Lista de Exercícios para prova Subst. de ÁLGEBRA BÁSICA.

Universidade Federal do Pará - PARFOR
Disciplina: Álgebra Básica
Lista de Exercícios para a prova substitutiva
1) Efetue as operações: a) (2 x 2 − 3x + 1) + (2 x − 3) + (4 x 2 + 5) Resp: 6 x 2 − x + 3 b) (2 x − 1)( x 2 − 3x + 5) Resp: 2 x 3 − 7 x 2 + 13 x − 5 c) ( x − 3 y)(x 2 − 3xy + y 2 ) Resp: x 3 − 6 x 2 y + 10 xy 2 − 3 y 3 e) (3x − 1)( x + 2) − ( x − 2) 2 Resp: 2 x 2 + 9 x − 6 d) (3 y + 2)(3 y − 2) Resp: 9 y 2 − 4 2) Calcule o valor numérico das expressões para os valores indicados: 5a − m
a) 2
para a = 4 e m = 1
a − 3m 2
x+ y
1
1
b)
para x = e y = .
1 + xy
2
4
3x 2 − y
c)
para x = −2 e y = 16
5− x
3) Efetue as divisões: a) 6 x 2 − x + 2 por 3 x − 2 Resp: Q( x) = 2 x + 1 e R = 4 b) 4 x 4 − 10 x − 9 x 2 − 10 por 2 x + 3 Resp: Q( x) = 2 x 3 − 3x 2 − 5 e R = 5 c) 16 x − 5 x 3 − 4 + 6 x 4 − 8 x 2 por 2 x − 4 + 3x 2 Resp: Q( x) = 2 x 2 − 3x + 2 e R = 4 d) x 3 − 8 por x − 2 Resp: Q( x) = x 2 + 2 x + 4 e R = 0 4) Fatore: a) 2 x 2 − 10 x Resp: 2 x( x − 5) b) 2 x 2 y − 12 xy 2 Resp: 2 xy ( x − 6 y ) c) a 4 − 1 Resp: (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1) d) x 2 − 2 xy + y 2 Resp: ( x − y ) 2 e) x 2 + 2 x + 1 Resp: ( x + 1) 2 f) 4a 2 + 20ab + 25b 2 Resp: (2a + 5b) 2 5) Simplifique as frações: 8( y − 5) 2
x+3
1
a) R
esp: b
) Resp: 4( y − 5) ( x + 3)
2( y − 5)
( x + 3) 2
x
2 x 2 ( x + 7)
x
x 2 − 2x
c) Resp: d) Resp: 2
3
2
2x − 4
3( x + 7)
6 x ( x + 7)
2
2
x −9
9 y + 3y
x −3
e) Resp: 3 − y f) 2
Resp: x+3
3y
x + 6x + 9
6) Resolvas as equações do primeiro grau: a)
2x − 3 = 17
b)
4x + 7 = x − 8
c)
x 2x − 1 x + 1
−
=
4
3
6
d)
x−
x−2
2− x
= 2−
3
4
7) Resolva as inequações: a) (x + 3) (x – 2) > 0 b) (3x + 3) (5x – 3) > 0 c) (6x – 1) (2x + 7) ≤ 0 d) (x – 3) (x + 1) ≤ 0 2x + 1
x +1
d) > 0 e) < 0 x+2
x −1
8) Resolva os problemas do primeiro grau: 2
3
a) Somando-­‐se os de um número x como os do número y, obtém-­‐se 84. Se o 3
5
número x é metade do número y, determine os valores do referidos números. b) Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180 g. Qual o peso do copo vazio? c) A idade de um pai é igual ao triplo da idade de seu filho. Calcule essas idades, sabendo que juntos tem 60 anos. d) Num estacionamento há carros e motos, totalizando 78. O número de carros é igual a cinco vezes o de motos. Quantas motos há no estacionamento? 9) Resolva as equações irracionais: a) x + 1 = 7 b) 3 + x = 9 − x c) 2x − 3 − x + 11 = 0 d) 3x + 1 − x + 4 = 1 e) x + 5 + x − 5 = 2x f) x + 1 + x + 6 = 5 10) Resolva os sistemas: ⎧2x + 3y = 24
⎧ 3x − 10y = 5x − 26
a) ⎨
b) ⎨
⎩5x − 2y = 7
⎩ x + y = 2x − y + 2
⎧ 4x + 8y = 52
⎧ 7x − 8 = 3y
c) ⎨
d) ⎨
⎩9x − 2y = 17
⎩ 4x + 24 = −9y
[email protected] 2 Resp: a) x =
69
106
;y=
19
19
b) x =
16
15
8
; y = c) x = 3; y = 5 d) x = 0; y = − 7
7
3
11) Resolva os problemas: a) Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-­‐se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, quantos extintores de cada tipo há? b) Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, quais são nossas idades? c) Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. Determine o número de mesas de cada tipo d) Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou? 12) Resolva as equações do segundo grau: a) x − 4x − 5 = 0 b) 6x + x − 1 = 0 c) 3x + 5x = −x – 9 + 2x 2
d) ( x − 3) = −2x ⎛ x 3⎞ ⎛ x 2⎞
e) ⎜ + ⎟ ⎜ − ⎟ = 0 ⎝ 3 4 ⎠ ⎝ 4 3⎠
