Alguns fatos históricos do π Alguns fatos históricos do e A

Alguns fatos históricos do 
A grande pirâmide de Gizé, construída entre 2589-2566 a.C, foi erguida sobre
um perímetro de 1760 blocos e uma altura de 280 blocos, uma razão 1760/280 ≈ 2π. A
mesma proporção fora utilizada antes na pirâmide Meidum, 2613-2589 a.C, e
posteriormente na pirâmide de Abusir, 2453-2422 a.C. Alguns egiptólogos consideram
que essa razão não fora utilizada por acaso, e sim, escolhida como uma proporção de
“design”. Embora os egípcios não conhecessem a definição exata do  , na prática eles
o utilizavam.
O início da história do  a partir de fontes escritas é aproximadamente paralelo
ao desenvolvimento na matemática como um todo.
Alguns fatos históricos do e
A primeira referência ao número de Euler foi publicada em 1618 em uma tabela
de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, nessa tabela não constava
o número em si, mas uma lista de logaritmos calculados a partir dele. A descoberta do
número em si é creditada à Jacob Bernoulli, que tentou encontrar o valor da seguinte
expressão:
1
lim(1  ) n ,
n 
n
que de fato é o valor do número de Euler.
A primeira utilização do número, que era representado pela letra b, foi em uma
correspondência de Gottfried Leibniz para Christiaan Huygens entre 1690 e 1691.
Leonhard Euler, entre 1727 e 1728, começou a usar a letra e para representar o número
em um artigo não publicado sobre forças em canhões, e a primeira aparição da letra
e em uma publicação foi em Euler’s Mechanica em 1736. Nos anos posteriores, outros
pesquisadores usaram diferentes letras para representar o número, mas e era mais
comum e naturalmente se tornou o padrão.
A irracionalidade do 
LEMA 1: Uma função f :  que tende a zero quando sua variável tende a infinito
deve ser nula a partir de algum ponto.
DEFINIÇÃO 1: Um número é racional se ele pode ser representado pela razão de dois
números inteiros não nulos. Caso contrário, ele é irracional.
TEOREMA 1: O número real  é irracional.
DEMONSTRAÇÃO: Considere a integral:
1
I n   (1  x 2 )n cos( x)dx
1
Integrando por partes obtemos:
 2 I n  2n(2n  1) I n 1  4n(n  1) I n  2
se n  2 . Por indução em n, segue que:
 2 n 1 I n  n ![ Psen( )  Q cos( )]
onde P e Q são polinômios em  com grau < 2n + 1 e coeficientes inteiros.
Assuma que  seja racional, então   a b , com a, b  e b  0. Seja    2 , então:
J n  b 2 n 1I n n !
é um número inteiro. Assim:
1
b2 n1
Jn 
(1  x 2 )n cos( x 2)dx

n ! 1
O integrando é positivo para 1  x  1 então J n  0 . Então J n  0, n . Assim:
Jn 
b
2 n 1 1
 cos( x 2)dx  C b
2 n 1
n!
n ! 1
onde C é uma constante. Então J n  0 quando n   , contradizendo o lema 1. Logo,
 é irracional.
A irracionalidade do e
TEOREMA 2: O número real e é irracional.
DEMONSTRAÇÃO: Vamos utilizar e na sua representação em série:

1n
1 1 1
e    1     ...
1! 2! 3!
n 0 n !
Vamos supor que e  p q , onde p e q são números inteiros positivos. Multiplicando a
equação acima por q!, temos que:
p
q! q! q!
q!
q !  q !    ...   R
q
1! 2! 3!
q!
Como q ! p q e 1  q ! 1!  q ! 2!  q! 3!  ... q! q! são números inteiros, então R também
é inteiro. Mas,
q!
q!
q!
1
1
1
R


 ... 


