Fração Geratriz

Dízimas Periódicas
61
= 0,12323 …
495
1. Definição
Uma dízima periódica é um número que quando
escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de
algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se
repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados
sempre na mesma disposição e chamados de período.
Por exemplo, os números a seguir são dízimas
periódicas:
3,2222.....
0,353535....
ത
3, 2
45,765ത
തതത
0, ത35
As dízimas periódicas são formadas de três partes:
parte inteira, anti-período e período. Parte inteira é a parte
que antecede as casas decimais (antes da vírgula ou ponto
decimal). O período é a parte que se repete de forma
infinita. Já o anti-período é a parte do número que está
após o início das casas decimais (após a vírgula), e vai até
o início do período. Assim, por exemplo, o número
45,76555.... apresentado acima, tem 45 como parte inteira,
76 como anti-período e 5 como período.
Existem dois tipos de dízimas periódicas: as
simples e as compostas. As dízimas periódicas simples
não apresentam o período logo após a vírgula, ou seja, não
apresentam o anti-período. Já as dízimas periódicas
compostas apresentam o anti-período entre a parte inteira e
o período. Por exemplo:
- Simples: 0,222...
-Compostas: 0,0333...
3,4444....
12,34545...
13,1111...
6,7537878...
2. Fração Geratriz
Toda dízima periódica pertence ao conjunto dos
números racionais (Q). Desta forma, todas elas, sem
exceção, possuem uma fração que, quando dividimos o
numerador pelo denominador, encontramos esta dízima.
Esta fração é chamada de fração geratriz. Por exemplo:
5
= 0,5555 …
9
7
= 2,3333 …
3
Desta forma, torna-se fundamental que saibamos
encontrar a fração que gera cada dízima para que possamos
realizar operações com ela. Por exemplo, a operação:
0,1212... + 0,5555... – 0,0222... + 0,2323...
deve ser realizada na forma fracionária como:
4 5 1 23
+ −
+
33 9 45 99
45,76555...
As dízimas periódicas são representadas por
reticências (...) no final do número ou por um traço sobre a
parte que repete, chamado de período. Assim, os mesmos
valores acima podem ser representados:
1
= 0,02222 …
45
148
= 1,64444..
90
23
= 0,2323 …
99
Para encontrarmos as dízimas, existe o caminho
algébrico e o prático.
3. Solução Algébrica
Para encontrarmos a fração de uma dízima,
devemos proceder da seguinte forma:
a)
Devemos atribuir a dízima a uma incógnita, x por
exemplo;
b) Depois, devemos multiplicar a dízima por uma
potência de 10 (1, 10, 100, 1000,....) até que
tenhamos duas versões, uma com o período logo
após a virgula e outra com um período do lado
esquerdo da vírgula.
c) Finalmente, subtraímos ambos os lados destas
igualdades e isolamos a incógnita. O resultado é a
a fração geratriz.
Vejamos, por exemplo, as dízimas 0,555..., 2,333.... e
1,64444...
a) x = 0,5555....
como essa dízima já tem o período logo após a
virgula, já temos a primeira relação. Para a segunda,
precisamos colocar a vírgula após a primeira repetição do
período (após o primeiro 5). Para isso, basta multiplicar
ambos os lados da equação por 10. Isso produz a segunda
relação que é: 10x = 5,555...
Juntamos as duas equações e subtraímos a
primeira da segunda:
‫ = ݔ‬0,555 … (1)
൜
10‫ = ݔ‬5,555 … . (2)
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos:
10‫ ݔ‬− ‫ = ݔ‬5,555 … − 0,555 …
9‫ = ݔ‬5
5
9
‫=ݔ‬
25 1188 + 25
=
12,2525 … = 12 + 0,2525 … = 12 +
99
99
1213
=
99
Essa fração é a geratriz da dízima.
b) Dízimas Compostas
b) x = 2,333...
‫ = ݔ‬2,333 … (1)
൜
10‫ = ݔ‬23,333. . . (2)
As dízimas compostas são convertidas em fração
através de um dispositivo que forma a fração assim: para
cada algarismo do período ainda se coloca um algarismo 9
no denominador. Mas, agora, para cada algarismo do antiperíodo se coloca um algarismo zero, também no
denominador. No caso do numerador, faz-se a seguinte
conta: (parte inteira com anti-período e período) – (parte
inteira com anti-período). Assim:
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos:
10‫ ݔ‬− ‫ = ݔ‬23,333 … − 2,333 …
9‫ = ݔ‬21
21 7
=
‫=ݔ‬
3
9
c) x = 1,6444...
10‫ = ݔ‬16,444 … (1)
൜
100‫ = ݔ‬164,444. . . (2)
Fazendo (2) – (1) e isolando o x, teremos:
100‫ ݔ‬− 10‫ = ݔ‬164,444 … − 16,444 …
90‫ = ݔ‬148
148 74
‫=ݔ‬
=
90
45
1,6444 … =
4. Solução Prática
Para a solução prática de uma fração geratriz,
precisamos separar as dízimas simples das compostas.
a) Dízima Simples
Em primeiro lugar, vamos ver as dízimas simples
com a parte inteira zero. Para encontrarmos a dízima
periódica dela, basta formar a fração com o período no
numerador e um algarismo nove para algarismo do período
no denominados. Por exemplo:
0,555 … =
5
9
foi colocado um algarismo 9 pois o período tem tamanho
1. Vejamos outros casos:
0,2323 … =
Outros exemplos:
23
99
0,375375 … =
375
999
Quando a dízima apresentar um período não
inteiro, devemos separá-la em duas partes: inteira e
decimal, somadas. Depois, transformamos a parte decimal
em fração pelo método acima e aplicamos a soma de fração
para encontrar a solução final:
2,444 … = 2 + 0,444. . = 2 +
4 22
=
9
9
21,30888. . =
2,4732121 … =
164 − 16 148 74
=
=
(1)
90
90
45
21308 − 2130 19178
=
(2)
900
900
247321 − 2473 244848
=
(3)
99000
99000
0,1252525 … =
125 − 1 124
=
(4)
990
990
Observe que no exemplo (1), o denominador foi
90 pois o 9 veio do tamanho do período (1 algarismo) e o 0
do número de algarismo do anti-período. No exemplo (3),
foram dois noves do tamanho do período e três zeros pois o
anti-período continha três casas.
Prof. Marcos Carrard
www.mcarrard.com.br