UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Função Exponencial Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Função Exponencial 1.Definição 2.Propriedades 3.Imagem 4.Gráfico 5.Equações exponenciais 6.Inequações exponenciais 1. Definição Dado um número real a, tal que 0 < a ≠ 1, chamamos função exponencial de base a a função f de ℝ em ℝ que associa a cada x real o número ax. Em símbolos: f : ℝ → ℝ x → ax Exemplos de funções exponenciais em ℝ a ) f ( x ) = 2x 1 b) g ( x ) = 2 c ) h( x ) = 3 x d ) p( x ) = 10 x x e) r ( x ) = ( 2) x 3 2. Propriedades 1a) Na função exponencial f(x) = ax, temos: x = 0 ⇒ f(0) = a0 = 1 isto é, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a ∈ ℝ *+ − {1} . Isto significa que o gráfico cartesiano de toda função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1. 4 2. Propriedades 2a) A função exponencial f(x) = ax é crescente (decrescente) se, e somente se, a > 1 (0 < a < 1). Portanto, dados os reais x1 e x2, temos: I) quando a > 1: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) II) quando 0 < a < 1: x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) 5 2. Propriedades 3a) A função exponencial f(x) = ax, com 0 < a ≠ 1, é injetora pois, dados x1 e x2 tais que x1 ≠ x2 (por exemplo x1 < x2), vem: se a > 1, temos: f(x1) < f(x2) se 0 < a < 1, temos: f(x1) > f(x2) e, portanto, nos dois casos, f(x1) ≠ f(x2). 6 3. Imagem Vimos anteriormente, no estudo de potências de expoente real, que se a ∈ ℝ *+ , então ax > 0 para todo x real. Afirmamos, então, que a imagem da função exponencial é: Im = ℝ *+ 7 4. Gráfico Com relação ao gráfico cartesiano da função f(x) = ax, podemos dizer: 1o) a curva representativa está toda acima do eixo dos x, pois y = ax > 0 para todo x ∈ ℝ . 2o) corta o eixo y no ponto de ordenada 1. 3o) se a > 1 é o de uma função crescente e se 0 < a < 1 é o de uma função decrescente. 8 4. Gráfico y y y = ax (a > 1) y = ax (0 < a < 1) (0, 1) (0, 1) x x 9 4. Gráfico Exemplos 1o) Construir o gráfico da função exponencial de base 2, f(x) = 2x. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 10 4. Gráfico 10 8 6 4 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -4 11 4. Gráfico Exemplos 2o) Construir o gráfico da função exponencial de base 1/2, f(x) = (1/2)x. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = (1/2)x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 12 4. Gráfico 10 8 6 4 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -2 -4 13 4. Gráfico Exemplos 3o) Construir o gráfico da função exponencial de base e, f(x) = ex. Um número irracional muito importante para a análise matemática é indicado pela letra e e é definido pela relação: 1 x e = lim (1 + x ) , x ∈ ℝ x →0 14 4. Gráfico A demonstração da existência desse limite será feita quando fizermos o estudo de limites. A tabela abaixo sugere uma valor para e (com quatro casas decimais): e ≅ 2,7183. x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 (1+x)1/x (1+1)1=2 (1+0,1)10=2,594 (1+0,01)100=2,705 2,717 2,7182 2,7183 15 4. Gráfico 25 20 15 10 5 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 -5 16 5. Equações exponenciais Definição Equações exponenciais são equações com incógnita no expoente. Exemplos 2 = 64, x ( 3) x = 3 81, 4 x − 2x = 2 Existem dois métodos fundamentais para resolução das equações exponenciais. Faremos a apresentação do primeiro método, sendo que o segundo será apresentado quando do estudo de logaritmos. 