e Sara.
Características de cor de cada uma delas: loura, morena e ruiva.
Elas viajaram para os seguintes países: Alemanha, França e Espanha.
São feitas as seguintes afirmações verdadeiras:
1. A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.
2. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.
3. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
Vamos fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com as tonalidades de
cada uma, e outro quadro relacionando os destinos de viagem com as tonalidades. Não há
necessidade de fazer um quadro relacionando os nomes das amigas com os destinos de
viagem, porque não há relação entre estes dois últimos nas afirmações verdadeiras citadas
acima. Mas pode fazer mais este quadro se vocês desejarem!
Bete
Elza
Sara
loura
morena
ruiva
Alemanha
França
Espanha
loura
morena
ruiva
Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação
correta, e um N quando incorreta.
Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X
em cada coluna.
1º passo: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”!
Marcamos um N na célula correspondente a loura e França, e outro N na célula
correspondente a loura e Espanha.
Bete
Elza
Sara
loura
morena
ruiva
Alemanha
loura
morena
ruiva
França
N
Espanha
N
Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 1ª linha do 2º quadro, e
consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 2º quadro.
Bete
loura
morena
ruiva
Elza
Sara
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
Espanha
N
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15
2º passo: A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”!
Marcamos um N na célula correspondente à morena e Elza, e outro N na célula
correspondente a morena e Sara.
Bete
loura
morena
ruiva
Elza
N
Sara
N
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
Espanha
N
Daí, já podemos marcar um X na célula vazia da 2ª linha do 1º quadro, e
consequentemente marcamos N para completar a 1ª coluna do 1º quadro.
loura
morena
ruiva
Bete
N
X
N
Elza
N
Sara
N
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
Espanha
N
3º passo: A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”!
Marcamos um N na célula correspondente a ruiva e França, e outro N na célula
correspondente a Elza e França (na verdade não fizemos esse quadro, então guarde este
resultado). Observe que podemos obter mais uma informação da afirmação acima: A ruiva não
é Elza! Assim, marcamos um N na célula correspondente a ruiva e Elza.
loura
morena
ruiva
Bete
N
X
N
Elza
N
N
Sara
N
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
Espanha
N
N
Daí, já podemos marcar um X nas células vazias das linhas e colunas.
loura
morena
ruiva
Bete
N
X
N
Elza
N
N
Sara
N
X
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
X
N
Espanha
N
X
Vamos completar com N as células das linhas e colunas que já tem X.
loura
morena
ruiva
Bete
N
X
N
N
N
Sara
N
N
X
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
X
N
Espanha
N
N
X
Elza
X
N
N
Sara
N
N
X
loura
morena
ruiva
Alemanha
X
N
N
França
N
X
N
Espanha
N
N
X
Elza
E finalmente:
loura
morena
ruiva
Bete
N
X
N
Conclusão:
Do 1º quadro temos: Bete é morena.
Elza é loura.
Sara é ruiva.
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16
Do 2º quadro temos: A loura vai à Alemanha.
A morena vai à França.
A ruiva vai à Espanha.
Assim, temos:
Bete é morena e vai à França.
Elza é loura e vai à Alemanha.
Sara é ruiva e vai à Espanha.
Resposta: alternativa E.
04. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Quatro casais reúnem-se para jogar xadrez. Como há
apenas um tabuleiro, eles combinam que:
a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;
b) marido e esposa não jogam entre si.
Na primeira partida, Celina joga contra Alberto. Na segunda, Ana joga contra o marido de
Júlia. Na terceira, a esposa de Alberto joga contra o marido de Ana. Na quarta, Celina joga
contra Carlos. E na quinta, a esposa de Gustavo joga contra Alberto. A esposa de Tiago e o
marido de Helena são, respectivamente:
a) Celina e Alberto
b) Ana e Carlos
c) Júlia e Gustavo
d) Ana e Alberto
e) Celina e Gustavo
Sol.:
Temos as seguintes mulheres: Celina, Ana, Júlia e Helena.
Temos os seguintes homens: Alberto, Carlos, Gustavo e Tiago.
Eles combinam que:
a) nenhuma pessoa pode jogar duas partidas seguidas;
b) marido e esposa não jogam entre si.
Temos as seguintes partidas:
MULHERES
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
partida:
partida:
partida:
partida:
partida:
HOMENS
Celina
Ana
esposa de Alberto
Celina
esposa de Gustavo
x
X
X
X
X
Alberto
marido de Júlia
marido de Ana
Carlos
Alberto
Primeiramente, vamos verificar qual o nome de mulher que mais aparece nas partidas
acima. Celina e Ana aparecem mais vezes! Então, vamos analisar quem pode ser o marido de
Celina.
- Análise para obter o nome do marido de Celina:
1º passo: Da 1ª partida temos que Alberto não pode ser marido de Celina.
Alberto
Carlos
Gustavo
Tiago
2º passo: Da 4ª partida temos que Carlos não pode ser marido de Celina.
Carlos
Gustavo
Tiago
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17
3º passo: Como a Celina jogou a 4ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ela não pode
jogar a partida seguinte (5ª). Daí, Celina não é esposa de Gustavo.
Gustavo
Tiago
Concluímos que: Tiago é o marido de Celina. Deste resultado, a alternativa correta é
A ou E.
Agora, vamos verificar qual o nome do homem que mais aparece nas partidas acima.
Alberto é o que mais aparece! Então, vamos analisar quem pode ser a esposa de Alberto
(Poderíamos ter feito esta análise, antes da análise do marido de Celina).
- Análise para obter o nome da esposa de Alberto:
1º passo: Como o Alberto jogou a 1ª partida, então, pelo acordo entre os casais, ele não pode
jogar a partida seguinte (2ª). Daí, Alberto não é marido de Júlia.
Ana
Júlia
Helena
2º passo: Como a esposa de Alberto jogou a 3ª partida, então, pelo acordo entre os casais,
ela não pode jogar a partida anterior (2ª). Daí, a esposa de Alberto não é Ana.
Ana
Helena
Concluímos que: Helena é a esposa de Alberto. Portanto, a resposta é a alternativa
A.
Resposta: alternativa A.
05. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas,
sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é
carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico,
outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e
nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se,
não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um
dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do
carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está
sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e
Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:
a) Teresa e Samanta
b)) Samanta e Teresa
c) Lúcia e Samanta
d) Lúcia e Teresa
e) Teresa e Lúcia
Sol.:
Temos os seguintes amigos: Beto, Caio e Dario.
As namoradas são: Teresa, Samanta e Lúcia.
As regiões dos três são: carioca, nordestino e catarinense.
As profissões dos três são: médico, engenheiro e professor.
As afirmações trazidas no enunciado são:
1. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de
outra do mesmo sexo.
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2. O médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do
que de Dario ou do que do carioca.
3. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está sentada à
sua direita.
4. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e Samanta.
É importante que façamos um desenho das seis posições que os casais ocupam. E
consideraremos que todos estão olhando na direção da seta mostrada abaixo.
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
5ª posição
6ª posição
1º passo: Pela 3ª afirmação supracitada, e considerando o sentido da seta que nós
definimos, o catarinense só pode estar na 1ª posição, para que assim a namorada do
professor fique a sua direita.
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
5ª posição
6ª posição
namorada do
catarinense
professor
2º passo: Da 1ª afirmação, homens e mulheres devem sentar alternados. Como na 1ª
posição está o catarinense, a partir dele vamos alternando homens e mulheres. E como
nenhum deles sentou-se ao lado da namorada, então o professor só pode estar na 5ª
posição.
1ª posição
Homem
catarinense
2ª posição
Mulher
namorada do
professor
3ª posição
Homem
4ª posição
Mulher
5ª posição
Homem
6ª posição
Mulher
professor
3º passo: Da 2ª afirmação, o médico sentou-se em um dos dois lugares do meio, logo ele
sentou-se na 3ª posição.
1ª posição
Homem
catarinense
2ª posição
Mulher
namorada do
professor
3ª posição
Homem
4ª posição
Mulher
médico
5ª posição
Homem
6ª posição
Mulher
professor
4º passo: Ainda da 2ª afirmação, o médico está mais próximo de Lúcia do que de Dario ou
do que do carioca. Logo, o carioca não é médico e só pode estar na 5ª posição, assim
Dário, como não é médico e nem carioca, estará na 1ª posição, e Lúcia pode está na 2ª
posição ou na 4ª posição.
1ª posição
Homem
Dário
Catarinense
2ª posição
Mulher
Lúcia pode
está aqui
namorada do
professor
3ª posição
Homem
4ª posição
Mulher
médico
Lúcia pode
está aqui
5ª posição
Homem
6ª posição
Mulher
Carioca
professor
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19
5º passo: Da 4ª afirmação, Beto está sentado entre Teresa e Samanta, sendo que a primeira
está à sua esquerda e a segunda à sua direita. Como Beto é homem, então ele pode está na
na 3ª ou 5ª posição. Beto não pode estar na 3ª posição, porque sendo assim Lúcia não poderia
estar nem na 2ª e nem na 4ª posição, contrariando o 4º passo. Então Beto só pode estar na
5ª posição. Daí, Caio só pode ser o médico.
1ª posição
Homem
Dário
Catarinense
6º passo:
2ª posição
Mulher
Lúcia pode
está aqui
namorada do
professor
3ª posição
Homem
4ª posição
Mulher
Caio
Médico
Lúcia pode
está aqui
5ª posição
Homem
Beto
6ª posição
Mulher
Carioca
Professor
Já temos condições de colocar as mulheres em seus lugares. Teresa está à
esquerda de Beto, e Samanta à direita de Beto, sobrando a 2ª posição para Lúcia.
E
1ª posição
Homem
Dário
Catarinense
2ª posição
Mulher
Lúcia
namorada do
professor
3ª posição
Homem
4ª posição
Mulher
5ª posição
Homem
Beto
6ª posição
Mulher
Teresa
Carioca
Samanta
Caio
Médico
Professor
Conclusão:
Já temos condições de saber quem são as namoradas de cada um dos amigos, com base na
afirmação: nenhum deles sentou-se ao lado da namorada.
Beto namora com Lúcia!
Caio namora com Samanta!
Dário namora com Teresa!
Resposta: alternativa D.
É isso!
Esperamos que estas resoluções sejam analisadas com calma por vocês, pois nelas há
elementos suficientes a capacitá-los a resolver outras questões de associação, como as do
dever de casa que se segue.
Um abraço a todos e até a semana que vem, se Deus quiser!
Dever de Casa
01.(Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de
uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de
sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de
mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com
sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.
b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.
c)) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.
e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.
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20
02.(AFC-SFC 2001 ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não
necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas realizou seu
curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São Paulo. Márcia
realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia. Berenice não realizou
seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos e respectivos locais de
estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo
c)) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
03.(AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é
morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama
Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um
país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à
Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma,
elas deram as seguintes informações:
A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.
A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.
A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.
04.(Analista MPU 2004 ESAF) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um
barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma
única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia
dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corresponderia
um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de
Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de
Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o
nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio,
coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de
Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente,
a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.
b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.
c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.
d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.
e)) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.
05.(Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Quatro meninas que formam uma fila estão
usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A menina que está
imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor do que a que está
imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que está usando blusa verde
é a menor de todas e está depois da menina de blusa azul. A menina de blusa amarela
está depois da menina que veste blusa preta. As cores das blusas da primeira e da
segunda menina da fila são, respectivamente:
a) amarelo e verde.
d) verde e preto.
b) azul e verde.
e) preto e amarelo.
c)) preto e azul.
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21
06.(MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontram-se
sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também
um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton,
à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente
de Paulo. Assim,
a)) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
07. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas namoradas,
sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de dança. Um deles é
carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se, também, que um é médico,
outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum deles sentou-se ao lado da namorada,
e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As namoradas
chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico
sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de
Dario ou do que do carioca. O catarinense está sentado em uma das pontas, e a
namorada do professor está sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que
está à sua esquerda, e Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são,
respectivamente:
a) Teresa e Samanta
b)) Samanta e Teresa
c) Lúcia e Samanta
d) Lúcia e Teresa
e) Teresa e Lúcia
08.(Analista MPU 2004 ESAF) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em
sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger
aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação,
verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente
um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma
havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela
que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da
esquerda de Bia, e assim por diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram,
respectivamente, para,
a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.
b)) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.
c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.
d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.
e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.
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1
AULA OITO: Verdades e Mentiras
Olá, amigos! Daremos hoje seguimento ao nosso curso, estudando um assunto deveras
interessante, e freqüentemente cobrado em provas de raciocínio lógico!
Estamos falando de questões de verdades e mentiras! Um outro assunto muito prático e
quase sem teoria. Aprenderemos a técnica de resolução deste estilo de problema, e
treinaremos por meio de exemplos variados.
Conforme nossa programação inicial, destinaremos duas aulas para este assunto!
Antes disso, como de costume, passamos à resolução do dever de casa da aula passada
(associação lógica). Esperamos que todos tenham se saído bem com os exercícios.
Dever de Casa
01. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O
vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas
calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com
vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são
brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo,
a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto.
b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos.
c)) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco.
e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis.
Sol.: Os dados com os quais trabalharemos são os seguintes:
Æ Nomes das amigas: Ana, Júlia e Marisa;
Æ Cores dos vestidos: azul, preto e branco;
Æ Cores dos sapatos: azul preto e branco.
São fornecidas ainda as seguintes informações:
Æ somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor;
Æ Júlia não usa nem vestido e nem sapatos brancos;
Æ Marisa usa sapatos azuis.
De posse desses dados, construiremos os seguintes quadros:
Ana
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Júlia
Marisa
Ana
Júlia
Marisa
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
Da forma como aprendemos na aula passada, colocaremos um X nas células do quadro
quando houver uma associação correta, e um N quando incorreta.
Em cada quadro, devemos ter somente um X em cada linha e também somente um X
em cada coluna.
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2
1º passo: Marisa usa sapatos azuis.
Marcamos um X na célula correspondente a Marisa e sapatos azuis.
Automaticamente, marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.
Ana
Júlia
Marisa
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
Ana
N
Júlia
N
Marisa
X
N
N
2º passo: Júlia não usa nem vestidos e nem sapatos brancos.
Marcamos um N nas células que referenciam Júlia com vestido branco e com sapato
branco. Teremos:
Ana
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Júlia
Marisa
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
N
Ana
N
Júlia
N
N
Marisa
X
N
N
Daí, sabendo que cada linha e cada coluna somente pode apresentar um X,
complementaremos, no quadro da direita, a terceira linha e a segunda coluna, já que só
restaram para ambas o espaço para o X. Teremos:
Ana
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Júlia
Marisa
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
N
Ana
N
X
Júlia
N
X
N
Marisa
X
N
N
Seguindo o mesmo raciocínio, fecharemos o quadro da direita, da seguinte forma:
Ana
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Júlia
Marisa
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
N
Ana
N
N
X
Júlia
N
X
N
Marisa
X
N
N
3º passo: somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor.
Ora, pelo resultado encontrado no quadro da direita, já sabemos que a Ana calça
sapatos brancos! Daí, marcaremos um X na esquina entre Ana e vestido branco. Teremos:
Ana
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
X
Júlia
Marisa
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
N
Ana
N
N
X
Júlia
N
X
N
Marisa
X
N
N
Júlia
N
X
N
Marisa
X
N
N
Complementando as linhas e colunas com os respectivos N, teremos:
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Ana
N
N
X
Júlia
N
Marisa
N
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
Ana
N
N
X
4º passo: se é verdade que somente Ana tem vestido e sapatos da mesma cor, é óbvio
que as duas outras moças (Júlia e Marisa) calçam e vestem, respectivamente, sapatos e
vestidos de cores diversas! Ora, pelo quadro da direita, já sabemos que Júlia calça sapatos
pretos, e que Marisa calça sapatos azuis. Logo, concluímos que Júlia não usa vestido preto, e
que Marisa não usa vestido azul. Anotando essas conclusões no quadro da esquerda, teremos:
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Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Ana
N
N
X
Júlia
N
N
Marisa
N
N
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
3
Ana
N
N
X
Júlia
N
X
N
Marisa
X
N
N
Finalmente, sabendo que cada linha e cada coluna terão apenas
complementaremos as células restantes do quadro da esquerda, da seguinte forma:
Vestido azul
Vestido preto
Vestido branco
Ana
N
N
X
Júlia
X
N
N
Marisa
N
X
N
Sapatos azuis
Sapatos pretos
Sapatos brancos
Ana
N
N
X
Júlia
N
X
N
um
X,
Marisa
X
N
N
Conclusões finais:
Æ Ana usa vestido e sapatos brancos;
Æ Júlia usa vestido azul e sapatos pretos;
Æ Marisa usa vestido preto e sapatos azuis.
Resposta: C) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos.
02. (AFC-SFC 2001 ESAF) Os cursos de Márcia, Berenice e Priscila são, não
necessariamente nesta ordem, Medicina, Biologia e Psicologia. Uma delas
realizou seu curso em Belo Horizonte, a outra em Florianópolis, e a outra em São
Paulo. Márcia realizou seu curso em Belo Horizonte. Priscila cursou Psicologia.
Berenice não realizou seu curso em São Paulo e não fez Medicina. Assim, cursos
e respectivos locais de estudo de Márcia, Berenice e Priscila são, pela ordem:
a) Medicina em Belo Horizonte, Psicologia em Florianópolis, Biologia em São Paulo
b) Psicologia em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Medicina em São Paulo
c)) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em Florianópolis, Psicologia em São Paulo
d) Biologia em Belo Horizonte, Medicina em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
e) Medicina em Belo Horizonte, Biologia em São Paulo, Psicologia em Florianópolis
Sol.:
Os dados envolvidos neste enunciado são os seguintes:
Æ Pessoas: Márcia, Berenice e Priscila;
Æ Cursos: Medicina, Biologia e Psicologia;
Æ Cidades: Belo Horizonte, Florianópolis e São Paulo.
Há ainda, as seguintes informações:
Æ Márcia estudou em Belo Horizonte;
Æ Priscila estudou Psicologia;
Æ Berenice nem estudou em São Paulo e nem fez Medicina.
Construiremos os seguintes quadros:
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Márcia
Berenice
Priscila
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
4
Márcia
Berenice
Priscila
Medicina
Biologia
Psicologia
Lembrando sempre que cada quadro terá somente um X em cada linha e também
somente um X em cada coluna, iniciaremos nossa análise.
1º passo: Márcia estudou em Belo Horizonte.
Marcamos um X na célula correspondente a Márcia e a Belo Horizonte.
Automaticamente, marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
Márcia
X
N
N
Berenice
N
Priscila
N
Márcia
Berenice
Priscila
Medicina
Biologia
Psicologia
2º passo: Priscila estudou psicologia.
Marcamos um X na célula correspondente a Priscila e a psicologia. Automaticamente,
marcaremos N nas outras células da mesma linha e da mesma coluna.
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
Márcia
X
N
N
Berenice
N
Priscila
N
Medicina
Biologia
Psicologia
Márcia
Berenice
N
N
Priscila
N
N
X
3º passo: Berenice não estudou em São Paulo e nem fez medicina.
Marcamos um N nas células que ligam Berenice a São Paulo e à medicina. Teremos:
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
Márcia
X
N
N
Berenice
N
Priscila
N
N
Medicina
Biologia
Psicologia
Márcia
Berenice
N
N
N
Priscila
N
N
X
Ora, lembrando apenas que em cada linha deve haver um X, o mesmo se dando com
cada coluna, faremos:
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
Márcia
X
N
N
Berenice
N
X
N
Priscila
N
X
Medicina
Biologia
Psicologia
Márcia
X
N
Berenice
N
X
N
Priscila
N
N
X
Márcia
X
N
N
Berenice
N
X
N
Priscila
N
N
X
Daí, finalmente, chegamos ao seguinte:
Belo Horizonte
Florianópolis
São Paulo
Márcia
X
N
N
Berenice
N
X
N
Priscila
N
N
X
Medicina
Biologia
Psicologia
Conclusões:
Æ Márcia estudou medicina, na cidade de Belo Horizonte;
Æ Berenice estudou Biologia, na cidade de Florianópolis;
Resposta) C.
Æ Priscila estudou psicologia, na cidade de São Paulo.
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5
03. (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura,
outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete,
outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas
fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra
irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar
o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:
A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.
A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.
A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:
a) A loura é Sara e vai à Espanha.
b) A ruiva é Sara e vai à França.
c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.
d) A morena é Bete e vai à Espanha.
e)) A loura é Elza e vai à Alemanha.
Sol.: Por engano, essa questão foi colocada novamente aqui, no Dever de Casa, mas já havia
sido resolvida no texto da aula sete. Pedimos desculpas. Quem quiser conferir novamente a
resolução, favor consultar a página 14 da aula passada!
No fórum SETE pedimos para colocar no lugar desta questão a seguinte:
(MPU 2004 ESAF) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é
paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que
Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o
matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao
cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do
que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo,
a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é
mais novo do que Luís.
b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho
do que o matemático.
c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho
do que o agrônomo.
d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do
que o matemático.
e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho
do que o economista.
Sol.:
Temos cincos irmãos: Luís, Oscar, Mário, Pedro e Nédio.
E as profissões são: engenheiro, matemático, arquiteto, agrônomo e economista.
O enunciado traz as seguintes afirmações:
1ª. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que
Oscar.
2ª. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro.
3ª. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo.
4ª. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio.
5ª. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é
mais moço do que o arquiteto.
Vamos fazer um quadro relacionando os nomes dos irmãos com as profissões.
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Luís
Oscar
Mário
Pedro
6
Nédio
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Agora vamos colocar um X nas células do quadro quando houver uma associação
correta, e um N quando incorreta.
Lembrem que, no quadro acima, devemos ter somente um X em cada linha e também
somente um X em cada coluna.
Vamos analisar as afirmações dadas na questão através dos passos abaixo, mas
procuraremos avaliar somente a correspondência entre os nomes dos irmãos e a profissão, e
não nos preocuparemos agora em saber quem é o mais velho ou o mais novo.
1º passo: Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e
mais velho do que Oscar!
Desta afirmação, obtemos que Luís não é agrônomo e também não é engenheiro.
Também obtemos que Oscar não é engenheiro. Assim, marcamos um N na célula
correspondente a Luís e agrônomo, outro N na célula correspondente a Luís e engenheiro,
e outro N na célula correspondente a Oscar e engenheiro
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
Oscar
N
Mário
Pedro
Nédio
N
2º passo: O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro!
Desta afirmação, obtemos que Mário não é agrônomo e também não é economista.
Assim, marcamos um N na célula correspondente a Mário e agrônomo, e outro N na célula
correspondente a Mário e economista.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
Oscar
N
N
Mário
Pedro
Nédio
N
N
3º passo: O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo!
Desta afirmação, obtemos que Luís não é economista e não é matemático. Assim,
marcamos um N na célula correspondente a Luís e economista, e um N na célula
correspondente a Luís e matemático.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
Oscar
N
Mário
N
N
N
N
N
Pedro
Nédio
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7
Observe que na 1ª coluna há somente uma célula sem marcação, e como devemos ter
um X em cada coluna, daí marcamos um X.
Luís Oscar Mário Pedro Nédio
engenheiro
N
N
matemático
N
arquiteto
X
agrônomo
N
N
N
economista
N
N
Marcamos N nas células da 3ª linha, pois ela já tem um X.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
Mário
Pedro
Nédio
N
N
N
N
N
N
N
4º passo: O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio!
Desta afirmação, obtemos que Mário não é matemático e Nédio não é matemático.
Assim, marcamos um N na célula correspondente a Mário e matemático, e outro N na célula
correspondente a Nédio e matemático.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
Mário
N
N
N
N
Pedro
Nédio
N
N
N
Observe que na 3ª coluna há somente uma célula sem marcação, então marcamos um
X.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
Mário
X
N
N
N
N
Pedro
Nédio
N
N
N
Marcamos N nas células da 1ª linha, pois ela já tem um X.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
Mário
X
N
N
N
N
Pedro
N
N
Nédio
N
N
N
5º passo: O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este,
por sua vez, é mais moço do que o arquiteto!
Desta afirmação, obtemos que Nédio não é economista, Pedro não é economista,
Pedro não é arquiteto e Nédio não é arquiteto.
Assim, marcamos um N na célula correspondente a Nédio e economista, outro N na
célula correspondente a Pedro e economista, outro N na célula correspondente a Pedro e
arquiteto, e outro N na célula correspondente a Nédio e arquiteto. Estes dois últimos já
haviam sido marcados.
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engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
Mário
X
N
N
N
N
N
Nédio
N
N
N
N
N
Pedro
N
8
Observe que na última coluna e na última linha há somente uma célula sem marcação,
então marcamos um X nestas células.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
X
Mário
X
N
N
N
N
Pedro
N
N
N
Nédio
N
N
N
X
N
Marcamos N nas células da 2ª coluna e 4ª linha, pois elas já têm um X.
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
N
X
Mário
X
N
N
N
N
Pedro
N
N
N
N
Nédio
N
N
N
X
N
engenheiro
matemático
arquiteto
agrônomo
economista
Luís
N
N
X
N
N
Oscar
N
N
N
N
X
Mário
X
N
N
N
N
Pedro
N
X
N
N
N
Nédio
N
N
N
X
N
E finalmente:
E as profissões correspondentes a cada irmão são:
Luís é arquiteto.
Oscar é economista.
Mário é engenheiro.
Pedro é matemático.
Nédio é agrônomo.
Com estes resultados ainda não temos condições de marcar a alternativa correta,
temos que avaliar a relação entre as idades dos irmãos.
Das cinco afirmações que foram escritas no início desta solução, somente duas, a 1ª e a
5ª, trazem dados sobre as idades dos irmãos. Vejam elas duas:
1ª. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que
Oscar.
5ª. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é
mais moço do que o arquiteto.
- Da 1ª afirmação, obtemos:
Luís(arquiteto) é mais moço que Mário(engenheiro), e mais velho que Oscar(economista).
Oscar
Luís
Mário
(mais velho)
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9
- Da 5ª afirmação, obtemos:
Oscar(economista) é mais velho que Nédio(agrônomo), e mais moço que Pedro(matemático).
Pedro(matemático) é mais moço que Luís(arquiteto).
Nédio
Oscar
Pedro
Luís
(mais velho)
- Juntando os resultados obtidos nas duas afirmações acima, teremos:
Nédio Oscar
Pedro
Luís
Mário
(mais velho)
Agora, com mais estes resultados já podemos marcar a alternativa A.
Resposta: alternativa A.
04. (Analista MPU 2004 ESAF) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um,
um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um
tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum
deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das
filhas corresponderia um e apenas um barco. Décio e Éder desejavam, ambos,
dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o
nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de
Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é,
no barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco
do pai de Nair, coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil
são, respectivamente,
a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.
b) Laís, Mara, Olga, Nair, Paula.
c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga.
d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara.
e)) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair.
Sol.: Trabalharemos aqui com os seguintes dados:
Æ Nomes dos pais: Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil;
Æ Nomes das filhas: Laís, Mara, Nair, Olga e Paula.
As informações adicionais desta questão são as seguintes:
1ª) Os pais irão batizar seus respectivos barcos, mas não podem usar o nome da própria filha,
e sim a da filha de outrem;
2ª) Décio e Éder queriam usar o nome de Laís;
3ª) Décio usou o nome de Laís e Éder usou o nome de Mara.
4ª) Gil convenceu o pai de Olga ...
5ª) O pai de Olga pôs o nome de Paula em seu barco;
6ª) Caio usou o nome de Nair;
7ª) O pai de Nair usou o nome de Olga.
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10
Construiremos dois quadros, um para associar os nomes dos homens aos nomes que
usaram nos barcos, e outro para a associação entre os nomes dos homens e de suas
respectivas filhas. Teremos:
(Quadro dos barcos)
Barco
Laís
Barco
Mara
Barco
Nair
Barco
Olga
(Quadro das filhas)
Barco
Paula
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
filha
Nair
filha
Olga
filha
Paula
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
1º passo:
Da 2ª e da 3ª informações acima, vemos que Décio usou o nome Laís no barco, e que
Éder usou o nome Mara no barco. Daí, nas células do quadro dos barcos que relacionam
Décio com barco Laís, e Éder com barco Mara, marcaremos um X.
Também, da 2ª e da 3ª informações acima, concluímos que Décio não é pai de Laís, e
que Éder não é pai de Laís e nem de Mara. Daí, nas células do quadro das filhas que
relacionam Décio com filha Laís, e Éder com filha Laís e com filha Mara, marcaremos um
N.
Então, teremos:
barco
Laís
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Mara
barco
Nair
barco
Olga
barco
Paula
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
X
X
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
filha
Nair
filha
Olga
filha
Paula
No quadro dos barcos, marcamos N nas células da 1ª coluna, 2ª coluna, 2ª linha e 3ª
linha, pois elas já têm um X.
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
barco
Olga
barco
Paula
N
N
N
N
N
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
filha
Nair
filha
Olga
filha
Paula
2º passo:
Da 6ª informação, Caio usou o nome Nair no barco. Daí, nas células do quadro dos
barcos que relacionam Caio com barco Nair marcaremos um X.
Da 4ª, concluímos que Gil não é pai de Olga. E da 6ª, que Caio não é pai de Nair. Daí,
nas células do quadro das filhas que relacionam Gil com filha Olga, e Caio com filha Nair
marcaremos um N.
Daí, teremos:
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Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
barco
Olga
barco
Paula
N
N
N
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
11
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
filha
Nair
N
filha
Olga
filha
Paula
N
No quadro dos barcos, marcamos N nas células da 3ª coluna, pois ela já tem um X.
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
barco
Paula
N
N
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
filha
Nair
N
filha
Olga
filha
Paula
N
3º passo:
Da 5ª informação, o pai de Olga usou o nome Paula no barco. Observe no
quadro dos barcos, quem usa o nome Paula no barco ou é o Felipe ou é o Gil. Daí, temos
que o pai de Olga ou é o Felipe ou é o Gil.
Mas, do quadro das filhas, vemos que Gil não é o pai de Olga, portanto o pai de Olga
só resta ser o Felipe. No quadro das filhas, marcamos X na célula que relaciona Felipe com a
filha Olga. E no quadro dos barcos, marcamos N na célula que relaciona Felipe com o barco
Olga.
Daí, teremos:
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
N
barco
Paula
N
N
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
filha
Nair
N
filha
Olga
filha
Paula
X
N
Completando algumas linhas e colunas dos dois quadros com N e X, obteremos:
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
N
X
barco
Paula
N
N
N
X
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
N
N
filha
Nair
N
N
filha
Olga
N
N
N
X
N
filha
Paula
N
4º passo:
Da 7ª informação, o pai de Nair usou o nome Olga no barco. Pelo quadro dos
barcos, quem usou o nome Olga no barco foi Gil, daí Gil é o pai de Nair. No quadro das
filhas, marcamos X na célula que relaciona Gil com a filha Nair.
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
N
X
barco
Paula
N
N
N
X
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
N
N
filha
Nair
N
N
X
filha
Olga
N
N
N
X
N
filha
Paula
N
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um X.
12
No quadro das filhas, marcamos N nas células da 3ª coluna e 5ª linha, pois elas já têm
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
N
X
barco
Paula
N
N
N
X
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
filha
Mara
N
N
N
N
N
N
N
filha
Nair
N
N
N
N
X
filha
Olga
N
N
N
X
N
filha
Paula
N
N
Observando o quadro das filhas, devemos marcar N na célula vazia da 1ª coluna e na
célula vazia da 3ª linha. E logo depois completamos com N as linhas e colunas que já tem um
X.
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
barco
Olga
N
N
N
N
X
barco
Paula
N
N
N
X
N
barco
Olga
N
N
N
N
X
barco
Paula
N
N
N
X
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
X
N
N
N
N
filha
Mara
N
N
N
N
filha
Nair
N
N
N
N
X
filha
Olga
N
N
N
X
N
filha
Paula
N
N
X
N
N
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
filha
Laís
X
N
N
N
N
filha
Mara
N
X
N
N
N
filha
Nair
N
N
N
N
X
filha
Olga
N
N
N
X
N
filha
Paula
N
N
X
N
N
E finalmente obtemos:
Caio
Décio
Éder
Felipe
Gil
barco
Laís
N
X
N
N
N
barco
Mara
N
N
X
N
N
barco
Nair
X
N
N
N
N
Conclusão:
A filha de Caio é Laís.
A filha de Décio é Mara.
A filha de Éder é Paula.
A filha de Felipe é Olga.
A filha de Gil é Nair.
Resposta: alternativa E.
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13
05. (Assistente de Chancelaria MRE 2004 ESAF) Quatro meninas que formam uma
fila estão usando blusas de cores diferentes, amarelo, verde, azul e preto. A
menina que está imediatamente antes da menina que veste blusa azul é menor
do que a que está imediatamente depois da menina de blusa azul. A menina que
está usando blusa verde é a menor de todas e está depois da menina de blusa
azul. A menina de blusa amarela está depois da menina que veste blusa preta. As
cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente:
a) amarelo e verde.
d) verde e preto.
b) azul e verde.
e) preto e amarelo.
c)) preto e azul.
Sol.:
A presente questão envolve apenas cores de blusas e as posições que as meninas
estão ocupando. Neste caso, trabalharemos com o seguinte quadro das posições:
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
São os seguintes os dados trazidos pelo enunciado:
Æ Cores das blusas: amarelo, verde, azul e preto.
As seguintes informações são também acrescidas:
1ª) a menina que está antes (e vizinha!) da de blusa azul é menor da que está depois (e
também vizinha) da de blusa azul;
2ª) a menina de verde é a menor de todas e está depois da de blusa azul.
3ª) a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta.
1º passo: Analisando a primeira informação, conseguimos chegar ao seguinte: a menina de
blusa azul está entre outras duas. Logo, ela não poderia ocupar nem a primeira e nem a
quarta posições (pois estaria na ponta da fila!). Ora, haverá, portanto, uma dessas duas
possibilidades:
1ª posição
2ª posição
3ª posição
(azul)
(azul)
4ª posição
2º passo: a menina de verde é a menor de todas e está depois da de blusa azul!
Vejam as três situações possíveis para as meninas de azul e verde:
1ª situação: A de blusa azul na 2ª posição, e a de blusa verde na 3ª posição.
1ª posição
2ª posição
3ª posição
(azul)
4ª posição
(verde)
2ª situação: A de blusa azul na 2ª posição, e a de blusa verde na 4ª posição.
1ª posição
2ª posição
3ª posição
(azul)
(verde)
4ª posição
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3ª situação: A de blusa azul na 3ª posição, a de blusa verde na 4ª posição.
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
(azul)
(verde)
Da primeira informação temos que a menina que está imediatamente depois da de
azul é maior que a menina que está imediatamente antes da de azul. Assim, a menina de
verde não pode ser a que está imediatamente depois da de azul, pois na segunda afirmação
é dito que a de verde é a menor de todas. Então, vamos descartar a segunda e a terceira
situações, restando-nos somente a primeira situação. Daí, temos:
1ª posição
2ª posição
3ª posição
azul
4ª posição
verde
3º passo: a menina de blusa amarela está depois da de blusa preta!
Só restam-nos dois lugares, e como a menina de blusa amarela está depois da de blusa
preta, logo passaremos a seguinte situação final:
1ª posição
2ª posição
3ª posição
4ª posição
preta
azul
amarela
verde
Daí, as cores das blusas da primeira e da segunda menina da fila são, respectivamente,
preto e azul. Æ Resposta) Letra C.
06. (MPU_Admnistrativa_2004 ESAF) Em torno de uma mesa quadrada, encontramse sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há
também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de
Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é
carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim,
a)) Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano.
b) Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano.
c) Norton é baiano e Vasconcelos é paulista.
d) Norton é carioca e Vasconcelos é paulista.
e) Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.
Sol.:
Trabalharemos com os seguintes dados:
Æ Pessoas: Oliveira, Paulo, Norton e Vasconcelos;
Æ naturalidade: mineiro, paulista, carioca e baiano.
As informações adicionais do enunciado são as seguintes:
1ª) Oliveira é o mais antigo e é mineiro;
2ª) Paulo está à direita de Oliveira;
3ª) Norton está à direita do paulista;
4ª) Vasconcelos não é carioca e está à frente de Paulo.
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O ideal aqui é que desenhemos a tal mesa quadrada! Assim, poderemos definir melhor
as posições! Cada pessoa está olhando para o sentido da seta, conforme indicado abaixo, e
também estão indicadas a direita e a esquerda de cada um:
D
E
E
D
D
E
E
D
1º Passo) Escolheremos um lugar qualquer para o Oliveira, já sabendo que ele é o mineiro,
e logo em seguida, colocamos Paulo à sua direita, conforme a 2ª informação acima.
Oliveira
D (mineiro) E
Teremos:
D
E
Paulo
E
D
E
D
2º Passo) A quarta informação nos diz que Vasconcelos está à frente do Paulo. Sabendo
disso, já somos capazes de complementar as quatro posições da mesa. Teremos:
Oliveira
D (mineiro) E
D
Vasconcelos
E
Paulo
(não é carioca)
D
E
E Norton D
3º Passo) Pela quarta informação, segundo a qual Norton está à direita do paulista,
concluímos que este último (o paulista!) só pode ser o Paulo. E como Vasconcelos não é
carioca, só restou ser o baiano. Daí, Norton é o carioca. Vejamos:
Oliveira
D (mineiro) E
D
Vasconcelos
E
Paulo
(paulista)
(baiano)
D
E
E Norton D
(carioca)
De acordo com os resultados obtidos, chegamos à nossa resposta: Alternativa A.
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07. (MPOG 2003 ESAF) Três amigos, Beto, Caio e Dario, juntamente com suas
namoradas, sentaram-se, lado a lado, em um teatro, para assistir a um grupo de
dança. Um deles é carioca, outro é nordestino, e outro catarinense. Sabe-se,
também, que um é médico, outro é engenheiro e outro é professor. Nenhum
deles sentou-se ao lado da namorada, e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de
outra do mesmo sexo. As namoradas chamam-se, não necessariamente nesta
ordem, Lúcia, Samanta e Teresa. O médico sentou-se em um dos dois lugares do
meio, ficando mais próximo de Lúcia do que de Dario ou do que do carioca. O
catarinense está sentado em uma das pontas, e a namorada do professor está
sentada à sua direita. Beto está sentado entre Teresa, que está à sua esquerda, e
Samanta. As namoradas de Caio e de Dario são, respectivamente:
a) Teresa e Samanta
d) Lúcia e Teresa
b)) Samanta e Teresa
e) Teresa e Lúcia
c) Lúcia e Samanta
Sol.: Outro pequeno equívoco: esta questão também foi resolvida no texto na aula passada.
Vide, por obséquio, a resolução na página 15 da aula sete. E novamente nos desculpamos.
08. (Analista MPU 2004 ESAF) Ana, Bia, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa
ordem e em sentido horário, em torno de uma mesa redonda. Elas estão
reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do
grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma
delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado
resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua
vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda
de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por
diante). Os votos de Ana, Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para,
a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa.
b)) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô.
c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa.
d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô.
e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia.
Sol.: São cinco as moças envolvidas no enunciado, e estas abaixo são as posições que
ocupam, segundo o enunciado: (as letras E e D significam, respectivamente, a esquerda e a
direita das moças!)
D Ana E
D
Bia
E
E
Ema
D
E
Déa
D
E
D
Clô
A única informação adicional é que cada uma delas votou na pessoa que votou em
quem estava à sua esquerda.
Testaremos as opções da questão para obtermos a correta.
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O que diz a opção A? Diz que:
Ana votou em Ema
Bia votou em Ana
Clô votou em Bia
Déa votou em Clô
Ema votou em Déa
Vamos testar esses resultados!
Ora, se é dito que Ana votou em Ema, resta que Ema teria que ter votado em quem
está à esquerda de Ana. Ou seja, Ema teria que ter votado em Bia.
D
Ana
E
D
Bia
E
E
Ema
D
E
Déa D
E
D
Clô
Isso é previsto na opção A? Não!
Passemos à análise da opção B. Ela nos diz que:
Ana votou em Déa
Bia votou em Ema
Clô votou em Ana
Déa votou em Bia
Ema votou em Clô
Vamos lá! Se é dito que Ana votou em Déa, resta que Déa teria que ter votado em
quem está à esquerda de Ana. Ou seja, Déa teria que ter votado em Bia. Vejamos:
D
Ana
E
E
Ema
D
E
Déa D
D
Bia
E
E
D
Clô
A opção B, por enquanto, está correta!
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A opção B diz agora que Bia votou em Ema. Logo, Ema teria que ter votado em Clô.
Vejamos:
D
Ana
E
E
Ema
D
D
Bia
E
E
Déa D
E
D
Clô
A opção B continua certa!
Agora a opção B diz que Clô votou em Ana. Logo, Ana teria que ter votado em Déa.
D
Ana
E
E
Ema
D
D
E
E
Déa D
Bia
D
E Clô
E isso é exatamente o que diz esta opção B!
Em suma: a opção B está inteiramente compatível! Logo, é a resposta que procuramos!
Resposta: Alternativa B.
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Passemos a falar em nosso assunto de hoje: Verdades e Mentiras!
Como dissemos no início desta aula, este assunto é muito prático e quase sem teoria.
Aprenderemos a técnica de resolução deste estilo de problema, e treinaremos por meio de
exemplos variados. Nós destinaremos duas aulas para resolver questões de concursos deste
assunto!
Passemos, pois, a uma série de resoluções de questões de “verdades e mentiras”
cobradas em provas de concursos públicos, e vejamos como é fácil trabalhá-las!
01) (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa
de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados
sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a verdade"
Tarso: "Celso mentiu"
Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a
verdade, pode-se concluir que o culpado é:
a) Armando
b) Celso
c) Edu
d) Juarez
e) Tarso
Sol.: Percebemos que as cinco pessoas envolvidas na trama do enunciado (Armando, Celso,
Edu, Juarez e Tarso) estão fazendo uma declaração! Que pode ser uma verdade ou uma
mentira! Como procederemos?
O primeiro passo será, senão outro, relacionar todas as declarações feitas no
enunciado. Façamos isso:
Æ Armando: "Sou inocente"
Æ Celso: "Edu é o culpado"
Æ Edu: "Tarso é o culpado"
Æ Juarez: "Armando disse a verdade"
Æ Tarso: "Celso mentiu"
Agora, veremos que, além das declarações, o enunciado dessas questões de “verdade e
mentira” SEMPRE nos fornecerão alguma ou algumas INFORMAÇÕES ADICIONAIS!
Estas informações adicionais serão a base do raciocínio que iremos desenvolver para
resolver a questão! Em geral, são informações referentes às pessoas envolvidas na situação do
enunciado, ou referentes ao número de pessoas que estariam mentindo ou dizendo a verdade,
em suas declarações!
Procuremos nesse nosso enunciado, se há e quais são essas informações adicionais!
Achamos? Claro. São as seguintes:
1º) O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa.
Podemos inclusive traduzir essa informação apenas como sendo:
Æ Só há um culpado!
E, teremos ainda:
2º) Apenas um dos suspeitos mentiu e todos os outros disseram a verdade.
Traduziremos por:
Æ Só há um mentiroso!
Percebamos que, até aqui, nada fizemos, além de reunir os dados do enunciado, com os
quais iremos trabalhar a nossa resolução. Mas esse procedimento é ESSENCIAL!
Passemos à resolução propriamente dita!
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Como só há um mentiroso no grupo dos cinco suspeitos, então teremos cinco possíveis
hipóteses de quem diz a verdade e quem mente. Vejam abaixo essas possíveis hipóteses
associadas às declarações de cada suspeito. (Usamos M para mentira e V para verdade!)
DECLARAÇÕES
Armando: "Sou inocente"
Celso: "Edu é o culpado"
Edu: "Tarso é o culpado"
Juarez: "Armando disse a
verdade"
5ª. Tarso: "Celso mentiu"
1ª.
2ª.
3ª.
4ª.
1ªHipótese
M
V
V
V
2ªHipótese
V
M
V
V
3ªHipótese
V
V
M
V
4ªHipótese
V
V
V
M
5ªHipótese
V
V
V
V
V
V
V
V
M
No esquema acima, o que representa a 1ª hipótese? Respondendo, a 1ª hipótese
supõe que Armando está mentido, restará perfeitamente claro que as demais pessoas
estarão dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um mentiroso)!
E agora, o que fazer? Em princípio, devemos testar cada hipótese a fim de
descobrirmos a correta. Mas para que não tenhamos que testar todas as hipóteses, e com isso
economizarmos tempo na solução, podemos analisar as declarações para verificarmos quais
são as hipóteses que podem ser descartadas.
Procure entre as declarações, duas que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
A 2ª e a 3ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! É claro que não, pois
senão teríamos dois culpados: Edu e Tarso! Daí, dessas duas declarações (2ª e 3ª),
concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade. Observem na tabela acima, que
somente a 2ª hipótese e a 3ª hipótese obedecem a esta conclusão (devemos descartar as
outras hipóteses!).
Neste momento, podemos testar as duas hipóteses restantes (2ª e 3ª) para
verificarmos a correta, ou podemos procurar mais duas declarações que não podem ser ambas
verdadeiras. Vamos optar por esta última solução!
A 2ª e a 5ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! Novamente não! Pois
para que a 2ª declaração seja verdadeira é necessário que Celso diga a verdade, mas pela 5ª
declaração, Tarso afirma que Celso mente, ocorrendo, assim, uma contradição. Daí, dessas
duas declarações (2ª e 5ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade.
Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 5ª hipótese obedecem a esta
conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!). Mas da análise feita anteriormente,
havíamos descartado a 5ª hipótese, dessa forma a única hipótese que restou foi a segunda
hipótese.
Da segunda hipótese, temos que Celso mente e os outros dizem a verdade! Como
Edu diz a verdade, então é verdadeira a sua declaração: "Tarso é o culpado". Assim,
descobrimos que o culpado é Tarso!
Resposta: alternativa E.
Para fins didáticos, vejamos a seguinte solução alternativa.
Caso tivéssemos optado por testar a segunda hipótese, devemos extrair dela as
nossas conclusões. Teremos:
CONCLUSÕES OBTIDAS DA 2ª HIPÓTESE:
Æ Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Armando está dizendo,
então, concluímos que: Armando é inocente.
Æ Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Celso está declarando,
então, concluímos que: Edu é inocente.
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Æ Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Edu está declarando,
então, concluímos que: Tarso é culpado.
Æ Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Juarez está declarando,
então, concluímos que: Armando diz a verdade. Neste momento, temos que nos reportar ao
ARMANDO, e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está mesmo dizendo a verdade! E aí?
Armando diz a verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa quarta conclusão está
COERENTE com as demais.
Æ Da quinta e última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Tarso está
dizendo, então, concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos reportaremos ao CELSO, e
conferiremos se ele de fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela nossa hipótese em
análise, Celso de fato mentiu. Deste modo, novamente, não achamos nenhuma
INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as demais.
Feita essa análise, eu pergunto: as conclusões que extraímos da nossa SEGUNDA
HIPÓTESE estão COMPATÍVEIS ENTRE SI? Estão de acordo com o que mandam as
INFORMAÇÕES ADICIONAIS? Ou, ao contrário, estariam entrando em choque umas com as
outras? Ora, observamos que as conclusões são COMPATÍVEIS, e estão plenamente de acordo
com as informações adicionais do enunciado. Daí, diremos que esta segunda hipótese é a que
de fato resolve a questão!
Quem foi o culpado do crime? O culpado foi Tarso, e somente ele! Questão respondida!
02) (CVM 2000 ESAF) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles
entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual
deles entrou sem pagar, eles informaram:
– “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos.
– “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário.
– “Foi a Mara”, disse Manuel.
– “O Mário está mentindo”, disse Mara.
– “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria.
Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente
que quem entrou sem pagar foi:
a) Mário
b) Marcos
c) Mara
d) Manuel
e) Maria
Sol.: Novamente temos aqui cinco pessoas envolvidas na situação do enunciado. Cada qual faz
uma declaração, e nós não sabemos, a priori, quem está falando a verdade ou quem está
mentindo. Daí, não resta dúvida: estamos diante de uma questão de “verdades & mentiras”.
Reunindo as DECLARAÇÕES e as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, teremos:
Æ INFORMAÇÕES ADICIONAIS:
1º) Só há um que entrou sem pagar.
2º) Só há um mentiroso.
Æ DECLARAÇÕES:
1º) Marcos: "Não foi o Marcos; Não foi o Manuel"
2º) Mário: "Foi o Manuel ou foi a Maria"
3º) Manuel: "Foi a Mara"
4º) Mara: "Mário está mentindo"
5º) Maria: "Foi a Mara ou foi o Marcos"
Como só há um mentiroso entre os cinco colegas, então teremos cinco possíveis
hipóteses de quem diz a verdade e quem mente. Vejamos a seguir essas possíveis hipóteses
associadas às declarações de cada um deles. (Usamos M para mentira e V para verdade!)
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DECLARAÇÕES
1ª. Marcos: "Não foi o Marcos;
Não foi o Manuel"
2ª. Mário: "Foi o Manuel ou foi a
Maria"
3ª. Manuel: "Foi a Mara"
4ª. Mara: "Mário está mentindo”
5ª. Maria: "Foi a Mara ou foi o
Marcos"
22
1ªHipótese
M
2ªHipótese
V
3ªHipótese
V
4ªHipótese
V
5ªHipótese
V
V
M
V
V
V
V
V
V
V
V
V
M
V
V
V
M
V
V
V
M
Com já dissemos na questão anterior, em princípio, devemos testar cada hipótese a fim
de descobrirmos a correta. Mas para que não tenhamos que testar todas as hipóteses,
podemos analisar as declarações para verificarmos quais são as hipóteses que podem ser
descartadas.
Procure entre as declarações, duas que não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
A 2ª e a 3ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! É claro que não, pois
senão teríamos duas ou três pessoas que entraram sem pagar: Mara e o Manoel ou a Maria,
ou ambos! Daí, dessas duas declarações (2ª e 3ª), concluímos que uma deve ser mentira e a
outra verdade. Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 3ª hipótese
obedecem a esta conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!).
Neste momento, podemos testar as duas hipóteses restantes (2ª e 3ª) para
verificarmos a correta, ou podemos procurar mais duas declarações que não podem ser ambas
verdadeiras. Vamos novamente optar por esta última solução!
A 2ª e a 4ª declarações podem ser ambas verdadeiras? Pense! Novamente não! Pois
para que a 2ª declaração seja verdadeira é necessário que Mário diga a verdade, mas pela 4ª
declaração, Mara afirma que Mário mente, ocorrendo, assim, uma contradição. Daí, dessas
duas declarações (2ª e 4ª), concluímos que uma deve ser mentira e a outra verdade.
Observem na tabela acima, que somente a 2ª hipótese e a 4ª hipótese obedecem a esta
conclusão (devemos descartar as outras hipóteses!). Mas da análise feita anteriormente,
havíamos descartado a 4ª hipótese, dessa forma a única hipótese que restou foi a segunda
hipótese.
Da segunda hipótese, temos que Mário mente e os outros dizem a verdade! Como
Manuel diz a verdade, então é verdadeira a sua declaração: "Foi a Mara". Assim,
descobrimos que quem entrou sem pagar foi Mara!
Resposta: alternativa C.
Novamente, para fins didáticos, vejamos a seguinte solução alternativa.
Caso tivéssemos optado por testar a segunda hipótese, devemos extrair dela as
nossas conclusões. Teremos:
CONCLUSÕES OBTIDAS DA 2ª HIPÓTESE:
Æ Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Marcos está dizendo,
então, concluímos que: Não foi o Marcos e não foi o Manuel.
Æ Da segunda declaração, extraímos que, se é MENTIRA o que Mário está dizendo,
então, concluímos que: Não foi o Manuel e não foi a Maria.
Æ Da terceira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Manuel está dizendo,
então, concluímos que: Foi a Mara.
Æ Da quarta declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Mara está dizendo, então,
concluímos que: Mário está mentindo. Aqui, como já sabemos, temos que parar, e procurar
saber se o Mário está mesmo mentindo, ou se não está. E aí, de acordo com a nossa hipótese
II, o Mário está mesmo mentindo? SIM. Vemos, pois, que esta quarta conclusão está
coerente. Seguimos em frente!
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Æ Da última declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Maria está dizendo,
então, concluímos que: Foi a Mara ou foi o Marcos. Isso quer dizer que um dos dois entrou
no parque sem pagar. Ou um, ou outro! Vamos analisar o que nos dizem as demais conclusões
que extraímos acima, acerca da Mara e acerca do Marcos. A primeira conclusão nos diz: “Não
foi o Marcos”. E a terceira conclusão nos diz: “Foi a Mara”. Então está perfeito! Ou seja,
essa nossa última conclusão (Foi a Mara ou foi o Marcos) está inteiramente de acordo,
inteiramente compatível com as demais conclusões.
Enfim, percebemos que a segunda HIPÓTESE, que acabamos de analisar, forneceu-nos
conclusões que não conflitaram entre si, e nem foram incompatíveis com as INFORMAÇÕES
ADICIONAIS do enunciado. Em outras palavras: a HIPÓTESE II funcionou! É ela quem nos
dará a resposta da questão. E então, quem foi a pessoa que entrou sem pagar? Foi a Mara.
Questão respondida!
03) (Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com
Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os
nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações:
Nestor: "Marcos é casado com Teresa"
Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina"
Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra"
Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a
verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente:
a) Sandra, Teresa, Regina
b) Sandra, Regina, Teresa
c) Regina, Sandra, Teresa
d) Teresa, Regina, Sandra
e) Teresa, Sandra, Regina
Sol.: Sem mais delongas, transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as
DECLARAÇÕES. Teremos:
Æ INFORMAÇÕES ADICIONAIS:
1º) O marido de Sandra mentiu.
2º) O marido de Tereza disse a verdade.
Æ DECLARAÇÕES:
1º) Nestor: "Marcos é casado com Tereza"
2º) Luís: "Marcos e casado com Regina"
3º) Marcos: "Marcos é casado com Sandra"
Observem que as três declarações acima são a respeito da esposa de Marcos. Daí,
somente uma declaração é verdadeira (porque Marcos não pode ser casado com duas
mulheres!) e as outras duas são falsas.
Dessa forma teremos três hipóteses possíveis:
DECLARAÇÕES
1ª. Nestor: "Marcos é casado com Tereza"
2ª. Luís: "Marcos e casado com Regina"
3ª. Marcos: "Marcos é casado com Sandra"
1ª Hipótese
V
M
M
2ª Hipótese
M
V
M
3ª Hipótese
M
M
V
Vamos testar as hipóteses, iniciando pela primeira hipótese.
1) Teste da 1ª hipótese (somente Nestor está dizendo a verdade)
Ora, segundo uma das INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado, sabemos que aquele
quem diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, decorre que se estamos supondo (nesta
primeira HIPÓTESE) que o Nestor disse a VERDADE, então teremos que Nestor é o marido
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de Tereza. Mas, se assim é, vejamos o que foi que o Nestor, falando a VERDADE, declarou:
“Marcos é casado com Tereza”.
Percebemos aí um choque de informações! A Tereza estaria sendo casada com o Nestor
e com o Marcos. E não pode!
Daí, resta-nos concluir que essa primeira HIPÓTESE falhou! Ou seja, constatamos que
Nestor não pode estar dizendo a VERDADE. Partiremos para uma nova HIPÓTESE!
2) Teste da 2ª hipótese (somente Luís está dizendo a verdade)
Já sabemos que aquele quem diz a VERDADE é o marido de Tereza. Daí, decorre que se
estamos supondo (nesta segunda HIPÓTESE) que Luís disse a VERDADE, então teremos que
Luís é o marido de Tereza. Vejamos o que foi que o Luís, falando a VERDADE, declarou:
“Marcos é casado com Regina”. Encontramos mais um casal! Só sobraram a Sandra e o
Nestor, logo estes dois formam um casal!
Pela segunda hipótese, temos que Nestor mente, daí a declaração que ele fez:
"Marcos é casado com Tereza", é uma mentira! Isto se confirma, pois já havíamos achado que
Marcos é casado com Regina! Não houve contradições!
Pela segunda hipótese, temos que Marcos mente, daí a declaração que ele fez:
"Marcos é casado com Sandra", é uma mentira! Isto também se confirma, pois já havíamos
achado que Marcos é casado com Regina! Também não houve contradições!
A segunda hipótese é correta!
Pronto! Chegamos à definição dos três casais:
Æ Luís é casado com Tereza;
Æ Marcos é casado com Regina; e
Æ Nestor é casado com Sandra.
Resposta: alternativa D.
04) (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V,
que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um
especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides
– rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para
determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo
M?” Alfa responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides
restantes fazem, então, as seguintes declarações:
Beta: “Alfa respondeu que sim”.
Gama: “Beta está mentindo”.
Delta: “Gama está mentindo”.
Épsilon: “Alfa é do tipo M”.
Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir
corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a
a) 1.
d) 4.
b) 2.
e) 5.
c) 3.
Sol.: Transcrevamos as INFORMAÇÕES ADICIONAIS do enunciado e as DECLARAÇÕES.
Teremos:
Æ INFORMAÇÕES ADICIONAIS:
1º) Os andróides do tipo V sempre dizem a verdade.
2º) Os andróides do tipo M sempre mentem.
Æ DECLARAÇÕES:
1º) Alfa: (resposta não ouvida!)
2º) Beta: Alfa respondeu que sim.
3º) Gama: Beta está mentindo.
4º) Delta: Gama está mentindo.
5º) Épsilon: Alfa é do tipo M.
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Não é difícil matar a charada neste enunciado. Bastava prestar atenção à pergunta que
foi feita ao Alfa. Foi a seguinte: “Alfa, você é do tipo M?” Ora, o tipo M é o tipo dos mentirosos.
Daí, em outras palavras, a pergunta dirigida ao Alfa foi essa: “Alfa, você mente?”
Essa é uma pergunta que, em qualquer caso, só admite uma única resposta: a
negação. Pois, se perguntarmos a alguém veraz se ele mente, ele, dizendo a verdade,
responderá que não. Por outro lado, se perguntarmos a alguém mentiroso se ele mente, ele,
mentindo, dirá que não! Ou seja, a resposta a essa pergunta será sempre não!
Foi isso, portanto, que o Alfa respondeu. Teremos:
1º)
2º)
3º)
4º)
5º)
Alfa: Não sou do tipo M.
Beta: Alfa respondeu que sim.
Gama: Beta está mentindo.
Delta: Gama está mentindo.
Épsilon: Alfa é do tipo M.
Agora, vamos analisar a declaração de Beta. O que ele disse? Disse que “Alfa respondeu
que sim”. Beta está dizendo a verdade ou está mentindo? Mentindo! Pois Alfa, conforme já
havíamos concluído, respondeu que não! Logo, Beta é mentiroso!
Passemos à declaração do Gama. Ele disse que “Beta está mentindo”. O Gama está
correto? Sim! Está dizendo a verdade, uma vez que havíamos concluído que Beta mente. Logo,
Gama está dizendo a verdade!
Vamos ao Delta: ele diz que “Gama está mentindo”. Está certo isso? Não! Está errado.
Vimos que o Gama é veraz. Logo, Delta é mentiroso!
Restaram duas declarações: a do Épsilon e a do Alfa. Épsilon diz que Alfa é mentiroso.
Ora, se for verdadeira a declaração do Épsilon, então Épsilon será veraz, e Alfa será mentiroso.
Contrariamente, se Épsilon estiver mentindo, então Alfa estará dizendo a verdade.
Desse modo, concluímos que, entre Épsilon e Alfa, haverá somente um que mente e
somente um que diz a verdade, embora não sabemos quem seja o veraz e o mentiroso. Ora,
só queremos saber o número daqueles que dizem a verdade. Logo, concluímos que os verazes
são Gama e um segundo andróide, que poderá ser Alfa ou Épsilon, um ou outro.
Ou seja, o número de andróides verazes é igual a dois Æ Resposta: alternativa B.
05) (AFTN 96 ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a
lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade;
Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem
está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente,
a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está
sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são,
respectivamente:
a) Janete, Tânia e Angélica
d) Angélica, Tânia e Janete
b) Janete, Angélica e Tânia
e) Tânia, Angélica e Janete
c) Angélica, Janete e Tânia
Sol.:
Temos três amigas: Tânia, Janete e Angélica, que estão sentadas lado a lado em um teatro.
Sabemos sobre as três amigas que:
1) Tânia sempre fala a verdade.
2) Janete às vezes fala a verdade.
3) Angélica nunca fala a verdade.
Temos as seguintes declarações:
1) A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio".
2) A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete".
3) A que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio".
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Considere as seguintes posições no teatro, com as respectivas declarações:
ESQUERDA
Tânia está no meio!
MEIO
Eu sou Janete!
DIREITA
Angélica está no meio!
Temos que Tânia sempre fala a verdade. Logo, não pode ser a da esquerda nem
pode ser a do meio, restando, assim, a posição direita para Tânia.
ESQUERDA
Tânia está no meio!
MEIO
Eu sou Janete!
Tânia
Angélica está no meio!
Como Tânia está à direita e sempre fala a verdade, a sua declaração: “Angélica está
no meio!” é verdade! E esta, que está na posição do meio, declara que ela é Janete. Isto está
de acordo com o que é dito no enunciado: Angélica sempre mente!
ESQUERDA
Tânia está no meio!
Angélica
Eu sou Janete!
Tânia
Angélica está no meio!
Só resta a posição esquerda, que claramente será ocupada pela única que ainda não
tem posição, a Janete. Esta faz a seguinte declaração: “Tânia está no meio”, e aí descobrimos
que também ela mente! Isso não contraria as informações dadas no enunciado: Janete às
vezes fala a verdade.
Janete
Tânia está no meio!
Angélica
Eu sou Janete!
Tânia
Angélica está no meio!
Portanto, obtemos as seguintes posições para as três amigas:
Na esquerda: Janete.
No meio: Angélica.
Na direita: Tânia.
Resposta: alternativa B.
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É isso!
Esperamos que estas resoluções sejam analisadas com calma por vocês, pois nelas há
elementos suficientes a capacitá-los a resolver outras questões de “verdades e mentiras”,
como as do dever de casa que se segue.
Um abraço a todos e até a semana que vem!
DEVER DE CASA
01. (AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de
haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei
que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:
Bebelim: Cebelim é inocente .
Cebelim: Dedelim é inocente .
Dedelim: Ebelim é culpado .
Ebelim: Abelim é culpado .
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados,
disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a
verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que
embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:
a) Abelim
d) Dedelim
b) Bebelim
e) Ebelim
c) Cebelim
02. (ACExt TCU 2002 ESAF) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados
à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa
azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos
suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se,
também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a
verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos
suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse
o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por
fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio
professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:
a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.
b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.
c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.
d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.
e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.
03. (TTN 1997 ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro
primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao
comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas
verdadeira e a outra falsa:
Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”
Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram,
respectivamente,
a) André, Caio, Beto, Denis
b) André, Caio, Dênis, Beto
c) Beto, André, Dênis, Caio
d) Beto, André, Caio, Dênis
e) Caio, Beto, Dênis, André
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04. (CVM 2000 ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada
uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontrase uma linda
princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada
uma das portas encontra-se uma inscrição:
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”
Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres
na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”
Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas
outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3
encontram-se, respectivamente:
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão
d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro
e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro
05. (Técnico - SERPRO 2001 ESAF) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas
deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber:
estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1:
2:
3:
4:
“Ele
“Ele
“Ele
“Ele
é
é
é
é
alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.”
baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.”
de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.”
alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.”
Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do
assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas.
Assim, o assaltante é:
a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode.
d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode.
e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.
Gabarito: 01. C
02. A
03. B
04. E
05. C
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1
AULA NOVE: Verdades e Mentiras (Continuação)
Olá, amigos! Como se saíram no dever de casa?
Começaremos hoje resolvendo aquelas questões que ficaram pendentes! E, na
seqüência, apresentaremos a resolução de mais alguns problemas de verdades e mentiras.
Adiante!
DEVER DE CASA
01. (AFC 2002 ESAF) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de
haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei
que era um pouco surdo não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram:
Bebelim: Cebelim é inocente .
Cebelim: Dedelim é inocente .
Dedelim: Ebelim é culpado .
Ebelim: Abelim é culpado .
O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados,
disse então ao rei: Majestade, apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a
verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram. O velho rei, que
embora um pouco surdo era muito sábio, logo concluiu corretamente que o culpado era:
a) Abelim
d) Dedelim
b) Bebelim
e) Ebelim
c) Cebelim
Sol.:
Comecemos elencando as informações adicionais que o enunciado nos forneceu. São as
seguintes:
Æ Abelim não foi ouvido;
Æ Só há um culpado;
Æ O culpado é veraz (diz a verdade!);
Æ Os inocentes estão todos mentindo.
Passemos agora a relacionar as declarações dos envolvidos na situação em tela.
Observemos que os nomes dessas pessoas começam com A, B, C, D e E. Usaremos, portanto,
apenas suas iniciais. Teremos:
B
C
D
E
C é inocente
D é inocente
E é culpado
A é culpado
Ora, sabemos que só há um culpado, conforme a informação adicional do enunciado!
Daí, de imediato, já podemos perceber que há duas informações acima que colidem entre si!
Quais? As duas primeiras! Se ambas forem mentiras, haveria dois culpados! E só pode haver
um! Daí, criamos as duas hipóteses possíveis de serem trabalhadas. Teremos:
B
C
D
E
C é inocente
D é inocente
E é culpado
A é culpado
Hipótese I
Verdade
Mentira
Mentira
Mentira
Hipótese II
Mentira
Verdade
Mentira
Mentira
O que nos resta fazer agora é testar as hipóteses, a fim de verificar qual delas é a boa!
Comecemos pelo teste da primeira hipótese. Teremos:
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2
Æ B diz a verdade, logo: C é inocente;
Æ C mente, logo: D é culpado;
Ora, paremos por aí. Se foi concluído acima que D é culpado, resta que ele teria que
dizer a verdade, pois isso foi previsto pelo enunciado (o culpado é veraz!).
Porém, de acordo com essa primeira hipótese, temos que D mente.
Ou seja, houve um conflito entre as conclusões desta hipótese e as informações do
enunciado. Conclusão: a primeira hipótese não é a boa!
Passemos ao teste da segunda hipótese. Teremos:
Æ B mente, logo: C é culpado;
Æ C diz a verdade, logo: D é inocente;
Podemos dar continuidade à esta análise? Sim, pois até agora, o culpado C é aquele
que diz a verdade! Em frente!
Æ D mente, logo: E é inocente;
Æ E mente, logo: A é inocente.
De acordo, pois, com as conclusões emanadas da segunda hipótese, encontramos os
seguinte resultado: só há um culpado, que o Cebelim, e ele é o único que diz a verdade!
Resultado este totalmente compatível com as informações da questão!
Logo: Letra C Æ Resposta da Questão!
02. (ACExt TCU 2002 ESAF) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados
à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa
azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos
suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se,
também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a
verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos
suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse
o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por
fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio
professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:
a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.
b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente.
c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.
d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade.
e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.
Sol.:
As informações adicionais do enunciado são as seguintes:
Æ Os envolvidos vestem camisa branca, ou azul ou preta;
Æ Só há um culpado;
Æ O culpado às vezes mente e às vezes fala a verdade;
Æ Entre os inocentes, um sempre mente e o outro sempre fala a verdade.
As declarações dos envolvidos foram, conforme o enunciado, as seguintes:
Camisa Azul:
Camisa Branca:
Camisa Preta:
Eu sou o culpado
O de camisa azul é o culpado
Eu sou o culpado
Ora, se o enunciado amarrou que só há um culpado, fica evidenciado que entre a
primeira declaração e a última há uma delas que será necessariamente mentirosa.
Concordam? Caso contrário, haveria dois culpados (e só pode haver um!).
Com isso, criaremos as seguintes hipóteses:
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Camisa Azul:
Camisa Branca:
Camisa Preta:
Eu sou o culpado
O de camisa azul é o culpado
Eu sou o culpado
Hipótese I
Verdade
...
Mentira
3
Hipótese II
Mentira
...
Verdade
Vamos aos testes das hipóteses acima. Começando pela primeira:
Æ Camisa Azul diz a verdade, logo: Camisa azul é o culpado;
Æ Camisa Preta mente, logo: Camisa Preta é inocente;
Neste caso, restará que a declaração do de Camisa Branca será verdadeira, uma vez
que o culpado, conforme esta hipótese, é mesmo o de Camisa Azul.
Daí, teremos que:
Camisa Azul:
Camisa Branca:
Camisa Preta:
Eu sou o culpado
Às vezes diz a verdade, às vezes
mente
(neste caso, disse a verdade!)
Sempre diz a verdade
Sempre mente
O de camisa azul é o culpado
Eu sou o culpado
Importante perceber aqui que, entre os dois inocentes, há um que mente e um que diz
a verdade! Este é o resultado que não conflita, em nada, com as informações adicionais do
enunciado! Está tudo compatível, de modo que concluímos que a Hipótese I é a boa!
Caso fôssemos testar a segunda hipótese (faça isso!), veríamos que entre os inocentes
haveria dois mentirosos! E isso não seria possível, conforme o enunciado.
Conclusão: Letra A Æ Resposta da Questão!
03. (TTN 1997 ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro
primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao
comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas
verdadeira e a outra falsa:
Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”
Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”
Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”
Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram,
respectivamente,
a) André, Caio, Beto, Denis
b) André, Caio, Dênis, Beto
c) Beto, André, Dênis, Caio
d) Beto, André, Caio, Dênis
e) Caio, Beto, Dênis, André
Sol.:
A única informação adicional que temos é que, entre as declarações dos juízes, uma
será verdadeira e a outra, falsa.
Faremos aqui uma tabela para facilitar nosso raciocínio. Teremos:
Juiz 1
Juiz 2
Juiz 3
André foi o 1º
André foi o 2º
Caio foi o 2º
Beto foi o 2º
Dênis foi o 3º
Dênis foi o 4º
Para criarmos a primeira hipótese, podemos supor que as declarações do Juiz 1 são,
respectivamente, verdadeira e falsa. Teremos:
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Juiz 1
Juiz 2
Juiz 3
André foi o 1º
verdade
André foi o 2º
Caio foi o 2º
4
Beto foi o 2º
mentira
Dênis foi o 3º
Dênis foi o 4º
Feito isso, daremos continuidade à análise das declarações dos demais juízes, de acordo
com o que foi previsto na hipótese acima. Teremos:
Juiz 2:
Æ André foi o 2º: Terá que ser mentira (uma vez que já era sabido que André foi o 1º);
Æ Dênis foi o 3º: Terá que ser verdade (uma vez que a declaração acima foi mentira)
Juiz 3:
Æ Dênis foi o 4º: Terá que ser mentira (uma vez que já era sabido que Dênis foi o 3º);
Æ Caio foi o 2º: Terá que ser verdade (uma vez que a declaração acima foi mentira).
De acordo com a análise supra, teríamos, finalmente, os seguintes resultados:
1º colocado) André
2º colocado) Caio
3º colocado) Dênis
4º colocado) Beto
Resultado este inteiramente compatível com o enunciado, ou seja, não houve empates
e as declarações dos juízes têm, todas elas, uma verdade e uma mentira!
Conclusão: Letra B Æ Resposta da Questão!
04. (CVM 2000 ESAF) Percival encontra-se à frente de três portas, numeradas de 1 a 3, cada
uma das quais conduz a uma sala diferente. Em uma das salas encontra-se uma linda
princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada
uma das portas encontra-se uma inscrição:
Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.”
Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres
na porta 3 pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.”
Porta 3: “Podes entrar sem medo pois atrás desta porta não há dragão algum.”
Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas
outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que atrás das portas 1, 2 e 3
encontram-se, respectivamente:
a) o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa
b) a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão
c) o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão
d) a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro
e) o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro
Sol.:
As informações adicionais são as seguintes:
Æ Há, atrás das três portas, uma princesa, um dragão e um tesouro;
Æ Somente uma porta é mentirosa; as outras duas, verdadeiras.
As inscrições das portas são as seguintes:
Porta 1:
Porta 2:
Porta 3:
Princesa na porta 2
Tesouro na porta 2 e dragão na porta 3
Dragão não está aqui
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Ora, sabendo que só há uma porta mentirosa, concluímos de pronto que as inscrições
das portas 2 e 3 são incompatíveis. Ou seja, não podem ambas ser, ao mesmo tempo,
verdadeiras. Uma delas será falsa! Concordam?
Com isso, podemos criar as seguintes hipóteses:
Porta 1:
Porta 2:
Porta 3:
Princesa na porta 2
Tesouro na porta 2 e
dragão na porta 3
Dragão não está aqui
Hipótese I
Verdade
Mentira
Hipótese II
Verdade
Verdade
Verdade
Mentira
O teste da segunda hipótese não sobrevive, sequer, a um olhar mais apurado. Senão,
vejamos: nela é dito, pela porta 1, que a princesa está na porta 2. E a porta 2, por sua vez,
diz que quem está na porta 2 é o tesouro. Ou seja, conclusões incompatíveis que nos fazem
concluir que a hipótese 2 não é a boa!
Testando a primeira hipótese, e já sabendo que é a hipótese boa, teremos:
Æ Porta 1 é veraz, logo: Princesa na porta 2;
Æ Porta 3 é veraz, logo: Dragão não está na porta 3.
Ora, se é verdade que o dragão não está na porta 3, e que quem está na porta 2 é a
princesa, resta que o dragão só poderia estar, finalmente, na porta 1.
Æ Porta 2 mente, logo: Tesouro não está na porta 2 e dragão não está na porta 3.
Percebamos que estas últimas conclusões são compatíveis com as primeiras. Ou seja, o
tesouro não está, de fato, na porta 2. (Quem está na porta 2 é a princesa!). E o dragão não
está realmente na porta 3.
Daí, as conclusões emanadas desta primeira hipótese são as seguintes:
Porta 1:
Porta 2:
Porta 3:
Dragão
Princesa
Tesouro
Conclusão final: Letra E Æ Resposta da Questão!
05. (Técnico - SERPRO 2001 ESAF) Depois de um assalto a um banco, quatro testemunhas
deram quatro diferentes descrições do assaltante segundo quatro características, a saber:
estatura, cor de olhos, tipo de cabelos e usar ou não bigode.
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1:
2:
3:
4:
“Ele
“Ele
“Ele
“Ele
é
é
é
é
alto, olhos verdes, cabelos crespos e usa bigode.”
baixo, olhos azuis, cabelos crespos e usa bigode.”
de estatura mediana, olhos castanhos, cabelos lisos e usa bigode.”
alto, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.”
Cada testemunha descreveu corretamente uma e apenas uma das características do
assaltante, e cada característica foi corretamente descrita por uma das testemunhas.
Assim, o assaltante é:
a) baixo, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
b) alto, olhos azuis, cabelos lisos e usa bigode.
c) baixo, olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode.
d) estatura mediana, olhos verdes, cabelos crespos e não usa bigode.
e) estatura mediana, olhos negros, cabelos crespos e não usa bigode.
Sol.:
Comecemos com as informações adicionais do enunciado. Teremos:
Æ Cada testemunha descreveu corretamente apenas uma das características;
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6
Æ Cada característica foi descrita corretamente por apenas uma das testemunhas.
Daí, deduzimos que se houver duas respostas iguais acerca de uma característica
qualquer, essa resposta não poderá ser verdadeira!
Façamos a seguinte tabela:
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1
2
3
4
Estatura?
Alta
Baixa
Mediana
Alta
Cor dos olhos?
Verdes
Azuis
Castanhos
negros
Cabelos?
Crespos
Crespos
Lisos
crespos
Usa bigode?
Usa
Usa
Usa
Não usa
Nosso teste consistirá, a princípio em identificar respostas iguais, referentes a cada
característica descrita. Estas respostas, já sabemos, serão todas falsas! Teremos:
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1
2
3
4
Estatura?
Alta
Baixa
Mediana
Alta
Cor dos olhos?
Verdes
Azuis
Castanhos
negros
Cabelos?
Crespos
Crespos
Lisos
Crespos
Usa bigode?
Usa
Usa
Usa
Não usa
Somente por essa análise inicial, já podemos chegar a duas conclusões:
Æ a testemunha 3 disse a verdade sobre os cabelos: são lisos;
Æ a testemunha 4 disse a verdade sobre o bigode: não é usado.
Como o enunciado disse que cada testemunha acertou apenas uma característica, resta
que as demais respostas dessas duas que acabamos de tratar (terceira e quarta) serão
necessariamente falsas. Vejamos como fica:
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1
2
3
4
Estatura?
Alta
Baixa
Mediana
Alta
Cor dos olhos?
Verdes
Azuis
Castanhos
negros
Cabelos?
Crespos
Crespos
Lisos
Crespos
Usa bigode?
Usa
Usa
Usa
Não usa
Daí, só restou uma resposta possível para a estatura. Qual? Baixa! E essa é a resposta
da Testemunha 2. Daí, as demais respostas da Testemunha 2 são necessariamente falsas.
Teremos:
Estatura? Cor dos olhos?
Cabelos?
Usa bigode?
Testemunha 1
Alta
Verdes
Crespos
Usa
Testemunha 2
Baixa
Azuis
Crespos
Usa
Testemunha 3
Mediana
Castanhos
Lisos
Usa
Testemunha 4
Alta
negros
Crespos
Não usa
Finalmente, restou apenas uma possibilidade para a cor dos olhos! As características
reais desse ladrão são as seguintes em destaque:
Testemunha
Testemunha
Testemunha
Testemunha
1
2
3
4
Estatura?
Alta
Baixa
Mediana
Alta
Cor dos olhos?
Verdes
Azuis
Castanhos
negros
Cabelos?
Crespos
Crespos
Lisos
Crespos
Usa bigode?
Usa
Usa
Usa
Não usa
Ou seja, o ladrão é baixo, tem olhos verdes, cabelos lisos e não usa bigode.
Conclusão: Letra C Æ Resposta da Questão!
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É isso! Esperamos que vocês tenham se saído bem nestas resoluções!
Na seqüência, apresentamos a solução de outras quatro questões, todas de Verdades e
Mentiras, antes de propormos o nosso Dever de Casa de hoje!
Vamos a elas!
01.(MPU Administrativa 2004) Você está à frente de duas portas. Uma delas
conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das
portas, enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a
verdade ou sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir,
ambos podem sempre dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro
sempre mentir. Você não sabe se ambos são mentirosos, se ambos são
verazes, ou se um é veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das
portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos
guardas, escolhendo-as da seguinte relação:
P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele
também o é, e se você é veraz ele também o é)?
P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?
P3: O outro guarda é mentiroso?
P4: Você é veraz?
Então, uma possível seqüência de três perguntas que é logicamente suficiente para
assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a
porta que leva ao tesouro, é
a) P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião.
b) P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme.
c) P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme.
d) P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme.
e) P4 a Cosme, P1 a Cosme, P2 a Damião.
Sol.:
Esta é mais uma questão que envolve “verdades e mentiras”, mas não é fornecido
qualquer indício de quem fala a verdade e de quem mente. Também diferentemente das
outras questões que já resolvemos, aqui não são feitas declarações, mas sim perguntas aos
guardas.
Vamos aos dados trazidos na questão:
Æ Dados da questão:
- Há duas portas. Uma delas conduz a um tesouro e a outra, a uma sala vazia.
- Cosme guarda uma das portas, enquanto Damião guarda a outra.
- Cada um dos guardas sempre diz a verdade ou sempre mente.
Æ Perguntas para descobrir a porta do tesouro:
P1: O outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o
é, e se você é veraz ele também o é)?
P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro?
P3: O outro guarda é mentiroso?
P4: Você é veraz?
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ÆPede-se a seqüência de 3 perguntas necessárias para identificar a porta que leva ao tesouro!
Da mesma forma que procedemos nas soluções das questões de “verdades e mentiras”
feitas na aula passada, também vamos definir hipóteses.
Como temos dois guardas (Cosme e Damião), e não sabemos se mentem ou se dizem a
verdade, então devemos estabelecer quatro hipóteses possíveis mostradas a seguir:
1ª) Cosme veraz e Damião veraz.
2ª) Cosme veraz e Damião mente.
3ª) Cosme mente e Damião veraz.
4ª) Cosme mente e Damião mente.
Estabelecidas as hipóteses, temos que testar as alternativas, as quais são compostas por
três perguntas. Para ganharmos tempo na solução da questão, podemos tentar descartar
algumas alternativas com base nas perguntas que cada uma contém. Nesta questão não tem
como descartar as hipóteses!
A pergunta P4 – Você é veraz? – não tem valor para a solução da questão, porque se
fizermos essa pergunta a uma pessoa que diz a verdade e a uma pessoa que mente, a
resposta será a mesma: SIM. Então, podemos eliminar as alternativas que contém essa
pergunta P4, que neste caso são as alternativas C e E. Restando-nos as alternativas A, B e D.
A pergunta P2 só tem sentido de ser feita depois que descobrirmos quem mente e quem
diz a verdade, porque senão a resposta a essa pergunta não fornece nenhum subsídio para
descobrirmos a porta do tesouro. Portanto, esta pergunta deve ser deixada por último! As
únicas alternativas que tem P2 como última pergunta são a D e a E. Mas, a E já foi descartada
anteriormente, então resta-nos somente a D. Vamos testar esta alternativa para termos
certeza!
Æ Testar cada pergunta da alternativa D: “P1 a Cosme, P1 a Damião, P2 a Cosme”.
Teste das duas primeiras perguntas: P1 a Cosme e P1 a Damião.
HIPÓTESES
P1 a Cosme
P1 a Damião
Cosme veraz e Damião veraz
Cosme responde SIM
Damião responde SIM
Cosme veraz e Damião mente
Cosme responde NÃO
Damião responde SIM
Cosme mente e Damião veraz
Cosme responde SIM
Damião responde NÃO
Cosme mente e Damião mente
Cosme responde NÃO
Damião responde NÃO
Observemos que o par de respostas, na tabela acima, são diferentes para cada
hipótese. Desta maneira, saberemos se os guardas mentem ou dizem a verdade de acordo
com o par de respostas. Exemplificando: se Cosme responde SIM e Damião responde SIM,
logo Cosme e Damião falam sempre a verdade; se Cosme responde NÃO e Damião responde
SIM, logo Cosme fala sempre a verdade e Damião sempre mente. E assim por diante!
Agora só falta analisar a terceira pergunta da alternativa D : “P2 a Cosme”.
Pelas respostas às duas primeiras perguntas da alternativa “d”, já sabemos se Cosme é
mentiroso ou veraz, portanto saberemos onde está o tesouro após ser feita a última
pergunta (P2 a Cosme).
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Exemplificando: considerando que obtemos que Cosme é mentiroso, e ele
respondendo NÃO à pergunta P2, então saberemos que o tesouro estará sim sob a sua
guarda; mas se ele responde SIM, então o tesouro não está sob a sua guarda, logo está sob
a guarda de Damião.
Concluímos que a alternativa D traz as perguntas necessárias para identificarmos a
porta que leva ao tesouro!
Resposta: Alternativa D.
02. (Fiscal do Trabalho 2003) Um professor de Lógica percorre uma estrada que liga,
em linha reta, as vilas Alfa, Beta e Gama. Em Alfa, ele avista dois sinais com as
seguintes indicações: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Depois, já em Beta, encontra
dois sinais com as indicações: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. Ao chegar a Gama,
encontra mais dois sinais: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. Soube, então, que, em uma
das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas; em outra, todos os sinais têm
indicações corretas; e na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem
indicação errada (não necessariamente nesta ordem). O professor de Lógica pode
concluir, portanto, que as verdadeiras distâncias, em quilômetros, entre Alfa e Beta,
e entre Beta e Gama, são, respectivamente:
a) 5 e 3
d) 4 e 3
b) 5 e 6
e) 5 e 2
c) 4 e 6
Sol.:
Temos os seguintes dados:
- As vilas são Alfa, Beta e Gama.
Alfa
Beta
Gama
- Em Alfa, ele avista: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”.
- Em Beta, ele avista: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”.
- Em Gama, ele avista: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”.
- Uma das três vilas, todos os sinais têm indicações erradas;
- Em outra, todos os sinais têm indicações corretas;
- E na outra um sinal tem indicação correta e outro sinal tem indicação errada.
Como temos 3 tipos de placas, então teremos SEIS (permutação de três) possíveis hipóteses:
VILAS
1ª Hipótese
2ª Hipótese
3ª Hipótese
4ª Hipótese
5ª Hipótese
6ª Hipótese
Alfa
corretas
corretas
erradas
corretas e
erradas
erradas
corretas e
erradas
Beta
erradas
corretas e
erradas
corretas
corretas
corretas e
erradas
erradas
Gama
corretas e
erradas
erradas
corretas e
erradas
erradas
corretas
corretas
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Fazendo uma análise superficial das indicações das placas em cada vila, já poderíamos
descartar algumas dessas hipóteses. Porém, testaremos uma a uma até acharmos a hipótese
correta, pois os testes são fáceis e rápidos.
- Teste da 1ª hipótese: Alfa - corretas, Beta - erradas, Gama - corretas e erradas.
1) Em Alfa, ele avista: “Beta a 5 km” e “Gama a 7 km”. Daí, teremos o seguinte desenho:
5 km
Alfa
2 km
Beta
Gama
2) Por esta hipótese: placas erradas em Beta. Vamos verificar se ocorre contradições!
Em Beta, ele avista: “Alfa a 4 km” e “Gama a 6 km”. E pelo desenho acima,
realmente estas duas indicações estão erradas!
3) Por esta hipótese: placa correta e placa errada em Gama! Vamos verificar se ocorre
contradições!
Em Gama, ele avista: “Alfa a 7 km” e “Beta a 3 km”. E pelo desenho acima, a
indicação Alfa a 7 km está correta e a indicação Beta a 3 km está errada!
Concluímos que esta hipótese está certa, daí a distância entre Alfa e Beta é de 5 km e
a distância entre Beta a Gama é de 2 km.
Resposta: Alternativa E.
03. (Técnico SERPRO 2001 ESAF) Daniel encontra-se em visita ao país X. Este país é
formado por apenas duas tribos, a saber, a tribo dos Nuncamentem e a dos
Semprementem. Embora utilizem exatamente a mesma língua, os Nuncamentem
sempre dizem a verdade, e os Semprementem jamais dizem a verdade. Daniel ainda
não domina o idioma local. Sabe que “balá” e “melé” são as palavras utilizadas para
significar “sim” e “não”. O que Daniel não sabe é qual delas significa “sim” e qual
delas significa “não”. Daniel encontra três amigos, habitantes de X, sem saber
quantos deles são Nuncamentem e quantos são Semprementem. Daniel pergunta a
cada um dos três separadamente: “Os teus dois amigos são Nuncamentem?”. A esta
pergunta, todos os três respondem “balá”. A seguir, Daniel pergunta a cada um dos
três separadamente: “Os teus dois amigos são Semprementem?”. A esta pergunta,
os dois primeiros respondem “balá”, enquanto o terceiro responde “melé”. Daniel
pode, então, concluir corretamente que:
a) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “sim”.
b) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “sim”.
c) exatamente dois amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.
d) os três amigos são Semprementem e “balá” significa “não”.
e) exatamente dois amigos são Nuncamentem e “balá” significa “não”.
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Sol.:
Dados fornecidos na questão:
- Daniel encontra-se em visita ao país X.
- O país é formado por apenas duas tribos: a dos Nuncamentem (sempre dizem a verdade) e
a dos Semprementem (jamais dizem a verdade).
- “balá” e “melé” são as palavras utilizadas para significar “sim” e “não”.
E também temos as seguintes perguntas e respostas:
1ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre dizem a verdade?”
1º habitante responde: balá
2º habitante responde: balá
3º habitante responde: balá
2ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre mentem?”.
1º habitante responde: balá
2º habitante responde: balá
3º habitante responde: melé
Como de praxe, vamos estabelecer hipóteses! Temos três habitantes e não sabemos se
mentem ou dizem a verdade, daí devemos estabelecer oito hipóteses mostradas a seguir (V
simboliza que o habitante diz a verdade e m que diz mentiras):
1ª Hip.
2ª Hip.
3ª Hip.
4ª Hip.
5ª Hip.
6ª Hip.
7ª Hip.
8ª Hip.
1º habitante
V
V
V
V
m
m
m
m
2º habitante
V
V
m
m
V
V
m
m
3º habitante
V
m
V
m
V
m
V
m
Não devemos testar todas as hipóteses, pois assim perderemos muito tempo na solução!
O que devemos fazer? Observem que nas respostas às duas perguntas que Daniel fez aos
três habitantes, tanto o 1º habitante como o 2º habitante respondem a mesma coisa, já o
3º habitante responde diferente na segunda pergunta. Isso nos leva a deduzir que os dois
primeiros habitantes são de uma mesma tribo, enquanto o terceiro é de outra tribo.
Seguindo essa linha de raciocínio, só temos duas hipóteses que podem ser verídicas: a 2ª
hipótese e a 7ª hipótese. Vamos testar essas duas hipóteses!
- Teste da 2ª hipótese: V, V, m
Para testarmos esta hipótese, escreveremos junto a cada habitante se ele diz a verdade
ou se ele mente! E procederemos a análise de cada resposta!
1ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes:“Os teus dois amigos sempre dizem a verdade?”.
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1º habitante (diz a verdade) responde: balá
O 1º habitante deve responder NÃO, porque
um dos outros dois amigos mentem.
2º habitante (diz a verdade) responde: balá
O 2º habitante também deve responder
NÃO, porque um dos outros dois amigos
mentem.
3º habitante (mente) responde: balá
O 3º habitante deveria responder SIM,
porque os outros dois amigos dizem a
verdade, mas como ele é mentiroso, então
ele responde NÃO.
Concluímos da análise acima, que balá significa NÃO, daí melé só resta significar SIM!
E até este momento não houve contradições para descartarmos esta hipótese! Passemos a
análise das respostas da outra pergunta.
2ª pergunta)Daniel pergunta a 3 habitantes: “Os teus dois amigos sempre mentem?”.
1º habitante (diz a verdade) responde: balá
O 1º habitante deve responder NÃO,
porque um dos outros dois amigos diz a
verdade.
2º habitante (diz a verdade) responde: balá
O 2º habitante também deve responder
NÃO, porque um dos outros dois amigos
diz a verdade.
3º habitante (mente) responde: melé
O 3º habitante deveria responder NÃO,
porque os outros dois amigos dizem a
verdade, mas como ele é mentiroso, então
ele responde SIM.
Os resultados desta análise concordam com os obtidos na análise anterior, de que balá
significa NÃO e de que melé significa SIM! Não houve contradições nesta hipótese! Portanto,
obtemos que dois amigos sempre dizem a verdade (tribo dos Nuncamentem) e um amigo
sempre mente (tribo dos Semprementem).
Resposta: Alternativa E.
04. (Analista MPU/ESAF) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e
estranho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os
habitantes entendem perfeitamente o português, mas falam apenas no idioma local,
desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor
sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que
“Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”,
mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, conseqüentemente, qual significa
“não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se
a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta:
– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?
– Milango –, responde o jovem.
– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.
– Milango –, tornou o jovem a responder.
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– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.
– Nabungo –, disse o jovem.
Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que
a) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.
b) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da pequena.
c) o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.
d) o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher da pequena.
e) o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher da grande.
Sol.:
Temos os seguintes dados trazidos no enunciado da questão:
Æ Os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre
mentem.
Æ Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam
“sim” e “não”.
Æ Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e
apontando para o casal, Sócrates pergunta:
– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?
– Milango –, responde o jovem.
– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.
– Milango –, tornou o jovem a responder.
– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.
– Nabungo –, disse o jovem.
Vamos iniciar analisando a última pergunta, pois esta não envolve nem o homem nem a
mulher, somente o jovem.
É importante saber e lembrar, que quando se pergunta a uma pessoa se ela mente, a
resposta sempre será não, independentemente se a pessoa sempre mente ou se sempre diz a
verdade.
A última pergunta feita ao jovem é indagando se ele é da aldeia maior, isso é o mesmo
que perguntar se ele mente, pois quem é da aldeia maior mente. Já sabemos que a resposta
a este tipo de pergunta sempre é não. Logo, descobrimos que Nabungo quer dizer não.
Resta que Milango é sim.
Substituindo Nabungo por não e Milango por sim, reescreveremos as respostas do
enunciado:
– E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? – perguntou Sócrates.
– Não –, disse o jovem.
– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.
– Sim –, tornou o jovem a responder.
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14
– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?
– Sim –, responde o jovem.
Vamos supor que o Jovem diz sempre a verdade (ou seja, que é da aldeia menor) e
testaremos esta hipótese.
Agora, vamos analisar a seguinte pergunta e sua resposta:
– E a tua aldeia é maior do que a desse homem? –, voltou Sócrates a perguntar.
– Sim –, tornou o jovem a responder.
A resposta do jovem deveria ser não, independente de o homem ser da aldeia menor ou
maior, já que supomos que o jovem é da aldeia menor. Logo, chegamos a uma contradição,
portanto a suposição de que o Jovem diz sempre a verdade é falsa. Obtemos, assim, que o
jovem mente, ou seja, ele é da aldeia maior.
Vamos analisar esta pergunta novamente, mas sabendo agora que o jovem mente e que
é da aldeia maior. O jovem mentiroso respondeu sim, logo a verdade é não. Isto significa
que a aldeia do jovem não é maior do que a aldeia do homem, e, portanto, obtemos que
o homem também é da aldeia maior.
Agora, vamos analisar a seguinte pergunta e sua resposta:
– Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher?
– Sim –, responde o jovem.
Sabemos até o momento que o jovem e o homem são da aldeia maior. Como o jovem
mente, a resposta verdadeira à pergunta acima deveria ser não. Isto significa que a mulher
também é da aldeia grande, ou seja, a mulher também mente.
Concluímos que o casal (o homem e a mulher) e o jovem são da aldeia maior e que todos
mentem!
Resposta: Alternativa E.
É isso, minha gente!
Quem acompanha provas de raciocínio lógico, sobretudo elaboradas pela Esaf, sabe que
uma questãozinha de Verdades e Mentiras é quase sempre cobrada!
Convém, sem dúvida alguma, revisar com cuidado esta aula e a anterior, refazer as
