Solidos e Fluidos

Notas de aula – Física II – Profs. Amauri e Ricardo
1
SÓLIDOS
1 - Tensão e Deformação
Corpo elástico – é aquele que volta a sua forma original quando as forças deformantes são
removidas (ou deixam de atuar sobre o corpo). Os corpos, em geral, são elásticos se as forças
envolvidas estiverem abaixo de um certo máximo, denominado de limite elástico.
Definição de Tensão de tração (T): Por definição, tensão é a razão entre a força aplicada a um
corpo e sua área perpendicular a força aplicada. Em termos de equação matemática, temos:
T = F /A. (ver Figura 1).
Unidade de tensão = Newton (N) / Área (m2).
Fig. 1 – (a) Barra sólida de seção reta A sujeita a uma força F. (b) Distribuição das forças sobre um elemento
afastado das extremidades.
Um corpo tende a aumentar (tração) ou diminuir (compressão) seu comprimento quando
está submetido a uma força. Seja ∆L a variação de seu comprimento, então:
Deformação (D) = ∆L/L
(Parâmetro adimensional)
Módulo de Young (Y) = T / D = (F/A)/ ∆L/L
(2)
(3)
O módulo de Young (coeficiente de elasticidade longitudinal) é uma característica de
cada material. Ele representa a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação
de um corpo. Quando a relação entre a tensão e a deformação deixa de ser linear, esta
constante não faz mais sentido, o corpo encontra-se numa situação em que ele já pode ter
chegado ao limite elástico devido à tensão e pode até mesmo partir (ponto de ruptura). (ver
Figura 2)
O Y do aço, e.g., é igual a 200 GN/m2 ( Tabela 1).
Normalmente Y tensão = Y compressão, porém, no concreto a resistência a tração é 8,5
vezes maior que a resistência a compressão.
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TABELA 1 – Módulo de Young (Y) e Resistência à Tração e à Compressão*
Material
Alumínio
Aço
Bronze
Chumbo
Cobre
Ferro (forjado)
Osso
Tração
Compressão
Concreto
Y (GN/m2)
Resistência à
Resistência à
2
Tração (MN/m ) Compressão (MN/m2)
90
520
520
370
12
230
390
70
200
90
16
110
190
16
9
23
200
2
270
17
Fig. 2 – Gráfico de tensão x Deformação. Se a tensão ultrapassar o ponto B, a barra não retornará ao seu
comprimento original se a força sobre ela for removida.
A figura acima mostra o comportamento de um material quando submetido a uma tensão. Até o
ponto A, o módulo de Young é válido. Até B o corpo pode voltar a sua forma após a aplicação
da força é , porém, acima disso, o corpo apresenta mudança permanente no seu formato pois um
rearranjo molecular ocorreu quando a força foi aplicada. Entre B e o ponto de ruptura, o
material tornar-se plástico não voltando mais a sua forma original caso a força sobre este seja
retirada. O ponto máximo de tensão é denominado de limite de resistência a tração.
Lei de Hooke: Dentro do limite elástico, F = k.∆l.
A Tensão de Cisalhamento é definida da seguinte maneira:
Ts = Fs /A ,
(4)
onde Fs é a força exercida sobre uma superfície de área A, como mostra a Figura 3.
Deformação de Cisalhamento (Ds) = ∆X/L
Ds = ∆X/L = tg θ.
(5)
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3
Os parâmetros estão representados na Figura 3.
Fig. 3 – Aplicação da força horizontal Fs sobre o livro provoca um cisalhamento.
Módulo de Cisalhamento (Ms) = tensão de cisalhamento / deformação de cisalhamento.
Ms = (Fs/A) / tg θ = Ts / Ds.
(6)
O módulo de cisalhamento também é conhecido como módulo de torção.
Exercício resolvido:
Um corpo de 500 kg é pendurado num cabo de aço com 3 m de comprimento e área da seção
reta 0,15 cm2. De quanto o cabo se alonga?
