Números e Funções Reais

Notas de Aula de
Números e Funções Reais
Tutor - Fernando Junior
Orientador - Fábio Carvalho
Sumário
1 Conjuntos
4
2 Conjuntos Numéricos
2.1 Os Naturais N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Adição e Multiplicação nos N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.2.1 Zero e os números naturais
Os Inteiros Z . . . . . . . . . . . .
Os Racionais Q . . . . . . . . . . .
Os Reais R . . . . . . . . . . . . .
Intervalos . . . . . . . . . . . . . .
Os Complexos C . . . . . . . . . .
Exercícios Propostos . . . . . . . .
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3 Relações
7
7
8
8
9
10
12
12
14
15
3.1 Produto Cartesiano e Par Ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Relação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Funções
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .
Crescimento e decrescimento de funções
Exercícios Propostos . . . . . . . . . . .
Composição de funções . . . . . . . . . .
Funções Exponênciais e Logarítmicas . .
4.5.1 Logaritmos . . . . . . . . . . . .
4.6 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . .
4.7 Grácos de Funções . . . . . . . . . . .
4.7.1 Paridade de funções . . . . . . .
4.8 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . .
5 Polinômios
5.1 Funções Polinomiais . . . . .
5.2 Interpolador de Lagrange . .
5.3 Divisão de Polinômios . . . .
5.3.1 Algoritmo de Runi .
5.3.2 Raízes Múltiplas . . .
5.4 Equações Recíprocas . . . . .
5.5 Teorema das Raízes Racionais
5.6 Relações de Girard . . . . . .
5.7 Teorema de Bolzano . . . . .
5.8 Exercícios Propostos . . . . .
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38
39
39
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48
48
49
50
50
51
51
53
53
54
56
3
6 Funções Trigonométricas
6.1 Identidades e Transformações Trigonométricas .
6.1.1 Fórmulas de adição e subtração . . . . . .
6.2 As Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . .
6.3 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . .
6.4 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . .
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57
59
59
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68
72
CAPÍTULO 1.
CONJUNTOS
1
Conjuntos
Um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos. Denotamos conjuntos por letras latinas maiúsculas. Dado
um conjunto A e um objeto x, dizemos que x pertence a A, ou ainda que x é um elemento de A, quando x for
um dos objetos que compõem A. Neste caso escrevemos x ∈ A. Caso x não seja elemento de A, escrevemos
x∈
/ A e dizemos que x não pertence a A. Listamos os elementos de um conjunto A pondo os mesmos entre
chaves. O símbolo ∈ é usado para representar a relação de pertinência entre elementos e conjuntos.
Exemplo (Conjuntos).
1.
O conjunto
Z
dos números inteiros:
Z = {..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
2. O conjunto
N
dos números naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Observações.
1. Como um conjunto é uma coleção não-ordenada de objetos, tanto faz escrevermos A = {1, 2, 3, 4} quando
A = {1, 4, 3, 2} para denotar o conjunto A.
2. Para conjuntos com um número innito ou muito grande de elementos é frequente listar seus elementos
em uma certa ordem, que torne evidente lei de formação do conjunto (veja os exemplos acima)
3. Não contamos elementos repetidos: {1,2} e {1,1,2} representam um mesmo conjunto.
4. (Conjuntos definidos por sentenças lógicas). Podemos denir um conjunto por uma sentença
lógica, i.e., exigindo que seus elementos sejam os objetos que satisfaçam uma ou mais propriedades. Por
exemplo, podemos denir o conjunto
(a) A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} escrevendo A = {x; x ∈ N e x é primo ímpar}.
(b) P = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...} escrevendo P = {x; x é primo ímpar}.
(c) Q = {02 , 12 , 22 , 32 , 42 , 52 , ...} escrevendo Q = {x|x ∈ Z e x é quadrado perfeito}.
5. (Conjunto vazio). Toda sentença lógica dene um conjunto. Assim, {x|x ∈ R e x 6= x} dene um
conjunto, que obviamente não pode ter elemento algum. Tal conjunto, o conjunto vazio, é denotado por
∅.
Definição (Cardinalidade). Informalmente, dizemos que um conjunto A é finito se ele tem um número nito
n ∈ N de elementos. Este número é a cardinalidade de A, denotada por |A|, A ou ainda n(A). Observe que
n(A) = 0 se e somente se A = ∅. Dizemos que um conjunto é infinito se ele não é nito. Os conjuntos N, Z, Q e R
são innitos. Mais adiante veremos melhor esses conjuntos, os quais são denominados de conjuntos numéricos.
Um conjunto A é dito unitário se n(A) = 1.
Definição (Subconjunto de um conjunto). Dados conjuntos A e B, dizemos que A é um subconjunto de
B, ou ainda que A está contido em B ou que B contém A, e escrevemos A ⊆ B ou B ⊇ A, quando todo elemento
de A for também elemento de B. Em símbolos,
A ⊆ B ⇔ B ⊇ A ⇔ [∀x, (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)]
4
5
O símbolo ⊆ é utilizado para representar a relação de inclusão em conjuntos. Se A não for subconjunto de B diremos
também que A não está contido em B ou que B não contém A, e escreveremos A * B ou B + A Se A ⊆ B mas
A 6= B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B; indicamos isto escrevendo A ⊂ B.
Exemplo (Subconjuntos de um conjunto)
1. N ⊂ Z, pois a sentença (x ∈ N) ⇒ (x ∈ Z) é sempre verdadeira.
2. Se A = {x; x ∈ N e x é múltiplo de 4} e B = {x|x ∈ N e x é múltiplo de 8} então B ⊂ A.
Observações.
