Álgebra, Teoria dos Números e Combinatória. O Sonho do Ed

Álgebra, Teoria dos Números e Combinatória.
O Sonho do Ed
(e o pesadelo de alguns estudantes)
1) Seja p > 3 um primo.
a) Encontre o resto da divisão do número
b) Prove que o polinômio x 2
somente se, p
x
1
p
(k 2
k 1
k
1) por p.
Zp [x] é irredutível em Zp [x] se, e
2(mod .3) .
n
1
2) Mostre que para todo inteiro positivo n o polinômio f(x) (x 2 x)2
não pode ser decomposto
como o produto de dois polinômios não
constantes e de coeficientes inteiros.
3) Sejam P(x) e Q(x) polinômios de coeficientes inteiros e de graus p e q,
respectivamente. Assuma que P(x) divide Q(x) e que todos os coeficientes
de ambos os polinômios são iguais a 1 ou 2002. Mostre que p + 1 é um
divisor de q + 1.
4) Seja f(x) um polinômio com coeficientes racionais, de grau 3 e raízes x1,
x2, x3. Prove que se existem racionais não nulos a e b, a b , tais que
ax1 bx 2 é racional, então todas as raízes de f(x) são racionais.
5) Sejam P(x) e Q(x) polinômios mônicos irredutíveis em Q[x]. Suponha
que P(x) e Q(x) tenham raízes
e , respectivamente, e que
é um
número racional. Prove que o polinômio P 2 (x)
Q 2 (x) tem raiz racional.
6) Seja f um polinômio mônico irredutível em Z x e tal que |f(0)| não é o
quadrado de um inteiro.
Prove que o polinômio g, dado por g(x) = f(x2) também é irredutível.
7) Seja p um número primo e seja f(x) um polinômio de grau d com
coeficientes inteiros tal que:
(i) f(0) 0 , f(1) 1 ;
(ii) para todo inteiro positivo n, o resto da divisão de f(n) por p é 0 ou 1.
Prove que d p 1 .
9) Encontre todos os números primos p e q para os quais a congruência
3pq
(mod .3pq) vale para todo inteiro .
10)
Demonstrar que existe uma seqüência de inteiros positivos
, x n , que satisfaz as duas seguintes condições:
(i) contém exatamente uma vez cada um dos inteiros positivos,
x n é divisível por nn .
(ii) para cada n 1,2,
a soma parcial x1 x 2
x1 , x 2 ,
11)
Sn
Mostre
n
k 0
2n
que
1
2k
22(n
para
k)
3k
todo
é
a
inteiro
soma
positivo
de
dois
n,
o
número
quadrados
perfeitos
consecutivos.
12) A seqüência {an }n
satisfaz a1
1
nan
2
an
Determine f(n)
1
n 1
(k
k 0
1
n(n
2
1
1)
n
k
an
k
0 , a2
1)an
1 e, para n
( 1)n 1
2
3,
n
.
2
.
13) Seja n 2 um inteiro positivo. Determine o número de funções
f : {1,2, , n}
{1,2,3,4,5} com a seguinte propriedade: | f(k 1) f(k) | 3 ,
para todo k= 1, 2, ..., n 1 .
14) Em uma competição matemática participam 2n estudantes. Cada um
deles propõe um problema e todos os 2n problemas obtidos desta forma
são distribuídos, um para cada participante. A competição é considerada
justa se há n participantes que recebem os problemas propostos pelos
outros n participantes. Prove que o número de maneiras nas quais os
problemas podem ser distribuídos em uma competição justa é um quadrado
perfeito.
15) Seja Sn o conjunto de todas as permutações dos números 1, 2, ..., n.
Para
Sn , sejam ( ) o sinal da permutação
e ( ) o seu número de
pontos fixos. Prove que
Sn
( )
( ) 1
( 1)n
n
1
n
1
.
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