Progressões Geométricas 1) 100 → 1,1.100 = 110 → 1,2.110 = 132

Progressões Geométricas
1) 100 → 1,1.100 = 110 → 1,2.110 = 132
A resposta é 32%.
2) 100 → 0,9.100 = 90 → 0,8.90 = 72
A resposta é 28%.
3) 100 → 1,1.100 = 110 → 0,8.110 = 88
A resposta é 12%.
4) Sejam v e t, respectivamente, a velocidade antiga e o tempo gasto e sejam v' e
t' a velocidade e o tempo depois do aumento.
vt = v't'
vt = 1,6vt'
1
t = 0,625t = 62,5% t
t' =
1,6
O tempo se reduz em 37,5%.
5) 1 + I = (1 + i) n
1 + I = (1 − 0,05)12
I = 0,9512 − 1 ≅ −0,46
Aproximadamente 46%.
6) Sejam T o período e λ o comprimento e sejam T' o período e λ' o comprimento
depois da variação.
λ'
λ
=
T'
T
λ'
λ
=
1,2T
T
λ' = 1,2 λ
λ' = 1,44λ = 144%λ
Devemos aumentar de 44%.
7) Sejam P a pressão e V o volume e sejam P' a pressão e V' o volume depois da
variação.
PV = P'V'
PV = P'.0,8V
1
P' =
P = 1,25P = 125%P
0,8
A pressão aumenta de 25%.
8) Sejam S, b e h a área, a base e a altura antes da variação e sejam S', b' e h' a
área, a base e a altura depois da variação.
S' = b'.h' = 1,1b.0,9h = 0,99.b.h = 99%S
A área diminui de 1%.
9) Os valores formam uma progressão geométrica.
a4 = a0.q4
12 000 = 18 000 q4
2
q= 4
3
2
a1 = a0.q = 18 000 4
, ou seja, R$ 16 264,84.
3
10) Os lados são a, aq, aq2. Pelo Teorema de Pitágoras, (aq 2 ) 2 = (aq) 2 + a 2 . Daí,
q4−q2−1 = 0 e, como q>0, q =
1+ 5
.
2
11) Se a progressão é estritamente crescente, os lados a, aq, aq2 satisfazem q>1
e
5 +1
aq2 < aq+a, ou seja, q2−q−1 < 0. Ou seja, 1 < q <
2
2
5 −1
Se a progressão é estritamente decrescente,
< q < 1 , ou seja,
< q <1
2
5 +1
5 −1
5 +1
< q<
A resposta é
.
2
2
12) q =
3
2
2
a4 = a3.q =
1 1
−
23 2
=2
1
1
−
6
2 .2 6
=1
=
−
1
6
13) Sejam a, aq, aq2 os números.
a+aq+aq2 = 19
a2+(aq)2+(aq2)2 = 133
Daí, a(1+q+q2) = 19
a2(1+q2+q4) = 133
133
=7
Dividindo, a(1−q+q2) =
19
19
1+ q + q2
Daí,
=
2
7
1− q + q
3
2
ou q = .
2
3
3
2
Se q = , substituindo vem a = 4; se q = , substituindo vem a = 9.
2
3
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
q=
14) Sejam x−r, x, x+r a progressão aritmética e x−r+1, x, x+r a progressão
geométrica.
x − r + 1 + x + x + r = 19
x
x+r

=

x − r +1
x
x=6


36 = (6 + r ).(7 − r )
r = 3 ou r = −2.
Os números são 4, 6, 9 ou 9, 6, 4.
15) Sejam x−6, x, x+6, x−6 os números.
x+6 x−6
=
x
x+6
2
x +12x+36 = x2−6x
x = −2
Os números são −8, −2, 4, −8.
16) Se 2p−1 é primo, os divisores de 2p−1(2p−1) são 1, 2, 22,..., 2p−1, (2p−1), 2(2p−1),
22(2p−1),..., 2p−1(2p−1).
A soma desses divisores é 1+2+22+...+2p−1+(2p−1).(1+2+22+...+2p−1) =
= 2p. (1+2+22+...+2p−1) = 2p.(2p−1) = 2. 2p−1(2p−1).
10 k − 1
. A soma é igual a
9
n
10 n +1 − 10 − 9n
10 k − 1 1 n k n 10 10 n − 1 n
=
.
10
.
=
−
=
−
∑ 9
∑
81
9
9
9
9
9
k =1
k =1
17) A k-ésima parcela da soma vale 1+10+...+10k−1 =
2
n -1
n
n +1
2n -1
18) 444...488...89 = 9 + 8.10
+4
...4
+ 8.10
4.10
+ ...
4.10
14+48.10
442
443 + 4.10
144+4
4424
4+4
443 =
10 n −1 − 1
10 n − 1
4.10 2n + 4.10 n + 1  2.10 n + 1 
= 9+ 80
+ 4.10 n
=
=