1. Segue da denição acima que, dados conjuntos A e B, para mostrar que A ⊆ B temos de garantir que
todo elemento de A é também elemento de B. Já para mostrar que A * B basta exibirmos um elemento
de A que não esteja em B.
2. Para todo conjunto A tem-se A ⊆ A e ∅ ⊂ A.
3. Dois conjuntos A e B são iguais, e escrevemos A = B, quando A e B tiverem exatamente os mesmos
elementos. Se dois conjuntos A e B forem diferentes, escrevemos A 6= B. Em símbolos
A = B ⇔ [∀x, (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)]
.
4. (Conjuntos iguais). Para todos os conjuntos A e B tem-se
A = B ⇔ (A ⊂ B e B ⊂ A)
Definição. (Famílias). Uma família (de conjuntos) é um conjunto cujos elementos são também conjuntos.
Exemplo (Famílias).
√
1. F = {{1, 2, { 2, π}} é uma família.
√
2. G = {{1, 2}, { 2, π}, 3} não é uma família.
3. H = {A; A ⊂ N e A tem dois elementos } é uma família.
Definição (Conjunto das partes). Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A é a família formada pelos
subconjuntos de A. Denotamos o conjunto das partes de um conjunto A por P(A).
Observações.
1. Se o conjunto A for innito é claro que P(A) também é innito.
2. (Subconjuntos de um conjunto finito). Seja n(A) = n então n(P(A)) = 2n .
Definição (Operações com conjuntos). Dados dois conjuntos A e B, definimos a:
1. União de A e B como o conjunto A ∪ B = {x; x ∈ A e x ∈ B}
2. Interseção de A e B como o conjunto A ∩ B = {x| x ∈ A e x ∈ B}
3. Diferença entre A e B como o conjunto A − B = {x; x ∈ A e x ∈
/ B}.
Observações.
1. Em palavras, A∪B é o conjunto formado pelos elementos que estão em ao menos um dos conjuntos A, B. A
interseção A ∩ B é o conjunto formado pelos elementos que estão em ambos os conjuntos A, B. A diferença
A − B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não em B. A diferença entre A e B também é
comumente representada por A\B.
2. Dois conjuntos A e B são disjuntos quando A ∩ B = ∅.
3. As operações de união e interseção são estendidas de maneira óbvia a mais de dois conjuntos.
6
CAPÍTULO 1.
CONJUNTOS
4. Em muitas situações estaremos interessados em operar somente com subconjuntos de um certo conjunto
U. Neste caso, U será denominado o conjunto-universo da situação ou problema em estudo, e é comum
representar U por um retângulo grande, e subconjuntos de U por regiões contidas nesse retângulo. Tal
forma de representar conjuntos é denominada um diagrama de Venn (gura 1).
A
B
U
Figura 1: Diagrama de Venn para dois conjuntos.
5. Sendo A um subconjunto de um universo U, denimos o complementar de A em relação a U como o
conjunto AC = U − A.
6. Na gura acima temos o diagrama de Venn usual para dois subconjuntos A e B de um universo U. Nesse
momento. você deve se certicar que sabe identicar que porções da mesma correspondem aos conjuntos
A ∩ B, A ∪ B, A − B, B − A, AC e BC .
Proposição (Propriedades das operações com conjuntos). Sejam A, B, C conjuntos quaisquer. Temos
1. (Comutatividade). A ∩ B = B ∩ A e A ∪ B = B ∪ A.
2. (Associatividade). (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C).
3. (Distributividade). A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) e A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Proposição (Propriedades da complementação). Se A, B são subconjuntos de um universo U, então:
1. A − B = A ∩ BC .
2. (Leis de De Morgan). (A ∩ B)C = AC ∪ BC e (A ∪ B)C = AC ∩ BC .
Proposição (Fórmula de inclusão-exclusão). Sejam A, B, C conjuntos finitos. Então:
1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
2. n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) − n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
CAPÍTULO 2.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2
Conjuntos Numéricos
Os conjuntos numéricos compõem uma parte fundamental da Matemática, notadamente no contexto de
aplicação a outros campos de estudo. Atualmente tais conjuntos englobam os números naturais, inteiros,
racionais, reais e complexos, denotados respectivamente por N, Z, Q, R e C.
2.1 Os Naturais N
O conjunto dos números naturais nasceu da necessidade de um modelo de contagem, ou seja, qual o método
que poderíamos adotar para contar coisas? Lentamente, à medida em que se civilizava, a humanidade apoderouse desse modelo abstrato de contagem (um, dois, três, quatro, ...) que são os números naturais. Podemos hoje
descrever concisa e precisamente o conjunto N dos números naturais, valendo-nos da notável síntese feita pelo
matemático Giuseppe Peano no limiar do século 20.
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números naturais. A essência da caracterização de N reside na
palavra "sucessor". O termo primitivo "sucessor"não é denido explicitamente. Seu uso e suas propriedades
são regidos por algumas regras, abaixo enumeradas:
(Regras)
(a) Todo número natural tem um único sucessor;
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes;
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado pelo símbolo 1, que não é sucessor de
nenhum outro;
(d) Seja X um conjunto de números naturais (isto é, X ∈ N). Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo
elemento de X ainda pertence a X, então X = N.
As armações a), b), c) e d) acima são conhecidas como os axiomas de Peano. Tudo o que se sabe sobre os
números naturais pode ser demonstrado como consequência desses axiomas.
Um engenhoso processo, chamado sistema de numeração decimal, permite representar todos os números naturais com o auxílio dos símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Portanto, deve car claro que o conjunto N = 1, 2, 3, ...
dos números naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são vazios de signicado.