O alongamento do cabo se calcula pelo módulo de Young utilizando a equação (3):
F
F
A
Y=
⇒ ∆L = L A
∆L
Y
L
A força que atua sobre o cabo é o peso da carga de 500 kg:
F = mg = 500 x9,81 = 4,9 x10 3 N
Convertendo a área em m2 obtemos:
A = 0,15 cm 2 = 1,5 x10 −5 m 2
Consultando a tabela 1 obtemos o módulo de Young para o aço:
Y = 200 GN / m 2 = 2 x1011 N / m 2
Substituindo os valores na primeira equação obtemos:
∆L = 0,49 cm
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FLUIDOS
Os fluidos compreendem os líquidos e os gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até
ocuparem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contêm. Os gases se expandem até
ocuparem todo o volume do recipiente, qualquer que seja a forma.
1 – Densidade de um Corpo – também conhecida como densidade mássica ou massa específica
Definição de densidade (ρ)
ρ = m /V
(1)
onde m é a massa do corpo e V é o volume deste corpo. Para o Sistema Internacional de
Unidade (http://www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp) temos que a unidade de
densidade é kg/m3.
Não esqueça que 1000 l = 1 m3, que 1 kg = 1000 g e que o grama foi definido originalmente,
como a massa de um centímetro cúbico de água.
Exercício:
Considerando que um núcleo tem uma massa de 1,67 x 10-27 kg e que o seu raio (considerando-o
uma esfera) é da ordem de 10-14 m, temos que a densidade desta partícula é ~ 4x1014 kg/m3.
Obtenha este resultado. (A densidade de uma estrela de nêutron é da ordem de 1x1015g/cm3 ou
1.000x1015 kg/m3)
A Tabela 1 mostra alguns materiais e suas respectivas densidades.
Tabela 1 – Densidades de alguns materiais
Substância (*)
Ósmio (s)
Ouro (s)
Mercúrio (l)
Chumbo (s)
Cobre (s)
Ferro (s)
Terra (s, média)
ρ (kg/m3)
22500
19300
13600
11300
8930
7960
5520
Substância (*)
Alumínio (s)
Vidro (s, comum)
Osso (s)
Tijolo (s)
Água do mar (l)
Água (l)
Gelo (s)
ρ (kg/m3)
Substância (*)
ρ (kg/m3)
2700
2400-2800
1700-2000
1400-2200
1025
1000
920
Álcool (l, etanol)
Gasolina (l)
Madeira (s, carvalho)
Ar atmosférico (g)
Água (Vapor a 100°C)
Hélio (g)
Hidrogênio (g)
806
680
600-900
1,293
0,6
0,1786
0,08994
* (s) – sólido; (l) – líquido; (g) – gás
A densidade relativa (ρr) é definida como a razão entre a densidade de uma substância e a
densidade da água.
Densidade da água = 1000 kg/m3 = 1 g/cm3. (para T = 4°C e P = 1 atm)
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Temperatura (°C)
0 (solid)
0 (liquid)
4
20
40
60
80
100 (gas)
5
Densidade (g/cm3)
0.9150
0.9999
1.0000
0.9982
0.9922
0.9832
0.9718
0.0006
Problema – Um picnômetro (frasco aferido destinado à medição de massa específica de sólidos
ou líquidos) tem uma massa de 22,71 g. Cheio de água tem massa total igual a 153,38 g e cheio
de leite tem massa total de 157,67 g. Ache o ρ do leite.
Solução:
ρleite = massa do leite/volume do leite.
Mas o volume do leite = volume da água.
Volume da água = massa da água / densidade da água = (153,38 – 22,71)x10-3/1000 =
130,67x10 -6 m3.
ρleite = (157,67 – 22,71)x10-3/ 130,67x10 -6 = 1032,4 kg/m3 = 1,032 g/cm3.
2 - Pressão Num Fluido
Fluido – É um estado físico que permite fluir ou escoar.
