MatBas05 - Radiciação

MÓDULO V
Exercício Proposto
RADICIAÇÃO
EP.03) Encontre o valor de:
1. Definição e nomenclatura
Raiz quadrada, cúbica, quarta,..., de um número é o
número cujo quadrado, cubo, quarta,..., potência é igual ao
número dado.
Simbolicamente:
n
a = b ⇔ bn = a
é o radical;
a é o radicando;
n é o índice do radical;
b é a raiz. (se n é par b deve ser não negativo)
Exemplos:
4
3
8
b)
3
−8
c)
9
−1
3. Propriedades dos radicais
Onde:
a)
As propriedades a seguir só podem ser aplicadas
para radicais com radicando não-negativos e com o
índice do radical um número natural, maior ou igual a dois.
Satisfeitas essas condições de existência, tem-se
que:
2
9 = 3 pois 3 = 9
Propriedade 1:
3
8 = 2 pois 23 = 8
Exemplo:
2
625 = 5 pois 5 4 = 625
32 =
4× 4×2 =
Se a ≥ 0 e n é um número natural, não-nulo e par,
define-se:
4 × 4 × 2 = 2× 2× 2 = 4 2
a = b ⇔ b ≥ 0 tal que b = a
n
EP.04) Simplifique os radicais:
50
a)
b)
3
32 × 3 2
Exercício Proposto
n
n a = a
b nb
Propriedade 2:
EP.01) Encontre o valor de:
81
a)
b)
c)
4
6
Exemplo:
81
3
64
Se a ≤ 0 e n é um número natural, não-nulo e par,
define-se:
n a ∉ℜ
EP.02) Encontre o valor de:
3
8
27
=
2
3
EP.05) Simplifique os radicais:
b)
a) − 121
3
8
=
27
Exercício Proposto
a)
Exercício Proposto
b)
a×b = n a ×n b
Exercício Proposto
2. Índice do radical
n
n
2
121
81
2
68
2
17
− 121
 n a 


Propriedade 3:
Se e n é um número natural, ímpar, maior ou igual a
três, define-se:
Exemplo:
n
a = b ⇔ b ∈ ℜ tal que b = a
n
( 5)
3
2
=
3
m
= n am , m ∈ Ζ
52 =
3
25
Matemática Básica V 1
Exercício Proposto
4. Expressões numéricas com radicais
EP.06) Simplifique os radicais:
a)
b)
3
8
2
( 3)
4
2
Propriedade 4:
n×p
a m×p = n a m , p ∈ N*, m ∈ Ζ
Parênteses, colchetes e chaves devem ser efetuados do
interior para o exterior, assim:
Exemplo:
6
3×2
53 =
5 3×1 =
2
51 =
5
Exercício Proposto
EP.07) Simplifique os radicais:
a)
8
412
b)
4
32 × 2
As regras para expressões numéricas que envolvem
números decimais são as mesmas utilizadas para
números inteiros e frações.
As operações são efetuadas na seguinte ordem:
1º) Potenciação e Radiciação na ordem em que aparecem;
2º) Multiplicação e Divisão, na ordem em que aparecem;
3º) Adição e subtração, na ordem em que aparecem.
{
[
(
)
]
}
1º) Parênteses
2º) Colchetes
3º) Chaves
As regras de sinais são as mesmas obedecidas para
números inteiros.
4
m n
Propriedade 5:
Exercício Proposto
a = m × n a , m ∈Ν *
EP.11) Simplifique as expressões abaixo:
Exemplo:
3 2
5 =
3×2
5 =
6
5
a) − 3 8 + 3 54 + 16
−
1
4
1
+ (− 1)5 × (− 1)
Exercício Proposto
EP.08) Simplificando o radical
01)
3
02)
18
2 3
64 obtemos:
64
b)
64
6
64
36
+
0,25 + 8
−
2
3
04) 6 64
08) 64
16) 2
5
32) 2 – 3 100
0
64) 2
5. Racionalização de Denominadores
Somatória das alternativas corretas: ___
m
n
Propriedade 6:
am = a n , m ∈ Ζ
Racionalizar um denominador irracional de uma
fração é fazer com que não exista um radical e nem um
expoente fracionário nesse denominador.
Na racionalização de denominadores, podem
ocorrer três situações:
Exemplo:
2
3
52 = 5 3
Exercícios Propostos
1ª Situação: Se o denominador da fração é um monômio
do tipo b , basta multiplicar os dois termos da fração
(numerador e denominador) pelo mesmo fator de
b:
racionalização
EP.09) Simplifique os radicais:
a)
b)
6
a
64 5
b
2
83
=
a
b
×
b
×
5
b
=
a b
( b)
2
=
a b
b
=
2 5
5
Exemplo:
2
3
EP.10) Escrever 2 . 2 na forma de uma potência de
expoente racional.
5
=
2
5
5
=
2 5
( 5)
2
Matemática Básica V 2
Exercício Proposto
6. Resolução de equações
EP.12) Racionalizar os denominadores das frações
abaixo:
10
a)
5
3 −3
b)
A equação x n = a , para n natural par e a > 0, possui
raízes simétricas, a saber:
Exemplo:
Logo:
S = {− 3; 3}
Exercício Proposto
2ª Situação: Se o denominador é um binômio do tipo
(
)
Exemplo:
1
2+ 3
=
1
2+ 3
×
2−
3
2−
3
=
2− 3
2 −
2
( 3)
2
2− 3
=
= 2− 3
4−3
a e −n a .
x 4 = 81 x = ± 4 81 x = ± 4 3 4 x = ±3
3
a + b , a − b , a + b , a − b , basta multiplicar os
dois termos da fração pelo conjugado do denominador:
c
c
a− b
c. a − b
=
×
=
a−b
a+ b
a+ b
a− b
n
EP.15) Assinale V (verdadeira) ou F (falsa) nas afirmações
abaixo:
2
( ) Se x = 9, então x = 3 ou x = –3.
(
) Se x = 9 , então x = 3 ou x = – 3.
(
) Se x = 3 - 27 , então x = – 3.
(
) Se x = 4 - 16 , então x = – 2.
(
) Se a > 0 e b > 0 então
a2 + b2 = a + b .
Exercício Proposto
EP.13) Racionalizar os denominadores das frações
abaixo:
EC.01) Determine o valor da expressão abaixo:
2
a)
Exercícios Complementares
5− 2
1
1
9
49
−
×
+
÷
4
9
16
25
2 -1
b)
2 +2
36
25
EC.02) O valor da expressão abaixo é:
0,09 − 3 × 0,2 + (0,8 )2
3ª Situação: Quando no denominador aparecer uma raiz
com índice maior que dois, teremos:
a
n
bm
=
a
n
bm
×
n
n
b n −m
=
b n −m
n
Onde o fator de racionalização é
a.n b n −m
b
bn −m e n > m.
EC.03) Assinale a afirmativa falsa:
2
a) 0,04 ÷ 0,09 =
3
Exemplo:
1
3
5
=
1
3
5
×
3
3
5 3 −1
5
3 −1
=
1
3
5
×
3
3
52
5
2
3
=
3
52
5
3
3
=
25
5
Exercício Proposto
EP.14) Racionalize os denominadores das frações abaixo:
5
a)
7 2
3
b)
36
4
39
a) 0,64
b) 0,30
c) 0,34
d) 0,60
e) 1,54
b) 1− 5 × 9 + 2 2 = −10
2
9
3
3
c)   −
=−
4
16
16
 