2.2 Adição e Multiplicação nos N
Entre os números naturais estão denidas duas operações fundamentais: a adição, que aos números n, p ∈ N
faz corresponder a soma n + p e a multiplicação, que lhes associa o produto np. Com essas denições, de agora
em diante, o sucessor de um número natural n será designado por n + 1.
Quanto ao produto, põe-se n.1 = n por denição e, quando p 6= 1, np é a soma de p parcelas iguais a n.
7
8
CAPÍTULO 2.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Com as explicações dadas acima, podemos agora compreender a denição de Cardinalidade dada no capítulo de Conjuntos.
2.2.1 Zero e os números naturais
Vimos na seção anterior que o 0 está dentro do sistema de numeração decimal. Convém agora incluirmos
o zero como um numero natural, de modo que possamos estender as propriedades desse conjunto. Considerar
zero como um número natural também facilita o desenvolvimento de fórmulas e denições.
A ideia de conjunto vazio surge quando fazemos certas operações com conjuntos. Por exemplo, dado um
conjunto, retiramos dele todos os seus elementos, do que resulta um conjunto vazio. Fazendo a interseção de
dois conjuntos que não têm elemento em comum, vemos que essa interseção é um conjunto vazio. Isto nos sugere
estender os números utilizados para contagem:
(Definição). Designamos por zero a quantidade de elementos em um conjunto vazio. Indicamos o número
zero com o símbolo 0.
2.3 Os Inteiros Z
Diante da necessidade de excluir elementos de um conjunto, nasce um novo conjunto no qual é incorporado
um novo elemento no conjunto dos números naturais, integrando o que podemos chamar de "simétrico"ou
"oposto"de um número. Por exemplo, consideremos a uma reta r um segmento AB cujo comprimento vale 1u:
-4
-3
-2
B'
A
B
-1
0
1
2
3
4
Podemos ver que o segmento AB 0 também mede 1u, porém, o sentido é contrário ao do segmento AB, medimos
a partir do zero para a esquerda. Embora saibamos que não existe distância negativa podemos entender isso
denotando-o como "simétrico"ou o "oposto"de um número n por −n em relação ao número 0, onde é a origem
da reta. A matemática consagrou a notação −n para o número negativo correspondente a n.
Dessa maneira, podemos agora "retirar"elementos de um certo conjunto, por exemplo, suponhamos o conjunto
que contenha 50 unidades de canetas e, deste conjunto, retiraremos 20 canetas para os alunos da tutoria, com
isso, é como se estivéssemos adicionando o simétrico do número 20, ou seja, −20 ao número 50, da seguinte
maneira 50 + (−20) e o resultado que obteríamos seria o número 30, resultado este que seria conferido após a
contagem do número restante de canetas.
Dado o conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, ...}, para todo número natural n 6= 0 consideramos o
símbolo −n. Denimos
Definição (Números Inteiros). O conjunto dos números inteiros é
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
(Observações).
1. Os elementos do conjunto Z∗+ = {1, 2, 3, ...} serão denominados inteiros positivos ou inteiros não-negativos.
2. Os elementos do conjunto Z∗− = {... − 3, −2, −1} inteiros negativos ou inteiros não-positivos.
3. O conjunto Z∗ é denominado de conjunto dos inteiros não-nulos e é dado por Z = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}.
2.4.
OS RACIONAIS
9
Q
Obtemos assim um novo conjunto de números que inclui os números naturais. Nesse nosso novo conjunto
as operações de adição e multiplicação já estão bem denidas, porém, podemos estender agora o conceito de
subtração dado pela adição de um número n ∈ Z com o simétrico ou oposto de um número p, p ∈ Z, ou seja,
n + (−p) = n − p.
Definição (Algoritmo de Divisão). Dados números inteiros a e b 6= 0; existe e é único o par de números
inteiros q e r tal que
a = bq + r, 0 ≤ r < |b|
Onde os números q, r, b e a são denominados quociente, resto, divisor e dividendo da divisão euclidiana de a por b.
Definição Um número inteiro a se diz múltiplo de um número inteiro b se existir um número inteiro q tal
que a = bq. Nesse caso, e se b 6= 0, dizemos também que b divide a ou que b é divisor ou fator de a.
Definição Para um inteiro a qualquer, denotamos por D(a) o conjunto de seus divisores e com M(a) o conjunto
de seus múltiplos.
Exemplo
1. D(2) = {1, −1, 2, −2}; M(2) = {0, ±2, ±4, ±6, ...}
2. D(−3) = {1, −1, 3, −3}; M(−3) = {0, ±3, ±6, ±9, ...}
Definição(Máximo divisor comum). Dados números inteiros a e b não simultaneamente nulos o elemento
máximo do conjunto D(a) ∩ D(b) chama-se máximo divisor comum de a e b, e é indicado por mdc(a, b).
Definição (Número primo). Denominamos primo a todo número inteiro > 1 que não tem divisor positivo
diferente de 1 e dele mesmo. Chamamos de composto a todo número inteiro que tem divisor positivo diferente
de 1 e dele mesmo.
Definição Os números inteiros a e b chamam-se relativamente primos se mdc(a, b) = 1. Neste caso a e b
também são denominados primos entre si ou coprimos.
2.4 Os Racionais Q
O termo "racional"deriva da palavra "razão"que, em matemática, denota quociente entre números. Sempre
que a divisão de um inteiro por outro não era exata, os egípcios antigos, já por volta do ano 2000 a.C., usavam
frações para exprimir o resultado. E usavam também frações para operar com seu sistema de pesos e medidas.