questões (todas elas!), no intuito de nos familiarizarmos cada vez mais com este estilo de
raciocínio!
Na seqüência, apresentamos o Dever de Casa de hoje!
Forte abraço a todos e até semana que vem, se Deus quiser!
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DEVER DE CASA
01. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem
lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade.
Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador,
mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabese, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O
problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente do jovem lógico,
esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações:
O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”
O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”
O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”
Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente
que:
a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.
b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.
c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.
e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
02. (CGM RJ 2003 FJG) Juca, João e José fizeram as seguintes afirmações:
Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso.
João: Se José não foi aprovado no concurso, então eu fui aprovado no concurso.
José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso.
Admitindo-se que apenas uma das três afirmações acima seja verdadeira, é correto
concluir que:
A) José foi aprovado no concurso
B) Juca foi aprovado no concurso
C) Juca e João foram aprovados no concurso
D) José e João foram aprovados no concurso
03. (MPOG 2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de
Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem.
Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é
irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda,
isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número
de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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16
04. (Analista MPU/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o
jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão
assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas
dizem-lhe:
Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”.
Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.
Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.
Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar
é a equipe visitante”.
Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.
Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as
demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que
a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o
primeiro set.
e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.
05. (CVM – 2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um país distante, habitado
pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos
sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a
um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?”. O
jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não soubesse se
o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse
se és mingo, o que me responderias?”. E o jovem respondeu: “Responderia que sim”.
Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que
a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul
b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul
c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul
d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul
e) o jovem poderia ser vingo ou mingo, e a estrada levava à Aldeia Azul
Gabarito: 01. b
02. b
03. d
04. b
05. a
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1
AULA DEZ: Análise Combinatória (Parte I)
Olá, amigos!
Hoje iniciamos um assunto novo: Análise Combinatória! É este também um dos mais
freqüentes nas provas de Raciocínio Lógico, quer elaboradas pela Esaf, quer por outra qualquer
mesa elaboradora!
Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula passada.
DEVER DE CASA
01. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Três homens são levados à presença de um jovem
lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a
verdade. Sabe-se, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e
trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer
a verdade. Sabe-se, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora
diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. À frente
do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes
declarações:
O primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”
O segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”
O terceiro diz: “Eu sou o ladrão.”
Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir
corretamente que:
a) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro.
b) O ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo.
c) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
d) O pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro.
e) O marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.
Sol.:
- Temos as seguintes informações sobre os três homens:
1) O marceneiro sempre diz a verdade;
2) O pedreiro sempre mente;
3) O ladrão ora mente, ora diz a verdade.
- Os três homens fazem as seguintes declarações:
1) O primeiro homem diz: “Eu sou o ladrão.”
2) O segundo homem diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão.”
3) O terceiro homem diz: “Eu sou o ladrão.”
Pela questão, não se sabe quem, entre eles, é quem! Faremos algumas suposições para
identificar os homens que fizeram as declarações! Vamos supor a um dos declarantes que ele
diz a verdade (ou seja, é o marceneiro), e depois testaremos esta suposição! Assim, devemos
realizar três testes, conforme mostramos abaixo:
1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro;
2º teste: Supor que o segundo homem que declara é o marceneiro;
3º teste: Supor que o terceiro homem que declara é o marceneiro.
Realizando os testes:
Æ 1º teste: Supor que o primeiro homem que declara é o marceneiro:
O primeiro homem declara: “Eu sou o ladrão”! Portanto, este homem não pode ser o
marceneiro, pois o marceneiro sempre diz a verdade, e assim nunca se declararia que é
ladrão! Concluímos que o primeiro homem não é o marceneiro!
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2
Veja que tanto o primeiro homem quanto o terceiro homem declaram a mesma coisa!
Daí, o 3º teste terá um resultado similar ao obtido pelo 1º teste: o marceneiro não pode
ser o terceiro homem!
Então, com certeza, o 2º teste terá um resultado positivo, pois foi o único que restou!
Donde concluímos que o segundo homem é o marceneiro!
E como o marceneiro é o segundo homem, então é verdadeira a sua declaração! Daí,
obtemos que o primeiro homem diz a verdade!
Como o primeiro homem diz a verdade, então ele é o ladrão (não pode ser o
pedreiro, pois este sempre mente!). Resta que o terceiro homem é o pedreiro, que sempre
mente!
Resposta: alternativa B.
02.(MPOG 2002) Cinco amigas, Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda.
As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem.
Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é
irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com
Zilda, isto é: se uma é tia a outra é irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o
número de irmãs de Zilda neste conjunto de cinco amigas é dado por:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Sol.:
O enunciado traz as seguintes informações:
- Há cinco amigas: Ana, Bia, Cati, Dida e Elisa, que são tias ou irmãs de Zilda.
- As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem.
Também, temos as seguintes declarações feitas pelas cinco amigas:
1) Ana diz: Bia é tia de Zilda
2) Bia diz: Cati é irmã de Zilda
3) Cati diz: Dida é irmã de Zilda
4) Dida diz: Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda
5) Elisa diz: Ana é tia de Zilda
Vamos supor que a primeira declarante seja tia de Zilda, ou seja, estamos supondo que
Ana é tia de Zilda, e como as tias sempre dizem a verdade, então Ana sempre diz a
verdade! Agora, testaremos esta suposição:
Ana diz: Bia é tia de Zilda.
Æ Como Ana diz a verdade, então Bia é tia de Zilda!
Logo, Bia diz a verdade!
Bia diz: Cati é irmã de Zilda
Æ Também Bia diz a verdade, então Cati é irmã de Zilda!
Logo, Cati mente!
Cati diz: Dida é irmã de Zilda
Æ Temos que Cati mente, então Dida não é irmã de Zilda,
mas sim tia de Zilda! Logo, Dida diz a verdade!
Dida diz: Bia e Elisa têm
diferentes graus de parentesco
com Zilda.
Æ Como Dida diz a verdade, e como obtemos anteriormente
que Bia é tia de Zilda, então concluímos que Elisa é irmã
de Zilda! Logo, Elisa mente!
Elisa diz: Ana é tia de Zilda
Æ Elisa mente, logo Ana não é tia de Zilda! Porém, isto
contradiz a suposição inicial que fizemos: Ana é tia de
Zilda! Assim, como ocorreu uma contradição, então a
suposição inicial está errada, restando-nos considerar
que, com certeza, Ana é irmã de Zilda!
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3
Sabendo que Ana é irmã de Zilda, faremos uma nova análise nas declarações de cada
amiga, para identificarmos cada uma delas quanto ao parentesco com Zilda.
Ana diz: Bia é tia de Zilda.
Æ Como Ana é irmã de Zilda, logo Ana mente, daí Bia
não é tia de Zilda, mas sim irmã!
Logo, Bia mente!
Bia diz: Cati é irmã de Zilda
Æ Como Bia mente, então Cati não é irmã de Zilda, mas sim
tia! Logo, Cati diz a verdade!
Cati diz: Dida é irmã de Zilda
Æ Temos que Cati diz a verdade, então Dida é irmã de
Zilda! Logo, Dida mente!
Dida diz: Bia e Elisa têm
diferentes graus de parentesco
com Zilda.
Æ Como Dida mente, então Bia e Elisa têm iguais graus de
parentesco com Zilda, como obtemos anteriormente que
Bia é irmã de Zilda, então concluímos que Elisa também
é irmã de Zilda! Logo, Elisa mente!
Elisa diz: Ana é tia de Zilda
Æ Elisa mente, então Ana não é tia de Zilda! Este
resultado está de acordo com o que estabelecemos
inicialmente!
- Resultados obtidos:
Ana é irmã de Zilda!
Bia é irmã de Zilda!
Cati é tia de Zilda!
Dida é irmã de Zilda!
Elisa é irmã de Zilda!
Resposta: alternativa D.
03.(Analista MPU/ESAF) Fernanda atrasou-se e chega ao estádio da Ulbra quando o
jogo de vôlei já está em andamento. Ela pergunta às suas amigas, que estão
assistindo à partida, desde o início, qual o resultado até o momento. Suas amigas
dizem-lhe:
Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”.
Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set”.
Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.
Denise: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar
é a equipe visitante”.
Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set”.
Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as
demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que
a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe
visitante.
d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o
primeiro set.
e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set.
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4
Sol.:
Entre as cinco amigas de Fernanda: Amanda, Berenice, Camila, Denise e Eunice,
duas delas estão mentindo e as outras três dizem a verdade.
Para descobrirmos quem mente e quem diz a verdade, temos que escolher uma das
amigas de Fernanda e supor que ela está falando a verdade! Escolheremos Denise, pois a sua
declaração contém várias informações.
Æ Teste da suposição: “Denise diz a verdade”.
Considerando que Denise
- É verdade que:
- É verdade que:
- É verdade que:
diz a verdade, obtemos da sua declaração:
o escore não está 13 a 12.
a Ulbra está perdendo este set.
quem vai sacar é a equipe visitante.
A partir destes resultados, analisaremos as declarações das quatro outras amigas para
identificar quem mente e quem diz a verdade.
Amanda: “Neste set, o escore está 13 a 12”.
Æ Amanda mente!
Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já
ganhou o primeiro set”.
Æ Nada podemos afirmar sobre
Berenice!
Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra”.
Æ Camila mente!
Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra
está ganhando este set”.
Æ Eunice mente!
Da análise acima, temos que três amigas mentem! Entretanto, isso contradiz o
enunciado da questão que afirma que só há duas mentindo! Portanto, a suposição inicial que
Denise diz a verdade está errada! Logo, Denise mente!
Ainda falta identificar sobre a verdade das declarações das outras quatro amigas:
Amanda, Berenice, Camila e Eunice. Sabemos, agora, que entre estas somente uma mente! A
partir disso, adotaremos o seguinte procedimento que já adotado na aula passada:
observaremos, entre as declarações destas quatro amigas, duas que não podem ser ambas
verdadeiras!
Rapidamente, obtemos que Amanda e Berenice não podem, ambas, estarem dizendo
a verdade! Pois uma diz que o escore está 13 a 12, e a outra diz que não está 13 a 12!
Portanto, uma mente e a outra diz a verdade!
Observe que a declaração de Berenice também entra em choque com a declaração de
Camila! Portanto, uma mente e outra diz a verdade!
Com estes dois resultados, concluímos que Berenice mente!
Como duas mentem e três dizem a verdade, chegamos aos seguintes resultados finais:
Amanda diz a verdade!
Berenice mente!
Camila diz a verdade!
Denise mente!
Eunice diz a verdade!
Quais são as respostas às seguintes perguntas?
1) O escore está 13 a 12?
Æ Amanda diz que SIM!
2) A Ulbra está vencendo este set?
Æ Camila e Eunice dizem que SIM!
3) Quem vai sacar é a equipe visitante? Æ Eunice diz que SIM!
Resposta: alternativa B.
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5
04. (CVM – 2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um país distante, habitado
pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos
sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada, Beatriz dirigiu-se a
um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?”.
O jovem respondeu-lhe: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”. Como não
soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu
te perguntasse se és mingo, o que me responderias?”. E o jovem respondeu:
“Responderia que sim”. Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir
corretamente que
a) o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul
b) o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul
c) o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul
d) o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul
e) o jovem poderia ser vingo ou mingo, e a estrada levava à Aldeia Azul
Sol.:
Temos as seguintes informações trazidas no enunciado da questão:
1) Um país distante é habitado pelos vingos e pelos mingos.
2) Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem.
Beatriz faz duas perguntas a um jovem:
1ª) Esta estrada leva à Aldeia Azul?
Resposta: “Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul”.
2ª) E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?
Resposta: “Responderia que sim”.
Até o momento não sabemos se o jovem é vingo ou mingo! Vamos supor que ele seja
vingo, e analisaremos as perguntas e respostas acima para testar esta suposição!
Æ Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada
leva à Aldeia Azul”.
Como supomos que o jovem é vingo, logo a sua resposta é verdadeira, e obtemos que
é verdade que a estrada leva à Aldeia Azul!
Vamos analisar a outra pergunta!
Æ Análise da 2ª pergunta e resposta: E se eu te perguntasse se és mingo, o que me
responderias? “Responderia que sim”.
Como supomos que o jovem é vingo, a resposta a pergunta acima deve ser NÃO!
Entretanto, o jovem respondeu SIM! Ou seja, ocorreu uma contradição, daí a suposição inicial
de que o jovem é vingo não é correta! Então, o jovem é mingo!
Sabendo que o jovem é mingo (mentiroso), vamos analisar novamente as perguntas e
respostas para descobrir se a estrada leva, ou não, a aldeia azul!
Æ Análise da 1ª pergunta e resposta: Esta estrada leva à Aldeia Azul? “Sim, esta estrada
leva à Aldeia Azul”.
Já sabemos que o jovem mente, portanto quando ele diz SIM na resposta acima,
significa que a resposta verdadeira (correta) é NÃO! Assim, a estrada não leva à Aldeia
Azul!
Assim, obtemos:
O jovem é mingo!
A estrada não leva à Aldeia Azul!
Resposta: alternativa A.
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05. (CGM RJ 2003 FJG) Juca, João e José fizeram as seguintes afirmações:
Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso.
João: Se José não foi aprovado no concurso, então eu fui aprovado no concurso.
José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso.
Admitindo-se que apenas uma das três afirmações acima seja verdadeira, é correto
concluir que:
A) José foi aprovado no concurso
B) Juca foi aprovado no concurso
C) Juca e João foram aprovados no concurso
D) José e João foram aprovados no concurso
Sol.:
De acordo com os dados fornecidos na questão, temos três hipóteses possíveis:
Afirmação de Juca
Afirmação de João
Afirmação de José
1ª hipótese
verdadeira
falsa
falsa
2ª hipótese
falsa
verdadeira
falsa
3ª hipótese
falsa
falsa
verdadeira
Æ Vamos testar a 1ª hipótese:
- Segundo a 1ª hipótese, temos:
1ª) Juca: Eu fui aprovado no concurso ou José foi aprovado no concurso
⇒ verdadeira.
2ª) João: José não foi aprovado no concurso → eu fui aprovado no concurso ⇒ falsa.
3ª) José: Eu fui aprovado no concurso ou João foi aprovado no concurso
⇒ falsa.
A afirmação de João é uma condicional, e para que ela seja falsa, é necessário que a 1ª
parte da condicional seja verdadeira e a segunda seja falsa, ou seja:
“José não foi aprovado no concurso” é verdade!
“Eu (João) fui aprovado no concurso” é falso!
A afirmação de José é uma disjunção, e para que ela seja falsa, é necessário que ambas
as partes sejam falsas, ou seja:
“Eu (José) fui aprovado no concurso” é falso!
“João foi aprovado no concurso” é falso!
Até o momento não houve contradições, e já obtemos que:
“José não foi aprovado no concurso” é verdade!
“João não foi aprovado no concurso” é verdade!
Passemos a analisar a afirmação de Juca! A segunda parte da sua afirmação é falsa,
então para que a afirmação como um todo seja verdadeira é necessário que a primeira parte
seja verdadeira, ou seja: “Eu (Juca) fui aprovado no concurso” é verdade!
Finalizamos o teste da 1ª hipótese e não encontramos contradições nela, daí esta hipótese
está correta! E os resultados obtidos para esta hipótese foram:
“José não foi aprovado no concurso” é verdade!
“João não foi aprovado no concurso” é verdade!
“Juca foi aprovado no concurso” é verdade!
Resposta: alternativa B.
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7
Falaremos, agora, acerca da Análise Combinatória!
O assunto não é difícil, ao contrário. Só precisa ser bem entendido.
Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas
pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos:
1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de
uma fila de cinema?
2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos
algarismos (1, 2, 3, 4, 5)?
3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser
formados com as seguintes frutas: banana, maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão?
Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que
conheceremos a partir de agora. Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a
descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja
necessário descrever todas essas maneiras!
Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma
moeda na mão e vou lançá-la três vezes para o ar. A pergunta é: quantos são os resultados
possíveis para esses três lançamentos da moeda?
Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por
intermédio de um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma:
1º Lançamento
2º Lançamento
3º Lançamento
Resultados
Cara ------Æ C, C, C
Cara
Coroa ------Æ C, C, K
Cara
Cara ------Æ C, K, C
Coroa
Coroa ------Æ C, K, K
Cara ------Æ K, C, C
Cara
Coroa ------Æ K, C, K
Coroa
Cara -------Æ K, K, C
Coroa
Coroa ------Æ K, K, K
Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho
acima, percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma
moeda três vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o
tal do diagrama da árvore!
Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado
procurado, sem precisar desenhar as resultados possíveis!
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8
# Princípio Fundamental da Contagem:
Chamaremos essa primeira técnica apenas de Princípio Fundamental. Ok?
Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada
uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de
resultados possíveis!
Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três
vezes. Daí, fica bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. Confere?
Destarte, teremos:
1ª etapa) 1º lançamento da moeda;
2ª etapa) 2º lançamento da moeda;
3ª etapa) 3º lançamento da moeda.
Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possíveis individuais
de cada etapa.
Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis
para esse primeiro lançamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o
segundo lançamento e com o terceiro. Daí, teremos:
1ª etapa) 1º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis
2ª etapa) 2º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis
3ª etapa) 3º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis
Finalmente, o Princípio Fundamental vem nos dizer: agora, basta multiplicar os
resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)!
Teremos: 2x2x2= 8 Æ A mesma resposta do diagrama da árvore!
Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados
para o lançamento de uma moeda três vezes!
Passemos a outro exemplo, igualmente simples:
“Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para um saguão, no qual
existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5º andar, utilizando
um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo?
Caso decidíssemos tentar desenhar uma resolução, mediante o diagrama da árvore,
faríamos o seguinte:
E1
Æ (P1, E1)
E2
Æ (P1, E2)
P1
E3
Æ (P1, E3)
E4
Æ (P1, E4)
.
P2
P3
E1
E2
E3
E4
Æ
Æ
Æ
Æ
(P2,
(P2,
(P2,
(P2,
E1)
E2)
E3)
E4)
E1
E2
E3
E4
Æ
Æ
Æ
Æ
(P3,
(P3,
(P3,
(P3,
E1)
E2)
E3)
E4)
Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um
dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar!
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9
Ocorre que já aprendemos que o tal desenho acima é desnecessário! Mais rápido e
eficaz será utilizar o princípio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5º
andar do hospital) em duas etapas:
1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada;
2ª etapa) a escolha de um elevador.
Feito isso, descobriremos o número de resultados possíveis, individualmente, para cada
etapa. Teremos:
1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada Æ 3 resultados possíveis;
2ª etapa) a escolha de um elevador ----------Æ 4 resultados possíveis.
Manda o princípio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos:
Æ 3x4=12 Æ A mesma resposta do diagrama da árvore!
A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, já é possível apresentar formalmente
o princípio fundamental da contagem. Vejamos:
Enunciado do Princípio da Contagem:
Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes
de tal modo que:
P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa;
P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa;
.
.
Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então:
(P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer!
Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser
resolvidos empregando-se o princípio fundamental da contagem:
Æ Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º
lugares?
Sol.:
Quais serão as etapas desse evento? Ora, a definição do 1º colocado, a do 2º e a do 3º!
Três etapas, portanto. Teremos:
Æ 1ª etapa) Definição do 1º colocado Æ 4 resultados possíveis;
Æ 2ª etapa) Definição do 2º colocado Æ 3 resultados possíveis;
Æ 3ª etapa) Definição do 3º colocado Æ 2 resultados possíveis.
Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 4x3x2 = 24 Æ Resposta!
Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1º, 2º e 3º colocados numa
corrida, dispondo-se de 4 competidores.
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Æ De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana?
Sol.:
Fila indiana, você sabe, é aquela em que uma pessoa fica atrás da outra.
Daí, as etapas do evento serão: definir quem vai na cabeça da fila, quem vai no meio e
quem vai no fim.
Teremos:
Æ 1ª etapa) definição do 1º da fila: 3 resultados possíveis;
Æ 2ª etapa) definição do 2º da fila: 2 resultados possíveis;
Æ 3ª etapa) definição do 3º da fila: 1 resultado possível.
Daí, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 3x2x1 = 6 Æ Resposta!
Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com três pessoas!
Æ João vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O
cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De
quantas formas pode o homem fazer sua refeição?
Sol.:
Qual é o evento? Ora, é fazer uma refeição! Pelos dados da questão, as etapas para a
composição deste evento (e os resultados possíveis para cada uma delas) serão as seguintes:
1ª etapa) definição da carne
Æ 8 resultados possíveis;
2ª etapa) definição da sobremesa Æ 5 resultados possíveis.
Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 8x5 = 40 Æ Resposta!
Podem ser compostas 40 distintas refeições, dispondo-se de oito tipos de carne e 5
tipos de sobremesa!
Æ Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser
formados?
Sol.:
O objetivo é formar um casal. Ora, um casal é composto de um homem e uma mulher!
Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas:
1ª etapa) escolha do homem Æ 80 resultados possíveis;
2ª etapa) escolha da mulher Æ 90 resultados possíveis.
Pelo princípio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 80x90 = 7200 Æ Resposta!
Æ O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete dígitos para designar os diversos telefones.
Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2), e que o dígito zero (0) não seja utilizado
para designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos
ter?
Sol.:
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O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas
no enunciado! Como teremos 7 dígitos, trabalharemos também com 7 etapas! Cada etapa
corresponde, naturalmente, à escolha do respectivo dígito.
Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa
atenção, uma vez que o enunciado estabelece exigências específicas para algumas das etapas
do evento. Por exemplo, é dito que o primeiro dígito será sempre 2. É dito também que na
escolha do segundo e do terceiro dígitos não poderemos usar o algarismo zero!
Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados
parciais! Teremos:
1ª etapa) Definição do 1º dígito Æ 1 resultado possível (só pode ser “2”);
2ª etapa) Definição do 2º dígito Æ 9 resultados possíveis.
Senão, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles
que ocupará o 2º dígito. São eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. São dez algarismos! Ocorre
que o enunciado amarra que o algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí,
restam nove resultados possíveis! Idêntico raciocínio se repetirá para a próxima etapa.
3ª etapa) Definição do 3º dígito Æ 9 resultados possíveis.
4ª etapa) Definição do 4º dígito Æ 10 resultados possíveis!
Aqui não há nenhuma exigência específica, e nenhuma restrição! Ou seja, pode ser
usado qualquer algarismo do sistema decimal (e são 10!). O mesmo raciocínio se repetirá para
as três últimas etapas.
5ª etapa) Definição do 5º dígito Æ 10 resultados possíveis.
6ª etapa) Definição do 6º dígito Æ 10 resultados possíveis.
7ª etapa) Definição do 7º dígito Æ 10 resultados possíveis.
Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Æ Resposta!
# Arranjo e Combinação:
Duas outras técnicas serão comumente usadas na resolução de problemas de Análise
Combinatória. Estamos falando do Arranjo e da Combinação!
O importante é sabermos que, para cada caso específico de situação, haverá um
caminho de resolução adequado. Se o diagnóstico de uma questão é Arranjo, ela terá que ser
resolvida por Arranjo; se é Combinação, terá que ser resolvida por combinação!
Ou seja, se a questão é de tal forma que a resolução correta se faz por Arranjo e você
equivocadamente a resolve por Combinação, infelizmente a sua resposta estará errada, e você
acaba de perder um ponto precioso na prova!
Com isso, concluímos que a alma da Análise Combinatória consiste em saber identificar
qual é o correto caminho de resolução!
E isso, amigos, é extremamente fácil! Traçaremos um método! Vejamos:
Elementos iguais no subgrupo
Elementos distintos no subgrupo
Princípio
Fundamental da
Contagem
Arranjo ou Combinação
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12
Esse diagrama acima será nosso guia! Por meio dele não há como errarmos na escolha
do caminho de resolução!
Mas, o que significa esse comando: elementos iguais no subgrupo ou elementos
distintos no subgrupo?
Ora, sempre que formos pensar um problema de análise combinatória, estaremos
trabalhando com elementos de um conjunto universo e tentando construir conjuntos menores,
chamados subgrupos.
Vejamos os três exemplos seguintes, que nos ajudarão a entender melhor:
Exemplo 1) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo dos
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Quem é o conjunto universo? {1, 2, 3, 4, 5}
E quem será o subgrupo? Será um conjunto de apenas três algarismos!
Formar esse subgrupo é o nosso objetivo!
Neste exemplo, a questão especificou que os elementos do subgrupo tenham que ser
distintos? Ou podem ser iguais? Ora, se a questão não amarrou que o subgrupo tem que ter
elementos diferentes, então fica subentendido que eles podem ser repetidos!
Daí, já sabemos que o caminho de resolução será o Princípio da Contagem!
Exemplo 2) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Quem é o conjunto universo? O mesmo do exemplo anterior: {1, 2, 3, 4, 5}
O subgrupo agora terá quantos elementos? Três, da mesma forma!
Podem os elementos do subgrupo repetir-se? Não! A questão estabeleceu que terão de
ser elementos distintos!
Com isso, concluímos: o caminho de resolução seguirá pelo Arranjo ou pela
Combinação!
Mas qual dos dois? Arranjo ou Combinação? Güenta aí, que explicaremos já!
Exemplo 3) Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pêra,
uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo três tipos
de frutas?
Quem é o conjunto universo? É o das frutas disponíveis:
{maçã, mamão, melão, banana, pêra, uva, laranja e melancia}
E o subgrupo, qual será? Será aquela salada que formaremos, com apenas três tipos de
frutas! A pergunta: o subgrupo terá que ter elementos diferentes? Obviamente que sim! Não
dá para formar uma salada com banana, banana e banana. Concordam? Embora o enunciado
não tenha dito isso expressamente, fica entendido, por evidente, que a salada tem que ser
formada por três tipos distintos de frutas!
Assim sendo, concluímos: o caminho de resolução é o do Arranjo ou da Combinação!
Mas qual desses dois? Arranjo ou Combinação?
# Decidindo entre o Arranjo e a Combinação:
Uma vez superado o primeiro momento, e considerando que já sabemos que a questão
será resolvida por Arranjo ou Combinação, seguiremos os passos seguintes, a fim de nos
definirmos por uma ou por outra técnica de resolução. Vejamos:
1º Passo) Criaremos um resultado possível para o subgrupo;
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13
2º Passo) Inverteremos a ordem do resultado que acabamos de criar (no 1º passo);
3º Passo) Compararemos os dois resultados que estão diante de nós (1º e 2º passos):
Æ Se forem resultados diferentes: resolveremos a questão por Arranjo!
Æ Se forem resultados iguais: resolveremos a questão por Combinação!
Retornemos aos dois últimos exemplos, para os quais já havíamos decidido que seriam
resolvidos por Arranjo ou por Combinação. Teremos:
Exemplo 2) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo dos
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
E agora, Arranjo ou Combinação?
1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)
O número cento e vinte e três. Pode ser? Claro!
2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)
Chegamos ao número trezentos e vinte e um.
3º Passo) A comparação! São iguais ou diferentes os dois resultados acima?
Ora, tratando-se de números, é claro que são distintos!
Conclusão: resolveremos a questão por Arranjo!
Exemplo 3) Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pêra,
uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo três tipos
de frutas?
Será Arranjo ou será Combinação?
1º Passo) Criando um resultado possível: (mamão, melão e maçã)
Gostaram da minha salada? Se não gostaram, vai ela mesma!
2º Passo) Invertamos a ordem! Teremos: (maçã, melão e mamão)
3º Passo) Comparemos:
A salada do primeiro passo é igual ou é diferente da salada do segundo passo? O sabor
é o mesmo? Claro que sim! Os resultados são iguais!
Conclusão: a questão sai por Combinação!
É somente isso! Se vocês se lembrarem destes três exemplos simples acima, serão
capazes de identificar o caminho de resolução de qualquer questão de Análise Combinatória!
# Resolvendo questões por Arranjo:
Uma vez sabendo identificar quais as questões que se resolvem por Arranjo, resta saber
como se dá tal resolução!
A fórmula do Arranjo é a seguinte:
An , p =
n!
(n − p)!
Onde:
Æ n é o número de elementos do conjunto universo; e
Æ p é o número de elementos do subgrupo.
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Para quem anda mais esquecido, esse sinal de interrogação (!) significa a operação
fatorial. Trata-se, tão-somente, de um produto que se inicia com o próprio valor (que antecede
o sinal “!”) e vai se reduzindo até chegar a um.
Exemplos:
Æ 8!=8x7x6x5x4x3x2x1
Æ 5!=5x4x3x2x1
E assim por diante!
Observem que, sempre que formos fazer uma divisão entre fatoriais, repetiremos o
menor deles, e desenvolveremos o maior até que se iguale ao menor.
Exemplo:
8! 8 x7 x6 x5!
=
5!
5!
Viram? E agora? Ora, agora resta cortarmos o 5! do numerador com o do denominador.
E teremos apenas que:
8! 8 x7 x6 x5!
=
= 8 x7 x6
5!
5!
Fácil, não? Mais fácil que roubar doce de criança! Pois bem, voltemos ao exemplo dois
da página anterior:
Exemplo 2) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, dispondo
dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5?
Sol.:
Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos?
Distintos, pois assim estabelece o enunciado. Daí, resolveremos por Arranjo ou Combinação!
Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?
1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (1 2 3)
2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (3 2 1)
3º Passo) A comparação: os resultados são distintos! Æ Arranjo!
Arranjo de quantos em quantos? De 5 em subgrupos de 3. Teremos:
An , p =
5!
5! 5 x 4 x3x 2!
n!
Æ A5,3 =
= =
= 5 x 4 x3 = 60 Æ Resposta!
(5 − 3)! 2!
2!
(n − p)!
Ou seja, podemos formar 60 números com 3 algarismos distintos, dispondo dos
algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.
Uma pergunta deveras oportuna seria: não dava para resolver essa questão pelo
Princípio da Contagem? Vejamos: nosso evento é formar um número de três algarismos
distintos. Podemos dividi-lo em três etapas: definição do primeiro algarismo, definição do
segundo e definição do terceiro. Teremos:
Æ 1ª etapa) definição do primeiro algarismo: 5 resultados possíveis;
Æ 2ª etapa) definição do segundo algarismo: 4 resultados possíveis;
Æ 3ª etapa) definição do terceiro algarismo: 3 resultados possíveis.
Multiplicando-se os resultados parciais, teremos:
Æ 5x4x3= 60 Æ Resposta!
Mesma resposta que chegamos pelo Arranjo!
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Olhemos de novo, e com mais calma, o diagrama dos caminhos de resolução:
Elementos iguais no subgrupo
Elementos distintos no subgrupo
Princípio
Fundamental da
Contagem
Arranjo ou Combinação
Repare bem na seta em cor verde! Reparou?
O que ela quer indicar? O seguinte: se você descobrir que a questão deve ser resolvida
por Arranjo, então poderá também resolvê-la pelo Princípio da Contagem!
Observe que se trata de uma seta com sentido único! De Arranjo para Princípio da
Contagem! Apenas isso! O caminho de volta – Princípio da Contagem para Arranjo – nem
sempre será possível!
E de Combinação para Princípio da Contagem? Dá certo? De jeito nenhum! Basta
olhar para o desenho acima, e não tem erro! Ok?
Próxima pergunta recorrente: ora, se questão de Arranjo sai pelo Princípio da
Contagem, então eu preciso mesmo saber esse tal de Arranjo? A resposta é SIM, você
precisa! Mais adiante, veremos o porquê!
# Resolvendo questões por Combinação:
A fórmula da Combinação é a seguinte:
Cn , p =
n!
p!(n − p )!
Onde:
Æ n é o número de elementos do conjunto universo; e
Æ p é o número de elementos do subgrupo.
Retornemos ao exemplo 03, apresentado anteriormente:
Exemplo 3) Dispondo das seguintes espécies de frutas {maçã, mamão, melão, banana, pêra,
uva, laranja e melancia}, quantos tipos de saladas podem ser formadas, contendo três tipos
de frutas?
Primeira análise: os elementos do subgrupo podem ser iguais ou têm que ser distintos?
Distintos, pois, embora não dito isso expressamente pelo enunciado, fica claro que não
podemos formar saladas com frutas iguais! Uma salada já é, por si, uma mistura de frutas de
tipos diferentes! Daí, usaremos Arranjo ou Combinação!
Segunda análise: sairá por Arranjo ou Combinação?
1º Passo) Criando um resultado possível, podemos ter: (macã, pêra e uva)
2º Passo) Invertendo a ordem do resultado criado: (uva, pêra e maçã)
3º Passo) A comparação: os resultados são iguais! Æ Combinação!
Combinação de quantos em quantos? De 8 (tipos de frutas do conjunto universo) em
subgrupos de 3 (tipos de frutas da salada que formaremos!). Teremos:
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Cn , p =
16
8!
8!
8 x7 x6 x5! 8 x7 x6
n!
Æ C8,3 =
=
=
=
= 56 Æ Resposta!
3!(8 − 3)! 3!.5! 5!.3x 2 x1 3x 2 x1
p!(n − p )!
Ou seja: podem ser formados 56 tipos de saladas, com três espécies de frutas,
dispondo daquelas oito espécies relacionadas!
# Permutação:
A Permutação, meus amigos, é tão-somente um caso particular do Arranjo!
Caso nos omitíssemos de falar em Permutação, vocês acertariam a questão do mesmo
jeito, aplicando o Arranjo! Mas não é o caso! Melhor é conhecê-la!
Quando estivermos em uma questão de Arranjo (já sabemos como identificá-la!) e
observarmos que o n (número de elementos do “conjunto universo”) é igual ao p (número de
elementos dos subgrupos), então estaremos diante de uma questão de Permutação!
Consideremos os exemplos abaixo, os quais são meras variações dos que vimos no
Arranjo.
Exemplo 1) Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de cinco dígitos
distintos poderão ser formados?
Sol.: A questão é de Arranjo, conforme já havíamos verificado. Arranjo de quanto em quanto?
O grupo maior tem cinco elementos, ou seja: n=5.
E os subgrupos terão também cinco elementos, ou seja: p=5.
Ora, quando a questão é de Arranjo, e temos que n = p, dizemos então que estamos
em um caso de Permutação.
Em outras palavras: A5,5 = P5 (leia-se: “permutação de cinco”)
O bom é que o cálculo da Permutação é até mais fácil.
Æ Fórmula da Permutação:
Pn = n!
Onde: Æ n é o número de elementos do conjunto universo, que é também o mesmo número
de elementos dos subgrupos que serão formados!
Voltando ao nosso exemplo, teremos que:
A5,5 = P5 = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Æ Resposta!
Exemplo 02) Quatro carros (C1, C2, C3 e C4) disputam uma corrida. Quantas são as
possibilidades de chegada para os quatro primeiros lugares?
Sol.: Também já sabemos que é uma questão de Arranjo! Agora, o grupo maior tem 4
elementos (n=4) e os subgrupos que serão formados também terão esse mesmo número de
elementos (p=4). Daí, caímos no caso particular da Permutação!
Teremos, pois, que:
A4,4 = P4 = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 Æ Resposta!
Agora, passemos a estudar um tipo de questão que é bastante abordado em concursos.
Explanaremos este tema em seis situações possíveis. Adiante!
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# Seis Amigos no Cinema:
SITUAÇÃO 1) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas?
Sol.:
Iniciemos nossa análise do princípio!
1ª Indagação: na hora de formar os subgrupos, poderemos usar elementos iguais? Ou
terão que ser distintos?
Ora, os elementos do subgrupo serão pessoas! Logo, não há como formar um subgrupo
com várias pessoas iguais! Obviamente, os elementos terão de ser diferentes! Primeira
conclusão: o caminho de resolução é o do Arranjo ou da Combinação!
2ª Indagação: Arranjo ou Combinação?
Daí, seguimos aquele procedimento já nosso conhecido:
1º Passo) criamos um resultado possível. (Chamemos as pessoas de A, B, C, D, E e F).
Teremos, pois, que um resultado possível seria esse mesmo:
Æ A-B-C-D-E-F
(Com a pessoa A na ponta da esquerda e a pessoa F na da direita!)
2º Passo) Invertemos a ordem dos elementos do resultado acima. Teremos:
Æ F-E-D-C-B-A
3º Passo) Comparamos os resultados!
Atenção à pergunta seguinte: as pessoas dos dois resultados são as mesmas?
A resposta é sim! Mas, e as duas filas, são as mesmas?
Não! São diferentes! E o que interessa neste caso são as filas formadas!
Temos, portanto, resultados distintos! Conclusão: Trabalharemos com Arranjo!
Arranjo de quantos em quantos? São 6 pessoas no conjunto universo, e são seis
elementos na fila (no subgrupo). Logo, Arranjo de 6 em 6: A6,6, que é igual a Permutação de
6. Ou seja: A6,6 = P6
Então, para esse enunciado, faremos:
P6 = 6! = 6x5x4x3x2x1 = 720 Æ Resposta!
SITUAÇÃO 2) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as
três moças fiquem sempre juntas?
Sol.:
Este enunciado difere do anterior por um breve detalhe! É exigido aqui que as três
moças permaneçam juntas!
Ora, já nos é possível concluir, seguindo o mesmíssimo raciocínio do exemplo anterior,
que esta questão será resolvida pelo caminho da Permutação!
Em face da exigência anunciada, lançaremos mão de um artifício: passaremos a
considerar as pessoas que têm de estar sempre juntas como sendo uma única pessoa!
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Além disso, neste presente exemplo, em vez de trabalharmos apenas com uma
permutação, teremos que trabalhar com duas:
1ª Permutação) Para todo o conjunto de pessoas (atentando para o fato de que as
três moças que são inseparáveis serão consideradas uma só);
Daí, com três homens e uma mulher (três inseparáveis = uma apenas!), somamos um
total de quatro pessoas! Permutando-as, teremos: P4 = 4! = 24 formações.
2ª Permutação) Para o conjunto dos elementos inseparáveis (as três moças):
Permutando as três mulheres, teremos: P3 = 3! = 6 formações
Vejamos a ilustração abaixo:
P3 = 3x2x1 = 6
P4 = 4! = 4x3x2x1 = 24
Esses dois resultados parciais (24 e 6), referentes ao conjunto inteiro e aos elementos
inseparáveis, terão que ser agora multiplicados, para chegarmos ao resultado final. Teremos:
Æ 6x24= 144 Æ Resposta!
SITUAÇÃO 3) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que os
três rapazes fiquem sempre juntos e as três moças fiquem sempre juntas?
Sol.:
Agora a exigência específica cria dois subgrupos de elementos inseparáveis. Já sabemos
como proceder com eles.
Teremos:
P3=3x2x1=6
P3=3x2x1=6
P2 = 2! = 2x1 = 2
Observemos que a permutação para o conjunto completo foi apenas P2. Claro! Uma vez
que os três rapazes são considerados um só, e as três moças idem! É o nosso artifício dos
elementos inseparáveis! Não podemos esquecer dele!
Daí, compondo nosso resultado, teremos:
Æ 6x6x2= 72 Æ Resposta!
SITUAÇÃO 4) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que as
três moças fiquem separadas?
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Sol.: O enunciado agora não exige mais que alguns elementos fiquem juntos, mas separados!
Ora, se do total de formas possíveis de organizar os amigos (resposta da situação 1)
subtrairmos o número de formas pelas quais as moças ficarão sempre juntas (resposta da
situação 2), o resultado que encontraremos é exatamente o que pede neste exemplo. Ou seja:
Total de
formações
possíveis dos 6
amigos
–
Total de
formações com as
moças juntas
Total de formações
com as moças
separadas
=
Daí, faremos: Æ 720 – 144 = 576 Æ Resposta!
SITUAÇÃO 5) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças. De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que
rapazes e moças fiquem sempre alternados?
Sol.:
Agora é o seguinte: rapaz sempre ao lado de moça, e vice-versa! Teremos duas
situações possíveis: 1a) a fila começando com um rapaz na esquerda; e 2a) a fila começando
com uma moça na esquerda. Trabalhando a primeira situação possível, teremos:
R
M
R
M
R
M
Neste caso, teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o mesmo se
dá em relação às moças!
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos:
Æ 6x6= 36
Ocorre que a questão não acaba aí, uma vez que já havíamos constatado que há uma
outra possibilidade: a de que a fila comece com uma moça à esquerda (ao invés de um rapaz)!
Teremos:
M
R
M
R
M
R
Aqui novamente as três moças permutarão entre si, enquanto que os três rapazes
também permutarão entre si! Faremos:
Æ Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos igualmente:
Æ 6x6= 36
Finalmente, somando os resultados parciais (rapaz à esquerda e moça à esquerda),
teremos:
Æ 36+36= 72 Æ Resposta!
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SITUAÇÃO 6) Seis amigos vão ao cinema. São 3 rapazes e 3 moças De quantas formas
poderemos colocá-los dispostos numa mesma fila, em seis poltronas vizinhas, de modo que
somente as moças fiquem todas juntas?
Sol.:
O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras
diferentes em que as 3 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem
todos juntos.
1ª Solução:
Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças
fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois
assim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das
moças:
1ª situação:
R
M
M
M
R
R
M
M
R
3 moças
2ª situação:
R
R
M
3 moças
Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o
mesmo se dá em relação às moças!
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos:
Æ 6x6= 36
Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre
si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação das moças: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos:
Æ 6x6= 36
Finalmente, somando os resultados parciais teremos:
Æ 36+36= 72 Æ Resposta!
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2ª solução:
Se do total de formas possíveis em que as mulheres ficam juntas (resposta da situação
2) subtrairmos o número de formas pelas quais os três rapazes fiquem sempre juntos e as três
moças fiquem sempre juntas (resposta da situação 3), o resultado que encontraremos é
exatamente o que se pede neste exemplo. Ou seja:
Total de formações
com as moças
juntas
–
Total de formações
com as moças
juntas e com os
homens juntos
=
Total de formações
em que somente as
mulheres ficam
juntas
Daí, faremos: Æ 144 – 72 = 72 Æ Resposta!
Pois bem, meus amigos! A essência do assunto já foi vista!
De aqui em diante, trabalharemos com questões e mais questões, mesclando
resoluções de Arranjo, Permutação e de Combinação, até nos familiarizarmos definitivamente
com essa tal de Análise Combinatória!
Conceitos incidentais surgirão, possivelmente, ao longo das próximas resoluções,
conforme veremos!
Mas a essência do assunto, insistimos, já é do conhecimento de todos!
# Exercícios Diversos:
01) Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e
sair por uma porta diferente da que usou para entrar?
Sol.:
Iniciemos nossa análise. Qual é o objetivo da questão? Fazer com que uma pessoa
entre e saia de um edifício. Para tanto, disporá a pessoa de um total de oito portas!
Ocorre que o enunciado determina que a porta de saída deverá ser diferente da de
entrada. Em suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total
de oito portas!
Daí:
Conjunto Universo: {Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8}
Subgrupo:
Porta de entrada
Porta de saída
1ª Pergunta) Os elementos do subgrupo podem ser iguais? Não! O enunciado
estabelece que têm que ser diferentes! Conclusão: seguiremos pelo Arranjo ou Combinação!
2ª Pergunta) Arranjo ou Combinação?
Æ Criemos um resultado possível: Entrada: Porta 1 – Saída: Porta 2
Æ Invertamos a ordem do resultado criado: Entrada: Porta 2 – Saída: Porta 1
Æ Comparemos os resultados acima: Iguais ou diferentes? Diferentes
Logo, resolveremos por Arranjo!
Dá na mesma resolver pelo Princípio da Contagem? Claro! (Não esqueçamos da seta
verde do caminho das pedras!)
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22
Daí, teremos:
Æ 1ª etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possíveis;
Æ 2ª etapa) Escolha da porta de saída: 7 resultados possíveis.
Multiplicando-se os resultados individuais, teremos:
Æ 8 x 7 = 56 Æ Resposta!
Obs.: Você pode (e deve!) conferir que esse resultado é o mesmo ao qual chegaríamos
caso tivéssemos resolvido por Arranjo! (A8,2=56).
02) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI? P9=9!
Sol.:
A primeira coisa a se fazer aqui é explicar o conceito de anagrama.
Anagrama é apenas uma formação qualquer que se possa criar com um determinado
grupo de letras. Essa formação qualquer não precisa ser uma palavra, um vocábulo que conste
no dicionário! Pode ser algo mesmo ininteligível. Contanto que seja formado por aquelas
letras.
Daí, se eu tenho as letras da palavra SAPO, são exemplos de anagramas os seguintes:
Æ (S O P A) , (A S P O) , (A S O P), (P S O A), (O P S A) etc.
Perceba que, no anagrama, cada letra é utilizada uma só vez! Ou seja, se vou criar
anagramas com as letras da palavra sapo (4 letras!), então meus anagramas terão também 4
letras!
Ficou claro?
Pois bem! Daí, nosso conjunto universo é o seguinte: {A, B, C, D, E, F, G, H, I}
E o subgrupo será o próprio anagrama, ou seja, um conjunto que terá o mesmo número
de letras do conjunto universo!
1ª Pergunta) Poderemos repetir os elementos do conjunto universo no subgrupo? Não!
Se o fizéssemos, estaríamos fugindo do conceito de anagrama. Conclusão: Arranjo ou
Combinação!
2ª Pergunta) Arranjo ou Combinação?
Æ Criando um resultado possível, teremos: {A B C D E F G H I}
Æ Invertendo-se a ordem, teremos: {I H G F E D C B A}
São anagramas iguais? Não! São diferentes! Logo, trabalharemos com Arranjo!
Arranjo de quantos em quantos? De 9 (número de elementos do conjunto universo) em
9 (número de elementos do subgrupo)!
Ora, estamos diante de uma Permutação! Uma vez que: A9,9=P9.
Daí, podemos até generalizar: se a questão é de anagrama, sairá sempre por Arranjo!
(Diga-se de passagem que a Esaf não gosta muito de anagramas...)
Teremos, pois, que: A9,9= 9! Æ Resposta!
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03) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas podemos formar uma comissão de 3
pessoas? 165 Comb
Sol.:
Conjunto universo: {5 homens, 6 mulheres}
Subgrupo: 3 pessoas.
Elementos do subgrupo podem ser iguais? Não! São pessoas, logo, têm que ser
diferentes! Daí, Arranjo ou Combinação!
Æ Um resultado possível: {João, Maria, José}
Æ Invertendo: {José, Maria, João}
Pergunta: a comissão formada por João, Maria e José é diferente da formada por José,
Maria e João? Claro que não! São a mesmíssima comissão! Daí: Combinação!
De quantos em quantos? De 11 (total de elementos do conjunto universo) em 3 (total
de elementos do subgrupo). Teremos:
C11,3 =
11! 11x10 x9 x8! 990
=
=
= 165 Æ Resposta!
3!.8!
8!.3x 2 x1
6
04) Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma
vogal e terminando por uma consoante?
Sol.:
Vimos agora há pouco (questão 2), que anagrama se resolve por permutação! E o que
há de novo neste enunciado? Ora, aqui são feitas duas exigências, referentes aos elementos
que ocuparão a primeira e a última posição do anagrama!
Perceberam? Foi amarrado pelo enunciado que o nosso anagrama tem que começar por
vogal e que terminar por uma consoante.
Daí, trabalharemos em separado as posições contempladas por essas exigências.
Vejamos nosso conjunto universo: {A B C D E F G H I}
E nosso subgrupo:
O artifício consistirá sempre nisso: trabalhar em separado as posições para as quais foi
feita alguma exigência específica. Teremos:
8 resultados possíveis
(tem que ser consoante!)
3 resultados possíveis (tem que ser vogal!)
E quanto aos elementos do meio do anagrama? Permutação neles! Teremos:
P7
3
8
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24
Finalmente, para chegarmos ao resultado final, multiplicaremos os resultados parciais!
Teremos: Æ 6x3xP7 = 6x3x7! = Resposta!
05) Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7, e desejamos escolher 4 lugares entre os
existentes. De quantas formas isso pode ser feito?
Sol.:
Nosso conjunto universo é uma seqüência de sete cadeiras:
1
2
3
4
5
6
7
O objetivo é formar subgrupos com quarto dessas cadeiras!
Tem que ser cadeiras distintas? Claro! Obviamente que sim! Daí, o caminho de
resolução segue o Arranjo ou a Combinação! Qual deles?
Æ Criando um resultado possível: {cadeira 1, cadeira 2, cadeira 3, cadeira 4}
Æ Invertendo o resultado: {cadeira 4, cadeira 3, cadeira 2, cadeira 1}
Pergunta: o primeiro conjunto de cadeiras é diferente do segundo?
Não! São exatamente iguais! Conclusão: trabalharemos com a Combinação! Teremos:
Æ C7 , 4 =
7!
7 x6 x5 x 4!
=
= 35 Æ Resposta!
4!.3! 4! x3x 2 x1
06) Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis
para os três primeiros lugares?
Sol.:
Conjunto universo: {20 times}
Objetivo da questão: formar subgrupos de 3 times – os 3 primeiros colocados.
Tem que ser times distintos? Claro! Não dá (infelizmente) para termos o Corinthians
como primeiro, segundo e terceiro colocado do campeonato... Daí, os elementos do subgrupo
terão que ser distintos! Conclusão: usaremos Arranjo ou Combinação para resolver o
problema!
Qual deles?
Æ Criando um resultado possível: {1º)Corinthians, 2º Flamengo), 3º) Fortaleza }
Æ Invertendo: {1º) Fortaleza, 2º)Flamengo, 3º)Corinthians}
São resultados iguais? Claro que não! Daí, trabalharemos com o Arranjo! Teremos:
Æ A20 ,3 =
20! 20 x19 x18 x17!
=
= 6.840 Æ Resposta!
17!
17!
07) Uma prova consta de 15 questões, das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas
ele poderá escolher as 10 questões? R) 3003 Comb
Sol.:
Conjunto universo: {15 questões}
O objetivo é selecionar um subgrupo de 10 questões!
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25
Obviamente que tem ser questões diferentes! Logo, arranjo ou combinação!
Æ Um resultado possível: {Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9, Q10}
Æ Invertendo-se a ordem:{Q10, Q9, Q8, Q7, Q6, Q5, Q4, Q3, Q2, Q1}
São provas diferentes? Não! São perfeitamente iguais! Logo, Combinação! Teremos:
Æ C15,10 =
15! 15 x14 x13 x12 x11x10!
=
= 3.003 Æ Resposta!
10!5!
10!.5 x 4 x3 x 2 x1
08) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se
cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente?
Sol.:
O conjunto universo é um grupo de 16 estações.
O objetivo é formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada.
Estação de partida e estação de chegada podem ser iguais? Não! Tem que ser distintas!
Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!
Æ Criando um resultado possível:
Partida
Chegada
Estação A
Estação B
Æ Invertendo o resultado acima:
Partida
Chegada
Estação B
Estação A
São bilhetes iguais? Obviamente que não! São distintos! Daí, concluímos: vamos
trabalhar com Arranjo! Teremos:
Æ A16 , 2 =
16! 16 x15 x14!
=
= 240 Æ Resposta!
14!
14!
09) Em uma reunião social, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo 45
apertos de mão. Quantas pessoas havia na reunião? Comb
Sol.:
Primeiramente, vamos descobrir do que se trata. Há um conjunto maior (conjunto
universo), formado pelas pessoas que estão participando de uma reunião. Dispondo desse
conjunto de pessoas, formaremos grupos menores (subgrupos) de duas pessoas cada. Serão
as pessoas que trocarão apertos de mão. (É de se supor que esses apertos de mão estão
sendo trocados entre duas pessoas, obviamente)!
Daí, se os subgrupos são formados por duas pessoas que vão trocar um aperto de mão,
também se depreende que essas pessoas têm que ser distintas. (Não se imagina ninguém
cumprimentando a si mesmo com um aperto de mão, certo? Estamos numa reunião social, não
num hospício!)
E chegamos à primeira conclusão: se os elementos dos subgrupos
necessariamente distintos, trabalharemos ou com Arranjo ou com Combinação!
serão
Criemos um resultado possível: um aperto de mão entre o JOÃO e o JOSÉ. Invertamos
esse resultado: um aperto de mão entre o JOSÉ e o JOÃO. É o mesmo resultado ou outro
diferente? Claro que é o mesmo resultado. Daí, concluímos: trabalharemos com Combinação.
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26
Sabemos que os subgrupos são formados por dois elementos (p=2), mas e o conjunto
universo? Conhecemos quantos elementos tem? Não! É isso o que a questão quer saber.
Chamaremos esse número de X.
E quanto a esse valor “45”, fornecido pelo enunciado? Será o resultado da Combinação.
Ou seja, é o número de “duplas” que poderão ser formadas, combinando as pessoas que estão
naquela reunião.
Daí, teremos: Cx,2 = 45 .
Desenvolvendo nossos cálculos, teremos:
C X ,2 =
X!
X .( X − 1).( X − 2)! X .( X − 1) X 2 − X
=
=
=
2!( X − 2)!
2!.( X − 2)!
2 x1
2
Sabendo que: Cx,2 = 45 , teremos:
X2 −X
= 45 Æ X2 – X – 90 = 0 (Equação do 2º grau)
2
Para os mais esquecidos, uma equação do 2º grau, ou seja, uma equação do tipo
ax2+bx+c=0 será resolvida da seguinte forma:
X = −b ±
b 2 − 4.a.c
2.a
Resolvendo a equação acima, teremos:
X = −b ±
1 + 4 x1x90
361
19
b 2 − 4.a.c
= 1±
= 1±
Æ X = 1±
2 x1
2
2
2.a
Haverá duas raízes (dois resultados) para nossa equação, quais sejam:
X’ = (1+19)/2 Æ X’=10 e X’’ = (1-19)/2 Æ X’’=-9
Como X representa um número de pessoas, jamais poderia ser um valor negativo.
Desprezamos, portanto, o resultado X’’=-9, e concluímos que nossa resposta será X=10.
X=10 Æ Resposta!
10) Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é
formado por uma seqüência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas
tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe
que o segredo é formado por dígitos distintos.) 720 Arr
Sol.:
Nosso conjunto universo é formado pelos algarismos do sistema decimal: {0, 1, 2,...,9}
O objetivo é criar uma senha com três dígitos distintos!
Ora, se o subgrupo será composto por elementos distintos, então trabalharemos com
Arranjo ou Combinação!
Para definir o caminho de resolução aplicável a este problema, criamos um resultado
possível: a senha {1 – 2 – 3}
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27
Invertendo os elementos desta senha, teremos: {3 – 2 – 1}.
São senhas iguais? Não! São distintas! Logo, trabalharemos com Arranjo. Teremos:
Æ A10 ,3 =
10! 10 x9 x8 x7!
=
= 720 Æ Resposta!
7!
7!
Já temos material suficiente para estudarmos esta semana!
Convém que vocês refaçam todos os exemplos apresentados até aqui. Para cada um
deles, relembre o raciocínio utilizado para descobrirmos o caminho de resolução adequado!
Na seqüência, apresentamos algumas outras questões, no nosso Dever de Casa!
E na próxima semana, daremos continuidade ao
complementando o que foi visto com alguns conceitos restantes!
estudo
deste
assunto,
Fiquem todos com Deus e um forte abraço!
Dever de Casa
01.(BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos
lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da
cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a
quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando
necessariamente por B?
a) Oito
b) Dez
c) Quinze
d) Dezesseis
e) Vinte
02.(AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma
seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras
e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos,
mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos.
Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número
total de diferentes senhas possíveis é dado por:
a) 226 310
b) 262 103
c) 226 210
d) 26! 10!
e) C26,2 C10,3
03.(Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é
preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma senha. Cada senha é
constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número máximo de tentativas
para abrir os cadeados é
a) 518 400
b) 1 440
c) 720
d) 120
e) 54
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28
04.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito
lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que
podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados;
e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas,
são, respectivamente,
a) 1112 e 1152.
b) 1152 e 1100.
c) 1152 e 1152.
d) 384 e 1112.
e) 112 e 384.
05.(Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba
e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras
pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre
juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
Gabarito:
1.c
2.b
3.a
4.c
5.e
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1
AULA ONZE: Análise Combinatória (Parte II)
Olá, amigos!
Tudo bem com vocês? Esta é nossa décima primeira aula, e ainda sequer chegamos à
metade de nosso curso! Longo é o caminho do Raciocínio Lógico... Muitos assuntos estão ainda
por vir! Mas o fato é que estamos seguindo sempre em frente!
Já dizia o sábio que toda grande caminhada se inicia com o primeiro passo! E em se
tratando de preparação para concursos, isso se torna muito verdadeiro! O importante é não se
deixar esmorecer! Força e coragem são as palavras de ordem!
E por falar nisso, criemos coragem e passemos à resolução do dever de casa da aula
passada! Adiante!
Dever de Casa
01.(BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por
diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir
quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções
da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir
de A até Roma, passando necessariamente por B?
a) Oito
b) Dez
c) Quinze
d) Dezesseis
e) Vinte
Sol.:
A questão é das mais simples. Nosso objetivo aqui é o de, partindo da cidade A, chegar
a Roma, passando necessariamente pela cidade B.
Facilmente percebemos que há como dividir esse evento em duas etapas bem
definidas: 1ª) Partir de A e chegar a B; 2ª) Partir de B e chegar a Roma.
Trabalharemos com o Princípio da Contagem!
Æ Da cidade A para a cidade B, teremos: 3 caminhos possíveis;
Æ Da cidade B para Roma, teremos:
5 caminhos possíveis.
Multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos:
Æ 3 x 5 = 15 Æ Número total de possibilidades do evento completo!
Resposta) Letra C.
02.(AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma
seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de
26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou
não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro
lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre
letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é
dado por:
a) 226 310
b) 262 103
c) 226 210
d) 26! 10!
e) C26,2 C10,3
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2
Sol.:
Nosso conjunto universo consiste do seguinte: {26 letras, 10 algarismos}.
(Todos perceberam que são dez algarismos? Cuidado: de zero a nove, temos dez
algarismos!)
Pois bem! O objetivo agora é o de formar uma senha, composta por duas letras e por
três algarismos. Ou seja, nosso subgrupo será o seguinte:
Letra
Letra
Número
Número
Número
Vamos lá! Primeiro questionamento: na hora de formar o subgrupo, poderemos usar
elementos repetidos (iguais)? Sim! Pois assim dispõe o enunciado: Tanto letras como
algarismos podem ou não ser repetidos! O “ou não” aí ficou inutilizado!
Ora, se os elementos do subgrupo podem ser iguais, então trabalharemos com o
Princípio Fundamental da Contagem! Não foi assim que aprendemos na aula passada? Claro!
Para quem está mais esquecido, segue aí o esquema de memória auxiliar:
Elementos iguais no subgrupo
Princípio
Fundamental da
Contagem
Elementos distintos no subgrupo
Arranjo ou Combinação
Daí, trabalhando pelo Princípio, dividiremos o evento em cinco etapas, e descobriremos
o número de resultados possíveis para a realização de cada uma delas. Teremos:
Æ 1ª Etapa) Definição da primeira letra
Æ
Há 26 possibilidades;
Æ 2ª Etapa) Definição da segunda letra
Æ
Há 26 possibilidades;
Æ 3ª Etapa) Definição do primeiro algarismo Æ Há 10 possibilidades;
Æ 4ª Etapa) Definição do segundo algarismo Æ Há 10 possibilidades;
Æ 5ª Etapa) Definição do terceiro algarismo Æ Há 10 possibilidades.
Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada etapa, teremos o resultado
final para todo o evento. Teremos:
Æ Total de Possibilidades para todo o Evento = 26x26x10x10x10 = 262x103
Resposta) Letra B.
Antes de passarmos à próxima questão, façamos um breve comentário sobre um
aspecto desse enunciado.
Disse ele que o programa (que cria a senha) não faz distinção entre letras maiúsculas
ou minúsculas. O que significa isso? Ora, significa que se você usar uma letra S (maiúscula) ou
s (minúscula), para o programa não haveria qualquer diferença! Tanto faz!
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3
E daí? Daí que se houvesse sido dito o contrário, ou seja, que o programa faz distinção
entre maiúsculas e minúsculas, então usar uma letra S (maiúscula) seria algo diferente de se
usar um s (minúsculo)! Ou seja, na prática, isso implicaria que teríamos, no conjunto universo,
não apenas 26 letras, mas o dobro disso! Claro! Seriam 26 letras minúsculas e mais 26 letras
maiúsculas! Seriam dois alfabetos completos! Um total de 52 letras.
Esta consideração, obviamente, alteraria por completo o resultado da questão, dado
que teríamos, pelo uso do Princípio da Contagem, a seguinte resposta: 522x103.
Entendido? Adiante!
03.(Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) Para entrar na sala da diretoria de uma
empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto por meio de uma
senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o
número máximo de tentativas para abrir os cadeados é
a) 518 400
b) 1 440
c) 720
d) 120
e) 54
Sol.:
Novamente a questão da senha! Só que aqui, com uma diferença crucial (em relação à
questão anterior): foi estabelecido que, na hora de formar a senha (o subgrupo), teremos que
usar algarismos distintos! Ou seja, os elementos do subgrupo não podem ser repetidos
(iguais)! Com isso, nosso caminho de resolução será ou o do Arranjo ou o da Combinação!
Arranjo ou Combinação? Para respondermos, criamos uma senha possível:
Æ 1-2-3. Pode ser? Claro! Agora, invertamos os elementos dessa senha. Teremos:
Æ 3-2-3.
E aí? As senhas são iguais? Obviamente que não! Logo, concluímos que a resolução se
fará mediante o caminho do Arranjo!
Aqui há uma particularidade neste enunciado: na realidade, estamos trabalhando com
dois eventos, em vez de apenas um. Queremos compor duas senhas (uma para cada
cadeado)! Então, neste caso, e em todos os assemelhados a este, usaremos o seguinte
expediente: resolveremos a questão de forma bipartida, como se fossem duas questões (uma
para cada evento)! Depois disso, multiplicaremos os resultados parciais encontrados!
Daí, trabalhando para compor a primeira senha, teremos:
Conjunto Universo: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (10 algarismos)
Subgrupo:
(3 algarismos distintos)
Daí, teremos: Æ
A10,3 =
10! 10 x9 x8 x7!
=
= 720 possíveis senhas!
7!
7!
Seguindo um raciocínio idêntico ao desenvolvido acima, concluímos que haverá também
720 possíveis senhas para o segundo cadeado (uma vez que se trata de dois eventos iguais!).
Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais de cada evento, chegaremos ao
seguinte:
Æ 720 x 720 = 518.400 Æ Resposta! (Letra A)
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04.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito
lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que
podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados;
e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas,
são, respectivamente,
a) 1112 e 1152.
b) 1152 e 1100.
c) 1152 e 1152.
d) 384 e 1112.
e) 112 e 384.
Sol.:
Nosso conjunto universo aqui é formado por oito pessoas – quatro homens e quatro
mulheres. O primeiro objetivo é colocá-los em lugares alternados! Comecemos, portanto, por
esse primeiro exercício.
Na hora de formar os subgrupos, teremos que usar elementos distintos? Claro que sim,
uma vez que se trata de pessoas! Logo, trabalharemos com Arranjo ou Combinação!
Criemos um resultado possível (vamos chamar as pessoas de A, B, C, D, E, F, G, H):
Æ (A-B-C-D-E-F-G-H)
Invertendo-se a ordem do resultado acima, passamos a ter o seguinte:
Æ (H-G-F-E-D-C-B-A)
São as mesmas pessoas? Sim. Mas são as mesmas filas? Não! São filas diversas!
Logo, como os resultados acima são diferente, trabalharemos com o Arranjo!
Arranjo de quantos em quantos? De 8 (total do conjunto universo) em subgrupos
também de 8. Daí, lembraremos que estamos diante de um caso particular do Arranjo,
chamado de Permutação!
Ora, para cumprir a exigência de que homens e mulheres estejam sempre alternados,
haverá duas possíveis formações. As seguintes:
1ª Situação) com um homem na ponta da esquerda!
H
M
H
M
H
M
H
M
Ou, então: 2ª Situação) com uma mulher na ponta da esquerda!
M
H
M
H
M
H
M
H
Já sabemos que a questão sai por Permutação! Daí, percebemos que, quer estejamos
trabalhando na primeira situação, quer na segunda, teremos que os quatro homens
permutarão de lugar entre si, o mesmo ocorrendo com as quatro mulheres. Daí, teremos:
P4=4!=24
H
M
H
M
H
M
H
M
P4=4!=24
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5
Multiplicando-se estas duas permutações (a dos homens e a das mulheres),
chegaremos ao resultado para esta primeira situação (homem na ponta da esquerda)!.
Teremos:
Æ 24x24=576
Seguindo o mesmíssimo raciocínio, percebemos que haverá também 576 possíveis
maneiras de alocar as oito pessoas, alternando-se homens e mulheres, caso tenhamos uma
mulher na ponta da esquerda.
Finalmente, somando-se os resultados das duas situações que respondem à questão,
teremos:
Æ 576 + 576 = 1052 Æ Resposta!
Mas a questão na acaba aí! Agora o enunciado quer que coloquemos as oito pessoas
nas cadeiras, de sorte que os homens permaneçam juntos, o mesmo se dando com as
mulheres!
Vimos, na aula passada, que quando o enunciado amarra que tais elementos devem
estar sempre juntos, passaremos a tratá-los como sendo um único elemento! Lembrados
disso? Daí, teremos:
P4=4!=24
H
H
H
P4=4!=24
H
M
M
M
M
P2=2!=2
Multiplicando-se essas permutações parciais, teremos:
Æ 24x24x2=1052 Æ Reposta!
Resposta) Letra C!
A pergunta que fica no ar é a seguinte: foi coincidência esses dois resultados iguais
(1052)? Absolutamente não! Essas duas situações requeridas pelo enunciado (1ª: homens e
mulheres alternados; e 2ª: homens juntos e mulheres juntas) produzirão sempre os mesmos
resultados! Caso já soubéssemos disso antes de começar a questão, nem precisaríamos
resolvê-la, haja vista que somente uma opção de resposta traz dois resultados iguais!
Marcaríamos prontamente a opção C.
Você pode (e deve!) tentar fazer esses mesmos dois exercícios (“homens e mulheres
alternados” e “homens juntos e mulheres juntas”) para seis pessoas (três rapazes e três
moças) e para dez pessoas (cinco rapazes e cinco moças), e comparar os resultados
encontrados!
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6
05.(Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas
amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O
número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo
que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
Sol.:
Aqui não tem mais segredo! A questão especifica que dois elementos têm que estar
sempre juntos! Daí, consideraremos como se fossem um só elemento!
Já aprendemos, pelos exemplos da aula anterior, que iremos resolver essa questão por
Permutação. E teremos:
P2=2!=2
P4=4!=24
Daí, multiplicando-se as permutações parciais, teremos:
Æ 2 x 24 = 48 Æ Resposta! (Letra E)
Esse dever de casa foi muito fácil, vocês não acharam? Realmente!
Daremos, agora, continuidade ao estudo da Análise Combinatória, passando a conhecer
alguns aspectos específicos do assunto, os quais, embora não sejam nada complicados,
merecem uma atenção especial da nossa parte.
Praticamente, o que nos falta conhecer são dois tópicos referentes à Permutação –
Permutação Circular e Permutação com Repetição – e um tipo específico de questão de
Combinação que já foi muito e muito explorado em provas recentes!
Comecemos com a Permutação Circular.
# Permutação Circular:
Comparemos os dois exemplos abaixo:
Exemplo 1) De quantas formas podemos colocar quatro pessoas – João, José, Pedro
e Paulo – em uma fila indiana?
Sol.:
Até já trabalhamos esse exemplo, mas vale aqui a reprise.
Fila indiana, vocês sabem, é aquela em que as pessoas ficam uma após a outra.
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7
O conjunto universo é formado pelas quatro pessoas. E o subgrupo também!
Para formar o subgrupo, poderemos usar elementos iguais? Obviamente que não, uma
vez que estamos trabalhando com pessoas. Daí, constatamos que a solução virá pelo caminho
do Arranjo ou da Combinação. Mas qual dos dois?
Æ Criando um resultado possível, teremos: {João, José, Pedro, Paulo}
Eis a nossa fila indiana!
Æ Agora, invertendo a ordem acima, teremos: {Paulo, Pedro, José, João}
São filas iguais? Não! Apesar de serem as mesmas pessoas, as filas são distintas! Logo,
o caminho de resolução é o Arranjo.
Arranjo de quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.
Æ P4=4!=4x3x2x1=24 Æ Resposta!
Exemplo 2) De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro
posições ao redor de uma mesa redonda?
Sol.:
Vamos desenvolver todo o raciocínio.
O conjunto universo é formado por quatro pessoas. E o subgrupo também!
Os elementos do subgrupo têm que ser distintos, uma vez que são pessoas!
Criemos um resultado possível:
João
Paulo
José
Pedro
Mudando a ordem dos elementos do resultado acima, teremos:
Pedro
José
Paulo
João
As mesas são iguais? Não! São diferentes!
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8
Daí, trabalharemos com Arranjo!
De quantos em quantos? De quatro em quatro. Ou seja, Permutação de 4.
Paremos um pouco!
Até aqui, tudo foi igual ao exemplo anterior!
A única diferença entre esses dois enunciados consiste no fato de que agora
pretendemos dispor os elementos do conjunto universo em um formato circular! No caso, uma
mesa redonda!
Apenas por esta disposição circular dos elementos, inserida em um enunciado que será
resolvido por Permutação, diremos que estamos diante de uma chamada Permutação
Circular!
Daí, concluímos, Permutação Circular é um caminho de resolução que será utilizado
quando estivermos em um problema que sai por Permutação, e em que os elementos do
subgrupo estarão dispostos em uma forma circular!
Além da mesa redonda, são outros formatos circulares, que podem estar presentes
numa questão de Permutação Circular, um colar de pérolas, uma roda de crianças etc.
É fácil identificar esse formato circular!
Pois bem! Quando estivermos diante de um enunciado de Permutação Circular,
saberemos que a fórmula tradicional da Permutação sofrerá uma pequena variação. Teremos:
P
CIRCULAR n
= (n-1)!
Só isso! Nada mais que isso!
Daí, voltando ao nosso exemplo, teremos:
Æ PCIRCULAR 4 = (4-1)!=3!=3X2X1=6
Entendido? Passemos a um novo conceito.
# Permutação com Repetição:
Passemos a mais dois exemplos:
Exemplo 1) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra SAPO?
Sol.:
Aprendemos na aula passada o que é um anagrama! E vimos também que (e aqui
podemos generalizar!) questões de anagrama se resolvem por permutação! Lembrados?
Daí, teremos: Æ P4=4!=4x3x2x1=24 Æ Resposta!
Exemplo 2) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra
PAPAI?
Sol.:
Nova questão de anagrama, e novamente trabalharemos com a Permutação!
Qual seria a diferença entre este segundo exemplo e o anterior? A diferença é que
agora formaremos anagramas, partindo de uma palavra (papai) em que algumas letras se
repetem! Vejamos: P A P A I.
Percebamos que a letra P se repete duas vezes, e o mesmo se dá com a letra A.
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9
A questão sai por Permutação, e disso já sabemos! Uma vez que alguns elementos do
conjunto universo são repetidos, diremos que a questão se resolve por Permutação com
Repetição!
Em suma, a Permutação com Repetição é um caminho de resolução que usaremos
quando a questão for de Permutação, e houver um ou mais de um elemento repetido no
conjunto universo!
2, 2
Neste nosso caso, designaremos assim: P5
(Permutação de 5 com repetição de 2, e
de 2). Por que repetição de 2 e de 2? Porque a primeira letra que se repete (P) aparece duas
vezes, e a segunda letra que se repete (A) aparece também duas vezes! Daí, teremos:
2, 2
Æ P5
=
5!
5 x 4 x3 x 2! 60
=
=
= 30 Æ Resposta!
2! x 2!
2! x 2 x1
2
Ou seja, a fórmula da Permutação com Repetição é a seguinte:
PXY , Z ,...,W =
X!
Y !.Z !.....W !
Onde: Æ X é o número de elementos do conjunto universo;
Æ Y, Z,..., W é o número de repetições de cada elemento que se repete!
Façamos mais um exemplo de Permutação com Repetição.
Exemplo) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra
PAPAGAIO?
Sol.:
A questão é de anagrama, logo se resolve por Permutação!
Daí, a pergunta: entre os elementos do conjunto universo, há algum que se repete?
Sim! Vejamos:
ÆPAPAGAIO
Ou seja, a letra P aparece duas vezes, e a letra A aparece três vezes!
Daí, teremos uma Permutação com Repetição! Teremos:
2,3
Æ P8
=
8!
8 x7 x6 x5 x 4 x3!
=
= 3.360 Æ Resposta!
2!.3!
3! x 2 x1
E apenas isso! Mais nada!
# Questão Especial de Combinação:
Na realidade, a questão de Combinação que veremos só foi aqui chamado de especial
porque já foi objeto de prova várias vezes. Só por isso! Na verdade, ela é muito fácil de ser
resolvida.
Aprendamos com um exemplo.
Exemplo 1) Dispondo de um conjunto formado por sete médicos e cinco enfermeiros,
queremos formar equipes compostas por três médicos e dois enfermeiros. Quantas
equipes podem ser formadas, nessas condições?
Sol.:
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10
Para identificarmos o caminho de resolução, vamos considerar apenas a existência dos
médicos. Ok? Daí, o conjunto universo seria de sete médicos, e o subgrupo que queremos
formar terá três médicos.
Os elementos do subgrupo podem ser iguais? Claro que não: são pessoas! Daí, Arranjo
ou Combinação!
Criemos um resultado possível: {João, José, Pedro}
Invertamos a ordem do resultado supra: {Pedro, José, João}
A equipe formada pelos médicos João, José e Pedro é diferente da equipe formada pelos
médicos Pedro, José e João? Claro que não! São a mesma equipe! Daí, concluímos: vamos
trabalhar com Combinação!
Pois bem! O que traz de novidade este enunciado?
A única novidade é que nosso conjunto universo é formado por duas categorias
distintas! Neste caso, médicos e enfermeiros! (Poderia ser: alunos e alunas, homens e
mulheres, operários e operárias, gerentes e diretores etc). E a questão estabelece que, na
hora de formar o subgrupo, participarão tantos elementos de uma categoria, e tantos da outra.
Entendido?
Como faremos agora? Simples: dividiremos a questão em duas! Cada categoria será
trabalhada em separado da outra. Ou seja, faremos duas operações de Combinação! Teremos:
Æ Conjunto Universo: { 7 médicos
,
5 enfermeiros }
Æ Subgrupo:
C 7 ,3 =
7!
7 x6 x5 x 4!
=
= 35
4!.3! 4!.3x 2 x1
Daí, multiplicaremos os resultados de
cada lado, e chegaremos à resposta!
C 5, 2 =
5!
5 x 4 x3!
=
= 10
3!.2! 3!.2 x1
35x10=350 Æ Resposta!
Entendido? Apenas isso! Reprisando: a questão sai por Combinação, e teremos o
conjunto universo formado por duas (ou mais!) categorias. A questão ainda dirá quantos
elementos de cada categoria estarão presentes no subgrupo. Daí, dividiremos a questão e
resolveremos o problema da combinação para cada categoria separadamente! Depois disso,
multiplicaremos os resultados parciais e chegaremos à resposta!
Mais um exemplo:
(AFTN 98 ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10
são mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar
com 3 homens e 2 mulheres é:
a) 5400
b) 165
c) 1650
d) 5830
e) 5600
Sol.:
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11
Para identificar o caminho de resolução, consideremos apenas a categoria das mulheres
(por exemplo). Daí, existem 10 mulheres no conjunto universo e queremos formar subgrupos
com duas delas. Como são pessoas, os elementos do subgrupo têm que ser distintos! Arranjo
ou Combinação! Qual?
Criando um resultado possível: {Maria e Marta}
Invertendo: {Marta e Maria}
A comissão formada por Maria e Marta é diferente da formada por Marta e Maria? Não!
São exatamente iguais! Logo, a questão sai por Combinação!
Pois bem! Sabendo que o caminho de resolução é a Combinação, observamos também
que o conjunto universo é, na verdade, composto por duas categorias: a dos homens e a das
mulheres. Daí, já sabemos: partiremos a questão em duas metades, e resolveremos a
combinação de cada categoria em separado. Teremos:
Æ Conjunto Universo: { 10 homens
,
10 mulheres }
Æ Subgrupo:
C10,3 =
10! 10 x9 x8 x7!
=
= 120
7!.3! 7!.3 x 2 x1
Daí, multiplicaremos os resultados de
cada lado, e chegaremos à resposta!
C10, 2 =
10! 10 x9 x8!
=
= 45
8!.2! 8!.2 x1
120x45=5400 Æ Resposta!
(AFC 2005 ESAF) Um grupo de dança folclórica formado por sete meninos e quatro
meninas foi convidado a realizar apresentações de dança no exterior. Contudo, o
grupo dispõe de recursos para custear as passagens de apenas seis dessas crianças.
Sabendo-se que nas apresentações do programa de danças devem participar pelo
menos duas meninas, o número de diferentes maneiras que as seis crianças podem
ser escolhidas é igual a:
a) 286
d) 371
b) 756
e) 752
c) 468
Sol.:
Esta questão é parecida com a anterior, e pelos mesmos motivos expostos
anteriormente, ela também se trata de uma questão de combinação!
Porém, esta questão torna-se diferente da anterior porque o número de meninas e
meninos pode variar dentro do grupo das seis crianças!
A questão pede pelo menos duas meninas no grupo de seis crianças, daí teremos
três formações possíveis quanto ao número de meninas e meninos dentro do grupo:
1. Duas meninas e quatro meninos.
2. Três meninas e três meninos.
3. Quatro meninas e dois meninos.
Dessa forma, para cada uma das formações acima teremos que calcular o número de
diferentes maneiras que as seis crianças podem ser escolhidas. Ao final desses cálculos,
somaremos os resultados parciais obtidos para acharmos a resposta da questão.
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12
1º) Número de maneiras com duas meninas e quatro meninos.
Temos 4 meninas para escolher 2, e temos 7 meninos para escolher 4.
C 4, 2 × C 7 , 4 =
4!
7!
×
= 6 × 35 = 210
2!.2! 3!.4!
2º) Número de maneiras com três meninas e três meninos.
Temos 4 meninas para escolher 3, e temos 7 meninos para escolher 3.
C 4,3 × C 7 ,3 =
4!
7!
= 4 × 35 = 140
×
1!.3! 4!.3!
3º) Número de maneiras com quatro meninas e dois meninos.
Temos 4 meninas para escolher 4, e temos 7 meninos para escolher 2.
C 4, 4 × C 7 , 2 =
4!
7!
= 1× 21 = 21
×
0!.4! 5!.2!
Total de maneiras = 210 + 140 + 21 = 371
Æ Resposta!
(Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Marcela e Mário fazem parte de uma turma de
quinze formandos, onde dez são rapazes e cinco são moças. A turma reúne-se para
formar uma comissão de formatura composta por seis formandos. O número de
diferentes comissões que podem ser formadas de modo que Marcela participe e que
Mário não participe é igual a:
a) 504
d) 90
b) 252
e) 84
c) 284
Sol.:
Sem dúvidas, trata-se de uma questão de combinação!
Dados fornecidos:
- Uma turma de quinze formandos (dez rapazes e cinco moças).
- A comissão é composta por seis formandos.
- Marcela participa da comissão e Mário não participa.
O Mário não participará, de maneira nenhuma, da comissão, então podemos fazer de
conta que ele não existe, e assim teremos somente catorze formandos (nove rapazes e cinco
moças)!
A Marcela tem lugar garantido na comissão de seis formandos, restando cinco lugares
a serem disputados entre os catorze formandos. Portanto, para descobrirmos o total de
diferentes comissões, basta fazer uma combinação de catorze formandos para cinco lugares:
C14,5 =
14! 14 × 13 × 12 × 11 × 10 × 9! 14 × 13 × 12 × 11 × 10
=
=
= 14 × 13 × 11 = 2002
9!.5!
9!. 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5 × 4 × 3 × 2 ×1
Æ Resposta!
Esta questão foi anulada porque nenhuma das alternativas continha a resposta correta!
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13
Compreendido, meus amigos? Ótimo!
Podemos dizer que já somos detentores do conhecimento suficiente e necessário para
resolver questões de prova de Análise Combinatória!
Na seqüência, as questões do nosso Dever de Casa de hoje! Ok?
Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus e até a próxima aula!
Dever de Casa
01.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentarse, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem
distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da
outra, é igual a
a) 2
d) 48
b) 4
e) 120
c) 24
02.(MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças podem
sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é
igual a:
a) 6
d) 36
b) 12
e) 48
c) 24
03.(IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de tinta: azul e
vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos, como na figura abaixo.
O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro deles
sejam vermelhos.
É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:
a) 6
b) 12
c) 22
d) 24
e) 36
04. (Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participam dez
meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem
ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas
meninas é dado por:
a) 5.400
b) 6.200
c) 6.800
d) 7.200
e) 7.800
05. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elas Pedro,
estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um
presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras
para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:
a) 120
b) 360
c) 60
d) 150
e) 300
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14
06.Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem
ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
a) 25
b) 35
c) 45
d) 55
e) 65
07.Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras
podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum membro seja
matemático?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C10,10
e) C20,20
08.Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas maneiras
podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os matemáticos
participem da comissão?
a) C20,10
b) C15,10
c) C20,15
d) C15,5
e) C20,20
09.(AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão
participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos
não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das
modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla
ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de
diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420
b) 480
c) 360
d) 240
e) 60
10.(MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expôlos em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são assinados e
datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem, desde que os
de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a
direita. O número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é
igual a
a) 20.
b) 30.
c) 24.
d) 120.
e) 360.
01
02
03
04
05
d
c
c
a
e
GABARITO
06 d
07 b
08 d
09 a
10 d
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AULA DOZE: PROBABILIDADE (Parte I)
Olá, amigos!
Hoje, daremos início a um novo assunto, o qual, assim como a Análise Combinatória,
tem sido também constantemente cobrado em provas de Raciocínio Lógico. Trata-se da
Probabilidade. Faremos esse estudo em duas aulas, conforme nossa programação original. E
antes que alguém se assuste, achando que se trata de algo muito difícil, convém saber que,
em provas de concurso, este tema recebe um enfoque muito peculiar, e que passará a ser
inteiramente de nosso conhecimento!
Antes de iniciarmos o novo estudo, resolvamos as questões pendentes do dever de casa
passado.
Dever de Casa
1. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam
sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas
quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que as duas moças
fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a
a) 2
d) 48
b) 4
e) 120
c) 24
Sol.:
Já resolvemos uma questão parecida com esta na aula anterior! Então, creio que todos
conseguiram chegar à resposta!
A questão especifica que duas moças têm que estar sempre juntas! Daí,
consideraremos como se fossem uma só moça! Com esta consideração, passamos a ter 4
pessoas na fila!
O número de maneiras possíveis que estas 4 pessoas podem distribuir-se nos assentos,
pode ser determinado pela fórmula da permutação.
M
M
R
R
R
P4=4!=24 maneiras possíveis
As duas moças podem trocar de posição, mantendo-se ainda juntas, e mais uma vez
usaremos a fórmula da permutação!
P2=2!=2 maneiras possíveis
M
M
Daí, multiplicando-se as permutações parciais obtidas acima, teremos:
Æ 24 x 2 = 48 maneiras possíveis
Æ Resposta: (Letra D)!
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1
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2. (MPOG 2000 ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2 moças
podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem
todas juntas é igual a:
a) 6
d) 36
b) 12
e) 48
c) 24
Sol.:
O que se pede nesta questão (por conta da palavra somente) é o número de maneiras
diferentes em que as 2 moças fiquem sempre juntas enquanto que os 3 rapazes não fiquem
todos juntos.
Assim, para que os três homens não fiquem todos juntos é necessário que as moças
fiquem juntas no meio da fila. Reparem que as moças não podem estar juntas nas pontas, pois
assim os três homens ficariam juntos! Há duas situações possíveis para o posicionamento das
moças:
1ª situação:
R
M
M
R
M
M
R
2 moças
2ª situação:
R
R
R
2 moças
Na primeira situação teremos os três rapazes permutando entre si, enquanto que o
mesmo se dá em relação às moças!
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2
Compondo nosso resultado, para esta primeira situação, teremos:
Æ 6x2= 12
Da mesma forma, na segunda situação teremos os três rapazes permutando entre
si, enquanto que o mesmo se dá em relação às moças!
Æ Permutação dos rapazes: P3 = 3! = 3x2x1 = 6
Æ Permutação das moças: P2 = 2! = 2x1 = 2
Compondo nosso resultado, para esta segunda situação, teremos:
Æ 6x2= 12
Finalmente, somando os resultados parciais teremos:
Æ 12+12= 24
Æ Resposta: (Letra C)!
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2
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3.
(IDR-1997) Em um teste psicológico, uma criança dispõe de duas cores de
tinta: azul e vermelho, e de um cartão contendo o desenho de 6 quadrinhos,
como na figura abaixo.
O teste consiste em pintar os quadrinhos de modo que, pelo menos quatro
deles sejam vermelhos.
É correto afirmar que o número de modos diferentes de pintura do cartão é de:
a) 6
d) 24
b) 12
e) 36
c) 22
Sol.:
Cada quadrinho do cartão será pintado, ou na cor vermelha, ou na cor azul! Para
ilustrarmos, veja abaixo o cartão com quatro quadrinhos na cor vermelha e dois quadrinhos na
cor azul:
O número de maneiras diferentes de pintura do cartão, com quatro quadrinhos na
cor vermelha, pode ser obtido permutando-se as cores azul e vermelha mostradas na figura
acima. Então, já descobrimos que a questão é de permutação! E uma vez que alguns
elementos são repetidos, diremos que a questão se resolve por Permutação com Repetição!
Além de calcularmos o número de maneiras diferentes de pintura do cartão com quatro
quadrinhos na cor vermelha, também devemos calcular com cinco quadrinhos na cor vermelha
e seis quadrinhos na cor vermelha, pois o enunciado pede: o número de maneiras diferentes
de pintura do cartão com pelo menos quatro quadrinhos vermelhos.
Passaremos aos cálculos para os três casos:
1º) Número de maneiras diferentes com quatro quadrinhos na cor vermelha:
4, 2
(Permutação de 6 com repetição de 4, e de 2),
Neste caso, designaremos assim: P6
porque o vermelho se repete 4 vezes e o azul 2 vezes! Daí, teremos:
⋅
⋅x
4, 2
Æ P6 ==
15
2º) Número de maneiras diferentes com cinco quadrinhos na cor vermelha:
5,1
Designaremos assim: P6 (Permutação de 6 com repetição de 5, e de 1), porque o
vermelho se repete 5 vezes e o azul 1 vez! Daí, teremos:
5,1
Æ P6 =
6! 6 ⋅ 5!
=
= 6
5!⋅1! 5!⋅1
3º) Número de maneiras diferentes com seis quadrinhos na cor vermelha:
É claro que só há 1 maneira para este caso!
O total de maneiras é obtido pela soma dos resultados obtidos nos três casos acima:
15 + 6 + 1 = 22 Æ Resposta: (Letra C)!
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3
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4
4. (Téc de controle interno Piauí 2002 ESAF) Em um grupo de dança participam
dez meninos e dez meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças,
que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três
meninos e duas meninas é dado por:
a) 5.400
d) 7.200
b) 6.200
e) 7.800
c) 6.800
Sol.:
A ordem dentro do grupo de cinco crianças escolhidas é irrelevante! Daí, trata-se de
uma questão de combinação!
Para compor o grupo de cinco crianças, selecionaremos três meninos entre os dez
existentes e duas meninas entre as dez existentes! Para este cenário, o número total de
diferentes maneiras pode ser obtido por:
C10,3 × C10, 2 =
10! 10!
×
= 120 × 45 = 5400 Æ Resposta: (Letra A)!
7!.3! 2!.8!
5.
(Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Seis pessoas, entre elas
Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é
formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um
tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José
não é o presidente, será:
a) 120
d) 150
b) 360
e) 300
c) 60
Sol.:
Trata-se de uma questão de análise combinatória em que a ordem dos elementos é
importante, e assim podemos utilizar o Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) para
resolver esta questão.
Nas questões de P.F.C. devemos sempre iniciar a análise das possibilidades por onde se
tem uma restrição. A restrição fornecida no enunciado é a de que Pedro não pode ser
presidente. Então, iniciaremos a análise das possibilidades pelo cargo de presidente.
Temos ao todo 6 pessoas, como Pedro não pode ocupar a posição de presidente, então
há 5 pessoas que podem ser presidente. Para a posição de vice, há 5 possibilidades, já que
uma das seis pessoas já ocupou o cargo de presidente. Para a posição de secretário, há 4
possibilidades, já que das seis pessoas, uma é presidente e a outra é vice. Resta para a
posição de tesoureiro 3 possibilidades. Veja o desenho abaixo, que mostra os cargos e as
possibilidades de ocupação de cada um deles.
_____5p___
presidente
______5p______
vice-presidente
___4p____
secretário
___3p_____
tesoureiro
Daí, o total de maneiras para compor a diretoria é:
5 x 5 x 4 x 3 = 300 Æ Resposta: (Letra E)!
6. Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas
podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
a) 25
d) 55
b) 35
e) 65
c) 45
Sol.: Faremos duas soluções, a fim de que vocês entendam bem o procedimento de
resolução desse estilo de questão.
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1ª Solução:
Æ Número de comissões contendo 1 diretor: C3,1 x C5,4 = 3 x 5 = 15
Combinação de 3 diretores
para 1 vaga na comissão.
Combinação de 5 gerentes para o restante
das vagas (4) na comissão.
Æ Número de comissões contendo 2 diretores: C3,2 x C5,3 = 3 x 10 = 30
Combinação de 3 diretores
para 2 vagas na comissão.
Combinação de 5 gerentes para o
restante das vagas (3) na comissão.
Æ Número de comissões contendo 3 diretores: C3,3 x C5,2 = 1 x 10 = 10
Combinação de 3 diretores
para 3 vagas na comissão.
Combinação de 5 gerentes para o
restante das vagas (2) na comissão.
Logo, a resposta é: 15 + 30 + 10 = 55 Æ Resposta: (Letra D)!
2ª Solução:
O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar com estas 8 pessoas (3
diretores e 5 gerentes) é dado por:
C8,5 = 56
O total de comissões de 5 pessoas que podemos formar de maneira que não
contenham diretores, mas somente os 5 gerentes, é dado por:
C5,5 = 1
Logo, o total de comissões de 5 pessoas que podemos formar contendo no mínimo um
diretor é dado pela subtração dos dois resultados parciais obtidos acima:
56 – 1 = 55 Æ Resposta: (Letra D)!
7. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas
maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que nenhum
membro seja matemático?
d) C10,10
a) C20,10
b) C15,10
e) C20,20
c) C20,15
Sol.:
Novamente, temos uma questão de combinação!
A comissão é formada por 10 pessoas! Quem pode participar da composição
dessa comissão? Segundo o enunciado, das 20 pessoas que formam o grupo, somente os
não matemáticos poderão participar da comissão. Como há cinco matemáticos no grupo
dos 20, isto significa que há um total de 15 (=20–5) não matemáticos.
O número de comissões diferentes com 10 pessoas que podem ser formadas a
partir de 15 não matemáticos é: C15,10 . Æ Resposta: (Letra B)!
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8. Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas
maneiras podemos formar comissões de 10 pessoas, de modo que todos os
matemáticos participem da comissão?
d) C15,5
a) C20,10
b) C15,10
e) C20,20
c) C20,15
Sol.:
Na questão anterior os matemáticos não podiam participar da comissão, já nesta
questão todos os matemáticos devem fazer parte da comissão!
E temos os seguintes dados fornecidos:
- Grupo consta de 20 pessoas, dos quais 5 são matemáticos.
- A comissão é de 10 pessoas.
Ora, se os matemáticos devem fazer parte da comissão, então cinco lugares da
comissão vão ficar reservados para os cinco matemáticos, restando cinco vagas ainda a serem
preenchidas. Estas vagas serão disputadas pelos não matemáticos, que são um total de 15.
Assim, para obtermos o número de comissões diferentes que podem ser formadas,
faremos uma combinação de 15 pessoas para 5 lugares, ou seja: C15,5. Resposta: (Letra D)!
9. (AFRE MG 2005 ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise,
vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que
as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por
exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá
ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser
a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas
é igual a:
a) 420
d) 240
b) 480
e) 60
c) 360
Sol.:
Temos os seguintes dados fornecidos pelo enunciado:
1°) Há sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise.
2°) Serão formadas filas com exatamente quatro modelos.
3°) A última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise.
4°) Denise não poderá ser a primeira da fila.
Como se trata de formar uma fila de pessoas, onde teremos que ordenar as posições
(1ª da fila, 2ª da fila, ...), então a ordem é relevante, e, assim, não resta dúvidas que
podemos utilizar o princípio fundamental da contagem.
Primeiramente, desenharemos as quatro posições da fila:
1ª da fila
2ª da fila
3ª da fila
4ª da fila
A última posição da fila só pode ser ocupada por quatro das sete modelos, as quais são:
Ana, Beatriz, Carla ou Denise. Agora, calcularemos o número de diferentes filas que podem
ser formadas tendo cada uma dessas modelos na última posição da fila.
1. Número de diferentes filas com Ana sendo a última da fila:
Ana
1ª da fila
2ª da fila
3ª da fila
4ª da fila
Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três
primeiras posições:
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a) A 1ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e
nem por Denise (devido a restrição feita no enunciado), assim há cinco modelos que
podem ocupar a 1ª posição.
b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e
nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª
posição.
c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e
nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que
podem ocupar a 3ª posição.
O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja:
5 x 5 x 4 = 100 filas diferentes.
2. Número de diferentes filas com Beatriz sendo a última da fila:
Beatriz
1ª da fila
2ª da fila
3ª da fila
4ª da fila
O procedimento é idêntico ao anterior, só muda o nome de Ana para Beatriz. Por isso, o
resultado será o mesmo: 100 filas diferentes.
3. Número de diferentes filas com Carla sendo a última da fila:
Carla
1ª da fila
2ª da fila
3ª da fila
4ª da fila
O procedimento também é idêntico ao primeiro caso, só muda o nome de Ana para
Carla. Por isso, o resultado será o mesmo: 100 filas diferentes.
4. Número de diferentes filas com Denise sendo a última da fila:
Denise
1ª da fila
2ª da fila
3ª da fila
4ª da fila
Esse caso é um pouco diferente dos outros, conforme mostraremos abaixo.
Vamos calcular o número de possibilidades de ocupação para cada uma das três
primeiras posições:
a) A 1ª posição da fila só não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição
e também pela restrição feita no enunciado), assim há seis modelos que podem ocupar a
1ª posição.
b) A 2ª posição da fila não pode ser ocupada por Denise (pois ela está na última posição) e
nem pela modelo que já ocupou a 1ª posição, daí há cinco modelos que podem ocupar a 2ª
posição.
c) A 3ª posição da fila não pode ser ocupada por Ana (pois ela está na última posição) e
nem pelas modelos que já ocuparam a 2ª e a 3ª posições, daí há quatro modelos que
podem ocupar a 3ª posição.
O número de diferentes filas é obtido pela multiplicação dos resultados parciais, ou seja:
6 x 5 x 4 = 120 filas diferentes.
A resposta da questão é dada pela soma dos resultados obtidos para cada um dos
quatro casos acima: 100 + 100 + 100 + 120 = 420 Æ Resposta: (Letra A)!
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10.(MPU 2004 ESAF) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e
quer expô-los em uma mesma parede, lado a lado. Todos os seis quadros são
assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer
ordem, desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem
cronológica, da esquerda para a direita. O número de diferentes maneiras que
os seis quadros podem ser expostos é igual a
a) 20.
d) 120.
b) 30.
e) 360.
c) 24.
Sol.:
A questão envolve os seguintes quadros: 3 quadros de Gotuzo e 4 de Portinari.
Solicita-se o número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos,
desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da
esquerda para a direita.
Os quadros de Gotuzo são três, que designaremos por: G1, G2 e G3.
Os quadros de Portinari são três, que designaremos por: P1, P2 e P3.
O número de diferentes maneiras na qual os 6 quadros podem ser expostos, em
qualquer ordem, é:
Permutação de 6 = 6! = 720
Dentro dessas 720 maneiras em que os seis quadros aparecem, os 3 quadros de
Gotuzo se apresentam em seis (= permutação de 3) diferentes ordens, que são ilustradas
abaixo.
1ª sequência:
G1
G2
G3
2ª sequência:
G1
G3
G2
3ª sequência:
G2
G1
G3
4ª sequência:
G2
G3
G1
5ª sequência:
G3
G1
G2
6ª sequência:
G3
G2
G1
Na ilustração acima, os quadros de Gotuzo não estão necessariamente um ao lado do outro!
Qualquer que seja a exposição dos seis quadros, uma das seqüências acima dos
quadros de Gotuzo estará presente. Pergunto: qual é das sequências dos quadros de Gotuzo
que mais se repetirá entre as 720 maneiras de se expor os seis quadros? É claro que todas as
sequências dos quadros de Gotuzo se repetirão a mesma quantidade de vezes. Daí, como
temos um total de 720 maneiras diferentes em que os seis quadros podem ser apresentados e
6 possíveis seqüências para os quadros de Gotuzo, então cada uma dessas seqüências
aparecerá:
720 / 6 = 120 vezes
A sequência (G1, G2, G3) representa os quadros de Gotuzo em ordem cronológica, e
como já sabemos, ela se repetirá 120 vezes. Æ Resposta: (Letra D)!
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Agora, sim, passemos a falar em Probabilidade!
Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há
sete tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave
para acertarmos qualquer questão de prova. Senão, vejamos!
Esses referidos tópicos são os seguintes:
Æ Conceito de probabilidade;
Æ Árvore de probabilidades;
Æ Situações excludentes;
Æ “Caminho de probabilidades”
Æ Eventos independentes;
Æ Probabilidade da união de dois eventos; e
Æ Probabilidade condicional.
Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios
diversos.
# Conceito de Probabilidade:
Exemplo 01) Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a
probabilidade que ela seja vermelha?