9
9
9
3


A raiz quadrada é
210
. n +1
= 66...67 (n dígitos).
3
2
19) Em cada operação o número de folhas dobra. O número de folhas da pilha
depois de 33 dessas operações é 232 = 22.(210)3 ≅ 4.109.
A altura da pilha vale, aproximadamente, 4.109.0,1mm = 400km.
A resposta é D.
1
. Os valores da
p
1
quantidade de vinho formam uma progressão geométrica de razão 1 − .
p
n
 1
A resposta é p1 −  .
 p
20) Em cada operação a quantidade de vinho reduz-se em
21a) 12 600 = 23.32.52.7
Os divisores positivos de 12 600 são os números da forma 2 α .3β.5 γ .7 δ com
α∈{0, 1, 2, 3}, β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑ 2 α.3β.5 γ .7 δ = ∑ 2 α.3β.5 γ .7 0 + ∑ 2 α .3β.5 γ .71 =
α ,β, γ ,δ
α ,β, γ
α ,β,γ
∑ 2 α.3β.5 γ = 8 ∑ 2 α.3β.50 +8 ∑ 2 α.3β.51 +8 ∑ 2 α.3β.5 2 =
= (1+7)
α ,β, γ
α ,β
α ,β
α ,β
= 8(1+5+25) ∑ 2 α .3β = 248 ∑ 2 α .30 +248 ∑ 2 α .31 +248 ∑ 2 α .3 2 =
α
α ,β
= 248.(1+3+9)
α
α
∑ 2 α = 3 224 ∑ 2 α = 3 224(1+2+4+8) = 48 360.
α
α
21b) Os divisores ímpares e positivos de 12 600 são os números da forma
3β.5 γ .7 δ com β∈{0, 1, 2}, γ∈{0, 1, 2} e δ∈{0, 1}.
A soma desses divisores é ∑ 3β.5 γ .7 δ = ∑ 3β.5 γ .7 0 + ∑ 3β.5 γ .71 = (1+7) ∑ 3β.5 γ =
β , γ ,δ
β, γ
= 8 ∑ 3 .5 + 8 ∑ 3 .5 +8 ∑ 3 .5 = 8(1+5+25)
β
β
β 1
0
β
β
2
β
β, γ
∑3
22a) 0,141414... = 0,14+0,0014+0,000014+... =
β
= 248.(1+3+9) = 3 224.
β
0,14
0,14 14
=
=
.
1 − 0,01 0,99 99
22b) 0,3454545... = 0,3+0,045+0,00045+0,0000045+... = 0,3+
=
0,045
0,045
= 0,3+
1 − 0,01
0,99
19
3
45
+
=
.
10 990 55
22c) 0,999999... = 0,9+0,09+0,009+... =
0,9
=1
1 − 0,1
22d) 1,71111... = 1,7+0,01+0,001+0,0001+... = 1,7+
=
β, γ
77
.
45
23a) 2 +
2 2
+ + ... =
3 9
2
1
1−
3
=3
0,01
0,01 17 1
+
= 1,7 +
=
=
1 − 0,1
0,9 10 90
23b) São duas progressões geométricas de razão
e a outra,
2
72
. A soma vale
1
7
1
7
2
. Uma tem primeiro termo
1
7
2
2
3
.
+ 7
=
1
1
16
1− 2 1− 2
7
7
1 3 5 7
+ + + + ...
2 4 8 16
1
1 3 5
S =
+ + + ...
2
4 8 16
23c) S =
Subtraindo,
1
1
1 2 2 2
S = + + + + ... = +
2
2
2 4 8 16
2
4
1−
e S = 3.
1
2
=
3
2
23d) S = 1+2x+3x2+4x3+..., −1<x<1
xS =
x+2x2+3x3+...
Subtraindo, S(1−x) = 1+x+x2+x3+... =
S=
1
1− x
1
(1 − x ) 2
23e) Grupando de três em três, obtemos
1 1
1
+
+
+ ... =
4 32 256
1
4
1−
1
8
=
2
.
7
4
2 . .5
4
4
24a) 5+2. .5 + 2.  .5 + ... = 5+ 9 = 13 metros.
4
9
9
1−
9
2
24b) O tempo que a bola gasta para, partindo do repouso, cair de uma altura h é
2
2h
4 4
. Como as alturas (em metros) das quedas são 5, .5,   .5 ,..., supondo g
g
9 9
= 10m/s2, os tempos de queda (em segundos) serão 1,
2
2 2
,   ,...
3 3
2
O tempo total de queda é 1 +
2 2
+   + ... =
3 3
1
= 3 segundos.
2
1−
3
A este tempo devemos adicionar o tempo gasto pela bola nas subidas, que é o
mesmo, à exceção do 1s da queda inicial.
A resposta é 5s, aproximadamente.
25a) Os lados da poligonal são hipotenusas de triângulos semelhantes na razão
b
(cada um para o anterior) .
a
O comprimento é a + b +
b2
+ ... =
a
a
=
a2
.
a−b
b
a
25b) É o termo de ordem n de uma progressão geométrica de primeiro termo a e
n−1
b
b
razão . A resposta é a  .
a
a
1
1
26a) π.1 + π. + π. + ... =
2
4
26b) 2 − 1 +
1 1
− + ... =
2 4
π
1
1−
2
1−
= 2π.
4
2
= .
−1
3
1−
2
rn − rn +1 1 − r
. Daí, rn +1 = r.rn . Os
=
rn + rn +1 1 + r
raios formam uma progressão geométrica de primeiro termo 1 e razão r. A soma
1− r n
vale
.
1− r
27) Uma semelhança de triângulos fornece
28) lim an = 300+0,3.200+0,32.300+0,33.200+... =
300
1
1 1
+ + ... + n −1
2 4
2
+
0,3.200
≅ 396
1 − 0,3
1 − 0,3 2
200
0,3.300
lim bn = 200+0,3.300+0,32.200+0,33.300+... =
+
≅ 319
2
1 − 0,3
1 − 0,3 2
2
1
=2
1
1−
2
1 é verdadeiro; 2, 3 e 4 são falsos; 5 é verdadeiro (basta fazer n=3).
29) Sn = 1+
é crescente e tem limite
1 3
5
7
+ 2 + 3 + 4 + ...
9 9
9
9
1
1
3
5
S =
+
+
+ ...
9
9 2 93 9 4
Subtraindo,
30) S =
2
2
1
5
8
1 2
2
2
S = + 2 + 3 + 4 + ... = + 9 =
1 36
9
9 9
9
9
9
1−
9
5
S=
32
31a)
1 1 1
x 2 .x 4 .x 8 .... =
31b) x
1/ 2
1/ 4
.y
.x
1/ 8
1 1 1
+ + +...
x2 4 8
1 / 16
.y
... =
1
2
1
1−
x 2
=
=x
1 1
1 1
+ +...
+ +...
x 2 8 .y 4 16
= x 2 / 3 .y1/ 3 = 3 x 2 y .
32a) Em cada operação a soma dos comprimentos restantes é 2/3 da anterior. A
n
2
resposta é   .
3
n
2
32b) lim   = 0.
3
32c) Não, o conjunto é infinito.
33) bn+1−bn = log an+1− log an = log
34)
a n +1
= log q = constante
an
b n +1 e a n +1
= a = e a n +1−a n = e r = constante
bn
e n
35) An = A0.qn
A0
= A 0 .q1600
2
q = 2−1/1600
A massa se reduzirá a 2/3 se
n=
log(2 / 3)
≅ 936
log q
2A 0
= A 0 .q n
3
36) a = 1+10+...+10n−1 =
b = 5+10n
10 n − 1
9
2
10 2 n + 4.10 n + 4  10 n + 2 
ab+1 =
=
 3 
9


