Sistemas Lineares

www.matematiques.com.br
Álgebra Linear
4ª Lista de Exercícios – Sistemas Lineares
1) Resolva o sistema linear
2 x  3 y  z  11

x  y  z  6
5 x  2 y  3z  18

2) Se o sistema linear a seguir, é impossível,
ax  y  z  1

 x  2 y  3z  0
2 x  y  3z  2

então:
a) a = 0
b) a = -14/3
c) a = 3/4
d) a = 1
e) a = 28
3) Perguntado sobre a idade de seu filho Júnior, José respondeu o seguinte: "Minha idade quando
somada à idade de Júnior é igual a 47 anos; e quando somada à idade de Maria é igual a 78 anos.
As idades de Maria e Júnior somam 39 anos." Qual a idade de Júnior?
a) 2 anos
b) 3 anos
c) 4 anos
d) 5 anos
e) 10 anos
4) (PUCCAMP) Um certo número de alunos fazia prova em uma sala. Em um dado momento, retiraramse da sala 15 moças, ficando o número de rapazes igual ao dobro do número de moças. Em seguida,
retiraram-se 31 rapazes, ficando na sala igual ao número de moças e rapazes. O total de alunos que
fazia prova nessa sala era
a) 96
b) 98
c) 108
d) 116
e) 128
5) (Ufg 2007) Para se deslocar de casa até o seu trabalho, um trabalhador percorre 550 km por mês.
Para isso, em alguns dias, ele utiliza um automóvel e, em outros, uma motocicleta. Considerando
que o custo do quilômetro rodado é de 21 centavos para o automóvel e de 7 centavos para a
motocicleta, calcule quantos quilômetros o trabalhador deve andar em cada um dos veículos, para
que o custo total mensal seja de R$ 70,00.
2 x1  3x 2  x3  0

6) Seja o sistema S1 :  x1  2 x 2  x3  5 .
 x  x  x  2
2
3
 1
a) Verifique se (2, -1, 1) é solução de S.
b) Verifique se (0,0,0) é solução de S.
3x  y  k 2  9
7) Seja o sistema: 
x  2 y  k  3
Resp: a) é
b) não é
. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.
Resp: k = -3
x  y  1
mx  ny  1
e 
2 x  y  5 nx  my  2
8) Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas: 
Resp: m = 0 e n = 1
www.matematiques.com.br
9) Expresse matricialmente os sistemas:
2a  b  c  1

b) a
c 0
 3a  5b  c  2

2 x  y  5
a) 
x  3 y  0
2  5 a   4
 .     . Determine as equações de S.
 3 1  b   7 
10) A expressão matricial de um sistema S é 
11) Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.
x  2 y  5
2 x  3 y  4
a) 
Resp: {(1,2)}
3 x  4 y  1
x  3 y  9
b) 
Resp: {(3,2)}
12) Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:
x  2 y  z  2

a) 2 x  y  3z  9
3x  3 y  2 z  3

Resp: {(1,2,3)}
 x  y  10  0

b)  x  z  5  0
Resp: {(6,4,1)}
y  z  3  0

13) Resolva as equações matriciais:
2 1   x  9 
.   

a) 
 1  3   y    13 
 2
Resp:  
5
 1 4 7   x   2

   
b)  2 3 6 . y    2 
 5 1  1  z   8 

   
1
 
Resp:  2 
 1
 
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
14) Discuta os sistemas:
mx  y  2
a) 
x  y  m
kx  y  1
b) 
x  y  2
7 x  y  3z  10

c)  x  y  z  6
4 x  y  pz  q

15) Classifique, quanto ao número de soluções, os seguintes sistemas homogêneos.
3x1  4 x2  0
a) 
 6 x1  8 x2  0
x  y  z  0

b) 2 x  2 y  4 z  0
 x  y  3z  0

x  y  2z  0

c)  x  y  3z  0
x  4 y  0

www.matematiques.com.br
6 x  ay  12
seja indeterminado.
4 x  4 y  b
3x  2 y  1
17) Calcule os valores de a para que o sistema 
seja compatível e determinado.
ax  4 y  0
16) Determine a e b para que o sistema 
 y  az  2

18) Dê os valores de a para que o sistema  x  y  z  a
seja compatível e determinado.
ax  2 y  4 z  5

ax  y  2  0

19) Dê o valor de a para que o sistema 2 x  y  z  a  0 seja impossível.
4 x  y  az  5  0

3z  4 y  1

20) Determine o valor de k para que o sistema 4 x  2 z  2
seja indeterminado.
2 y  3x  3  k

2 x  y  3z  0

21) Ache m para que o sistema  x  4 y  5 z  0 tenha soluções próprias.
3x  my  2 z  0

 px  y  z  4

22) Qual o valor de p para que o sistema  x  py  z  0 admita uma solução única?
x  y  2

x  y  z  1

23) (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear 3x  y  2 z  3 é compatível e determinado?
 y  kz  2

Respostas exercícios propostos:
Discussão de um Sistema Linear.
14 a) SPD se m  1 SI se m = –1
b) SPD se k  1 SI se k = 1
c) SPD se p  1 ; SPI se p = –1 e q = 8; SI se p = –1 e q  8
15. a) indeterminado.
b) indeterminado.
c) determinado
16. a = 6 e b = 8
17. a  6
18. a  R / a  4 e a  1
19. a  4 ou a  1
20. k = 5
3
13
22. p  R / p  1
1

23. k  R / k  
4

21. m 
www.matematiques.com.br
Escalonamento de Sistemas Lineares
24) Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:
2 x  y  3z  0

a)  2 y  z  1

2 z  6

3x  2 y  z  2
yz 0

b) 
25) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:
2 x  3 y  z  1

a) 3x  3 y  z  8
2 y  z  0

x  y  z  2
2 x  3 y  2 z  5
b) 
x  y  z  3
2 x  3 y  z  0
c) 
a  2b  c  d  2
cd 0

c) 