Sol.:
O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata-se de uma divisão!
Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível.
Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? No máximo, a questão
trocará a palavra probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum de
ocorrer)!
Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado
evento! Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte:
Probabilidade =
n° de resultados favoráveis
n° de resultados possíveis
Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento em análise neste exemplo?
Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas
uma delas, quantos serão os resultados possíveis para essa retirada? Dez, é claro! Já temos
o nosso denominador!
Passemos ao numerador, os resultados favoráveis. A pergunta é: favoráveis a quem?
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então
quantos serão os resultados que satisfarão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Só
há quatro bolas azuis na urna!).
De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos:
Æ P = 4 / 10 = 0,40 = 40% Æ Resposta!
De antemão, convém sabermos que a Probabilidade tem valor máximo de 100%. Neste
caso (P=100%), estaremos diante do chamado evento certo!
Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento
de um dado? Ora, trata-se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A
probabilidade será, portanto, de 100%.
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A idéia oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidade
de ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria
sem jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta!
Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as
probabilidades!).
Este é, pois, o conceito de probabilidade!
Façamos outro exemplo:
Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um
número par?
Sol.:
Retomemos o nosso conceito:
Probabilidade =
n° de resultados favoráveis
n° de resultados possíveis
O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!
Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá – irrefutavelmente –
dez resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!)
Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola
retirada tenha um número par. Quantos são os resultados que atendem, que satisfazem, essa
exigência? Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10).
Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos:
Æ P=(5/10)=0,50=50% Æ Resposta!
# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes:
Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte:
Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5
anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5.
Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar
vivo daqui a 5 anos é de:
Sol.:
Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo
daqui a 5 anos é 3/5”.
Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabilidade de ocorrência de um
evento, já tentando vislumbrar se existe uma situação excludente para aquele evento. Como
é isso? Ora, o evento que estamos tratando é o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situação
excludente para o gato estar vivo é justamente o gato estar morto!
Claro! Por que razão chamamos situações excludentes? Porque uma exclui a outra!
Ou seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice-versa: se estiver morto é
porque não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade!
O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das
probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 100%.
Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a
probabilidade de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado
desta soma!
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Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que
representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois somando
(2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%.
Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa
árvore de probabilidades! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar
melhor a questão. Daí, até aqui, teremos que:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que a probabilidade de um cão estar vivo
daqui a 5 anos é 4/5. Facilmente conseguimos imaginar a situação excludente para o cão
estar vivo. Qual será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades
(cão vivo e cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a
notação unitária)!
Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco anos? É a fração
que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5.
Com isso, já dá para completarmos a árvore de probabilidades dessa questão.
Teremos:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
VIVO (4/5)
CÃO
MORTO (1/5)
Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma árvore de probabilidades, e a
saber o que são situações excludentes, e que a soma das probabilidades dessas situações
excludentes será sempre 100% (ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)!
Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os eventos
independentes...”
Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo,
gato morto, cão vivo, cão morto) são eventos independentes!
O que temos que saber acerca de eventos independentes? Apenas que se quisermos
calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremos
que multiplicar as probabilidades de cada um deles.
Ou seja, se temos que:
P(cão vivo)=4/5
e
P(gato vivo)=3/5
E quisermos saber a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato
estar vivo, faremos:
P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25
Então é isso que precisamos saber sobre eventos independentes!
Agora retornemos ao enunciado: a probabilidade de somente o cão estar vivo
daqui a 5 anos é de?
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A palavra chave dessa pergunta é a palavra somente! Ora, a questão falava de duas
figuras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui
a 5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cão
estar vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?”
Ora, se quero somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto!
Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades:
VIVO (3/5)
GATO
MORTO (2/5)
VIVO (4/5)
CÃO
MORTO (1/5)
Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí,
se procuramos a probabilidade de ocorrência simultânea desses dois eventos, faremos:
Æ P(cão vivo & gato morto)= P(cão vivo)xP(gato morto) = (4/5)x(2/5) =8/25
(Resposta!)
Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão
seguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do MPOG/2003. Foi a
seguinte:
EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para
participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para
participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar
do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da
escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do
torneio é igual a:
a) 4/5
b) 10/25
c) 12/25
d) 3/5
e) 4/5
Sol.:
Procuremos, na primeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma
situação excludente. Tem? Sim: Paulo ser escolhido! Qual seria a situação excludente? Ora,
seria Paulo não ser escolhido, obviamente! O mesmo se dá para o evento Roberto ser
escolhido, cuja situação excludente seria Roberto não ser escolhido.
Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de situações excludentes é
sempre igual a 100%. Daí, nossa árvore de probabilidades para esse exemplo será a seguinte:
PARTICIPAR (3/5)
PAULO
NÃO PARTICIPAR (2/5)
PARTICIPAR (1/5)
ROBERTO
NÃO PARTICIPAR (4/5)
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A questão também informa que estamos diante de eventos independentes! Ou seja,
caso queiramos descobrir a probabilidade simultânea de mais de um deles, teremos que fazer
o produto das respectivas probabilidades!
Por fim, a questão pergunta qual é a probabilidade de somente o Paulo participar do
torneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da seguinte forma:
Qual a probabilidade de o Paulo participar &, ao mesmo tempo, de o Roberto não participar do
torneio? Entendido? Teremos:
PARTICIPAR (3/5)
PAULO
NÃO PARTICIPAR (2/5)
PARTICIPAR (1/5)
ROBERTO
NÃO PARTICIPAR (4/5)
Æ P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 12/25 Æ Resposta!
# Caminho de Probabilidades:
Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte:
EXEMPLO 05) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao
acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz
vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
Sol.:
Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o
enunciado disse que o juiz irá tirar qualquer um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada é
feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a
mesma e igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)!
Daí, já podemos começar a desenhar nossa árvore de probabilidades! Teremos:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
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Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: qual a probabilidade
de, ao retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela
fique voltada para o jogador?
Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é
óbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o de duas cores! De outra forma, seria
impossível. Concordam?
Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas
situações, as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Face Vermelha p/ o juiz e
Face Amarela p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Face Amarela p/ o juiz e
Face Vermelha p/ o jogador
Observemos que essas duas novas situações são também situações excludentes! Claro!
Se ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice-versa! Como são apenas duas
situações excludentes, as probabilidades de cada uma ocorrer é 1/2.
Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e (1/2)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e (1/2)
Vermelho p/ o jogador
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Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito!
Estamos falando do caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminho
em que há duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um
caminho em que há mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro.
Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos de
probabilidade. Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e
(1/2)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e
(1/2)
Vermelho p/ o jogador
Está em azul nosso caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento se
sucede ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a face
vermelha ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador!
O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade é que quando
estivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual de um evento ou
do outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho!
E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado de um caminho de
probabilidades, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais de cada
evento que compõe aquele caminho.
Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos
(1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte:
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3)
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3)
Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒ (1/6)
Amarelo p/ o jogador
Cartão (amar.-verm.) (1/3)
Amarelo p/ o juiz e (1/2)
Vermelho p/ o jogador
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Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste caminho de
probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho.
Ou seja, (1/6) é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha
e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questão
está perguntando!
Daí, nossa resposta, encontrada
probabilidades, é igual a (1/6).
apenas
pelo
resultado
de
um caminho
de
Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes
conhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar uma árvore de
probabilidades; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a sua
probabilidade resultante!
Passemos a mais um exemplo!
EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes,
de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A
probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for
de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%.
Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é
de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do
congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é:
Sol.:
Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que
façamos o desenho da árvore de probabilidades, observando atentamente as situações
excludentes que nos são apresentadas!
Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar
de dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar são
mutuamente excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações
excludentes!
Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião.
Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades!
Teremos:
Navio (40%)
Avião (60%)
Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de
avião são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é
de 40%, então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é
de 60%. Já seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de
situações excludentes é sempre 100%. Não é verdade?
Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais
duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião,
ele poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado!
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E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente,
ele pode também chegar em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar
em tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo.
Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo – são
situações excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar
atrasado nos dois casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos
como completar a nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma:
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima!
Quantos caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades?
Temos quatro caminhos:
1º) viajar de navio & chegar atrasado;
2º) viajar de navio & chegar em tempo;
3º) viajar de avião & chegar atrasado;
4º) viajar de avião & chegar em tempo.
Já sabemos que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidades
individuais já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidades
resultantes de cada caminho! Sabemos também que, para chegar a essas probabilidades
resultantes, teremos que multiplicar as probabilidades individuais de cada caminho! Não é
isso mesmo? É isso mesmo!
Daí, analisemos esta árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas
seguintes perguntas:
a) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?
O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum
caminho de probabilidade? Claro! É logo do primeiro caminho! Vejamos:
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Daí, multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
Æ (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% Æ Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio & atrasado)=0,034
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b) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?
Novamente a pergunta feita acima nos remete a um dos caminhos de probabilidade.
Qual deles? O terceiro. Vejamos:
Atrasado (8,5%)
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%)
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Multiplicando-se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
Æ (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% Æ Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião & atrasado)=0,006
c) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de
transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado chegar
atrasado. E são justamente os seguintes:
Atrasado (8,5%) ⇒ 3,4%
Navio (40%)
Em tempo (91,5%)
Atrasado (1%) ⇒ 0,6%
Avião (60%)
Em tempo (99%)
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos
portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:
Æ 3,4% + 0,6% = 4% Æ Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(chegar atrasado)=0,04
d) Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo?
Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio a
não se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão,
vejamos: no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado
(independente do transporte utilizado) foi de 4%.
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Ora, será que chegar atrasado e chegar em tempo não são situações excludentes? Claro
que sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações
(chegar atrasado e chegar em tempo), teremos que chegar a 100%. Daí, faremos:
Æ P(atrasado) + P(em tempo) = 100%
Æ 4% + P(em tempo) = 100%
Æ P(em tempo)=100% - 4%
Æ P(em tempo) = 96% Æ Resposta!
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96
Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão de
probabilidade pode morrer tão somente pela análise desses tais caminhos de probabilidade,
oriundos da árvore de probabilidades! Ou não!
Por que “ou não”? Porque pode haver mais! E o que pode haver a mais? Pode haver a
mais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários e
suficientes para que nós desenhemos a árvore de probabilidades, ela trazer (assim como
quem não quer nada!) mais uma informação.
Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdade
essencial para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional não
virá nos falando de uma probabilidade! Não! Ela virá falando de um FATO!
Ou seja, uma informação que é um fato dado; algo que passa a ser do nosso
conhecimento!
Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê-lo
novamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pela
questão esta tal de informação adicional; este fato dado, que passa a ser do seu
conhecimento. Ok? Aí segue o enunciado:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir
de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falou
nada de probabilidade? E que só nos informou um fato dado?
NÃO?????? Não é possível...! Tente novamente:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir
de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez...
Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os
elementos necessários para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os
caminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelar
ainda um fato, estaremos diante de uma questão da chamada probabilidade condicional.
E o que é isso? É muito fácil. Probabilidade condicional será a probabilidade de
ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”.
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Esse evento “B” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação
adicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado; algo que
passa a ser do nosso conhecimento.
Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo
solicitado por esta questão.
Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado em três pedaços, representados
abaixo em cores diferentes:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir
de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
1º) O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para
desenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade.
2º) A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o fato
dado! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma
probabilidade: é um fato!
3º) A terceira e última parte do enunciado (destacada em verde) é a pergunta!
Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer
de nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! Qual a
probabilidade de Genésio ter ido de avião?
Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi
fornecido pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele fato dado? Foi? Sim!
E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado!
Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte:
“Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado?”
Essa é a pergunta completa!
Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque está
submetida a uma condição! Qual condição? A de que exista um fato que nós estamos certos
que ocorreu!
Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no modelo da probabilidade
condicional:
“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos
que ocorreu um evento “B”?
Observemos que o que virá após o dado que será sempre o fato fornecido pelo
enunciado!
Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao
seguinte: P(A dado B)=?
Esta é a pergunta da probabilidade condicional. Para respondê-la, teremos que
aplicar a seguinte fórmula:
P ( A dado B) =
P( A e B)
P( B)
Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos:
Æ P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)
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Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente a
resposta da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que:
P(avião & atrasado)=0,006.
Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, à
resposta da “pergunta c” , vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04.
Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional,
chegaremos ao seguinte:
Æ P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso)
Æ P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% Æ Resposta!
Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente!
Exemplo 07) (Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros
que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e
20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em
5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos
pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade
de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?
Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela
divisão em partes! Será que é possível. Vejamos:
“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita
de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a
sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João
salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das
vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la,
verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita
por José é igual a?”
A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades,
observando as situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos de
probabilidade.
A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato.
Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!
A terceira parte é a pergunta da questão!
Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore de
probabilidades:
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sopa salgada (10%)
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%)
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%)
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Agora temos que formular a pergunta completa da questão!
O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual a
probabilidade de João ter feito a sopa?
Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato?
Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopa ficou salgada é um fato
dado pela questão. É algo do qual agora temos conhecimento.
Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte:
“Qual a probabilidade de João ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada?”
Estamos diante de uma probabilidade condicional.
Na linguagem da probabilidade, teremos: P(João dado salgada)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
Æ P(João dado salgada)= P(João & salgada) / P(salgada)
O numerador P(João & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminho
de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:
sopa salgada (10%) ⇒ 0,04
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%)
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%)
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar as probabilidades
resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
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sopa salgada (10%) ⇒ 0,04
JOÃO (40%)
sopa normal (90%)
sopa salgada (5%) ⇒ 0,02
JOSÉ (40%)
sopa normal (95%)
sopa salgada (20%) ⇒ 0,04
MARIA (20%)
sopa normal (80%)
Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:
Æ P(João dado salgada)= 0,04 / 0,10 = 0,40 = 40% Æ Resposta!
Por hoje, já temos teoria bastante!
Na seqüência, apresentamos as questões do nosso Dever de Casa de hoje, todo
composto por questões extraídas de provas recentes! Algumas bem interessantes! Vale a pena
vocês tentarem resolvê-las! (Lembrem-se: o mais importante de tudo é tentar!)
Na aula seguinte, prosseguiremos este nosso estudo das Probabilidades, acrescendo
alguns outros conceitos não vistos aqui nesta presente aula, e resolvendo outra bateria de
exercícios!
Seguem as questões!
Um forte abraço a todos e fiquem com Deus!
DEVER DE CASA
01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as
informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar
hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que
a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então
recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a
informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que
a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7
d) 5/7
b) 1/3
e) 4/7
c) 2/3
02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer
uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de
compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o
vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:
a) 0,624
d) 0,568
b) 0,064
e) 0,784
c) 0,216
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03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada
questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe
resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca
aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então,
a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma
questão escolhida ao acaso) é igual a:
a) 0,62
d) 0,80
b) 0,60
e) 0,56
c) 0,68
04. (MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela
pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para
verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar
ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um
posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar
a pressão nos pneus é igual a:
a) 0,25
d) 0,15
b) 0,35
e) 0,65
c) 0,45
05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma
moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um
número X do intervalo {X ∈ Ν  1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se
aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν  1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o
conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é
igual a:
a) 7/18
d) 1/27
b) 1/2
e) 2/9
c) 3/7
06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade
costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência,
verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso
de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por
outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado
o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com
sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram
o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente
admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de
produção é
a) 11,70%
b) 27,40%
c) 35%
d) 83%
e) 85%
07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir
para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de
60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar
atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de
17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou
atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:
a) 10%
b) 30%
c) 40%
d) 70%
e) 82,5%
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08. (SERPRO 96) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes:
dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos.
Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são
portadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos
são curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes e
os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual a
probabilidade de ele sofresse de calculo renal?
a) 43,1%
b) 42,1%
c) 45,1%
d) 44,1%
e) 46,1%
GABARITO:
1. b
2. e
3. c
4. e
5. a
6. b
7. b
8. b
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AULA TREZE: Probabilidade (Parte II)
Olá, amigos!
Continuaremos (e concluiremos) hoje nosso estudo sobre Probabilidade. Estamos
ingressando na segunda metade do nosso Curso! Convém tentarmos manter os estudos em
dia, resolvendo sempre o dever de casa, anotando as dúvidas, fazendo resumos etc.
Passemos agora à resolução do dever de casa passado.
DEVER DE CASA
01. (MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as
informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar
hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que
a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então
recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a
informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que
a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:
a) 1/7
b) 1/3
c) 2/3
d) 5/7
e) 4/7
Sol.: Conforme procedemos na aula 12, tentaremos estabelecer uma divisão em partes do
enunciado dessa questão! Vejamos:
“Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que
dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é
3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade
de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um
telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação
recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a
probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a?”
A primeira parte (em azul) informa algumas probabilidades, que repetimos abaixo:
P (Ana em Paris) = 3/7
P (Beatriz em Paris) = 2/7
P (Ana em Paris e Beatriz em Paris) = 1/7
A segunda parte (em vermelho) é uma informação adicional que nos revela um fato.
Algo que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato dado!
A terceira parte (em verde) é a pergunta da questão! Juntando essa pergunta ao fato
dado, teremos a seguinte pergunta completa que a questão tem interesse:
“Qual a probabilidade de
Beatriz estar hoje em Paris, dado que Ana estar hoje em Paris?”
Estamos diante de uma probabilidade condicional!
Na linguagem da probabilidade, teremos: P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
Æ P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = P(Beatriz em Paris e Ana em Paris)
P(Ana em Paris)
Nós já dispomos das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador da
fórmula acima, daí, é só nós substituirmos os valores e efetuarmos a divisão:
Æ P(Beatriz em Paris dado Ana em Paris) = 1/7 =
3/7
1_ Æ Resposta!
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02. (MPU/2004) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer
uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de
compra dos clientes são eventos independentes, então a probabilidade de que o
vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas é igual a:
a) 0,624
d) 0,568
b) 0,064
e) 0,784
c) 0,216
Sol.: O enunciado fornece os seguintes dados:
Æ Probabilidade de um vendedor fazer uma venda em uma visita a um cliente potencial é 0,4,
que representaremos por: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4
Æ As decisões de compra dos clientes são eventos independentes. Isso significa que a decisão
de compra de um determinado cliente não é influenciada pela decisão de compra de outro
cliente. E em termos de probabilidade, a independência significa que:
P(vender para A e vender para B) = P(vender para A) x P(vender para B)
e também:
P(ñ vender para A e ñ vender para B) = P(ñ vender para A) x P(ñ vender para B)
A questão solicita a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo uma venda
em três visitas. A melhor maneira de obtermos o resultado dessa probabilidade é calculando
a probabilidade do evento excludente (é a negação do evento dado).
Temos o evento: o vendedor faça no mínimo uma venda em três visitas.
O evento excludente é: o vendedor não faça nenhuma venda em três visitas.
A soma das probabilidades desses dois eventos é igual a 1, ou seja:
P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1
Daí, se encontrarmos a probabilidade do evento excludente, basta subtrairmos de 1
para obtermos a resposta da questão.
Passemos ao cálculo da probabilidade: P(nenhuma venda) !
Considere que os três clientes sejam: A, B e C. Dessa forma, a probabilidade acima
pode ser definida assim:
P(não vender para A e não vender para B e não vender para C)
Como foi dito na questão que as decisões de compra dos clientes são independentes,
então essa probabilidade pode ser transformada no produto de três probabilidades:
P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C)
Foi dado no enunciado que: P(fazer uma venda a um cliente) = 0,4.
Logo, P(não fazer uma venda a um cliente) = 1 – 0,4 = 0,6
Daí, P(não vender para A) x P(não vender para B) x P(não vender para C) será
igual a:
0,6 x 0,6 x 0,6 = 0,216
Substituindo este resultado na equação:
P(no mínimo uma venda) + P(nenhuma venda) = 1 ,
teremos:
P(no mínimo uma venda) + 0,216 = 1
E, assim:
P(no mínimo uma venda) = 0,784 Æ Resposta!
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03. (MPU/2004) André está realizando um teste de múltipla escolha, em que cada
questão apresenta 5 alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe
resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca
aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então,
a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma
questão escolhida ao acaso) é igual a:
a) 0,62
d) 0,80
b) 0,60
e) 0,56
c) 0,68
Sol.:
O André ao tentar resolver uma questão do teste, ele pode saber resolver a questão ou
não! Se ele sabe, é claro que acertará a questão, e se ele não sabe, ainda poderá acertar a
questão chutando uma das cinco alternativas, com probabilidade de acerto de (1/5). Veja que
essa questão apresenta ramificações, caminhos, que darão um resultado final. Logo, podemos
utilizar a árvore de probabilidades para traçar os possíveis caminhos e nos ajudar a obter a
alternativa correta.
Nossa árvore de probabilidades:
sabe resolver (60%)
questão
qualquer
do teste
acerta (100%)
acerta (1/5)
não sabe resolver (40%)
erra (4/5)
Qual é a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste?
Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado acertar uma questão. E são
justamente os seguintes:
sabe resolver (60%)
questão
qualquer
do teste
acerta (100%) ⇒ 0,6 x 1 = 0,6
acerta (1/5)
não sabe resolver (40%)
⇒ 0,4 x 1/5 = 0,08
erra (4/5)
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos
portanto que somar essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:
Æ
0,6 + 0,08 = 0,68 Æ Resposta!
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04. (MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela
pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para
verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar
ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto
de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a
pressão nos pneus é igual a:
a) 0,25
d) 0,15
b) 0,35
e) 0,65
c) 0,45
Sol.: Vamos anotar as probabilidades fornecidas no enunciado:
P(ver o óleo) = 0,28
P(ver os pneus) = 0,11
P(ver o óleo e ver os pneus) = 0,04
E a questão solicita a seguinte probabilidade:
P(não ver o óleo e não ver os pneus)
Se a questão afirmasse que os eventos ver o óleo e ver os pneus são independentes,
então podíamos separar a probabilidade acima em um produto de duas probabilidades, mas
não é o caso dessa questão!
Será que essa questão se resolve por evento excludente, como fizemos na segunda
questão? Vamos tentar? Vamos lá!
Temos o evento: não ver o óleo e não ver os pneus.
O evento excludente será a negação do evento acima. Para fazermos a negação desse
evento, devemos lembrar da negação do conectivo “e” (1ª aula):
Æ a negação de (A e B) é igual a (não A ou não B)
Æ a negação de (não A e não B) é igual a (A ou B)
Daí, o evento excludente será: ver o óleo ou ver os pneus.
A soma das probabilidades do evento dado e do evento excludente, como já sabemos,
é igual a 1.
Passemos a calcular a probabilidade do evento excludente:
P(ver o óleo ou ver os pneus)
Vamos aplicar a regra de probabilidade do “ou” :
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B)
Assim, teremos:
P(ver o óleo ou pneus) = P(ver o óleo) + P(ver os pneus) – P(ver o óleo e pneus)
Substituindo os dados fornecidos na questão, obteremos:
P(ver o óleo ou pneus) = 0,28 + 0,11 – 0,04
Daí, P(ver o óleo ou pneus) = 0,35
Mas a questão ainda não terminou, pois o que se deseja é a probabilidade:
P(não ver o óleo e não ver os pneus)
E sabemos que:
P(não ver o óleo e não ver os pneus) = 1 - P(ver o óleo ou pneus)
Daí, P(não ver o óleo e não ver os pneus) = 1 – 0,35 = 0,65 Æ Resposta!
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05. (MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma
moeda viciada é igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um
número X do intervalo {X ∈ Ν ⏐ 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se
aleatoriamente um número Y do intervalo {Y ∈ Ν ⏐ 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o
conjunto dos números naturais. Assim, a probabilidade de ocorrer um número par é
igual a:
a) 7/18
d) 1/27
b) 1/2
e) 2/9
c) 3/7
Sol.:
Primeiramente vamos encontrar os valores que X e Y podem assumir.
Como X é um número natural e (1 ≤ X ≤ 3), então os valores que X pode assumir são:
1, 2 e 3.
Como Y é um número natural e (1 ≤ Y ≤ 4), então os valores que Y pode assumir são:
1, 2, 3 e 4.
O enunciado afirma que no lançamento de uma moeda se o resultado é cara, então se
escolhe um valor X (1, 2 ou 3), e se o resultado for ímpar, se escolhe um valor Y (1, 2, 3 ou
4). A probabilidade de se escolher um valor X (1, 2 ou 3) é (1/3), e a probabilidade de se
escolher um valor Y (1, 2, 3 ou 4) é (1/4). Mais uma vez, observamos caminhos alternativos
que darão um resultado final. Logo, podemos utilizar a árvore de probabilidades para traçar os
possíveis caminhos e nos ajudar a obter a alternativa correta.
Nossa árvore de probabilidades:
cara (2/3)
1 (1/3)
2 (1/3)
3 (1/3)
moeda
1 (1/4)
coroa (1/3)
2 (1/4)
3 (1/4)
4 (1/4)
Qual é a probabilidade de ocorrer um número par?
Há três caminhos que nos conduzem a esse resultado um número par. E são
justamente os seguintes:
1 (1/3)
cara (2/3)
2 (1/3) ⇒ 2/3 x 1/3 = 2/9
3 (1/3)
moeda
1 (1/4)
coroa (1/3)
2 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12
3 (1/4)
4 (1/4) ⇒ 1/3 x 1/4 = 1/12
Ora, como são três os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos
portanto que somar essas três probabilidades resultantes. Teremos, pois, que:
Æ
2/9 + 1/12 + 1/12 = 14/36 = 7/18 Æ Resposta!
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06. (AFC-STN-2000 ESAF) Uma companhia preocupada com sua produtividade
costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência,
verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso
de treinamento tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por
outro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado
o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com
sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram
o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente
admitido na companhia, a probabilidade de que ele não cumpra sua quota de
produção é
a) 11,70%
b) 27,40%
c) 35%
d) 83%
e) 85%
Sol.:
Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:
cumpre a quota (82%)
com curso (80%)
não cumpre a quota (18%)
funcionário
cumpre a quota (35%)
sem curso (20%)
não cumpre a quota (65%)
Qual é a probabilidade de que um funcionário não cumpra sua quota de produção?
Há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado não cumpre a quota. E são
justamente os seguintes:
cumpre a quota (82%)
com curso (80%)
não cumpre a quota (18%) ⇒ 0,8 x 0,18=0,144
funcionário
cumpre a quota (35%)
sem curso (20%)
não cumpre a quota (65%) ⇒ 0,2 x 0,65=0,13
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos
portanto que somar essas duas probabilidades resultantes. Teremos, pois, que:
Æ
0,144 + 0,13 = 0,274 = 27,4% Æ Resposta!
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07. (AFC-SFC 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Ana ir
para o trabalho: ou de carro ou de metrô. A probabilidade de Ana ir de carro é de
60% e de ir de metrô é de 40%. Quando ela vai de carro, a probabilidade de chegar
atrasada é de 5%. Quando ela vai de metrô a probabilidade de chegar atrasada é de
17,5%. Em um dado dia, escolhido aleatoriamente, verificou-se que Ana chegou
atrasada ao seu local de trabalho. A probabilidade de ela ter ido de carro nesse dia é:
a) 10%
d) 70%
b) 30%
e) 82,5%
c) 40%
Sol.:
Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:
atrasada (5%)
de carro (60%)
não atrasada (95%)
Ana vai ao
trabalho
atrasada(17,5%)
de metrô (40%)
não atrasada (82,5%)
No cálculo da probabilidade de Ana ter ido de carro, devemos levar em conta que
ela chegou atrasada, pois foi um fato que ocorreu segundo o enunciado, e isso vai interferir
na resposta da questão.
A pergunta completa que a questão quer que nós respondamos é:
Qual é a probabilidade de Ana ter ido de carro, dado que ela chegou atrasada?
Estamos diante de uma probabilidade condicional!
Na linguagem da probabilidade, teremos:
P(de carro dado atrasada)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
Æ
P(de carro dado atrasada) = P(de carro e atrasada) / P(atrasada)
Passemos ao cálculo das probabilidades que aparecem no numerador e no denominador
da fórmula acima.
O numerador P(de carro e atrasada) será a probabilidade resultante de um único
caminho de probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:
atrasada (5%) ⇒ 0,6 x 0,05 = 0,03
de carro (60%)
não atrasada (95%)
Ana vai ao
trabalho
atrasada(17,5%)
de metrô (40%)
não atrasada (82,5%)
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Já no tocante ao denominador P(atrasada), teremos que somar as probabilidades
resultantes de dois caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
atrasada (5%) ⇒ 0,6 x 0,05 = 0,03
de carro (60%)
não atrasada (95%)
Ana vai ao
trabalho
atrasada(17,5%) ⇒ 0,4 x 0,175 = 0,07
de metrô (40%)
não atrasada (82,5%)
Ou seja, P(atrasada) = 0,03 + 0,07 = 0,1
Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:
Æ
P(de carro dado atrasada) = 0,03 / 0,1 = 0,3 = 30%
Æ Resposta!
08. (SERPRO 96) Uma clinica especializada trata apenas de três tipos de doentes:
dos que sofrem de problemas cardíacos, dos que tem calculo renal e dos hipertensos.
Temos que 50% dos pacientes que procuram a clinica são cardíacos, 40% são
portadores de calculo renal e apenas 10% são hipertensos. Os problemas cardíacos
são curados em 80% das vezes, os problemas de calculo renal em 90% das vezes e
os hipertensos em 95% das vezes. Um enfermo saiu curado da clinica. Qual a
probabilidade de ele sofresse de calculo renal?
a) 43,1%
b) 42,1%
c) 45,1%
d) 44,1%
e) 46,1%
Sol.:
Construiremos a árvore de probabilidades com os dados trazidos no enunciado:
curado (80%)
cardíaco (50%)
não curado (95%)
curado (90%)
doente
renal (40%)
não curado (82,5%)
curado (95%)
hipertenso (10%)
não curado (95%)
No cálculo da probabilidade do enfermo sofrer de calculo renal, devemos levar em
conta o fato dado, ocorrido e informado no enunciado: o enfermo saiu curado da clinica.
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A pergunta completa que a questão quer que nós respondamos é:
Qual é a probabilidade do enfermo sofresse de cálculo renal, dado que ele saiu
curado da clínica?
Estamos diante de uma probabilidade condicional!
Na linguagem da probabilidade, teremos:
P(renal dado curado)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
Æ
P(renal dado curado) = P(renal e curado) / P(curado)
O numerador P(renal e curado) será a probabilidade resultante de um único caminho
de probabilidade. Vejamos:
curado (80%)
cardíaco (50%)
não curado (95%)
curado (90%) ⇒ 0,4 x 0,9 = 0,36
doente
renal (40%)
não curado (82,5%)
curado (95%)
hipertenso (10%)
não curado (95%)
Já no tocante ao denominador P(curado), teremos que somar as probabilidades
resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
curado (80%) ⇒ 0,5 x 0,8 = 0,4
cardíaco (50%)
não curado (95%)
curado (90%) ⇒ 0,4 x 0,9 = 0,36
doente
renal (40%)
não curado (82,5%)
curado (95%)
⇒ 0,1 x 0,95 = 0,095
hipertenso (10%)
não curado (95%)
Ou seja, P(curado) = 0,4 + 0,36 + 0,095 = 0,855
Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:
Æ
P(renal dado curado) = 0,36 / 0,855 = 0,421 = 42,1% Æ Resposta!
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E aí? Conseguiram fazer as questões? Esperamos que sim!
O importante, sobretudo, é tentar!
Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos hoje mais alguns conceitos
que não foram comentados na aula passada. Quais sejam:
Æ Probabilidade da união de dois eventos; e
Æ Probabilidade binomial.
diversos.
Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios
# Probabilidade da União de Dois Eventos:
Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma
pergunta referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula ou.
Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final
pergunte: Qual a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B?
Saberemos, então, de imediato, que a partícula ou significará união! Trabalharemos,
assim, com uma fórmula própria: a da Probabilidade da União de Dois Eventos:
P(evento A ou evento B)=P(evento A)+P(evento B) – P(evento A e evento B)
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(evento A e evento B). Esta
parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos na aula passada que, caso os eventos A e B sejam eventos independentes,
então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto
das probabilidades individuais! Lembrados disso?
Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender melhor essa teoria.
Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um múltiplo de 2 ou de 4?
Sol.: Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de um! Quais
são esses dois eventos?
Æ Retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e
Æ retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro.
Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula
ou, o que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a probabilidade da união de dois
eventos!
Teremos, pois, que:
Æ P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)-P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)
O que temos a fazer é descobrir o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá!
Æ P(múltiplo de 2)=?
Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis!
Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos
serão os resultados possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador.
Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados
que satisfazem essa exigência (resultados favoráveis)? Ora, são 5. Senão, vejamos:
Æ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (cinco múltiplos de 2)!
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Daí, teremos:
Æ P(múltiplo de 2)= (5/10)
Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação:
Æ P(múltiplo de 4)=?
Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez
bolas? Dez. (É o nosso denominador)!
E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo
de 4? Ou seja, quantos são os resultados favoráveis? São 2. Vejamos:
Æ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (dois múltiplos de 4)!
Daí, teremos que:
Æ P(múltiplo de 4)=(2/10)
Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação:
Æ P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=?
Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna!
Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que
satisfazem, ao mesmo tempo, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 e um
múltiplo de 4? Essa é fácil. Vejamos:
Æ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ⇒ (são também apenas 2 resultados, ao mesmo
tempo, múltiplos de 2 e múltiplos de 4)!
Daí, teremos que:
Æ P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=(2/10)
Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos,
teremos:
Æ P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)–(2/10)
E:
Æ P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 50% Æ Resposta!
Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá-la! Mais um exemplo.
Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não
viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na
moeda é:
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/4
d) 3/5
e) 3/4
Sol.: Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um
dado e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda
são eventos que não dependem um do outro, ou seja, o resultado de um não influencia em
nada o resultado do outro. Em outras palavras, são eventos independentes, embora o
enunciado não tenha dito isso expressamente!
Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio.
Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidades de resultado há no
lançamento de um dado? Ora, há seis possibilidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
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12
E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {1,
2, 3, 4, 5, 6}. Ora, haverá três possibilidades.
Daí, ao lançarmos um dado, a probabilidade de o resultado ser ímpar será:
P(resultado ímpar no dado) =
3 1
=
6 2
Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma
moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}.
Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao
lançarmos uma moeda, dar coroa é de:
P(coroa na moeda) =
1
2
Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um
número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses
dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:
P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)–P(ímpar dado e coroa moeda)
Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta-nos
a última! Eis o xis da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por
quê? Porque se estivermos trabalhando com eventos independentes – e esse é o nosso caso! –
então esta parcela será encontrada pelo produto das probabilidades dos dois eventos.
Teremos:
Æ P(ímpar no dado e coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda)
Daí, encontraremos que:
Æ P(ímpar no dado e coroa na moeda)= (1/2) x (1/2) = (1/4)
Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que:
Æ P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)–(1/4)=(3/4) Æ Resposta!
# Probabilidade Binomial:
Este é um tipo de questão de probabilidade que não costuma ser cobrado em prova
com muita freqüência, mas que já esteve presente, inclusive em um concurso da Receita
Federal.
Vamos tentar aprendê-lo da forma mais simples possível.
Quando diremos que estamos diante de uma questão de probabilidade binomial?
Quando a situação que se nos apresentar for a seguinte:
1º) Haverá um evento que se repetirá um determinado número de vezes;
2º) Para esse evento específico, só há dois resultados possíveis;
3º) Esses dois resultados possíveis do evento são mutuamente excludentes, ou seja,
ocorrendo um deles, o outro está descartado!
4º) A questão perguntará pela probabilidade de ocorrer um desses resultados um certo
número de vezes.
Por meio de alguns exemplos entenderemos mais facilmente. Vejamos:
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Exemplo 1) Um casal apaixonado pretende ter cinco filhos. Considerando que não
haja gêmeos entre eles, qual a probabilidade de que sejam exatamente duas
meninas?
Vamos analisar.
O evento é o nascimento de um filho. Ora, para esse evento só há dois resultados
possíveis: ou será menino ou será menina. Além disso, um resultado exclui o outro. Observem
que o enunciado está desconsiderando a possibilidade de gêmeos. Assim, se for um menino é
porque não foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)
Por fim, o evento se repetirá por cinco vezes, e a questão pergunta pela probabilidade
de o resultado nascer uma menina se repita por exatamente duas vezes.
Como pudemos verificar, esse enunciado traz todas as características de uma questão
de Probabilidade Binomial. Ficou entendido?
Mais um exemplo.
Exemplo 2) Uma moeda honesta será lançada oito vezes. Qual a probabilidade de se
verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?
Analisemos.
O evento é o lançamento de uma moeda. Ele se repetirá por oito vezes.
Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: cara ou coroa. E em se
verificando um desses resultados, é porque o outro não ocorreu. Certo? Ou seja, são
resultados excludentes!
Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que um evento se verifique por
exatamente cinco vezes.
Novamente, aqui, estão presentes todas as características de uma questão de
Probabilidade Binomial.
Agora, sim, passemos a aprender como se resolve este tipo de questão!
O primeiro passo de nossa resolução será, ao identificar qual é o evento que estamos
trabalhando, definir quais são os dois resultados possíveis! Daí, observaremos a pergunta da
questão!
Trabalhemos com o exemplo 1 apresentado acima:
Exemplo 1) Um casal apaixonado pretende ter cinco filhos. Considerando que não
haja gêmeos entre eles, qual a probabilidade de que sejam exatamente duas
meninas?
O evento é o nascimento de um filho. Os dois resultados possíveis são menino e
menina.
Vejamos agora a pergunta da questão: qual a probabilidade de que sejam exatamente
duas meninas?
Daí, tomaremos esse resultado que consta na pergunta da questão, e passaremos a
chamá-lo de sucesso! Ou seja, o sucesso, neste caso, é o nascimento de uma menina. E
quanto ao outro resultado possível, como o chamaremos? Fracasso!
Obviamente que essa nomenclatura é meramente técnica! Certo?
Pois bem! Sabendo disso, nosso próximo passo será calcular duas probabilidades: a de
ocorrência de um evento sucesso, e a de ocorrência de um evento fracasso! Faremos:
Æ P(menina)=?
Ora, se vai nascer uma criança, então são dois os resultados possíveis!
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14
Queremos que seja menina. Quantos resultados satisfazem essa exigência? Somente
um, claro! Daí, teremos:
Æ P(menina)=(1/2)
Com isso, já encontramos a probabilidade do evento sucesso!
Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos:
Æ P(menino)=?
Seguindo o mesmíssimo raciocínio acima, encontramos que:
Æ P(menino)=(1/2)
Até aqui, tudo bem?
Ótimo! Feito isso, aplicaremos agora a equação da probabilidade binomial, que é a
seguinte:
P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação
N, S]x
[P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]
Onde:
Æ N é o número de repetições do evento;
Æ S é o número de sucessos desejados;
Æ F é o número de fracassos.
Neste nosso exemplo, teremos o seguinte:
Æ O evento vai se repetir por cinco vezes (serão cinco filhos!). Logo: N=5
Æ O evento sucesso é o nascimento de uma menina. A questão pede que sejam
exatamente duas meninas. Logo: S=2.
Æ Se serão cinco nascimentos e duas meninas, resta que o número de meninos será a
diferença. Ou seja, serão 3 meninos. Lembrando que o evento sucesso são as meninas, então
o evento fracasso serão os meninos. Logo: F=3.
Finalmente, aplicando os resultados obtidos para este exemplo na equação da
Probabilidade Binomial, encontraremos que:
P(de duas meninas)=[C
5, 2].
[P(menina)2] x [P(menino)3]
5, 2].
[P(menina)2] x [P(menino)3]
Teremos:
Æ
C 5, 2 =
5!
5 x 4 x3! 20
=
=
= 10
3!.2! 3!.2 x1
2
Daí:
P(de duas meninas)=[C
Æ P(de duas meninas)=10 x (1/2)2 x (1/2)3 = 10 x
1 1 10
x =
= 0,3125
4 8 32
Æ P(de duas meninas)= 31,25% Æ Resposta!
Somente isso! Não é fácil? Façamos agora o exemplo 2.
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15
Exemplo 2) Uma moeda honesta será lançada oito vezes. Qual a probabilidade de se
verificar exatamente cinco vezes o resultado cara?
O evento é o lançamento de uma moeda. Será repetido por oito vezes! (Já sabemos,
então, que N=8). A questão pede exatamente cinco resultados “cara”.
Logo, “cara” é o evento sucesso, e S=5.
Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=3.
Certo?
Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso.
Teremos:
Æ P(cara)=(1/2)
(São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”).
Segundo o mesmo raciocínio, teremos:
Æ P(coroa)=(1/2)
Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:
P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação
N, S]x
[P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]
Æ P(de 5 caras)=(C8,5) x [P(cara)5] x [P(coroa)3]
Daí:
C8 , 5 =
8!
8 x7 x6 x5!
=
= 56
5!.3! 5!.3x 2 x1
E: Æ P(de 5 caras)= 56 x [(1/2)5] x [(1/2)3] = 56 x
1 1 56
x =
32 8 256
Chegamos a: Æ P(de 5 caras) = 0,2187 = 21,87% Æ Resposta!
É isso, meus amigos!
Com toda a teoria explicada na aula anterior, e ora complementada, damos por
encerrado o estudo da Probabilidade, tal como sói se apresentar nos concursos públicos!
Na seqüência, as questões do nosso dever de casa de hoje!
Forte abraço a todos, fiquem com Deus, e até a próxima!
Dever de Casa
01.(MPOG 2001 ESAF) A probabilidade de ocorrer cara no lançamento de uma moeda viciada é
igual a 2/3. Se ocorrer cara, seleciona-se aleatoriamente um número X do intervalo
{X ∈ Ν ⏐ 1 ≤ X ≤ 3}; se ocorrer coroa, seleciona-se aleatoriamente um número Y do
intervalo {Y ∈ Ν ⏐ 1 ≤ Y ≤ 4}, onde Ν representa o conjunto dos números naturais. Assim,
a probabilidade de ocorrer um número par é igual a:
a) 7/18
b) ½
c) 3/7
d) 1/27
e) 2/9
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16
02.(AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número par é
3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a probabilidade de se obter
um número ímpar no dado ou coroa na moeda é:
a) 1/5
d) 3/5
b) 3/10
e) 7/10
c) 2/5
03.(Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a
probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d) 44,5%
e) 50%
04.(TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois meninos
e duas meninas é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 6/8
d) 8/6
e) 8/3
05.(AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez pessoas
dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que
exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro importado é:
a) (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) 120 (0,1)7 (0,9)
Gabarito:
01. A
02. E
03. B
04. A
05. C
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1
AULA QUATORZE: Matrizes & Determinantes (Parte I)
Olá, amigos!
Daremos hoje início ao estudo de Matrizes e Determinantes. Pelo histórico das últimas
provas elaboradas pela Esaf, este assunto tem sido exigido amiúde, tanto em certames de
nível médio, quanto de nível superior.
Embora seja uma matéria (em tese) já vista por todos no ensino médio (antigo 2º
grau), e que, por isso mesmo, possa causar algum tipo de mal-estar, convém sabermos logo
que sua exigência em concursos se restringe a certos estilos de questão, muito fáceis de
serem trabalhados.
Dito isto, iniciemos a resolução do dever de casa passado, para após falarmos em
Matrizes. Adiante!
Dever de Casa
01.(AFCE TCU 99 ESAF) Um dado viciado, cuja probabilidade de se obter um número
par é 3/5, é lançado juntamente com uma moeda não viciada. Assim, a
probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na moeda é:
a) 1/5
d) 3/5
b) 3/10
e) 7/10
c) 2/5
Sol.: Aqui há dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado e o lançamento de uma
moeda.
Foi dado que a probabilidade de se obter um número par é 3/5. Vamos escrever de
maneira mais simplificada: P(par) = 3/5.
Ao lançar um dado só podemos obter dois resultados: par ou ímpar. Daí,
P(par) + P(ímpar) = 1
E: Æ P(ímpar) = 1 – P(par)
Æ P(ímpar) = 1 – 3/5
Æ P(ímpar) = 2/5
Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma
moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}.
Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao
lançarmos uma moeda, dar coroa é de:
P(coroa) =
1
2
Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um número
ímpar no dado ou coroa na moeda, estará falando, obviamente, da união entre esses dois
eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:
P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar e coroa)
Nós já dispomos das probabilidades P(ímpar) e P(coroa), mas ainda temos que calcular
a probabilidade: P(ímpar e coroa).
Os eventos “ímpar no dado” e “coroa na moeda” são independentes? A questão não
afirma nada sobre isso, então podemos fazer a seguinte pergunta para descobrir se eles são
independentes: o resultado obtido no lançamento do dado influencia no resultado do
lançamento da moeda? Facilmente concluímos que não, podemos jogar um dado e ele pode
dar par ou ímpar, mas isto não influencia no resultado cara ou coroa da moeda.
Assim, como são dois eventos independentes, podemos dizer que:
P(ímpar e coroa) = P(ímpar) x P(coroa)
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2
Substituindo essa probabilidade na expressão de probabilidade que devemos calcular,
teremos:
P(ímpar ou coroa) = P(ímpar) + P(coroa) – P(ímpar) x P(coroa)
Só precisamos substituir os valores de probabilidades que já dispomos para obter a
resposta da questão:
P(ímpar ou coroa) = 2/5 + 1/2 – 2/5 x 1/2
Daí,
P(ímpar ou coroa) = 6/10 – 2/10
E, P(ímpar ou coroa) = 4/10 Æ Resposta!
02.(Anal. Orçamento MARE 99 ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.
Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2 caras e 2 coroas?
a) 25%
b) 37,5%
c) 42%
d) 44,5%
e) 50%
Sol.:
O evento é o lançamento de uma moeda. Ele se repetirá por quatro vezes.
Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: cara ou coroa. E são
resultados excludentes!
Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que nos quatro lançamentos
obtenha-se cara por exatamente duas vezes e coroa exatamente duas vezes. Não havia
necessidade de dizer que o resultado coroa deve ocorrer exatamente duas vezes, pois como já
está se dizendo que nos quatro lançamentos ocorre exatamente duas caras é claro que vai
ocorrer duas coroas.
Novamente, aqui, estão presentes todas as características de uma questão de
Probabilidade Binomial.
Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial.
Como são quatro lançamentos, então N=4.
A questão pede exatamente dois resultados “cara”, então podemos considerar que
“cara” é o evento sucesso, e S=2.
Conseqüentemente, “coroa” é o evento fracasso, e F=2.
Certo?
Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso.
Teremos:
Æ P(cara)=(1/2)
(São dois resultados possíveis, e somente um satisfaz a exigência que seja “cara”).
Segundo o mesmo raciocínio, teremos:
Æ P(coroa)=(1/2)
Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:
P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação
N, S]x
[P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]
Æ P(de 2 caras)=(C4,2) x [P(cara)2] x [P(coroa)2]
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Daí:
C 4, 2 =
3
4!
4 × 3 × 2!
=
=6
2!.2!
2!.2!
E: Æ P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 6 ×
1 1 3
× =
4 4 8
Chegamos a: Æ P(de 2 caras) = 3/8 = 37,5% Æ Resposta!
03.(TFC 1995) Um casal pretende ter quatro filhos. A probabilidade de nascerem dois
meninos e duas meninas é:
a) 3/8
b) 1/2
c) 6/8
d) 8/6
e) 8/3
Sol.:
O evento é o nascimento de uma criança. Ora, para esse evento só há dois resultados
possíveis: ou será menino ou será menina. Além disso, um resultado exclui o outro. Observem
que o enunciado está desconsiderando a possibilidade de gêmeos. Assim, se for um menino é
porque não foi uma menina, e vice-versa. (Resultados excludentes!)
Por fim, o evento se repetirá por quatro vezes, e a questão pergunta pela probabilidade
de o resultado nascer um menino se repita por exatamente duas vezes. Obviamente, se
nascem exatamente dois meninos entre as quatro crianças, é porque as outras duas crianças
são duas meninas.
Como podemos verificar, esse enunciado traz todas as características de uma questão
de Probabilidade Binomial. Ficou entendido?
Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial.
Como são quatro crianças, então N=4.
A questão pede exatamente dois meninos, então podemos considerar que “menino” é o
evento sucesso, e S=2.
Conseqüentemente, “menina” é o evento fracasso, e F=2. Certo?
Pois bem! Sabendo disso, nosso próximo passo será calcular duas probabilidades: a de
ocorrência de um evento sucesso, e a de ocorrência de um evento fracasso! Faremos:
Æ P(menino)=?
Ora, se vai nascer uma criança, então são dois os resultados possíveis!
Queremos que seja menino. Quantos resultados satisfazem essa exigência? Somente
um, claro! Daí, teremos:
Æ P(menino)=(1/2)
Com isso, já encontramos a probabilidade do evento sucesso!
Resta-nos calcular a probabilidade do outro resultado. Teremos:
Æ P(menina)=?
Seguindo o mesmíssimo raciocínio acima, encontramos que:
Æ P(menina)=(1/2)
Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:
P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação
N, S]x
[P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]
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4
Æ P(de 2 meninos)=(C4,2) x [P(menino)2] x [P(menina)2]
Daí:
C 4, 2 =
4!
4 × 3 × 2!
=
=6
2!.2!
2!.2!
E: Æ P(de 2 caras)= 6 x [(1/2)2] x [(1/2)2] = 6 ×
1 1 3
× =
4 4 8
Chegamos a: Æ P(de 2 caras) = 3/8 Æ Resposta!
04.(AFTN 98 ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado. Dez
pessoas dessa cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A
probabilidade de que exatamente 7 das pessoas selecionadas possuam carro
importado é:
a) (0,1)7 (0,9)3
b) (0,1)3 (0,9)7
c) 120 (0,1)7 (0,9)3
d) 120 (0,1) (0,9)7
e) 120 (0,1)7 (0,9)
Sol.:
O evento é pesquisar se uma pessoa possui um carro importado. Ele se repetirá por dez
vezes, pois dez pessoas foram selecionadas.
Os resultados possíveis para esse evento são apenas dois: “possui carro importado”
ou “não possui carro importado”. E como um é a negação do outro, é claro que são
resultados excludentes!
Finalmente, a questão pergunta pela probabilidade de que exatamente 7 das 10
pessoas selecionadas possuam carro importado.
Novamente, aqui, estão presentes todas as características de uma questão de
Probabilidade Binomial.
Vamos encontrar os elementos que lançaremos na fórmula da Probabilidade Binomial!
Como dez pessoas foram selecionadas para ver se tem carro importado, então N=10.
A questão pede exatamente sete resultados “possui carro importado”, então
podemos considerar que “possui carro importado” é o evento sucesso, e S=7.
Conseqüentemente, “não possui carro importado” é o evento fracasso, e F=3.
Certo?
Daí, calcularemos a probabilidade de um evento sucesso e a de um evento fracasso.
Teremos:
Æ P(possui carro importado) = (10%) = 0,10
Pois, foi informado no enunciado da questão que 10% das pessoas (10 em cada 100
pessoas) possuem carro importado.
Como um evento é a negação do outro, temos a seguinte relação entre eles:
Æ P(não possuir carro importado) + (possuir carro importado) = 1
Daí, P(não possuir carro importado) = 1 – 0,10 = 0,90
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5
Finalmente, aplicando a equação da Probabilidade Binomial, teremos:
P(de “s” eventos sucesso)=[Combinação
N, S]x
[P(sucesso)S] x [P(fracasso)F]
Æ P(de 7 importados)=(C10,7)x[P(possui carro importado)2]x[P(não possui carro importado)2]
Daí:
C10,7 =
10! 10 × 9 × 8 × 7!
=
= 120
7!.3!
7!.6
E: Æ P(de 7 importados)= 120 x [(0,10)7] x [(0,90)3]
Chegamos a: Æ P(de 7 importados) = 120 (0,1)7 (0,9)3
Æ Resposta!
05. (MPU 2004.2 ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e
cinco delas de ouro. Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e
três delas de ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas essas – em sua
pequena caixa de jóias. Uma noite, arrumando-se apressadamente para ir ao
cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma pulseira de sua pequena caixa de
jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata. Levando em conta tais
informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou seja
uma das pulseiras que ganhou de João é igual a
a) 1/3.
d) 4/5.
b) 1/5.
e) 3/5.
c) 9/20.
Sol.:
Temos as seguintes informações retiradas do enunciado:
Maria ganhou de João 9 pulseiras:
4 de prata e 5 de ouro
Maria ganhou de Pedro 11 pulseiras: 8 de prata e 3 de ouro
Total de pulseiras = 20 (sendo 12 de prata e 8 de ouro)
A questão solicita: Qual é a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria
retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João?
Mas observe que foi dada uma informação que se deve levar em consideração no
cálculo da probabilidade solicitada: Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.
Compondo a probabilidade solicitada com o fato dado, formamos a seguinte pergunta a
qual buscaremos a resposta:
Qual é a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria retirou
seja uma das pulseiras que ganhou de João, dado que ela retirou uma
pulseira de prata?
Lembram como se chama essa probabilidade acima? É claro que é a conhecida e bem
solicitada probabilidade condicional!
Antes de passarmos para a fórmula da probabilidade condicional, vamos fazer uma
notação mais simplificada da probabilidade requerida acima:
P(a pulseira seja uma das que ganhou de João dada que é de prata) = ?
A fórmula da probabilidade condicional é dada por:
P(A dado B) = P(A e B)
P(B)
Assim teremos que calcular:
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6
P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = ?
P(seja de prata)
Passemos ao cálculo das probabilidades que estão no numerador e no denominador!
Æ Cálculo da probabilidade do numerador:
Pela definição fundamental de probabilidade (nº de casos favoráveis/nº de casos possíveis)
vamos calcular a probabilidade:
P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = 4 de prata que João deu
20 pulseiras no total
P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) = 4/20 = 0,2
Æ Cálculo da probabilidade do denominador:
P(seja de prata) =
12 de prata
20 pulseiras no total
= 12/20 = 0,6
Com estes resultados podemos calcular a probabilidade condicional que é pedida na
questão.
P(a pulseira seja uma das que ganhou de João e seja de prata) =
P(seja de prata)
0,2 = 1/3 (resposta!)
0,6
06. (MPU 2004.2 ESAF) Luís é prisioneiro do temível imperador Ivan. Ivan coloca
Luís à frente de três portas e lhe diz: “Atrás de uma destas portas encontra-se
uma barra de ouro, atrás de cada uma das outras, um tigre feroz. Eu sei onde
cada um deles está. Podes escolher uma porta qualquer. Feita tua escolha, abrirei
uma das portas, entre as que não escolheste, atrás da qual sei que se encontra
um dos tigres, para que tu mesmo vejas uma das feras. Aí, se quiseres, poderás
mudar a tua escolha”. Luís, então, escolhe uma porta e o imperador abre uma das
portas não-escolhidas por Luís e lhe mostra um tigre. Luís, após ver a fera, e
aproveitando-se do que dissera o imperador, muda sua escolha e diz: “Temível
imperador, não quero mais a porta que escolhi; quero, entre as duas portas que
eu não havia escolhido, aquela que não abriste”. A probabilidade de que, agora,
nessa nova escolha, Luís tenha escolhido a porta que conduz à barra de ouro é
igual a
a) 1/2.
c) 2/3.
e) 1.
b) 1/3.
d) 2/5.
Solução:
Vamos designar as portas por: P1, P2 e P3. E vamos fazer a seguinte consideração:
atrás de P1 tenha a barra de ouro,
atrás de P2 tenha um tigre e
atrás de P3 tenha um tigre.
Há 3 possibilidades na 1ª escolha da porta por Luís: ou P1 ou P2 ou P3, com
probabilidades de escolha de 1/3 para cada porta.
Vamos analisar as situações possíveis:
Æ Se a primeira escolha for a porta P1 (a porta do ouro), então o imperador poderá abrir a
porta P2 ou P3 (ambas do tigre), e assim a segunda escolha de Luís poderá ser ou a porta P3
ou a porta P2. Desta forma, Luís não encontrará o ouro.
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7
Æ Se a primeira porta escolhida for a porta P2 (a porta de um dos tigres), então o imperador
abrirá a porta P3 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Luís será a porta P1 (do
ouro). Desta forma, Luís encontrará o ouro.
Æ Se a primeira porta escolhida for a porta P3 (a porta de um dos tigres), então o imperador
abrirá a porta P2 (a do outro tigre) e assim a segunda escolha de Luís será a porta P1 (do
ouro). Desta forma, Luís encontrará o ouro.
Pela análise acima, Luís só descobrirá a porta do ouro, se a primeira escolha for a porta do
tigre (duas possibilidades em três), ou seja, a probabilidade é de 2/3 (resposta!).
Para um melhor entendimento da solução da questão, as situações supracitadas estão
representadas no diagrama de árvore abaixo:
1ª Escolha
2ª Escolha
de Luís
de Luís
1/2
P1
1/2
1/3
1/3
P2
1/3
P3
1
1
P2
(Luís escolhe a porta do tigre)
P3
(Luís escolhe a porta do tigre)
P1
(Luís escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/3
P1
(Luís escolhe a porta do ouro) 1/3 x 1 = 1/3
Daí, a probabilidade de Luís escolher a porta do ouro, com estas duas chances de escolha é:
1/3 + 1/3 = 2/3 (resposta!)
Agora, sim, falemos sobre Matrizes!
# Conceito:
Dito da forma mais simples possível, uma Matriz nada mais é que uma tabela, que
serve para a organização de dados numéricos.
Esta tabela será limitada por colchetes, dentro dos quais estarão dispostos os valores
numéricos. Assim, teremos que são exemplos de Matrizes:
3
a)
5
3
2 -3
1
1
2
4
1
b)
2
c) 3
4
7
3
A princípio, precisamos saber que todas as Matrizes têm uma dimensão! E esta será
definida da seguinte forma:
Æ Dimensão da matriz = Número de linhas x Número de colunas.
Assim, diremos que a matriz do exemplo (a) acima:
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3
a)
5
3
2 -3
1
1
2
4
8
é uma Matriz 3x3 (lê-se matriz três por três).
Significa isso que ela tem três linhas e três colunas!
É imprescindível que guardemos essa ordem: linhas e colunas. Para efeitos
mnemônicos, podemos gravar a palavra LI-CO, designando a ordem linha e coluna.
Dependendo de qual seja a dimensão de uma matriz, ela poderá receber determinadas
nomenclaturas. Alguns nomes dados a certas matrizes são os seguintes:
Æ Matriz Quadrada: é aquela que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Vejamos:
3
a)
5
3
2 -3
1
1
2
4
é uma Matriz 3x3, por isso, chamada de Matriz Quadrada de Ordem 3.
Ou ainda: Matriz Quadrada de 3ª Ordem, ou simplesmente Matriz de 3ª Ordem. Já
ficará subentendido que estamos falando de uma Matriz Quadrada, formada por três linhas e
três colunas.
Outros exemplos de Matrizes Quadradas são os seguintes:
5
-3
b)
é uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem, ou Matriz de 2ª Ordem.
-2
4
Æ Matriz Linha: é aquela, como o próprio nome sugere, formada por apenas uma linha!
Vejamos alguns exemplos:
a) 3
4
b) 3
5
7
é uma Matriz Linha, de dimensão 1x3, ou seja, tem 1 linha e 3 colunas.
é uma Matriz Linha, de dimensão 1x2, ou seja, tem uma linha e duas colunas.
Æ Matriz Coluna: aquela que apresenta uma única coluna. Por exemplo:
3
a)
5
é uma Matriz Coluna, de dimensão 3x1, ou seja, formada por 3 linhas e uma coluna.
2
Æ Matriz Nula: aquela cujos elementos são todos iguais a zero! Exemplos:
0
0
a)
é uma Matriz Nula de 2ª Ordem.
0
0
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0
0
9
0
b)
é uma Matriz Nula de dimensão 2x3, ou seja, duas linhas e três colunas.
0
0
0
# Ainda Sobre a Matriz Quadrada:
Convém sabermos que toda matriz quadrada tem duas diagonais, que serão ditas
diagonal principal e diagonal secundária. Pelos desenhos abaixo, aprenderemos a reconhecer
cada uma delas. Vejamos:
3
5
3
2 -3
1
1
2
4
Diagonal Principal
3
5
3
2 -3
1
1
2
4
Diagonal Secundária
A diagonal principal, portanto, começa do elemento à esquerda na primeira linha, e vai
descendo para o sentido da direita. O inverso ocorre com a diagonal secundária.
É fundamental que tenhamos em mente os nomes dessas duas diagonais. Somente
ratificando: só falaremos nelas (nas diagonais) quando estivermos trabalhando com Matrizes
Quadradas! Certo?
Pois bem! Já estamos prontos para conhecer outros tipos específicos de Matrizes.
Vejamos:
Æ Matriz Identidade: é aquela cujos elementos da diagonal principal são todos iguais a 1, e
os demais elementos da matriz, iguais a 0 (zero). Vejamos:
1
0
é uma Matriz Identidade de 2ª Ordem, designada por I2.
a)
0
b)
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
é uma Matriz Identidade de 3ª Ordem, designada por I3.
Mais adiante, quando estudarmos operações com matrizes, veremos a importância de
se reconhecer uma matriz identidade!
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10
Æ Matriz Diagonal: é aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são
diferentes de zero, e todos os demais elementos são iguais a zero. Vejamos alguns exemplos:
3
0
0
2
0
0
3
0
0
0
2
0
3
0
0
2
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
2
4
Æ Matriz Triangular: é aquela matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são
todos iguais a 1 (como na matriz identidade), e cujos elementos de um dos triângulos criados
pela diagonal principal são iguais a zero. Vejamos:
1
3
a)
é uma Matriz Triangular de 2ª Ordem.
0
b)
1
1
0
0
3
1
0
2
5
1
é uma Matriz Triangular de 3ª Ordem.
# Elementos da Matriz e Lei de Formação de uma Matriz:
Cada elemento de uma matriz mora em um endereço certo! Ou seja, cada posição da
matriz pode ser designada por um endereço. É muito fácil aprender a localizar a posição de um
elemento na Matriz.
Por exemplo, se estamos trabalhando com a matriz A (em geral, matrizes são
chamadas por letras maiúsculas), de dimensão 3x3, seus elementos serão os seguintes:
A=
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
Observem que cada elemento (designado por uma letra minúscula) é acompanhado de
dois índices (dois números): o primeiro deles indicará a linha a qual pertence o elemento; a
segunda, a coluna.
Assim, se temos o elemento a11, este será o que ocupa a primeira linha e a primeira
coluna da matriz. Por sua vez, o elemento a32 será aquele que ocupa a terceira linha e a
segunda coluna da matriz. Ficou entendido? Nada mais fácil.
Precisaremos conhecer essa nomenclatura para acertarmos um tipo de questão muito
freqüente em provas de raciocínio lógico. Ora, muitas vezes as questões já trazem as matrizes
prontas, com seus respectivos valores numéricos. Outras vezes, a questão apresenta apenas
uma lei de formação da matriz. Neste caso, cabe a nós construirmos a matriz, obedecendo
àquela lei.
Como é isso? Vejamos alguns exemplos.
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11
Exemplo 1) Se a questão trouxer, em seu enunciado, a matriz quadrada de 3ª ordem
X=xi,j , tal que xi,j=(i+j)2
O que significa isso? Significa que teremos que calcular elemento por elemento (xi,j) da
matriz X, sempre obedecendo essa relação apresentada.
Ora, se a questão disse que se trata de uma matriz quadrada de 3ª ordem, seus
elementos serão os seguintes:
X=
x11
x12
x13
x21
x22
x23
x31
x32
x33
Observem que os índices i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna do
elemento que estará sendo calculado. Assim, teremos que:
Æ x11= (1+1)2 = 22 = 4
Æ x12= (1+2)2 = 32 = 9
Æ x13= (1+3)2 = 42 = 16
Æ x21= (2+1)2 = 32 = 9
Æ x22= (2+2)2 = 42 = 16
Æ x23= (2+3)2 = 52 = 25
Æ x31= (3+1)2 = 42 = 16
Æ x32= (3+2)2 = 52 = 25
Æ x33= (3+3)2 = 62 = 36
E agora sim, acabamos de compor nossa matriz X, que é a seguinte:
X=
4
9
16
9
16
25
16
25
36
De posse dessa matriz, podemos fazer com ela tudo o que a questão vier a solicitar.
Somá-la com outra, multiplicá-la por outra (ou por uma constante), encontrar sua matriz
transposta, e mais uma porção de outras coisas. Só não sairíamos do canto, se não
soubéssemos construí-la.
Exemplo 2) Construir a matriz quadrada de 2ª ordem Y=yi,j , tal que yi,j=(i)j.
Sendo uma matriz de 2ª ordem, seus elementos serão os seguintes:
y11
y12
y21
y22
Y=
Obedecendo à lei de construção desta matriz, teremos:
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12
Æ y11= (1)1 = 1
Æ y12= (1)2 = 1
Æ y21= (2)1 = 2
Æ y22= (2)2 = 4
1
1
2
4
Teremos, pois, que a matriz Y será a seguinte: Y =
# Operações com Matrizes:
Aprenderemos agora alguns tipos de operações que podem ser realizadas entre duas ou
mais matrizes.
Æ Igualdade de Matrizes:
Duas matrizes serão
correspondentes iguais.
ditas
iguais
quando
apresentarem
todos
os
elementos
Exemplo 1)
5
3
8
4
2
1
7
6
2
5
3
8
4
2
1
7
6
2
=
Se duas matrizes são ditas iguais, então iguais são os seus elementos correspondentes!
Só isso e mais nada!
Æ Adição de Matrizes:
Trata-se da operação mais fácil. A primeira coisa a ser dita é a seguinte: só é possível
somar matrizes de mesma dimensão! E mais: o resultado da soma entre matrizes será sempre
uma outra matriz, de mesma dimensão daquelas que foram somadas!
Com isso, já matamos a seguinte charada: suponhamos que um enunciado diga que, ao
somarmos as matrizes A e B, tal soma resultará numa matriz Z, de 2ª ordem. Ora, com isso,
saberemos imediatamente que as matrizes A e B são também matrizes quadradas de 2ª
ordem! E vejam que isso não foi dito expressamente pela questão! Essa informação estava nas
entrelinhas! Entendido?
Para somarmos duas matrizes, só teremos que somar os elementos que estejam nas
posições correspondentes! Vejamos um exemplo:
Sejam as matrizes A e B, tais que:
A=
2
5
3
8
e B=
4
3
2
1
Qual será a Matriz S resultante da soma A+B?
Teremos:
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2
5
3
8
+
4
3
2
1
=
6
8
5
9
13
As cores servem para ajudar. Vejam: o elemento que ocupa a posição 11 (primeira
linha e primeira coluna) na matriz A será somado exatamente ao elemento correspondente da
matriz B. E assim por diante! O resultado da soma ocupará a mesma posição dos elementos
somados. Ou seja:
Æ s11 = a11 + b11
Æ s12 = a12 + b12
Æ s21 = a21 + b21
Æ s22 = a22 + b22
Enfim, não há segredo algum na soma de matrizes! Vejamos mais alguns exemplos:
Exemplo 1) Somar as matrizes A e B:
A=
-5
3
-8
-2
e B=
7
-6
4
-3
Teremos:
-5
3
-8
-2
+
7
-6
4
-3
=
(-5+7)
(3-6)
(-8+4) (-2-3)
=
2
-3
-4
-5
Exemplo 2) Somar as matrizes A e B:
A=
-9
5
e B=
4
-8
Teremos:
-9
5
+
4
-8
= [-5
-3 ]
Pois bem! Só com o que aprendemos até aqui, já temos condições de resolver algumas
questões de provas recentes de Raciocínio Lógico, elaboradas pela Esaf. Senão, vejamos!
# Exercícios Resolvidos:
01.(AFC-SFC 2001) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das
matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que aij = i2 +j2 e que bij = 2ij, então: a soma
dos elementos s31 e s13 é igual a:
a) 12
b) 14
c) 16
d) 24
e) 32
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14
Sol.:
Comecemos pela seguinte análise: o enunciado diz que a matriz S é a que resulta da
soma de duas outras matrizes, e que se trata de uma matriz quadrada de terceira ordem. Daí,
concluiremos que as duas matrizes que estão sendo somadas são igualmente matrizes
quadradas de terceira ordem!
Ora, a questão não nos deu as matrizes A e B já construídas. Em vez disso, forneceunos as respectivas leis de formação de uma e de outra. Teríamos, pois, a princípio, ter que
construir estas duas matrizes, para depois somá-las.
Ocorre que, numa leitura mais atenta do enunciado, percebemos que a resposta
procurada diz respeito apenas a dois elementos da matriz soma, quais sejam, s31 e s13. Assim,
nem será necessário construir toda a matriz A ou toda a matriz B. Claro que não!
Apenas nos lembraremos que:
Æ S13 = A13 + B13
e
Æ S31 = A31 + B31
Daí, encontraremos os elementos correspondentes às posições 13 e 31 nas duas
matrizes que estão sendo somadas. Teremos:
Æ A13 = (1)2+(3)2 Æ A13 = 1 + 9 Æ A13 = 10
Æ A31 = (3)2+(1)2 Æ A31 = 9 + 1 Æ A31 = 10
Æ B13 = 2x1x3 = 6
Æ B31 = 2x3x1 = 6
Com isso, chegaremos a:
Æ S13 = A13 + B13
Æ
S13 = 10 + 6 Æ S13=16
Æ S31 = A31 + B31
Æ
S31 = 10 + 6
e
Æ S31=16
Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questão, da seguinte forma:
Æ S13 + S31 = 16 + 16 = 32 Æ Resposta!
02. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) A matriz S = sij, de terceira ordem, é a matriz
resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que (aij ) = i2 +j2 e que
bij = ij, então a razão entre os elementos s22 e s12 determinante da matriz S é igual a
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 2.
e) 6.
Sol.:
Observem que esta questão foi de 2004, enquanto a anterior foi de 2001. Mas são
praticamente iguais! Quase nenhuma diferença entre as duas!
Seguindo, pois, idêntico raciocínio, teremos que:
Æ S12 = A12 + B12
e
Æ S22 = A22 + B22
Daí, encontraremos os elementos correspondentes às posições 13 e 31 nas duas
matrizes que estão sendo somadas. Teremos:
Æ A12 = (1)2+(2)2 Æ A12 = 1 + 4 Æ A12 = 5
Æ A22 = (2)2+(2)2 Æ A22 = 4 + 4 Æ A22 = 8
Æ B12 = 12 = 1
Æ B22 = 22 = 4
Com isso, chegaremos a:
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Æ S12 = A12 + B12
Æ
S12 = 5 + 1 Æ S12= 6
Æ S22 = A22 + B22
Æ
S22 = 8 + 4
15
e
Æ S22=12
Finalmente, chegaremos ao que nos pede a questão, da seguinte forma:
Æ S22 / S12 = 12 / 6 = 2 Æ Resposta!
Æ Produto de uma Constante por uma Matriz:
Este tipo de operação também não tem nenhum segredo. Apenas multiplicaremos a
constante por cada um dos elementos da matriz. E chegaremos à matriz resultante!
Vejamos um exemplo:
3 x
4
3
2
1
=
12
9
6
3
Compreendido? Fácil, não? Facílimo!
Æ Produto entre Matrizes:
Aqui se costuma fazer alguma confusão! Embora seja igualmente muito fácil se
multiplicar duas matrizes. Vamos aprender com calma.
Antes de qualquer coisa, convém sabermos que há uma exigência para que se possa
multiplicar duas matrizes. Ou seja, não são quaisquer duas matrizes que podem ser
multiplicadas! Para que seja possível se efetuar o produto de duas matrizes, é preciso que se
verifique o seguinte: que o número de linhas da primeira matriz seja igual ao número
de colunas da segunda matriz.
Se essa exigência se verificar, então o produto é possível. Caso contrário, nada feito!
Outra coisa importante: ao se multiplicar duas matrizes, qual será a dimensão da
matriz resultante? Aprenderemos da seguinte forma: suponhamos que pretendemos
multiplicar a matriz A, de dimensão 3x2, com a matriz B, de dimensão 2x5.
Teremos, então, que analisar os valores das dimensões das duas matrizes, da seguinte
forma:
(A3x2)
x
(B2x5)
(3x2) x
(2x5)
“meios”
“extremos”
Funciona assim: para que o produto de duas matrizes seja possível, compararemos as
dimensões dos “meios”. Se forem iguais, então diremos que é possível, sim, realizar esse
produto! Se os meios, ao contrário, fossem diferentes, já nem poderíamos multiplicar as
matrizes!
Uma vez constatado que o produto é possível, verificaremos os “extremos”: e aí nós
temos qual será a dimensão da matriz produto!
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16
Neste nosso exemplo acima, teremos que a matriz resultante do produto entre A e B
será uma matriz de dimensão 3x5.
Compreendido? Reprisando: os “meios” dizem se é possível o produto; os “extremos”
dizem a dimensão da matriz resultado do produto.
Pois bem! Precisamos agora aprender como se faz essa multiplicação. Tomemos o
exemplo seguinte:
⎡2 1 ⎤
⎡1 2 3⎤
⎢
⎥
.
Exemplo 1) Multipliquemos (se possível) as duas matrizes A = 3 2 e B = ⎢
⎢
⎥
3 1 2⎥⎦
⎣
⎢⎣5 4⎥⎦
Sol.:
O se possível do enunciado serve para lembrarmos de que nem sempre poderemos
multiplicar duas matrizes. É preciso que se verifique uma exigência, já nossa conhecida. Daí,
começaremos fazendo justamente isso: averiguando a possibilidade do produto, e qual seria a
dimensão da matriz resultante. Teremos:
(A3x2)
x
(B2x3)
(3x2) x
(2x3)
“meios”
“extremos”
Conclusão: o produto é possível, e a matriz resultante terá dimensão 3x3.
Ou seja, teremos:
⎡2 1 ⎤
⎢3 2 ⎥ x ⎡1 2 3⎤ =
⎢3 1 2⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢⎣5 4⎥⎦
P11
P12
P13
P21
P22
P23
P31
P32
P33
Usamos as designações dos elementos da matriz produto todas em letras maiúsculas,
para podermos enxergar melhor!
Os índices desses elementos da matriz produto terão uma interpretação especial.
Temos que saber o seguinte: para achar um elemento da matriz produto, estaremos sempre
multiplicando uma linha da primeira matriz por uma coluna da segunda matriz.
Sempre assim!
Daí, na hora de calcular o valor do elemento P11, faremos o produto entre os
elementos da 1ª linha da 1ª matriz, com os elementos da 1ª coluna da 2ª matriz. Ou seja, os
índices desse elemento P11 (da matriz produto) significam o seguinte:
P11
1ª linha da 1ª matriz
1ª coluna da 2ª matriz
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Assim, na hora de calcular o elemento P11, faremos:
2
1
3
2
5
4
x
1
2
3
1
3
Æ P11=(2x1)+(1x3)=2+3=5
2
Observem que, na hora de fazer esse produto, multiplicamos o (1º elemento da linha
pelo 1º elemento da coluna), e somamos com o produto do (2º elemento da linha pelo 2º
elemento da coluna).
Vamos adiante, para fixarmos melhor esse procedimento do produto de matrizes.
Encontremos agora o elemento P12. Faremos:
P12
1ª linha da 1ª matriz
2
1
3
2
5
4
x
1
2
3
1
2ª coluna da 2ª matriz
3
Æ P12=(2x2)+(1x1)=4+1=5
2
Calculemos agora o P13. Teremos:
P13
1ª linha da 1ª matriz
2
1
3
2
5
4
x
3ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P13=(2x3)+(1x2)=6+2=8
Calculemos o P21. Teremos:
P21
2ª linha da 1ª matriz
1ª coluna da 2ª matriz
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2
1
3
2
5
4
x
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(3x1)+(2x3)=3+6=9
Calculemos o P22. Teremos:
P22
2ª linha da 1ª matriz
3
1
3
2
5
4
x
2ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(3x2)+(2x1)=6+2=8
Calculemos o P23. Teremos:
P23
2ª linha da 1ª matriz
4
1
3
2
5
4
x
3ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(3x3)+(2x2)=9+4=13
Calculemos o P31. Teremos:
P31
3ª linha da 1ª matriz
5
1
3
2
5
4
x
1ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(5x1)+(4x3)=5+12=17
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19
Calculemos o P32. Teremos:
P32
3ª linha da 1ª matriz
6
1
3
2
5
4
x
2ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(5x2)+(4x1)=10+4=14
Calculemos, finalmente, o P33. Teremos:
P33
3ª linha da 1ª matriz
7
1
3
2
5
4
x
3ª coluna da 2ª matriz
1
2
3
3
1
2
Æ P21=(5x3)+(4x2)=15+8=23
Com isso, chegamos ao nosso resultado final, ou seja, à matriz produto P, que é a
seguinte:
⎡5 5 8⎤
⎢
P= 9
8 13 ⎥⎥
⎢
⎢⎣17 14 23⎥⎦
Pois bem! Será sempre esse o caminho utilizado para se fazer o produto de duas
matrizes! Com um pouquinho de calma e atenção, logo estará assimilado.
Agora que já sabemos multiplicar matrizes, vejamos o que ocorre se uma das matrizes
que estiverem sendo multiplicadas for a matriz identidade. Façamos um exemplo:
⎡1 2⎤
⎡1 0⎤
e B= ⎢
⎥
⎥.
⎣3 4⎦
⎣0 1 ⎦
Exemplo) Multiplique as matrizes A= ⎢
Sol.:
Observem que o enunciado não diz expressamente que a matriz B é a a matriz
identidade de 2ª ordem! Isso você já tem que saber! Daí, o primeiro passo será averiguar se é
mesmo possível fazer esse produto e, em caso afirmativo, qual será a dimensão da matriz
produto. Faremos:
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(A2x2)
(B2x2)
x
(2x2) x
(2x2)
“meios”
“extremos”
Conclusão: o produto é possível, e a matriz resultante terá dimensão 2x2.
Passemos, agora, ao cálculo de cada elemento da matriz P (Produto). Teremos:
P11
1ª linha da 1ª matriz
1
2
3
4
x
1
0
0
1
1ª coluna da 2ª matriz
Æ P11=(1x1)+(2x0)=1+0=1
P12
1ª linha da 1ª matriz
1
2
3
4
x
1
0
0
1
2ª coluna da 2ª matriz
Æ P12=(1x0)+(2x1)=0+2=2
P21
2ª linha da 1ª matriz
1
3
2
4
x
1
0
0
1
1ª coluna da 2ª matriz
Æ P21=(3x1)+(4x0)=3+0=3
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20
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21
P22
2ª linha da 1ª matriz
1
2
3
4
x
1
0
0
1
2ª coluna da 2ª matriz
Æ P22=(3x0)+(4x1)=0+4=4
⎡1 2⎤
⎥ .
⎣3 4⎦
E chegamos finalmente ao seguinte: P= ⎢
Ora, se observarmos bem, veremos que a matriz produto P é exatamente igual à matriz
A. Não foi coincidência! Com esse exemplo, concluiremos que sempre que multiplicarmos
uma matriz A qualquer pela matriz identidade, o resultado será a própria matriz A.
Essa informação pode ser útil na hora de resolver alguma questão de prova, como
veremos daqui a pouco!
# Matriz Transposta:
Trata-se de um conceito muito visado pelas elaboradoras! E também um conceito muito
simples. Se temos uma matriz A qualquer, diremos que a matriz transposta de A, designada
por At, será aquela que resultar de uma transposição entre linhas e colunas da matriz original.
Dito de uma forma mais fácil: para chegarmos à matriz transposta, tomaremos a matriz
original e, nesta última, quem é linha vai virar coluna! Só isso!
Vejamos por meio de alguns exemplos:
⎡1 2⎤
⎥.
⎣3 4⎦
Exemplo) Encontre a matriz transposta da matriz A= ⎢
Sol.:
⎡1 2⎤
⎥
⎣3 4⎦
Muito simples! Quem é a primeira linha da matriz A? Vejamos: A= ⎢
Pois bem! Vai virar primeira coluna da transposta! Teremos:
⎡1
⎣2
Æ At = ⎢
⎤
⎥
⎦
⎡1 2⎤
⎥
⎣3 4⎦
Agora, quem é a segunda linha da matriz A? Vejamos: A= ⎢
Vai virar segunda coluna da matriz transposta! Teremos:
⎡
Æ At = ⎢
⎣
3⎤
4⎥⎦
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22
Enfim, é apenas isso: na matriz transposta, quem era linha virou coluna! E só!
Vejamos:
⎡1 2⎤
⎡1 3 ⎤
, então, a matriz At = ⎢
⎥
⎥
⎣3 4⎦
⎣ 2 4⎦
Æ Æ Se A= ⎢
Passemos a mais uma questão de prova, que reúne alguns dos conceitos já aprendidos
até aqui.
# Questão Resolvida:
(ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes
⎡0 1 ⎤
⎥ ,B=
⎣1 0 ⎦
A =⎢
⎡ 3 / 5 − 7 / 8⎤
⎢4 / 7 25 / 4 ⎥ , C =
⎣
⎦
0 ⎤
⎡ 0
⎢3 / 7 − 29 / 4⎥
⎣
⎦
e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a
matriz Y é dada por Y = (AB) + C, então o valor de x é:
a) - 7/8
b) 4/7
c) 0
d) 1
e) 2
Sol.:
Essa caiu no Fiscal da Receita de 1998. Não é questão difícil. Vejamos.
O enunciado pede alguma coisa relacionada com elementos de uma matriz Y, e afirma
que essa matriz Y é dada por Y=(A.B)+C.
Ora, seria bem trabalhoso termos que fazer o produto entre as matrizes A e B, não
fosse pelo fato de a matriz A ser a própria matriz identidade! Todos viram isso?”
Claro! E assim sendo, já sabemos que esse produto é desnecessário, pois acabamos de
aprender que o resultado dessa multiplicação será a própria matriz B.
Daí, concluímos que: Y=B+C.
Precisamos agora somar essas matrizes B e C. E isso é facílimo. Teremos:
0 ⎤ ⎡ 3 / 5 − 7 / 8⎤ ⎡3 / 5 − 7 / 8⎤
⎡ 3 / 5 − 7 / 8⎤ ⎡ 0
+⎢
⎥
⎥ =⎢
⎥=⎢
− 1 ⎥⎦
⎣4 / 7 25 / 4 ⎦ ⎣3 / 7 − 29 / 4⎦ ⎣7 / 7 − 4 / 4⎦ ⎣ 1
Y= ⎢
Pois bem! Dispondo agora da matriz Y, precisamos encontrar a sua transposta.
Teremos:
1⎤
⎡ 3/ 5
⎥
⎣− 7 / 8 − 1⎦
Æ Yt = ⎢
Finalmente, pede o enunciado que somemos os elementos da segunda coluna dessa
matriz transposta que acabamos de encontrar. Teremos:
1⎤
⎡ 3/ 5
⎥ Æ 1+(-1) = 0 Æ Resposta!
⎣− 7 / 8 − 1⎦
Æ Yt = ⎢
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23
Restam ainda alguns conceitos de matrizes, os quais devemos conhecer para concluir
nosso estudo. Todavia, para chegarmos a estudá-los, convém antes falarmos acerca dos
Determinantes!
# Determinantes:
Um determinante é, por assim dizer, como um resultado de uma matriz quadrada!
Observem que só há que se falar em determinante se estivermos trabalhando com uma
matriz quadrada!
Precisamos, pois, conhecer os métodos para cálculo dos determinantes. Faremos isso,
progredindo com as respectivas dimensões das matrizes quadradas.
Æ Determinante de uma Matriz Quadrada de 1ª Ordem:
Se a matriz é quadrada de 1ª ordem, significa que ela tem apenas uma linha e uma
coluna. Trata-se de uma matriz de dimensão 1x1. Ora, em tal matriz só há um único
elemento!
E seu determinante será o próprio elemento que compõe a matriz!
Assim, teremos:
ÆSe A=[2], então det A=2
ÆSe B=[-5], então det B=-5
Æ Determinante de uma Matriz Quadrada de 2ª Ordem:
Será calculado em dois passos. No primeiro passo, multiplicaremos os elementos da
diagonal principal e os elementos da diagonal secundária. No segundo, subtrairemos esses
resultados do primeiro passo: (produto da diagonal principal menos produto da diagonal
secundária). É realmente muito fácil. Vejamos alguns exemplos:
⎡3 3⎤
⎥
⎣1 2⎦
Exemplo) Calcule o determinante da matriz A= ⎢
Sol.:
Reconhecendo as diagonais e fazendo o produto de seus elementos, teremos:
3
3
1
2
Diag. Principal: 3x2=6
3
3
1
2
Diag. Secundária: 3x1=3
Daí, teremos que: det A = (6) – (3) = 3
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24
⎡1 2⎤
⎥.
⎣3 4⎦
Exemplo) Calcule o determinante da matriz B= ⎢
Sol.:
Faremos:
⎡1 2⎤
⎢3 4⎥
⎣
⎦
(2x3)=6
Daí, teremos que: det B = 4 – 6 = -2
(1x4)=4
⎡1 − 3⎤
⎥.
⎣4 − 5⎦
Exemplo) Calcule o determinante da matriz C= ⎢
Sol.:
Faremos:
(-3x4)=-12
⎡1 − 3⎤
⎢4 − 5⎥
⎣
⎦
Daí, teremos que:det C=-5–(-12)=-5+12=7
(1x-5)=-5
Æ Determinante de uma Matriz Quadrada de 3ª Ordem:
Há vários métodos que podem ser utilizados neste caso. Apresentaremos um que nos
parece o mais simples. Seguiremos os passos abaixo, mostrados nos exemplos abaixo.
Vejamos:
⎡1 3 2 ⎤
⎢
⎥
Exemplo) Calcular o determinante da matriz A= 2 2 1
⎢
⎥
⎢⎣1 1 2⎥⎦
Sol.:
Æ 1º Passo) Tomaremos os elementos extremos da primeira linha e os projetaremos
para baixo, colocando-os numa quarta linha fictícia. Da seguinte forma:
1
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2
Æ 2º Passo) Faremos o mesmo com os elementos extremos da terceira linha, só que
projetando-os para cima, para uma fictícia nova primeira linha! Assim:
1
2
1
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2
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25
Com esses dois passos iniciais, é como se passássemos agora a trabalhar com uma
matriz de cinco linhas (embora a primeira nova linha e a última nova linha sejam incompletas)!
Vejamos:
1
2
1
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2
Pois bem! Com isso, olhando atentamente, seremos capazes de identificar três
diagonais, no mesmo sentido da diagonal principal. Vejamos:
1
2
1
3
2
2
2
1
1
1
1
2
2
Æ 3º Passo) Calcularemos os produtos dos elementos de cada uma das três diagonais
identificadas acima, e somaremos esses resultados. Teremos:
1
2
1
3
2
2
2
1
1
1
1
2
1x3x1=3
2
1x2x2=4
2x1x2=4
Soma = 11
Æ 4º Passo) Identificaremos agora as três diagonais, só que no sentido da diagonal
secundária. Daí, uma vez identificadas, encontraremos os produtos de cada uma delas, e os
somaremos.
Assim, teremos:
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1
1
2x3x2=12
2x2x1=4
2
1
1
26
2
3
2
1
2
1
2
2
1x1x1=1
Soma = 17
Æ 5º Passo) Fazer a diferença entre os resultados encontrados no dois passos
anteriores, ou seja, a diferença entre as diagonais principais e as diagonais secundárias.
Teremos:
det A = 11 – 17 = -6
Percebamos que, a cada vez que aumenta a dimensão da matriz quadrada, piora o
cálculo do determinante. Assim, parece-nos realmente inviável, na hora de uma prova, que
seja exigido o cálculo de um determinante de uma matriz de 4ª ordem!
Todavia, há algo importante que precisamos saber. Vejamos:
# IMPORTANTE: Se estivermos trabalhando com uma matriz diagonal ou com uma matriz
triangular, o seu determinante será calculado como o produto dos
elementos da diagonal principal.
Esses conceitos – matriz diagonal e matriz triangular – foram vistos mais no início desta
aula de hoje. Quem estiver meio esquecido, é só dar uma conferida! Vejamos alguns
exemplos:
⎡ 2 0⎤
Æ det ⎢
⎥= 2 x 3 = 6
⎣ 0 3⎦
⎡ 2 4⎤
⎥= 2 x 3 = 6
⎣0 3⎦
Æ det ⎢
⎡1 0 0⎤
⎢
⎥
Æ det 0 2 0 =1x2x3=6
⎢
⎥
⎢⎣0 0 3⎥⎦
⎡1 0 0 ⎤
⎢
⎥
Æ det 3 2 0 =1x2x3=6
⎢
⎥
⎣⎢4 5 3⎥⎦
Com essa informação, somos capazes de resolver a seguinte questão, cobrada muito
recentemente em concurso elaborado pela Esaf.
Vejamos:
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⎡2 2
⎢0 − a
(Técnico MPU/2004-2) O determinante da matriz X= ⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
27
b 0 ⎤
a − a ⎥⎥
, onde a e b são
5 b ⎥
⎥
0 6 ⎦
inteiros positivos tais que a>1 e b>1, é:
a)
b)
c)
d)
e)
-60a
0
60a
20ba2
a(b-60)
Sol.:
Ora, tudo o que precisávamos era ter percebido que essa matriz X fornecida pelo
enunciado é uma matriz triangular. Vejamos novamente:
⎡2 2
⎢0 − a
X= ⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
b 0 ⎤
a − a ⎥⎥
5 b ⎥
⎥
0 6 ⎦
Com isso, teremos que o determinante da matriz será igual ao produto dos elementos
de sua diagonal principal.
Ou seja:
⎡2 2
⎢0 − a
X= ⎢
⎢0 0
⎢
⎣0 0
b 0 ⎤
a − a ⎥⎥
5 b ⎥
⎥
0 6 ⎦
Æ det X = 2x(-a)x5x6 = -60a Æ Resposta!
Resolução em um minuto ou menos!
Três conceitos de matrizes ainda restam ser estudados por nós: matriz dos cofatores,
matriz adjunta e matriz inversa! Temos também algumas propriedades de determinantes para
comentar. Mas esses tópicos faltantes ficarão mesmo para a próxima aula.
Por hoje, já aprendemos (ou relembramos) muita coisa!
Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que
vocês façam o possível para tentar resolver essas questões!
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!
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28
Dever de Casa
01. (TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3), (3x4) e
(4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
⎡1 2⎤
⎡ 2⎤
⎡a ⎤
=
X
=
,
B
e
⎥
⎢1 ⎥
⎢b ⎥ , assinale os valores de a
⎣0 1 ⎦
⎣ ⎦
⎣ ⎦
02. (TFC 1995) Dada as matrizes A = ⎢
e b, de modo que AX=B
a) a=0 e b=1
b) a=1 e b=0
c) a=0 e b=0
d) a=1 e b=1
e) a=0 e b=-1
03. (AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser
representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento
se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das
matrizes
A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o
produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
04. (Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes
⎡1 4 ⎤
⎡1 3 4 5⎤
A = ⎢⎢2 6⎥⎥ e B = ⎢
⎥
⎣1 2 3 4⎦
⎢⎣3 3⎥⎦
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X é a
matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
a) 2.
b) 1/2.
c) 3.
d) 1/3.
e) 1.
05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual
a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 40
e) 80
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29
06. (MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando
linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui
determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é
igual a:
a) –2
b) –1/2
c) 4
d) 8
e) 10
07. (AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual
a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem
determinante igual a
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
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1
AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II)
Olá, amigos!
Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 15 na semana
passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas ei-nos aqui, para encerramos
o assunto iniciado na aula passada – Matrizes.
Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto e que tenham resolvidos as
questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém tenha encontrado alguma
dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções, apresentadas na seqüência.
Vamos a elas!
Dever de Casa
01.(TFC-97) Se A, B e C são matrizes de ordens respectivamente iguais a (2x3),
(3x4) e (4x2), então a expressão [A . (B . C)]2 tem ordem igual a:
a) 2 x 2
b) 3 x 3
c) 4 x 4
d) 6 x 6
e) 12 x 12
Sol.:
Uma questão que trata unicamente acerca da ordem (dimensão) das matrizes. E isso já
aprendemos perfeitamente. Vamos, portanto, substituir a letra da matriz pela sua dimensão,
conforme nos forneceu o enunciado. Ok?
Teremos:
Æ [A. (B . C)]2 = {(2x3).[(3x4).(4x2)]2}
Primeiramente devemos fazer o produto das matrizes B e C, que estão dentro do
parêntese! Teremos:
(B3x4)
(3 x 4)
x
x
(C4x2)
(4 x 2)
“meios”
“extremos”
O resultado, conforme podemos ver no esquema acima, será uma nova matriz de
dimensão (3x2), que são os extremos das dimensões das matrizes multiplicadas!
Pois bem! Teremos agora é multiplicar a matriz A, de dimensão (2x3) pela matriz
produto que acabamos de encontrar, de dimensão (3x2). Teremos:
(2 x 3)
x
(3 x 2)
“meios”
“extremos”
Daí, chegamos a uma nova matriz, de dimensão (2x2), conforme percebemos pelo
esquema acima. Esse é o resultado final do produto [A . (B . C)].
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2
Só que a questão quer mais! Quer que elevemos esse resultado ao quadrado! Viram? É
preciso, finalmente, que nós multipliquemos essa matriz resultante por ela mesma. Teremos,
pois, que:
(2 x 2)
x
(2 x 2)
“meios”
“extremos”
Ou seja, o resultado final da expressão trazida pelo enunciado é justamente uma matriz
quadrada de 2ª ordem: uma matriz de dimensão (2x2) Æ Resposta!
1 2
 2
a 
,
e
B
=
X
=