 ...
(q  1)! (q  2)! (q  3)!
q  1 (q  1)(q  2) (q  1)(q  2)(q  3)
Logo,
1
1
1
1
R


 ... 
2
3
q  1 (q  1) (q  1)
q
que é absurdo, pois q é inteiro. Logo, e é irracional.
A transcendência do 
DEFINIÇÃO 2: Um número real ou complexo é transcendente ou transcendental se ele
não é raiz de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros.
TEOREMA 3: O número real  é transcendente.
DEMONSTRAÇÃO: Suponha que  é raiz de um polinômio não-nulo sobre , então
i também é. Seja 1 ( x)  [ x] um polinômio com raízes 1  i ,  2 , ...,  n . Então:
(e1  1)(e 2  1)...(e n  1)  0
(2)
Agora vamos construir um polinômio com coeficientes inteiros tal que suas raízes são
as exponenciais de e com expoentes  i1  ...   ir que aparecem na expansão do produto
acima. Por exemplo, termos da forma:
e s et .1...1
restando expoentes da forma  s   t . Tomando todos os pares s,t obtemos
1   2 , ...,  n 1   n , cujo polinômio simétrico elementar é simétrico em relação a
 i  ...   n , podendo ser expressado como polinômios nos polinômios simétricos
elementares em  i  ...   n . Este, por sua vez, pode ser expressado em termos dos
coeficientes do polinômio 1 ( x ) cujas raízes são  i  ...   n . Então os pares  s   t
satisfazem a equação polinomial  2 ( x)  0 , onde  2 tem coeficientes racionais.
Similarmente,  i são raízes do polinômio  k ( x) sobre obtido sobre a soma dos k.
Então:
1 ( x) 2 ( x)... n ( x)
é um polinômio sobre os racionais cujas raízes são as exponenciais de e na expansão
(2). Dividindo por uma potência conveniente de x e multiplicando por um inteiro
conveniente, obtém-se um polinômio  ( x) sobre , cujas raízes são as exponenciais de
e com expoentes não-nulos 1 , ...,  r da expansão (2). Assim:
e1  ...  er  k  0
onde k é um inteiro positivo. Suponha que:
 ( x)  c0 x r  c1 x r 1  ...  cr
onde o termo independente é não-nulo, pois 0 não é raiz desse polinômio. Defina:
c s x p 1[ ( x)] p
f ( x) 
( p  1)!
onde s = r(p - 1) e p é um primo qualquer. Defina:
F ( x)  f ( x)  f '( x)  ...  f ( s  p  r 1) ( x)
No que a derivada de ordem s + p + r de f(x) é nula. Calculando:
d x
[e F ( x)]  e x [ F '( x)  F ( x)]  e x f ( x)
dx
Então:
1
e x F ( x)  F (0)   e y f ( y)dy
0
Fazendo y   x , temos que:
1
F ( x)  e F (0)   x  e(1 ) x f ( x)d 
x
0
Fazendo x variar sobre 1 , ...,  r e somar, temos que:
r
r
1
j 1
j 1
0
 F ( j )  kF (0)    j  e
(1 )  j
f ( j )d 
Afirmamos que para todo primo p suficientemente grande o lado esquerdo da equação
acima é um inteiro não-nulo. Agora:
r
f
j 1
(t )
( j )  0
Se 0 < t < p. Cada derivada f (t ) ( j ) com t  p tem um fator p já que derivamos
[ ( x )] p no mínimo p vezes para obter um termo não-nulo. Para qualquer t:
r
f
(t )
j 1
( j )
É um polinômio simétrico de grau  s . O fator c s , por definição de f(x), é um inteiro.
Então para t  p
r
f
(t )
j 1
para um kt 
(  j )  pkt
conveniente. Por outro lado, temos que:
f
(t )
se t  p  2
 0

(0)  c s crp
lp
 t
se t  p  1
se t  p
para um lt  conveniente. Consequentemente:
r
 F (
j 1
)  kF (0)  Kp  kc s crp
j
para algum K inteiro. Então, k  0, c  0, cr  0 . Se tomarmos p  máx( k , c , cr )
então lado direito da equação acima é não-nulo. Por outro lado:
c j
s
f ( j ) 
p 1
(m( j )) p
, onde m( j )  sup  ( j )
( p  1)!
0  1
Então:
r
1
  j  e
j 1
(1  )  j
r
f ( j )d   
j 1
0
j
p
s
p
c m( j ) B
( p  1)!
1
, onde B  máx  e
j
(1  )  j
d
0
que  0 quando p   , contradizendo o lema 1. Logo,  é transcendente.
A transcendência do e
TEOREMA 4: O número real e é transcendente.
DEMONSTRAÇÃO: Assuma que e não é transcendente. Então:
am e m  ...  a1e  ao  0
onde, sem perda de generalidade, podemos supor que ai  , i e a0  0 . Defina:
x p 1 ( x  1) p ( x  2) p ...( x  m) p
( p  1)!
onde p é um primo qualquer. Então f é um polinômio em x de grau mp + p – 1. Defina:
F ( x)  f ( x)  f '( x)  ...  f ( mp  p 1) ( x)
Note que a derivada de ordem mp + p de f(x) é nula. Calculando:
f ( x) 
d x
[e F ( x)]  e x [ F '( x)  F ( x)]  e x f ( x)
dx
Então para qualquer j:
j
a j  e x f ( x)dx  a j [e x F ( x)]0j  a j [ F (0)  e  j F ( j )]
0
j
Multiplicando por e e fazendo o somatório em j = 0, ..., m temos que:
j
m
m
m
m mp  p 1
 a j e j  e x f ( x)dx  F (0) a j e j   a j F ( j )  
j 0
j 0
0
j 0
j 0

i 0
a j f (i ) ( j ) (*)
(i )
Afirmamos que cada f ( j ) é um inteiro e que esse inteiro é divisível por p, menos
para j = 0 e i = p – 1. Usando a regra de Leibniz; o único termo não-nulo para j diferente
de zero vem do fator ( x  j ) p sendo derivado p vezes. Como p ! ( p  1)!  p , todos os
termos são inteiros e divisíveis por p. No caso em que j = 0, o único termo não nulo é
quando i = p -1 e
f ( p 1) (0)  (1) p ...(m) p
O valor de (*) fica:
Kp  a0 (1) p ...(m) p
para algum K inteiro. Agora, se p  máx(m, a0 ) então o inteiro a0 (1) p ...( m) p não é
divisível por p. Então para primos p suficientemente grandes o valor de (*) é um inteiro
não divisível por p, então não-nulo.
Estimando a integral, se 0  x  m , temos que:
f ( x)  mmp p1 ( p 1)!
Então:
j
m
 a je
j 0
j
0
j 0
m
mmp  p 1
mmp  p 1
j
dx

a
e
j
j
0 ( p  1)! 
( p  1)!
j 0
j
m
 e f ( x)dx   a j e
x
j
que  0 quando p   , contradizendo o lema 1. Logo, e é transcendente.
Referências
BECKMANN, Petr; A history of pi, St. Martin Press, 1971.
EVES, Howard W.; An introduction to the history of mathematics, Holt, Rinehart &
Winston, 1969.
STEWART, Ian; Galois Theory, Chapman and Hall Mathematics Series, 1973.