Suponha um corpo de espessura muito pequena e submerso num fluido (Figura 1). Podemos
então definir pressão da seguinte maneira.
Pressão (P) – é a razão entre a força aplicada numa superfície
e a sua área = F/A.
No SI, a unidade de pressão é o Pascal (Pa)
1 Pa = 1 N/m2.
1 atm = 101325 Pa.
1 bar=103 milibar=100 kPa (mais usada em meteorologia)
Fig. 1 – Força F exercida sobre um
bloco de espessura infinitesimal e área
A devido à pressão do fluido sobre
esta superfície
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Módulo de compressibilidade (B) – Num fluido, B é definido da seguinte forma:
B=−
F
∆V
A .
V
(2)
Veja que se um corpo é submetido a uma variação de pressão (F/A), o seu volume diminui, logo
a variação de volume é negativa, razão pela qual usamos o sinal negativo na Equação 2. V é o
volume do corpo antes de ser submetido a uma variação de pressão. Quanto mais difícil for
comprimir um corpo menor será a razão ∆V , para uma certa variação de pressão, e maior
V
será o módulo de compressibilidade correspondente. Os líquidos e os sólidos são relativamente
incompressíveis e têm valores elevados de B, que dependem pouco da pressão e da temperatura.
Os gases por outro lado, são facilmente comprimidos e apresentam uma alta dependência da
pressão e da temperatura. A Tabela 2 mostra o módulo de compressibilidade para alguns
materiais.
Tabela 2 – Módulo de compressibilidade (GN/m2) de vários materiais
Material
B
Material
B
Material
B
Diamante
620
Tungstênio
200
Aço
160
Cobre
140
Ferro
100
Alumínio
70
Mercúrio
27
Chumbo
7,7
Água
2
Relação entre P e altura (h)
No caso de um líquido como a água, cuja densidade é
aproximadamente constante, a pressão aumenta linearmente com a
profundidade (veja Figura 2). O fluido tem massa m,
conseqüentemente o peso do fluido exercerá uma pressão P no fundo
da coluna de água, que deve ser maior do que no topo para suportar
o peso da coluna de água. Seja mg o peso da água sobre o fundo da
coluna, então a pressão no fundo devido à água é:
P´ = mg/A = ρ.V.g/A = ρ.A.h.g/A = ρ.h.g.
Logo, a pressão total sobre o fundo da coluna é:
P = Po + P´ = Po + ρ.h.g.
(3)
Fig. 2 – Pressão sobre um
fluido.
Naturalmente esta relação só vale se a densidade do fluido for
constante. Caso contrário, se faz necessário ter a relação entre densidade e altura.
Princípio de Pascal – A pressão aplicada a um líquido encerrado num vaso se transmite, sem
qualquer diminuição, a todo ponto do fluido e às paredes do vaso.
Pressão manométrica e pressão atmosférica
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Pressão atmosférica – é a pressão exercida num corpo devido à atmosfera
Pressão manométrica – é a diferença entre a pressão absoluta (total) e a pressão atmosférica.
Exemplo: Elevador hidráulico.
As pressões em ambas os êmbolos são
dadas por:
P1 = F1 / A1 e P2 = F2 / A2. Pelo
Princípio de Pascal, temos que P1 = P2,
então F2 = A2 F1 / A1
Considere o lado esquerdo da Figura 3. A pressão no reservatório de ar P é igual à pressão
atmosférica mais a pressão devido à coluna de água. Ou seja:
P = Patm + ρgh
Patm = ρgh
Fig. 3 – Pressão manométrica P pode ser medida por um manômetro de tubo aberto (esquerda) e a pressão
atmosférica pode ser medida por um barômetro de tubo em U (direita). http://www.walterfendt.de/ph14e/hydrostpr.htm
Se P= 0 atm, então h ≅ 10 m para a água e 760 mm para o Hg.
Obs. A atmosfera da Terra fica cada vez mais rarefeita à medida que a altitude aumenta.