Contudo, por razões difíceis de explicar, com exceção das frações 2/3 e 3/4, às vezes, os egípcios usavam
apenas frações unitárias, ou seja, frações cujo numerador é 1. Por exemplo, em um problema do papiro Rhind
(cerca de 1700 a.C.) no qual o escriba pede que se efetue a divisão de 19 por 8, a resposta é dada, usando a
nossa notação, por:
2 + 1/4 + 1/8
Embora os egípcios não adotassem sempre o mesmo procedimento, pode-se mostrar que toda fração entre 0
e 1 é soma de frações unitárias, o que representa uma garantia teórica para essa opção.
É com essa breve noção de uma fração que podemos introduzir o conjunto dos números racionais Q, que é
denido da seguinte forma:
Q=
p
, p ∈ Z e q ∈ Z∗
q
Onde p é chamado de numerador e q é chamado de denominador.
Observações. Algumas denições com operações nos racionais.
10
CAPÍTULO 2.
1. (Igualdade):
2. (Adição):
a
b
+
a
b
c
d
=
=
3. (Multiplicação):
c
d
CONJUNTOS NUMÉRICOS
⇔ ad = bc
ad+bc
bd
a
b
·
c
d
=
ac
bd
Notemos nalmente que todo número racional a/b pode ser representado por um número decimal. Na passagem
de uma notação para outra podem ocorrer dois casos:
1. O número decimal tem uma quantidade nita de algarismos, isto é, é uma decimal exata.
Exemplos:
1
1
3
= 3; = 0, 5;
= 0, 05
1
2
20
2. O número decimal tem uma quantidade innita de algarismos que se repetem periodicamente, isto é, é
uma dízima períodica.
Exemplos:
2
1
= 0, 333... = 0, 285714285714...
3
7
2.5 Os Reais R
A construção dos números reais é extremamente técnica e foge do escopo de qualquer texto introdutório
de Matemática. Apresentaremos R como sendo o conjunto dos números identicados com os pontos da reta
numérica.
√
A(− 32 )
-4
-3
-2
-1
B( 2) C( 73 )
0
1
2
3
4
Definição. Chama-se conjunto dos números reais R - aquele formado por todos os números com representação
decimal, isto é, as decimais exatas ou periódicas (que são números racionais) e as decimais não exatas e não
períodicas (chamadas números irracionais).
Assim, todo racional é um número real
Q⊂R
e, além dos racionais, estão em R números como:
√
2 = 1, 4142136...
π = 3, 1415926...
chamados números irracionais.
A relação de desigualdade x < y entre os números reais é fundamental. Por isso é conveniente destacar
algumas de suas propriedades, a m de que saibamos o que estaremos fazendo quando operarmos com essa
relação.
Em primeiro lugar, vale a pena lembrar que todas as propriedades das desigualdades derivam de duas armações simples e óbvias, que enunciaremos a seguir. Tais armações se referem aos números reais positivos.
Para signicar que o número real x é positivo, escreve-se x > 0. O conjunto dos números reais positivos será
designado por R+ . Assim
R+ = {x ∈ R; x > 0}
As propriedades básicas dos números positivos, das quais resulta tudo que se pode provar sobre desigualdades,
são as seguintes:
2.5.
OS REAIS
11
R
1. P1. Dado um número real x, há três possibilidades que se excluem mutuamente: ou x é positivo, ou x = 0
ou −x é positivo.
2. P2. A soma e o produto de números positivos são ainda números positivos.
Com relação a propriedade P1, nunca é demais lembrar que −x signica "x com sinal trocado", ou seja, −x é,
por denição, o único número real tal que −x + x = 0. Ainda com respeito a P1, quando −x é positivo, diz-se
que x é um número negativo e escreve-se x < 0.
A desigualdade entre números reais reduz-se ao conhecimento dos números positivos pois a rmação x < y
signica que a diferença y − x é um número positivo. As propriedades essenciais da relação x < y (que também
se escreve y > x) são:
1. Tricotomia: dados x, y ∈ R vale uma, e somente uma, das alternativas seguintes: x < y, x = y ou y < x.
2. Transitividade : se x < y e y < z então x < z.
3. Monoticidade da adição : se x < y então, para todo z ∈ R tem-se x + z < y + z.
4. Monoticidade da multiplicação : se x < y e z é positivo então xz < yz.
Propriedades fundamentais no estudo de desigualdades.
Definição (Valor Absoluto ou Módulo). Dado m ∈ R, seu valor absoluto ou módulo e denotado por
|m| é denido por:
m, se m ≥ 0
|m| =
−m, se m < 0
Outra maneira de se denir o valor absoluto consiste em pôr:
|x| = max{x, −x}
i.e., o valor absoluto de x é o maior dos números x e −x.
Assim, por exemplo, |x − 3| = x − 3 se x > 3 e |x − 3| = 3 − x quando x 6 3.
Outra importante interpretação do valor absoluto é a seguinte: se x e y são respectivamente as coordenadas
dos pontos X e Y sobre o eixo E então
|x − y| = distância do ponto X ao ponto Y
|x − y|
Y
X
A interpretação do valor absoluto |x−y| como a distância, no eixo real, entre os pontos de coordenadas x e y,
permite que se possa enxergar intuitivamente o signicado e a resposta de algumas questões envolvendo módulos.
Por exemplo, a igualdade |x − 2| = 3 signica que o número x (ou o ponto que a ele corresponde no eixo) está a
uma distância 3 do número 2. Logo, deve ser x = 5 (se x estiver à direita de 2) ou x = −1 (se estiver à esquerda).