1 
b  , assinale os valores
0 1 
 
 
02.(TFC 1995) Dada as matrizes A = 
de a e b, de modo que AX=B
a) a=0 e b=1
b) a=1 e b=0
c) a=0 e b=0
d) a=1 e b=1
e) a=0 e b=-1
Sol.: A questão quer que façamos o produto entre as matrizes A e X, e que igualemos esse
resultado à matriz B. Comecemos, pois, pelo produto. Teremos:
1 2 a  1a + 2b a + 2b
x = 
=

0 1 b  0a + 1b   b 
ÆA.X= 
Daí, igualando a matriz produto encontrada acima à matriz B, teremos:
a + 2b 2
= 
 b  1 
Æ 
Dessa igualdade, extrairemos os seguintes resultados:
Æ a+2b=2
e
Æ b=1
Pronto! Se b=1, então, substituindo esse resultado na primeira equação acima,
teremos que:
Æ a+2b=2 Æ a=2-2b Æ a=2-2(1) Æ a=2-2 Æ a=0
Com isso, chegamos ao nosso resultado: a=0 e b=1 Æ Resposta!
03.(AFC/CGU 2003/2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M
pode ser representado por mij, onde “i” representa a linha e “j” a coluna em
que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem, é a
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3
matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B=(bij). Sabendo-se que
aij = i2 e que bij = (i-j)2, então o produto dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 16
b) 18
c) 26
d) 65
e) 169
Sol.: Resolvemos questões praticamente iguais a essa na aula passada. Se o enunciado pede
que calculemos o valor de X31 e de X13, e é dito que a matriz X é a que resulta da soma entre
as matrizes A e B, então, na verdade, somente nos interessarão os valores dos seguintes
elementos: A31 e A13, B31 e B13. Mais do que isso não precisa, uma vez que teremos que:
Æ X31 = A31 + B31 e
Æ X13 = A13 + B13
que:
A lei de formação da matriz A é dada pela questão como sendo aij = i2. Daí, teremos
Æ A31 = (3)2 = 9 e
A13 = (1)2 = 1
Já no tocante à matriz B, teremos que sua lei de formação é a seguinte: bij = (i-j)2. Daí:
Æ B31 = (3-1)2 = 4 e
B13 = (1-3)2 = 4
De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:
Æ X31 = A31 + B31 Æ X31 = 9+4 = 13
Æ X13 = A13 + B13 Æ X13 = 1+4 = 5
O que nos pede, finalmente, a questão? Pede que multipliquemos esses dois últimos
resultados obtidos. Teremos, pois, que:
Æ X31 . X13 = 13 x 5 = 65 Æ Resposta!
04.(Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Sejam as matrizes
1 4 
1 3 4 5
A = 2 6 e B = 

1 2 3 4
3 3
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t , isto é, a matriz X
é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e
x12 é igual a
a) 2.
b) 1/2.
c) 3.
d) 1/3.
e) 1.
Sol.: Mais uma bem ao estilo da Esaf. O primeiro a ser feito é multiplicarmos as duas matrizes
fornecidas pelo enunciado. Teremos o seguinte:
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4
1 4 
(1x1 + 4 x1) (1x3 + 4 x 2) (1x 4 + 4 x3) (1x5 + 4 x 4)  5 11 16 21 
2 6 x 1 3 4 5 = (2 x1 + 6 x1) (2 x3 + 6 x 2) (2 x 4 + 6 x3) (2 x5 + 6 x 4) = 8 18 26 34 

 1 2 3 4 
 

 (3 x1 + 3 x1) (3 x3 + 3 x 2) (3 x 4 + 3 x3) (3 x5 + 3 x 4)  6 15 21 27 
3 3 

 

Pois bem! Teremos agora que pegar essa matriz produto que encontramos acima, e
construir a sua transposta! Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna,
e só! Teremos, pois, que a matriz X será a seguinte:
05
11
t
Æ X=(A.B) = 
16

21
08
18
26
34
06
15 
21 

27 
Daí, o próximo passo será descobrir quais são os valores que ocupam as posições X31 e
X12. Quais são? Ora, é só olhar! Encontraremos que: X31=16 e X12=8.
Finalmente, a questão pede que nós calculemos a razão entre X31 e X12. Teremos:
Æ X31/X12=16/8 = 2 Æ Resposta!
05. (SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem,
determinante igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 40
e) 80
possui
Sol.: Se, na hora da prova, ficar difícil de enxergar um caminho para o resultado, é
aconselhável que você crie uma matriz com as características que o enunciado pede. Neste
caso, uma de dimensão (3x3) cujo determinante seja igual a 5.
Aprendemos como fazer isso na aula passada! Lembrados? Bastaria zerarmos todos os
valores da matriz, exceto os da diagonal principal, os quais teriam que ser escolhidos, de modo
que seu produto seja exatamente igual a 5. Uma possibilidade é a seguinte:
1 0 0


Æ A= 0 1 0


0 0 5
Concordam? Vejam que o produto dos elementos da diagonal principal é 5. Como todos
os outros elementos da matriz são iguais a zero, concluímos que o determinante dessa matriz
é 5. Agora a questão pede que nós construamos a matriz 2A e que calculemos o novo
determinante. Façamos isso. Teremos:
1 0 0
2 0 0 




Æ Se A= 0 1 0 , então 2A= 0 2 0




0 0 5
0 0 10
Percebamos que os elementos não pertencentes à diagonal principal continuaram todos
iguais a zero. Logo, o determinante da nova matriz será também o produto dos elementos de
sua diagonal principal.
Ou seja: det(2A)=2x2x10=40 Æ Resposta!
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5
06.(MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém
trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de
segunda ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro
de sua matriz transposta é igual a:
a) –2
b) –1/2
c) 4
d) 8
e) 10
Sol.: Aqui nos fala a questão acerca de uma matriz (2x2) cujo determinante é igual a 2.
Poderemos construir uma matriz com essas característica. Uma possível seria a seguinte:
1 0

0 2 
Æ A= 
1 0
 , que é a própria matriz A.
0 2 
Daí, a matriz transposta de A seria dada por: Æ At= 
Agora, descobriremos qual é a matriz que representa o dobro da encontrada acima.
Teremos:
1 0 2 0
=
 , cujo determinante é 8 Æ Resposta!
0 2   0 4 
Æ 2.At = 2x 
07.(AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui
determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X,
então a matriz Y = 3Z tem determinante igual a
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
Sol.: Questão semelhante à anterior, só que agora estamos diante de uma matriz de dimensão
(3x3), cujo determinante é igual a 3. Criando uma matriz assim, teremos:
1 0 0


Æ X= 0 1 0


0 0 3
Daí, a transposta de X será igual à própria matriz X. Concordam? Agora, teremos que
multiplicar essa matriz por 3. Teremos:
1 0 0
3 0 0




Æ Se X= 0 1 0 , então 3X= 0 3 0 , cujo determinante é 81 Æ Resposta!




0 0 3
0 0 9
Passemos a nossa aula de hoje! Nesta aula encerramos os assuntos de Matriz e
Determinante.
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6
# MENOR COMPLEMENTAR
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos
menor complementar do elemento aij , e indicamos por Dij , como sendo o determinante da
matriz que se obtém, suprimindo a linha i e a coluna j de M.
Exemplo 01) Calcule o menor complementar dos elementos da 1ª coluna da matriz M.
2
3
-2
M=
0
5
4
-1
1
6
Sol.: Os elementos da 1ª coluna são: a11 , a21 e a31, daí o menor complementar desses
elementos serão indicados, respectivamente, por: D11 , D21 e D31.
1) Cálculo de D11
2
3
-2
M=
0
5
4
-1
1
6
5
4
Daí: D11 = det
1
6
Æ D11 = 5x6 – 4x1
Æ D11 = 26
2) Cálculo de D21
2
3
-2
M=
0
5
4
-1
1
6
0
4
Daí: D21 = det
-1
6
Æ D21 = 0x6 – 4x(-1)
Æ D21 = 4
3) Cálculo de D31
M=
2
3
-2
0
5
4
-1
1
6
Daí: D31 = det
0
5
-1
1
Æ D31 = 0x1 – 5x(-1)
Æ D31 = 5
# COFATOR
Consideremos uma matriz M de ordem n ≥ 2, seja aij um elemento de M. Definimos
cofator de aij , e indicamos por Aij , como sendo o número (-1)i+j. Dij .
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7
Exemplo 02) Calcule o cofator para cada elemento da 1ª coluna da matriz M.
M=
2
3
-2
0
5
4
-1
1
6
Sol.:
No exemplo anterior havíamos calculado o menor complementar para cada elemento da
1ª coluna, e obtivemos os seguintes resultados:
D11 = 26 ,
D21= 4
e
D31 = 5
Este exemplo pede os seguintes cofatores: A11 , A21 e A31 .
Aplicaremos a fórmula do cofator de um elemento: Aij = (-1)i+j. Dij
Æ A11 = (-1)1+1. D11
Æ A11 = (-1)2. 26
Æ A11 = 26
Æ A21 = (-1)2+1. D21
Æ A21 = (-1)3. 4
Æ A21 = -4
Æ A31 = (-1)3+1. D31
Æ A21 = (-1)4. 5
Æ A31 = 5
# TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAPLACE
O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos
elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Como demonstração, calcularemos o determinante da matriz dada no exemplo anterior.
De acordo com o teorema acima, qualquer linha ou coluna pode ser usada para o
cálculo do determinante. Como faremos o produto do elemento pelo seu cofator, é
interessante que escolhamos uma linha ou coluna que tenha a maior quantidade de zeros, pois
é desnecessário calcular o cofator dos elementos que são iguais a zero.
Na matriz M abaixo, deveríamos escolher a 1ª linha ou a 2ª coluna, pois ambas tem um
zero. Porém, como no exemplo anterior escolhemos a 1ª coluna para calcularmos os cofatores,
então usaremos a 1ª coluna no cálculo do determinante da matriz M.
M=
2
3
-2
0
5
4
-1
1
6
Æ Cálculo do determinante da matriz M:
Usando a 1ª coluna, o determinante de M é dado por:
Æ det M = a11A11 + a21A21 + a31A31
Havíamos obtido no exemplo anterior: A11=26 , A21=-4 e A31=5 .
Æ Daí: det M = 2.26 + 3.(-4) + (-2).5
Æ det M = 52 – 12 – 10
Æ E, finalmente: det M = 30
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8
# INVERSA DE UMA MATRIZ
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é uma matriz inversível se
existir uma matriz, chamada de A-1 , tal que A.A-1 = A.A-1 = In . Onde In é a matriz
identidade de ordem n. Se A não é inversível, dizemos que A é uma matriz singular.
Exemplo 03) Calcule a inversa da matriz M.
0
5
M=
-1
1
a
c
Procuramos por M-1 que representaremos pela matriz:
b
d
Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz M pela sua inversa M-1 é
igual a matriz identidade.
Portanto, teremos:
M-1 x M = I
a
c
Æ
b
d
x
0
2
-1
1
=
1
0
0
1
Já vimos como se multiplica duas matrizes, portanto só daremos o resultado do produto
M-1 x M . Teremos:
2b
2d
-a+b
-c+d
=
1
0
0
1
Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que:
2b = 1
-a+b = 0
2d = 0
-c+d = 1
Encontraremos os valores de a, b, c e d.
Æ Como 2b=1, então b=0,5.
Æ Como 2d=0, então d=0.
Æ -a+b=0
Æ -a+0,5=0
Æ -c+d=1
Æ -c+0=1
Æ a=0,5
Æ c=-1
Daí, a inversa da matriz M será a seguinte matriz:
0,5
-1
M-1 =
0,5
0
Exemplo 04) Calcule a inversa da matriz B.
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
Sol.: Para uma matriz de ordem maior que 2, o método que usamos no exemplo
anterior para o cálculo da matriz inversa pode ser mais trabalhoso. Mostraremos um outro
método para encontrar a inversa de uma matriz.
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9
Podemos obter a inversa de uma matriz pela fórmula:
M −1 =
M
det M
Onde: M é a matriz adjunta.
O que é matriz adjunta?
Æ Matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
E o que é matriz dos cofatores?
Æ É a matriz que se obtém de M , substituindo cada elemento de M por seu cofator.
Vamos calcular a matriz dos cofatores da matriz B dada abaixo:
2
3
-2
B=
0
2
4
-1
-4
1
1) Cofator A11 = ?
A11 = (-1)1+1. D11 = (-1)2. D11 = D11
2
3
-2
B=
0
2
4
-1
-4
1
D11 = det
2
4
-4
1
D11 = 2x1 – 4x(-4) =18
A11 = D11 = 18
2) Cofator A12 = ?
A12 = (-1)1+2. D12 = (-1)3. D12 = –D12
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D12 = det
3
-2
-4
1
3
-2
2
4
D12 = 3x1 – (-2)x(-4) = –5
A12 = –D12 = –(–5) = 5
3) Cofator A13 = ?
A13 = (-1)1+3. D13 = (-1)4. D13 = D13
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D13 = 3x4 – (-2)x2 = 16
D13 = det
Æ
A13 = D13 = 16
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4) Cofator A21 = ?
A21 = (-1)2+1. D21 = (-1)3. D21 = –D21
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D21 = 0x1 – 4x(-1) = 4
0
4
D21 = det
Æ
-1
1
A21 = –D21 = –4
5) Cofator A22 = ?
A22 = (-1)2+2. D22 = (-1)4. D22 = D22
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D22 = 2x1 – (-2)x(-1) = 0
2
-2
D22 = det
Æ
-1
1
A22 = D22 = 0
6) Cofator A23 = ?
A23 = (-1)2+3. D23 = (-1)5. D23 = –D23
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D23 = 2x4 – (-2)x0 = 8
D23 = det
Æ
2
-2
0
4
A23 = –D23 = –8
7) Cofator A31 = ?
A31 = (-1)3+1. D31 = (-1)4. D31 = D31
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D31 = 0x(-4) – 2x(-1) = 2
D31 = det
Æ
0
2
-1
-4
A31 = D31 = –8
8) Cofator A32 = ?
A32 = (-1)3+2. D32 = (-1)5. D32 = –D32
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D32 = 2x(-4) – 3x(-1) = -5
D32 = det
Æ
2
3
-1
-4
A32 = –D32 = –(–5) = 5
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10
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11
9) Cofator A33 = ?
A33 = (-1)3+3. D33 = (-1)6. D33 = D33
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
D32 = det
D33 = 2x2 – 3x0 = 4
Æ
2
3
0
2
A33 = D33 = 4
Æ Portanto, a matriz dos cofatores de B é a seguinte matriz:
18
-4
-8
que:
5
0
5
16
-8
4
Æ A matriz adjunta de B ( B ) é a transposta da matriz dos cofatores, então teremos
Matriz adjunta: B =
18
5
16
-4
0
-8
-8
5
4
Æ Só falta calcular o determinante da matriz B para obtermos a matriz inversa B-1.
Utilizaremos o Teorema de Laplace para calcularmos o determinante da matriz B. Por
este teorema, o determinante de uma matriz é igual a soma dos produtos dos elementos de
uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.
Escolheremos a primeira linha da matriz B!
B=
2
3
-2
0
2
4
-1
-4
1
Aplicando o teorema:
Æ det B = 2A11 + 0A12 + (-1)A13
Æ det B = 2x18 + 0x5 + (-1)x16
Æ det B = 20
Agora é só aplicar a fórmula da inversa de uma matriz: B −1 =
18 − 4 − 8
5
0
5 

16 − 8 4 
Æ B −1 =
20
 18
 20
5
Æ B −1 = 
 20
 16
 20
−4
20
0
20
−8
20
B
det B
− 8
20 
5 

20 
4 
20 
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12
 0,9 − 0,2 − 0,4

Æ B = 0,25
0
0,25  ( E finalmente encontramos a inversa!)

 0,8 − 0,4 − 0,2
−1
# PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES
1. Matriz Transposta
Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então:
det(Mt) = det(M)
2. Fila Nula
Se os elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n
forem todos nulos, então:
det(M) = 0
3. Multiplicação de uma fila por uma constante
Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por
um número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.
det(k vezes uma fila de M) = k.det(M)
4. Multiplicação de uma Matriz por uma constante
Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova
matriz será o produto de kn pelo determinante de M.
det (k.M) = kn det(M)
5. Filas paralelas iguais
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos
respectivamente iguais, então:
det(M) = 0
6. Filas paralelas proporcionais
Se uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos
respectivamente proporcionais, então:
det(M) = 0
7. Troca de filas Paralelas
Seja A uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas
obteremos uma nova matriz B tal que:
det(A) = – det(B)
8. Produto de Matrizes
Seja A e B são matrizes quadradas de ordem n, então:
det(A.B) = det(A).det(B)
9. Matriz Triangular
O determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
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13
1 − 2 0 


Ex.1 : A = 0 6 1 → det(A) = 1 x 6 x 3 = 18


0 0 3
2 0 0


Ex.2: B = 5 10 0


− 1 2 − 3
→ det(B) = 2 x 10 x (-3) = -60
.
10. Matriz Inversa
Seja B a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de B e A é dado
por:
det( B) =
1
det( A)
# SISTEMAS LINEARES
1. Conceito de Equação Linear
Antes de conhecermos um Sistema Linear, devemos saber o que é uma equação linear.
Chamamos de equação linear toda equação do tipo:
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b ,
onde: x1, x2, x3, ... , xn são as variáveis ou incógnitas,
a1, a2, a3, ... , an são números reais chamados de coeficientes, e
b é um número real chamado de termo independente da equação.
Æ Exemplos de equações lineares:
1) 2x1 + 5x2 + x3 = 4
2) –3x1 + x2 + 10x3 – x4 = –7
3) 6x1 + 2x2 = 15
Æ Outros exemplos de equações lineares, mas com outras letras para as variáveis:
1) 2x – 3y + z = 1
2) 5y + w = –2
2. Conceito de Sistema Linear
Um sistema linear é um conjunto de equações lineares.
São exemplos de sistemas lineares:
2 x − 5 y = 1
1) 
 x + 4y = 7
− 2 y + 3z = 3
 x

2) − 2 x + y + 5 z = 1
 4 x + 2 y − z = 19

3x + y − z = 8

3) 6 x + 5 y + 4 z = − 1
 x − 9y
= 10

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14
3. Representação de um Sistema Linear em Forma Matricial
Todo sistema linear pode ser escrito na forma matricial. Encontraremos a forma
matricial dos três exemplos dados acima. Ao mesmo tempo aprenderemos a construir a matriz
incompleta e a matriz de cada variável de um sistema linear, que serão úteis mais adiante.
2 x − 5 y = 1
 x + 4y = 7
1) 
forma matricial
 2 − 5  x   1 
1 4  ⋅  y  = 7 

    
termos independentes
coeficientes de x
coeficientes de y
 2 − 5

1 4 
Æ Matriz incompleta do sistema = 
1 − 5

7 4 
Æ Matriz de X = 
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos
independentes)
2 1

1 7 
Æ Matriz de Y = 
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos
independentes)
− 2 y + 3z = 3
 x
 1 − 1 3   x  3 
forma matricial 

2) − 2 x + y + 5 z = 1
5  ⋅  y  =  1 
− 2 1
 4 x + 2 y − z = 19
 4
2 − 1  z  19

coeficientes de x
coeficientes de y
termos
independentes
coeficientes de z
 1 −1 3 

Æ Matriz incompleta do sistema = − 2 1
5 

 4
2 − 1
 3 −1 3 

1
5 
Æ Matriz de X = 1

19 2 − 1
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de x pelos termos
independentes)
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15
3 3
1

Æ Matriz de Y = − 2 1
5 

 4 19 − 1
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de y pelos termos
independentes)
3 3
1


Æ Matriz de Z = − 2 1 1


 4 19 19
(a partir da matriz incompleta substitua os coeficientes de z pelos termos
independentes)
3x + y − z = 8

3) 6 x + 5 y + 4 z = − 1
 x − 9y
= 10

forma matricial
3 1 − 1  x   8 
6 5
4  ⋅  y  = − 1

1 − 9 0   z  10 
4. Solução de um Sistema Linear
2 x − 5 y = 1
 x + 4y = 7
Considere o seguinte sistema, composto por duas equações lineares: 
Um par de valores (x, y) é solução desse sistema, se for solução das duas equações.
2 x − 5 y = 1
 x + 4y = 7
1º exemplo) Encontre a solução do sistema 
Há várias formas de se obter a solução de um sistema de equações, mostraremos uma
forma baseada em determinantes.
O valor de x que satisfaz o sistema é dado por:
x=
determinante da matriz de x___
determinante da matriz incompleta
E o valor de y que satisfaz o sistema é dado por:
y=
determinante da matriz de y___
determinante da matriz incompleta
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os
seus determinantes.
2 − 5

1 4 
matriz incompleta = 
Æ determinante = 2 x 4 – 1 x (-5) = 13
1 − 5

7 4 
Æ determinante = 1 x 4 – 7 x (-5) = 39
matriz de x = 
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2 1

1 7 
matriz de y = 
16
Æ determinante = 2 x 7 – 1 x 1 = 13
Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x=
determinante da matriz de x___ = 39 = 3
determinante da matriz incompleta
13
y=
determinante da matriz de y___ = 13 = 1
determinante da matriz incompleta
13
Resposta: uma única solução:(x=3 , y=1)
Æ Sistema Possível e Determinado!
 2x − 5 y = 1
− 6 x + 15 y = − 3
2º exemplo) Encontre a solução do sistema 
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os
seus determinantes.
 2 − 5

− 6 15 
matriz incompleta = 
Æ determinante = 2 x 15 – (-6) x (-5) = 0
 1 − 5

− 3 15 
Æ determinante = 1 x 15 – (-3) x (-5) = 0
1
 2

− 6 − 3
Æ determinante = 2 x (-3) – (-6) x 1 = 0
matriz de x = 
matriz de y = 
Calculados os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x=
determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta
0
y=
determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta
0
Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Æ Sistema Possível
e Indeterminado!
Vejamos algumas dessas possíveis soluções!
Isolando a incógnita y na 1ª equação (ou na 2ª equação) obteremos:
2x – 5y = 1 Æ
y = (2x – 1)/5
Fazendo x=3, o valor de y é:
y = (2x – 1)/5
Fazendo x=4, o valor de y é:
y = (2x – 1)/5
Æ y = (2 . 3 – 1)/5
Æ y=1
Æ y = (2 . 4 – 1)/5 Æ y = 7/5
Para cada valor de x teremos um y, cujos valores são soluções do sistema.
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17
− 4 y = 10
 x
− 3x + 12 y = 5
3º exemplo) Encontre a solução do sistema 
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os
seus determinantes.
 1 − 4

− 3 12 
matriz incompleta = 
Æ determinante = 1 x 12 – (-3) x (-4) = 0
10 − 4

 5 12 
Æ determinante = 10 x 12 – 5 x (-4) = 140
 1 10

− 3 5 
Æ determinante = 1 x 5 – (-3) x 10 = 35
matriz de x = 
matriz de y = 
Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x=
determinante da matriz de x___ = 140 = não existe (impossível)
determinante da matriz incompleta
0
y=
determinante da matriz de y___ = 35 = não existe (impossível)
determinante da matriz incompleta
0
Resposta: Não existe um par (x,y) que seja solução!
Æ Sistema Impossível!
Através dos três exemplos resolvidos acima, mostramos as três situações possíveis que
podemos encontrar na solução de um sistema linear. Quanto à solução de um sistema linear,
temos a seguinte classificação:
1º) O sistema linear é chamado de “possível” ou “compatível” quando admite pelo
menos uma solução. Por sua vez, temos:
Æ O sistema linear possível é chamado de “determinado” quando a solução for
única;
Æ O sistema linear possível é chamado de “indeterminado” quando houver
infinitas soluções.
2º) O sistema linear é chamado de “impossível” se não houver solução.
Æ Para classificar um sistema quanto ao nº de soluções, utilizaremos a seguinte orientação:
1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for
diferente de zero.
No cálculo das incógnitas (x, y, ...) o determinante da matriz incompleta está no
denominador, e se este determinante é diferente de zero, então teremos um único resultado
para cada incógnita, e, assim, o sistema será possível e determinado. Veja o 1º exemplo
resolvido acima!
2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for
igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero.
Se os determinantes dessas matrizes são iguais a zero, então teremos zero no
numerador e no denominador da fórmula de cálculo das incógnitas. Veja o 2º exemplo
resolvido acima!
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18
3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo
menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero.
Na fórmula de cálculo de uma incógnita, se o numerador é diferente de zero, mas o
denominador é igual a zero, então não existirá valor para essa incógnita, e,
consequentemente, não existirá solução para o sistema. Veja o 3º exemplo resolvido acima!
Obs.: Um sistema linear homogêneo (termos independentes iguais a zero) é sempre
possível. Se o sistema linear homogêneo for possível e determinado apresentará apenas
uma solução (a solução nula, também chamada de solução trivial ou imprópria), e se for
possível e indeterminado apresentará além da solução nula, outras soluções não nulas,
também chamadas de soluções próprias.
Exemplos de sistemas lineares homogêneos:
2 x − 5 y = 0
4 x + 10 y = 0
1) 
 x − 2 y + 3z = 0

2) − 2 x + y + 5 z = 0
4 x + 2 y − z = 0

EXEMPLOS RESOLVIDOS DE SISTEMAS LINEARES:
01.(TFC SFC 2001) Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou
“compatível” quando admite pelo menos uma solução, e é chamado de
“determinado” quando a solução for única e de “indeterminado” quando houver
infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e
2X + WY = Z, pode-se afirmar que se W = -2 e Z = 4, então o sistema é:
a) impossível e determinado
b) impossível ou determinado
c) impossível e indeterminado
d) possível e determinado
e) possível e indeterminado
Sol.:
No início do enunciado da questão se faz uma conceituação do que é sistema possível,
impossível, determinado e indeterminado, que pode nos ajudar caso esqueçamos esses
conceitos no momento da prova. Mas é melhor memorizarmos esses conceitos, pois não
podemos contar que isso sempre vai ocorrer!
O enunciado fornece duas equações:
1ª) X – Y = 2
2ª) 2X + WY = Z
Se substituirmos os valores de W=-2 e de Z=4 na segunda equação, obteremos:
2ª) 2X – 2Y = 4
O sistema linear formado pelas duas equações é o seguinte:
x − y = 2

2 x − 2 y = 4
Passemos a construir a matriz de x, de y e a matriz incompleta, e também calcular os
seus determinantes.
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1 − 1 

 2 − 2
matriz incompleta = 
Æ determinante = 1 x (-2) – 2 x (-1) = 0
2 − 1 

 4 − 2
Æ determinante = 2 x (-2) – 4 x (-1) = 0
1 2 

 2 4
Æ determinante = 1 x 4 – 2 x 2 = 0
matriz de x = 
matriz de y = 
19
Obtidos os determinantes, já temos condições de obter os valores das incógnitas:
x=
determinante da matriz de x___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta
0
y=
determinante da matriz de y___ = 0 = infinitos valores (indeterminado)
determinante da matriz incompleta
0
Resposta: existem infinitos pares (x,y) que são soluções! Æ Sistema Possível
e Indeterminado!
02.(Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Um sistema de equações lineares é
chamado “possível” ou “compatível” quando admite pelo menos uma solução; é
chamado de “determinado” quando a solução for única, e é chamado de
“indeterminado” quando houver infinitas soluções.
ma + 3mb = 0

2a + mb = 4
Assim, sobre o sistema formado pelas equações em que a e b são as incógnitas, é
correto afirmar que
a) se m≠0 e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
b) se m=0, o sistema é impossível.
c) se m=6, o sistema é indeterminado.
d) se m≠0 e a≠2, qualquer valor de b satisfaz o sistema.
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.
Sol.:
- A classificação de um sistema linear é dada por:
determinado (uma única solução)
possível
sistema linear
indeterminado (infinitas soluções)
impossível (nenhuma solução)
- E lembrem-se que:
1) O sistema será possível e determinado se o determinante da matriz incompleta for
diferente de zero.
2) O sistema será possível e indeterminado se o determinante da matriz incompleta for
igual a zero e os determinantes das matrizes das variáveis também forem iguais a zero.
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20
3) O sistema será impossível se o determinante da matriz incompleta for igual a zero e pelo
menos um dos determinantes das matrizes das variáveis for diferente de zero.
- Inicialmente encontraremos o determinante da matriz incompleta:
A matriz incompleta é retirada a partir do sistema de equações.
ma + 3mb = 0

2a + mb = 4
m 3m 

2 m 
matriz incompleta do sistema = 
Æ
Determinante da matriz incompleta:
m 3m 
2
 = m.m – 2.3m = m – 6m
2
m


determinante de 
Æ Vamos analisar para que valores de m o sistema é possível e determinado:
O determinante da matriz incompleta deve ser diferente de zero!
2
Æ m – 6m ≠ 0
Æ m(m-6) ≠ 0
m ≠ 0

Æ  e
m − 6 ≠ 0 → m ≠ 6

Para que m(m-6) seja diferente de zero é necessário que se tenha m≠0 e m≠6.
Ou seja, se m≠0 e m≠6 , então o sistema é possível e determinado!
Acabamos de achar a solução da questão, veja o item e:
e) se m≠0 e m≠6, o sistema é possível e determinado.
Resposta: Alternativa E!
Para aprendermos mais sobre sistemas lineares, veremos outras análises.
Æ Analisaremos para que valores de m o sistema será impossível e que será possível
e indeterminado:
Temos que o determinante da matriz incompleta é igual a: m2 – 6m
Calcularemos os determinantes da matriz de x e de y:
0 3m

4 m 
Æ determinante = 0 x m – 4 x 3m = -12m
m 0

 2 4
Æ determinante = m x 4 – 2 x 0 = 4m
matriz de x = 
matriz de y = 
Consideremos que o determinante da matriz incompleta é igual a zero:
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2
Æ m – 6m = 0
Æ m(m-6) = 0
21
m = 0

Æ  ou
m − 6 = 0 → m = 6

Para que m(m-6) seja igual a zero é necessário que se tenha m=0 ou m=6.
ÆO que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=0?
determinante da matriz x = -12m = -12 x 0 = zero
determinante da matriz y = 4m = 4 x 0 = zero
ÆO que acontece com os determinantes das matrizes de x e de y quando m=6?
determinante da matriz x = -12m = -12 x 6 = -72
determinante da matriz y = 4m = 4 x 6 = 24
Æ Em suma:
Se m=0 teremos:
Æ o determinante da matriz incompleta é igual a zero!
Æ o determinante da matriz de x é igual a zero!
Æ o determinante da matriz de y é igual a zero!
Concluímos, se m=0, o sistema é possível e determinado!
Se m=6 teremos:
Æ o determinante da matriz incompleta é igual a zero!
Æ o determinante da matriz de x é diferente de zero!
Æ o determinante da matriz de y é diferente de zero!
Concluímos, se m=6, o sistema é impossível!
---------------------------------------------------------------------------------------------------Como já dissemos, esta aula encerra os assuntos de Matrizes e Determinantes. Estes
assuntos são muito importantes e sempre tem questões presentes nos concursos.
Seguem as questões do Dever de Casa. É importante, como sempre frisamos, que
vocês façam o possível para tentar resolver essas questões!
Atenção, repetimos três questões do dever de casa passado, pois queremos que vocês
utilizem as propriedades dos determinantes para resolvê-las.
Um forte abraço a todos! E fiquem com Deus!
DEVER DE CASA
01.(AFC/97) Considerando-se as matrizes
 2 4
 e
3 1
A= 
1 1 
.
1 2
B= 
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da matriz
transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:
a) -10
b) -2
c) I
d) 2
e) 10
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22
02.(SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante igual a 5.
O determinante da matriz 2A é igual a:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 40
e) 80
03.(MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando
linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui
determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual
a:
a) –2
b) –1/2
c) 4
d) 8
e) 10
04.(AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3.
Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y = 3Z tem
determinante igual a
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
05.(Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:
 1 1
 X 1


e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X é igual
a:
a) -1
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2
06.(BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes
a b c
a 5 1 


A = 5 3 2  e B = b 3 2 ,
2 4 6 
c 2 3 
de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos
A. det(A) = det(B)
B. det(B) = 2.det(A)
C. det(A) = 2.det(B)
D. det(A) = –2.det(B)
E. det(A) = – det(B)
1 2 3 
1 2 3 
1 2 3






07.(SERPRO 1996) As matrizes: X = 2 4 6

 , Y = 2 5 6  e Z =  2 5 6 
5 3 7 
5 3 15
10 25 30
apresentam, respectivamente, determinantes iguais a:
a) 0, 0 e 0
b) 1, 1 e 1
c) 0, 1 e 1
d) 2, 3 e 4
e) -1, -1 e -1
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23
1 1
 e que n ∈ Ν
0 1
08.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz A = 
e n ≥ 1 então o determinante da matriz An – An-1 é igual a
a) 1
d) n
b) -1
e) n-1
c) 0
09.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes
1 2 3 
 a 2 3


X = 2 4 6 ; Y =  2 b 6
5 3 7 
 5 3 c 
onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do
produto das matrizes X e Y é igual a
a) 0.
d) a+b.
b) a.
e) a+c.
c) a+b+c.
10.(Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A e B,
sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então o
determinante da matriz B é igual a:
d) 2–1/2
a) 21/2
b) 2
e) 1
c) 2–1/4
11.(AFRE MG 2005 ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não singulares e
diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B, onde Z é também
uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:
d) A B C-1
a) A-1 B C
-1
-1
e) C-1 B-1 A-1
b) A C B
-1
-1
c) A C B
12.(AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e B. A
primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à
terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A. Sabendo-se que o determinante de A
é igual a x3, então o produto entre os determinantes das matrizes A e B é igual a:
d) –1
a) –x-6
e) 1
b) –x6
c) x3
13.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema
ax − 2 y = 0
de

 x + 2a = 0
incógnitas
x e y, é correto afirmar que o sistema
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.
c) tem solução não trivial para um único valor real de a.
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.
e) é impossível para qualquer valor real de a.
14. Encontre os valores de a para que o sistema seja possível e determinado, possível e
indeterminado e impossível.
ax + 3ay = 0

2 x + ay = 4
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1
AULA DEZESSEIS: TRIGONOMETRIA
Olá, amigos!
Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 16 na
semana passada. Este final de ano está muito corrido e atribulado!
Daremos hoje início a um novo assunto: Trigonometria!
Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão
no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto
dentro das provas de Raciocínio Lógico.
Esperamos que todos tenham aprendido bem o assunto de Matrizes e Sistemas Lineares
e que tenham resolvidos as questões que ficaram do dever de casa passado. Caso alguém
tenha encontrado alguma dificuldade, é só dar uma conferida nas respectivas resoluções,
apresentadas na seqüência. Vamos a elas!
DEVER DE CASA
01.(AFC/97) Considerando-se as matrizes
 2 4
 e
3 1
A= 
1 1 
.
1 2
B= 
A soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, definida como produto da
matriz transposta de A pela matriz inversa de B, é igual a:
a) -10
b) -2
c) I
d) 2
e) 10
Sol.:
Simbolicamente a matriz D é dada por:
D = AtB-1,
onde At é a transposta de A, e B-1 é a inversa de B.
1º passo) Cálculo da matriz transposta de A.
 2 4
 e queremos a sua transposta.
3 1
Temos que A = 
Ora, sabemos que na matriz transposta, quem é linha vira coluna, e só! Teremos, pois,
que a matriz At será a seguinte:
 2 3

 4 1
At = 
2º passo) Cálculo da matriz inversa de B.
1 1 
e queremos a sua inversa B-1.