13) Resolva as equações biquadradas: a) x 4 – 13x 2 + 36 = 0 b) 4x 4 − 37x 2 + 9 = 0 14) Resolva os problemas do segundo grau: a) Determine dois números consecutivos ímpares cujo produto seja 195. b) A diferença entre as idades de dois irmãos é 3 anos e o produto de suas idades é 270. Qual é a idade de cada um? c) Qual é o número inteiro positivo cuja metade acrescida de sua terça parte é igual ao seu quadrado diminuído 134? d) Calcule as dimensões de um retângulo de 16cm de perímetro e 15cm² de área. e) A diferença de um número e o seu inverso é 8/3. Qual é esse número? f) Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-­‐se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente? 15) Estudar o sinal dos trinômios do segundo grau: a) 4x 2 − 3x + 5 b) −2x 2 + 3x + 5 c) x 2 − 2 2x + 2 d) x 2 − 8x + 15 [email protected] 3 16) Determine a solução de cada inequação do segundo grau: a) x 2 − 10 x + 9 ≥ 0 b) − x 2 + 2 x − 1 < 0 c) x 2 + 5 x + 9 < 0 d) x 2 + x − 6 < 0 17) Resolva os seguintes problemas sobre progressões aritméticas: a) Um aluno escreveu todos os números ímpares desde 17 até 63. Quantos números ele escreveu? Resp: 24 números b) Um ciclista percorre 20 km na primeira hora; 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quanto quilômetro percorrerá em 5 horas de treino? Resp: 70km c) Determine x para que a sequência (3x -­‐ 4; x + 12; 9x -­‐ 12) forme uma P.A. Resp 4 d) Sendo a P.A. (x, 5, 9, ...) determine a posição ocupada pelo número 149. Resp: 38a e) Seu Juca resolveu dar a seu filho Riquinho uma mesada de R$300,00 por mês. Riquinho, que é muito esperto, disse a seu pai que, em vez da mesada de R$300,00, gostaria de receber um pouquinho a cada dia: R$1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia, R$1,00 a mais que no dia anterior. Seu Juca concordou, mas, ao final do primeiro mês, logo percebeu que havia saído no prejuízo. Calcule quanto, em um mês com 30 dias, Riquinho receberá a mais do que receberia com a mesada de R$300,00. Resp: R$ 165,00 a mais f) Quantas badaladas dá em um dia um relógio que só bate as horas? Resp:156 g) Achar três números em progressão aritmética conhecendo sua soma 15 e seu produto 105. Resp: 3, 5, 7 ou 7, 5, 3 3 ou 67; 67 ou 3; 4 ou -­‐4 18) Resolva os seguintes problemas sobre progressões geométricas: a) Determine o nono termo da PG (3, 6, 12, 24, ...) Resp: 768 b) Qual o primeiro termos da PG de razão 2 e a5 = 1 . Resp: a1 = 3 c) Quantos termos tem na PG onde a1 = 1 , razão 3 e an = 2187 . Resp: 8 termos d) Interpole quatro meios geométricos entre 3 e 96 Resp: (3,6,12,24,48,96) ou (3,-­‐6,12,-­‐24,48,-­‐96) e) Determine o oitavo termo da PG (1/81 ,1/27 , 1/9,......) Resp: a8 = 27 f) Na PG onde a5 = 48 , razão 2 , calcule a9 . Resp: a9 = 768 [email protected] 4 g) Uma jovem seria contratada como vendedora para trabalhar de segunda a sábado nas duas últimas semanas que antecederiam o natal. O dono da loja ofereceu R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ela recebera no dia anterior. A jovem achou a proposta humilhante. Recusou o trabalho. Se ela tivesse aceitado a proposta, quanto teria recebido pelos 12 dias de trabalho? Resp: R$ 4.095,00. h)Achar a soma dos 10 primeiros termos da PG ( 2, 4, 8,16,...) . Resp: 2046 19) Resolva os seguintes problemas sobre logaritmos: a) Sendo log 2 = 0, 301 e x = 5 3 ⋅ 4 4000 , calcule log x .
(
)
b) Determine o produto das raízes da equação log x 2 − 7x + 14 = 2 log 2 .
c) Calcule log 5 625 + log100 − log 3 27 .
d) Considerando que og 7 10 = 1,1833 , qual é o log 7 70 ?
(
)
e) Se x + y = 20 e x − y = 5 , qual é o valor de log x 2 − y 2 ?
log 3 1 + log10 0,01
? 1
log 2 . log 4 8
64
g) Sendo log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, qual o valor de log 60? h) Sabendo que log3(7x – 1) = 3 e que log2(y3 + 3) = 7, calcule o valor logy(x2 + 9). i) Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-­‐se que este imóvel valorizou 12% ao ano. Em quanto tempo, aproximadamente, seu valor duplicou? (dados: log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84) f) Qual é o valor da expressão [email protected] 5