Se tivermos uma desigualdade, como |x − a| < ε, com ε > 0, isto signica que a distância x ao ponto a é
menor do que ε, logo x deve estar entre a − ε e a + ε. Portanto o conjunto {x ∈ R; |x − a| < ε} é o intervalo
aberto {a − ε, a + ε}. Este conceito será bastante útil quando formos estudarmos o quão próximo um número x
estará próximo de um certo valor a no curso de Cálculo I - Limites.
Quando se lida com valores absolutos, não basta saber que |x| é igual a x ou a −x. É necessário especicar quando é que se tem cada um desses casos. Esta observação deve ser aplicada especialmente na resolução
de desigualdades.
Observações.
12
CAPÍTULO 2.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
(a) Se |m| ≥ a, então m ≥ a ou m ≤ −a
(b) Se |m| ≤ a, então −a ≤ m ≤ a
Propriedade que será de fundamental importância no estudo de intervalos.
2.6 Intervalos
Dados dois números reais a e b, com a < b, denimos:
Conjunto de Números
Reais
Notação do intervalo
Região sobre a reta
real
{x|a < x < b}
(a, b)
a
b
{x|a ≤ x < b}
[a, b)
a
b
{x|a < x ≤ b}
(a, b]
a
b
{x|a ≤ x ≤ b}
[a, b]
a
b
{x|x < b}
(−∞, b)
b
{x|x ≤ b}
{x|x > a}
{x|x ≥ a}
R
(−∞, b]
(a, ∞)
[a, ∞)
(−∞, ∞)
b
a
a
Os números reais a e b são denominados, respectivamente, extremo inferior e extremo superior do intervalo.
Exemplos:
1. ]2, 5[= {x ∈ R|2 < x < 5} é intervalo aberto.
2. [−1, 4] = {x ∈ R| − 1 6 x 6 4} é intervalo fechado.
3.
2
4.
5, 7
= {x ∈ R| 25 6 x < 7} é intervalo fechado à esquerda.
− 13 , 2 = {x ∈ R| −
1
3
<x6
√
2} é intervalo fechado à direita.
Podemos usar também as propriedades de interseção e união denidas já no capítulo de conjuntos.
Exemplo: Seja o conjunto A = [−5, 3) e B = (1, ∞). Represente os intervalos A ∪ B e A ∩ B na reta real.
Solução.
2.7 Os Complexos C
O conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de obter raízes de números negativos. Quando os
gregos encontravam equações do tipo x2 + 1 = 0 armavam que eram equações "impossíveis"de se resolver e
deixavam o problema de lado, já que suas preocupações eram apenas calcular áreas e volumes na geometria, e
para isso, os números positivos eram sucientes.
2.7.
OS COMPLEXOS
C
13
Entretanto, com a evolução da humanidade, os matemáticos
decidiram formalizar e aceitar esses números
√
denindo o conceito de unidade imaginária dado por, i = −1. Após esse feito, compreenderam que o conjunto
dos números reais era um subconjunto de um novo conjunto mais "completo"chamado Números Complexos.
Estudaremos melhor os números complexos quando formos estudar polinômios em capítulos posteriores.
14
CAPÍTULO 2.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
2.8 Exercícios Propostos
1. Mostre que A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) usando as denições de interseção e união.
2. Encontre o conjunto solução S para a equação abaixo:
2|x + 3|2 − 15|x + 3| + 7 = 0
3. Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das armações:
(I) (A − BC ) − CC = A ∩ (B ∪ C)
(II) (A − BC ) − C = A ∪ (B ∩ CC )C
(III) BC ∪ CC = (B ∩ C)C
Diga quais são verdadeiras ou falsas. Justique.
4. Resolva a equação
p
√
5 − 5 − x = x, sabendo-se que x > 0.
5. Usando o fato de a3 + b3 + c3 = 3abc se e só se a + b + c = 0. Mostre que
número racional.
p
p
√
√
3
3
2 + 5 + 2 − 5 é um
6. Encontre o conjunto solução S para a seguinte inequação:
5 − ||2x − 1| − 6| > 0
7. Uma grande ferramenta utilizada em demonstrações matemáticas é a desigualdade triangular:
|a + b| 6 |a| + |b|
Demonstre esse fato.
8. Para provarmos que uma relação é válida para todo n ∈ N∗ empregamos o princípio da indução finita
(PIF) cujo enuciado segue:
(a) Uma proposição P(n), aplicável aos números naturais n, é verdadeira para todo n ∈ N, n > n0 ,
quando:
(I) P(n0 ) é verdadeira, isto é, a propriedade é válida para n = n0 , e;
(II) Se k ∈ N, k > n0 e P(k) é verdadeira, então P(k + 1) também é verdadeira.
Use esse princípio para demonstrar as relações abaixo:
a) 1 + 2 + 3 + ... + n =
n(n+1)
2
b) 12 + 22 + 32 + ... + n2 =
n(n+1)(2n+1)
6
c) 13 + 23 + 33 + ... + n3 =
n(n+1) 2
9. Mostre que o número
√
2
2 é irracional.
10. Simplique as seguintes expressões:
a)
x2 −1
x−1
b)
c)
x3 −8
x−2
x2 −4
x2 −2x
11. Ache o valor da expressão:
1−
1
3
1+
1
3
1+
1
9
1+
1
81
1+
1
6561
CAPÍTULO 3.