1 2
Temos que B = 
a b 

c d 
Representaremos B-1 pela matriz: 
Conforme a definição de matriz inversível, o produto da matriz B pela sua inversa B-1 é
igual a matriz identidade. Portanto, teremos:
B-1 x B = I
Æ
1 1 
a b 
1 0 
= 
c d  x 



0 1 

1 2
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2
Após a multiplicação das matrizes, teremos:
 a + b a + 2b 
1 0 
c + d c + 2 d  = 0 1 




Para que as duas matrizes acima sejam iguais é necessário que:
a+b = 1 (I)
a+2b = 0 (II)
c+d = 0 (III)
c+2d = 1 (IV)
Encontraremos os valores de a, b, c e d.
De (II), temos que: a = -2b. Substituindo esse resultado em (I), teremos:
Æ a+b = 1
Æ -2b + b = 1
Æ b = -1
De (I), obtemos o valor de a:
Æ a+b = 1
Æ a + (-1) = 1
Æa=2
De (III), temos que: c = -d. Substituindo esse resultado em (IV), teremos:
Æ c+2d = 1
Æ -d + 2d = 1
Æd=1
De (III), obtemos o valor de c:
Æ c+d = 0
Æc+1=0
Æ c = -1
Daí, a inversa da matriz B será a seguinte matriz:
 2 − 1

− 1 1 
B-1 = 
3º passo) Cálculo da matriz D = At B-1
2 3
 2 − 1
x 


 4 1
− 1 1 
D = At B-1 = 
Multiplicando as duas matrizes, teremos como resultado:
1 1 

7 − 3
D= 
A questão solicita a soma dos elementos da diagonal principal da matriz D, daí:
1 + (-3) = -2 (Resposta: alternativa B!)
02.(SERPRO 1997) Uma matriz quadrada A, de terceira ordem, possui determinante
igual a 5. O determinante da matriz 2A é igual a:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 40
e) 80
Sol.:
Usaremos a seguinte propriedade dos determinantes:
Æ Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova
matriz será o produto de kn pelo determinante de M.
det (k.M) = kn det(M)
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3
Aplicando a propriedade acima para calcular o determinante da matriz 2A, teremos:
det (2A) = 23 det(A)
Daí:
Æ
det (2A) = 8 det(A)
Æ det (2A) = 8 x 5
E, portanto: det (2A) = 40
(Resposta: alternativa D!)
03.(MPOG 2002) A transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém
trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda
ordem possui determinante igual a 2, então o determinante do dobro de sua
matriz transposta é igual a:
a) –2
b) –1/2
c) 4
d) 8
e) 10
Sol.:
Na solução desta questão usaremos a propriedade usada na solução da questão
anterior e também a seguinte propriedade:
Æ Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)
Designaremos a matriz qualquer comentada no enunciado por M.
Segundo o enunciado, M é uma matriz de segunda ordem e det(M)=2, e ele deseja
o cálculo do determinante do dobro de sua matriz transposta, ou seja, o determinante da
matriz 2Mt.
Vamos ao cálculo do determinante da matriz 2Mt.
Æ det(2Mt) = 22 . det(Mt) = 4 . det(M) = 4 . 2 = 8
(Resposta: alternativa D!)
04.(AFC-STN-2000) Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante
igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X, então a matriz Y
= 3Z tem determinante igual a
a) 1/3
b) 3
c) 9
d) 27
e) 81
Sol.:
A solução desta questão é praticamente idêntica a da anterior, e usaremos as mesmas
duas propriedades.
Segundo o enunciado, X é uma matriz quadrada de terceira ordem e det(X)=3.
Solicita-se no enunciado o determinante da matriz Y = 3Z = 3Xt.
Vamos ao cálculo do determinante da matriz Y = 3Xt.
Æ det (Y) = det(3Xt) = 33 . det(Xt) = 27 . det(X) = 27 x 3 = 81
Resposta: alternativa E!
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4
05.(Oficial de Chancelaria 2002) Dada a matriz:
 1 1
 X 1


e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a 1/2, então o valor de X
é igual a:
a) -1
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2
Sol.:
Na solução dessa questão, usaremos a seguinte propriedade:
Æ Seja A-1 a matriz inversa de A, então a relação entre os determinantes de A-1 e A é dado
por:
det( A −1 ) =
1
det( A)
 1 1
.
 X 1
Consideraremos que a matriz A = 
Segundo o enunciado, o determinante da matriz inversa de A é igual a 1/2, ou seja,
det(A-1) = 1/2.
Aplicando a propriedade descrita acima, obteremos o determinante da matriz A.
Teremos:
Æ det( A −1 ) =
1
det( A)
Æ 1/ 2 =
1
det( A)
Æ det( A) = 2
 1 1
.
 X 1
Passaremos ao cálculo do determinante da matriz A = 
Æ det(A) = 1 . 1 – X . 1
Æ det(A) = 1 – X
Mas já sabíamos que det(A)=2, daí podemos obter o valor de X. Teremos:
1–X =2
Æ
X = -1 (Resposta: Alternativa A)
06.(BNB 2002 FCC) Dadas as matrizes
a b c 


A= 5 3 2


 2 4 6
a 5 1 


e B= b 3 2


 c 2 3
,
de determinantes não nulos, para quaisquer valores de “a”, “b” e “c”, temos
A. det(A) = det(B)
B. det(B) = 2.det(A)
C. det(A) = 2.det(B)
D. det(A) = –2.det(B)
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5
E. det(A) = – det(B)
Sol.:
As alternativas da questão trazem relações entre os determinantes de A e B,
portanto na solução da questão tentaremos obter inicialmente uma relação entre as matrizes A
e B para depois encontrar uma relação entre os seus determinantes.
Observe que há duas linhas da matriz A que são iguais a duas colunas da matriz
B, então faremos a transposta de B para ficar parecido com a matriz A.
a b c 


A transposta da matriz B será: B = 5 3 2


1 2 3
t
A matriz Bt é muito parecida com a matriz A, somente a última linha que é
diferente, mas perceberam a relação entre a terceira linha de A e a terceira linha de Bt ? Está
fácil de ver! Os elementos da terceira linha de A são o dobro dos elementos correspondentes
na terceira linha de Bt.
Por tudo isso, podemos fazer a seguinte relação entre A e B: a matriz A é igual a
matriz obtida multiplicando-se por dois a terceira linha da transposta de B. Simbolicamente,
temos:
A = 2 x (a terceira linha de Bt)
Para estabelecer uma relação entre os determinantes de A e B, usaremos as seguintes
propriedades dos determinantes:
Æ Se multiplicarmos uma fila (linha ou coluna) qualquer de uma matriz M de ordem n por um
número k, o determinante da nova matriz será o produto de k pelo determinante de M.
Æ Se M é uma matriz quadrada de ordem n e Mt sua transposta, então: det(Mt) = det(M)
Aplicando as propriedades acima, teremos a seguinte relação entre os determinantes de
A e B:
Æ det(A) = det(2 x (a terceira linha de Bt))
Æ det(A) = 2 x det(Bt)
Æ det(A) = 2 x det(B)
Æ det(A) = 2 x det(B)
det(A) = 2det(B) (Resposta!)
1 2 3 
1 2 3 
1 2 3






07.(SERPRO 1996) As matrizes: X = 2 4 6 , Y = 2 5 6



 e Z =2 5 6
5 3 7 
5 3 15
10 25 30
apresentam, respectivamente, determinantes iguais a:
a) 0, 0 e 0
b) 1, 1 e 1
c) 0, 1 e 1
d) 2, 3 e 4
e) -1, -1 e -1
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6
Sol.:
Observando os elementos das três matrizes acima, chegaremos aos seguintes
resultados:
Æ Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos
correspondentes da primeira linha.
Æ Os elementos da terceira coluna da matriz Y são exatamente o triplo dos elementos
correspondentes da primeira coluna.
Æ Os elementos da terceira linha da matriz Z são exatamente o quíntuplo dos elementos
correspondentes da terceira coluna.
Para obter os determinantes das matrizes acima, usaremos a seguinte propriedade dos
determinantes:
ÆSe uma matriz M de ordem n ≥ 2 tem duas filas paralelas formadas por elementos
respectivamente proporcionais, então: det(M) = 0.
Concluímos, então, que os determinantes de X, Y e Z são iguais a zero.
Resposta: alternativa A.
1 1
 e
0 1
08.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Sabendo-se que a matriz A = 
que n ∈ Ν e n ≥ 1 então o determinante da matriz An – An-1 é igual a
a) 1
d) n
b) -1
e) n-1
c) 0
Sol.:
A questão solicita o determinante da matriz An – An-1, onde:
1 1

0 1
Æ A=
Æ
n∈Ν e n ≥1
A multiplicação de matrizes goza das propriedades seguintes:
1)
2)
3)
4)
é associativa: (AB)C = A(BC)
é distributiva à direita: (A+B)C = AC + BC
é distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB
(kA)B = A(kB) = k(AB)
Daqui a pouco usaremos a terceira propriedade descrita acima.
Temos a expressão matricial An – An-1. Mas podemos reescrevê-la, sem alterar o
resultado, por:
(An-1. A) – (An-1. I)
Se colocarmos em evidência o termo An-1 , a expressão matricial passa a ser:
An-1 (A – I)
Agora, vamos substituir a matriz A e a matriz identidade I que estão dentro do
parêntese, pelas suas respectivas matrizes. Então, teremos:
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7
1 1
1 0 
– 

)
0 1
0 1 
An-1 ( 
Subtraindo as matrizes que estão dentro do parêntese, obteremos:
0 1 
)
0 0 
An-1 ( 
Para calcular o determinante da expressão matricial acima, usaremos a seguinte
propriedade dos determinantes: det(AB) = det(A).det(B).
Daí:
0 1 
0 1 
) ) = det(An-1) . det( 

)
0 0 
0 0 
det( An-1 ( 
0 1 
 é igual a zero, porque essa matriz possui uma coluna com
0 0 
O determinante de 
elementos iguais a zero.
Daí:
0 1 
n-1
 ) = det(A ) . 0 = 0
0
0


det(An-1) . det( 
Resposta: alternativa C.
09.(Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) 36- Considere as matrizes
1 2 3 
 a 2 3


X = 2 4 6 ; Y =  2 b 6
5 3 7 
 5 3 c 
onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o
determinante do produto das matrizes X e Y é igual a
a) 0.
d) a+b.
b) a.
e) a+c.
c) a+b+c.
Sol.:
Observando os elementos da matriz X, chegaremos ao seguinte resultado:
Æ Os elementos da segunda linha da matriz X são exatamente o dobro dos elementos
correspondentes da primeira linha.
Daí, já descobrimos que o determinante da matriz X é igual a zero.
A questão solicita o determinante do produto das matrizes X e Y, ou seja, o det(XY).
Pelas propriedades dos determinantes, sabemos que det(XY) = det(X).det(Y). Daí:
Æ det(XY) = det(X).det(Y) = 0 . det(Y) = 0
Resposta: alternativa A.
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8
10.(Gestor Fazendário MG 2005 ESAF) Considere duas matrizes de segunda ordem, A
e B, sendo que B = 21/4 A. Sabendo que o determinante de A é igual a 2-1/2, então
o determinante da matriz B é igual a:
d) 2–1/2
a) 21/2
b) 2
e) 1
c) 2–1/4
Sol.:
A relação entre as matrizes A e B, segundo o enunciado, é: B = 21/4 A, onde A e B são
matrizes quadradas de segunda ordem.
O determinante de B é dado por:
det (B) = det(21/4 A)
Para calcular
determinantes:
o
determinante
de
B,
usaremos
a
seguinte
propriedade
dos
Æ Se multiplicarmos uma matriz M de ordem n por um número k, o determinante da nova
matriz será o produto de kn pelo determinante de M, ou seja:
det (k.M) = kn det(M)
Aplicando a propriedade, teremos:
Æ det (B) = det(21/4 A) = (21/4)2.det(A)
Æ det (B) = (21/2).det(A)
Segundo o enunciado, o determinante de A é igual a 2-1/2. Daí:
Æ det (B) = (21/2) . 2-1/2 = 21/2 - 1/2 = 20 = 1 (Resposta: alternativa E!)
11.(AFRE MG 2005 ESAF) A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, não
singulares e diferentes da matriz identidade. A matriz C é igual ao produto A Z B,
onde Z é também uma matriz quadrada. A matriz Z, portanto, é igual a:
d) A B C-1
a) A-1 B C
-1
-1
e) C-1 B-1 A-1
b) A C B
-1
-1
c) A C B
Sol.:
Do enunciado, temos que a seguinte igualdade: C = AZB.
Para encontrarmos a matriz Z, ela deve ficar isolada em um dos lados da igualdade,
como se encontra o C neste momento.
Para isolar o Z, devemos efetuar multiplicações entre matrizes. Considere os seguintes
passos:
1º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por A-1 a fim de desaparecer a matriz A
do segundo membro da igualdade.
A-1. C = A-1 . AZB
Essa igualdade pode ser escrita assim: A-1C = (A-1.A)ZB
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí:
A-1C = (I)ZB
O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí:
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A-1C = ZB
2º passo) Multiplicaremos ambos os lados da igualdade por B-1 a fim de desaparecer a matriz
B do segundo membro da igualdade.
A-1C . B-1 = ZB . B-1
Essa igualdade pode ser escrita assim: A-1C B-1 = Z (B . B-1)
O produto de uma matriz pela sua inversa é igual à matriz identidade. Daí:
A-1C B-1 = Z (I)
O produto de uma matriz pela matriz identidade, não altera a matriz. Daí:
A-1C B-1 = Z
Portanto, encontramos que Z = A-1C B-1
(Resposta: alternativa C !)
12.(AFC/STN 2005 ESAF) Considere duas matrizes quadradas de terceira ordem, A e
B. A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais,
respectivamente, à terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A.
Sabendo-se que o determinante de A é igual a x3, então o produto entre os
determinantes das matrizes A e B é igual a:
d) –1
a) –x-6
e) 1
b) –x6
c) x3
Sol.:
Temos as seguintes informações:
Æ A e B são matrizes quadradas de terceira ordem.
Æ A primeira, a segunda e a terceira colunas da matriz B são iguais, respectivamente, à
terceira, à segunda e à primeira colunas da matriz A.
Æ O determinante de A é igual a x3.
A questão solicita o produto entre os determinantes das matrizes A e B, ou seja:
det(A).det(B) = ?
Já sabemos que o det(A) = x3, falta-nos encontrar o det(B).
Podemos descrever a matriz B em função das colunas de A, da seguinte maneira:
B = terceira coluna de A
Para encontrar
determinantes:
o
segunda coluna de A
determinante
de
B,
usaremos
primeira coluna de A
a
seguinte
propriedade
dos
Æ Seja X uma matriz de ordem n ≥ 2. Se trocarmos de posição duas filas paralelas
obteremos uma nova matriz Z tal que: det(Z) = – det(X).
Pelo desenho da matriz B acima, observamos que a matriz B é obtida pela troca de
posição entre a primeira coluna e a terceira coluna da matriz A. Daí:
det(B) = - det(A)
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E, portanto: det(B) = - x3
O produto det(A).det(B) será igual a:
det(A).det(B) = x3 . (- x3) = -x6 (Resposta: alternativa B !)
ax − 2 y = 0
de
 x + 2a = 0
13.(Analista MPU Administrativa 2004 ESAF) Com relação ao sistema 
incógnitas x e y, é correto afirmar que o sistema
a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a.
b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a.
c) tem solução não trivial para um único valor real de a.
d) tem somente a solução trivial para todo valor de a.
e) é impossível para qualquer valor real de a.
Sol.:
As variáveis (incógnitas) do sistema acima são x e y.
A segunda equação do sistema não apresenta a variável y, daí podemos obter
facilmente o valor de x do sistema. Da segunda equação, teremos:
x + 2a = 0
x = -2a
Æ
Substituindo este valor de x na primeira equação, encontraremos o valor de y do
sistema:
Æ y = -a2
Æ ax – 2y = 0
Æ a . (-2a) – 2y = 0
Æ -2a2 – 2y = 0
A solução do sistema é:
x = -2a
e
y = -a2
Destes resultados, concluímos que x e y tem uma infinidade de valores, que
dependerão do valor de a. Se a for zero teremos a solução trivial x=0 e y=0, e para quaisquer
outros valores de a teremos soluções não triviais.
Resposta: alternativa A.
Agora, sim, falemos sobre Trigonometria!
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NOÇÕES DE TRIGONOMETRIA
1. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Denominamos de triângulo retângulo, o triângulo que possui ângulo interno de um de
seus vértices igual a 90º.
Triângulo retângulo
a
β
b
α
c
Na figura acima α e β são os ângulos agudos do triângulo retângulo, e eles são
complementares (α + β = 90º).
O lado maior c é chamado de hipotenusa e os lados a e b são chamados de catetos.
As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo α são:
cateto oposto a α
b
=
hipotenusa
a
senα =
cos α =
cateto adjacente a α
c
=
hipotenusa
a
tgα =
cateto oposto a α
b
=
cateto adjacente a α
c
As razões trigonométricas fundamentais usando o ângulo β são:
senβ =
cateto oposto a β
cateto adjacente a β
c
b
cos β =
=
=
hipotenusa
a
hipotenusa
a
tgβ =
cateto oposto a β
c
=
cateto adjacente a β
b
Das razões trigonométricas fundamentais acima, podemos demonstrar as relações
mostradas abaixo:
1º)
senα = cos β
2º)
sen 2α + cos 2 α = 1
3º)
tgα =
4º)
tgα × tgβ = 1
senα
cos α
e
e
senβ = cos α
tgβ =
senβ
cos β
2. O CICLO TRIGONOMÉTRICO
Æ Arcos e Ângulos
Seja uma circunferência de centro O sobre a qual tomamos dois pontos distintos, A e B.
A abertura do ângulo α descreve na circunferência o arco AB.
A
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α
O
B
As unidades do ângulo e do arco são dadas em graus (º) ou radianos (rad). Devemos
lembrar da relação entre estas unidades:
π rad = 180º (meia volta) ou
2π rad = 360º (1 volta)
Mostraremos como se converte de graus para radianos, e vice-versa.
Æ Conversão de graus para radianos
1) 60º
Para converter de graus para radianos podemos usar uma simples regra de três;
x rad ------- 60º
π rad ------- 180º
Daí: 180x = 60π
Resposta:
x=
Æ
60º =
π
3
60π
180
x=
Æ
π
3
rad
2) 270º
Também podemos usar a seguinte regra prática: multiplicar o valor em graus por
Daí:
270 ⋅
Resposta:
π
180
=
π
180
270π
3π
=
180
2
270º =
3π
rad
2
Æ Conversão de radianos para graus
1)
π
6
Usaremos uma simples regra de três:
x
-------
π
6
rad
180º ------- π rad
Daí: πx = 180.
π
6
Æ
x=
180
6
Æ
x = 30
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.
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π
Resposta:
2)
6
13
rad = 30º
2π
3
Também podemos usar a seguinte regra prática: multiplicar o valor em radianos por
Daí:
180
π
360
2π 180
×
=
= 120
π
3
3
2π
rad = 120º
3
Resposta:
Æ Classificação do ângulo
O ângulo é chamado de agudo quando ele é menor que 90º(ou π/2).
α
O ângulo é chamado de obtuso quando ele é maior que 90º(ou π/2).
α
O ângulo é chamado de reto quando ele é igual a 90º(ou π/2).
α
O ângulo é chamado de raso quando ele é igual a 180º(ou π).
α
Æ Relação entre dois ângulos:
Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 90º(ou π/2).
Dois ângulos são suplementares quando a soma deles é igual a 180º(ou π).
Dois ângulos são replementares quando a soma deles é igual a 360º(ou 2π).
Dois ângulos são explementares quando a subtração deles é igual a 180º(ou π).
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.
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14
Æ O Ciclo Trigonométrico
Para estudar as funções trigonométricas do seno, coseno, ... precisamos antes conhecer
o ciclo trigonométrico.
O ciclo trigonométrico apresenta uma circunferência de raio unitário, dois eixos
ortogonais cruzando-se no centro da circunferência e são orientados conforme as indicações: o
vertical, com sentido para cima, e o horizontal, para a direita. Os eixos ortogonais dividem o
ciclo trigonométrico em quatro quadrantes, conforme mostrado abaixo.
2º
Quadrante
1º
Quadrante
A
4º
Quadrante
3º
Quadrante
O ângulo positivo é marcado no ciclo trigonométrico a partir do ponto origem A e no
sentido anti-horário. O ponto P marca a extremidade do arco descrito pelo ângulo.
Mostraremos alguns exemplos:
1º) Marcação do ângulo de 60º
90º
2º Q
1º Q
P
60º
180º
A
3º Q
0º
4º Q
270º
2º) Marcação do ângulo de 120º
2º Q
90º
P
1º Q
120º
180º
A
3º Q
0º
4º Q
270º
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3º) Marcação do ângulo de 300º
90º
1º Q
2º Q
180º
15
300º
A
3º Q
0º
4º Q
P
270º
O ângulo negativo é marcado no ciclo trigonométrico a partir do ponto origem A e no
sentido horário. O ponto P marca a extremidade do arco descrito pelo ângulo. Mostraremos
alguns exemplos:
1º) Marcação do ângulo de –120º
90º
2º Q
1º Q
180º
-120º
3º Q
A
0º
4º Q
P
270º
Æ Ângulos Côngruos ou Congruentes:
Um ângulo maior em valor absoluto que 360º (ou 2π) percorre mais de uma volta no
ciclo trigonométrico, e possui um ângulo congruente a ele que é menor que 360º. Dois ângulos
são congruentes quando possuem o mesmo ponto inicial (A) e o mesmo ponto final (P).
Qual é o ângulo congruente a 480º?
Para calcular esse ângulo devemos fazer uma operação de divisão por 360º.
480
360
(120)
1
O quociente 1 significa o número de voltas completas que o 480º dá no ciclo
trigonométrico.
O resto 120 é exatamente o ângulo congruente a 480º. Portanto, temos que 480º é
congruente a 120º (ou 480º=120º).
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Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a 1105º?
1105
360
(25)
3
O quociente 3 significa o número de voltas completas que o 1105º dá no círculo
trigonométrico.
O resto 25 é exatamente o ângulo congruente a 1105º. Portanto, temos que 1105º é
congruente a 25º (ou 1105º=25º).
Outro exemplo: Qual é o ângulo congruente a –1580º?
1580
360
(140)
4
O quociente 4 significa o número de voltas completas que o –1580º dá no círculo
trigonométrico no sentido horário.
O resto 140 é o valor absoluto em graus que o ângulo de –1580º percorre após
completar as 4 voltas, daí –1580º é congruente a –140º (ou –1580º=–140º).
Podemos ainda determinar qual é o ângulo positivo congruente a um ângulo negativo.
Explicaremos através de um exemplo. Qual é o ângulo positivo congruente a –130º?
Para o –150° completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 210º
(= 360º–150º). Daí, 210º é o ângulo positivo congruente a –150º. Veja o desenho.
90º
2º Q
1º Q
210º
180º
3º Q
0º
A
P
–150º
4º Q
270º
Æ Forma generalizada de congruência de um ângulo
Todos os ângulos de origem A e extremidade P (diferindo apenas por um número inteiro
k de voltas) são considerados ângulos congruentes entre si, pois ao somarmos ou subtrairmos
a um ângulo um valor múltiplo de 360º (ou 2π) só estamos dando voltas no ciclo, mas sempre
terminando no mesmo ponto P.
A forma generalizada de todos os ângulos congruentes a um certo ângulo α é dada pela
expressão:
Em radianos: α + 2kπ
Em graus:
α + k.360º
onde K pertence ao conjunto dos números inteiros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.
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Æ Simetrias
No ciclo trigonométrico, interessam-nos diretamente três tipos de simetrias, a saber:
em relação ao eixo vertical, em relação ao eixo horizontal e em relação ao centro.
Essas simetrias serão úteis na parte de funções circulares.
Para o estudo de cada uma delas, tomaremos um arco de medida α, do 1º quadrante e
da 1ª volta, ou seja, 0< α < 90º.
# Simetria em relação ao eixo vertical
Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo
vertical é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida π-α. Os ângulos α e π-α são
suplementares.
Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo vertical e
também terão as mesmas projeções no eixo horizontal, porém invertidas.
Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever
α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (π-α)+2kπ.
90º
2º Q
1º Q
P’
P
π-α
α
180º
A
3º Q
0º
4º Q
270º
# Simetria em relação ao eixo horizontal
Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo
horizontal é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida 2π-α. Os ângulos α e 2π-α são
replementares.
Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo horizontal e
também terão as mesmas projeções no eixo vertical, porém invertidas.
Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever
α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (2π-α)+2kπ.
90º
2º Q
1º Q
P
2π-α
α
180º
0º
P’
3º Q
4º Q
270º
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18
# Simetria em relação ao centro do ciclo
Seja P a extremidade do ângulo de medida α. O simétrico de P em relação ao eixo
centro do ciclo é o ponto P’, extremidade do ângulo de medida α+π. Os ângulos α e α+π são
explementares.
Observe na figura que os pontos P e P’ possuem a mesma projeção no eixo horizontal e
também no eixo vertical, porém ambas são invertidas.
Para designar o conjunto dos ângulos que possuem extremidade P, podemos escrever
α+2kπ, e para os ângulos de extremidades P’, (α+π)+2kπ.
90º
2º Q
1º Q
P
π+α
α
180º
3º Q
0º
P’
4º Q
270º
Æ FUNÇÕES CIRCULARES
Seja α um ângulo agudo, de tal forma que o arco correspondente a ele possua
extremidade P.
Unindo O a P, obtemos o raio unitário OP .
Construindo dois triângulos retângulos, ambos com ângulo agudo α e hipotenusa OP ,
obtemos sobre os eixos ortogonais os pontos P1 e P2.
O ponto P1 é a projeção de P sobre o eixo vertical, e P2 é a projeção ortogonal de P
sobre o eixo horizontal.
O quadrilátero OP2PP1 é um retângulo, pois possui os quatro ângulos retos. Assim,
temos:
OP1 = PP2
e
P1
O
α
OP2 = PP1
P
α
P2
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19
Æ Função Seno
Observando a figura anterior, podemos escrever sen α =
PP2
OP
e, por conseqüência,
sen α = OP1 , pois PP2 = OP1 e OP é unitário.
Assim, para encontrarmos o seno de um ângulo, basta projetar ortogonalmente sua
extremidade sobre o eixo vertical – daqui por diante denominado eixo dos senos – e medir a
distância entre essa projeção e o centro O do ciclo, sempre levando em conta a orientação do
eixo (para cima).
P
P1
α
O
Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura
abaixo, sejam x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas
extremidades, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z.
Temos, então:
sen x = OX (positivo)
sen y = OY (negativo)
sen z = OZ (negativo)
senos
x
X
O
z
Z
y
Y
# A função y = sen x
O domínio (os valores que x pode assumir) da função seno é igual ao conjunto dos
reais. Sendo a unidade de x em radianos ou graus. Pelo ciclo trigonométrico constatamos que
o seno de x é um valor no intervalo [-1, 1], ou seja, -1 ≤ sen x ≤ 1.
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20
# Sinais da função seno
Considerando a orientação do eixo dos senos, percebemos que os ângulos do 1º e 2º
quadrantes associam-se valores positivos de senos, e a ângulos do 3º e 4º quadrantes
associam-se valores negativos de senos.
senos
II
I
III
IV
# Valores Notáveis
Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são
encontrados os valores dos senos de muitos outros ângulos.
x
sen x
0
0
30º(π/6)
1/2
45º(π/4)
60º(π/3)
2 /2
90º(π/2)
1
3/2
180º(π)
0
270º(3π/2)
-1
360º(2π)
0
Æ Função Cosseno
Na figura abaixo, utilizando o triângulo retângulo OPP2, podemos escrever cos α =
OP2
OP
.
Como OP é raio, temos cos α = OP2 .
P
O
α
P2
cossenos
Dessa forma, para encontramos o cosseno de um ângulo, basta projetar
ortogonalmente a extremidade do arco correspondente sobre o eixo horizontal – daqui por
diante denominado eixo dos cossenos – e medir a distância entre essa projeção e o centro O
do ciclo, sempre levando em conta a orientação do eixo (para a direita).
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21
P
α
O
cossenos
P2
Para o caso dos ângulos fora do 1º quadrante, o procedimento é análogo. Na figura
abaixo, sejam x, y e z os ângulos do 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Projetando suas
extremidades sobre o eixo dos cossenos, obtemos, respectivamente, os pontos X, Y e Z.
Temos, então:
cos x = OX (negativo)
cos y = OY (negativo)
cos z = OZ (positivo)
x
Y
-1
O
Z
1
X
cossenos
z
y
# A função y = cos x
O domínio (os valores que x pode assumir) da função cosseno é igual ao conjunto dos
reais. Sendo a unidade de x em radianos ou graus. Pelo ciclo trigonométrico constatamos que
o cosseno de x é um valor no intervalo [-1, 1], ou seja, -1 ≤ cos x ≤ 1.
# Sinais da função cosseno
Considerando a orientação do eixo dos cossenos, percebemos que os ângulos do 1º e
4º quadrantes associam-se valores positivos de cossenos, e a ângulos do 2º e 3º quadrantes
associam-se valores negativos de cossenos.
II
I
cossenos
III
IV
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22
# Valores Notáveis
Os valores constantes na tabela abaixo são fundamentais, pois, a partir deles, são
encontrados os valores dos cossenos de muitos outros ângulos.
x
cos x
0
1
30º(π/6)
3/2
45º(π/4)
2 /2
60º(π/3)
1/2
90º(π/2)
0
180º(π)
-1
270º(3π/2)
0
360º(2π)
1
Æ Relações entre senos e cossenos
No início desta aula vimos as Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo, onde
foram apresentadas algumas relações entre senos e cossenos. Vamos retomá-las, agora de
uma forma mais geral.
# Ângulos Complementares
O complementar do ângulo x é o ângulo (90º –x).
E temos as seguintes relações entre ângulos complementares:
sen x = cos(90º–x) e cos x = sen(90º–x)
E significa que “o seno de um ângulo é igual ao cosseno do seu complemento”; ou “o
cosseno de um ângulo é igual ao seno do seu complemento”.
# Relação Fundamental
Temos a seguinte relação entre o seno e o cosseno de um ângulo x qualquer.
(sen x)2 + (cos x)2 = 1, ou escrito da seguinte forma:
sen2x + cos2x = 1
Assim, dado o seno de um ângulo qualquer, é possível, por meio da relação acima,
obter o cosseno desse mesmo ângulo, e vice-versa.
Æ Função Tangente
Para obter os valores das tangentes dos ângulos, podemos utilizar a relação:
tg x =
sen x
cos x
Quando o cosseno de x for zero a tangente não estará definida.
O sinal da função tangente pode ser obtida a partir do sinal das funções seno e
cosseno. Como a tangente é dada pela razão entre o seno e o cosseno, ela será positiva
quando o seno e o cosseno tiverem o mesmo sinal (1º quadrante e 3º quadrante) e será
negativa quando o seno e o cosseno tiverem sinais diferentes (2º quadrante e 4º quadrante).
II
I
III
IV
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23
Æ Função Cotangente
Para obter os valores das cotangentes dos ângulos, podemos utilizar a relação:
cot g x =
cos x
sen x
ou
cot g x =
1
tg x
Quando o seno de x for zero a cotangente não estará definida.
O sinal da função cotangente é o mesmo da função tangente.
Æ Função Secante
Para obter os valores das secantes dos ângulos, podemos utilizar a relação:
sec x =
1
cos x
Quando o cosseno de x for zero a secante não estará definida.
O sinal da função secante é o mesmo da função cosseno.
Æ Função Cossecante
Para obter os valores das cossecantes dos ângulos, podemos utilizar a relação:
cos sec x =
1
sen x
Quando o seno de x for zero a cossecante não estará definida.
O sinal da função cossecante é o mesmo da função seno.
Æ Valores Notáveis para as funções sen, cos, tg, cotg, sec e cossec
x
sen x cos x tg x cotg x sec x cossec x
0º
0
1
0
0
1
30º
1
2
3
3
3
2
3
3
45º
2
2
1
1
60º
3
2
3
2
2
2
1
2
90º
1
0
--
0
--
1
180º
0
-1
0
--
-1
--
270º
-1
0
--
0
--
-1
3
1
3
0
2
2
2
2
2
2
2
3
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24
Æ Relações Importantes da Trigonometria
# Relações Fundamentais:
As relações fundamentais permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de
um ângulo qualquer, encontremos os valores das demais funções circulares do mesmo ângulo
(se existirem).
1) sen2x + cos2x = 1
sen x
cos x
1
3) cot g x =
tg x
2) tg x =
4) sec x =
1
cos x
5) cos sec x =
1
sen x
# Relações Decorrentes:
A partir das relações fundamentais, podemos deduzir outras relações, que são úteis na
simplificação de expressões trigonométricas.
1) tg 2 x + 1 = sec 2 x
2) cot g 2 x + 1 = cos sec 2 x
# Fórmulas de Multiplicação
Dadas as funções circulares de um ângulo x, é possível encontrarmos as funções
circulares do ângulo 2x.
1) cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x
2) sen 2 x = 2 sen x cos x
Há diversas outras fórmulas trigonométricas, mas que não mostraremos aqui, pois para
resolvermos as questões de trigonometria das provas de Raciocínio Lógico, bastam essas que
foram apresentadas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TRIGONOMETRIA
01. (AFC 2002 ESAF) A expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo
número x real. Assim, o intervalo de variação de y é:
a) -4 ≤ y ≤ 8
b) 0 < y ≤ 8
c) -∞ ≤ y ≤ ∞
d) 0 ≤ y ≤ 4
e) 0 ≤ y ≤ 8
Sol.:
A expressão fornecida no enunciado envolve a função cosseno. Assim, encontraremos o
intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função cosseno.
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25
Da função cosseno sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor
máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:
cos x ≥ -1 e cos x ≤ 1
A partir da expressão cos x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y.
Temos que cos x ≥ -1 , se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:
4.cos x ≥ 4.(-1)
Daí:
4cos x ≥ -4
Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
4cos x + 4 ≥ -4 + 4
Daí:
4cos x + 4 ≥ 0
E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≥ 0.
Agora, a partir da expressão cos x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de
y.
Temos que cos x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:
4.cos x ≤ 4.1
Daí:
4cos x ≤ 4
Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
4cos x + 4 ≤ 4 + 4
Daí:
4cos x + 4 ≤ 8
E como y=4cos x +1, então encontramos que y ≤ 8.
Dos resultados obtidos: y ≥ 0 e y ≤ 8, encontramos o intervalo de variação de y:
0 ≤ y ≤ 8 (Resposta!)
02. (TFC 1995 ESAF) Se x é um arco do segundo quadrante e sen x = 4/5, então
cos x é:
a) -5/3
b) 5/3
c) ± 3/5
d) 3/5
e) -3/5
Sol.:
O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, e de acordo com o sinal
da função cosseno, temos que o cosseno de x é negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A
ou é a E.
Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de
x a partir do conhecimento do seno de x.
Temos que sen x = 4/5, substituindo esse valor na relação fundamental acima,
teremos:
Æ (4/5)2 + cos2x = 1
Æ 16/25 + cos2x = 1
Æ cos2x = 1 – 16/25
Æ cos2x = 9/25
Æ cos x =
Æ cos x = ±3/5
9 / 25
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No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto,
descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será:
cos x = –3/5 (Resposta!)
03. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Sabe-se que o
seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que co-seno de 60º é igual a ½. Sabe-se,
também, que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do
seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é:
a) - ½
b) - (31/2)
c) 31/2
d) (31/2)/2
e) - (31/2)/2
Sol.:
Dois ângulos são considerados suplementares, se a soma deles é igual a 180º
(x+y=180º). Então o suplemento de um ângulo x é o ângulo (180º-x). Dessa forma, o ângulo
suplementar a 60º é:
120º (=180º–60º)
A partir desse resultado e de acordo com o enunciado, devemos calcular a tangente de
120º para encontrarmos a resposta da questão. Para calcular esta tangente usaremos os
outros dados fornecidos no enunciado, que são:
1ª) sen 60º = (31/2)/2
2ª) cos 60º = 1/2
3ª) sen 2α = 2.senα.cosα
A tangente pode ser calculada a partir do seno e do cosseno, pela seguinte fórmula:
tg x =
sen x
cos x
Então tangente de 120º é igual a:
tg 120º =
sen 120º
cos 120º
Devemos encontrar o valor do seno e do cosseno de 120º.
O sen 120º pode ser obtido usando-se a fórmula sen 2α = 2.senα.cosα , fazendo
α=60º. Teremos:
Æ sen 120º= 2.sen60º.cos60º
Æ sen 120º= 2 . (31/2)/2 . 1/2
Æ sen 120º= (31/2)/2
Podemos calcular o cos 120º a partir da relação fundamental: sen2x + cos2x = 1.
Teremos:
Æ (sen120º)2 + (cos120º)2 = 1
Æ sen2x + cos2x = 1
Æ ((31/2)/2)2 + cos2120º = 1
Æ cos2120º = 1/4
Æ 3/4 + cos2120º = 1
Æ cos120º = ±
1
4
Æ cos 120º = ± 1/2
O cos 120º é positivo ou negativo? O ângulo de 120º está no 2º quadrante, daí o
cos 120º é negativo. Daí:
Æ cos 120º = -1/2
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27
Encontrados os valores do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o valor da
tangente de 120º, teremos:
Æ tg 120º =
sen 120º
cos 120º
Æ tg 120º =
E, finalmente: tg 120º = - (31/2)
(31 / 2 ) / 2
− 1/ 2
Æ Resposta: alternativa b.
04. (AFTN 1998/ESAF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica:
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é:
a) 2
b) 0
c) -1
d) -2
e) 1
Sol.:
Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores
atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas.
Na expressão do enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e
cosseno.
Vamos desenvolver o termo (cosx + senx)2 que aparece na expressão dada no
enunciado. Teremos:
Æ (cosx + senx)2 = cos2x + 2.cosx.senx + sen2x
Æ (cosx + senx)2 = sen2x + cos2x + 2.cosx.senx
Æ (cosx + senx)2 = 1 + 2.cosx.senx
Substituindo o termo (cosx + senx)2 por 1+2.cosx.senx na expressão dada no
enunciado, teremos:
Æ 1+2.cosx.senx + ysenx.cosx - 1 = 0
Æ 2.cosx.senx + ysenx.cosx = 0
Colocando em evidência o termo senx.cosx , teremos:
Æ senx.cosx (2 + y) = 0
Se (2+y) for igual a zero, então para qualquer valor de x a expressão acima será
verificada, daí:
Æ (2+y)=0
Æ y=–2 (Resposta!)
05. (AFC 2005 ESAF) O sistema dado pelas equações
x sen a – y cos a = –cos 2a
x cos a + y sen a = sen 2a
possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que “a” é uma constante, então a soma dos
quadrados das raízes é igual a
a) 1
b) 2
c) 4
d) sen π
e) cos π
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28
Sol.:
A questão afirma que x e y são as raízes do sistema. Então a soma dos quadrados das
raízes, solicitada na questão, será dada por:
x2 + y2
Para que apareça nas equações do sistema os valores de x2 e y2 , devemos elevar ao
quadrado ambos os lados das equações do sistema. Assim, teremos:
Æ
(x.sen a – y.cos a)2 = (–cos 2a)2
(x.cos a + y.sen a)2 = (sen 2a)2
Æ
(x.sen a)2 – 2(x.sen a)(y.cos a) + (y.cos a)2 = (–cos 2a)2
(x.cos a)2 + 2(x.cos a)(y.sen a) + (y.sen a)2 = (sen 2a)2
Æ
x2.sen2a – 2xy.sen a.cos a + y2cos2a = cos22a
x2.cos2a + 2xy.cos a.sen a + y2.sen2a = sen22a
Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos:
Æ x2.sen2a + x2.cos2a + 0 + y2cos2a + y2.sen2a = cos22a + sen22a
Æ x2(sen2a + cos2a) + y2(cos2a + sen2a) = cos22a + sen22a
Æ x2(1) + y2(1) = 1
Æ x2 + y2 = 1
Resposta: A soma dos quadrados das raízes é igual a 1.
Dever de Casa
01.(AFC-STN-2000 ESAF) A expressão dada por y = 3senx + 4 é definida para todo número x
real. Assim, o intervalo de variação de y é
a) -1 ≤ y ≤ 7
b) -7 < y < 1
c) -7 < y ≤ -1
d) 1 ≤ y < 7
e) 1 ≤ y ≤ 7
02. A expressão dada por y = –2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim, o
intervalo de variação de y é
a) -1 ≤ y ≤ 7
b) y ≤ 3 ou y ≥ 7
c) 3 < y ≤ 5
d) 3 ≤ y ≤ 8
e) 3 ≤ y ≤ 7
03.(TFC 1995 ESAF) Simplificando a expressão (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg a. sec a),
obtém-se:
a) 0
b) 1
c) sen2a
d) sec2a
e) tg2a
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29
04.(SERPRO 1996 ESAF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vale:
a)
3
b)
3
c) 2
d)
3
e)
3
3
3
2
4
05.(MPOG 2003 ESAF) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do segundo
quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é igual a:
a) –12/5
b) –10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
06.(Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabe-se que a
função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é
dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que
o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a cossecante de x vale:
a) – 2
b) 0
c) -1
d) 2
e) 1
07.(TFC 1997 ESAF) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto
do seno de α pelo co-seno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de 120º igual a
o seno de um ângulo de 240º é:
a) − 3 2
c)
b)
d) 2 3
3 2
3
3 2,
e) 3 3
08.(AFC-SFC 2001 ESAF) A condição necessária e suficiente para a identidade sen2α = 2senα
ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a:
a) π/3
b) π/2
c) n π sendo n um número inteiro qualquer
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer
09.(SERPRO 1996 ESAF) Sendo p uma constante real, os valores de x e de y que solucionam o
sistema:
x.sen p – y.cos p = -cos 2p
x.cos p + y.sen p = sen 2p
a) (sen p,cos p)
b) (sen 2,cos 2p)
c) (sen 2p,cos p)
d) (sen p,-cos p)
e) (-sen p,-cos 2p)
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30
10.(Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3sent e y = 4cost, então, uma
relação entre x e y, independente de t é dada por:
a) 16 y2 - 9 x2 = 144
b) 16 x2 - 9 y2 = 144
c) 16 y2 + 9 x2 = 144
d) 16 x2 + 9 y2 = 144
e) 9 y2 - 16 x2 = 144
11.Simplificando a expressão
a)
b)
c)
d)
e)
tgx. cot gx
, obteremos:
sec 2 x − 1
sec 2 x
cot g 2 x
tg 2 x
cos sec 2 x
cos 2 x
12.Determine o valor de x e y nas figuras abaixo:
x
y
12
60o
20
GABARITO
01
02
03
04
05
e
e
b
b
a
06
07
08
09
10
a
a
c
a
d
11
12
b
X=14 e y=6(3)1/2
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1
AULA DEZESSETE: GEOMETRIA BÁSICA
Olá, amigos!
Novamente pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula 17 na
semana passada.
Daremos hoje início a um novo assunto: GEOMETRIA!
Como de praxe, apresentaremos muitas questões de concursos passados que servirão
no nosso aprendizado, e também para sabermos qual é a profundidade exigida deste assunto
dentro das provas de Raciocínio Lógico.
Apresentaremos a seguir, a solução do dever de casa da aula passada, sobre o assunto
de Trigonometria. Vamos a elas!
DEVER DE CASA
01.(AFC-STN-2000 ESAF) A expressão dada por y = 3senx + 4 é definida para todo
número x real. Assim, o intervalo de variação de y é
a) -1 ≤ y ≤ 7
b) -7 < y < 1
c) -7 < y ≤ -1
d) 1 ≤ y < 7
e) 1 ≤ y ≤ 7
Sol.:
A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o
intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno.
Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor
máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:
sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1
A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y.
Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por 3 ambos os lados, obteremos:
3.sen x ≥ 3.(-1)
Daí:
3sen x ≥ -3
Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
3sen x + 4 ≥ -3 + 4
Daí:
3sen x + 4 ≥ 1
E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≥ 1.
y.
Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de
Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por 4 ambos os lados, obteremos:
3.sen x ≤ 3.1
Daí:
3sen x ≤ 3
Se somarmos 4 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
3sen x + 4 ≤ 3 + 4
Daí:
3sen x + 4 ≤ 7
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2
E como y=3sen x +4, então encontramos que y ≤ 7.
Dos resultados obtidos: y ≥ 1 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y:
1 ≤ y ≤ 7 (Resposta!)
02. A expressão dada por y = –2senx + 5 é definida para todo número x real. Assim,
o intervalo de variação de y é
a) -1 ≤ y ≤ 7
b) y ≤ 3 ou y ≥ 7
c) 3 < y ≤ 5
d) 3 ≤ y ≤ 8
e) 3 ≤ y ≤ 7
Sol.:
A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim, encontraremos o
intervalo de variação de y, a partir do intervalo de variação da função seno.
Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o valor
máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:
sen x ≥ -1 e sen x ≤ 1
A partir da expressão sen x ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de y.
Temos que sen x ≥ -1 , se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos:
-2.sen x ≤ -2.(-1)
Observe que o sinal inverteu, era um sinal de “maior” e passou para um sinal de
“menor”, isso ocorreu porque multiplicamos por um valor negativo (-2).
Continuando, teremos:
-2sen x ≤ 2
Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
-2sen x + 5 ≤ 2 + 5
Daí:
-2sen x + 5 ≤ 7
E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≤ 7.
y.
Agora, a partir da expressão sen x ≤ 1, obteremos uma outra expressão de variação de
Temos que sen x ≤ 1, se multiplicarmos por -2 ambos os lados, obteremos:
-2.sen x ≥ -2.1
Novamente, invertemos o sinal, agora de menor para maior, porque multiplicamos por
um valor negativo (-2).
Continuando, teremos:
-2sen x ≥ -2
Se somarmos 5 a ambos os lados da expressão acima, teremos:
-2sen x + 5 ≥ -2 + 5
Daí:
-2sen x + 5 ≥ 3
E como y=-2sen x +5, então encontramos que y ≥ 3.
Dos resultados obtidos: y ≥ 3 e y ≤ 7, encontramos o intervalo de variação de y:
3 ≤ y ≤ 7 (Resposta!)
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3
03.(TFC 1995 ESAF) Simplificando a expressão (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg
a. sec a), obtém-se:
a) 0
b) 1
c) sen2a
d) sec2a
e) tg2a
Sol.:
O que temos que fazer para resolver esta questão é substituir as funções: tg, cossec,
cotg e sec, pelas funções seno e cosseno.
Sabemos que: tg x =
sen x
cos x
1
1
, cot g x =
, sec x =
e cos sec x =
.
cos x
sen x
cos x
sen x
A expressão dada no enunciado é: (sen a. tg a. cossec a) / (cos a. cotg a. sec a), se
colocarmos tudo em função do seno e cosseno, teremos:
Æ (sen a.
sen a
1
cos a
1
.
) / (cos a.
.
)
cos a sen a
sen a cos a
Æ (sen a.
sen a
1
cos a
1
.
) / (cos a.
.
)
cos a sen a
sen a cos a
Æ(
sen a
cos a
/
)
cos a
sen a
Æ(
sen a
sen a
x
)
cos a
cos a
Æ(
sen 2 a
)
cos 2 a
Æ ( tg 2 a )
(Resposta: alternativa E)
04.(SERPRO 1996 ESAF) Se sen x = 0,5, então (1 / cotg x) vale:
a)
3
b)
3
c) 2
d)
3
e)
3
Sol.:
3
3
2
4
É bom iniciarmos a solução da questão definindo os quadrantes em que o ângulo x pode
estar. Como senx=0,5 , temos que o seno é positivo, daí o ângulo x pode está no 1º
quadrante ou no 2º quadrante.
A expressão dada no enunciado é: (1 / cotg x) , e sabemos que cot g x =
cos x
. Daí, se
sen x
colocarmos a cotangente em função do seno e cosseno, teremos:
Æ (1 /
cos x
)
sen x
Æ(
sen x
)
cos x
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4
Para descobrirmos o valor da expressão acima, temos que achar o cosseno de x.
Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de
x a partir do valor do seno de x.
Temos que senx=1/2, substituindo esse valor na relação fundamental acima, teremos:
Æ (1/2)2 + cos2x = 1
Æ 1/4 + cos2x = 1
Æ cos2x = 1 - 1/4
Æ cos2x = 3/4
Æ cos x =
Æ cos x = ±
3/ 4
3 /2
Obtemos dois valores para o cosseno de x, um positivo e outro negativo. Agora, temos
que analisar qual destes devemos escolher.
No início dessa solução, vimos que o ângulo x poderia estar no 1º quadrante ou no 2º
quadrante. Daí, faremos duas análises:
Æ O valor do cosseno no 1º quadrante é positivo, daí se o x está no 1º quadrante, então
devemos escolher o valor positivo: cos x =
3 /2.
Æ O valor do cosseno no 2º quadrante é negativo, daí se o x está no 2º quadrante, então
devemos escolher o valor negativo: cos x = -
3 /2.
A questão solicita o valor da expressão (1 / cotg x), que como já vimos é igual a:
sen x
. Substituiremos os valores do seno e cosseno nesta expressão.
cos x
Æ Para senx=1/2 e cosx= 3 /2, teremos:
3
1/ 2
1
sen x
1× 3
=
=
=
=
3
cos x
3/2
3
3× 3
(resposta para x no 1º quadrante)
Æ Para senx=1/2 e cosx= - 3 /2, teremos:
3
sen x
= –
3
cos x
(resposta para x no 2º quadrante)
Portanto, temos duas respostas, porém a única que aparece nas alternativas é a
resposta
3
. E é claro, devemos marcar a alternativa B.
3
A questão deveria ter definido qual era o quadrante de x para que tivéssemos somente
uma resposta!
05.(MPOG 2003 ESAF) Sabendo que x é o ângulo correspondente a um arco do
segundo quadrante, e que seno de x é igual a 12/13, então a tangente de x é
igual a:
a) –12/5
b) –10/13
c) 10/13
d) 12/13
e) 12/5
Sol.:
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5
O enunciado informa que x é um ângulo do segundo quadrante, portanto a tangente de
x é um valor negativo. Assim, a alternativa correta ou é a A ou é a B.
Pela relação fundamental: sen2x + cos2x = 1, podemos encontrar o valor do cosseno de
x a partir do valor do seno de x.
Temos que senx=12/13, substituindo esse valor na relação fundamental acima,
teremos:
Æ (12/13)2 + cos2x = 1
Æ 144/169 + cos2x = 1
Æ cos2x = 1 – 144/169
Æ cos2x = 25/169
Æ cos x =
Æ cos x = ± 5/13
25 / 169
No início dessa solução, já havíamos concluído que o cos x devia ser negativo. Portanto,
descartaremos o valor de +3/5, e a resposta será:
cos x = –3/5 (Resposta!)
06.(Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Sabe-se
que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro
de um arco é dado por sen 2x = 2sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do
segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/3, então a
cossecante de x vale:
−2 3
3
−2 2
b)
3
3
c)
3
2 3
d)
3
a)
e) 1
Sol.:
O enunciado afirma que a função inversa da função seno é a função cossecante, isto
quer dizer que:
cossec x = 1 / sen x
Também o enunciado traz as seguintes informações:
Æ sen 2x = 2senx . cosx
Æ x é um arco do segundo quadrante
Æ cos(x/2) = 1/3
Para calcularmos a cossecante de x, devemos obter primeiramente o valor do sen x.
Para isso, vamos utilizar as informações dadas no enunciado.
A equação sen 2x = 2senx.cosx pode ser escrita de maneira diferente, mas
equivalente, da seguinte forma: sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2).
Desta última expressão, observamos que já temos o cos(x/2) e para calcularmos o
senx, necessitamos encontrar o valor do sen(x/2). Faremos isso através da relação
fundamental: sen2x + cos2x = 1.
Podemos
escrever
a
relação
fundamental
acima
da
seguinte
sen2(x/2)+cos2(x/2)=1. Substituiremos o valor de cos(x/2) nesta expressão.
forma:
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Æ sen2(x/2)+cos2(x/2)=1
Æ sen2(x/2) + (1/3)2 = 1
Æ sen2(x/2) = 1 – 1/9
Æ sen2(x/2) = 8/9
8
9
Æ sen(x/2) = ±
Æ sen(x/2) = ±
6
2 2
3
O seno de x/2 é positivo ou negativo? Como o x é um arco do 2º quadrante, então x/2
será do 1º quadrante e, portanto, o seno de x/2 é positivo. Daí, descartamos o valor negativo
acima e ficamos com:
sen(x/2) =
2 2
3
Agora é só substituir o valor do sen(x/2) e do cos(x/2) na expressão abaixo para
encontrarmos o valor do senx.
Æ sen x = 2sen(x/2) . cos(x/2)
Æ sen x =
Æ sen x = 2 .
2 2 1
.
3
3
4 2
9
Daí, cossecante de x é igual a:
Æ cossec x = 1 / sen x
Æ cossec x =
Æ cossec x = 1 /
9
Æ cossec x =
4 2
4 2
9
9 2
(Resposta!)
8
Observe que esta resposta não aparece entre as alternatives, foi por este motivo que a
ESAF teve que anular esta questão.
07.(TFC 1997 ESAF) Sabe-se que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do
produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, sendo o seno de um ângulo de
120º igual a
3 2 , o seno de um ângulo de 240º é:
a) − 3 2
c)
b)
d) 2 3
3 2
e) 3 3
3
Sol.:
E enunciado traz a seguinte informação: sen 2α = 2senα.cosα. Nesta expressão,
fazendo α igual a 120º, podemos obter o seno de 240º.
Æ sen 240º = 2.sen120º.cos120º
Falta calcular
sen2x+cos2x=1.
o
valor
do
seno
Æ sen2120º + cos2120º = 1
de
120º.
Usaremos
relação
fundamental:
Æ ( 3 2 )2 + cos2120º = 1
Æ cos2120º = 1 - 3 4
Æ cos2120º = 1/4
Æ cos 120º = ±
Æ cos 120º = ± 1/2
1/ 4
a
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7
O cosseno de 120º é positivo ou negativo? Como o ângulo de 120º é do 2º quadrante,
então o cosseno de 120º é negativo. Daí, descartamos o valor positivo acima e ficamos com:
cos 120º = –1/2
De posse do seno e do cosseno de 120º, já podemos obter o seno de 240º. Teremos:
Æ sen 240º = 2.sen120º.cos120º
Æ sen 240º = 2. 3 2 .(–1/2)
3 2 (Resposta!)
Æ sen 240º = –
08.(AFC-SFC 2001 ESAF) A condição necessária e suficiente para a identidade sen2α
= 2senα ser verdadeira é que α seja, em radianos, igual a:
a) π/3
b) π/2
c) n π sendo n um número inteiro qualquer
d) n π/2, sendo n um número inteiro qualquer
e) n π/3 ,sendo n um número inteiro qualquer
Sol.:
Uma das fórmulas apresentadas na aula dezesseis, e que já usamos em algumas
questões resolvidas acima, foi esta:
sen 2 x = 2 sen x cos x
Assim o valor de sen2α = 2senα.cosα . Substituiremos o valor de sen2α na expressão
dada no enunciado da questão.
Æ sen2α = 2senα
Æ 2senαcosα = 2senα
Æ 2senαcosα – 2senα = 0
Æ 2senα(cosα – 1) = 0
O valor de α que satisfaz esta última expressão, pode ser obtido fazendo-se:
2senα=0
ou
(cosα – 1)=0
1) Vamos calcular os valores de α para que 2senα=0.
Æ 2senα=0
Æ senα=0
O seno é igual a zero para os arcos 0, ±π, ±2π, ±3π, ... . Generalizando:
α = kπ , onde k = 0, ±1, ±2, ...
2) Vamos calcular os valores de α para que (cosα – 1) = 0.
Æ (cosα – 1) = 0
Æ cosα = 1
O cosseno é igual a um para os arcos 0, ±2π, ±4π, ... . Generalizando:
α = k.2π , onde k = 0, ±1, ±2, ...
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8
Resumindo:
Æ Para que 2senα = 0 , devemos ter α = kπ , onde k é um inteiro qualquer.
Æ Para que (cosα–1)=0 , devemos ter α = k.2π , onde k é um inteiro qualquer.
A solução é: α = kπ ou α = k.2π , mas como α=kπ também abrange os valores de
α=k.2π , então podemos dizer que a solução é simplesmente:
α = kπ , onde k é um inteiro qualquer (Resposta: alternativa C)
09.(SERPRO 1996 ESAF) Sendo p uma constante real, os valores de x e de y que
solucionam o sistema:
x.sen p – y.cos p = -cos 2p
x.cos p + y.sen p = sen 2p
a) (sen p,cos p)
b) (sen 2,cos 2p)
c) (sen 2p,cos p)
d) (sen p,-cos p)
e) (-sen p,-cos 2p)
Sol.:
Os valores de x e de y são as raízes do sistema.
Devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema, para que
possamos utilizar a relação fundamental: sen2p+cos2p=1 , e, assim, teremos:
Æ
(x.sen p – y.cos p)2 = (–cos 2p)2
(x.cos p + y.sen p)2 = (sen 2p)2
Æ
(x.sen p)2 – 2(x.sen p)(y.cos p) + (y.cos p)2 = (–cos 2p)2
(x.cos p)2 + 2(x.cos p)(y.sen p) + (y.sen p)2 = (sen 2p)2
Æ
x2.sen2p – 2xy.sen p.cos p + y2cos2p = cos22p
x2.cos2p + 2xy.cos p.sen p + y2.sen2p = sen22p
Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos:
Æ x2.sen2p + x2.cos2p + 0 + y2cos2p + y2.sen2p = cos22p + sen22p
Æ x2(sen2p + cos2p) + y2(cos2p + sen2p) = cos22p + sen22p
Æ x2(1) + y2(1) = 1
Æ x2 + y2 = 1
Os únicos valores de x e de y que satisfazem a equação x2 + y2 = 1 são os que são
apresentados na alternativa A e D, mas se substituímos o valor de x e de y da alternativa d na
segunda equação do sistema, verificaremos facilmente que estes valores não servem. Daí,
resposta: alternativa A.
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9
10.(Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Sabendo que x = 3sent e y = 4cost,
então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por:
a) 16 y2 - 9 x2 = 144
b) 16 x2 - 9 y2 = 144
c) 16 y2 + 9 x2 = 144
d) 16 x2 + 9 y2 = 144
e) 9 y2 - 16 x2 = 144
Sol.:
Devemos elevar ao quadrado os valores de x e de y, para que possamos utilizar a
relação fundamental: sen2t+cos2t=1 . Fazendo isso, teremos:
Æ x = 3sent
Æ x2 = (3sent)2
Æ x2 = 9sen2t
Æ y = 4cost
Æ y2 = (4cost)2
Æ y2 = 16cos2t
(1)
(2)
Para que apareça a relação sen2t+cos2t=1 , devemos multiplicar a 1ª equação por 16
e a 2ª equação por 9, e depois somarmos as duas.
Æ 16x2 = 16.9sen2t
Æ 16x2 = 144sen2t
Æ 9y2 = 9.16cos2t
Æ 9y2 = 144cos2t
Somando, membro a membro, teremos:
Æ 16x2 + 9y2 = 144sen2t + 144cos2t
Æ 16x2 + 9y2 = 144(sen2t + cos2t)
Æ 16x2 + 9y2 = 144 (Resposta: alternativa D)
11.Simplificando a expressão
tgx. cot gx
, obteremos:
sec 2 x − 1
2
a) sec x
2
b) cot g x
2
c) tg x
cos sec 2 x
2
e) cos x
d)
Sol.:
Da aula dezesseis, temos as seguintes fórmulas que usaremos na solução dessa
questão, são elas:
Æ cotgx = 1/tgx
Æ tg 2 x + 1 = sec 2 x
Substituindo essas fórmulas na expressão do enunciado, teremos:
Æ
tgx. cot gx
sec 2 x − 1
1
tgx
2
tg x
tgx.
Æ
Æ
1
tg 2 x
Æ cot g 2 x (Resposta: alternativa B)
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12.Determine o valor de x e y nas figuras abaixo:
x
y
12
60o
20
Sol.:
x
y
12
y
60o
x
20 20 - x
12
y
60o
20 - x
Sabemos que: sen 60º =
3
e que cos 60º = ½.
2
1) Cálculo de y
Æ sen 60º = cateto oposto / hipotenusa
Æ
3
= y / 12
2
Æy= 6 3
2) Cálculo de x
Æ cos 60º = cateto adjacente / hipotenusa
Æ 1/2 = (20-x) / 12
Æ (20-x) = 6
Æ x = 14
Agora, sim, falaremos sobre Geometria!
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11
GEOMETRIA
1. ÂNGULOS
1.1. Definição
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem
de um mesmo ponto.
A
Indica-se por: AÔB ou α.
α
O
B
Em que:
OA e OB são os lados do ângulo;
O é o vértice do ângulo.
1.2. Ângulo agudo
É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.
α
1.3. Ângulo obtuso
É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um
raso.
α
1.4. Ângulos opostos pelo vértice
β
γ
α
θ
α e γ são opostos pelo vértice.
θ e β são opostos pelo vértice.
Æ Dois ângulos opostos pelo vértice têm medidas iguais, ou seja, são
congruentes.
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12
1.5. Bissetriz de um ângulo
Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o
divide em dois ângulos congruentes.
α
β
bissetriz
α=β
1.6. Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma
transversal
Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito
ângulos, assim denominados:
t
b
c
β
γ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ângulos
ângulos
ângulos
ângulos
ângulos
a
r
d
α
s
θ
correspondentes: a e α, b e β, c e γ, d e θ;
alternos internos: c e α, d e β;
alternos externos: a e γ, b e θ;
colaterais internos: c e β, d e α;
colaterais externos: a e θ, b e γ;
Propriedades:
Æ Ângulos alternos internos são congruentes.
Æ Ângulos alternos externos são congruentes.
Æ Ângulos correspondentes são congruentes.
Æ Ângulos colaterais internos são suplementares.
Æ Ângulos colaterais externos são suplementares.
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13
2. TEOREMA DE TALES
Um feixe de paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos
que são proporcionais.
t1
t2
A
r1
D
B
C
r3
F
Posto isso, teremos:
Æ Conseqüência:
r2
E
AB DE
=
BC EF
A
A
M
N
B
C
B
M
C
N
B
C
A
N
M
Considerando que MN é paralelo a BC, então temos:
AM AN MN
=
=
.
AB
AC BC
3. POLÍGONOS
3.1. Nomenclatura
Seja o polígono da figura:
A
D
B
C
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Em que:
A, B, C e D são os vértices do polígono.
AB, BC, CD e DA são os lados do polígono.
Alguns tipos de polígonos convexos:
triângulo – 3 lados
quadrilátero – 4 lados
pentágono – 5 lados
hexágono – 6 lados
decágono – 10 lados
icoságono – 20 lados
3.2. Número de diagonais de um polígono
O número de diagonais d de um polígono de n lados é dado por:
d=
n(n − 3)
2
3.3. Soma das Medidas dos ângulos Internos e Externos
e1
i1
e2
e3
en
in
i2
i5
i3
i4
e5
e4
Æ Soma dos ângulos internos de um polígono: Si = i1+i2+...+in = (n-2).180º
Æ Soma dos ângulos externos de um polígono: Se = e1+e2+...+en = 360º
Observação:
Æ Se o polígono for regular, ele tem todos os lados e os ângulos congruentes,
logo:
S
ângulo interno de um polígono de n lados: i
n
ângulo externo de um polígono de n lados:
360º
2
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4. TRIÂNGULOS
4.1. Classificação:
Æ Eqüilátero: tem os três lados iguais e os três ângulos iguais (60º).
Æ Isóceles: tem dois lados iguais e dois ângulos iguais.
Æ Escaleno: os três lados são diferentes e também os três ângulos.
4.2. Relações no triângulo qualquer:
B
c
a
C
A
b
1) Qualquer lado é menor que a soma dos outros dois:
a<b+c
b<a+c
c<a+b
2) A soma dos ângulos internos é 180°:
)
)
)
A + B + C = 180º
4.3. Mediana
È o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
B
mediana
A
M
C
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16
4.4. Altura
É o segmento que parte de um vértice e é perpendicular ao lado oposto.
B
B
altura
altura
A
C
H
H
C
A
4.5. Bissetriz
A bissetriz do ângulo  divide este ângulo em duas partes iguais e intercepta o
lado oposto no ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz interna relativa ao
vértice A.
A
C
B
D
Æ Teorema da bissetriz interna: a bissetriz do ângulo interno de um
triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos
outros dois lados.
Da figura acima, temos:
BD AB
=
DC AC
4.6. Semelhança de Triângulos
Dois triângulos ABC e A’B’C’ são dito semelhantes, se:
) )
) )
) )
• os ângulos correspondentes forem congruentes ( A = A' , B = B' e C = C' ).
a b c
• os lados correspondentes forem proporcionais ( = = ).
a ' b' c '
A’
A
c
b
C
a
c’
b’
B
C’
a’
B’
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17
4.7. Relações Métricas no Triângulo Retângulo
c
b
h
m
n
a
a – hipotenusa
b e c – catetos
h – altura relativa a hipotenusa
m e n – projeções dos catetos sobre a hipotenusa
Æ Relações métricas:
1) bc = ah
2) c2 = a.m
3) b2 = a.n
4) h2 = m.n
Æ Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2
5. QUADRILÁTEROS
Æ Quadrilátero é o polígono de quatro lados.
Æ A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é: 360º.
i1
i4
i1 + i2 + i3 + i4 = 360º
i2
i3
5.1. Classificação
Æ Paralelogramo
É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.
Os ângulos opostos são congruentes.
Paralelogramos Notáveis
Æ Retângulo: é o paralelogramo que tem os quatro ângulos congruentes e de
medida igual a 90º.
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18
Æ Losango: é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais.
Æ Quadrado: é o paralelogramo que tem os quatro lados e os quatro ângulos
iguais entre si.
Æ Trapézio
É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.
D
A
C
B
H
AB é paralela a CD.
AB é a base maior.
CD é a base menor.
DH é a altura.
Æ Propriedade:
D
C
ponto médio
N
M
A
ponto médio
B
MN =
AB + CD
2
6. Ângulos na Circunferência
6.1. Ângulo Central
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
B
O
α
α = AB
A
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que ele enxerga.
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19
6.2. Ângulo inscrito
B
α = AB
2
α
V
A
A medida de um ângulo inscrito é igual à medida do arco que ele enxerga.
Æ Se AB corresponde à metade da circunferência (180º), então o ângulo α é
reto.
A
O triângulo inscrito é retângulo.
B
O
6.3. Ângulo de Vértice Interno
C
V
B
α = AB + CD
2
α
D
A
A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual a semi-soma
das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
6.4. Ângulo de Vértice Externo
V
C
B
α
α = AB - CD
2
D
A
A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual a
semi-diferença das medidas dos arcos determinados pelos seus lados.
6.5. Ângulo de Segmento
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo um de seus lados
secante e o outro, tangente à circunferência.
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20
V=B
A
α
α = AB
2
A medida de um ângulo de segmento é igual a metade do arco por ele
determinado.
7. ÁREAS DAS FIGURAS PLANAS
Retângulo:
b
área = a . b
a
Quadrado:
a
área = a2
a
Paralelogramo:
b
h
área = base x altura = a x h
a
Trapézio:
b
c
d
h
área = (B + b).h
2
B
Losango:
a
D
a
d
a
a
área = D . d
2
d = diagonal menor
D = diagonal maior
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21
Triângulo:
c
b
h
área = base x altura = a x h
2
2
α
ou
área = a.b.senα
2
a
Triângulo Eqüilátero:
a
a
h
h=
a 3
2
e
área =
a2 3
4
a
Área do Círculo
r
área = πr2
O
Comprimento de uma circunferência:
C = 2πr
Setor Circular:
l
r
α
área = απr2_
360º
Hexágono Regular: no seu interior há seis triângulos equiláteros
a
a
a
a
a
a
área = 6 ×
a2 3
4
a
a
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22
8. VOLUME DOS SÓLIDOS
Paralelepípedo retângulo
Volume = área da base x altura = a . b . c
c
b
Área total = 2(ab +ac + bc)
b
a
Cubo
Volume = área da base x altura = a2. a = a3
a
Área total = área da base x altura = 6a2
a
a
Cilindro
Área lateral = 2πr . h
h
r
Esfera
2
Área total
h = área lateral + área das bases = 2πrh + 2πr
Volume = área da base x altura = πr2 . h
R = raio da esfera
Área total = 4π R 2
4πR 3
Volume =
3
Pirâmide (tetraedro regular: as faces são triângulos equiláteros)
h
Volume = área da base x altura
3
a2 3
×h
4
Volume =
3
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23
Cone
Volume = área da base x altura = πr2 . h
3
3
h
r
Partiremos direto para o dever de casa, na próxima aula traremos todas as
questões resolvidas.
DEVER DE CASA DE GEOMETRIA BÁSICA
01. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma com a
hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a
soma das medidas dos catetos é igual a:
d) 16 cm2
a) 8 cm2
b) 16 cm
e) 8 cm
c) 4 cm
02. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os catetos
de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y, onde A, X e Y
são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto que mede A+X é igual
a 45º, segue-se que:
a) Y = -2 X
d) Y = X
e) Y = 2 X
b) Y = (31/2)/2 X
c) Y = 31/2 X
03. (AFC-STN-2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo
oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a
a) 2y (x + 1)
d) 2 (x + y)
e) x2 + y2
b) y (2 + 2 2 )
c) x (2 + 2 )
04. (AFTN 1998/ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm, base
menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo
limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não paralelos do trapézio é
igual a:
a) 10
d) 17
b) 5
e) 12
c) 7
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05.
24
(Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Em um
triângulo eqüilátero de lado igual a 12 cm, traça-se um segmento XY paralelo ao
lado BC de modo que o triângulo fique decomposto em um trapézio e em um novo
triângulo. Sabendo-se que o perímetro do trapézio é igual ao perímetro do novo
triângulo, então o comprimento do segmento de reta XY , em centímetros, vale
a) 5
c) 9
e) 12
b) 6
d) 10
06. (TFC 1996 ESAF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plano. A distância,
em linha reta, do ponto X ao ponto Y é de 30 cm, e do ponto X ao ponto Z é de 22
cm. Se d é a distância em centímetros, também em linha reta, do ponto Y ao
ponto Z, então o conjunto dos possíveis valores para d é dado por:
d) 22 ≤ d ≤ 52
a) 8 ≤ d ≤ 30
e) 30 ≤ d ≤ 52
b) 8 ≤ d ≤ 52
c) 22 ≤ d ≤ 30
07. (TCU 2002 ESAF) As medidas dos ângulos do triângulo AYG são tais que  < Y
< 90° e G > 90°. As bissetrizes externas dos ângulos  e G cortam os
prolongamentos dos lados opostos YG e AY nos pontos P e Q, respectivamente.
Sabendo que, AG = GQ = AP, então a soma dos ângulos Y e G é igual a:
a) 48°
d) 148°
b) 64°
e) 168°
c) 144°
08. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo qualquer
ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas
aos vértices B e C deste triângulo vale:
a) 50°
d) 64°
b) 52°
e) 128°
c) 56°
09. (Assistente de Chancelaria MRE 2002) Num triângulo ABC, o ângulo interno de
vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos
de vértices B e C mede:
a) 45°
c) 90°
e) 150°
b) 60°
d) 120°
10. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF) Se o
raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o acréscimo
percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
d) 80%
b) 50%
e) 85%
c) 75%
11. (TFC/SFC 2001 ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio. Sabendose que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida pelo automóvel,
em quilômetros(Km), foi de:
a) 16 Km
d) 1,6 . 103π Km
b) 16 π Km
e) 1,6 . 103π2 Km
2
c) 16 π Km
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25
12. (AFC 2002 ESAF) A circunferência é uma figura constituída de infinitos pontos,
que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto P(x,y), da
circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu raio R. A forma geral
da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Assim, a equação da
circunferência de centro na origem dos eixos e que passa pelo ponto (3,4) é:
d) x2 + y2 = 25
a) x2 + y2 = 4
2
2
e) x2 + y2 = 49
b) x + y = 9
c) x2 + y2 = 16
13. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente.
Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal, B,
outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal B, compreendido
entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em
centímetros, dos segmentos sobre a transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
d) 14, 26 e 50
b) 6, 34 e 50
e) 14, 20 e 56
c) 10, 30 e 50
14. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem lados
que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um
triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m. A área do segundo
triângulo será igual a:
d) 48 m2
a) 6 m2
2
b) 12 m
e) 60 m2
c) 24 m2
15. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 cm e
um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a
área do triângulo é igual a
a) 3−1 3
c) 2 −1 2
e) 1
b) 21 2
2
d) 3
16. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Um trapézio ABCD, com altura igual a
h, possui bases AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste trapézio
determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas dos triângulos que têm
por bases AB e CD respectivamente e por vértices opostos a interseção das
diagonais do trapézio é igual a:
( a + b)
( a − b) h
(b − a )h
c)
e)
a)
2
2
2
( a + b) h
( a − b)
b)
d)
2
2
17. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a
cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o
lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 3 / 2 m, então a área, em
metros, do hexágono é igual a:
d) 3 3
a) 9 3
4
b)
7
3
e)
3
3
c) 2 3
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26
18. (TCE-RN 2000/ESAF) A reta R1, que possui coeficiente linear igual a 8 e que é
perpendicular à reta R2= -1/3 x + 8, forma com os eixos coordenados e com a
reta x = 2 uma figura cuja área, em metros quadrados, é igual a:
a) 16
d) 48
b) 18
e) 50
c) 22
19. (TTN 1998 ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e cuja
circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e (- 4,0) é dada
por
b) 4 π
c) 8 π
d) 2 π
e) 32 π
a) 16 π
20. (AFC 2002 ESAF) Um dos lados de um retângulo é 7 cm maior do que o outro
lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13 cm, então o volume de um prisma
regular, de 5 cm de altura, e que tem como base este retângulo, é igual a:
c) 150 cm3
e) 300 cm3
a) 50 cm3
d) 200 cm3
b) 65 cm3
21. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno encontramse perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está parado em um
ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros possam localizá-lo. Há um
único ponto em que é possível ouvir simultaneamente Fernando e Bruno, um outro
único ponto (diferente daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e
João Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois) em
que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando. Bruno encontrase, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra Fernando. Fernando,
por sua vez, está a 350 metros, também em linha reta, do ponto onde está João
Guilherme. Fernando grita o suficiente para que seja possível ouvi-lo em qualquer
ponto até uma distância de 250 metros de onde ele se encontra. Portanto, a
distância em linha reta, em metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e
João Guilherme é:
a) 650
b) 600
c) 500
d) 700
e) 720
22. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo
vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar
na borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo
que a velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu.
Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um
certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a
seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O
número de arestas do polígono é:
a) 10
b) 15
c) 12
d) 14
e) 11
23. (SERPRO 1996 ESAF) O
+ 16 = 0 têm coordenadas
a) (-11,-5)
b) (-11,3)
c) (-5,-1)
ponto de intersecção das retas 2x + y – 1 = 0 e x – y
iguais a:
d) (11,5)
e) (-5,11)
24. (AFC-SFC 2001 ESAF) Sabe-se que as retas de equações r1 = αx e r2 = -2x+β
interceptam-se em um ponto P(x<0; y<0). Logo,
a) α > 0 e β > 0
d) α < -1 e β < 0
b) α > 0 e β < 0
e) α > -1 e β > 0
c) α < 0 e β < 0
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1
AULA DEZOITO: PORCENTAGEM
Olá, amigos!
Hoje iniciamos um assunto novo: Porcentagem! Um assunto elementar e
essencial para o Raciocínio Lógico. Considero este assunto um dos mais fáceis do
Curso, mas é bom estudar e fazer exercícios para que não haja falhas no momento da
prova.
Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula
passada.
DEVER DE CASA DE GEOMETRIA BÁSICA
01. (AFTN 1998/ESAF) Em um triângulo retângulo, um dos catetos forma
com a hipotenusa um ângulo de 45º. Sendo a área do triângulo igual a 8
cm2, então a soma das medidas dos catetos é igual a:
d) 16 cm2
a) 8 cm2
b) 16 cm
e) 8 cm
c) 4 cm
Sol.:
Vamos desenhar um triângulo retângulo de catetos b e c, e hipotenusa a. Com
um ângulo de 45º entre a hipotenusa e um dos catetos, conforme diz o enunciado da
questão:
a
c
45º
b
A área do triângulo retângulo é de 8 cm2. A área calculada a partir do desenho
acima é igual a:
área = base x altura
2
Æ área = b x c
2
Então,
bxc=8
Æ b x c = 16
2
Acabamos de descobrir uma relação entre os catetos b e c, mas precisamos de
outra. Sabemos que a tangente de um ângulo dentro de um triângulo retângulo é
igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos:
tg 45º =
cateto oposto =
cateto adjacente
c_
b
A tangente do ângulo de 45º é igual a 1, conforme vimos na aula 16. Daí:
c_=1
b
Æ c = b (significa que os catetos são iguais)
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2
Tínhamos que b x c = 16, e como b =c, então vem que:
b2 = 16
Æb=4
Conclusão: os dois catetos têm valores iguais a 4 cm.
A soma dos catetos é igual a: 4 cm + 4 cm = 8 cm (Resposta: alternativa E)
02. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Os
catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, A+X e A+Y,
onde A, X e Y são números reais. Sabendo que o ângulo oposto ao cateto
que mede A+X é igual a 45º, segue-se que:
a) Y = -2 X
d) Y = X
e) Y = 2 X
b) Y = (31/2)/2 X
c) Y = 31/2 X
Sol.:
De acordo com as informações dadas no enunciado da questão podemos
desenhar o seguinte triângulo retângulo:
A+X
45º
A+Y
Sabemos que a tangente de um ângulo no triângulo retângulo é igual à razão
entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos:
tg 45º =
cateto oposto =
cateto adjacente
A+X _
A+Y
A tangente do ângulo de 45º é igual a 1. Daí:
Æ A+X _ = 1
A+Y
Æ A+X = A+Y
Æ E: X = Y (Resposta: alternativa D)
03. (AFC-STN-2000 ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem,
respectivamente, x e (y-2). Sabendo que a tangente trigonométrica do
ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do
triângulo é igual a
a) 2y (x + 1)
d) 2 (x + y)
b) y (2 + 2 2 )
e) x2 + y2
c) x (2 + 2 )
Sol.:
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3
Esta questão é muito parecida com as duas anteriores.
De acordo com as informações dadas no enunciado da questão podemos
desenhar o seguinte triângulo retângulo:
x
α
y-2
Sabemos que a tangente de um ângulo no triângulo retângulo é igual à razão
entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Daí, teremos:
tg α =
cateto oposto = x _
cateto adjacente
y-2
A tangente do ângulo α é igual a 1. Daí:
Æ x_=1
y-2
Æ x = y-2 (significa que os catetos são iguais)
A partir deste resultado podemos atualizar o desenho anterior para:
a
x
α
x
A hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras:
a2 = b2 + c2
Aplicando este teorema, teremos:
Æ a2 = x2 + x2
Æ a2 = 2x2
Æ a=
2x 2
Æ a=x 2
Portanto, temos que os catetos medem x e a hipotenusa x 2 . E já podemos
calcular o perímetro do triângulo que é dado pela soma dos lados.
Æ perímetro = x + x + x 2 = 2x + x 2 = x(2 +
2)
(Resposta: alternativa C)
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4
04. (AFTN 1998/ESAF) Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20 cm,
base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do
triângulo limitado pela base menor e o prolongamento dos lados não
paralelos do trapézio é igual a:
a) 10
d) 17
b) 5
e) 12
c) 7
Sol.:
A questão não especifica como é exatamente o formato do trapézio, então
desenharemos como mostrado abaixo, incluindo os valores fornecidos.
8
15
20
Prolongando-se os lados não-paralelos do trapézio, obteremos:
h
8
15
20
A questão solicita a altura h do triângulo de base 8 que pode ser visto no
desenho acima. Encontraremos essa altura através da semelhança dos dois triângulos
mostrados abaixo.
h
h+15
8
20
Da semelhança, temos que os lados correspondentes dos dois triângulos são
proporcionais:
h
8
=
h + 15 20
Daí:
Æ 20h = 8(h + 15)
Æ 20h = 8h + 120
Æ h = 10 (Resposta: alternativa A)
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5
05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/2000 ESAF) Em
um triângulo eqüilátero de lado igual a 12 cm, traça-se um segmento XY
paralelo ao lado BC de modo que o triângulo fique decomposto em um
trapézio e em um novo triângulo. Sabendo-se que o perímetro do trapézio
é igual ao perímetro do novo triângulo, então o comprimento do segmento
de reta XY , em centímetros, vale
a) 5
c) 9
b) 6
d) 10
e) 12
Sol.:
O triângulo equilátero de lado igual a 12 cm é desenhado a seguir:
12
12
12
Passaremos um segmento paralelo a base de modo que o triângulo fique
decomposto em um trapézio e em um novo triângulo. E designaremos letras para
representar os tamanhos dos segmentos. Teremos:
a
a
x
12-a
12-a
12
O perímetro do triângulo de base x é igual a:
Æ perímetro = a + a + x = 2a + x
O perímetro do trapézio de base 12 é igual a:
Æ perímetro = x + (12-a) + 12 + (12-a) = 36 + x – 2a
A questão afirma que os perímetros calculados acima são iguais, daí:
Æ 2a + x = 36 + x – 2a
Æ 4a = 36
Æ a=9
Temos que encontrar x que é a resposta da questão. Substituindo o valor do a
no desenho acima, teremos:
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9
6
9
12
x
3
3
12
Da semelhança dos triângulos de base x e de base 12, temos que os lados
correspondentes são proporcionais:
x
9
=
12 12
Daí: x = 9
Este resultado também poderia ter sido obtido a partir da observação do
desenho acima. Observe que o triângulo de base x também é eqüilátero. pois os três
ângulos são iguais a 60º. E, portanto, o valor de x deve ser igual ao lado, ou seja,
x=9. (Resposta: alternativa C)
06. (TFC 1996 ESAF) Os pontos X, Y e Z estão todos no mesmo plano. A
distância, em linha reta, do ponto X ao ponto Y é de 30 cm, e do ponto X
ao ponto Z é de 22 cm. Se d é a distância em centímetros, também em
linha reta, do ponto Y ao ponto Z, então o conjunto dos possíveis valores
para d é dado por:
d) 22 ≤ d ≤ 52
a) 8 ≤ d ≤ 30
b) 8 ≤ d ≤ 52
e) 30 ≤ d ≤ 52
c) 22 ≤ d ≤ 30
Sol.:
Desenharemos primeiramente os pontos X e Y de acordo com os dados
fornecidos:
30cm
X
Y
O ponto Z está a uma distância de 22 cm de X, portanto Z pode estar em
qualquer ponto da circunferência de raio 22 e de centro no ponto X, como mostrado
abaixo:
Z
22cm
30cm
X
Y
A maior distância que Z pode ficar de Y é mostrada abaixo:
22cm
Z
30cm
X
Y
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7
Então a maior distância é igual a: 22 + 30 = 52
A menor distância que Z pode ficar de Y é mostrada abaixo:
30cm
22cm
X
Z
Y
Então a menor distância é igual a: 30 – 22 = 8
Portanto, os valores de d estão entre 8 e 52, ou seja, 8 ≤ d ≤ 52.
Resposta: alternativa B.
07. (TCU 2002 ESAF) As medidas dos ângulos do triângulo AYG são tais que
)
)
Â<Y<90° e G>90°. As bissetrizes externas dos ângulos A e G cortam os
prolongamentos dos lados opostos YG e AY nos pontos P e Q,
respectivamente. Sabendo que, AG = GQ = AP, então a soma dos ângulos
)
)
Y e G é igual a:
a) 48°
d) 148°
b) 64°
e) 168°
c) 144°
Sol.:
)
O ângulo interno G do triângulo é obtuso. Dizemos, então, que o triângulo é
obtusângulo. Quando todos os ângulos internos do triângulo são agudos, então o
triângulo é chamado de acutângulo. Observe na figura a seguir o triângulo AYG.
Y
)
)
)
G >90º e A < G
y
g
a
G
A
)
)
Vamos construir as bissetrizes externas dos ângulos A e G .
Y
y
g
G
a
A
Faremos os prolongamentos dos lados YG e AY que interceptaram as bissetrizes
externas desenhadas acima nos pontos P e Q, respectivamente.
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8
Q
a
Y
y
g
180º–g
2
G
180º–a
a
A
180º–g
180º–a
2
180º–g
P
Na figura acima observa-se que: AP=AG=QG. Desse modo aparecem alguns
triângulos isósceles com dois lados e dois ângulos iguais.
Repare no triângulo GAP, observe que os lados AG e AP são iguais o que o torna
um triângulo isósceles com também dois ângulos iguais, a saber:
(ângulo do vértice G) = (ângulo do vértice P) = 180º–g
Repare agora no triângulo AGQ, observe que os lados GA e GQ são iguais o que
o torna um triângulo isósceles com também dois ângulos iguais, a saber:
(ângulo do vértice A) = (ângulo do vértice Q) = a
Lembre-se que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º. A
partir disso, retiraremos relações entre os ângulos.
Æ Triângulo GAP
(180-g) + (180-g) + (180-a) = 180º
2
(180-g) + (180-g) + (90-a/2) = 180º
-2g – a/2 = -270º
Æ
2g + a/2 = 270º (I)
Æ Triângulo AGQ
(a) + (a) + ( g + (180º-g) ) = 180º
2
(a) + (a) + ( g + (90º-g/2) ) = 180º
2a + g/2 + 90º = 180º
Æ 2a + g/2 = 90º (II)
Das equações (I) e (II), encontraremos os valores de a e g.
2g + a/2 = 270º
2a + g/2 = 90º
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9
Vamos multiplicar por -4 a segunda equação:
2g + a/2 = 270º
-8a - 2g = -360º
Somando as equações membro a membro, teremos:
-8a + a/2 = -90º
Daí:
-15a/2 = -90º
Æ a = 12º
Æ Do triângulo inicial AYG, temos:
a + g + y = 180º
Æ g + y = 180º – a
Æ g + y = 180º – 12º
Æ g + y = 168º (Resposta: alternativa E)
08. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) O ângulo A de um triângulo
qualquer ABC mede 76°. Assim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes
externas relativas aos vértices B e C deste triângulo vale:
a) 50°
d) 64°
b) 52°
e) 128°
c) 56°
Sol.:
O enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 76º, então
podemos simplificar a solução da questão construindo um triângulo isósceles.
A
76º
52º
52º
B
C
Construiremos agora as bissetrizes externas dos ângulos B e C, e calcularemos os
ângulos envolvidos na figura.
A
76º
128º
64º
64º
B
128º
52º
52º
64º
64º
64º
64º
C
α
P
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10
A soma dos ângulos do triângulo BCP tem que ser igual a 180º, daí achamos o
ângulo α formado pelas duas bissetrizes externas.
α + 64º + 64º = 180º
Daí: α = 180º - 128º
Æ α = 52º (Resposta: alternativa B)
09. (Assistente de Chancelaria MRE 2002) Num triângulo ABC, o ângulo
interno de vértice A mede 60°. O maior ângulo formado pelas bissetrizes
dos ângulos internos de vértices B e C mede:
a) 45°
c) 90°
e) 150°
b) 60°
d) 120°
Sol.:
Novamente, o enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 60º,
então podemos simplificar a solução da questão construindo um triângulo equilátero.
A
60º
B
60º
60º
C
Construiremos agora as bissetrizes internas dos ângulos B e C, e calcularemos os
ângulos envolvidos na figura.
A
60º
P
30º
B
30º
α
β
30º
30º
C
Temos dois ângulos entre as bissetrizes internas: o ângulo α e ângulo β. A
questão solicita o maior dentre esses ângulos.
A soma dos ângulos do triângulo BPC deve ser igual a 180º, daí achamos o
valor de α:
α + 30º + 30º = 180º
Daí: α = 120º (Resposta: alternativa D)
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11
10. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 2002 ESAF)
Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50%, então o
acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
d) 80%
b) 50%
e) 85%
c) 75%
Sol.:
O comprimento de uma circunferência é dado por:
C = 2πr
Portanto, o comprimento da circunferência antes do aumento do raio é igual a:
C1 = 2πr1
Se o raio aumentar em 50%, o tamanho do raio passará a ser:
Æ r2 = 1,5r1
r2 = r1 + 50%r1 = r1 + 0,5r1
O comprimento da circunferência após o aumento do raio será igual a:
C2 = 2πr2 = 2π(1,5r1)
Æ C2 = 3πr1
O acréscimo percentual no comprimento da circunferência pode ser obtido pela
razão:
C2 – C1
C1
Daí: 3πr1 – 2πr1 = πr1 = 1_ = 50%
2πr1
2πr1
2
Poderíamos ter evitado essas contas, pois sabemos que o comprimento de uma
circunferência é proporcional ao tamanho do seu raio ( C=2πr ), daí se o raio
aumentar em 50%, então o comprimento da circunferência também aumentará em
50%.
(Resposta: alternativa B)
11. (TFC/SFC 2001 ESAF) As rodas de um automóvel têm 40 cm de raio.
Sabendo-se que cada roda deu 20.000 voltas, então a distância percorrida
pelo automóvel, em quilômetros (Km), foi de:
a) 16 Km
d) 1,6 . 103π Km
b) 16 π Km
e) 1,6 . 103π2 Km
2
c) 16 π Km
Sol.:
O comprimento de uma circunferência é dada por 2πr. Portanto, o comprimento
da circunferência da roda é igual a:
C = 2π.(40cm) = 80π cm
Cada volta que a roda executa, o carro anda uma distância correspondente ao
comprimento da circunferência da roda, ou seja, 80π cm. Como a roda deu 20.000
voltas, então a distância percorrida pelo automóvel é igual a:
20.000 x 80π cm = 1.600.000π cm = 16π km
(Resposta: alternativa B)
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12
12. (AFC 2002 ESAF) A circunferência é uma figura constituída de infinitos
pontos, que tem a seguinte propriedade: a distância de qualquer ponto
P(x,y), da circunferência até o seu centro C(a,b) é sempre igual ao seu
raio R. A forma geral da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2.
Assim, a equação da circunferência de centro na origem dos eixos e que
passa pelo ponto (3,4) é:
d) x2 + y2 = 25
a) x2 + y2 = 4
e) x2 + y2 = 49
b) x2 + y2 = 9
2
2
c) x + y = 16
Sol.:
A equação da circunferência é dada por: (x - a)2 + (y - b)2 = R2. Onde o par
coordenado (a, b) é o centro da circunferência.
O enunciado afirma que a circunferência tem centro na origem, ou seja, (0, 0).
Isso significa que a=0 e b=0.
Substituindo os valores de a e b na equação da circunferência, teremos:
(x - 0)2 + (y - 0)2 = R2 Æ x2 + y2 = R2
Como a circunferência passa pelo ponto (3,4), então podemos fazer x=3 e y=4
na equação da circunferência para encontrarmos o valor do R.
Æ x2 + y2 = R2
Æ 32 + 42 = R2
Æ R2 = 25 Æ R = 5
Portanto, a equação da circunferência com centro na origem e que passa pelo
ponto (3,4) é igual a:
Æ x2 + y2 = 25 (Resposta: alternativa D)
13. (AFC 2005 ESAF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta
transversal, A, segmentos que medem 2 cm, 10 cm e 18 cm,
respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre
uma reta transversal, B, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento
da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede
90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a
transversal B são iguais a:
a) 6, 30 e 54
d) 14, 26 e 50
b) 6, 34 e 50
e) 14, 20 e 56
c) 10, 30 e 50
Sol.:
A
2
10
18
B
x
y
z
O segmento da transversal B, compreendido entre a primeira e a quarta paralela,
mede 90 cm, daí:
x + y + z = 90
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13
Segundo o Teorema de Tales, um feixe de paralelas determina, em duas
transversais quaisquer, segmentos que são proporcionais. Portanto, teremos:
x y
z
=
=
2 10 18
De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:
x y
z
x+ y+z
=
=
=
2 10 18 2 + 10 + 18
Sabemos que x + y + z = 90, daí:
x y
z 90
=
=
=
=3
2 10 18 30
Æ Cálculo de x:
x
= 3 Æ x=6
2
Æ Cálculo de y:
y
= 3 Æ y=30
10
Æ Cálculo de z:
z
= 3 Æ z=54
18
(Resposta: alternativa A)
14. (Analista de Recursos Financeiros SERPRO 2001 ESAF) Um triângulo tem
lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo
triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual
a 12m. A área do segundo triângulo será igual a:
d) 48 m2
a) 6 m2
e) 60 m2
b) 12 m2
2
c) 24 m
Sol.:
Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondes são
proporcionais. Designaremos como a, b e c os lados do segundo triângulo.
a b c
= =
6 8 10
O perímetro do segundo triângulo é 12. Daí: a + b + c = 12.
De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:
a b c
a+b+c
= =
=
6 8 10 6 + 8 + 10
Sabemos que a + b + c = 12, daí:
a b c 12
= =
=
= 0,5
6 8 10 24
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Æ Cálculo de a:
a
= 0,5
6
Æ Cálculo de b:
b
= 0,5
8
Æ Cálculo de c:
c
= 0,5
10
14
Æ a=3
Æ b=4
Æ c=5
Já temos os valores dos lados do triângulo. A área desse triângulo pode ser
encontrada através da seguinte fórmula:
área = p( p − a)( p − b)( p − c) ,
onde p é o semi-perímetro e a, b, e c os lados do triângulo.
O semi-perímetro do triângulo de lados 3, 4, e 5 é igual a 12/2 = 6.
Substituindo os valores, teremos:
área = 6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) Æ
área = 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Æ
área = 6
Já achamos a resposta da questão, porém queremos apresentar outra solução
para o cálculo da área. O triângulo que tem lados iguais a 3, 4 e 5 é um triângulo
retângulo. Veja como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 52 = 32 + 42. Então
fiquem alertas, se aparecer um triângulo com esses lados ou múltiplos desses lados
(6, 8 e 10 ou 9, 12 e 15 ou ...), então trata-se de um triângulo retângulo.
A área de um triângulo retângulo é facilmente obtida, pois um dos catetos é a
altura e o outro cateto é a base.
5
4
3
área = (base x altura)/2 = (3 x 4)/2 = 6 (Resposta: alternativa A)
15. (AFC 2005 ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2
cm e um outro mede 2 cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede
45°, então a área do triângulo é igual a
a) 3−1 3
c) 2 −1 2
e) 1
b) 21 2
Sol.:
d) 3
2
Para o cálculo da área basta a simples aplicação da fórmula:
Onde:
área = (a x b x senα)/2
a e b são lados do triângulo, e α é o ângulo entre esses lados.
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15
Aplicando a fórmula, teremos:
área = ( 2 x 2 x sen45º)/2
O seno de 45º é 2 /2. Temos que memorizar os senos e cossenos dos ângulos
notáveis apresentados na aula de trigonometria.
Daí: área = ( 2 x 2 x
2 /2)/2 = 2/2 = 1 (Resposta: alternativa E)
16. (Oficial de Chancelaria MRE 2002 ESAF) Um trapézio ABCD, com altura
igual a h, possui bases AB = a e CD = b, com a > b. As diagonais deste
trapézio determinam quatro triângulos. A diferença entre as áreas dos
triângulos que têm por bases AB e CD respectivamente e por vértices
opostos a interseção das diagonais do trapézio é igual a:
( a + b)
( a − b) h
(b − a ) h
c)
e)
a)
2
2
2
( a + b) h
( a − b)
b)
d)
2
2
Sol.:
Desenhamos abaixo o trapézio conforme o enunciado.
C
b
D
h2
h
h1
A
a
B
A área do triângulo que tem por base AB é igual a:
área = (base x altura)/2 = (a x h1)/2
A área do triângulo que tem por base CD é igual a:
área = (base x altura)/2 = (b x h2)/2
A relação entre h1 e h2 pode ser obtida pela semelhança entre os dois
triângulos:
h1 h2
h1 a
=
=
ou
h2 b
a
b
De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a igualdade:
h1 h2 h1 + h2
=
=
a
b
a+b
Sabemos que h1 + h2 = h, daí:
h1 h2 h1 + h2
h
=
=
=
a
b
a+b
a+b
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16
Æ h1 em função de h, a e b:
h1
h
ah
=
Æ h1 =
a a+b
a+b
Æ h2 em função de h, a e b:
h2
h
bh
Æ h2 =
=
b a+b
a+b
Substituiremos estes resultados de h1 e h2 nas áreas dos triângulos.
A área do triângulo que tem por base AB é igual a:
 ah 
a×