Conseqüentemente, em altitudes acima do nível do mar, menos ar fica sobre as nossas cabeças
logo a pressão diminui. Para temos uma idéia da massa de ar que existe sobre a unha do dedão,
podemos fazer o seguinte cálculo:
Suponha que a área da unha do dedão seja de 1cm2. Considere que estamos na superfície do
mar, a pressão é de 1 atm (=101325 Pa). Logo, a força que o ar exerce sobre a unha é de
101325*1x10-4 = 10,13 N, ou seja, a massa de ar sobre a unha é de 10,13/9,8 = 1,03 kg! Você
acredita?
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A pressão do ar varia com a altitude de acordo com a seguinte expressão:
⎛ Mg ⎞
P(h ) = P0 exp⎜ −
h ⎟ , onde h é a altitude, M, g, R e T é a massa molecular da atmosfera,
⎝ RT ⎠
aceleração da gravidade, constante ideal dos gases e temperatura absoluta da atmosfera,
respectivamente. Para se ter uma idéia do que isto significa basta informar que para h = 11 km
(altitude de cruzeiro de vários aviões comerciais) a pressão é cerca ¼ da pressão na superfície
do mar (Po). Como a atmosfera fica mais rarefeita a medida que a altitude aumenta, é de se
esperar que a densidade também diminua. Na Figura 4 é mostrado o perfil de densidade de
alguns constituintes atmosféricos juntamente com o perfil de temperatura. Estes dados foram
obtidos pelo modelo MSIS para a cidade de São João do Cariri, PB. Podemos ver que em
altitudes abaixo de 120km as concentrações do O2 e do N2 aumentam com maior proporção. É
nesta altitude que as naves espaciais e os meteoritos começam a deixar o claro característico
devido ao atrito com a atmosfera.
TEMPERATURA ( C)
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
200
180
TEMPERATURA
160
140
COMPOSIÇÃO
MODELO MSIS_90
O
ALTITUDE (km)
120
N
O
He
100
Ar
H
N
80
60
40
20
Hora Local: 12 h
Data: 01/01/1997
Lat., Long.: -7 , -36
Média Atividade Solar
1E+20
1E+19
1E+18
1E+17
1E+16
1E+15
1E+14
1E+13
1E+12
1E+11
1E+10
1E+9
1E+8
1E+7
1E+6
1E+5
1E+4
0
CONCENTRAÇÃO (cm )
F ig. 4 – Perfil de concentração por cm3 de alguns constituintes atmosféricos. a linha escura contínua representa a
temperatura da atmosfera obtida pelo modelo MSIS para o dia 01/01/1997 sobre a cidade de S. J. do Cariri.
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3 – O Empuxo e o Princípio de Arquimedes
Empuxo – é a força exercida por um fluido sobre um
corpo nele imerso.
Princípio de Arquimedes – Um corpo imerso, total ou
parcialmente num fluido, sofre um empuxo que é igual ao
peso do volume do fluido deslocado.
Obs. Basicamente o que isto significa é que o peso de um
corpo dentro de um fluido é menor do que fora deste. Na
realidade, isto se deve ao fato de surgir uma força para
cima denominada de empuxo. Quem determina a direção
do empuxo é a direção onde ocorre variação de pressão,
ou seja, a se a pressão está aumentando, e.g., da esquerda
para direita, o empuxo apontará para a esquerda.
No nosso dia-a-dia, quando entramos numa piscina, temos a sensação de estarmos mais leve,
isto porque o empuxo atua de baixo para cima. Então, se temos uma massa de 60 kg e se o
empuxo é de, e.g., 560 N (supondo densidade média do corpo igual a 1050kg/m3), teremos, na
prática, perdido uma massa equivalente a aproximadamente 57,2 kg caso estejamos
completamente submerso. Ao sairmos da piscina teremos nossa massa original de volta.