n
10 + 2
= 333...34 (n dígitos)
A raiz quadrada é
3
37) A2 = 5A
 5 n−1 2.5 n−1 
.A =  n−1

4.5 n−1 
 2.5
n−1
n
A =5
38) a) O perímetro aumenta de 1/3 em cada estágio. Logo, os perímetros formam
uma progressão geométrica de razão 4/3. O perímetro do estágio de ordem n é
n
4
3.  .
3
n
3 4
b) An+1 = An +
 
12  9 
n
2 3 3 3 4


Somando, An =
−
.
5
20  9 
c)
∞, pois a razão da progressão é maior que 1.
d) lim
[
2 3 3 3 4
−
 
5
20  9 
n
]=
2 3
.
5
39a) A razão da progressão é dada por 880 = 440q12. Daí, q = 21/12.
A freqüência desse dó é 440.q3 = 523 Hz, aproximadamente.
39b) 440/q2 = 392 Hz, aproximadamente.
39c) 186 = 440 qn
n ≅ −15
A nota é Fá #.
40b) L = 120+ 10 log10I
L' = 120+ 10 log10 (2I)
L'−L = 10 log10 2 ≅ 3.
A resposta é 3dB.
41a) Usando a fórmula de somação por partes,
∞
∞
k2
2 1 
k
∞
1
∑ 2 k = ∑ k  2  = 0 − 0 − ∑ ∆ 2 
k =1
k =1
k =1
∞
1
= − ∑ (2k − 1)∆ 
2
k =1
41b)
n
∑ k .2
k =1
k
n
k −2
∞
1
= 0−2+ ∑  
k =1  2 
= ∑ k.∆ 2 = n.2
k =1
k −1
k
n +1
∞
1
k = ∑ 
k =1  2 
2
k −2
k −1
∆(k − 1) 2 =
∞
1
∆(2k − 3) = −2 + ∑  
k =1  2 
n
k −2
.2 = − 2 + 8 = 6
− 0 − ∑ 2 k .1 = n.2 n +1 − (2 n +1 − 2) = (n−1)2n+1+2.
k =1