a × h1
a2h
a+b

=
=
área =
2
2
2( a + b )
A área do triângulo que tem por base CD é igual a:
 bh 
b×

b × h2
b2h
a+b

=
=
área =
2
2
2( a + b)
A diferença entre as áreas dos dois triângulo é igual a:
h(a − b)(a + b)
b2h
a2h
a2h − b2h
h( a 2 − b 2 )
h( a − b)
–
=
=
=
=
2
2( a + b )
2( a + b )
2(a + b)
2( a + b )
2( a + b)
(Resposta: alternativa C)
17. (AFC-SFC 2001 ESAF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu
centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros.
Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a 3 / 2
m, então a área, em metros, do hexágono é igual a:
a) 9 3
d) 3 3
4
b)
7
3
e)
3
3
c) 2 3
Sol:
Desenhamos abaixo o hexágono regular e os seus seis triângulos eqüiláteros.
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A área do triângulo eqüilátero é dada por:
17
a2 3
, onde a é o lado do triângulo.
4
Substituindo o valor de a pelo valor do lado informado no enunciado, teremos
que a área é igual a:
( 3 / 2)2 3
3/ 2 3
3 3
=
=
área do triângulo =
4
4
8
A área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, daí:
área do hexágono = 6×
3 3
9 3
=
(Resposta: alternativa A)
8
4
18. (TCE-RN 2000/ESAF) A reta R1, que possui coeficiente linear igual a 8 e
forma com os eixos
que é perpendicular à reta R2= -1/3 x + 8,
coordenados e com a reta x = 2 uma figura cuja área, em metros
quadrados, é igual a:
a) 16
d) 48
b) 18
e) 50
c) 22
Sol.:
A equação de uma reta é dada por:
y = ax +b ,
onde: a é o coeficiente angular, e b é o coeficiente linear.
x
O produto dos coeficientes angulares de duas retas que são perpendiculares entre
si é igual a -1. Como o coeficiente angular da reta R2 é igual a -1/3, então o
coeficiente angular da reta R1 será igual a:
Æ a1 x a2 = -1
Æ a1 x (-1/3) = -1
Æ a1 = 3
Como já temos o coeficiente angular e também o linear da reta R1, então já
podemos escrever a equação da reta R1.
Æ y = ax +b
Æ y = 3x + 8
y
x=2
R1
14
8
2
x
A reta R1 corta o eixo do y no ponto em que o x=0, daí:
x=0 ⇒ y = 3 x 0 + 8 Æ y = 8
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18
A reta R1 corta a reta x=2 no ponto em que x=2, daí:
x=2 ⇒ y = 3 x 2 + 8 Æ y = 14
A figura compreendida entre a reta R1, os eixos coordenados e a reta x = 2 é a
de um trapézio.
Área do trapézio = (base maior + base menor) x h
2
Substituindo os valores de acordo com o desenho mostrado acima, teremos:
Área do trapézio = (14 + 8) x 2 = 22 (Resposta: alternativa A)
2
19. (TTN 1998 ESAF) A área de um círculo localizado no segundo quadrante e
cuja circunferência tangencia os eixos coordenados nos pontos (0,4) e
(-4,0) é dada por
b) 4 π
c) 8 π
d) 2 π
e) 32 π
a) 16 π
Sol.:
Desenhamos o círculo abaixo conforme os dados fornecidos no enunciado.
y
(0,4)
x
(-4,0)
Repare que o raio do círculo é igual a 4. Portanto, a área do círculo será igual a:
πr2 = π(4)2 = 16π (Resposta: alternativa A)
20. (AFC 2002 ESAF) Um dos lados de um retângulo é 7 cm maior do que o
outro lado. Se a diagonal deste retângulo mede 13 cm, então o volume de
um prisma regular, de 5 cm de altura, e que tem como base este
retângulo, é igual a:
c) 150 cm3
e) 300 cm3
a) 50 cm3
3
3
d) 200 cm
b) 65 cm
Sol.:
Desenho do retângulo:
a+7
a
13
a
a+7
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19
Com base nos valores fornecidos no enunciado temos condições de determinar
os lados do retângulo. Aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
formado pela diagonal e os lados do retângulo:
Æ 132 = a2 + (a+7)2
Æ 169 = a2 + (a2 + 14a + 49)
Æ 169 = 2a2 + 14a + 49
Æ 2a2 + 14a – 120 = 0
Æ a2 + 7a – 60 = 0
As raízes dessa equação do 2º grau são: a’ = -12 e a’’= 5. O valor negativo
deve ser descartado e, portanto, a=5.
Os lados do retângulo serão: 5 e 12.
O volume do prisma é calculado pela seguinte fórmula:
V = área da base do prisma x altura
A área da base do prisma é a área do retângulo de lados 5 e 12. A área desse
retângulo é igual a: 5 x 12 = 60.
Substituindo os valores, teremos:
V = 60 x 5 = 300 (Resposta: alternativa A)
21. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Fernando, João Guilherme e Bruno
encontram-se perdidos, uns dos outros, no meio da floresta. Cada um está
parado em um ponto, gritando o mais alto possível, para que os outros
possam localizá-lo. Há um único ponto em que é possível ouvir
simultaneamente Fernando e Bruno, um outro único ponto (diferente
daquele) em que é possível ouvir simultaneamente Bruno e João
Guilherme, e há ainda um outro único ponto (diferente dos outros dois)
em que é possível ouvir simultaneamente João Guilherme e Fernando.
Bruno encontra-se, em linha reta, a 650 metros do ponto onde se encontra
Fernando. Fernando, por sua vez, está a 350 metros, também em linha
reta, do ponto onde está João Guilherme. Fernando grita o suficiente para
que seja possível ouvi-lo em qualquer ponto até uma distância de 250
metros de onde ele se encontra. Portanto, a distância em linha reta, em
metros, entre os pontos em que se encontram Bruno e João Guilherme é:
a) 650
b) 600
c) 500
d) 700
e) 720
Sol.:
Quando um deles grita é possível ouvir em qualquer ponto até uma certa
distância máxima de onde ele se encontra. A única distância de alcance do grito
informada no enunciado foi a de Fernando que é de 250 metros. Então, a distância
máxima que se consegue ouvir Fernando é uma circunferência de raio igual a 250m.
Fernando
250m
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20
A distância máxima que se consegue ouvir os outros dois também são
circunferências, mas os raios não foram informados no enunciado.
Como só existe um ponto em que se pode ouvir Fernando e João Guilherme,
então as circunferências dos gritos dos dois se tocarão em um único ponto.
Fernando
João Guilherme
250m
Também só existe um ponto em que se pode ouvir Fernando e Bruno, e ainda
um único ponto que se pode ouvir João Guilherme e Bruno. Então, as circunferências
dos gritos dos três ficarão de acordo com o desenho abaixo.
João Guilherme
Fernando
250m
rJG
250m
rB
rJG
rB
Bruno
Chamamos de rB o raio do grito de Bruno, e chamamos de rJG o raio do grito de
João Guilherme.
A distância entre Fernando e João Guilherme foi fornecida na questão e é igual
a 350 metros. Pelo desenho acima a distância entre eles é de (250+rJG). Daí,
podemos obter o valor de rJG.
(250+rJG) = 350 Æ rJG = 350 - 250 Æ rJG = 100
A distância entre Fernando e Bruno foi fornecida na questão e é igual a 650
metros. Pelo desenho acima a distância entre eles é de (250+rB). Daí, podemos obter
o valor de rB.
(250+rB) = 650 Æ rB = 650 - 250 Æ rB = 400
A questão solicita a distância entre Bruno e João Guilherme. Pelo desenho
acima a distância entre eles é de (rJG+rB). Daí, a distância entre eles é de:
(rJG+rB) = (100+400) = 500 (Resposta: alternativa C)
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21
22. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no
mesmo vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três
começam a caminhar na borda do polígono. Todos os três caminham em
velocidades constantes, sendo que a velocidade de Augusto é o dobro da
de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto desloca-se em sentido
oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo, Augusto e
Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir,
exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O
número de arestas do polígono é:
a) 10
b) 15
c) 12
d) 14
e) 11
Atenção:
Esta questão envolve velocidade, e como no nosso planejamento inicial
separamos uma aula só para questões envolvendo movimento, então decidimos fazer
a solução dessa questão dentro dessa aula.
Não fiquem ansiosos, a aula de Movimento já está chegando!
23. (SERPRO 1996 ESAF) O ponto de intersecção das retas 2x + y – 1 = 0 e
x – y + 16 = 0 têm coordenadas iguais a:
a) (-11,-5)
d) (11,5)
b) (-11,3)
e) (-5,11)
c) (-5,-1)
Sol.:
A primeira reta é dada pela equação: 2x + y – 1 = 0
Æ y = -2x + 1
A segunda reta é dada pela equação: x – y + 16 = 0
Æ y = x + 16
A abscissa do ponto de intersecção pode ser encontrado igualando-se o y das
duas equações.
-2x + 1 = x + 16
Æ 3x = -15
Æ x = -5
A ordenada do ponto de intersecção pode ser obtido substituindo-se o valor de
x=-5 em qualquer uma das duas equações de reta.
y = x + 16
Æ y = -5 + 16
Æ y = 11
Portanto, o ponto de intersecção tem coordenadas (-5,11).
(Resposta: alternativa E)
24. (AFC-SFC 2001 ESAF)
r2=-2x+β interceptam-se
a) α > 0 e β > 0
b) α > 0 e β < 0
c) α < 0 e β < 0
Sol.:
Sabe-se que as retas de equações r1=αx e
em um ponto P(x<0; y<0). Logo,
d) α < -1 e β < 0
e) α > -1 e β > 0
A primeira reta é dada pela equação: y=αx
A segunda reta é dada pela equação: y=-2x+β
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22
A abscissa do ponto de intersecção pode ser encontrado igualando-se o y das
duas equações.
αx = -2x+β
Æ αx + 2x = β
Æ x = β/(α + 2)
A ordenada do ponto de intersecção pode ser obtido substituindo-se o valor de
x = β/(α + 2) em qualquer uma das duas equações de reta.
y=αx
Æ y = α( β/(α + 2) ) Æ y = αβ/(α + 2)
O enunciado afirma que a abscissa e ordenada do ponto de intersecção são
menores que zero. Daí:
x = β/(α + 2) < 0
e
y = αβ/(α + 2) < 0
Testaremos as alternativas para descobrir a opção correta.
1º) Teste da alternativa: a) α > 0 e β > 0
Com α > 0 e β > 0 o valor de x será positivo, daí já podemos descartar a
alternativa A.
2º) Teste da alternativa: b) α > 0 e β < 0
Com α > 0 e β < 0 o valor de x será negativo. Está de acordo!
Com α > 0 e β < 0 o valor de y também será negativo. Também está de
acordo!
(Resposta: alternativa B)
Falaremos, agora, sobre o assunto de Porcentagem!
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23
PORCENTAGEM
# RAZÃO CENTESIMAL – é a razão cujo denominador é igual a 100.
Exemplos:
5
,
100
50
100
,
135
,
100
33,5
.
100
Æ Existe ainda outra forma de representar essas razões centesimais:
5
= 5% (cinco por cento)
100
50
= 50% (cinquenta por cento)
100
170
= 170% (cento e setenta por cento)
100
33,5
= 33,5% (trinta e três e meio por cento)
100
Tais razões estão expressas em taxas percentuais.
Æ Toda percentagem está associada a um número decimal.
Exemplos: 48% = 0,48 ; 0,7% = 0,007
; 7% = 0,07 ; 70% = 0,7 ;
700% = 7
Observação: A porcentagem, quando escrita na forma de 15% , por exemplo, é
chamada de forma percentual, enquanto que seu equivalente 0,15 é dito forma
unitária ou decimal.
# Transformar razões comuns em taxas percentuais.
Multiplicando-se a razão por 100%, obtém-se a taxa percentual.
Exemplos:
3
3
× 100 % = 3 × 25 % = 75%
=
a)
4
4
b)
7
7
= × 100 % = 7 × 20 % = 140%
5
5
c)
2
200
2
= × 100 % =
% = 66,67%
3
3
3
# Porcentagem sobre Valores
Calcular uma percentagem de uma quantidade qualquer, significa multiplicá-la,
pelo número decimal associado àquela percentagem.
15
× 200 = 15 × 2 = 30
15% de 200 = 0,15 x 200 = 30 ou
100
74% de 3.000 = 0,74 x 3.000 = 2220
ou
74
× 3000 = 74 × 30 = 2220
100
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24
Exemplo: Numa escola de 1200 alunos, 60% são meninos. Quantas são as meninas?
Temos que 40% do total de alunos são meninas.
Daí, o número de meninas é 40% de 1200 = 0,4 x 1200 = 4 x 120 = 480
# Acréscimos e decréscimos percentuais
Se um número N sofre aumento percentual i, seu novo valor passa a ser:
(1 + i ) ⋅ N . Da mesma forma, se o número N sofre um decréscimo percentual i, passa a
valer (1 − i ) ⋅ N .
Exemplo: Um produto que custava R$ 40,00 e sofreu um aumento de 15%, passou a
custar:
(1 + 0,15) x 40,00 = 1,15 x 40,00 = 46,00.
Exemplo: Se você reduzir o número 120 em 30%, ele passará a valer:
(1 - 0,30) x 120,00 = 0,70 x 120 = 84.
Exemplos: Se queremos aumentar o preço de um objeto de:
a) 35% - Basta multiplicar por (1 + 0,35) = 1,35.
b) 81% - Multiplicamos por 1,81.
c) 5% - Multiplicamos por 1,05.
d) 300% - Multiplicamos por (1 + 3) = 4.
Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após um
aumento de 30%?
Basta multiplicar 1,30 x 400 = 520.
O novo preço é R$ 520,00.
Exemplo: O preço de uma bicicleta é de R$ 400,00. Qual o novo preço após
aumentos sucessivos de 30%, 10% e 20%?
O novo preço da mercadoria será dado por:
400 x (1+0,30) x (1+0,10) x (1+0,20) =
400 x (1,3) x (1,1) x (1,20) =
400 x 1,716 =
686,40
O novo preço é R$ 686,40.
Exemplo: Certa mercadoria, que custava R$ 24,00, passou a custar R$ 30,00.
Calcule a taxa percentual de aumento.
Devemos inicialmente fazer: 30 – 24 = 6 (valor do aumento)
A seguir, basta dividirmos 6 por 24, obtendo:
6
= 0,25 = 25% (taxa percentual do aumento)
24
Exemplo: Um certo produto foi vendido por R$ 230,00 com um lucro de 15% sobre o
preço de compra. Pede-se:
1) Preço de compra
2) O lucro obtido
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25
Sol.:
O lucro, em dinheiro, é a diferença entre o preço de venda (PV) e o preço de
compra (PC), ou seja:
lucro = PV – PC
O lucro sobre o preço de compra é a razão entre o lucro e o preço de compra,
ou seja:
lucro sobre o preço de compra = lucro = PV – PC
PC
PC
O enunciado diz que o preço de venda é de R$ 230,00 e o lucro sobre o preço
de compra é de 15%. Substituiremos esses dados na fórmula acima.
15% = 230 – PC
PC
Daí: 0,15PC = 230 - PC
Æ 1,15PC = 230
Æ PC = 200
E o lucro é de: 230 – 200 = 30,00 reais.
Resposta: Preço de compra R$ 200,00 e Lucro R$ 30,00
DEVER DE CASA
01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 ,
então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a
a) 75%.
d) 175%.
b) 25%.
e) 200%.
c) 57%.
02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma campanha,
entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na
sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido
75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média
correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar
exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por
associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a
a) R$ 25,00.
d) R$ 50,00.
b) R$ 30,00.
e) R$ 60,00.
c) R$ 40,00.
03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas
cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10% agem como
gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem como gatos e 10%
agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais hospedados nessa
estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães.
Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de
cães hospedados nessa estranha clínica é:
a) 50
d) 40
b) 10
e) 70
c) 20
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26
04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso diurno de
Português e um curso noturno de Matemática, possui quatrocentos alunos. Dos
quatrocentos alunos, 60% estão matriculados no curso de Português. Dos que
estão matriculados no curso de Português, 50% estão matriculados também no
curso de Matemática. Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são
paulistas. Portanto, o número de estudantes matriculados no curso de Matemática
e que são paulistas é:
a) 42
b) 24
c) 18
d) 84
e) 36
05. (AFC 2002 ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80% são
amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes
amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada, verificouse que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma
outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que
morreram foi:
a) 20 %
b) 25 %
c) 37,5 %
d) 62,5 %
e) 75 %
06. (AFC 2002 ESAF) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é
constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3%
sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o
percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é,
sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos, um dos
funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$
1.782,00. Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse
funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:
a) 8%
d) 15%
b) 10%
e) 20%
c) 14%
07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares com
diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu
peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A
seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez
Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um
rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice
também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho,
dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de
peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares,
com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas,
ficou:
a) exatamente igual
b) 5% maior
c) 5% menor
d) 10% menor
e) 10% maior
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27
08. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Numa loja de roupas, um terno tinha um preço
tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente da loja anunciou
um desconto de 10% no preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novo
desconto de 10%, o que baixou o preço para R$ 648,00. O preço inicial desse
terno era superior ao preço final em
(A) R$ 162,00
(B) R$ 152,00
(C) R$ 132,45
(D) R$ 71,28
(E) R$ 64,00
09. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse
dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber 50% do
que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve receber 20% do que
restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos
devem receber, respectivamente,
(A) 1 800 e 720 reais.
(B) 1 800 e 360 reais.
(C) 1 600 e 400 reais.
(D) 1 440 e 720 reais.
(E) 1 440 e 288 reais.
10. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Um aluno de química, ao
realizar uma experiência, formou uma massa de 10kg composta somente por
água e por um produto X. 90% dessa massa era constituída de água. Após um
processo de aquecimento da massa, o aluno verificou que apenas a água foi
eliminada e que a participação desta na massa foi reduzida a 80%. O peso final
total da massa, após o processo de aquecimento foi igual a:
a) 5kg
d) 4kg
b) 2kg
e) 8kg
c) 3kg
GABARITO: 01.D
02.B
03.E
04.A
05.D
06.E
07.D 08.B 09.C 10.A
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1
AULA DEZENOVE: QUESTÕES ENVOLVENDO MOVIMENTO
Olá, amigos!
As questões que serão apresentadas nesta aula trarão assuntos que estão
relacionados a uma parte da Física. São questões que envolvem velocidade, tempo e
espaço. Os que não gostam de Física fiquem tranqüilos, porque não é necessário se
aprofundar neste tema.
Resolveremos alguns exercícios de maneira detalhada para que não haja
dúvidas. Antes de mais nada, porém, passemos à correção do dever de casa da aula
passada.
DEVER DE CASA DE PORCENTAGEM
01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se
X/Y = 4 , então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a
a) 75%.
d) 175%.
b) 25%.
e) 200%.
c) 57%.
Sol.:
A questão quer que calculemos a razão (2X–Y)/X , utilizando a seguinte
informação: X/Y=4.
Isolando o valor de Y, teremos: Y=X/4. Substituindo o valor de Y na razão
solicitada pelo enunciado, teremos:
2X – Y = 2X – X/4 = (8X–X)/4 = 7X/4 = 7/4
X
X
X
X
Passaremos para percentagem multiplicando por 100:
7/4 . 100% = 175%
(Resposta: Alternativa D)
02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um clube está fazendo uma
campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a
uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados,
verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a
pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por
associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia
necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os
restantes associados ainda não contatados, deve ser igual a
a) R$ 25,00.
d) R$ 50,00.
b) R$ 30,00.
e) R$ 60,00.
c) R$ 40,00.
Sol.:
Para a solução da questão, consideraremos que o clube tenha 100 sócios.
Æ Cálculo da quantia que se conseguiu apurar com os sócios contatados:
O número de sócios contatados é de 60 (=60%x100), e a contribuição média
de cada um é de R$ 60,00.
A quantia apurada entre os sócios contatados é igual ao produto do número de
sócios contatados pela contribuição média de cada um. Daí:
quantia apurada = 60 x 60,00 = 3600,00
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2
Æ Cálculo da quantia total necessária para a pintura:
A questão informa que o valor apurado corresponde a 75% da quantia total.
Daí: 75% x quantia total = 3600,00
Resolvendo:
Æ 3/4 x quantia total = 3600,00
Æ quantia total = 3600 x 4/3
Æ quantia total = 4800,00
Æ Cálculo da contribuição média por associado, entre os restantes associados ainda
não contatados.
O número de sócios que não foram contatados é de 40 (=100-60).
Se já foi apurado 75% da quantia total, então falta 25%. Esses 25% serão
pagos pelos sócios ainda não contatados, que, portanto, terão que arcar com a
quantia de 1.200,00 (= 25%x4.800,00)
Dividindo esse valor pelo número de sócios não contatados, teremos a
contribuição média que cada um. Daí:
contribuição média = 1200 / 40 = 30,00 (Resposta!)
03. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende
apenas cães e gatos. Dos cães hospedados, 90% agem como cães e 10%
agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90% agem
como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os
animais hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os
80% restantes agem como cães. Sabendo-se que na clínica veterinária
estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados nessa
estranha clínica é:
a) 50
d) 40
b) 10
e) 70
c) 20
Sol.:
Usaremos a informação trazida no final do enunciado de que na clínica estão
hospedados 10 gatos, e consideraremos que o total de cães é N.
O total de animais hospedados na clínica é igual à soma de cães e gatos, ou
seja, é igual a (10+N).
Vamos utilizar esses valores nos restantes dos dados trazidos no enunciado:
i) Dos N cães hospedados:
- 0,9N agem como cães
- 0,1N agem como gatos
ii) Dos 10 gatos hospedados:
- 9 (=90%x10) agem como gatos
- 1 (=10%x10) age como cão
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3
iii) 20% de todos os animais hospedados agem como gatos e os 80% restantes
agem como cães.
Daí:
agem como gatos = 20%xtotal = 20%x(10+N)
agem como cães = 80%xtotal = 80%x(10+N)
Havíamos escrito que o número de cães que agem como gatos é de 0,1N, e que
o número de gatos que agem como gatos são 9. Portanto, o total de animais que
agem como gatos é de (0,1N+9). Daí, podemos fazer a seguinte igualdade:
20%x(10+N) = (0,1N+9)
Resolvendo:
Æ 0,2x(10+N) = (0,1N+9)
Æ N = 7 / 0,1
Æ 2+0,2N = 0,1N+9
Æ N = 70 (Resposta!)
04. (Fiscal Recife 2003 ESAF) Uma escola, que oferece apenas um curso
diurno de Português e um curso noturno de Matemática, possui
quatrocentos alunos. Dos quatrocentos alunos, 60% estão matriculados
no curso de Português. Dos que estão matriculados no curso de
Português, 50% estão matriculados também no curso de Matemática.
Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas. Portanto, o
número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são
paulistas é:
a) 42
b) 24
c) 18
d) 84
e) 36
Sol.:
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Dados fornecidos no enunciado:
A escola possui quatrocentos alunos.
A escola só oferece um curso diurno de Português e um noturno de Matemática.
60% estão matriculados no curso de Português
Dos matriculados em Português, 50% também fazem Matemática.
Dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas.
O número de alunos matriculados em Português é igual a 240 (=60%x400).
Desses 240, a metade (120) também faz Matemática, e é claro, a outra metade
(120) só faz Português.
A soma das quantidades de pessoas que só fazem Matemática, que só fazem
Português e que fazem os dois cursos, deve ser igual ao total de alunos da escola
(400 alunos).
Daí: (só fazem Matemática) + 120 + 120 = 400
Æ (só fazem Matemática) = 400 – 240 = 160 alunos
Com este resultado podemos obter o total de alunos matriculados em
Matemática, basta fazer a soma entre os que só fazem Matemática e os que fazem
Matemática e Português. Daí:
160 + 120 = 280 alunos
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4
Como dos matriculados no curso de Matemática, 15% são paulistas, então o
número de estudantes matriculados no curso de Matemática e que são paulistas é
igual a:
15%x280 = 0,15x280 = 42 alunos (Resposta!)
05. (AFC 2002 ESAF) Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 80%
são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou
muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi
controlada, verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram
amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o
percentual de peixes amarelos que morreram foi:
a) 20 %
b) 25 %
c) 37,5 %
d) 62,5 %
e) 75 %
Sol.:
Æ
Æ
Æ
Æ
Reproduziremos abaixo os dados trazidos no enunciado:
Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos.
80% são amarelos e 20% são vermelhos
Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho.
Após o controle da doença, 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos.
Considerando que havia inicialmente 100 peixes no aquário, então o desenho
do aquário é esse:
80 amarelos
20 vermelhos
Vamos designar por X o número de peixes amarelos vivos no aquário após a
doença, assim teremos:
X amarelos
20 vermelhos
Nessa última situação, é dito que 60% dos peixes vivos são amarelos, fazendo
as contas temos:
60%(X+20) = X
Æ 0,6X + 12 = X
Æ 0,4X = 12
Æ X = 30 peixes amarelos vivos
Portanto, o número de peixes amarelos que morreram foi igual a 50 (=80-30).
O percentual de peixes amarelos que morreram é igual a razão entre o número
de peixes amarelos mortos e o total inicial de peixes amarelos, teremos:
30/80 = 62,5% (Resposta!)
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5
06. (AFC 2002 ESAF) A remuneração mensal dos funcionários de uma
empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma
comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00.
Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem
sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a
comissão). Em dois meses consecutivos, um dos funcionários dessa
empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00.
Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse
funcionário no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em:
a) 8%
d) 15%
b) 10%
e) 20%
c) 14%
Sol.:
O salário bruto do funcionário é formado por duas partes:
1) parte fixa igual a R$ 1.500,00.
2) comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00.
Chamando de V o total de vendas no mês, e considerando que seja superior a
R$ 8000,00, a equação do salário bruto mensal é:
salário bruto mensal = 1500 + 3%x(V-8000)
O percentual de desconto é de 10% em cima do salário bruto, daí o salário
líquido mensal corresponde a 90% do salário bruto. Portanto, teremos:
salário líquido mensal = 90% x (1500 + 3%x(V-8000))
Simplificando:
Æ salário líquido mensal = 0,9x1500 + 0,9x0,03x(V-8000)
Æ salário líquido mensal = 1350 + 0,027V – 0,027x8000
Æ salário líquido mensal = 1134 + 0,027V
Foi informado no enunciado que em dois meses consecutivos, um dos
funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e
R$ 1.782,00. Vamos utilizar estes dados para encontrar as vendas nos dois meses.
Vendas no 1º mês:
1.674,00 = 1134 + 0,027V1
Æ V1 = 540/0,027 = 20.000,00
Vendas no 2º mês:
1.782,00 = 1134 + 0,027V2
Æ V2 = 648/0,027 = 24.000,00
Daí, as vendas no 2º mês foram superiores às do 1º mês em 4.000,00 reais.
Para obter o valor percentual, basta dividir os 4.000,00 reais pelas vendas do 1º mês:
4000/20000 = 20% (Resposta: Alternativa E)
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6
07. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Durante uma viagem para visitar familiares
com diferentes hábitos alimentares, Alice apresentou sucessivas
mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice
perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio,
dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela
visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de
emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também
emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho,
dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um
ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses
quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início
dessa seqüência de visitas, ficou:
a) exatamente igual
b) 5% maior
c) 5% menor
d) 10% menor
e) 10% maior
Sol.:
A seqüência de variações no peso de Alice é a seguinte:
1) perde 20% ⇒ multiplicar por 0,80
2) ganha 20% ⇒ multiplicar por 1,20
3) perde 25% ⇒ multiplicar por 0,75
4) ganha 25% ⇒ multiplicar por 1,25
Considerando o peso inicial de Alice em 100kg, bem distribuídos, o peso
final de Alice será igual a:
Peso final de Alice = 100kg x 0,80 x 1,20 x 0,75 x 1,25 Æ
Æ Peso final de Alice = 90kg
Conclui-se que, devido às visitas, Alice perdeu 10kg. A perda percentual é
obtida dividindo-se a perda de 10 kg pelo peso inicial de Alice, teremos:
perda percentual = 10/100 = 10% (Resposta: alternativa D)
08. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Numa loja de roupas, um terno tinha
um preço tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo. O gerente
da loja anunciou um desconto de 10% no preço, mas sem resultado. Por
isso, ofereceu novo desconto de 10%, o que baixou o preço para
R$ 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em
(A) R$ 162,00
(B) R$ 152,00
(C) R$ 132,45
(D) R$ 71,28
(E) R$ 64,00
Sol.:
Designaremos por P o preço inicial do terno. O valor do terno após os dois
descontos sucessivos de 10% é de 648,00. Sabemos que dar um desconto de 10% é
o mesmo que multiplicar por 0,90, então a relação entre o preço final do terno e o
preço inicial é dado por:
648,00 = P x 0,90 x 0,90
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Resolvendo:
Æ P = 648/0,81
7
Æ P = 800
O preço inicial desse terno é superior ao preço final em:
800 – 648 = 152,00 reais
09. (Anal. Orçamento MARE 99 FCC) Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas desse
dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. Bruno deve receber
50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos e este deve
receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno. Nessas
condições, Bruno e Carlos devem receber, respectivamente,
(A) 1 800 e 720 reais.
(B) 1 800 e 360 reais.
(C) 1 600 e 400 reais.
(D) 1 440 e 720 reais.
(E) 1 440 e 288 reais.
Sol.:
Reproduzimos abaixo os dados fornecidos pelo enunciado:
Æ Alberto recebeu R$ 3600,00, mas deve pagar comissões a Bruno e a Carlos.
Æ Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos
Æ Carlos deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno.
Designaremos por C o valor da comissão de Carlos, e por B o valor da comissão
de Bruno.
Vamos montar uma equação a partir da seguinte informação dada no
enunciado:
Æ Bruno deve receber 50% do que restar após ser descontada a parte de Carlos
B = 50%(3600 – C)
(1ª equação)
Vamos montar outra equação a partir da seguinte informação dada no
enunciado:
Æ Carlos deve receber 20% do que restar após ser descontada a parte de Bruno.
C = 20%(3600 – B)
(2ª equação)
De posse dessas duas equações, podemos descobrir as comissões de Bruno e
Carlos. Substituiremos o valor de B, dado na 1ª equação, dentro da 2ª equação:
Æ C = 20%(3600 – B)
Æ C = 20%(3600 – 50%(3600 – C))
Æ C = 0,2(3600 – 0,5(3600 – C))
Æ C = 0,2(3600 – 1800 + 0,5C)
Æ C = 720 – 360 + 0,1C
Æ 0,9C = 360
Æ C = 400
Substituindo o valor de C na 1ª equação, encontraremos o valor de B:
Æ B = 50%(3600 – 400) Æ B = 0,5(3200)
(Resposta: Alternativa C)
Æ B = 1600
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10. (Ministério Público de Santa Catarina 2004 ACAFE) Um aluno de química,
ao realizar uma experiência, formou uma massa de 10kg composta
somente por água e por um produto X. 90% dessa massa era constituída
de água. Após um processo de aquecimento da massa, o aluno verificou
que apenas a água foi eliminada e que a participação desta na massa foi
reduzida a 80%. O peso final total da massa, após o processo de
aquecimento foi igual a:
a) 5kg
d) 4kg
b) 2kg
e) 8kg
c) 3kg
Sol.:
Temos inicialmente uma massa de 10kg, composta de água e de um produto X.
A quantidade de água presente nesta massa é igual a 9kg (=90%x10kg). Portanto, a
quantidade do produto X presente na massa é igual a 1kg (=10kg-9kg). Faremos o
seguinte desenho:
Massa de 10 kg
Água
Prod. X
9 kg
(90%)
1 kg
(10%)
Após o processo de aquecimento da massa, somente uma parte da água foi
eliminada, e a quantidade de água representa agora 80% da massa.
Chamando de Q a quantidade em kg de água que restou, a massa que temos
após o aquecimento é igual a 1kg do produto X mais a quantidade Q de água, ou seja,
a massa após o aquecimento é igual a (1+Q) kg. Teremos o seguinte desenho:
Massa de (1+Q) kg
Água
Prod. X
Q kg
(80%)
1 kg
(20%)
Com os dados acima, podemos montar a seguinte equação:
Æ Q = 80% da massa
Resolvendo:
Q = 0,8+0,8Q
Æ Q = 80%x(1+Q)
Æ 0,2Q = 0,8
Æ Q = 4 kg de água
O peso final da massa é igual a: 1kg de X + 4kg de água = 5kg (Resposta!)
Falaremos, agora, sobre as questões que envolvem Movimento!
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9
Questões envolvendo Movimento
Ao contrário das aulas passadas, em que sempre apresentávamos uma teoria
inicial que ajudava nas soluções das questões, nesta aula apresentaremos dentro das
questões resolvidas o conteúdo necessário para as soluções das questões de
Raciocínio Lógico que envolvem movimento.
Seguem cinco exercícios resolvidos, e em seguida oito exercícios propostos.
01. (Técnico MPU administrativa 2004 ESAF) Um avião XIS decola às 13:00
horas e voa a uma velocidade constante de x quilômetros por hora. Um
avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a uma
velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y>x, o tempo,
em horas, que o avião YPS, após sua decolagem, levará para alcançar o
avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas.
b) x / (y-x) horas.
c) 1 / 2x horas.
d) 1/ 2y horas.
e) x / 2 (y-x) horas.
Sol.:
Temos os seguintes dados sobre o avião XIS:
Æ Decola às 13:00 horas.
Æ Voa a uma velocidade constante de x km/h.
E temos os seguintes dados sobre o avião YPS:
Æ Decola às 13:30 horas.
Æ Voa a uma velocidade constante de y km/h.
Æ A velocidade do avião YPS é maior que a do avião XPS.
De acordo com os dados acima, faremos o seguinte desenho:
Ponto de partida
P
Ponto de encontro
d
E
avião XIS
avião XIS
avião YPS
avião YPS
(YPS decola 30 min depois)
Designamos por P o ponto de partida dos dois aviões, e por E o ponto de
encontro dos dois aviões, isto é, o ponto em que o avião YPS alcança o avião XIS.
Indicamos por d a distância, em quilômetros, da rota de vôo do ponto P para o
ponto E, que será o caminho percorrido pelos aviões XIS e YPS.
Chamaremos de t o tempo de vôo, em horas, que o avião YPS leva do ponto de
partida P até chegar ao ponto de encontro E. Observe no enunciado, que este tempo t
será exatamente a resposta pedida na questão.
O avião XIS decola 30 minutos (1/2 hora) antes do avião YPS, e chega no
ponto E no mesmo instante que este, portanto o tempo de vôo do avião XIS, do
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10
ponto P ao ponto E, é igual a (t+1/2) horas, ou seja, o avião XIS leva um tempo
maior (meia-hora a mais) para chegar ao ponto E do que o avião YPS.
Quando a velocidade de um móvel é constante, podemos estabelecer uma
relação entre a sua velocidade (v), a distância percorrida (d) e o tempo gasto no
percurso (t), através da seguinte fórmula:
v=d/t
Qual destes elementos da fórmula será o mesmo para os dois aviões? A
velocidade não é, porque o enunciado informa que o avião YPS é mais rápido do que o
avião XIS. O tempo não é, porque o avião YPS leva menos tempo para percorrer a
distância de P a E. É a distância percorrida d que é a mesma para os dois aviões.
Então, para solucionar a questão, igualaremos as distâncias percorridas pelos dois
aviões.
Isolando o valor de d na fórmula, obteremos: d = v.t . Ou seja, a distância
percorrida é igual ao produto da velocidade do móvel pelo tempo gasto no percurso.
A velocidade do avião YPS é y km/h e o tempo gasto é de t horas, daí a
distância percorrida pelo avião YPS é igual a:
d=y.t
A velocidade do avião XIS é x km/h e o tempo gasto é de (t+1/2) horas, daí a
distância percorrida pelo avião XIS é igual a:
d = x . (t+1/2)
Como as distâncias d são as mesmas, igualaremos as duas equações acima.
Teremos:
y . t = x . (t+1/2)
Vamos desenvolver a equação acima e isolar o tempo t:
Æ yt = xt + x/2
Æ yt - xt = x/2
Æ (y-x)t = x/2
t=
Æt=
x/2_
(y-x)
x _
2(y-x)
(Resposta: Alternativa E)
02. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Em um certo aeroporto, Ana
caminhava à razão de um metro por segundo. Ao utilizar uma esteira rolante
de 210 metros, que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava,
continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana
verificou ter levado exatamente 1 minuto para percorrer toda a extensão da
esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a
esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira
seria igual a
a) 1minuto e 20 segundos.
b) 1minuto e 24 segundos.
c) 1minuto e 30 segundos.
d) 1 minuto e 40 segundos.
e) 2 minutos.
Sol.:
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11
De acordo com os dados fornecidos na questão, teremos o seguinte desenho.
210 m
Ana
v= 1 m/s
esteira
ve= ? m/s
Como a esteira se movimenta no mesmo sentido que Ana, então a velocidade
de Ana, em relação a uma pessoa que está parada e fora da esteira, é igual a
velocidade de 1m/s mais a velocidade da esteira, ou seja, (1+ve). Com esta
velocidade, Ana leva 1 minuto (60 segundos) para atravessar a esteira de 210 m.
Substituiremos estes valores na fórmula: v = d / t.
(1+ve) = 210 / 60
Daí: Æ ve = 21/6 – 1
Æ ve = 15/6
Æ ve = 5/2
Æ ve = 2,5 m/s
Acabamos de encontrar a velocidade da esteira!
Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, a sua
velocidade, em relação a uma pessoa que estivesse parada e fora da esteira, seria
igual a velocidade da esteira, que é de 2,5 m/s. Nessa situação, o tempo que levaria
para ela ser transportada do início ao fim da esteira pode ser obtido pela aplicação da
fórmula: t = d / v .
Aplicando a fórmula, obteremos:
Æt=d/v
Æ t = 210 / 2,5
Æ t = 210 / 2,5
Æ t = 84 segundos
Que é o mesmo que: 1min e 24 seg (Resposta: Alternativa B)
03. Um percurso a ser feito por um ciclista foi dividido em três partes de
comprimentos iguais. Na primeira parte fez 10 km por hora, na segunda
parte fez 5 km por hora e na terceira parte fez 4 km por hora. Qual foi a
velocidade média do ciclista no percurso?
Sol.:
De acordo com os dados fornecidos no enunciado, faremos o seguinte desenho:
10 km/h
X km
20 km/h
30 km/h
X km
X km
Chamamos de X o comprimento, em km, de cada uma das partes.
A velocidade média é igual a distância total percorrida dividida pelo tempo total
gasto no percurso.
A distância total percorrida é igual a 3X km.
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Para encontrarmos o tempo total gasto no percurso, devemos primeiramente
encontrar o tempo gasto em cada uma das três partes do percurso. Para isso,
utilizaremos a fórmula: t = d/v.
Æ Tempo gasto na 1ª parte: t1 = X/10 horas
Æ Tempo gasto na 2ª parte: t2 = X/20 horas
Æ Tempo gasto na 3ª parte: t3 = X/30 horas
Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:
X/10 + X/20 + X/30 = (6X + 3X + 2X)/60 = 11X/60 horas
Æ Cálculo da velocidade média:
Vel. Média = distância percorrida =
3X____ = 180/11 = 16,36 km/h
tempo gasto
(11X/60)
04. Um carro desenvolvendo a velocidade média de 72 km/h sai de Fortaleza
com destino a São Luís; ao mesmo tempo, parte de São Luís com destino a
Fortaleza, outro carro desenvolvendo a velocidade média de 80 km/h. A que
distância de Fortaleza os dois veículos se cruzarão, se a distância entre as
duas cidades é de 1000 km.
Sol.: De acordo com os dados fornecidos no enunciado, faremos o seguinte desenho:
1000 km
Fortaleza
v= 72 km/h
E
X
1000-X
Ponto de
cruzamento
São Luís
v= 80 km/h
Seja X a distância, em km, que percorrerá o carro que parte de Fortaleza até o
ponto de cruzamento. A distância ao mesmo ponto, que percorrerá o carro que sai de
São Luís é 1000-X.
Convém lembrar que o tempo gasto pelo carro que parte de Fortaleza até o
ponto de cruzamento é igual ao gasto pelo carro que parte de São Luís. O cruzamento
dar-se-á a uma distância menor de Fortaleza do que de São Luís porque o que parte
de Fortaleza tem uma velocidade menor.
O tempo gasto para percorrer uma certa distância é igual a distância percorrida
dividida pela velocidade média desenvolvida.
Æ Tempo gasto pelo carro que parte de Fortaleza: t1 = X/72 horas
Æ Tempo gasto pelo carro que parte de São Luís: t2 = (1000-X)/80 horas
Como t1 = t2, então teremos a seguinte equação a ser resolvida:
X/72 = (1000-X)/80
Resolvendo, vem:
Æ X/9 = (1000-X)/10
Æ 19X = 9000
Æ 10X = 9(1000-X)
Æ 10X = 9000 - 9X
Æ X = 473,68 km
Resposta: Os carros se cruzarão a 473,68 km de Fortaleza.
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05. (AFC/SFC 2001 ESAF) Uma pessoa foi da localidade A para B a uma
velocidade média de 75 Km por hora (Km/h); após, retorna de B para A a
uma velocidade média de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e
volta, a velocidade média, em Km/h foi de:
a) 50
b) 60
c) 62,5
d) 70
e) 72,5
Sol.:
Desenho da questão:
X km
v= 75 km/h
A
B
v= 50 km/h
Como já sabemos, a velocidade média é igual a distância total percorrida
dividida pelo tempo total gasto no percurso.
A distância total percorrida, trecho de ida mais trecho de volta, é igual a
2X km.
O tempo total gasto no percurso é igual ao tempo de ida mais o tempo de volta.
Vamos calcular cada um destes tempos:
Æ Tempo gasto no trecho de ida: t1 = X/75 horas
Æ Tempo gasto no trecho de volta: t2 = X/50 horas
Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:
t1 + t2 = X/75 + X/50 = (2X + 3X)/150 = 5X/150 = X/30 horas
Æ Cálculo da velocidade média:
Vel. Média = distância percorrida = 2X_ = 60 km/h (Resposta!)
tempo gasto
X/30
DEVER DE CASA
01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um carro percorre 75% da distância
entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O carro
percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto até B.
Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora.
Logo, a velocidade V é igual a
a) 20 km por hora.
b) 10 km por hora.
c) 25 km por hora.
d) 30 km por hora.
e) 37,5 km por hora.
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02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas
no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam
pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam
quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa de
Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora após
Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a uma
velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa
de Pedro, foi de
a) 60 minutos
b) 50 minutos
c) 80 minutos
d) 90 minutos
e) 120 minutos
03. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de
trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso,
ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma
reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho 8
minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deu-se
conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente
reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria
atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine
Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de
trabalho é igual a:
a) 1.200m
b) 1.500m
c) 1.080m
d) 760m
e) 1.128m
04. (AFC/CGU - 2003/2004 ESAF) Marco e Mauro costumam treinar natação na
mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a
partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de
um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao
outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem
perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem
encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão
nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão
fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de vezes
que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:
a) 10
d) 18
b) 12
e) 20
c) 15
05. (Fiscal MS 2000 FGV) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as
cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada
cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de
Corumbá e percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175
sai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois
realizou nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:
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I – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito
do que o 165.
II – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo do
que o 175.
A) Somente a hipótese (I) está errada.
B) Somente a hipótese (II) está errada.
C) Ambas as hipóteses estão erradas.
D) Nenhuma das hipóteses está errada.
06. (TFC 1995 ESAF) Um ônibus viajando com uma determinada velocidade media
completou um percurso de de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse
aumentada em 20 km/h , a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos
minutos durou a viagem
a) 360
b) 390
c) 420
d) 480
e)510
07. (Analista Orçamento MARE 99 FCC) Um atleta faz um treinamento cuja primeira
parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de
12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto
nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o
tempo em que caminhou em
(A) 36 minutos.
(B) 30 minutos.
(C) 25 minutos.
(D) 22 minutos.
(E) 15 minutos.
08. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo
vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na
borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a
velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto
desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo,
Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir, exatamente
dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de arestas do
polígono é:
a) 10
b) 15
c) 12
d) 14
e) 11
Gabarito: 01.C
02.A
03.A
04.E
05.C
06.D
07.
08.B
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AULA VINTE:
1
QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO
DA FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (1ª PARTE)
Olá, amigos!
Na nossa programação inicial havíamos estabelecido duas aulas para “Questões de
Associação” e duas aulas para “Questões de Movimento”, porém só fizemos uma aula para
cada um desses assuntos, porque entendemos que era o bastante. Para que o curso não fique
com duas aulas a menos, inserimos mais duas aulas que tratarão de resoluções de questões
da Fundação Carlos Chagas (FCC).
Vocês perceberão que as questões da FCC são em geral mais fáceis que as da ESAF e
possuem um estilo diferente que complementará os conhecimentos que vocês já têm da
matéria de Raciocínio Lógico. Há vários concursos elaborados pela FCC que inclui Raciocínio
Lógico, como é o caso do concurso para o Banco Central que ocorrerá no início do próximo
mês.
O cronograma das aulas para este fim de curso, já feitas as adaptações, será o
seguinte:
Æ Aula 20: Questões de Raciocínio Lógico da Fundação Carlos Chagas (1ª parte);
Æ Aula 21: Questões de Raciocínio Lógico da Fundação Carlos Chagas (2ª parte);
Æ Aula 22: Questões Variadas (1ª parte);
Æ Aula 23: Questões Variadas (2ª parte);
Æ Aula 24: 1º Simulado;
Æ Aula 25: 2º Simulado.
Agora, passemos à correção do dever de casa da aula passada.
SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA DAS QUESTÕES DE MOVIMENTO
01. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Um carro percorre 75% da distância
entre as cidades A e B a uma velocidade média constante de 50 km por hora. O
carro percorre, também a uma velocidade média constante, V, o restante do trajeto
até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por
hora. Logo, a velocidade V é igual a
a) 20 km por hora.
b) 10 km por hora.
c) 25 km por hora.
d) 30 km por hora.
e) 37,5 km por hora.
Sol.:
Desenho da questão:
A
50 km/h
V km/h
0,75X
k
0,25X
k
X km
B
Chamamos de X a distância, em km, entre as cidades A e B.
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2
A primeira parte do percurso, na qual o carro percorre a uma velocidade média de
50 km/h, tem 75% da distância entre as cidades A e B, portanto é igual a 0,75X.
A segunda parte do percurso, na qual o carro percorre a uma velocidade média de
V km/h, tem 25% da distância entre as cidades A e B, portanto será igual a 0,25X.
Foi informado no enunciado da questão que a velocidade média para todo o percurso de
A até B foi de 40 km/h. E já sabemos que a velocidade média é igual a distância total
percorrida dividida pelo tempo total gasto no percurso. A distância total percorrida é igual a
X km, falta encontrarmos o tempo total gasto no percurso para que possamos montar uma
equação que nos dará o valor V pedido na questão.
Æ Cálculo do tempo total gasto no percurso
Para encontrarmos o tempo total gasto no percurso, devemos primeiramente encontrar
o tempo gasto em cada uma das duas partes do percurso.
O tempo gasto em cada parte do percurso é igual ao comprimento dessa parte dividido
pela velocidade desenvolvida pelo carro, ou seja, tempo = distância/velocidade.
Æ Tempo gasto na 1ª parte:
A distância da primeira parte é igual a 0,75X km, e a velocidade desenvolvida
pelo carro é de 50 km/h. Assim, teremos:
t1 =
0,75 X
horas
50
Æ Tempo gasto na 2ª parte:
A distância da segunda parte é igual a 0,25X km, e a velocidade desenvolvida
pelo carro é de V km/h. Assim, teremos:
t2 =
0,25 X
horas
V
Daí, o tempo total gasto no percurso é igual a:
t1+t2 =
0,75 X 0,25 X
V ⋅ 0,75 X + 50 ⋅ 0,25 X
0,75VX + 12,5 X
(0,75V + 12,5) X
+
=
=
=
50
V
50V
50V
50V
A velocidade média é dada pela fórmula:
Vel. Média = distância total percorrida
tempo total gasto
Substituindo os dados na fórmula, teremos:
40 km/h =
.
X
(0,75V + 12,5) X
50V
Resolvendo, vem:
Æ 40 =
50V
Æ 40 (0,75V + 12,5) = 50V
(0,75V + 12,5)
Æ 30V + 500 = 50V
Æ 20V = 500
Æ V = 25 km/h (Resposta: Alternativa C)
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3
02. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Pedro e Paulo saíram de suas respectivas casas
no mesmo instante, cada um com a intenção de visitar o outro. Ambos caminharam
pelo mesmo percurso, mas o fizeram tão distraidamente que não perceberam
quando se cruzaram. Dez minutos após haverem se cruzado, Pedro chegou à casa
de Paulo. Já Paulo chegou à casa de Pedro meia hora mais tarde (isto é, meia hora
após Pedro ter chegado à casa de Paulo). Sabendo que cada um deles caminhou a
uma velocidade constante, o tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a
casa de Pedro, foi de
a) 60 minutos
b) 50 minutos
c) 80 minutos
d) 90 minutos
e) 120 minutos
Sol.:
O tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, será igual a
soma dos seguintes tempo:
1) Tempo decorrido do momento que Paulo sai de sua casa até o momento que ele passa
por Pedro.
Este tempo não foi informado na questão, e o chamaremos de t1.
2) Tempo decorrido do momento que Paulo passa por Pedro até o momento que ele chega
à casa de Pedro.
Pedro leva 10 minutos para chegar à casa de Paulo, após eles se cruzarem na
estrada, enquanto Paulo continua caminhando, e só chega à casa de Pedro 30 minutos
depois. Daí, o tempo para Paulo chegar à casa de Pedro, após eles se cruzarem na estrada,
é de 40 minutos (=10 min+30min).
O tempo total de caminhada de Paulo, de sua casa até a casa de Pedro, o qual é
solicitado na questão é igual a (t1+40).
As velocidades de Pedro e de Paulo são constantes, então poderemos encontrar t1
através da seguinte fórmula:
velocidade = distância
tempo
Designaremos por VPE a velocidade constante de caminhada de Pedro, e por VPA a
velocidade constante de caminhada de Paulo.
1º) Desenho do ponto de cruzamento de Pedro e Paulo na estrada.
Paulo
Pedro
Casa de
Pedro
D-X
X
Casa de
Paulo
D
Chamamos de D a distância entre as casas de Pedro e Paulo, e de X a distância
entre a casa de Pedro e o ponto de cruzamento. Desta forma, a distância do ponto de
cruzamento até a casa de Paulo será igual a D-X.
Pedro percorreu a distância X no tempo t1. Daí:
(1ª equação)
VPE = X
t1
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4
Paulo percorreu a distância D-X no tempo t1. Daí:
(2ª equação)
VPA = D-X
t1
2º) Desenho do momento em que Pedro chega à casa de Paulo.
Pedro
Paulo
Casa de
Pedro
D-X
X
Casa de
Paulo
D
Pedro percorreu a distância D-X no tempo de 10 minutos. Daí:
VPE = D-X
10
(3ª equação)
3º) Desenho do momento em que Paulo chega à casa de Pedro.
Casa de
Pedro
Paulo
D-X
X
Pedro
Casa de
Paulo
D
Paulo percorreu a distância X no tempo de 40 min (=10min+30min). Daí:
VPA =
X
40
(4ª equação)
Da 1ª equação e da 3ª equação, teremos:
X = D-X (5ª equação)
10
t1
Da 2ª equação e da 4ª equação, teremos:
D-X = X (6ª equação)
40
t1
Queremos encontrar t1 e podemos fazer isso de diversas maneiras, veja a seguinte
maneira que escolhemos:
Æ Da 5ª equação, podemos fazer:
D-X = 10X
t1
Æ Da 6ª equação, podemos fazer:
D-X = Xt1
40
Igualando as duas equações acima, teremos:
10X = Xt1
40
t1
Resolvendo, vem:
(t1)2 = 400
Æ t1 = 20
Como já dissemos anteriormente, a resposta da questão é igual a (t1+40):
(t1+40) = 20+40 = 60 minutos (Resposta: Alternativa A)
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5
03. (AFC/CGU 2003/2004 ESAF) Lúcio faz o trajeto entre sua casa e seu local de
trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso,
ele gasta exatamente 20 minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma
reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho
8 minutos antes do início da reunião. Ao passar em frente ao Cine Bristol, Lúcio deuse conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente
reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre à mesma velocidade, chegaria
atrasado à reunião em exatos 10 minutos. Sabendo que a distância entre o Cine
Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de
trabalho é igual a:
a) 1.200m
b) 1.500m
c) 1.080m
d) 760m
e) 1.128m
Sol.:
Desenho da questão:
Casa de
Lúcio
Cine
Bristol
Lúcio
Trabalho
D-540
540
D
Chamamos de D a distância entre a casa de Lúcio e o seu trabalho.
Lúcio caminha a uma velocidade constante VLU , e leva 20 minutos para percorrer uma
distância D. Daí, podemos formar a seguinte equação:
(1ª equação)
VLU = D
20
Caso Lúcio retorne para casa no momento em que ele chegar ao Cine Bristol, para
somente depois retomar a ida ao trabalho, ele percorrerá a mais do que o trajeto direto para
o trabalho, uma distância de 1080 metros (=540m+540m).
Ele chegaria 8 minutos antes do início da reunião caso ele fosse direto para o trabalho,
e ele chegaria atrasado em 20 minutos na reunião caso ele retornasse do Cine Bristol, então o
tempo a mais, em relação ao trajeto direto para o trabalho, é de 28 minutos
(=8min+20min).
Dos dois parágrafos anteriores, concluímos que Lúcio percorre uma distância de 1080
metros em 28 minutos. Daí, podemos formar a seguinte equação:
VLU = 1080 (2ª equação)
28
Igualando a 1ª e 2ª equações, teremos:
D = 1080
20
28
Resolvendo, vem:
D = 1200 (Resposta: Alternativa A)
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6
04. (AFC/CGU - 2003/2004 ESAF) Marco e Mauro costumam treinar natação na
mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a
partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de
um lado a outro da piscina em 45 segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao
outro em 30 segundos. Durante 12 minutos, eles nadam de um lado para outro, sem
perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses 12 minutos, eles podem
encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão
nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos
estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de
vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses 12 minutos é:
a) 10
d) 18
b) 12
e) 20
c) 15
Sol.:
Nós ensinaremos uma fórmula que resolverá rapidamente este tipo de questão. Mas
antes de apresentá-la, veja o caso abaixo que nos ajudará a memorizar essa fórmula.
Caso a questão pedisse o número de voltas que Marco dá na piscina, é claro que
bastaria dividir o tempo que ele nadou pelo tempo que ele atravessa a piscina, então teríamos:
nº de voltas na piscina =
tempo total de nado = 12 min = 12x60 seg = 24 voltas
tempo da travessia
30 seg
30 seg
O número de vezes que Marco e Mauro se encontram na piscina pode ser obtido por
uma fórmula similar àquela que usamos para calcular o número de voltas que Marco deu na
piscina, é a seguinte:
nº de encontros entre Marco e Mauro =
tempo total de nado
média harmônica dos tempos das travessias
A média harmônica (H) entre dois números (x1 e x2) é dada pela seguinte fórmula:
H = 2x1x2
x1+x2
Os tempos das travessias de Marco e Mauro são, respectivamente, 30 seg e 45 seg. A
média harmônica de 30 e 45 é igual a:
H = 2 . 30 . 45 = 36 seg
30+45
Voltando a nossa fórmula:
nº de encontros entre Marco e Mauro =
12 min
36 seg
=
12 x 60 seg
36 seg
= 20 encontros
Resposta: Alternativa E
A fórmula que usamos nesta questão pode ser empregada em outras situações
similares, por exemplo, calcular o número de encontros entre dois carros que se deslocam
entre duas cidades.
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7
05. (Fiscal MS 2000 FGV) Uma companhia de ônibus realiza viagens entre as cidades
de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem simultaneamente, um de cada cidade, para
percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e
percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 sai de
Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum dos dois realizou
nenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que:
I – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 175 estará mais perto de Bonito
do que o 165.
II – Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus 165 terá andado mais tempo
do que o 175.
A) Somente a hipótese (I) está errada.
B) Somente a hipótese (II) está errada.
C) Ambas as hipóteses estão erradas.
D) Nenhuma das hipóteses está errada.
Sol.:
Desenho da questão:
ônibus 165
(120 km/h)
ônibus 175
(90 km/h)
Corumbá
Bonito
Ponto de encontro
Æ Análise do item I:
No momento em que os dois se cruzarem é claro que eles estarão no mesmo ponto e,
portanto, eles estarão à mesma distância de qualquer lugar. Este item está errado!
Æ Análise do item II:
Se eles partiram de suas cidades ao mesmo tempo, então o tempo decorrido até eles se
cruzarem na estrada será o mesmo para os dois. Somente a distância percorrida é que será
diferente, porque o ônibus 165 é mais rápido. Este item está errado!
Como os dois itens estão errados, então a alternativa correta é a C.
06. (TFC 1995 ESAF) Um ônibus viajando com uma determinada velocidade média
completou um percurso de 480 km em x horas. Caso essa velocidade fosse
aumentada em 20 km/h, a viagem poderia ter durado duas horas a menos. Quantos
minutos durou a viagem
a) 360
b) 390
c) 420
d) 480
e)510
Sol.:
Chamaremos de V a velocidade média do ônibus no percurso de 480 km e em que ele
gasta x horas. Daí:
(1ª equação)
V = 480 km
x horas
Aumentando em 20 km/h, a velocidade do ônibus passará a ser (V+20) km/h, e ele
gastará duas horas a menos que a situação anterior, ou seja, (x-2) horas, para percorrer a
mesma distância de 480 km. Daí:
(2ª equação)
(V+20) =
480 km
(x-2) horas
Vamos substituir na 2ª equação o valor de V:
480 +20 = 480
x
(x-2)
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8
Resolvendo, vem:
Æ 480+20x = 480
x
(x-2)
Æ 480x – 960 +20x2 – 40x = 480x
Æ x2 – 2x – 48 = 0
raízes: x=-6 e x=8.
Daí, temos que x = 8 horas = 480 minutos (Resposta: Alternativa D)
07. (Analista Orçamento MARE 99 FCC) Um atleta faz um treinamento cuja primeira
parte consiste em sair de casa e correr em linha reta até certo local à velocidade de
12 km/h. Depois, sem intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempo gasto
nesse treinamento foi exatamente 3 horas, o tempo em que ele correu superou o
tempo em que caminhou em
(A) 36 minutos.
(B) 30 minutos.
(C) 25 minutos.
(D) 22 minutos.
(E) 15 minutos.
Sol.:
Desenho da questão:
Atleta correndo
(12 km/h)
X km
Atleta andando
(8 km/h)
Já aprendemos que o tempo é igual a distância dividida pela velocidade. Usaremos esse
conceito no cálculo dos tempos gastos na ida e na volta do atleta.
Æ Tempo gasto na ida (correndo):
X km
t1 =
12 km/h
Æ Tempo gasto na volta (andando):
X km
t2 =
8 km/h
Æ Tempo total gasto é de 3 horas
t1 + t2 = 3 horas
X +
12
X
8
= 3 horas
2X + 3X
24
= 3 horas
5X = 72
Æ
X = 72/5 km
Æ Cálculo de t1:
t1 =
X
12
=
72/5
12
= 6/5 = 1,2 horas (andando)
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9
Æ Cálculo de t2:
t2 =
X
8
=
72/5
8
= 9/5 = 1,8 horas (correndo)
O tempo em que ele correu superou o tempo em que caminhou em:
t1 – t2 = (1,8 – 1,2) horas = 0,6 horas = 0,6 x 60 min = 36 minutos
(Resposta: Alternativa A)
08. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo
vértice de um polígono regular. Num dado momento, os três começam a caminhar na
borda do polígono. Todos os três caminham em velocidades constantes, sendo que a
velocidade de Augusto é o dobro da de Vinicius e o quádruplo da de Romeu. Augusto
desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu. Após um certo tempo,
Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice. Logo a seguir,
exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu. O número de
arestas do polígono é:
a) 10
b) 15
c) 12
d) 14
e) 11
Sol.:
Dados fornecidos no enunciado da questão:
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Æ
Augusto, Vinicius e Romeu estão no mesmo vértice de um polígono regular.
Num dado momento, os três começam a caminhar na borda do polígono.
Todos os três caminham em velocidades constantes.
A velocidade de Augusto é o dobro da de Vinícius: VA = 2.VV .
A velocidade de Augusto é o quádruplo da de Romeu: VA = 4.VR .
Augusto desloca-se em sentido oposto ao de Vinicius e ao de Romeu.
Após um certo tempo, Augusto e Vinicius encontram-se num determinado vértice.
Logo a seguir, exatamente dois vértices depois, encontram-se Augusto e Romeu.
O polígono regular é uma figura plana de lados (ou arestas) iguais. Alguns exemplos de
polígonos regulares:
Æ com 3 lados: triângulo eqüilátero.
Æ com 4 lados: quadrado ou losango.
Æ com 5 lados: pentágono.
Æ com 6 lados: hexágono.
Designaremos por n o número de lados do nosso polígono regular.
A velocidade de caminhada dos três é constante, então poderemos utilizar a seguinte
fórmula:
velocidade = distância ou distância = velocidade x tempo ou tempo = distância
tempo
velocidade
Augusto e Vinícius partiram no mesmo instante, do mesmo vértice e caminham em
sentidos opostos, após um certo tempo encontram-se em um determinado vértice. A partir
dessas informações podemos tirar as seguintes conclusões:
i. Como eles partiram no mesmo instante, então o tempo de caminhada até eles se
encontrarem é o mesmo, e chamaremos este tempo de t1.
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10
ii. Como Augusto e Vinícius partiram do mesmo vértice, em sentidos opostos e encontram-se
em outro vértice, significa que se Augusto caminhou x arestas, então Vinícius caminhou n-x
arestas. Somando x mais n-x dá o total n de arestas do polígono.
A partir dos dois itens acima, podemos escrever as seguintes equações para Augusto e
Vinícius:
(1ª equação)
Augusto: t1 = x arestas = x arestas
2VV
VA
Vinícius: t1 = (n-x) arestas
VV
(2ª equação)
Podemos igualar as duas equações acima, pois ambas trazem o mesmo tempo t1.
x =
2VV
n-x
VV
.
Resolvendo, vem:
x
2
=
n-x
1
Æ x = 2n – 2x
Æ 3x = 2n
(3ª equação)
Augusto e Romeu também partiram no mesmo instante, do mesmo vértice e
caminham em sentidos opostos, mas eles só se encontram dois vértices após o vértice onde se
encontraram Augusto e Vinícius. A partir dessas informações podemos tirar as seguintes
conclusões:
i. Como eles partiram no mesmo instante, então o tempo de caminhada até eles se
encontrarem é o mesmo, e chamaremos esse tempo de t2.
ii. Como Augusto e Romeu partiram do mesmo vértice, em sentidos opostos e encontram-se
dois vértices depois do vértice onde se encontraram Augusto e Vinícius, significa que Augusto
caminhou (x+2) arestas e Romeu caminhou (n-x-2) arestas. Somando (x+2) mais
(n-x-2) dá o total n de arestas do polígono.
A partir dos dois itens acima, podemos escrever as seguintes equações para Augusto e
Romeu:
(4ª equação)
Augusto: t2 = (x+2) arestas = (x+2) arestas
4VR
VA
Romeu: t2 = (n-x-2) arestas
VR
(5ª equação)
Podemos igualar as duas equações acima, pois ambas trazem o mesmo tempo t2.
=
(x+2)
4VR
(n-x-2)
VR
.
Resolvendo, vem:
(x+2)
4
=
(n-x-2)
1
Æ x+2 = 4n – 4x – 8
Æ 5x = 4n – 10
(6ª equação)
A partir da 3ª equação e da 6ª equação, podemos determinar o valor de n.
3x = 2n
5x = 4n – 10
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11
Isolando x na primeira equação do sistema acima (x = 2n/3), e substituindo na outra
equação, teremos:
Æ 5.(2n/3) = 4n – 10
Æ 2n = 30
Æ 10n/3 = 4n – 10
Æ 10n = 12n – 30
Æ n = 15 (Resposta: Alternativa B)
É isso! Passemos ao nosso assunto de hoje!
QUESTÕES RESOLVIDAS DA FCC (1ª PARTE)
Resolveremos 10 questões e deixaremos 7 questões propostas para casa.
01.(TRT 2004 FCC) A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3
linhas e 3 colunas, sendo que cada símbolo representa um número inteiro. Ao
lado das linhas e colunas do quadrado, são indicadas as somas dos
correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delas representadas
pelas letras X, Y e Z.
Nas condições dadas. X+ Y + Z é igual a
(A) 17
(D) 20
(B) 18
(E) 21
(C) 19
Sol.:
Substituiremos na figura acima o quadrado pela letra q, o triângulo pela letra t e o
círculo pela letra c. Assim, teremos:
q
q
c
c
q
c
t
t
q
A soma da 1ª linha é igual a 7:
q + c + t = 7 (1ª eq.)
A soma da 2ª linha é igual a 4:
2q + t = 4 (2ª eq.)
A soma da 2ª coluna é igual a 6:
2c + q = 6 (3ª eq.)
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12
--------------------------------------------------------------------A soma da 3ª linha é igual a X:
2c + q = X (4ª eq.)
A soma da 1ª coluna é igual a Y:
2q + c = Y (5ª eq.)
A soma da 3ª coluna é igual a Z:
2t + q = Z (6ª eq.)
--------------------------------------------------------------------A questão pede o valor de X+Y+Z. Observe que se somarmos os segundos membros
das três últimas equações, aparecerá a soma X+Y+Z. Então faremos isso, somaremos os
segundos membros das três últimas equações e igualaremos com a soma dos primeiros
membros.
(2c + q) + (2q + c) + (2t + q) = X + Y + Z
Daí:
3c + 4q + 2t = X + Y + Z
(7ª eq.)
Faremos a mesma coisa para as três primeiras equações, para ver o que acontece:
(q + c + t ) + (2q + t) + (2c + q) = 7 + 4 + 6
Daí:
3c + 4q + 2t = 17
(8ª eq.)
Observe que o primeiro membro da 7ª equação é igual ao primeiro membro da 8ª
equação, então podemos estabelecer a seguinte igualdade:
X + Y + Z = 17 (Resposta: Alternativa A)
02.(TRT 2004 FCC) Em relação a um código de cinco letras, sabe-se que:
- TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele;
- PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta;
- PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma que
se encontra na mesma posição, a outra não;
- MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição;
- TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta.
O código a que se refere o enunciado da questão é
(A) MIECA. (B) PUNCI.
(C) PINAI.
(D) PANCI.
(E) PINCA.
Sol.:
Vamos analisar uma a uma as pistas dadas no enunciado da questão. Não é necessário
seguir a ordem em que as pistas são apresentadas, analise primeiramente as mais fáceis.
1ª pista) TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele;
As alternativas que apresentarem as letras: T, R, E, V, O, G, L, serão descartadas.
Daí, podemos descartar a alternativa A.
(C) PINAI.
(D) PANCI.
(E) PINCA.
(A) MIECA. (B) PUNCI.
2ª pista) PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta;
As alternativas que apresentam somente uma letra em comum com a palavra
PRELO, e que está na mesma posição não serão descartadas.
Não há alternativas a serem descartadas!
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13
3ª pista) MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição;
Podemos descartar as alternativas: C e D.
(C) PINAI.
(A) MIECA. (B) PUNCI.
(D) PANCI.
(E) PINCA.
4ª pista) TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta.
Podemos descartar a alternativa B.
(A) MIECA.
(B) PUNCI.
(C) PINAI.
(D) PANCI.
(E) PINCA.
Resposta: Alternativa E.
03.(TRT 2004 FCC) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com
empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao
menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã,
almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são:
- 5 se alimentam apenas pela manhã;
- 12 se alimentam apenas no jantar;
- 53 se alimentam no almoço;
- 30 se alimentam pela manhã e no almoço;
- 28 se alimentam pela manhã e no jantar;
- 26 se alimentam no almoço e no jantar;
- 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar.
Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam apenas no
almoço é
(A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar.
(B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã.
(C) a terça parte dos que fazem as três refeições.
(D) a metade dos funcionários pesquisados.
(E) 30% dos que se alimentam no almoço.
Sol.:
Este tipo de questão se resolve com a ajuda de diagramas de conjuntos.
Estabeleceremos os seguintes conjuntos:
M: conjunto dos que se alimentam pela manhã.
J: conjunto dos que se alimentam no jantar.
A: conjunto dos que se alimentam no almoço.
Faremos o desenho dos três conjuntos e anotaremos os dados fornecidos na questão:
J
M
5
12
28
30
18
26
53
a
A
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14
Designamos por a o número de pessoas que se alimentam apenas no almoço.
O número de pessoas que se alimentam pela manhã e no almoço é de 30 pessoas,
destas, 18 pessoas se alimentam nos três horários. Daí, teremos que 12 pessoas (=30-18) se
alimentam apenas pela manhã e no almoço.
O número de pessoas que se alimentam no jantar e no almoço é de 26 pessoas,
destas, 18 pessoas se alimentam nos três horários. Daí, teremos que 8 pessoas (=26-18) se
alimentam apenas no jantar e no almoço.
Acrescentando ao desenho anterior essas novas informações, teremos:
J
M
5
12
28
12
30
18
26
53
8
a
A
A partir do desenho acima, podemos encontrar o número de pessoas que se alimentam
apenas pela manhã:
a + 12 + 18 + 8 = 53
Resolvendo, vem:
Æ a = 53 – 38
Æ a = 15 (Resposta: Alternativa B)
04.(TRT 2004 FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D
e E, com as distâncias dadas em quilômetros:
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15
Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, a menor distância que poderá
ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros,
(A) 68
(D) 71
(B) 69
(E) 72
(C) 70
Sol.:
Esta é uma questão fácil, porém necessita uma análise cuidadosa para encontrar o
menor caminho.
Para irmos de A a B, temos que seguir a ordem imposta na questão:
A Æ E Æ C Æ D Æ B
Menor distância de A a E: 8 + 3 + 3 + 9 = 23
Menor distância de E a C: 9 + 3 + 4 = 16
Menor distância de C a D: 4 + 3 = 7
Menor distância de D a B: 3 + 3 + 7 + 5 + 6 = 24
Somando as distâncias obtidas em cada trecho, teremos:
23 + 16 + 7 + 24 = 70 (Resposta: Alternativa C)
05.(TRT 2004 FCC) Esta seqüência de palavras segue uma lógica:
- Pá
- Xale
- Japeri
Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à seqüência poderia ser
(A) Casa.
(D) Café.
(B) Anseio.
(E) Sua.
(C) Urubu.
Sol.:
Temos que encontrar a quarta palavra que completa a seqüência abaixo:
Pá
Xale
Japeri
?
_______
Observe que a 1ª palavra termina pela vogal “a”, a 2ª termina pela vogal “e” e a 3ª
termina pela vogal “i”, então podemos esperar que a quarta palavra termine pela vogal “o”. Há
quantas palavras que terminam por “o”?
Somente a palavra Anseio termina por “o”! Portanto, a resposta é a alternativa B.
A FCC também estabeleceu uma outra maneira de encontrar a quarta palavra. Observe
que a 1ª palavra tem a vogal “a”, a 2ª palavra tem as vogais “a” e “e”, e a 3ª palavra tem as
vogais “a”, “e” e “i”. Devemos esperar que a quarta palavra tenha as vogais “a”, “e”, “i” e “o”.
Somente a alternativa B corresponde a essa lógica.
.
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16
06.(TRT 2004 FCC) Em uma repartição pública que funciona de 2ª a 6ª feira, 11
novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é
necessariamente verdade que
(A) todos fazem aniversário em meses diferentes.
(B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês.
(C) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês.
(D) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana.
(E) algum começou a trabalhar em uma 2ª feira.
Sol.:
A questão simplesmente informa que:
1) A repartição pública funciona de 2ª a 6ª feira.
2) 11 novos funcionários foram contratados.
Devemos nos basear somente nessas informações para encontrarmos a alternativa
correta.
Æ Análise da alternativa A: todos fazem aniversário em meses diferentes.
Não necessariamente! Os 11 funcionários podem fazer aniversário no mesmo mês.
Alternativa A está errada!
Æ Análise da alternativa B: ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês.
Não necessariamente! Como o ano tem 12 meses, então os 11 funcionários podem
fazer aniversário em meses diferentes. Alternativa B está errada!
Æ Análise da alternativa B: ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês.
Não necessariamente! Como o ano tem 12 meses, então todos os 11 funcionários
podem fazer aniversário em meses diferentes. Alternativa B está errada!
Æ Análise da alternativa C: ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês.
Não necessariamente! Como o mês tem 30 dias (ou 28 ou 31), então todos os 11
funcionários podem ter começado a trabalhar em dias diferentes. Alternativa C está errada!
Æ Análise da alternativa D: ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana.
A semana de trabalho tem 5 dias, e como temos 11 funcionários, então para qualquer
distribuição de funcionários que façamos ao longo dos cinco dias, sempre haverá um dia que
terá ao menos três funcionários trabalhando. Alternativa D está correta!
07.(IPEA 2004 FCC) A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica.
Escolha a alternativa que substitui “X" corretamente: RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO,
“X".
(A) Calçado.
(D) Sibipiruna.
(B) Pente.
(E) Soteropolitano.
(C) Lógica.
Sol.:
Temos que encontrar a quinta palavra que completa a seqüência abaixo:
RÃ
LUÍS
MEIO
PARABELO
?
_______
Observe que na 1ª palavra há 1 vogal, na 2ª palavra há 2 vogais´, na 3ª palavra há 3
vogais e na 4ª palavra há quatro vogais. Podemos esperar que na quinta palavra haja 5
vogais. Há quantas palavras que possuem 5 vogais?
Apenas a palavra Sibipiruna possui 5 vogais! Portanto, a resposta é a alternativa D.
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17
08.(IPEA 2004 FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica,
escolhendo a alternativa que substitui “X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS,
“X".
(A) Camarão.
(B) Casa.
(C) Homero.
(D) Zeugma.
(E) Eclipse.
Sol.:
Temos que encontrar a quarta palavra que completa a seqüência abaixo:
LEIS
TEATRO
POIS
?
_______
Observe que a 1ª palavra termina em “is”, a 2ª palavra termina em “ro” e a 3ª palavra
termina em “is”. Espera-se que a quarta palavra termine em “ro”. Há quantas palavras que
terminam em “ro”?
Apenas a palavra Homero termina em “ro”! Portanto, a resposta é a alternativa C.
09.(TCE-SP 2003 FCC) Uma pessoa comprou na feira x maçãs a um preço unitário P1
e y abacaxis a um preço unitário P2, gastando, no total, $ 101. Esse problema
admite solução se P1 e P2 forem, respectivamente,
(A) $ 10 e $ 15.
(C) $ 9 e $ 15.
(E) $ 12 e $ 15.
(B) $ 10 e $ 14.
(D) $ 9 e $ 14.
Sol.:
Æ Valor gasto com as maças: x.P1
Æ Valor gasto com os abacaxis: y.P2
Æ O valor total gasto é igual à soma dos gastos com as maças e com os abacaxis:
x.P1 + y.P2
Daí, temos que: x.P1 + y.P2 = 101
Para resolver esta questão, testaremos as alternativas:
Æ Teste da alternativa A: P1=10 e P2=15.
Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:
10x + 15y = 101
Os números 10 e 15 tem o fator 5 em comum, daí colocaremos o 5 em evidência:
5 . (2x + 3y) = 101
Passando o 5 para o segundo membro, teremos:
(2x + 3y) = 101
5
O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são
inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 5, que não resultará
em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa A.
Æ Teste da alternativa B: P1=10 e P2=14.
Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:
10x + 14y = 101
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Os números 10 e 14 tem o fator 2 em comum, daí colocaremos o 2 em evidência:
2 . (5x + 7y) = 101
Passando o 2 para o segundo membro, teremos:
(5x + 7y) = 101
2
O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são
inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 2, que não resultará
em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa B.
Æ Teste da alternativa C: P1=9 e P2=15.
Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:
9x + 15y = 101
Os números 9 e 15 tem o fator 3 em comum, daí colocaremos o 3 em evidência:
3 . (3x + 5y) = 101
Passando o 3 para o segundo membro, teremos:
(3x + 5y) = 101
3
O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são
inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 3, que não resultará
em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa C.
Passemos a análise da alternativa E!
Æ Teste da alternativa E: P1=12 e P2=15.
Substituindo os valores de P1 e P2 na equação: x.P1 + y.P2 = 101, teremos:
12x + 15y = 101
Os números 12 e 15 tem o fator 3 em comum, daí colocaremos o 3 em evidência:
3 . (4x + 5y) = 101
Passando o 3 para o segundo membro, teremos:
(4x + 5y) = 101
3
O primeiro membro da equação acima é com certeza um número inteiro, pois x e y são
inteiros, porém o segundo membro é o resultado da divisão de 101 por 3, que não resultará
em um valor inteiro, portanto devemos descartar a alternativa E.
Resta-nos marcar a alternativa D.
10.(TCE-SP 2003 FCC) Michael, Rubinho e Ralf decidiram organizar um desafio para
definir qual deles era o melhor nadador. Seriam realizadas n provas (n > 1),
sendo atribuídos, em cada prova, x pontos para o primeiro colocado, y para o
segundo e z para o terceiro, não havendo possibilidade de empate em qualquer
colocação. Ao final do desafio, Michael acumulou 25 pontos, Rubinho 21 pontos e
Ralf 9 pontos. Sendo x, y e z números inteiros e positivos, o valor de n é
(A) 3
(B) 5
(C) 7
(D) 9
(E) 11
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19
Sol.: Num total de n provas, em que não há empates, com certeza teremos n primeiros
lugares, n segundos lugares e n terceiros lugares.
Æ Para os n primeiros lugares, onde o 1º lugar ganha x pontos, teremos ao todo n.x pontos.
Æ Para os n segundos lugares, onde o 2º lugar ganha y pontos, teremos ao todo n.y pontos.
Æ Para os n terceiros lugares, onde o 3º lugar ganha z pontos, teremos ao todo n.z pontos.
O total de pontos nas n provas será igual a soma dos resultados acima:
n.x + n.y + n.z
Também podemos obter este total de pontos somando os pontos de cada um dos
participantes ao final das n provas, teremos:
25 + 21 + 9 =55 pontos
Daí: n.x + n.y + n.z = 55
Colocando o n em evidência, teremos:
n . (x+y+z) = 55
O primeiro membro da equação acima é o produto de dois valores: n e (x+y+z). O
segundo membro também pode ser colocado como o produto de dois valores. Temos as
seguintes possibilidades:
1) 55 x 1
2) 1 x 55
3) 11 x 5
4) 5 x 11
Æ Teste do (55x1)
n . (x+y+z) = 55 . 1
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=55 e (x+y+z) = 1
Mas como x, y e z são números inteiros positivos (1,2,3,4,...), então o menor valor que
(x+y+z) pode assumir é 6 (quando X=3, y=2 e z=1). Então (x+y+z) não pode ser igual a 1.
Teste inválido!
Æ Teste do (1x55)
n . (x+y+z) = 1 . 55
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=1 e (x+y+z) = 55
O enunciado diz que n é maior que 1, portanto teste inválido!
Æ Teste do (11x5)
n . (x+y+z) = 11 . 5
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=11 e (x+y+z) = 5
Já havíamos concluído que o menor valor que (x+y+z) poderia assumir era 6. Então
(x+y+z) não pode ser igual a 5. Teste inválido!
Æ Teste do (5x11)
n . (x+y+z) = 5 . 11
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=5 e (x+y+z) = 11
Não há restrições para essa situação! Daí, o número de provas realizadas é igual a
cinco. (Resposta: Alternativa B)
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20
Desejo a todos um Feliz Natal e um próspero Ano Novo! Fiquem com Deus!
DEVER DE CASA
01.(TRT 2004 FCC) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM,
BOI, BOL e ASO, sabe-se que:
- MÊS não tem letras em comum com ela;
- SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição;
- BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição;
- BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição;
- ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.
A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é
(A) BIL
(B) ALI
(C) LAS
(D) OLI
(E) ABI
02.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz
que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo
interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação
é correto concluir que
(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que
o departamento de qualidade seja acionado.
(B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o
departamento de qualidade seja acionado.
(C) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o
departamento de qualidade seja acionado.
(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal
(E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno
poderá ser aberto.
03.(TRT 2004 FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível
transformá-la na figura II:
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal
transformação é
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
04.(TRT 2004 FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em
correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos
que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três
planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com
dobras, um dado com as características descritas é (são):
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21
(A) I
(B) I e lI.
(C) I e III.
(D) II e III.
(E) I, II, III
05.(TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos.
Sabendo-se que X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é
correto dizer que Z – W é igual a
(A) 5
(B) 4
(C) 3
(D) 2
(E) 1
06.(TRT 2004 FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível
transformá-la na figura II
o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal
transformação é
(A) 1
(D) 4
(B) 2
(E) 5
(C) 3
07.(TRT 2004 FCC) Em um concurso. João. Pedro e Lígia tentam adivinhar um
número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele
que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e
Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua
chance de vitória é o número
(A) 2
(D) 6
(B) 3
(E) 8
(C) 5
GABARITO:
01.B 02.B 03.C
04.D
05.E
06.B
07.B
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AULA VINTE E UM:
1
QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO
DA FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (2ª PARTE)
Olá, amigos!
Esta aula é uma continuação da aula passada, pois de acordo com o nosso novo
cronograma, estabelecemos duas aulas para resolução de questões da FCC.
Espero que estejam gostando das aulas, pois estamos nos empenhando para que vocês
aprendam muito e fiquem bem preparados para enfrentar as provas!
O cronograma das próximas aulas é o seguinte:
Æ Aula 22: Questões Variadas (1ª parte);
Æ Aula 23: Questões Variadas (2ª parte);
Æ Aula 24: 1º Simulado;
Æ Aula 25: 2º Simulado.
Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula
passada. Adiante!
SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
01.(TRT 2004 FCC) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM,
BOI, BOL e ASO, sabe-se que:
- MÊS não tem letras em comum com ela;
- SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição;
- BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição;
- BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição;
- ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição.
A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é
(A) BIL
(B) ALI
(C) LAS
(D) OLI
(E) ABI
Sol.:
Vamos analisar uma a uma as pistas dadas no enunciado da questão.
1ª pista) MÊS não tem letras em comum com ela;
As alternativas que apresentarem as letras: M, E e S, serão descartadas.
Daí, descartaremos a alternativa C.
(A) BIL
(B) ALI
(C) LAS
(D) OLI
(E) ABI
2ª pista) SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição;
Descartaremos a alternativa A!
(B) ALI
(A) BIL
(C) LAS
(D) OLI
(E) ABI
3ª pista) BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição;
Descartaremos as alternativas: D e E.
(B) ALI
(C) LAS
(A) BIL
(D) OLI
(E) ABI
Resposta: Alternativa B.
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2
02.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz
que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo
interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação
é correto concluir que
(A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que
o departamento de qualidade seja acionado.
(B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o
departamento de qualidade seja acionado.
(C) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o
departamento de qualidade seja acionado.
(D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal
(E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno
poderá ser aberto.
Sol.:
Já vimos que na condicional P Æ Q , temos que:
O P é condição suficiente para Q, e o Q é condição necessária para P. Ou seja, o 1º
termo da condicional é a condição suficiente, e o 2º termo da condicional é a condição
necessária.
A questão traz a seguinte condicional:
“Se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o
departamento de qualidade é acionado”.
O 1º termo dessa condicional é o termo: “um cliente faz uma reclamação formal”;
e o 2º termo: “é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é
acionado”.
Sabendo quem são o 1º e o 2º termos, já temos condições de encontrar a alternativa
correta: alternativa B.
(B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente
para que o departamento de qualidade seja acionado.
Na alternativa B não aparece o 2º termo completo da condicional. E aí? Não é
necessário aparecer por completo, pois o 2º termo usa o conectivo E para interligar as suas
proposições simples. Já se fosse o conectivo OU deveria aparecer por completo o 2º termo.
03.(TRT 2004 FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível
transformá-la na figura II:
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal
transformação é
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
Sol.:
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3
Os palitos da figura I que devem ser movidos para obter a figura II são os seguintes:
Então basta mover cinco palitos. (Resposta: Alternativa: C)
04.(TRT 2004 FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em
correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos
que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três
planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com
dobras, um dado com as características descritas é (são):
(A) I
(B) I e lI.
(C) I e III.
(D) II e III.
(E) I, II, III
Sol.:
A solução desta questão é muito simples, então a solução ficará restrita a informar que
a alternativa correta é a alternativa D.
05.(TRT 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos.
Sabendo-se que X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é
correto dizer que Z – W é igual a
(A) 5
(D) 2
(B) 4
(E) 1
(C) 3
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4
Sol.:
Para facilitar a solução dessa questão, atribuiremos a X um valor numérico. Podemos
atribuir a X o valor 1?
Atribuindo o valor 1 a X, os dois números naturais de dois algarismos serão: 19 e 91.
Então não há problemas que o x seja 1!
Vamos calcular o valor de X9 + 9X – 100, atribuindo a X o valor 1:
19 + 91 – 100 = 110 – 100 = 10
Daí, ZW = 10. Logo, o Z é igual a 1 e o W é igual a 0.
Já podemos calcular o valor de Z – W:
1 – 0 = 1 (Resposta: Alternativa E)
06.(TRT 2004 FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível
transformá-la na figura II
o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal
transformação é
(A) 1
(D) 4
(B) 2
(E) 5
(C) 3
Sol.:
Os palitos da figura I que devem ser movidos para obter a figura II são os seguintes:
Então basta mover dois palitos. (Resposta: Alternativa: B)
07.(TRT 2004 FCC) Em um concurso. João. Pedro e Lígia tentam adivinhar um
número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele
que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e
Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua
chance de vitória é o número
(A) 2
(D) 6
(B) 3
(E) 8
(C) 5
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5
Sol.:
Para encontrar a resposta correta, testaremos cada uma das alternativas.
Æ Teste da alternatina A: Lígia escolhe o número 2.
Se Lígia escolher o número 2, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 1 ou 2.
Æ Teste da alternatina B: Lígia escolhe o número 3.
Se Lígia escolher o número 3, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 1 ou 2 ou
3.
Æ Teste da alternatina C: Lígia escolhe o número 5.
Se Lígia escolher o número 5, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 5 ou 6.
Æ Teste da alternatina D: Lígia escolhe o número 6.
Se Lígia escolher o número 6, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 6 ou 7.
Æ Teste da alternatina E: Lígia escolhe o número 8.
Se Lígia escolher o número 8, ela ganhará sozinha se o número sorteado for: 7 ou 8.
A alternativa que apresentou o maior número de valores com o qual Lígia pode vencer
foi a alternativa B. (Resposta!)
É isso! Passemos agora para a aula 21, que na verdade é uma continuação da aula
passada, onde resolveremos mais questões da FCC.
QUESTÕES RESOLVIDAS DA FCC (2ª PARTE)
Faremos a solução de dez questões e deixaremos doze questões para casa.
01.(TRT 2004 FCC) Observe atentamente a tabela:
um dois três quatro cinco Seis sete
2
4
4
6
5
4
4
oito
4
nove
4
dez
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela
deve ser preenchido com o número
(A) 2
(D) 5
(B) 3
(E) 6
(C) 4
Sol.:
O
O
O
O
“um” tem 2 letras e abaixo do “um”, na tabela, aparece o valor 2.
“dois” tem 4 letras e abaixo do “dois”, na tabela, aparece o valor 4.
“três” tem 4 letras e abaixo do “três”, na tabela, aparece o valor 4.
“quatro” tem 5 letras e abaixo do “quatro”, na tabela, aparece o valor 5.
Prosseguindo com essa lógica, abaixo do “dez”, na tabela, deverá aparecer o valor 3.
(Resposta: Alternativa: B).
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6
02. (CEAL ALAGOAS FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um:
(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) :
Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de quatro
letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que
o segundo tem com o primeiro é
(A) (EHUV)
(B) (EGUT)
(C) (EGVU)
(D) (EHUT)
(E) (EHVU)
Sol.:
?
(MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : ______
Qual a relação que existe entre o 1º grupo de letras (MNAB) e o 2º grupo de letras
(MODC)?
Vamos colocar estes dois grupos de letras um abaixo do outro.
1º grupo: M N A B
2º grupo: M O D C
Observe que:
Æ a 1ª letra do 1º e do 2º grupo são iguais.
Æ a 2ª letra do 1º grupo é N e a do 2º grupo é O, são letras que são vizinhas no
alfabeto.
Æ a 3ª letra do 1º grupo é A e a do 2º grupo é D, e no alfabeto há duas letras entre
elas: B e C.
Æ a 4ª letra do 1º grupo é B e a do 2º grupo é C, são letras que são vizinhas no
alfabeto.
Estas mesmas relações entre as letras do 1º e do 2º grupos também deverão ocorrer
entre as letras do 3º e do 4º grupos.
A alternativa B será a resposta, veja porque:
3º grupo: E F R S
4º grupo: E G U T
Observe que:
Æ a 1ª letra do 3º e do 4º grupo são iguais.
Æ a 2ª letra do 3º grupo é F e a do 4º grupo é G, são letras que são vizinhas no
alfabeto.
Æ a 3ª letra do 3º grupo é R e a do 4º grupo é U, e no alfabeto há duas letras entre
elas: S e T.
Æ a 4ª letra do 3º grupo é S e a do 4º grupo é T, são letras que são vizinhas no
alfabeto.
Portanto, a resposta é a alternativa B.
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7
03.(CEAL ALAGOAS FCC) Na figura abaixo se tem um triângulo composto por
algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras
deixaram de ser colocadas.
Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as
letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria estar
no lugar do ponto de interrogação é
(A) H
(B) L
(C) J
(D) U
(E) Z
Sol.:
Observem que as letras estão em ordem alfabética, conforme mostramos através da
seta em azul:
Portanto, teremos as seguintes letras nas posições vazias:
O
J
I
L
Resposta: Alternativa B.
04.(CEAL ALAGOAS FCC) Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos
sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo
termos dessa seqüência. obtidos segundo essa lei é
(A) 21
(B) 19
(C) 16
(D) 13
(E) 11
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8
Sol.:
Temos a seguinte seqüência:
?
77 74 37 34 17 14 ___
?
___
Observe que:
Æ o terceiro termo (37) é a metade do segundo termo (74).
Æ o quinto termo (17) é a metade do quarto termo (34).
Prosseguindo essa lógica, teremos que:
Æ o sétimo termo (?) é a metade do sexto termo (14). Daí, o sétimo termo é o 7.
Também observe que:
Æ o segundo termo (74) é igual ao primeiro termo (77) menos três.
Æ o quarto termo (34) é igual ao terceiro termo (37) menos três.
Æ o sexto termo (14) é igual ao quinto termo (17) menos três.
Prosseguindo essa lógica, teremos que:
Æ o oitavo termo (?) é igual ao sétimo termo (7) menos três. Daí, o oitavo termo é o 4.
A soma do sétimo e oitavo termos é igual a 11. (Resposta: Alternativa E)
05.(CEAL ALAGOAS FCC) Considere o desenho seguinte:
A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada
no interior do desenho dado é
A)
B)
C)
D)
E)
Sol.:
A resposta é a alternativa C. Veja a figura da alternativa C, em cinza, abaixo:
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9
06.(CEAL ALAGOAS FCC) Considere a seqüência de igualdades seguintes:
13 = 12 - 02
23 = 32 - 12
33 = 62 - 32
43 = 102 - 62
.
.
.
É correto afirmar que a soma 13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 é igual a
(A) 482
(B) 462
(C) 422
(D) 382
(E) 362
Sol.:
As linhas acima vão até o número 4, vamos completar até o número 8:
13 = 12 - 02
23 = 32 - 12
33 = 62 - 32
43 = 102 - 62
53 = 152 - 102
63 = 212 - 152
73 = 282 - 212
83 = 362 - 282
Ao somar os números que estão nos primeiros membros das igualdade acima, teremos:
13 + 2 3 + 3 3+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83
Ao somar os números que estão nos segundos membros das igualdade acima, haverá o
cancelamento de diversos números sobrando apenas:
362
Portanto, teremos que: 13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 = 362
(Resposta: Alternativa E)
07.(TRF 2004 FCC) Considere os seguintes pares de números:
(3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9) ; (4,10).
Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que
não apresenta tal característica é
(A) (3,10)
(B) (1,8)
(C) (5,12)
(D) (2,9)
(E) (4,10)
Sol.:
Observe que subtraindo os elementos de cada par, para os quatro primeiros pares,
obteremos o valor 7. Já a subtração dos elementos do par (4,10) é igual a 6.
(Resposta: Alternativa E)
08.(TRF 2004 FCC) Observe a figura seguinte:
Qual figura é igual à figura acima representada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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10
Sol.:
Temos um quadrado com três pontos pintados, e temos que descobrir qual é a
alternativa que traz o mesmo quadrado só que em posição diferente.
(Resposta: Alternativa D)
09.(TRF 2004 FCC) Certo dia, no início do expediente de uma Repartição Pública, dois
funcionários X e Y receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos.
Então, X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha e, logo em seguida, Y cedeu a
X tantos impressos quanto X tinha. Se, após as duas transações, ambos ficaram
com 32 impressos, então, inicialmente, o número de impressos de X era
(A) 24
(B) 32
(C) 40
(D) 48
(E) 52
Sol.:
Considere que os funcionários X e Y tinham inicialmente as quantidades a e b de
impressos, respectivamente.
1ª Transação:
Æ X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha:
Como Y tem b impressos, então X cederá a Y mais b impressos. Depois disso, Y passa a
ter 2b (=b+b) impressos, e X passa a ter a-b impressos.
2ª Transação:
Æ Y cedeu a X tantos impressos quanto X tinha:
Como X tem a-b impressos, então Y cederá a X mais a-b impressos. Depois disso, Y
passa a ter 2b–(a-b) impressos, ou seja, (3b – a) impressos. E X que tinha (a-b) impressos,
passa a ter (a-b)+(a-b), ou seja, 2(a-b) impressos.
Como após as duas transações ambos ficaram com 32 impressos, então temos as
seguintes equações:
3b – a = 32
2(a-b) = 32
Simplificando a 2ª equação, teremos:
3b – a = 32
a – b = 16
Somando membro a membro as equações, vem:
3b +a – a – b = 32 + 16
Daí: Æ 2b = 48
Æ b = 24
Substituindo b=24 na equação: a – b = 16, podemos determinar o valor de a:
a – 24 = 16
Æ a = 40 (Resposta: Alternativa C)
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11
10. (TRT 2004 FCC) Em relação aos países A, B, C, D e E que irão participar das
Olimpíadas de Atenas neste ano, quatro pessoas fizeram os seguintes
prognósticos de classificação:
João
Luís
Teresa
Célia
O
O
O
O
país
país
país
país
melhor colocado será B
melhor colocado será B ou D
melhor colocado não será D e nem C
E não será o melhor colocado
Se após as Olimpíadas for verificado que apenas duas pessoas acertaram seu próprio
prognóstico, conclui-se que o melhor colocado, entre os cinco países, foi
(A) A
(B) B
(C) C
(D) D
(E) E
Sol.:
A solução mais indicada para esta questão é considerar cada um dos países como
vencedor, e verificar quantas acertaram e quantas erraram o prognóstico.
Vamos iniciar pelo país A.
Æ Se o vencedor foi o país A quem acertou e quem errou?
De acordo com os prognósticos que cada um fez, temos os seguintes resultados:
João
Luís
Teresa
Célia
errou
errou
acertou
acertou
Houve duas pessoas que acertaram e duas pessoas que erraram o prognóstico. Isso
está de acordo com o enunciado da questão. Portanto, já descobrimos que é o vencedor das
Olimpíadas é o país A. (Resposta: Alternativa A).
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12
Um abraço forte a todos! Fiquem com Deus!
DEVER DE CASA
01. (TRT 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes
representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo
representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número
(A) 3
(B) 5
(C) 7
(D) 8
(E) 9