Peso de um corpo imerso num fluido (http://www.walter-fendt.de/ph14e/buoyforce.htm)
A Figura 5 mostra um corpo imerso na água dependurado por uma mola e o diagrama de forças
mostrando o peso e a força da mola Fs. F1 é a força do fluido sobre a superfície superior do
corpo e F2 é a força provocada pela pressão do fluido na parte inferior do corpo. Temos então:
Fs + F2 = F1 + W ⇒ F2 – F1 = W – Fs
(4)
Fig. 6 – Forças sobre um “corpo”
imerso num fluido.
Fig. 5 – Decomposição de forças que atuam sobre
um corpo imerso num fluido.
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10
Se substituirmos o corpo por um volume do próprio fluido (Figura 6) e não levarmos mais em
conta que existe algo segurando o corpo (Fs=0) , teremos:
Wf + F1 = F2
(5)
Ou seja,
E = Wf
Este resultado, que é de extrema importância para o assunto abordado aqui, diz que o empuxo
que um fluido exerce sobre um corpo imerso completamente ou não neste fluido, é igual ao peso
do fluido deslocado por este corpo.
Na Equação 4 vimos que W – Fs = E, então, em termos de densidades, temos:
Fs = W – E = ρ.V.g – ρf.V.g = ρ.V.g.(1 - ρf/ρ) = W(1 - ρf /ρ).
(6)
Assim, segundo a equação anterior, a força medida pelo dinamômetro é sempre menor que o
peso do corpo quando este está fora do fluido.
Suponha que o fluido seja água: Fs = W – W/ρr ⇒ ρr = W/(W- Fs) = W/E.
Veja ótima demonstração das forças que atuam sobre um corpo quando este é introduzido
dentro de um fluido.
http://physics.uwstout.edu/physapplets/a-city/physengl/buoyforce.htm ????
http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/index.php?topic=266
4 – Fluidos em Movimento e Equação de Bernoulli
A Equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido que está em movimento. Esta
equação relaciona vários parâmetros físicos tais como velocidade e pressão.
Inicialmente devemos considerar que o fluxo de
massa é laminar – não turbulento – e
incompressível.
Equação de continuidade
A porção do fluido que está em 1 (na extremidade
esquerda), percorrerá uma distância v1∆t num
intervalo de tempo ∆t (Figura 7). Neste mesmo
instante, o fluido que está em 2, percorrerá uma
distância v2∆t até atingir a outra extremidade. Se
levarmos em conta que não existe sorvedouro ou
sumidouro entre 1 e 2, então o volume deslocado
em 1 é igual ao volume deslocado em 2. Ou seja:
Fig. 8 – Fluido escoando por uma região. Os
volumes nas regiões destacadas são iguais.
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V1 = V2 ⇒ A1. v1∆t = A2.v2∆t ⇒ A1. v1 = A2.v2
ou
A.v = constante
(7)
A grandeza A.v é denominada de vazão volumar Iv e sua unidade é m3/s.
Assim, Iv = A.v é a equação da continuidade.
A vazão mássica, por outro lado é dada por:
Im = ρ.A.v.
Equação de Bernoulli
Considere a Figura 8. A porção do fluido de massa m que está entre 1 e 1´ sofrerá uma variação
de energia potencial ao chegar em 2, dado por:
∆U = m.g.y2 – m.g.y1 = ρ.V.g (y2 – y1)
(8)
Fig. 7 – Fluido em movimento num tubo que tem variável
a altura e o diâmetro.