d)
4×
1
1
+ 5×
=2
4
25
(
)
e) 4 3 − 5 3 + 6 3 − 8 3 + 6 3 = 9 3
EC.04) O valor de 0,3. 16 − 3. 0,16 + (0,5 )(
. 0,2 ) é:
a) 100
b) 10
c) 1
d) 0,1
e) 0,01
Matemática Básica V 3
EC.05) O valor de
 1
25 − 3 27 +  
2
(− 3)2 + 3 − 343
−1
GABARITO
Exercícios Propostos
é:
a) 0
b) 2
c) 4
d) 8
e) 16
EC.06) O valor de
9 − 2.3 − 1
2 0 − 2 −1
é:
EP.01) a) 9;
EP.02) a) –11;
EP.03) a) 2;
b) 3;
b) não existe
b) –2,
EP.04) a) 5. 2 ;
11
EP.05) a)
;
9
EP.06) a) 4;
b) 4
c) 2
c) –1
b) 2
b) 9
EP.07) a) 8;
b) 8 ou 2 2
EP.08) somatória = 52
EP.09) a) 32;
b) 4
a) 2
b) 3
c) 5
d) 10
e) zero
2
EP.10) 2 3
EP.11) a)
6.3 2 − 1
;
2
EP.12) a) 2. 5 ;
EC.07) Racionalizando a fração
18
8−
2
, obtemos um
número:
a) par e menor que 10;
b) par e maior que 10;
c) ímpar e divisor de 10;
d) ímpar e primo;
e) nulo.
EP.13) a)
(
2. 5 + 2
3
b)
)
17
12
b) 1− 3
b)
3. 2 − 4
2
5.7 243
4.4 27
; b)
3
3
EP.15) V, F, V, F, F
EP.14) a)
Exercícios Complementares
17
12
EC.02) C
EC.03) E
EC.04) D
EC.05) B
EC.06) D
EC.07) D
EC.08) C
EC.09) C
EC.10) C
EC.01)
EC.08) O número 2
2
12 é igual a:
a) 4. 3
b) 4.3 3
c) 4.4 3
d) 4. 2
e) 4.3 2
EC.09) Dados os números a =
podemos afirmar que:
a) a < b < c
b) a < c < b
c) c < a < b
d) b < a < c
e) c < b < a
2 , b =
3
3 e c =
6
6,
EC.10) Simplificando a expressão


 ab − b − a + 1  × ab ,

a
b
ab 

sabendo que a e b são números reais maiores que zero,
obtemos:
a) a + b
b) ab
c) (a - 1).(b - 1)
d) ab.(a - b)
e) (a + 1).(b + 1)
Matemática Básica V 4