02.(TCE-SP 2003 FCC) Cada um dos 25 alunos de um curso de pós-graduação deve
entregar, ao final do semestre, uma monografia individual. O tema do trabalho é
escolhido pelo aluno dentre uma relação fornecida pelos professores, que consta
de 20 temas numerados de 1 a 20. Pode-se concluir que, certamente,
(A) haverá pelo menos um aluno cuja monografia abordará o tema 20.
(B) duas monografias abordarão o tema 5, mas apenas uma monografia abordará o tema 6.
(C) haverá trabalhos com temas repetidos, porém, nunca mais do que duas monografias com
o mesmo tema.
(D) cada um dos 20 temas será abordado em pelo menos um dos trabalhos.
(E) haverá pelo menos um tema dentre os 20 que será escolhido por mais de um aluno.
03.(TRT 2004 FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada
eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o
número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número
3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram
corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:
- 22 para A
- 18 para B
- 20 para C
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 15
04.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o
conjunto de todos os alunos do 1º ano de Engenharia de uma faculdade e as
outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados
nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear.
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13
Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se
tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1ºano
conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra linear. A tabela
abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:
Aluno
Cálculo 1
Cálculo 2
Álgebra linear
Paulo
aprovado
aprovado
não aprovado
Marcos não aprovado não aprovado
aprovado
Jorge
aprovado
não aprovado
aprovado
Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para
representá-los, temos
(A) Pau!o-V. Marcos-III, Jorge-I.
(B) PauIo-V. Marcos-II. Jorge-V
(C) PauIo-IV. Marcos-V, Jorge-I.
(D) PauIo-IV. Marcos-II, Jorge-III.
(E) Paufo-IV.. Marcos-V, Jorge-III.
05.(TRT 2004 FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos
números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma
dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete.
Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces
em contato não possuem quantidades de pontos iguais.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é
(A) 7
(D) 11
(B) 8
(E) 12
(C) 9
06.(TCE-SP 2003 FCC) A figura abaixo mostra uma pilha de três dados idênticos. O
número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário
(A) certamente é 1.
(B) certamente é 2.
(C) certamente é 5.
(D) pode ser 1 e pode ser 2.
(E) pode ser 5 e pode ser 6.
07.(TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre
compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas
para os plantões em quatro dias consecutivos:
Dia
12
13
14
15
Ana
Bob
Gil
Bob
Equipe de Plantão Bob
Célia
Felipe Felipe
Célia Eva
Davi
Ana
Davi Felipe Bob
Gil
Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os
médicos são
(A) Davi e Eva.
(D) Célia e Gil.
(B) Bob e Eva.
(E) Davi e Gil.
(C) Ana e Felipe.
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14
08.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos de aresta 1cm,
formando um cubo maior, de aresta 4 cm. Em seguida, cada uma das seis faces do
cubo maior é pintada. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64
cubos menores e n deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de n
para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados
não teve nenhuma de suas faces pintadas é
(A) 57 (D) 48
(B) 56
(E) 9
(C) 49
09.(TRT 2004 FCC) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas
cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida,
retira-se dessa uma, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2
das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na uma após a
retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto afirmar que
(A) ao menos uma ê branca.
(B) necessariamente uma é branca.
(C) ao menos uma é cinza.
(D) exatamente uma é cinza.
(E) todas são cinzas.
10.(TRT 2004 FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada
pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número:
Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
Pessoa II: o número é ímpar.
Pessoa III: o número é múltiplo de 5.
Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que
podem ter sido mostrados às três pessoas é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
11.(TRT 2004 FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de
pratos, um peso de 1/2 kg, um de 2kg e um de 3kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um
pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de
açúcar é
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
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15
Instruções: Para responder a próxima questão, observe o exemplo abaixo, no qual são dados
três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas.
(A) 10
(B) 12
(C) 13
(D) 15
(E) 18
O objetivo da questão é. determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro
conjunto.
No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12.
Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números
acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 =12).
Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+5 = 6; 6 + 5 = 11.
Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os
números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x.
Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa(D).
Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das
usadas no exemplo dado.
12.(TRF 2004 FCC) Considere os conjuntos de números:
Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações
efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é
correto afirmar que o número x é
(A) 9
(B) 16
(C) 20
(D) 36
(E) 40
GABARITO:
01.A 02.E 03.C 04.D 05.A 06.B 07.D
08.A
09.C
10.B
11.E
12.B
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1
AULA VINTE E DOIS: QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (1ª PARTE)
Olá, amigos!
Veremos nesta aula a solução do dever de casa da aula passada, que se refere às
questões de Raciocínio Lógico elaboradas pela FCC. Após isso, resolveremos questões variadas
da ESAF. Essas questões não trazem um assunto específico e não podem ser enquadradas em
nenhum dos tópicos já vistos neste curso. São problemas que se resolvem, muitas vezes, com
um mero e rápido raciocínio.
O cronograma das próximas aulas é o seguinte:
Æ Aula 23: Questões Variadas da ESAF (2ª parte);
Æ Aula 24: 1º Simulado;
Æ Aula 25: 2º Simulado.
Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula
passada. Adiante!
SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
01. (TRT 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes
representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo
representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número
(A) 3
(D) 8
(B) 5
(E) 9
(C) 7
Sol.:
Substituiremos os símbolos por letras, da seguinte maneira:
- O símbolo do quadrado pela letra q.
- O símbolo do círculo pela letra c.
- O símbolo do triângulo pela letra t.
- O símbolo do X pela letra x.
De acordo com a figura acima, podemos retirar os seguintes dados:
Æ A soma dos símbolos da 2ª linha é 30, então teremos:
x + q + c + c = 30 (1ª equação)
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2
Æ A soma dos símbolos da 2ª coluna é 20, então teremos:
c + q = 20 (2ª equação)
Æ A soma dos símbolos da 4ª coluna é 14, então teremos:
c + c = 14 , ou seja, c = 7
Como já achamos o valor de c, devemos substituí-lo na 2ª equação para encontrarmos
o valor de q. Faremos isso:
Æ c + q = 20
Æ 7 + q = 20
Æ q = 13
Agora, substituiremos os valores de c e de q na 1ª equação para encontrarmos o valor
de x. Assim, teremos:
Æ x + q + c + c = 30
Æ x + 13 + 7 + 7 = 30
Æ x + 27 = 30
Æx=3
(Resposta: Alternativa A)
02.(TCE-SP 2003 FCC) Cada um dos 25 alunos de um curso de pós-graduação deve
entregar, ao final do semestre, uma monografia individual. O tema do trabalho é
escolhido pelo aluno dentre uma relação fornecida pelos professores, que consta
de 20 temas numerados de 1 a 20. Pode-se concluir que, certamente,
(A) haverá pelo menos um aluno cuja monografia abordará o tema 20.
(B) duas monografias abordarão o tema 5, mas apenas uma monografia abordará o tema 6.
(C) haverá trabalhos com temas repetidos, porém, nunca mais do que duas monografias com
o mesmo tema.
(D) cada um dos 20 temas será abordado em pelo menos um dos trabalhos.
(E) haverá pelo menos um tema dentre os 20 que será escolhido por mais de um aluno.
Sol.:
Ao todo temos 25 alunos no curso de pós-graduação, e 20 temas numerados que serão
escolhidos por esses alunos. O enunciado não diz nada sobre a distribuição dos temas, como
por exemplo, se todos os alunos podem escolher o mesmo tema ou o número máximo de
alunos por tema. Só sabemos que com certeza terá mais de um aluno com o mesmo tema, já
que o número de alunos é maior que o número de temas. Daí, a resposta da questão é a
alternativa E.
03.(TRT 2004 FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada
eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o
número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número
3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabe-se que todos eleitores votaram
corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi:
- 22 para A
- 18 para B
- 20 para C
Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 15
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3
Sol.: Esta questão é parecida com a questão 10, pág. 18, da aula 20, daí procederemos,
inicialmente, de maneira semelhante a questão já vista por nós.
Cada eleitor tem que preencher uma cédula, atribuindo números aos candidatos A, B e
C. O número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a
terceira escolha. Portanto, não pode haver empates entre os candidatos numa mesma cédula.
Desta forma, num total de n cédulas, haverá n números 1 atribuídos, n números 2 atribuídos e
n números 3 atribuídos.
A soma dos números que aparecem nas n cédulas é igual a:
n.1 + n.2 + n.3
Somando, temos: n + 2n + 3n = 6n
Os números atribuídos aos candidatos foram:
- 22 para A
- 18 para B
- 20 para C
A soma destes números deve ser a mesma que obtemos anteriormente, 6n. Daí,
teremos:
6n = 22 + 18 + 20
Resolvendo, vem:
6n = 60
Æ
n = 60/6
Æ
n = 10
Portanto, o número de cédulas utilizadas foram 10, e como a cada cédula corresponde
um eleitor, então o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a 10. (Resposta:
Alternativa C)
04.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o
conjunto de todos os alunos do 1º ano de Engenharia de uma faculdade e as
outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados
nas disciplinas de Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear.
Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo2, ou seja, um aluno só pode cursar Cálculo 2 se
tiver sido aprovado em Cálculo 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1ºano
conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Cálculo 2 e Álgebra linear. A tabela
abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas:
Aluno
Cálculo 1
Cálculo 2
Álgebra linear
Paulo
aprovado
aprovado
não aprovado
Marcos
não aprovado
não aprovado
aprovado
Jorge
aprovado
não aprovado
aprovado
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4
Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para
representá-los, temos
(A) Pau!o-V. Marcos-III, Jorge-I.
(B) PauIo-V. Marcos-II. Jorge-V
(C) PauIo-IV. Marcos-V, Jorge-I.
(D) PauIo-IV. Marcos-II, Jorge-III.
(E) Paufo-IV.. Marcos-V, Jorge-III.
Sol.:
As três figuras que estão dentro do triângulo são: uma elipse, um trapézio e um
triângulo, e representam os conjuntos dos alunos que foram aprovados nas disciplinas de
Cálculo 1, Cálculo 2 e Álgebra linear. Estas três figuras poderiam ser círculos, mas a FCC optou
por figuras diferentes.
Tentaremos identificar qual é a disciplina que cada figura representa.
Como Cálculo 1 é pré-requisito para Cálculo 2, então todos os alunos que foram
aprovados em cálculo 2, também foram aprovados em cálculo 1. Daí, o conjunto dos
aprovados em Cálculo 2 está contido no (dentro do) conjunto dos aprovados em Cálculo 1. E
observe na figura dada na questão, que o triângulo está dentro da elipse, daí o triângulo
representa o conjunto dos aprovados em Cálculo 2 e a elipse representa o conjunto
do aprovados em Cálculo 1. Só sobraram o trapézio e a disciplina de Álgebra Linear, daí o
trapézio representa os aprovados em Álgebra Linear.
Na figura da questão também aparecem regiões hachuradas, que estão identificadas
através dos algarismos romanos: I, II, III, IV e V. Estas regiões têm as seguintes
representações:
- Região I: representa os alunos do 1º ano que não foram aprovados em nenhuma das
disciplinas.
- Região II: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados somente em Álgebra
Linear.
- Região III: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados em Álgebra Linear e
Cálculo I.
- Região IV: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados em Cálculo 2, e é claro em
Cálculo 1.
- Região V: representa os alunos do 1º ano que foram aprovados somente em Cálculo 1.
Jorge.
Partiremos para descobrir quais são as regiões onde se encontram Paulo, Marcos e
Da tabela fornecida na questão, temos que Paulo foi aprovado em Cálculo 1 e em
Cálculo 2, mas não em Álgebra Linear. Portanto, Paulo está na região IV.
Temos que Marcos foi aprovado somente em Álgebra Linear. Daí, Marcos está na
região II.
Quanto a Jorge, ele foi aprovado em Cálculo 1 e Álgebra Linear. Daí, Jorge está na
região III.
(Resposta: Alternativa D)
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5
05.(TRT 2004 FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos
números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma
dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete.
Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces
em contato não possuem quantidades de pontos iguais.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é
(A) 7
(D) 11
(B) 8
(E) 12
(C) 9
Sol.:
Vamos tentar descobrir as faces do primeiro dado.
O enunciado afirmou que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é
sempre igual a sete. Daí, a face oposta a face 3 é a face 4, e a face oposta a face 2 é a face
5. Resta descobrir onde estão as faces 1 e 6. Para isso, vamos observar o segundo dado.
Neste segundo dado, a face oposta a face 1, tem que ser a face 6, para que a soma
seja 7. Esta face 6 é a que está em contato com o primeiro dado. E como o enunciado informa
que as faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais, então é a face 1 do
primeiro dado que está em contato com a face 6 do segundo dado.
Portanto, as faces em contato entre os dois dados são: face 1 do primeiro dado e
face 6 do segundo dado.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é: 1 + 6 =7.
(Resposta: Alternativa A)
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6
06.(TCE-SP 2003 FCC) A figura abaixo mostra uma pilha de três dados idênticos. O
número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário
(A) certamente é 1.
(B) certamente é 2.
(C) certamente é 5.
(D) pode ser 1 e pode ser 2.
(E) pode ser 5 e pode ser 6.
Sol.:
Vamos virar o dado superior de modo que a face 3 fique com a mesma disposição dos
pontos mostrada na face 3 do dado inferior. Feito isso, teremos dois possíveis desenhos para o
dado superior:
1º) Face 6 para frente e face 2 para baixo:
face 2
2º) Face 6 para trás e face 2 para cima:
face 6
No dado inferior a face que está para frente é a face 4, portanto o segundo desenho
acima é o que corresponderá ao dado inferior. Daí, o desenho do dado inferior ficará sendo:
face 6
A questão pede o número da face do dado inferior que está em contato com o dado
intermediário, e este número já encontramos é o número 2. (Resposta: Alternativa B)
07.(TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre
compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas
para os plantões em quatro dias consecutivos:
Dia
Equipe de Plantão
12
13
14
15
Ana
Bob
Gil
Bob
Bob
Célia
Felipe
Felipe
Célia
Eva
Davi
Ana
Davi
Felipe
Bob
Gil
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7
Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os
médicos são
(A) Davi e Eva.
(D) Célia e Gil.
(B) Bob e Eva.
(E) Davi e Gil.
(C) Ana e Felipe.
Sol.:
Há somente dois médicos, e como as alternativas trazem os possíveis nomes destes
médicos, então é melhor resolvermos esta questão testando cada uma das alternativas.
Æ Teste da alternativa A) Davi e Eva.
Observe que Davi e Eva não aparecem no plantão do dia 15, e como em todo plantão
deve haver um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!
Æ Teste da alternativa B) Bob e Eva.
Observe que Bob e Eva aparecem no plantão do dia 13, e como em todo plantão deve
haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!
Æ Teste da alternativa C) Ana e Felipe.
Observe que Ana e Felipe aparecem no plantão do dia 15, e como em todo plantão deve
haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!
Æ Teste da alternativa D) Célia e Gil.
Célia aparece nos plantões do dia 12 e dia 13. E Gil aparece nos plantões do dia 14 e
dia 15. Então esta alternativa deve estar correta, mas vamos prosseguir a análise da
última alternativa.
Æ Teste da alternativa E) Davi e Gil.
Observe que Davi e Gil aparecem no plantão do dia 14, e como em todo plantão deve
haver apenas um médico, então ambos não podem ser médicos. Alternativa descartada!
(Resposta: Alternativa D)
08.(TCE PIAUÍ 2005 FCC) Juntam-se 64 cubos de madeira idênticos de aresta 1cm,
formando um cubo maior, de aresta 4 cm. Em seguida, cada uma das seis faces do
cubo maior é pintada. Após a secagem da tinta, separam-se novamente os 64
cubos menores e k deles são escolhidos, de maneira aleatória. O menor valor de k
para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados
não teve nenhuma de suas faces pintadas é
(A) 57
(D) 48
(B) 56
(E) 9
(C) 49
Sol.:
A solução desta questão depende de encontrarmos o número de cubos de aresta 1 cm
que serão pintados. Sabemos que o número total de cubos de aresta 1 cm é 64. E é claro os
cubos de aresta 1 cm que serão pintados são os que têm face na área externa do cubo
maior e os cubos internos não serão pintados. O total dos cubos pintados pode ser obtido
subtraindo-se o total de cubos pelo número de cubos internos.
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8
O número de cubos internos será obtido através de uma fórmula que veremos adiante.
Para chegarmos a essa fórmula, primeiramente veremos o seguinte exemplo abaixo.
Considere um quadrado maior formado por 6 pequenos quadrados em cada um dos
seus lados, conforme desenho abaixo. Qual é o total de pequenos quadrados? Acho que
todos vão responder corretamente que basta multiplicar o número de quadrados que há na
altura pelo número de quadrados que há na largura, ou seja:
6 x 6 = 62 = 36 pequenos quadrados
Generalizando: se um quadrado maior é formado por n pequenos quadrados em cada
um dos seus lados, então o total de pequenos quadrados será:
nxn = n2
E qual é o número de quadrados internos? Os quadrados internos são mostrados na cor
cinza no desenho abaixo.
4 pequenos quadrados
4 pequenos quadrados
Os pequenos quadrados internos formam outro quadrado, mas agora com 4 (= 6-2)
pequenos quadrados em cada um dos seus lados. Assim, o total de quadrados internos será
igual a:
(6-2) x (6-2) = (6-2)2 = 42 = 16 pequenos quadrados
Generalizando: se um quadrado maior é formado por n pequenos quadrados em cada
um dos seus lados, então o total de pequenos quadrados será:
(n-2)x(n-2) = (n-2)2
Utilizaremos esse mesmo raciocínio para descobrirmos o número de pequenos cubos
internos que há em um cubo maior.
Se um cubo maior é formado por n pequenos cubos em suas arestas (altura, largura e
profundidade), então qual é o total de pequenos cubos que teremos? A resposta é fácil,
basta fazer: n3.
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9
E o número de pequenos cubos internos? Pelo mesmo raciocínio que usamos para o
quadrado, a resposta será: (n-2)3.
Aconselho a vocês a memorizarem o resultado acima, pois este tipo de questão é
comum em provas da FCC.
Voltando a nossa questão, o valor de n é 4, pois são quatro pequenos cubos em cada
aresta do cubo maior, totalizando 64 (=43) pequenos cubos.
O número de cubos internos é igual a:
(n-2)3 = (4-2)3 = 8
Assim, o número de cubos externos é igual a 56 (= 64–8). Portanto, 56 cubos terão
pelo menos uma de suas faces pintadas.
Para que se possa afirmar com certeza que pelo menos um dos cubos sorteados não
teve nenhuma de suas faces pintadas, devemos sortear no mínimo 57 (=56+1) pequenos
cubos.
(Resposta: Alternativa A)
09.(TRT 2004 FCC) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas
cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida,
retira-se dessa urna, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2
das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a
retirada. Em relação às bolas que restaram na urna, é correto afirmar que
(A) ao menos uma ê branca.
(B) necessariamente uma é branca.
(C) ao menos uma é cinza.
(D) exatamente uma é cinza.
(E) todas são cinzas.
Sol.:
Antes de retirarmos as cinco bolas, temos na urna um total de 7 bolas: 2 bolas
brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, e mais 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza.
Das 5 bolas retiradas da urna, duas delas eram brancas e pelo menos uma era preta.
Mesmo que as outras duas bolas retiradas sejam cinzas, restará uma bola cinza na urna,
portanto a resposta é a letra C.
10.(TRT 2004 FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada
pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número:
Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
Pessoa II: o número é ímpar.
Pessoa III: o número é múltiplo de 5.
Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que
podem ter sido mostrados às três pessoas é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
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10
Sol.:
Somente um dos números de 1 a 10 foi mostrado as três pessoas, mas não sabemos
qual. Testaremos um por um para encontrarmos os possíveis números mostrados. A cada teste
analisaremos se as pessoas dizem a verdade ou mentem. Se no teste houver duas pessoas
dizendo a verdade e uma mentindo, então o teste é válido, ou seja, o número pode ter sido
mostrado as três pessoas, senão descartaremos o número testado.
Æ Considere que o número mostrado é o 1.
Æ Considere que o número mostrado é o 6.
- A pessoa I estará dizendo a verdade.
- A pessoa I estará mentindo.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
- A pessoa II estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
Teste válido!
Teste inválido!
Æ Considere que o número mostrado é o 2.
Æ Considere que o número mostrado é o 7.
- A pessoa I estará dizendo a verdade.
- A pessoa I estará dizendo a verdade.
- A pessoa II estará mentindo.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
- A pessoa III estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
Teste inválido!
Teste válido!
Æ Considere que o número mostrado é o 3.
Æ Considere que o número mostrado é o 8.
- A pessoa I estará dizendo a verdade.
- A pessoa I estará mentindo.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
- A pessoa II estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
Teste válido!
Teste inválido!
Æ Considere que o número mostrado é o 4.
Æ Considere que o número mostrado é o 9.
- A pessoa I estará mentindo.
- A pessoa I estará mentindo.
- A pessoa II estará mentindo.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
- A pessoa III estará mentindo.
- A pessoa III estará mentindo.
Teste inválido!
Teste inválido!
Æ Considere que o número mostrado é o 5.
Æ Considere que o número mostrado é o 10.
- A pessoa I estará dizendo a verdade.
- A pessoa I estará mentindo.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
- A pessoa II estará mentindo.
- A pessoa III estará dizendo a verdade.
- A pessoa II estará dizendo a verdade.
Teste inválido!
Teste inválido!
Os testes foram válidos apenas para os números 1, 3 e 5, portanto há três números
distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas
(Resposta: Alternativa B)
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11
11.(TRT 2004 FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de
pratos, um peso de 1/2 kg, um de 2kg e um de 3kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um
pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de
açúcar é
(A) 6
(B) 7
(C) 8
(D) 9
(E) 10
Sol.:
Faremos várias pesagens usando a balança, os pesos e o pacote de açúcar, para que
possamos descobrir quantas possibilidades diferentes pode haver para o peso desse pacote de
açúcar.
Æ 1ª pesagem:
Açúcar
1/2
O pacote de açúcar pesa 1/2 kg.
Æ 2ª pesagem:
Açúcar
2
O pacote de açúcar pesa 2 kg.
Æ 3ª pesagem:
Açúcar
3
O pacote de açúcar pesa 3 kg.
Æ 4ª pesagem:
1/2
2
Açúcar
O pacote de açúcar pesa 2,5 kg (=2+1/2).
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12
Æ 5ª pesagem:
1/2
Açúcar
3
O pacote de açúcar pesa 3,5 kg (=3+1/2).
Æ 6ª pesagem:
2
Açúcar
3
O pacote de açúcar pesa 5 kg (=2+3).
Æ 7ª pesagem:
1/2
2
Açúcar
3
O pacote de açúcar pesa 5,5 kg (=2+3+0,5).
Æ 8ª pesagem:
2
1/2
Açúcar
O prato da esquerda tem o peso de 2 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do
pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a:
1,5 kg (=2–1/2).
Æ 9ª pesagem:
3
1/2
Açúcar
O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do
pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a:
2,5 kg (=3–1/2). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 4ª
pesagem.
Æ 10ª pesagem:
3
2
Açúcar
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13
O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do
pacote de açúcar com o peso de 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual a: 1 kg
(=3–2).
Æ 11ª pesagem:
1/2
2
3
Açúcar
Da forma que estão distribuídos os pesos acima, a balança não se equilibrará, pois o
prato da direita tem um peso maior que o prato da esquerda.
Æ 12ª pesagem:
1/2
3
2
Açúcar
O prato da esquerda tem o peso de 3,5 kg (=3+1/2), e o prato da direita tem a soma
do peso do pacote de açúcar com o peso de 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual
a: 1,5 kg (=3,5–2). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 8ª
pesagem.
Æ 13ª pesagem:
2
3
1/2
Açúcar
O prato da esquerda tem o peso de 5 kg (=3+2), e o prato da direita tem a soma do
peso do pacote de açúcar com o peso de 1/2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual
a: 4,5 kg (=5–1/2).
Æ 14ª pesagem:
1/2
3
2
Açúcar
O prato da esquerda tem o peso de 3 kg, e o prato da direita tem a soma do peso do
pacote de açúcar com os pesos de 1/2kg e 2kg. Assim, o peso do pacote de açúcar será igual
a: 0,5 kg (=3–2,5). Esse valor para o peso do pacote de açúcar já havia sido achado na 1ª
pesagem.
Os possíveis valores para o peso do pacote de açúcar que encontramos acima são:
1/2kg, 2kg, 3kg, 2,5kg, 3,5kg, 5kg, 5,5kg, 1,5kg, 1kg, 4,5kg
(Resposta: Alternativa E)
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14
Instruções: Para responder a próxima questão, observe o exemplo abaixo, no qual são dados
três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas.
(A) 10
(B) 12
(C) 13
(D) 15
(E) 18
O objetivo da questão é. determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro
conjunto.
No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12.
Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números
acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 =12).
Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+5 = 6; 6 + 5 = 11.
Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os
números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x.
Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa(D).
Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das
usadas no exemplo dado.
12.(TRF 2004 FCC) Considere os conjuntos de números:
Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações
efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é
correto afirmar que o número x é
(A) 9
(B) 16
(C) 20
(D) 36
(E) 40
Sol.:
Os números que estão abaixo dos dois primeiros traços são: 25 e 64. Estes dois
números são quadrados perfeitos, ou seja, 25=52 e 64=82. Isto sugere que o x também será
um quadrado perfeito de algum valor.
E observe que subtraindo os dois números que estão acima do primeiro traço,
obteremos: 5 (=8–3), e subtraindo os dois números que estão acima do segundo traço,
obteremos: 8 (=10–2). Daí, concluímos que o valor que está abaixo do traço é obtido pelo
quadrado da diferença dos dois números que estão acima do traço. Assim, o valor x que está
abaixo do terceiro traço será igual a:
(7-3)2 = 42 = 16 (Resposta: Alternativa B)
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15
13. (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de
1932. Nessa data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua
idade era igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu
nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando seu avô, que igualmente fazia
aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade.
Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as idades de
meu pai e desse meu bisavô, em anos, é
(A) 40
(B) 42
(C) 45
(D) 47
(E) 50
Sol.:
Podemos encontrar a idade de uma pessoa em um certo ano, subtraindo este ano pelo
ano de seu nascimento. Isso é claro! Faremos esse procedimento para encontrar as idades do
Pai e do Avô.
Considere que o Pai nasceu no ano de 19XY. Então a idade do Pai no ano de 1932
será igual ao resultado da seguinte subtração: 1932–19XY.
É dito no enunciado da questão que a idade do Pai no ano de 1932 é igual ao número
formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Os dois últimos
algarismos do ano de nascimento do Pai é XY. Já havíamos visto que a idade do Pai neste
mesmo ano de 1932 era dada pela subtração 1932–19XY, então teremos a seguinte
igualdade:
1932 – 19XY = XY
Resolvendo, vem:
Æ (1900 + 32) – (1900 + XY) = XY
Æ 1900 + 32 – 1900 – XY = XY
Æ 32 – XY = XY
Æ 32 = 2XY
Æ XY = 32/2
Æ XY = 16
Acabamos de encontrar a idade do Pai: 16 anos.
Passemos ao cálculo da idade do Avô.
Provavelmente o Avô nasceu no ano de 18ZW. Então a idade do Avô no ano de 1932
será igual ao resultado da seguinte subtração: 1932–18ZW.
É dito no enunciado da questão que a idade do Avô no ano de 1932 é igual ao número
formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Os dois últimos
algarismos do ano de nascimento do Avô é ZW. Já havíamos visto que a idade do Avô, neste
mesmo ano de 1932, era dada pela subtração 1932–18ZW, então teremos a seguinte
igualdade:
1932 – 18ZW = ZW
Resolvendo, vem:
Æ (1900 + 32) – (1800 + ZW) = ZW
Æ 1900 + 32 – 1800 – ZW = ZW
Æ 132 – ZW = ZW
Æ 132 = 2ZW
Æ ZW = 132/2
Æ ZW = 66
Acabamos de encontrar a idade do Avô: 66 anos.
A questão pede a diferença entre as idades dos dois, então teremos:
66 – 16 = 50 (Resposta: Alternativa E)
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16
14. (TCE-SP 2005 FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir
de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.
O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é
(A) 9
(B) 18
(C) 27
(D) 36
(E) 48
Sol.:
O cubo da figura acima tem 3 pequenos cubos em cada aresta (altura, largura e
comprimento), assim o total de pequenos cubos é igual a 33, ou seja, igual a 27.
Juntando 8 pequenos cubos podemos formar um outro cubo com 2 pequenos cubos em
cada aresta, conforme mostrado abaixo.
Agora temos que observar o cubo fornecido na questão, e tentar visualizar a quantidade
de cubos formados com esses pequenos 8 cubos. Podemos visualizar 4 desses cubos na parte
inferior e mais 4 desses cubos na parte superior, totalizando 8 cubos.
O cubo formado com os 27 pequenos cubos, também é um cubo, e deve ser
considerado na contagem dos cubos visualizados.
Concluindo, o número de cubos que podem ser visualizados na figura da questão é:
27 + 8 + 1 = 36 (Resposta: Alternativa D)
hoje.
Passaremos agora a resolução de questões variadas da ESAF, que é o tópico da aula de
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17
QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (1ª PARTE)
01.(Técnico SERPRO 2001 ESAF) A receita bruta total de uma empresa é
diretamente proporcional ao quadrado da terça parte das quantidades vendidas.
Sabe-se que quando são vendidas 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40.
Assim, quando se vender 3 unidades, a receita bruta será igual a:
a) 10
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
Sol.:
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando, variando uma delas, a
outra varia no mesmo sentido que a primeira, e na mesma proporção. Em virtude disso, a
razão entre essas grandezas é constante.
Designando por R a receita bruta da empresa e por Q as quantidades vendidas, as duas
grandezas trazidas no enunciado da questão são: a receita bruta da empresa - R, e o
quadrado da terça parte das quantidades vendidas - (Q/3)2.
Como já dissemos a razão entre grandezas diretamente proporcionais é constante, daí
teremos:
=k
, k é uma constante.
R
(Q/3)2
Segundo o enunciado quando se vende 6 unidades, a receita total bruta é igual a 40, ou
seja, quando Q=6, então R=40. Substituiremos esses valores na equação acima para
descobrirmos o valor da constante k.
=k
40
(6/3)2
Resolvendo, vem:
k = 40
4
Æ k = 10
Assim, a equação que relaciona as quantidades vendidas com a receita bruta da
empresa é dada por:
= 10
R
(Q/3)2
Agora, já temos condições de calcular a receita bruta quando se vende 3 unidades,
basta substituirmos o valor de Q por 3 na equação acima:
= 10
R
(3/3)2
Resolvendo, vem:
= 10
R
(1)2
Æ R = 10 (Resposta: Alternativa A)
02.(AFC-STN-2000 ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é
inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando
são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem
produzidas 12 unidades, o custo total será igual a
a) 625/25
b) 625/24
c) 625/16
d) 625/15
e) 625/12
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18
Sol.:
Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando, variando uma delas, a
outra varia em sentido contrário à primeira. O produto dessas grandezas é uma constante.
Designando por C o custo total e por Q as quantidades produzidas, as duas grandezas
trazidas no enunciado da questão são: o custo total - C, e o quadrado das quantidades
produzidas - Q2.
Como já dissemos o produto entre grandezas inversamente proporcionais é constante,
daí teremos:
, k é uma constante.
C x Q2 = k
Segundo o enunciado quando são produzidas 5 unidades, o custo total é 225, ou seja,
quando Q=5, então C=225. Substituiremos esses valores na equação acima para descobrirmos
o valor da constante k.
225 x 52 = k
Resolvendo, vem:
por:
k = 25 x 225
Æ k = 5625
Assim, a equação que relaciona as quantidades produzidas com o custo total é dada
C x Q2 = 5625
Agora, já temos condições de calcular o custo total quando são produzidas 12 unidades,
basta substituirmos o valor de Q por 12 na equação acima:
C x 122 = 5625
Resolvendo, vem:
C=
5625 = 25 x 225 =
144
144
25 x 25 = 625
16
16
(Resposta: Alternativa C)
03.(AFC 2002 ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C.
Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão
(B-A)/(C-B) é igual a:
a) A / A
b) A / B
c) A / C
d) B / C
e) –(B/B)
Sol.:
A média aritmética de um conjunto de valores é o resultado da divisão da soma desses
valores pela quantidade de valores. Assim, a média aritmética entre A e C é o resultado da
divisão da soma (A+C) pela quantidade de valores que são dois, ou seja: (A+C)/2. E como é
dito no enunciado que B é igual a média aritmética entre A e C, então teremos:
B = (A+C)
2
O valor da razão (B-A)/(C-B) pode ser obtido substituindo-se o valor de B por
(A+C)/2. Realizando a substituição, teremos:
B–A =
C–B
(A+C) – A
2
C – (A+C)
2
=
A + C – 2A
2
2C – A – C
2
= C–A =1
C–A
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19
O valor da razão é igual a 1. Alguma das alternativas apresenta este resultado? À
primeira vista não há alternativa com valor 1, mas se observarmos mais atentamente a
alternativa A, concluiremos que ela também é igual a 1, pois é a razão de dois valores iguais.
(Resposta: Alternativa A)
04.(MPOG 2001 ESAF) Se -5 < 5x + 1 < 5, então 1 - x está entre:
a) - 6/5 e - 4/5
b) - 11/5 e - 1/5
c) 4/5 e 6/5
d) - 4/5 e 6/5
e) 1/5 e 11/5
Sol.:
A expressão -5 < 5x + 1 < 5 pode ser decomposta em duas inequações:
1ª) -5 < 5x + 1
2ª) 5x + 1 < 5
Resolveremos a primeira inequação: -5 < 5x + 1 .
Resolvendo, vem:
Æ -5 - 1 < 5x
Æ -6 < 5x
Æ 5x > -6
Æ x > -6/5
Encontramos que x > -6/5, a partir disso descobriremos a variação de 1-x.
Procederemos aos seguintes passos:
1º passo) Multiplicar por -1 ambos os lados da inequação x > -6/5, para que apareça o
termo –x.
Lembrem-se que quando se multiplica uma inequação por -1 o sinal de maior troca por
menor, e vice-versa.
(-1) . x < -6/5 . (-1)
Resolvendo, vem:
- x < 6/5
2º passo) Somar 1 a ambos os lados da inequação - x < 6/5, para que apareça o termo 1–x.
+1 - x < 6/5 +1
Resolvendo, vem:
1 - x < 11/5
Com este resultado já podemos marcar a alternativa E.
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20
05.(Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) Uma curiosa máquina tem duas teclas, A
e B, e um visor no qual aparece um número inteiro x. Quando se aperta a tecla A,
o número do visor é substituído por 2x + 1. Quando se aperta a tecla B, o número
do visor é substituído por 3x – 1. Se no visor está o número 5, o maior número de
dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A
e B, é
a) 87.
c) 92.
e) 96.
b) 95.
d) 85.
Sol.:
Para ilustrar a solução, faremos o seguinte desenho da curiosa máquina:
x
A
B
De acordo com o enunciado, a máquina efetua as seguintes operações:
Æ Se clicar em A :
O valor mostrado no visor, x, transforma-se em 2x+1 .
Æ Se clicar em B :
O valor mostrado no visor, x, transforma-se em 3x-1 .
Inicialmente, temos no visor o número 5, e a medida que pressionarmos as teclas A e
B, o valor que aparece no visor se modificará.
Se pressionarmos a tecla A o valor 5 mostrado inicialmente no visor será modificado
para o valor 11 (= 2.5+1). Mas em vez de pressionarmos a tecla A, pressionarmos a tecla B,
o valor que aparecerá no visor é 14 (= 3.5-1). Continuando a pressionar as teclas A e B o
valor do visor se modificará conforme mostrado no diagrama de árvore abaixo.
A
A
23
A
A
11 B
32
5
B
14
A
B
29
B
A
B
A
B
41 A
B
47
B
95
--
68
65
95
59
86
83
--
Como a questão deseja o maior número de dois algarismos que se pode obter,
apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, então se deve fazer o desenho do diagrama
de árvore até encontrarmos este número.
Daí, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer
seqüência das teclas A e B, é 95.
(Resposta: Alternativa B)
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21
06.(Técnico MPU Administrativa 2004 ESAF) A operação ∇x é definida como o triplo
do cubo de x, e a operação Ωx é definida como o inverso de x. Assim, o valor da
expressão
é igual a:
a) 15.
b) 20.
c) 25.
Sol.:
d) 45.
e) 30.
O enunciado da questão afirma que:
∇x = 3( x) 3 e
1
Ωx =
x
Vamos calcular cada uma das partes da expressão fornecida no enunciado da questão:
∇3 2 / 3 = 3(3 2 / 3 ) 3 = 3 ⋅ 3 2 = 27
1
Ω1 2 =
=2
12
Substituindo estes resultados na seguinte expressão fornecida no enunciado:
teremos:
27 −
( 2)
2
= 27 − 2 = 25
(Resposta: Alternativa C)
DEVER DE CASA
01.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) A operação Å x é definida como o dobro do quadrado
de x. Assim, o valor da expressão Å 21/2 - Å [ 1Å 2 ] é igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
02.(Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) A operação ∆x é definida como o dobro do
quadrado de x. Assim, o valor da expressão ∆1/21/2 + ∆[1∆2] é igual a:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
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22
03.(ANEEL 2004 ESAF) A solução da inequação, 2x – 7 + |x + 1| ≥ 0, em R, onde R é
o conjunto dos números reais, é dada por
a) S = {x ∈ R | x ≤ 1}
b) S = {x ∈ R | x ≥ 0}
c) S = {x ∈ R | x ≤ 2}
d) S = {x ∈ R | x ≤ 0 }
e) S = {x ∈ R | x ≥ 2}
04.(AFCE TCU 99 ESAF) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total
de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os
cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o
número total de vagas da escola é:
a)160
b) 164
c) 168
d) 172
05.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais
velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra.
Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o
número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
06.(MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez
que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando
sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e
Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o
número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
07.(TCE-RN 2000 ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma
praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah,
mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a
cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto,
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
08.(Analista SERPRO 2001 ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum
dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a
Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir,
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00
tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três
meninas possuem juntas é igual a:
a) R$ 214,00
d) R$ 282,00
b) R$ 252,00
e) R$ 296,00
c) R$ 278,00
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1
AULA VINTE E TRÊS: QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (2ª PARTE)
Olá, amigos!
Veremos nesta aula a solução do dever de casa da aula passada, que se refere às
questões variadas de provas passadas elaboradas pela ESAF. E a aula de hoje é a continuação
da aula passada, resolveremos mais questões.
Como a nossa próxima aula será o primeiro simulado, então não deixaremos dever de
casa na aula de hoje. Queremos que vocês se concentrem nos simulados.
O cronograma das próximas aulas é o seguinte:
Æ Aula 24: 1º Simulado;
Æ Aula 25: 2º Simulado.
Pois bem! Iniciemos com a resolução do dever de casa que estava pendente da aula
passada. Adiante!
SOLUÇÃO DO DEVER DE CASA
01.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) A operação Åx é definida como o dobro do quadrado
de x. Assim, o valor da expressão Å21/2 - Å[1Å2] é igual a
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
Sol.:
O enunciado da questão afirma que a operação Åx é definida como o dobro do quadrado
de x. Desta forma, a operação Åx pode ser escrita como:
Åx = 2(x)2
Para encontrarmos o valor da expressão Å21/2 - Å[1Å2], procederemos, primeiramente,
ao cálculo do valor de Å21/2.
Æ Cálculo do valor de Å21/2 :
Da definição da operação Å, temos que: Åx = 2(x)2, daí:
Æ Å21/2 = 2(21/2)2
Æ Å21/2 = 2(2)2/2
Æ Å21/2 = 2(2)
Æ Å21/2 = 4
Æ Cálculo do valor de Å[1Å2]:
O valor dentro do colchete é igual a 1, pois 1 elevado a qualquer número é igual a 1.
Desta forma, o termo Å[1Å2] é igual ao termo Å[1], ou simplesmente Å1.
Æ Å1 = 2(1)2
Æ Å1 = 2
, ou seja, Å[1Å2] = Å[1] = 2
Substituindo estes resultados na expressão fornecida no enunciado, teremos:
Å21/2 - Å[1Å2] = 4 – 2 = 2 (Resposta: Alternativa C)
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2
02.(Oficial de Chancelaria 2002 ESAF) A operação ∆x é definida como o dobro do
quadrado de x. Assim, o valor da expressão ∆1/21/2 + ∆[1∆2] é igual a:
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
Sol.:
Esta questão é parecidíssima com a anterior. Há questões que se repetem ao longo dos
anos, por isso é muito importante que resolvamos muitas questões passadas de concursos.
O enunciado da questão afirma que a operação ∆x é definida como o dobro do
quadrado de x. Desta forma, a operação ∆x pode ser escrita como:
∆x = 2(x)2
Para encontrarmos o valor da expressão
primeiramente, ao cálculo do valor de ∆1/21/2.
∆1/21/2+∆[1∆2],
procederemos,
Æ Cálculo do valor de ∆1/21/2:
Da definição da operação ∆, temos que: ∆x = 2(x)2, daí:
Æ Å1/21/2 = 2(1/21/2)2
Æ Å21/2 = 2(1/2)2/2
Æ Å21/2 = 2(1/2)
Æ Å21/2 = 1
Æ Cálculo do valor de ∆[1∆2]:
O valor dentro do colchete é igual a 1, pois 1 elevado a qualquer número é igual a 1.
Desta forma, o termo ∆[1Å2] é igual ao termo ∆[1], ou simplesmente ∆1.
Æ ∆1 = 2(1)2
Æ ∆1 = 2
, ou seja, ∆[1Å2] = ∆[1] = 2
Substituindo estes resultados na expressão fornecida no enunciado, teremos:
∆1/21/2 + ∆[1∆2] = 1 + 2 = 3 (Resposta: Alternativa C)
03.(ANEEL 2004 ESAF) A solução da inequação, 2x – 7 + |x + 1| ≥ 0, em R, onde R é
o conjunto dos números reais, é dada por
a) S = {x ∈ R | x ≤ 1}
b) S = {x ∈ R | x ≥ 0}
c) S = {x ∈ R | x ≤ 2}
d) S = {x ∈ R | x ≤ 0 }
e) S = {x ∈ R | x ≥ 2}
Sol.:
Para resolvermos esta questão é melhor testarmos as alternativas, senão teremos que
saber como se resolve uma equação modular, e aí acho que pode ficar mais difícil para muita
gente.
O valor de x será substituído por números, então na inequação colocaremos o x na cor
azul para destacá-lo:
2x – 7 + |x + 1| ≥ 0
Æ Teste da Alternativa A:
A alternativa A diz que qualquer valor menor ou igual a 1 satisfaz a inequação do
enunciado. Vamos testar o valor 1:
Æ 2.1 – 7 + |1 + 1| ≥ 0
Æ 2 – 7 + |2| ≥ 0
Æ–5+2≥0
Æ–3≥0
(ÆAlternativa Errada!)
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3
Æ Teste da Alternativa B:
A alternativa B diz que qualquer valor maior ou igual a 0 satisfaz a inequação do
enunciado. Vamos testar o valor 0:
Æ 2.0 – 7 + |0 + 1| ≥ 0
Æ 0 – 7 + |1| ≥ 0
Æ–7+1≥0
Æ–6≥0
(ÆAlternativa Errada!)
Æ Teste da Alternativa C:
A alternativa C diz que qualquer valor menor ou igual a 2 satisfaz a inequação do
enunciado. Isso não é verdade, pois nos dois testes anteriores, o valor 1 e o valor 0 não foram
satisfatórios. (ÆAlternativa Errada!)
Æ Teste da Alternativa D:
A alternativa D diz que qualquer valor menor ou igual a 0 satisfaz a inequação do
enunciado. Isso não é verdade, pois no teste da alternativa B o valor 0 não satisfez a
inequação. (ÆAlternativa Errada!)
Æ Teste da Alternativa E
Só pode ser esta alternativa! Deixaremos para vocês a tarefa de testar alguns valores
maiores ou iguais a 2 na inequação.
(Resposta: Alternativa E)
04.(AFCE TCU 99 ESAF) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total
de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os
cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o
número total de vagas da escola é:
a) 160
b) 164
c) 168
d) 172
Sol.:
Designaremos por N o número total de vagas na escola de música. E como 1/4 do total
de vagas é destinado para o curso de violino, então este curso terá N/4 vagas. Dessas vagas,
1/8 são destinadas para o turno diurno, então o curso de violino diurno terá 1/8x(N/4)=N/32
vagas.
Em suma:
Æ Total de vagas = N
Æ Total de vagas do curso de violino = N/4
Æ Total de vagas do curso de violino diurno = N/32
Vocês concordam que o número de vagas em qualquer curso, seja ele de manhã, de
tarde ou de noite, sempre será um número inteiro? É claro que sim. E é a partir deste fato
que encontraremos a alternativa correta.
O total de vagas do curso de violino diurno é N/32, e este valor deve ser inteiro. Para
que aconteça isso, o total de vagas N deve ser divisível por 32. A única alternativa que traz
um número que é divisível por 32 é a alternativa A.
05.(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Uma herança constituída de barras de ouro foi
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais
velha, recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra.
Coube a Camile o restante da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o
número de barras de ouro que Ana recebeu foi:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
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4
Sol.: Esta questão pode ser resolvida de diversas maneiras, por exemplo, poderíamos
chamar de N o total de barras de ouro e depois sair distribuindo as barras de ouro entre as
irmãs, e no final teríamos uma equação do 1º grau onde encontraríamos o valor de N.
Também, podemos testar as alternativas, e desta forma encontraremos o resultado facilmente.
Mas optaremos pela seguinte maneira: a partir do valor que restou para Camile, desfaremos
as distribuições das barras de ouro até chegarmos ao valor total de barras.
Número de barras que Camile recebeu: (1+1/2).
Se somarmos ao número acima a meia barra que foi dada a Beatriz, ficaremos com:
2 barras
O dobro desse valor é igual a 4 barras, e esta é a quantidade de barras de ouro que
restou após a Ana ter recebido as suas barras.
Somando ao valor de 4 barras a meia barra que Ana recebeu, ficaremos com:
4 barras e meia.
O dobro desse valor é igual a 9 barras, e esta é a quantidade de barras de ouro da
herança.
Após descobrirmos que o número de barras de ouro da herança é de 9 barras, já temos
condições de encontrar o número de barras que Ana recebeu.
Ana recebeu a metade das barras de ouro, e mais meia barra. Daí, o número de barras
que Ana recebeu é igual a:
9/2 + 1/2 = 10/2 = 5 barras (Resposta: Alternativa E)
06.(MPOG 2003 ESAF) Ana, Bia e Cátia disputaram um torneio de tênis. Cada vez
que uma jogadora perdia, era substituída pela jogadora que estava esperando
sua vez de jogar. Ao final do torneio verificou-se que Ana venceu 12 partidas e
Bia venceu 21 partidas. Sabendo-se que Cátia não jogou a partida inicial, o
número de vezes em que Ana e Bia se enfrentaram foi:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
Sol.:
Criaremos uma possível situação de partidas, referente ao torneio de tênis, em que
Cátia não jogue a partida inicial, e em que Ana vença as 12 primeiras partidas e Bia as 21
partidas seguintes.
Ana x Bia
Æ Ana vence sua 1ª partida
Ana x Cátia
Æ Ana vence sua 2ª partida
.
.
Ana e Bia se
.
.
enfrentam
.
.
seis vezes
Ana x Bia
Æ Ana vence sua 11ª partida
Ana x Cátia
Æ Ana vence sua 12ª partida
Ana x Bia
Cátia x Bia
.
.
.
Ana x Bia
Cátia x Bia
Ana x Bia
Æ Ana perde e Bia vence sua 1ª partida
Æ Bia vence sua 2ª partida
.
.
.
Æ Ana perde e Bia vence sua 19ª partida
Æ Bia vence sua 20ª partida
Æ Bia vence sua 21ª partida
Cátia x Bia
.
.
.
Æ Cátia vence uma partida
.
.
.
Ana e Bia se
enfrentam
onze vezes
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5
A situação de partidas criada acima se encaixa perfeitamente nos dados fornecidos no
enunciado. Poderíamos também iniciar as partidas acima com a Bia vencendo.
O total de partidas em que Ana e Bia se enfrentam é igual a:
6 + 11 = 17 vezes (Resposta: Alternativa D)
07.(TCE-RN 2000 ESAF) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma
praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah,
mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a
cada um deles R$ 6,00”. O número de mendigos era, portanto,
a) 5
d) 8
b) 6
e) 9
c) 7
Sol.:
Designaremos por N o número de mendigos na praça, e por Q a quantia que o homem
caridoso dispõe.
Quando ele distribui 5,00 reais a cada um dos N mendigos, o total em dinheiro
distribuído será igual a: 5N reais. E como sobraram 3,00 reais, isso significa que a quantia
que ele dispunha era igual a: (5N+3) reais. Daqui, tiramos a seguinte equação:
5N+3 = Q (1ª equação)
Mas se ele tivesse 5,00 reais a mais no bolso, ou seja, a quantia de Q+5 reais, ele
poderia distribuir 6,00 reais a cada um dos N mendigos. O total em dinheiro distribuído seria
igual a: 6N reais, e não restaria nada. Daqui, tiramos a seguinte equação:
6N = Q+5 (2ª equação)
De posse dessas duas equações, podemos encontrar o número N de mendigos.
Substituiremos o valor de Q dado na 1ª equação, na 2ª equação, teremos:
6N = (5N+3) + 5
Resolvendo, vem:
N = 8 (Resposta: Alternativa D)
08.(Analista SERPRO 2001 ESAF) Três meninas, cada uma delas com algum
dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a
Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. A seguir,
Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que
possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente
para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00
tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três
meninas possuem juntas é igual a:
a) R$ 214,00
d) R$ 282,00
b) R$ 252,00
e) R$ 296,00
c) R$ 278,00
Sol.:
Consideremos as seguintes quantias iniciais para as três meninas:
- Alice: a reais.
- Bela: b reais.
- Cátia: 36,00 reais (informado no enunciado).
Faremos agora a distribuição de dinheiro, conforme o enunciado.
Æ Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui.
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6
- Bela: ficará com 2b reais.
- Cátia: ficará com 72,00 (=2x36,00) reais.
- Alice: deu b reais à Bela e 36,00 reais à Cátia, e como ela tinha a reais, então restará
à ela: a–b–36 reais.
Æ Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.
- Cátia: ficará com 144,00 (=2x72,00) reais.
- Alice: ficará com 2(a–b–36) reais, ou seja, 2a–2b–72 reais.
- Bela: deu 72,00 reais à Cátia e (a–b–36) reais à Alice, e como ela tinha 2b reais,
então restará à ela: 2b–72–(a–b–36) reais, ou seja, a quantia de 3b–36–a reais.
Æ Cátia dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui.
- Alice: ficará com 2(2a–2b–72) reais.
- Bela: ficará com 2(3b–36–a) reais.
- Cátia: deu (2a–2b–72) reais à Alice e (3b–36–a) reais à Bela, e como ela tinha 144
reais, então restará à ela: 144–(2a–2b–72)–(3b–36–a) reais.
Como a questão informou que Cátia terminou com 36,00 reais, então teremos a seguinte
igualdade:
144–(2a–2b–72)–(3b–36–a) = 36,00
Simplificando, vem:
Æ 144–2a+2b+72–3b+36+a = 36
Æ – a – b = –216
Æ a + b = 216
A quantia total que as três meninas possuem juntas é a mesma tanto no início da
distribuição como no final da distribuição, e é igual a:
a+b+36 = 216+36 = 252 reais (Resposta: Alternativa B)
Passaremos agora a resolução de mais algumas questões variadas da ESAF, que é o
tópico da aula de hoje.
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7
QUESTÕES VARIADAS DA ESAF (2ª PARTE)
01.(ANEEL 2004 ESAF) Em um grupo de 30 crianças, 16 têm olhos azuis e 20
estudam canto. O número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e
estudam canto é
a) exatamente 16.
b) no mínimo 6.
c) exatamente 10.
d) no máximo 6.
e) exatamente 6.
Sol.:
Formaremos dois conjuntos:
1º) O conjunto das crianças de olhos azuis.
2º) O conjunto das crianças que estudam canto.
Representaremos estes conjuntos por círculos, e o grupo das 30 crianças por um
retângulo, conforme mostrado abaixo:
16-x
16
x
20
20-x
z
Designamos por x o número de crianças do grupo que têm olhos azuis e estudam
canto. Assim, o número de crianças de olhos azuis que não estudam canto é igual a 16-x. E o
número de crianças que estudam canto e não tem olhos azuis é igual a 20-x.
E designamos por z o número de crianças do grupo que não têm olhos azuis ou não
estudam canto.
Da figura acima, podemos formar a seguinte igualdade:
(16-x) + x + (20-x) + z = 30
Isolando o valor de x, teremos:
x=6+z
Da relação acima, temos que o valor de x é dependente do valor de z. O valor de x será
mínimo quando z for mínimo, e o valor de x será máximo quando z for máximo.
O menor valor que z pode assumir é zero, significando que todas as 30 crianças do
grupo têm olhos azuis ou estudam canto. O valor de x correspondente é igual a:
x=6
Esse resultado significa que o número de crianças deste grupo que têm olhos azuis e
estudam canto é no mínimo 6. (Resposta: Alternativa B)
02.(TFC-97) Anair, Bela e Camilo fazem aniversário no mesmo dia. A soma das
idades de Anair e Bela é igual ao triplo da idade de Camilo. Daqui a cinco anos,
Camilo terá a idade que Anair tem hoje. Sabendo-se que Bela é 10 anos mais
velha do que Anair, então a soma das idades de Anair, Bela e Camilo, daqui a
dois anos, será:
a) 80
b) 85
c) 86
d) 95
e) 100
Sol.:
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8
Designaremos por A a idade de Anair, por B a idade de Bela e por C a idade de Camilo.
Æ A soma das idades de Anair e Bela é igual ao triplo da idade de Camilo:
A+B = 3C (1ª equação)
Æ Daqui a cinco anos, Camilo terá a idade que Anair tem hoje.
A = C+5 (2ª equação)
Æ Bela é 10 anos mais velha do que Anair:
B = A+10 (3ª equação)
Da 2ª equação, temos que:
C = A–5
Substituindo C por A–5 e B por A+10 na 1ª equação, teremos:
A+B = 3C
Resolvendo, vem:
Æ 2A + 10 = 3A – 15
Æ A+(A+10) = 3(A–5)
Æ A = 25
Daí, o valor de C é igual a:
Æ C = A–5
Æ C = 25 – 5
E o valor de B é igual a:
Æ B = A+10
Æ B = 25 + 10
Æ C = 20
Æ B = 35
A soma das idades de Anair, Bela e Camilo, daqui a dois anos, será igual a:
(A+2)+(B+2)+(C+2)
Substituindo os valores de A, B e C, teremos:
(25+2)+(35+2)+(20+2)
Resolvendo, vem:
27 + 37 + 22 = 86 (Resposta: Alternativa C)
03.(AFC 2002 ESAF) Ana está em férias com seus sobrinhos e para evitar problemas
ela guardou uma garrafa cheia de licor trancada a chave no seu armário. Um de
seus sobrinhos conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do
conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e recolocou-a no lugar. Deu
a chave para um outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana
percebeu, já havia menos de 1% de licor na garrafa. Assim, o número mínimo de
vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por:
a) 4
b) 5
c) 7
d) 10
e) 15
Sol.:
Designaremos por L a quantidade de licor inicial dentro da garrafa.
Quando Ana percebeu que os meninos estavam bebendo o licor, havia menos de 1% de
licor na garrafa, ou seja, menos que L/100 (=1%L).
Calcularemos quanto há de licor na garrafa após cada menino beber do licor, e
prosseguiremos até que reste na garrafa uma quantidade de licor menor que L/100.
Æ Após a 1ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/2 de licor.
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9
Æ Após a 2ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/4 de licor.
Æ Após a 3ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/8 de licor.
Æ Após a 4ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/16 de licor.
Æ Após a 5ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/32 de licor.
Æ Após a 6ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/64 de licor.
Æ Após a 7ª vez que o sobrinho bebe a metade do conteúdo da garrafa, resta de licor
na garrafa a quantidade de L/128 de licor.
Essa quantidade de licor já é menor que L/100. Assim, o número mínimo de vezes em
que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é igual a 7. (Resposta: Alternativa C)
04.(AFC 2002 ESAF) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma
num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de
cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$
8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?
a) R$ 220,00
b) R$ 204,00
c) R$ 196,00
d) R$ 188,00
e) R$ 180,00
Sol.:
Resolveremos a questão do final para o começo.
Ao sair da quarta loja Pedro tinha 8,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele tinha?
Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 10,00. Ao entrar na
quarta loja ele tinha o dobro de 10,00, ou seja, 20,00 reais.
Ao sair da terceira loja Pedro tinha 20,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele
tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 22,00. Ao
entrar na terceira loja ele tinha o dobro de 22,00, ou seja, 44,00 reais.
Ao sair da segunda loja Pedro tinha 44,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele
tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 46,00. Ao
entrar na segunda loja ele tinha o dobro de 46,00, ou seja, 92,00 reais.
Ao sair da primeira loja Pedro tinha 92,00 reais. E ao entrar nesta loja, quanto ele
tinha? Somando os 2,00 reais que ele gastou no estacionamento, ele ficou com 94,00. Ao
entrar na primeira loja ele tinha o dobro de 94,00, ou seja, 188,00 reais.
(Resposta: Alternativa D)
05.(Técnico MPU administrativa 2004 ESAF) Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia,
fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem olhos azuis; Júlia, a
mais nova, tem olhos castanhos. Tanto o produto como a soma das idades de
Ana e Júlia, consideradas as idades em número de anos completados, são iguais
a números primos. Segue-se que a idade de Ana – a filha de olhos azuis –, em
número de anos completados, é igual
a) à idade de Júlia mais 7 anos.
b) ao triplo da idade de Júlia.
c) à idade de Júlia mais 5 anos.
d) ao dobro da idade de Júlia.
e) à idade de Júlia mais 11 anos.
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10
Sol.:
Designaremos por A a idade em anos completos de Ana e por J a idade em anos
completos de Júlia.
Segundo o enunciado o produto AxJ e soma A+J são números primos. Recordemos a
definição de um número primo.
Dizemos que um número inteiro é primo quando ele é divisível apenas pelo número 1 e
por ele próprio. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
O produto AxJ é um número primo, mas para que isso seja verdade é necessário que ou
o A ou o J seja igual a 1, senão AxJ será divisível por dois números diferentes de 1: o A e o J,
e, consequentemente, não será primo.
Como Ana é a mais velha, então A é maior que J. Assim, é o J que será igual a 1. O
produto AxJ ficará sendo igual a: A. E como o produto AxJ é um número primo, então A será
um número primo.
Como J é igual a 1, a soma A+J ficará sendo A+1. Para que A+1 seja número primo é
necessário que A seja igual a 2. Senão, vejamos:
- Se A+1 fosse igual a 5, o valor de A seria igual a 4, mas 4 não é primo.
- Se A+1 fosse igual a 7, o valor de A seria igual a 6, mas 6 não é primo.
Se continuarmos esses testes, o valor de A será sempre um número par maior que 2 e,
assim, não poderá ser primo.
Portanto, achamos que J é igual a 1 e A é igual a 2. (Resposta: Alternativa D)
Encerramos a aula de hoje por aqui! Fiquem com DEUS!
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1
AULA VINTE E QUATRO: PRIMEIRO SIMULADO
Caros alunos!
Hoje trazemos a vocês o primeiro simulado de Raciocínio Lógico, o qual abrange vários
tópicos do nosso curso on-line. A maioria das questões presentes no simulado são questões
passadas da ESAF.
As soluções das questões encontram-se logo após o fim do simulado.
Queremos que vocês levem a sério o simulado, por isso estabelecemos as seguintes
regras:
Æ Faça o simulado de uma só vez, e não por partes.
Æ Procure um local que ninguém o perturbe.
Æ O tempo do simulado é de 30 minutos. Esse é o tempo ideal para resolver todas as
questões, segundo os padrões da ESAF.
Æ Passados os 30 minutos marque no papel o seu gabarito, mesmo que não tenha terminado
o simulado.
Æ Caso não tenha terminado a prova nos 30 minutos, continue a resolver as questões após a
marcação do gabarito.
Æ Marque no relógio o tempo total para resolver todas as questões.
Æ Se você estiver demorando muito na solução de uma questão, passe para outra. Esse
conselho também é importante para o momento da prova do concurso.
Æ Só veja as soluções das questões após o término do simulado.
Podem iniciar o simulado! Boa sorte! Fiquem todos com Deus e um forte abraço!
SIMULADO
01. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de
Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha
de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
02. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a
João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João
responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é
filho de meu pai”. Então, José é:
a) pai de João
b) filho de João
c) neto de João
d) avô de João
e) tio de João
03. Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em
encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta,
vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega
O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para
pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
seu quarto. Nela
três verdes e três
algumas gravatas.
ter certeza de ter
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2
04. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de
chegada dos participantes de uma prova de ciclismo:
1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada;
2. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se
Aires chegou depois de Dada;
3. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com
Guto.
Logo,
a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba
b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto com Aires
c) Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto
d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Dada
e) Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau
05. Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São
eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades
de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes
profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere
que:
i. nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o
nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que
vive;
ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista,
tampouco aí vive;
iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em
Dracena;
iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado;
v. o bibliotecário não mora em Catanduva.
Nessas condições, é verdade que
(A) Almir é contabilista e reside em Dracena.
(B) Branco é advogado e reside em Atibaia.
(C) Caio é dentista e reside em Catanduva.
(D) Danilo é dentista e reside em Embu.
(E) Edílson é advogado e reside em Catanduva.
06. Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir
são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto:
Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto.
Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou.
Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram.
Se
a)
b)
c)
d)
e)
somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por:
Aldo e Caio
Aldo e Benê
Caio
Benê
Aldo
07. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,
• 20 alunos praticam vôlei e basquete;
• 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;
• 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;
• o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao de alunos que
praticam só vôlei;
• 17 alunos praticam futebol e vôlei;
• 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.
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3
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a
a) 93.
b) 110.
c) 103.
d) 99.
e) 114.
08. Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas
tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as
demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze
candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada
candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que
podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a
a) 85.
b) 220.
c) 210.
d) 120.
e) 150.
09. Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de
elementos de X é igual a:
a) 10
b) 20
c) 35
d) 45
e) 90
10. Numa caixa há 5 pares de meias diferentes. Dentre esses pares de meia, há um
par com ambos os pés rasgados. De olhos fechados, retira-se da caixa uma meia
por vez. Qual a probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par, não
rasgadas, fazendo duas retiradas?
a) 1/5
b) 1/100
c) 4/45
d) 1/20
e) 2/9
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4
SOLUÇÃO DO SIMULADO
01. Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de
Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha
de Fernanda. Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa.
a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
Sol.:
Esta questão se enquadra no assunto de Estruturas Lógicas.
De acordo com o procedimento de solução feito para este tipo de questão, dividiremos
nossa resolução em dois passos. Antes disso, convém traduzirmos as proposições simples do
enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:
Fl: Flávia é filha de Fernanda.
A: Ana é filha de Alice.
E: Ênia é filha de Elisa.
P: Paula é filha de Paulete.
I: Inês é filha de Isa.
Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças (ou premissas) do enunciado
estarão assim traduzidas:
P1: Fl Æ ~A
P2: ou A ou E
P3: ~P Æ Fl
P4: ~E e ~I
A premissa P4 acima foi escrita dessa maneira, porque dizer que:
“nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa”
é o mesmo que dizer que:
“Ênia não é filha de Elisa e Inês não é filha de Isa”
Passemos aos passos efetivos de resolução.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 4ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito
de ser verdadeira!
P1. Fl Æ ~A
P2.
ou A ou E
P3.
~P Æ Fl
P4.
~E e ~I
⇒
~E é verdade e ~I é verdade
Resultado: E é Falso e I é Falso.
b) Substitua E por F, e I por F
P1.
Fl Æ ~A
P2.
ou A ou F
P3.
~P Æ Fl
P4.
VeV
⇒ Numa disjunção exclusiva se uma proposição é falsa a outra é
verdadeira, assim é preciso que A seja verdade.
Resultado: O valor lógico de A é V.
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5
c) Substitua A por V (e ~A por F):
P1.
Fl Æ F
P2.
ou V ou F
P3.
~P Æ Fl
P4.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que Fl seja
também falsa. Logo: Fl é Falso!
Resultado: O valor lógico de Fl é F.
d) Substitua Fl por F
P1.
FÆF
P2.
ou V ou F
P3.
~P Æ F
P4.
VeV
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que ~P seja
também falsa. Logo: P é Verdade!
Resultado: O valor lógico de P é V.
Æ Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
AéV
⇒
É verdade que Ana é filha de Alice.
PéV
⇒
É verdade que Paula é filha de Paulete.
EéF
⇒
~E é V
⇒
É verdade que Ênia não é filha de Elisa.
IéF
⇒
~I é V
⇒
É verdade que Inês não é filha de Isa.
Fl é F
⇒
~Fl é V ⇒
É verdade que Flávia não é filha de Fernanda.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de resposta.
Teremos:
V
F
a) Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda.
Æ falso
V
V
b) Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
Æ verdade
F
V
c) Paula não é filha de Paulete e Ana é filha de Alice.
Æ falso
F
F
d) Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda.
Æ falso
V
F
e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.
Æ falso
Resposta: alternativa B.
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6
02. João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a
João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João
responde ao garçom: “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é
filho de meu pai”. Então, José é:
a) pai de João
b) filho de João
c) neto de João
d) avô de João
e) tio de João
Sol.:
A solução desta questão não exige nenhum conhecimento teórico de Lógica. Precisamos
somente organizar as idéias para solucioná-la.
Escreveremos abaixo a afirmação feita por João, mas modificaremos um pouco as
palavras, a fim de facilitar o raciocínio.
“Sou filho único, e o pai de José é filho de meu pai”
Dou um conselho importante para resolver as questões de Raciocínio Lógico: sempre
procure escrever e/ou desenhar a solução da questão, não fique só com as idéias e
pensamentos na cabeça!
Por isso, faremos um pequeno ramo da árvore genealógica para João:
Pai de João
João
Podemos acrescentar alguém na árvore acima? Pense! João afirmou que o pai de José é
filho do seu pai. Assim, o novo desenho da árvore é o seguinte:
Pai de João
João
Pai de José
Ora! João também afirmou que era filho único. Então como pode o desenho acima está
representando dois filhos para o pai de João? Não deveria! Como podemos modificar o
desenho da árvore? Basta considerar que João e Pai de José são a mesma pessoa. Ou seja:
Pai de João
João=Pai de José
Isso significa que João é o pai de José! Ou de outra maneira:
José é o filho de João!
(Resposta: alternativa B)
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03.Hermes guarda suas gravatas em uma única gaveta em
encontram-se sete gravatas azuis, nove amarelas, uma preta,
vermelhas. Uma noite, no escuro, Hermes abre a gaveta e pega
O número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para
pegado ao menos duas gravatas da mesma cor é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
7
seu quarto. Nela
três verdes e três
algumas gravatas.
ter certeza de ter
Sol.:
Se Hermes tiver muita sorte, então com duas retiradas ele poderia conseguir o par de
gravatas da mesma cor. Mas não podemos contar com a sorte! E independentemente da sorte,
temos que encontrar o número mínimo de gravatas que Hermes deve pegar para ter certeza
de obter duas gravatas da mesma cor.
Temos na gaveta cinco cores diferentes de gravata. Então ao pegar cinco gravatas
na gaveta, pode ocorrer que as cinco gravatas sejam de cores diferentes, e assim não haverá
nenhum par de gravatas mesma cor.
Agora, se ele pegar mais outra gravata, totalizando seis gravatas, então com certeza
teremos um par de gravatas da mesma cor. Pois qualquer cor que se retire, já haverá a
mesma cor fora da gaveta.
(Resposta: alternativa C)
04. As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de
chegada dos participantes de uma prova de ciclismo:
1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada;
2. Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se
Aires chegou depois de Dada;
3. Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com
Guto.
Logo,
a) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba
b) Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto com Aires
c) Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto
d) Aires chegou depois de Juba, depois de Cacau e junto com Dada
e) Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau
Sol.:
Considerando os tópicos vistos no curso, podemos enquadrar esta questão como de
Estruturas Lógicas.
As sentenças (ou premissas) do enunciado são as seguintes:
1. Guto chegou antes de Aires e depois de Dada;
2. Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires ↔ Aires chegou depois de Dada;
3. Cacau não chegou junto com Juba ↔ Aires chegou junto com Guto.
Agora, passemos aos passos efetivos de resolução.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos, mediante a
aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 1ª premissa, uma vez que é uma conjunção e, como tal, só tem um jeito
de ser verdadeira!
Ambos os termos da conjunção são verdadeiros, daí resulta:
Guto chegou antes de Aires, é verdade!
Guto chegou depois de Dada, é verdade!
De acordo com estes resultados, podemos estabelecer a seguinte ordem de chegada
para os três ciclistas:
Guto
Aires
Dada
Dada chegou na frente de Guto e este na frente de Aires.
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8
b) Empregaremos os resultados obtidos acima na segunda premissa.
Temos a seguinte bicondicional:
“Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires ↔ Aires chegou depois de Dada”;
De acordo com o desenho da ordem de chegada dos ciclistas, o segundo termo da
bicondional é verdade. Daí, é necessário que o primeiro termo seja verdade para que
obtenhamos uma bicondicional verdadeira. Logo:
Guto chegou antes de Juba e Juba antes de Aires, é verdade!
E como a sentença acima é uma conjunção, então ambos os termos devem ser
verdadeiros:
Guto chegou antes de Juba , é verdade!
Juba chegou antes de Aires, é verdade!
De acordo com estes resultados, podemos acrescentar mais informações ao desenho da
ordem de chegada dos ciclistas:
Dada
Guto
Juba
Aires
c) Analisemos a última premissa.
Temos a seguinte bicondicional:
“Cacau não chegou junto com Juba ↔ Aires chegou junto com Guto”;
De acordo com o último desenho da ordem de chegada dos ciclistas, o segundo termo
da bicondional é falso. Daí, é necessário que o primeiro termo seja falso para que
obtenhamos uma bicondicional verdadeira. Logo:
Cacau não chegou junto com Juba, é falso!
Assim, é verdade que:
Cacau chegou junto com Juba!
Atualizaremos o desenho da ordem de chegada dos ciclistas:
Dada
Guto
Juba
Cacau Aires
Æ Resultado geral:
1º
2º
3º
4º
lugar:
lugar:
lugar:
lugar:
Danilo.
Guto.
Empate entre Juba e Cacau.
Aires.
2º PASSO: Análise das alternativas da questão.
Com base na ordem de chegada que obtivemos, a alternativa correta é a alternativa:
A) Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto com Juba
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05.Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São
eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades
de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes
profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere
que:
i. nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o
nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que
vive;
ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista,
tampouco aí vive;
iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em
Dracena;
iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado;
v. o bibliotecário não mora em Catanduva.
Nessas condições, é verdade que
(A) Almir é contabilista e reside em Dracena.
(B) Branco é advogado e reside em Atibaia.
(C) Caio é dentista e reside em Catanduva.
(D) Danilo é dentista e reside em Embu.
(E) Edílson é advogado e reside em Catanduva.
Sol.:
Considerando os tópicos vistos no curso, trata-se de uma questão de associação.
Os dados envolvidos neste enunciado são os seguintes:
Æ Cinco amigos: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson;
Æ Cidades onde residem: Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu;
Æ Profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro.
Há ainda, as seguintes considerações:
i. Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de
sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive;
ii. Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí
vive;
iii. Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em
Dracena;
iv. Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado;
v. O bibliotecário não mora em Catanduva.
Construiremos os seguintes quadros:
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo
Atibaia
Batatais
Catanduva
Dracena
Embu
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo
Edílson
Edílson
advogado
bibliotecário
contabilista
dentista
engenheiro
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Passaremos à análise das considerações feitas no enunciado, e a marcação dos quadros
acima.
Lembrando sempre que cada quadro terá somente um X em cada linha e também
somente um X em cada coluna, iniciaremos nossa análise.
1º) “Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o
nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que
vive”;
A partir da informação: ”Nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de
seu nome ...”, podemos marcar com N as células correspondentes ao amigo e cidade que
iniciam com a mesma letra.
Atibaia
Batatais
Catanduva
Dracena
Embu
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo
N
N
N
N
Edílson
N
A partir da informação: ”... nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu
nome ...”, podemos marcar com N nas células correspondentes ao amigo e profissão que
iniciam com a mesma letra.
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo Edílson
advogado
N
bibliotecário
N
contabilista
N
dentista
N
engenheiro
N
IMPORTANTE: As alternativas B, C e D já podem ser descartadas, pois de acordo com a
consideração “i”, o nome do amigo, o nome da cidade e o nome da profissão devem iniciar
com letras diferentes. Portanto, restam somente as alternativas A e E.
2º) “Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista,
tampouco aí vive”;
Marcaremos N nas células correspondentes a Almir e Batatais, e a Edílson e
Batatais.
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo Edílson
Atibaia
N
Batatais
N
N
N
Catanduva
N
Dracena
N
Embu
N
Marcaremos N nas células correspondentes a Edílson e bibliotecário, e a Edílson e
dentista.
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo Edílson
advogado
N
bibliotecário
N
N
contabilista
N
dentista
N
N
engenheiro
N
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3º) ”Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem
em Dracena”;
Marcaremos N nas células correspondentes a Branco e Catanduva, e a Branco e
Dracena.
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo Edílson
Atibaia
N
Batatais
N
N
N
Catanduva
N
N
Dracena
N
N
Embu
N
Marcaremos N nas células correspondentes a Branco e contabilista, e a Branco e
dentista.
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo Edílson
advogado
N
bibliotecário
N
N
contabilista
N
N
dentista
N
N
N
engenheiro
N
4º) ”Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado”;
Marcaremos X na célula correspondente a Danilo e Embu.
Atibaia
Batatais
Catanduva
Dracena
Embu
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo
N
N
N
N
N
N
N
X
Edílson
N
N
Ora, lembrando que em cada linha e em cada coluna deve haver apenas um X e o
restante das células N, faremos:
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo Edílson
Atibaia
N
N
Batatais
N
N
N
N
Catanduva
N
N
N
Dracena
N
N
Embu
N
N
N
X
N
A linha correspondente à cidade de Batatais, só tem uma célula vazia e não tem
nenhum X. O mesmo ocorre com a coluna do Branco. Devemos marcar um X nestas células
vazias.
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo Edílson
Atibaia
N
X
N
Batatais
N
N
X
N
N
Catanduva
N
N
N
Dracena
N
N
Embu
N
N
N
X
N
Completaremos as células da coluna de Caio, e da linha de Atibaia com N.
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Atibaia
Batatais
Catanduva
Dracena
Embu
Amigos x Cidades
Almir Branco Caio Danilo
N
X
N
N
N
N
X
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
X
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Edílson
N
N
N
Marcaremos N nas células correspondentes a Danilo e bibliotecário, e a Danilo e
advogado. Também devemos marcar N na célula correspondente a Danilo e engenheiro,
pois como ele mora em Embu, que inicia pela letra E, então ele não pode ser engenheiro,
porque também inicia pela letra E.
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo Edílson
advogado
N
N
bibliotecário
N
N
N
contabilista
N
N
dentista
N
N
N
engenheiro
N
N
Sabendo que em cada linha e em cada coluna deve haver apenas um X e o restante das
células N, faremos as devidas marcações e obteremos:
Amigos x Profissões
Almir Branco Caio Danilo Edílson
advogado
N
N
N
N
X
bibliotecário
N
N
N
contabilista
N
N
N
X
N
dentista
N
N
N
engenheiro
N
X
N
N
N
5º) ”O bibliotecário não mora em Catanduva”;
Esta afirmação não nos ajuda muito na solução da questão. É melhor passarmos para a
análise das alternativas.
Neste momento temos os seguintes quadros:
Amigos x Cidades
Atibaia
Batatais
Catanduva
Dracena
Embu
Almir
N
N
N
Branco
X
N
N
N
N
Caio
N
X
N
N
N
Danilo
N
N
N
N
X
Edílson
N
N
N
Amigos x Profissões
advogado
bibliotecário
contabilista
dentista
engenheiro
Almir
N
N
N
Branco
N
N
N
N
X
Caio
N
N
N
Danilo
N
N
X
N
N
Edílson
X
N
N
N
N
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Æ As possíveis alternativas corretas são A e E:
(A) Almir é contabilista e reside em Dracena.
(E) Edílson é advogado e reside em Catanduva.
Pela observação do quadro Amigos x Profissões, notamos que Almir não é contabilista,
e, portanto, a alternativa A está errada. Só restou a alternativa E, logo, devemos marcá-la
como correta.
(Resposta: Alternativa E)
No início da solução da questão já sabíamos que a resposta estava entre duas
alternativas: A ou E. Como só são duas alternativas possíveis, então podemos supor que a
alternativa A esteja correta, ou seja: Almir é contabilista e Almir reside em Dracena, e,
assim, marcamos com X as células correspondentes em cada quadro.
E ao continuar preenchendo os quadros, se ocorrer alguma incoerência, então é sinal de
que a alternativa A está errada e E está correta, caso contrário A está correta e E está errada.
Tente por esse caminho! Você verá que a solução será mais rápida!
06. Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir
são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto:
Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto.
Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou.
Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram.
Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por:
a) Aldo e Caio
b) Aldo e Benê
c) Caio
d) Benê
e) Aldo
Sol.:
A afirmação de Benê é falsa, e as afirmações de Aldo e Caio são verdadeiras.
Iniciarei pela declaração de Benê. A sua declaração é a seguinte:
“Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou”
Uma condicional é falsa, somente quando o antecedente é verdade e o conseqüente é
falso. Daí, teremos:
Aldo não executou o projeto, é verdade.
Caio o executou, é falso.
Obtemos: NÃO FOI ALDO E NEM FOI CAIO QUE EXECUTOU O PROJETO.
Passemos a declaração de Caio. A sua declaração é a seguinte:
“Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram”
A declaração acima é uma conjunção. E uma conjunção somente é verdadeira, se
ambos os seus termos são verdades. Daí, teremos:
Eu (Caio) não executei o projeto, é verdade.
Aldo ou Benê o executaram, é verdade.
O segundo termo: Aldo ou Benê o executaram, é uma disjunção. E para que essa
disjunção seja verdadeira é preciso que um dos seus termos seja verdade. O termo: Aldo
executou, é falso, logo o termo: Benê executou, é verdade.
Concluímos que a resposta da questão é a seguinte:
o projeto foi executado apenas por René (Resposta: Alternativa D)
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E a declaração de Aldo, ela não é necessária para a resolução da questão? Realmente,
não foi necessária. Mas para fins didático, vamos analisá-la!
Quando Aldo afirma:
“Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto”
Isso é equivalente a dizer:
“Não é verdade que (Benê executou o projeto e Caio executou o projeto)”
Para retirar a expressão “Não é verdade que” da frente de uma proposição, é
necessário negar a proposição.
Negaremos a proposição: “Benê executou o projeto e Caio executou o projeto”!
Como a proposição se trata de uma conjunção, então a negação é feita negando-se
ambos os termos da conjunção e trocando o conectivo E pelo conectivo OU. Teremos a
seguinte forma equivalente para a declaração de Aldo:
“Benê não executou o projeto ou Caio não executou o projeto”
Esta proposição é uma disjunção! E uma disjunção é verdadeira, se ao menos um dos
seus termos é verdade.
Já encontramos anteriormente que o termo: “Caio não executou o projeto”, é
verdade, e o termo: Benê não executou o projeto, é falso. Com estes dois valores lógicos
a conjunção é verdadeira.
Conclui-se, que a declaração de Aldo não contradiz a resposta que havíamos
encontrado.
(Resposta: Alternativa D)
07. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes
esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre,
• 20 alunos praticam vôlei e basquete;
• 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete;
• 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei;
• o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao de alunos que
praticam só vôlei;
• 17 alunos praticam futebol e vôlei;
• 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei.
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a
a) 93.
b) 110.
c) 103.
d) 99.
e) 114.
Sol.:
Este tipo de questão se resolve
Estabeleceremos os seguintes conjuntos:
com
a
ajuda
de
diagramas
de
conjuntos.
V: conjunto dos que praticam vôlei.
B: conjunto dos que praticam basquete.
F: conjunto dos que praticam futebol.
Faremos o desenho dos três conjuntos e anotaremos os dados fornecidos:
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15
B
V
x
65
20
45
17
z
30
60
w
x
F
Designamos por x o número de alunos que praticam só futebol. Esse valor é o mesmo
para os que praticam só vôlei.
Designamos por z o número de alunos que praticam só basquete.
Designamos por w o número de alunos que não praticam nenhum dos três esportes.
O número de alunos que praticam futebol e basquete é de 45. Como destes 45, 30 não
praticam vôlei, então temos 15 (=45-30) que praticam os três esportes.
Dos 17 que praticam futebol e vôlei, sabemos que 15 praticam os três esportes. Daí,
2 (=17-15) praticam somente vôlei e futebol.
Dos 20 que praticam vôlei e basquete, sabemos que 15 praticam os três esportes. Daí,
5 (=20-15) praticam somente vôlei e basquete.
Substituindo esses resultados nos diagramas, teremos:
B
V
5
x
15
2
z
65
60
30
w
x
F
O número de alunos que praticam futebol é igual a 60, mas também podemos obter
este valor pela seguinte soma:
2 + 15 + 30 + x
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Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:
2 + 15 + 30 + x = 60
Resolvendo, vem:
x = 13
O número de alunos que praticam basquete é igual a 65, mas também podemos obter
este valor pela seguinte soma:
5 + 15 + 30 + z
Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:
5 + 15 + 30 + z = 65
Resolvendo, vem:
z = 15
Ainda não usamos a informação: “21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei”.
Quem são esses alunos? São os alunos que praticam só basquete ou que não praticam
nenhum dos três esportes.
Desta forma, o número de alunos que praticam só basquete mais o número de alunos
que não praticam nenhum dos três esportes é igual a 21, ou seja:
z + w = 21
Obtemos anteriormente que o valor de z é 15, daí, determinamos o valor de w:
15 + w = 21
Æw=6
O número total de alunos do colégio, no atual semestre, pode ser obtido pela soma dos
valores que aparecem na figura anterior:
x + 2 + 5 + 15 + x + 30 + z + w
Substituindo os valores de x, z e w, obtemos o resultado da soma:
13 + 2 + 5 + 15 + 13 + 30 + 15 + 6 = 99
(Resposta: Alternativa D)
08. Quer-se formar um grupo de danças com 6 bailarinas, de modo que três delas
tenham menos de 18 anos, que uma delas tenha exatamente 18 anos, e que as
demais tenham idade superior a 18 anos. Apresentaram-se, para a seleção, doze
candidatas, com idades de 11 a 22 anos, sendo a idade, em anos, de cada
candidata, diferente das demais. O número de diferentes grupos de dança que
podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a
a) 85.
b) 220.
c) 210.
d) 120.
e) 150.
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17
Sol.:
As doze candidatas possuem idades diferentes, e as idades são de 11 a 22 anos. Daí:
Æ O número de candidatas menores de 18 anos é igual a: 7.
Æ O número de candidatas com 18 anos é igual a: 1.
Æ O número de candidatas maiores de 18 anos é igual a: 4.
Agora, formaremos os grupos de seis bailarinas. A ordem das bailarinas dentro dos
grupos é irrelevante, logo, deveremos utilizar combinação para encontrar o número de
diferentes grupos que podemos formar.
O enunciado exige que os grupos de seis bailarinas tenham a seguinte formação:
Æ 3 bailarinas com menos de 18 anos.
Æ 1 bailarina com 18 anos.
Æ 2 bailarinas com mais de 18 anos.
Temos 7 bailarinas maiores de dezoito anos para 3 vagas no grupo, daí formaremos a
seguinte combinação:
C7,3
Temos 1 bailarina de dezoito anos para 1 vaga no grupo, daí formaremos a seguinte
combinação:
C1,1
Temos 4 bailarinas menores de dezoito anos para 2 vagas no grupo, daí formaremos a
seguinte combinação:
C4,2
Como as combinações acima se referem a formação do mesmo grupo de seis bailarinas,
então o total de diferentes grupos de dança é igual ao produto dessas combinações:
C7,3 x C1,1 x C4,2
Resolvendo, vem:
x 1 x
4!
=
7!
3! (7-3)!
2! (4-2)!
7.6.5 x
3.2
4.3
2
= 210
(Resposta: Alternativa C)
09. Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, então o número de
elementos de X é igual a:
a) 10
b) 20
c) 35
d) 45
e) 90
Sol.:
O enunciado não especifica o conjunto x, podendo ser qualquer coisa. Por exemplo: um
conjunto de frutas, ou um conjunto de números inteiros, ou um conjunto de carros, etc.
Desta forma, devemos considerar irrelevante a ordem dos elementos dentro de cada
subconjunto (grupo). Também está implícito que quando se pretende formar subconjuntos a
ordem é irrelevante. Assim, usaremos combinação e não arranjo.
Designaremos por n o número de elementos do conjunto x.
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18
Qual é o número de diferentes grupos de dois elementos que podemos formar com
esses n elementos? A resposta é:
Cn,2
Daí, podemos estabelecer a seguinte igualdade:
Cn,2 = 45
Resolvendo, vem:
= 45
n!
2! (n-2)!
n . (n-1)
2
n2 – n
= 45
= 90
n2 – n – 90 = 0
As raízes desta equação do 2º grau são: 10 e -9.
Daí, encontramos que n é igual a 10. (Resposta: Alternativa A)
10.Numa caixa há 5 pares de meias diferentes. Dentre esses pares de meia, há um
par com ambos os pés rasgados. De olhos fechados, retira-se da caixa uma meia
por vez. Qual a probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par, não
rasgadas, fazendo duas retiradas?
a) 1/5
b) 1/100
c) 4/45
d) 1/20
e) 2/9
Sol.:
Sempre que for solicitado a probabilidade de retirar duas ou mais coisas, ou sortear
duas ou mais coisas, devemos calcular a probabilidade da seqüência das retiradas (ou dos
sorteios).
Exemplo: Numa urna temos 4 bolas azuis e 3 amarelas, qual é a probabilidade de se retirar,
sem reposição, duas bolas azuis?
Resposta: Calcularemos a probabilidade da seqüência desejada, que é igual a:
P(1ª bola retirada é azul e a 2ª bola retirada é azul) = 4/7 x 3/6 = 2/7
Vamos à solução da nossa questão! .
A probabilidade de retirarmos duas meias, do mesmo par e não rasgadas é igual a
seguinte probabilidade?
P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª retirada)
Recordando, a regra de probabilidade do “e” é a seguinte:
P(A e B) = P(A) x P(B|A)
Aplicando esta regra, teremos;
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19
P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª retirada) =
P(1ª meia retirada não é rasgada) x P(2ª retirada é o par da 1ª | 1ª meia retirada não era rasgada)
Æ Cálculo da probabilidade: P(1ª meia retirada não é rasgada)
meia não rasgada
meia rasgada
Temos 8 meias não rasgadas no total de 10 meias na caixa. Daí,
P(1ª meia retirada não é rasgada) =
8
10
Æ Cálculo da probabilidade:P(2ªmeia retirada é o par da 1ª| 1ª meia retirada não era rasgada)
Dado que a 1ª meia retirada não era rasgada, então temos as seguintes meias
dentro da caixa:
Há 9 meias na caixa (7 meias não rasgadas e 2 meias rasgadas). Deste total de meias
só nos interessa 1 meia: o par da 1ª que foi retirada. Daí:
P(2ª meia retirada é o par da 1ª | 1ª meia retirada não era rasgada) =
1
9
Retomando a probabilidade que foi montada, teremos:
P(1ª meia retirada não é rasgada e a 2ª meia retirada é o par da 1ª) =
8
1
8
4
x
=
=
(Resposta: Alternativa C)
10
9
90
45
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1
AULA VINTE E CINCO: SEGUNDO SIMULADO
Olá, amigos!
É com grande saudade e também com imensa sensação de dever cumprido que
anunciamos – Prof. Sérgio e Prof. Weber – o encerramento do nosso Curso On-line de
Raciocínio Lógico!
Essa vigésima quinta aula encerra uma verdadeira maratona: de trabalho, para
nós autores, e de estudos, para vocês que nos acompanharam nessa jornada!
E a palavra “maratona” assume o seu mais lídimo significado. Senão, vejamos,
com base nos números desse curso: vinte e cinco aulas; 570 (quinhentas e setenta)
páginas; aproximadamente 350 (trezentas e cinqüenta) questões de provas recentes
resolvidas!
Quando assumimos esse compromisso, já sabíamos, desde o início, que se
tratava de um verdadeiro desafio. Mas resolvemos enfrentá-lo e nesse instante
vivemos um sentimento maravilhoso de realização.
A todos os muitos alunos que estiveram juntos conosco nesse caminho, o nosso
muito obrigado. Pedimos desculpas pelas falhas cometidas, e reiteramos que a
intenção nossa foi a de acertar sempre.
Enfim, esperamos, de coração, que este curso vire um verdadeiro Manual – de
consulta continuada – nas mãos de vocês, nossos alunos, e de quem mais se dispuser
a enveredar pelo estudo dessa disciplina tão instigante, que é o Raciocínio Lógico.
Eu, Prof. Sérgio, dedico esse curso à Maria Clara, minha princesinha de dez
meses, razão da minha alegria!
E eu, Prof. Weber, dedico esse curso a minha filha Beatriz e a minha esposa
Regina, as pessoas mais importantes da minha vida!
Mais uma vez obrigado a todos, um forte abraço e fiquem com Deus!
Na seqüência, o segundo simulado!
SIMULADO
01. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que
conhecem Maria não a admiram. Logo:
a) todos os que conhecem Maria a admiram;
b) ninguém admira Maria;
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João;
d) quem conhece João admira Maria;
e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria;
02. Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira
prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão
da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse,
então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda
espada". Para manter a promessa feita, o rei:
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CURSO ONLINE – RACIOCÍNIO LÓGICO
2
a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada
b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada
c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada
d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa
e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa
03. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e outro uma
letra.
A
B
2
3
Joâozinho afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm
um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:
a) é necessário virar todos os cartões.
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões.
c) é suficiente virar os dois últimos cartões.
d) é suficiente virar os dois cartões do meio.
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.
04. Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove,
não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo
Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio.
Portanto, hoje
(A) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor.
(B) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor.
(C) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor.
(D) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor.
(E) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.
05. Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um
desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o
primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação
para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a
pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos.
O desafio consistiu de n provas (n > 1), ao final das quais observou-se
que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim,
o número n de provas disputadas no desafio foi igual a:
a) 2
d) 9
b) 3
e) 13
c) 5
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3
06. Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples
(ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas.
Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo
concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32,
35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da
Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um
dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8
d) 60
b) 28
e) 84
c) 40
07. Sejam as matrizes
2005 
 1020 4001
 3467