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12
Enquanto que a variação de energia cinética é dada por:
∆K =
(
)
(
1
1
mv 22 − mv12 = ρ V v 22 − v12
2
2
)
(9)
A força necessária para empurrar a massa m em A1 se contrapõe a F2 que realiza um trabalho
negativo, é dada por:
F1 = P1.A1 ⇒ W1 = P1.A1.∆x1
e F2 = P2.A2 ⇒ W2 = - P2.A2.∆x2
Logo, o trabalho total é WT = P1.A1.∆x1 - P2.A2.∆x2 = (P1 – P2).V
Pelo Teorema da energia cinética, temos:
WT = ∆U + ∆K, ou seja
(P1 – P2) V = ρ.g.(y2 – y1)V + ½ ρ.(v22 – v12) V
⇒ P1 + ρ.g.y1 + ½ ρ.v12 = P2 + ρ.g.y2 + ½ ρ.v22
ou
P + ρ g h + 1 ρ v 2 = constante
2
A Equação 10 é denominada de Equação de Bernoulli.
Efeito Venturi
Quando a velocidade do fluido aumenta, a pressão neste diminui.
Prova: Considere o fluido escoando pelo tubo representado na Figura 11.
Como a vazão é constante, temos:
A1.v1 = A2.v2 ⇒ v2 = (A1/ A2).v1.
Se A1 > A2, então v2 > v1.
Exercício: Prove que a pressão onde o tubo é mais estreito é menor. (Veja Figura 8)
Fig. 8 – Constrição de um tubo por onde flui um líquido.
(10)
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13
Tubo de Pitot – mede a velocidade de um avião com relação ao ar. Utilize a equação de Bernoulli para determinar
a equação que relaciona a velocidade com a altura l do tubo.
Fluxo de ar com
velocidade igual a v0
Fig. 9 – Representação detalhada de um Tubo de Pitot (esquerda) e onde ele fica normalmente instalado num avião
(direita)
No ponto 1 (Fig. 9) o ar está parado, pois não tem como sair pela extremidade oposta. A pressão em 2 é a mesma
pressão do ar que passa dentro do tubo com velocidade v0. Assim, a equação de Bernoulli fica da seguinte forma:
P1 + ρ ar g h1 +
1
1
ρ ar v12 = P2 + ρ ar g h2 + ρ ar v 22
2
2
⇔
P1 − P2 =
1
ρ ar v02 .
2
Aqui supomos que as alturas são iguais nos dois orifícios. Também trocamos v2 por v0 . Levando em conta que a
diferença de nível das superfícies do líquido de densidade ρ é dada por P1 − P2 =
v0 =
2ρ g l
ρ ar
ρ g l,
obtemos:
.
A ~5500m de altitude, a densidade do ar é quase 50% da densidade no nível do mar, sendo assim, a correção deve
ser feita para não haver erro de medição de velocidade.
Exercícios:
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14
1) A água flui através de uma mangueira de diâmetro igual a 3 cm a 0,65 m/s. O diâmetro do bocal da
mangueira é 0,30 cm. (a) A que velocidade a água passa através do bocal? (b) Se a bomba numa
extremidade da mangueira, e o bocal na outra estiverem na mesma altura, e se a pressão na saída do
bocal for a atmosférica, qual será a pressão na saída da bomba?
2) Um grande bloco de cortiça pesa 285N no ar. Quando o bloco é imerso em água, e preso a um
dinanômetro no fundo, a leitura deste é 855N. Achar a densidade da cortiça.
3) Uma embarcação navegando em água salgada (densidade igual a 1030 kg/m3) sofre um ligeiro
afundamento ao entrar em um rio de água doce. Removendo-se 600 toneladas da carga da embarcação, o
nível da linha d’água retorna aa posição original. Determinar a massa da embarcação supondo que os
costados são verticais.
4) Uma represa retangular, com 30 m de largura, suporta um corpo de água com uma altura de 25 m. (a)
Desprezando a pressão atmosférica, achar a força total devida à pressão da água que atua sobre uma
faixa horizontal da represa, com largura dy numa profundidade y. (b) Integrar o resultado de (a) para
obter a força total. (c) Por que é razoável desprezar a pressão atmosférica.
Exercícios para casa:
Vide livro texto, 3a edição.
De 1 a 15, de 17 a 26, de 29 a 33, 37, 39, 41 e 44.
Última atualização: agosto 2008
http://www.edinformatics.com/il/