17 5. Equações exponenciais Método da redução a uma base comum Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos os membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potências, forem redutíveis a potências de mesma base a (0 < a ≠ 1). Pelo fato de a função exponencial f(x) = ax ser injetora, podemos concluir que potências iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, isto é: ab = ac ⇔ b = c (0 < a ≠ 1) 18 5. Equações exponenciais Exemplo 1: exponenciais: Resolva as seguintes equações a) 2x = 64 ⇒ 2x = 26 ⇒ x = 6 ⇒ S = {6} ( ) 1 b) 8 = ⇒ 23 32 1 −5 3x 2 2 ⇒ = ⇒ 5 2 5 5 ⇒ 3 x = −5 ⇒ x = − ⇒ S = − 3 3 x x = x 4 x c) 3 = 3 81 ⇒ = 3 34 ⇒ 3 2 = 3 3 x 4 8 8 ⇒ = ⇒x= ⇒ S= 2 3 3 3 ( ) x 1 32 19 5. Equações exponenciais Exemplo 2: Resolva as equações exponenciais abaixo: ( ) a) 2 x x −1 =4⇒2 x2 −x = 22 ⇒ x 2 − x = 2 ⇒ x 2 − x − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 ou x2 = −1 ⇒ S = {2, − 1} b) 3 2 x −1 ⋅9 3x +4 = 27 x +1 ⇒3 2 x −1 ( ) ⋅ 3 2 3x +4 ( ) = 3 3 x +1 ⇒ ⇒ 32 x −1 ⋅ 36 x +8 = 33 x + 3 ⇒ 2 x − 1 + 6 x + 8 = 3 x + 3 ⇒ 4 ⇒ 2 x + 6 x − 3 x = 3 + 1 − 8 ⇒ 5 x = −4 ⇒ x = − 5 4 ⇒ S = − 5 20 5. Equações exponenciais Exemplo 2: Resolva as equações exponenciais abaixo: c) 5 x −2 ⋅ x 252 x −5 = 2 x 53 x −2 ⇒ x −2 5 2 4 x −10 ⋅5 x x −2 5 2 ⋅ 2 x −5 52 x ( ) = 3 x −2 5 2x ⇒ 3 x −2 5 2x x − 2 4 x − 10 3 x − 2 ⇒ = ⇒ + = ⇒ 2 x 2x ⇒ x 2 − 2 x + 8 x − 20 = 3 x − 2 ⇒ x 2 + 3 x − 18 = 0 ⇒ ⇒ x1 = 3 ou x2 = −6 (não serve, pois x > 0) ⇒ ⇒ S = {3} 21 6. Inequações exponenciais Definição Inequações exponenciais são as inequações com incógnita no expoente. Exemplos 2 > 32, x ( 5) x > 3 25, 4 x − 2 > 2x Assim como em equações exponenciais, existem dois métodos fundamentais para resolução das inequações exponenciais. Analogamente ao estudo de equações exponenciais, faremos a apresentação do primeiro método, com o segundo sendo visto quando do estudo de logaritmos. 22 6. Ineuações exponenciais Método da redução a uma base comum Este método será aplicado quando ambos os membros da inequação puderem ser representados como potências de mesma base a (0 < a ≠ 1). Lembremos que a função exponencial f(x) = ax é crescente, se a > 1, ou decrescente, se 0 < a < 1; portanto: Se b e c são números reais, então: para a > 1 tem-se a b > a c ⇔ b > c para 0 < a < 1 tem-se a b > ac ⇔ b < c 23 6. Inequações exponenciais Exemplo 3: Resolva as seguintes inequações exponenciais: a) 2x > 128 ⇒ 2 x > 27 Como a base é maior que 1, temos x > 7 S = { x ∈ ℝ / x > 7} x x 3 x −3 125 3 3 5 3 3 b) ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ 27 5 5 3 5 5 Como a base está compreendida entre 0 e 1, temos x ≤ −3 S = { x ∈ ℝ / x ≤ −3} 24 6. Inequações exponenciais Exemplo 3: Resolva as seguintes inequações exponenciais: c) ( 2) 3 x <48⇒ x 23 < 3 24 Como a base é maior que 1, temos x 3 9 < ⇒x< 3 4 4 9 S = x ∈ ℝ / x < 4 25 6. Inequações exponenciais Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações exponenciais: ( ) 2 x −7 1 2 x 2 −7 x a) 3 > ⇒3 > 3−3 ⇒ 2 x 2 − 7 x > −3 ⇒ 27 1 ⇒ 2x 2 − 7x + 3 > 0 ⇒ x < ou x > 3 2 1 S = x ∈ ℝ / x < ou x > 3 2 x 26 6. Inequações exponenciais Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações exponenciais: 1 b) x 2 3 x +1 1 ⇒ 2 1 ⇒ 2 x ⋅ 41+ 2 x − x 3 x +1 3 x2 + x 2 1 ≥ 8 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2 −2 x −1 ⇒ 1+ 2 x − x 2 −2 − 4 x + 2 x 2 1 3 ≥ 2 1 ≥ 2 x −1 ⇒ 3 x −3 ⇒ 27 6. Inequações exponenciais Exemplo 4: Resolva as seguintes inequações exponenciais: 1 ⇒ 2 5 x 2 −3 x −2 1 ≥ 2 3 x −3 ⇒ 5x2 − 3x − 2 ≤ 3x − 3 ⇒ 1 ⇒ 5x − 6x + 1 ≤ 0 ⇒ ≤ x ≤ 1 5 2 1 S = x ∈ ℝ / ≤ x ≤ 1 5 28