A = − 2383 1102  e B =  8002 − 1222
 4567 2347
− 2000 3544 
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = St, ou seja, X é a
transposta de S. A matriz S é soma das matrizes A e B. Assim, a diferença
absoluta entre x21 e x13 é igual a
a) 3439
d) 3549
b) 3449
e) 3600
c) 3539
08. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A)=1/3 e P(B)=1/4.
A probabilidade condicional de A dado que (A U B) ocorreu é igual a
(A) 4/7
(D) 7/12
(B) 2/3
(E) 1/2
(C) 1/3
09. Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 50°. O menor
ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C é:
a) 65º
e) 115º
b) 80º
d) 100º
c) 95
10. A expressão dada por w=–4senz–2 é definida para todo número z real.
Assim, o intervalo de variação de w é
a) -6 ≤ w ≤ 1
d) -1 ≤ w ≤ 1
b) w ≤ -6 ou w ≥ 2
e) -6 ≤ w ≤ 2
c) -3 < w ≤ 2
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4
SOLUÇÃO DO SIMULADO
01. Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Alguns que
conhecem Maria não a admiram. Logo:
a) todos os que conhecem Maria a admiram;
b) ninguém admira Maria;
c) Alguns que conhecem Maria não conhecem João;
d) quem conhece João admira Maria;
e) Só quem conhece João e Maria conhece Maria;
Sol.:
Com base no enunciado da questão, estabeleceremos os seguintes conjuntos:
Conjunto X: conjunto das pessoas que conhecem João e Maria.
Conjunto Y: conjunto das pessoas que admiram Maria.
Conjunto Z: conjunto das pessoas que conhecem Maria.
Ora, todos que conhecem João e Maria é claro que conhecem Maria, portanto o
conjunto X está contido no conjunto Z, simbolicamente: X ⊂ Z.
As representações simbólicas das frases do enunciado são as seguintes:
Æ A frase: Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria. Será
representada por:
Todo X é Y.
Æ A frase: Alguns que conhecem Maria não a admiram. Será representada
por:
Algum Z não é Y.
Traduzindo para a linguagem dos diagramas, teremos:
Æ A começar pela primeira: Todos os que conhecem João e Maria admiram
Maria (Todo X é Y).
Y
X
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5
Æ Agora, completando a resolução, traduziremos a segunda frase: Alguns que
conhecem Maria não a admiram (Algum Z não é Y). Lembre-se que X⊂Z! Teremos:
Y
Z
X
Uma vez concluído esse desenho, fica muito fácil confrontá-lo com as opções de
resposta! Vejamos as opções, uma a uma.
Opção A) todos os que conhecem Maria a admiram.
Traduzindo para a linguagem simbólica, teremos
Todo Z é Y.
Para que isto fosse verdade, seria necessário que o conjunto Z estivesse
contido no conjunto Y, mas pelo desenho acima, percebemos que isto não ocorre.
Logo, esta opção é falsa!
Opção B) ninguém admira Maria.
Falsa! Por conta da seguinte frase do enunciado:
“Todos os que conhecem João e Maria admiram Maria”.
Opção C) alguns que conhecem Maria não conhecem João.
Segundo o enunciado, é verdade que algumas pessoas que conhecem Maria não
a admiram. Para que não haja contradição, estas mesmas pessoas não devem
conhecer João, pois, de acordo com o enunciado, as pessoas que conhecem João e
Maria admiram Maria.
Alternativa correta!
Ainda testaremos as alternativas D e E!
Opção D) quem conhece João admira Maria.
Falsa! O enunciado afirma somente que as pessoas que conhecem João e Maria
admiram Maria, mas não fornece mais detalhes sobre o conjunto das pessoas que
conhecem João. Portanto, não podemos necessariamente afirmar que: quem conhece
João admira Maria.
Opção E) só quem conhece João e Maria conhece Maria
Falsa! Pois pode haver outras pessoas que conhecem Maria!
Resposta: Alternativa C!
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6
02. Um rei diz a um jovem sábio: "dizei-me uma frase e se ela for verdadeira
prometo que vos darei ou um cavalo veloz, ou uma linda espada, ou a mão
da princesa; se ela for falsa, não vos darei nada". O jovem sábio disse,
então: "Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda
espada". Para manter a promessa feita, o rei:
a) deve dar o cavalo veloz e a linda espada
b) deve dar a mão da princesa, mas não o cavalo veloz nem a linda espada
c) deve dar a mão da princesa e o cavalo veloz ou a linda espada
d) deve dar o cavalo veloz ou a linda espada, mas não a mão da princesa
e) não deve dar nem o cavalo veloz, nem a linda espada, nem a mão da princesa
Sol.:
A frase que o jovem sábio disse ao rei é a seguinte:
Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda espada.
O enunciado não informa, expressamente, se a frase do jovem é verdadeira ou
falsa. Vejamos abaixo o que acontece em ambos os casos.
1º) A frase do jovem sábio é falsa!
Se a frase: Vossa Majestade não me dará nem o cavalo veloz, nem a linda
espada, é falsa, então a sua negação é verdadeira. Não é verdade!?
Antes de passarmos à negação, vamos encontrar uma forma equivalente para a
frase do jovem sábio. A forma equivalente é a seguinte:
Vossa Majestade não dará o cavalo veloz e não dará a linda espada.
A frase acima é uma proposição composta formada por dois termos interligados
pelo conectivo E. Logo, a negação será procedida da seguinte forma:
1º) Nega-se o primeiro termo da proposição composta;
2º) Troca-se o conectivo E pelo conectivo OU;
3º) Nega-se o segundo termo da proposição composta.
Procedendo desta forma, teremos que a negação da frase do jovem sábio é a
seguinte:
Vossa Majestade dará o cavalo veloz ou dará a linda espada.
Esta frase é verdadeira, isso significa que o rei dará alguma coisa (o cavalo ou a
espada).
O que o rei disse se a frase do jovem sábio fosse falsa?
Ele disse: não vos darei nada!
Observe que houve uma contradição! Ao considerar a frase do jovem como
falsa, concluímos que o rei teria que dar o cavalo ou a espada, mas o rei disse que
não dará nada.
Portanto, a frase do jovem sábio não pode ser falsa! Agora, consideraremos ela
como verdadeira.
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7
2º) A frase do jovem sábio é verdadeira!
Considerando que a frase do jovem sábio é verdadeira, então o rei não dará o
cavalo veloz e não dará a linda espada.
O que o rei prometeu dar se a frase fosse verdadeira?
O rei prometeu dar ou um cavalo veloz, ou dar uma linda espada, ou dar
a mão da princesa.
coisa.
Observe que o rei usou o OU exclusivo, isso significa que ele dará somente uma
Afinal, o que o rei dará ao jovem sábio?
Para cumprir a promessa o rei tem que dar a mão da princesa, já que,
segundo o jovem sábio que diz a verdade, o rei não vai dar nem o cavalo e nem a
espada.
Não houve nenhuma contradição ao considerar a frase do jovem sábio como
verdadeira. Logo, a resposta desta questão é a alternativa B.
03. Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e outro uma
letra.
A
B
2
3
Joâozinho afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm
um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira:
a) é necessário virar todos os cartões.
b) é suficiente virar os dois primeiros cartões.
c) é suficiente virar os dois últimos cartões.
d) é suficiente virar os dois cartões do meio.
e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão.
Sol.:
A afirmação a qual devemos verificar a sua veracidade é a seguinte:
“Todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra”.
Isto é o mesmo que dizer que:
“Se o cartão tem uma vogal numa face, então na outra face tem um número par”.
Em que situação a afirmação de Joãozinho será considerada falsa?
Resposta: somente quando em uma das faces for uma vogal e na outra
face não for um número par.
Esta informação é muito importante e a usaremos para encontrar a solução da
questão.
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8
Passemos à análise de cada cartão.
1)
A
É necessário virar este cartão para verificar se a afirmação de
Joãozinho é verdadeira ou falsa?
Numa face temos a vogal A. Se na outra face tivermos um número par, então
não podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa, mas se não for um número
par, então a afirmação é falsa. Portanto, é necessário virar este cartão!
2)
B
É necessário virar este cartão para verificar se a afirmação de
Joãozinho é verdadeira ou falsa?
Numa face temos a consoante B, então, segundo o enunciado, na outra face
deve haver um número. Desta forma, não é necessário virar esse cartão, pois só
podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa quando em uma das faces
tivermos uma vogal e na outra face não houver um número par.
3)
2
É necessário virar este cartão para verificar se a afirmação de
Joãozinho é verdadeira ou falsa?
Numa face temos o número par 2. A outra face deve conter uma letra, que
poderá ser uma vogal ou uma consoante. Sendo uma consoante ou sendo uma vogal,
não podemos dizer que a afirmação de Joãozinho é falsa! Portanto, não é necessário
virar o cartão.
4)
3
É necessário virar este cartão para verificar se a afirmação de
Joãozinho é verdadeira ou falsa?
Numa face temos o número ímpar 3. A outra face deve conter uma letra, que
poderá ser uma vogal ou uma consoante. Sendo uma consoante, não podemos dizer
que a afirmação de Joãozinho é falsa, mas se for uma vogal, aí diremos que a
afirmação de Joãozinho é falsa! Portanto, é necessário virar este cartão!
Concluímos que é suficiente virar o primeiro e o último cartão para verificar se a
afirmação de Joãozinho é verdadeira. (Resposta: Alternativa E)
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9
04. Quando não vejo Lucia, não passeio ou fico deprimido. Quando chove,
não passeio e fico deprimido. Quando não faz calor e passeio, não vejo
Lucia. Quando não chove e estou deprimido, não passeio. Hoje, passeio.
Portanto, hoje
(A) vejo Lucia, e não estou deprimido, e não chove, e faz calor.
(B) não vejo Lucia, e estou deprimido, e chove, e faz calor.
(C) não vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e não faz calor.
(D) vejo Lucia, e não estou deprimido, e chove, e faz calor.
(E) vejo Lucia, e estou deprimido, e não chove, e faz calor.
Sol.:
Esta questão se enquadra no assunto de Estruturas Lógicas.
De acordo com o procedimento de solução feito para este tipo de questão,
dividiremos nossa resolução em dois passos. Antes disso, convém traduzirmos as
proposições simples do enunciado para a linguagem simbólica. Teremos:
L: vejo Lucia.
P: passeio.
D: deprimido.
C: chove.
O: faz calor.
Uma vez definidas tais proposições simples, as sentenças (ou premissas) do
enunciado estarão assim traduzidas:
P1: ~L Æ (~P ou D)
P2: C Æ (~P e D)
P3: (~O e P) Æ ~L
P4: (~C e D) Æ ~P
P5: P
Passemos aos passos efetivos de resolução.
1º PASSO: Consideraremos as premissas como verdadeiras e descobriremos,
mediante a aplicação das tabelas-verdade, o valor lógico de cada uma das
proposições simples. Teremos:
a) Iniciaremos pela 5ª premissa, uma vez que é uma proposição simples!
P1. ~L Æ (~P ou D)
P2.
C Æ (~P e D)
P3.
(~O e P) Æ ~L
P4.
(~C e D) Æ ~P
P5.
P
⇒
P é verdade
Resultado: O valor lógico de P é V.
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10
b) Substitua P por V (e ~P por F).
P1. ~L Æ (F ou D)
P2.
C Æ (F e D)
P3.
(~O e V) Æ ~L
P4.
(~C e D) Æ F
P5.
V
⇒ O segundo termo desta condicional é falso, pois temos
uma conjunção com um de seus termos falso. Para que esta
condicional seja verdadeira, é preciso que a proposição C
seja falsa. Logo: C é Falso!
Resultado: O valor lógico de C é F.
c) Substitua C por F (e ~C por V):
P1. ~L Æ (F ou D)
P2.
FÆF
P3.
(~O e V) Æ ~L
P4.
(V e D) Æ F
P5.
V
⇒ O primeiro termo desta condicional é a conjunção
(V e D), que resulta na proposição D. A condicional fica,
então, sendo D Æ F. Para que esta condicional seja
verdadeira, é preciso que a proposição D seja falsa. Logo:
D é Falso!
Resultado: O valor lógico de D é F.
d) Substitua D por F:
P1.
~L Æ (F ou F)
P2.
FÆF
P3.
(~O e V) Æ ~L
P4.
FÆF
P5.
V
⇒ Para que esta condicional seja verdadeira, é preciso que
a proposição ~L seja falsa. Logo: L é Verdade!
Resultado: O valor lógico de L é V.
e) Substitua L por V (e ~L por F):
P1.
FÆF
P2.
FÆF
P3.
(~O e V) Æ F
P4.
FÆF
P5.
V
⇒ O primeiro termo desta condicional é a conjunção
(~O e V), que resulta na proposição ~O. A condicional fica,
então, sendo ~O Æ F. Para que esta condicional seja
verdadeira, é preciso que a proposição ~O seja falsa.
Logo: O é Verdade!
Resultado: O valor lógico de O é V.
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11
Æ Compilando os resultados obtidos acima, teremos:
PéV
⇒
É verdade que passeio.
LéV
⇒
É verdade que vejo Lucia.
OéV
⇒
É verdade que faz calor.
CéF
⇒
~C é V
⇒
É verdade que não chove.
DéF
⇒
~D é V
⇒
É verdade que não estou deprimido.
2º PASSO: De posse das verdades obtidas acima, analisaremos as opções de
resposta. Como todas as alternativas são conjunções, então fica fácil de perceber que
a alternativa correta é a A.
05. Ernesto, Ernani e Everaldo são três atletas que resolveram organizar um
desafio de ciclismo entre eles. Ficou combinado o total de pontos para o
primeiro, o segundo e o terceiro lugares em cada prova. A pontuação
para o primeiro lugar é maior que a para o segundo e esta é maior que a
pontuação para o terceiro. As pontuações são números inteiros positivos.
O desafio consistiu de n provas (n > 1), ao final das quais observou-se
que Ernesto fez 20 pontos, Ernani 9 pontos e Everaldo 10 pontos. Assim,
o número n de provas disputadas no desafio foi igual a:
a) 2
b) 3
c) 5
d) 9
e) 13
Sol.: Num total de n provas disputadas pelos três atletas, em que não há empates,
com certeza teremos n primeiros lugares, n segundos lugares e n terceiros lugares.
Æ Para os n primeiros lugares, onde o 1º lugar ganha x pontos, teremos ao todo n.x
pontos.
Æ Para os n segundos lugares, onde o 2º lugar ganha y pontos, teremos ao todo n.y
pontos.
Æ Para os n terceiros lugares, onde o 3º lugar ganha z pontos, teremos ao todo n.z
pontos.
O total de pontos nas n provas será igual a soma dos resultados acima:
n.x + n.y + n.z
Também podemos obter este total de pontos somando os pontos de cada um
dos atletas ao final das n provas, teremos:
20 + 9 + 10 = 39 pontos
Daí, temos a igualdade: n.x + n.y + n.z = 39
Colocando o n em evidência, teremos:
n . (x+y+z) = 39
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12
O primeiro membro da equação acima é o produto de dois valores: n e
(x+y+z). O segundo membro também pode ser colocado como o produto de dois
valores e teremos as seguintes possibilidades:
1) 39 x 1
2) 1 x 39
3) 13 x 3
4) 3 x 13
Æ Teste do (39x1)
n . (x+y+z) = 39 . 1
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=39 e (x+y+z) = 1
Mas como x, y e z são números inteiros positivos (1,2,3,4,...), então o menor
valor que (x+y+z) pode assumir é 6 (quando X=3, y=2 e z=1). Então (x+y+z) não
pode ser igual a 1. Teste inválido!
Æ Teste do (1x39)
n . (x+y+z) = 1 . 39
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=1 e (x+y+z) = 39
O enunciado diz que n é maior que 1, portanto teste inválido!
Æ Teste do (13x3)
n . (x+y+z) = 13 . 3
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=13 e (x+y+z) = 3
Já havíamos concluído que o menor valor que (x+y+z) poderia assumir era 6.
Então (x+y+z) não pode ser igual a 3. Teste inválido!
Æ Teste do (3x13)
n . (x+y+z) = 3 . 13
Comparando os dois membros da equação, teremos:
n=3 e (x+y+z) = 13
Não há restrições para essa situação! Daí, o número de provas realizadas é
igual a três. (Resposta: Alternativa B)
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13
06. Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60
possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02, ..., 60). Uma aposta simples
(ou aposta mínima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas.
Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo
concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32,
35, 45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da
Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática que será um
dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:
a) 8
b) 28
c) 40
d) 60
e) 84
Sol.:
Segundo o enunciado, devemos considerar que o sonho de Pedro está correto,
daí os seis números sorteados no próximo concurso da Mega-Sena estão entre os oito
números revelados no seu sonho:
01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45
O número de cartões, com seis dezenas que podemos formar com os oito
números do sonho de Pedro, é dado pela seguinte combinação:
C8,6 =
8! __ = 8 . 7 = 28 apostas simples
6! (8-6)!
2
(Resposta: Alternativa B)
07. Sejam as matrizes
2005 
 3467
 1020 4001



A = − 2383 1102  e B =  8002 − 1222
− 2000 3544 
 4567 2347
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X = St, ou seja, X é a
transposta de S. A matriz S é soma das matrizes A e B. Assim, a diferença
absoluta entre x21 e x13 é igual a
a) 3439
b) 3449
c) 3539
d) 3549
e) 3600
Sol.: Podemos resolver esta questão efetuando a soma das matrizes A e B, e depois
encontrando a transposta da matriz soma resultante, para, então, obter x21 e x13.
Porém, resolveremos esta questão de uma outra forma, diria de forma mais
inteligente. Vamos a ela!
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14
As matrizes A e B têm três linhas e duas colunas, logo a ordem delas é 3x2. A
matriz S tem a mesma ordem 3x2, pois a matriz S é a soma das matrizes A e B.
A matriz X é a transposta de S, portanto a matriz X tem ordem 2x3, ou seja,
duas linhas e três colunas. E a relação entre os elementos das matrizes S e X é a
seguinte:
x11 = s11
x12 = s21
x13 = s31
x21 = s12
x22 = s22
x23 = s32
x31 = s13
x32 = s23
x33 = s33
Estamos interessados somente em x21 e x13 , e como podemos ver acima, eles
são iguais a s12 e s31, respectivamente.
Passaremos ao cálculo de s12 e s31:
Æ Cálculo de s12
Como bem sabemos, a matriz S é a soma das matrizes A e B, logo teremos:
s12 = a12 + b12
Da matriz A encontramos que: a12 = 4001
Da matriz B encontramos que: b12 = 2005
De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:
s12 = 4001 + 2005 = 6006
Daí:
x21 = s12 = 6006
Æ Cálculo de s31
A matriz S é a soma das matrizes A e B, logo teremos:
s31 = a31 + b31
Da matriz A encontramos que: a31 = 4567
Da matriz B encontramos que: b31 = -2000
De posse desses resultados, vamos chegar agora ao seguinte:
s31 = 4567 + (-2000) = 2567
Daí:
x13 = s31 = 2567
O que nos pede, finalmente, a questão? Pede para encontrarmos a diferença
absoluta entre x21 e x13 . Teremos, pois, que:
Æ X21 – X13 = 6006 – 2567 = 3439
Æ (Resposta: alternativa A)
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15
08. Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A)=1/3 e P(B)=1/4.
A probabilidade condicional de A dado que (A U B) ocorreu é igual a
(A) 4/7
(D) 7/12
(B) 2/3
(E) 1/2
(C) 1/3
Sol:
A probabilidade condicional solicitada na questão é a seguinte:
P( A | A ∪ B) = ?
Já vimos que a fórmula da probabilidade condicional é dada por:
P( X | Y ) =
P( X ∩ Y )
P (Y )
Aplicando a fórmula, teremos:
P( A | A ∪ B) =
P ( A ∩ ( A ∪ B))
P( A ∪ B)
Agora, vamos calcular as probabilidades que aparecem no numerador e no
denominador da expressão acima.
Æ Nós temos a seguinte equivalência que é facilmente provada pelo desenho de
diagramas de conjuntos para A e B:
A ∩ ( A ∪ B ) é equivalente a A
Daí, P( A ∩ ( A ∪ B)) = P( A) =
1
3
Æ A regra do “ou” é dada pela fórmula seguinte:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B)
Como A e B são eventos independentes, a fórmula acima pode ser escrita
como:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P( B) − P( A) × P( B)
Usando as probabilidades fornecidas na questão, teremos:
P ( A ∪ B) = P ( A) + P ( B ) − P ( A) × P ( B ) =
Colocando
teremos:
estes
resultados
na
1 1 1 1
6
1
+ − × =
=
3 4 3 4
12
2
expressão
da
probabilidade
condicional,
1
2
Æ (Resposta: alternativa B)
P( A | A ∪ B) = 3 =
1
3
2
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16
09. Em um triângulo ABC, o ângulo interno de vértice A mede 50°. O menor
ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos internos de vértices B e C é:
a) 65º
c) 95
e) 115º
b) 80º
d) 100º
Sol.:
O enunciado apenas diz que o ângulo A do triângulo ABC mede 50º, sem
especificar a forma do triângulo, então podemos simplificar a solução da questão
considerando que o triângulo é isósceles. Teremos o seguinte:
A
50º
B
65º
65º
C
Construiremos agora as bissetrizes internas dos ângulos B e C, e calcularemos os
ângulos envolvidos na figura.
A
50º
P
32,5º
B
α
32,5º
β
32,5º
32,5º
C
Temos dois ângulos entre as bissetrizes internas: o ângulo α e ângulo β. A
questão solicita o menor desses ângulos.
A soma dos ângulos do triângulo BPC deve ser igual a 180º, daí achamos o
valor de α:
α + 32,5º + 32,5º = 180º
Resolvendo, vem: α = 115º
E o valor de β?
Observe na figura que α e β são ângulos suplementares, ou seja, a soma deles
é igual a 180º. Teremos:
α + β = 180º
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Já encontramos que α=115º. Substituiremos este valor na equação acima:
115º + β = 180º
Daí:
β = 180º - 115º
E, finalmente:
β = 65º
O ângulo β é menor do que α, daí a resposta é:
β = 65º (Resposta: alternativa A)
10. A expressão dada por w=–4senz–2 é definida para todo número z real.
Assim, o intervalo de variação de w é
a) -6 ≤ w ≤ 1
d) -1 ≤ w ≤ 1
b) w ≤ -6 ou w ≥ 2
e) -6 ≤ w ≤ 2
c) -3 < w ≤ 2
Sol.:
A expressão fornecida no enunciado envolve a função seno. Assim,
encontraremos o intervalo de variação de w, a partir do intervalo de variação da
função seno.
Da função seno, sabemos que o seu intervalo de variação é: [-1, 1], ou seja, o
valor máximo é 1, e o valor mínimo é -1. E podemos escrever que:
sen z ≥ -1
e
sen z ≤ 1
A partir da expressão sen z ≥ -1, obteremos uma expressão de variação de w.
Temos que sen z ≥ -1 , se multiplicarmos por -4 ambos os lados, obteremos:
-4.sen z ≤ -4.(-1)
Observe que o sinal inverteu, era um sinal de “maior” e passou para um sinal
de “menor”, isso ocorreu porque multiplicamos por um valor negativo (-4).
Continuando, teremos:
-4sen z ≤ 4
Se subtrairmos por 2 ambos os lados da expressão acima, teremos:
-4sen z – 2 ≤ 4 – 2
Daí:
-4sen z–2 ≤ 2
E como w=-4sen z–2, então encontramos que w ≤ 2.
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Agora, a partir da expressão sen z ≤ 1, obteremos uma outra expressão de
variação de w.
Temos que sen z ≤ 1, se multiplicarmos por -4 ambos os lados, obteremos:
-4.sen z ≥ -4.1
Novamente, invertemos o sinal,
multiplicamos por um valor negativo (-4).
Continuando, teremos:
agora
de
menor
para
maior,
porque
-4sen z ≥ -4
Se subtrairmos por 2 ambos os lados da expressão acima, teremos:
-4sen z – 2 ≥ -4 – 2
Daí:
-4sen z–2 ≥ -6
E como w=-4sen z–2, então encontramos que w ≥ -6.
Dos resultados obtidos: w ≥ -6 e w ≤ 2, encontramos o intervalo de variação de
w:
-6 ≤ w ≤ 2 (Resposta: alternativa E)
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