RELAÇÕES
3
Relações
3.1 Produto Cartesiano e Par Ordenado
Para visualizar a emoção que é a Matemática, precisamos unir a Álgebra e a Geometria. Simplesmente, temos
de encontrar uma maneira de representar as coisas algébricas usando a geometria. Uma das maiores conquista
matemática de todos os tempos foi o chamado: Sistema de Coordenadas Cartesiano que é representado da
seguinte forma:
y
3
2
A(2, 1)
1
0
−3
−2
−1
0
1
2
3 x
−1
−2
−3
Figura 3.1: Plano Cartesiano
O ponto A(2, 1) é chamado de par ordenado, o eixo −→ x é chamado de eixo das abscissas enquanto que o
eixo ↑ y é chamado de eixo das ordenadas. Um par ordenado consiste de dois objetos: o primeiro objeto do par
e o segundo objeto do par. Se a, b são os dois objetos de um par ordenado, sendo a o primeiro objeto e b o
segundo, denotamos o par ordenado (a, b). É claro que dois pares ordenados (a, b) e (c, d) são iguais se e só se
a = c e b = d.
Observação. Note a diferença entre as noções de igualdade de pares ordenados e igualdade de conjuntos:
os conjuntos {1, 2} e {2, 1} são iguais mas, por outro lado, os pares ordenados (1, 2) e (2, 1) são diferentes.
Definição.(Produto cartesiano).Dados os conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, denotado
A × B (lê-se: A cartesiano B), é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), onde a ∈ A e b ∈ B,
isto é:
A × B = {(a, b)|∀a ∈ A, ∀b ∈ B}
15
16
CAPÍTULO 3.
RELAÇÕES
Observações
1. Em geral, A × B 6= B × A
2. Se A e B são conjuntos nitos então A × B é nito, e n(A × B) = n(A).n(B).
3. (Representação gráfica do produto cartesiano). Podemos representar um produto cartesiano
gracamente. Por exemplo, representemos gracamente o conjunto A × B, onde A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}:
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4 x
Figura 3.2: representação gráca de A × B
Proposição (Propriedades do produto cartesiano). Para todos os conjuntos A, B, C, tem-se:
(a) A × ∅ = ∅ × A = ∅.
(b) A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C).
(c) A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C).
Exemplos:
(a) Se A = {x ∈ R|1 6 x < 3 e B = {2} então temos A × B = {(x, 2)|x ∈ A}. A representação gráca de A × B
dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da gura abaixo:
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4 x
(b) Se A = {x ∈ R|1 6 x 6 3} e B = {x ∈ R|1 6 x 6 5} temos A × B = {(x, y) ∈ R2 |1 6 x 6 3 e 1 6 y 6 5}
representado gracamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. notemos que
B × A = {(x, y) ∈ R2 |1 6 x 6 5 e 1 6 y 6 3} é representado por um retângulo distinto do anterior.
3.2.
17
RELAÇÃO
y
6
5
y
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
1
2
3
4 x
0
0
1
2
3
4
5
6 x
3.2 Relação
Definição. Dados os conjuntos A e B, uma relação R de A em B, denotada por R : A −→ B (lê-se: R de A em
B), é qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B.
Exemplo. Dados os conjuntos A = {1, 3, 5, 7} e B = {3, 9, 15, 20}, a relação R : A −→ B, tal que
R = {(a, b)|b = 3a}
é dado explicitamente pelos pares ordenados R = {(1, 3); (3, 9); (5, 15)}. Uma outra maneira de se representar
uma relação é através do diagrama de Venn, mostrado abaixo:
1
3
3
9
5
15
Figura 3.3: Representação de uma relação por diagrama de Venn.
Definição.(Domínio e imagem de uma Relação).
1. O domínio de uma relação R, denotado por D(R), é o conjunto formado pelos primeiros elementos de cada
par ordenado da relação. No exemplo acima, o domínio é o conjunto D(R) = {1, 3, 5}.
2. A imagem de uma relação R, denotada por Im(R), é o conjunto formado pelos segundos elementos de cada
par ordenado da relação. No exemplo acima, a imagem é o conjunto Im(R) = {3, 9, 15}.
18
CAPÍTULO 3.
RELAÇÕES
3.3 Exercícios Propostos
1. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = {3, 9, 15, 35}
a) determine A × B
b) determine B × A
c) determine A2 = A × A
2. Dados os conjuntos A = {−2, −1, 0, 1} e B = {0, 1, 2, 3}.
a) determine a relação R1 = {(a, b) ∈ A × B|b = a2 − 1}
b) determine a relação R2 = {(a, b) ∈ A2 |b = a2 }
c) determine a relação R3 = {(a, b) ∈ B × A|b = a2 }
3. Dados os conjuntos A = {3, 5, 7} e B = {3, 9, 15, 35}
a) determine a relação R1 : A −→ B, tal que R1 = {(a, b)| a e b são primos}
b) determine a relação R2 : A −→ B, tal que R1 = {(a, b)|b = a2 + 1}
4. Dados os conjuntos A = {3, 8, 15, 24} e B = {2, 3, 4, 5}
a) determine a relação R1 = A −→ B, tal que R1 : {(a, b)|b =
√
a + 1}
b) determine a relação R2 : B −→ A, tal que R2 = {(b, a)|a = b − 1}
5. Para as representações grácas abaixo, encontre o domínio e a imagem das relações.
a)
b)
y
2 y
3
(2, 2)
2
1.5
1
( 21 , 98 )
(−1, 0)
0
−3
−2
(− 12 , 87 )
(3, 0)
−1
0
1
2
3 x
0.5
−1
−2
x
(1, −2)
−1
−3
1
−0.5
0.5
1
3.3.
19
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
(0, 2
2)
4 y
y
(−2,
(−1, 1)
1
c)
+ 1)
2
x
(− 23 , 32 )
−2
1
e2
(1, e)
−4
(−1, 0)
(1, 2)
−1
1
(0,−1
−1)
−2
2
x
(−2, −2)
2
−2
d)
(−4, −4)
−4
4
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
4
Funções
4.1 Introdução
Denição (Função).
Dados conjuntos A e B, uma função f : A −→ B é uma regra que associa a cada x ∈ A
um único y ∈ B. O elemento y ∈ B associado a x ∈ A é denotado por y = f(x).
Podemos visualizar uma função por diagramas como o da gura abaixo, onde cada seta indica que o elemento
y ∈ B está associado a cada x ∈ A:
x
a
y
b
c
z
d
Figura 4.1: exemplo de função.
Veja que a denição de função permite que quem elementos de B sem receber setas, ou ainda que existam
elementos de B recebendo mais de uma seta. Note, contudo, as situações das guras abaixo são vetadas pela
denição de função.
A primeira situação é proibida por que não nenhuma seta partindo do elemento x ∈ A. A segunda situação é
proibida porque do elemento x ∈ A parte mais de uma seta.
x
a
y
b
c
z
d
Figura 4.2: não é função.
20
4.1.
21
INTRODUÇÃO
x
a
y
b
c
z
d
Figura 4.3: não é função.
Na maior parte das vezes em que trabalhamos com funções, indicaremos quem é f(x) explicitando uma regra
que a função deva satisfazer. Por exemplo, podemos dizer: considere a função f : R −→ R dada por f(x) = x2 .
Isto quer dizer que a função associa a cada x ∈ R seu quadrado. Veja que as condições para denição de função
estão satisfeitas, porque cada real está associado a um outro, e a um só outro.
Exemplo (Função identidade). Dado um conjunto qualquer A, a função identidade de A, denotada por
IdA : A −→ A, é a função dada por IdA (x) = x para todo x ∈ A.
Exemplo (Sequências). Uma sequência (an )n>1 de números reais é, rigorosamente falando, uma função f :
N −→ R. A notação usual para sequências é obtida denotando f(n) por an , ou seja, a sequência é :
a1 = f(1), a2 = f(2), a3 = f(3), .. : ..
Definição (Domínio de uma função). Dada uma função f : A −→ B, denominamos o conjunto A de domínio da função f. Denotamos A = Dom(f), ou ainda A = D(f).
Definição (Contra-domínio e imagem de uma função). Dada a função f : A −→ B, denominamos o
conjunto B de contra-domínio de f. A imagem de f, denotada por Im(f) é o subconjunto de B formado pelos
y ∈ B que estão associados a algum x ∈ A. Em símbolos,
Im(f) = {y ∈ B; y = f(x), ∃x ∈ A}
Quando y = f(x), dizemos ainda que y é a imagem de x (por f). É costume denotarmos a imagem de um
subconjunto X ⊂ A pela função f por:
f(X) = {f(x); x ∈ X}
Em palavras, o domínio é o conjunto de valores que a variável x pode assumir. É importante notarmos que,
na maior parte das vezes, o domínio de uma função f : A −→ B, com A, B ⊂ R, é denido pela exigência de que
as operações matemáticas que denem a função tenham sentido. Por exemplo, quando escrevemos f(x) = x1
está implícito que o domínio da função não pode contar 0, haja vista não podermos dividir por 0.
Definição (Gráfico de uma função). Dada uma função f : A −→ B, com A, B ⊂ R reuniões de intervalos, o gráco de f é o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano tais que x ∈ A, y ∈ B e y = f(x):
Graf(f) = {(x, y)|x ∈ A, y ∈ B e y = f(x)}
Exemplo. (Função constante). Uma função constante é uma função f : R −→ R dada por f(x) = c, para
algum c ∈ R. Por denição, o gráco da função constante é o conjunto
Graf(f) = {(x, y)|x, y ∈ R e y = c}
Então o gráco da função constante f(x) = c é a reta paralela ao eixo −x e passando pelo ponto (0, c) do eixo
−y:
22
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
y
(0, c)
(a, f(a))
x
a
O
Figura 4.4: gráco da função constante f(x) = c
Exemplo (Função identidade de R). A função Id : R −→ R é a função dada por IdR(x)=x para todo
x ∈ R. Seu gráco é:
Graf(IdR ) = {(x, y)|x, y ∈ R e y = x}
Os pontos da forma (x, x) e (x, −x) são os pontos do plano cartesiano que estão a igual distância dos eixos
horizontal e vertical. Portanto, o gráco da função IdR é a bissetriz do ângulo formado pelos eixos mostrada a
seguir. Observe que a outra bissetriz é o gráco da função f : R −→ R dada por f(x) = −x.
y
(0, a)
(a, f(a))
x
O
a
Figura 4.5: gráco da função identidade IdR(x) = x
Exemplo (Função afim). Uma função am é uma função f : R −→ R dada por f(x) = ax + b, para algum
par de números reais a, b, com a 6= 0. Quando b = 0 a função am f recebe o nome particular de função linear.
É fácil vericar que o gráco de uma função am é uma reta do plano cartesiano. Sendo então uma reta,
para traçarmos tal gráco basta descobrirmos dois pontos sobre o mesmo. Para tanto, observe que
b
f −
= 0 e f(0) = b
a
de modo que, quando b 6= 0, o gráco de f é a reta que passa pelos pontos A = − ab , 0 e B = (0, b). Quando
b = 0 a reta que representa o gráco linear f(x) = ax passa pela origem (0, 0) e pelo ponto (1, a) (pois f(1) = a).
A gura a seguir esboça o gráco de f(x) = ax + b para a, b > 0.
4.1.
23
INTRODUÇÃO
y
B(0, b)
A(−b/a, 0)
θ
x
O
Figura 4.6: gráco da função am f(x) = ax + b
Observações.
1. Os coecientes a e b da função am f(x) = ax + b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear. Da Geometria Analítica, podemos calcular a "declividade"ou "coeciente angular"(denotado muitas vezes pela letra m) que uma função tem, para isto, é necessário que tenhamos os
valores conhecidos de dois pontos distintos. A equação que nos dá essa declividade é dada por:
tan(θ) = m =
∆y
∆x
Considerando os pontos A(−b/a, 0) e B(0, b) da gura acima, temos que:
tan(θ) = m =
b
(b − 0)
=
=a
(0 − (−b/a))
b/a
Como queríamos mostrar.
Exemplo (Função modular). A função modular é a função f : R −→ R dada por f(x) = |x|. Pela denição de
módulo de um número real, segue que:
Graf(f) = {(x, x); x ∈ R, x > 0} ∪ {(x, −x); x ∈ R, x 6 0}
Note que o domínio de uma função f : A −→ B, com A, B ⊂ R intervalos é simplesmente o conjunto dos
pontos do eixo −x que pertencem a A e tais que as perpendiculares traçadas por eles ao eixo −x intersectam o
gráco de f. A imagem de f, por sua vez, é o conjunto dos pontos do eixo −y que pertencem a B e tais que as
perpendiculares traçadas por eles ao eixo −y intersectam o gráco de f.
24
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
y
x
Figura 4.7: gráco da função modular f(x) = |x|
Vamos analisar agora como funções crescem ou decrescem.
4.2 Crescimento e decrescimento de funções
Para facilitar a análise e construção de grácos de outros tipos de funções, considere a seguinte denição:
Definição (Funções Monótonas). Seja I ⊂ R um intervalo. Uma função f : I −→ R é dita:
1. Crescente se x1 > x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ).
2. Decrescente se x1 > x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ).
3. Não-decrescente se x1 > x2 ⇒ f(x1 ) ≥ f(x2 )
4. Não-crescente se x1 > x2 ⇒ f(x1 ) ≤ f(x2 ).
Uma função de um dos tipos acima é em geral denominada uma função monótona. Vamos estudar agora
um pouco o problema de determinar os valores máximo e/ou mínimo que uma função assume, bem como seus
intervalos de monotonicidade. Mais precisamente, dada uma função f : I → R, I ⊂ R um intervalo, queremos
investigar os dois seguintes problemas:
• Qual o maior (menor) valor que f assume?
• Em que intervalos f é crescente (decrescente)?
Comecemos respondendo essas perguntas para as funções ans:
Proposição (Função afim). Sejam a, b reais dados, sendo a 6= 0. A função am f(x) = ax + b é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.
Prova. Façamos a prova para o caso a > 0 (o caso a < 0 é análogo). Sejam x, y reais quaisquer, com
x < y. Desde que a > 0, temos
f(x2 ) − f(x1 ) = (ax2 + b) − (ax1 + b) = a(x2 − x1 ) > 0
e f é crescente.
A ideia usada na prova da proposição acima funciona muitas vezes para determinar se uma dada função é
crescente ou decrescente. Vejamos os exemplos abaixo:
Exemplo Mostre que f(x) = x3 + 2x é crescente.
4.2.
25
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
Prova. Sejam x1 < x2 reais quaisquer. Devemos mostrar que f(x1 ) < f(x2 ), ou ainda que f(x2 ) − f(x1 ) > 0.
f(x2 ) − f(x1 )
=
x2 3 − x1 3 + 2x2 − x1
=
(x2 − x1 )(x2 2 + x2 x1 + x1 2 ) + 2(x2 − x1 )
=
(x2 − x1 )(x2 2 + x2 x1 + x1 2 + 2)
Como x2 − x1 > 0, basta mostrarmos que x2 2 + x1 x2 + x1 2 + 2 > 0. Mas para tanto basta completar quadrados:
x2 2 + x1 x2 + x1 2 + 2
=
=
x1 2
4
x2 2 + x1 x2 +
x2 +
+
3x1 2
+2
4
x1 2 3x1 2
+
+ 2 > 0.
2
4
Mostrando que a função é crescente, já que todos os termos são positivos.
Exemplo (Função quadrática). Sejam a, b, c ∈ R, sendo a 6= 0. A função f : R → R dada por:
f(x) = ax2 + bx + c
é denominada função quadrática (ou de segundo grau).
Segue da forma canônica do trinômio de segundo grau que
"
f(x) = a
b
x+
2a
2
∆
− 2
4a
#
A última expressão acima é denominada forma canônica da função de segundo grau. Dada uma função de
segundo grau, chamaremos o discriminante ∆ do trinômio ax2 + bx + c de discriminante de f; às raízes de
ax2 + bx + c = 0 (caso existam) chamamos raízes de f.
Digressão a Geometria Analítica - Cônicas
Definição (Excentricidade). Consideremos uma reta (r) e uma curva (λ)
λ
F(xF , yF )
P(xP , yP )
r
O ponto F é chamado de foco da cônica e a reta (r) de diretriz.
A razão entre a distância FP e a distância entre o ponto P e a reta (r) é denida como a excentricidade (e) de
uma curva cônica:
e=
FP
d(P, r)
26
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
Sabemos que a distância entre dois pontos distintos do plano cartesiano é dado por:
d(A, B) =
q
(xB − xA )2 + (yB − yA )2
E que a distância entre um ponto e uma reta é dada por:
axp + byp + c d(P, r) = √
a2 + b2 onde a, b, c são os coecientes da reta r : ax + by + c = 0.
Observações.
(a) Se e = 1, então a cônica é uma parábola.
(b) Se 0 < e < 1, então a cônica é uma elipse.
(c) Se e > 1, então a cônica é uma hipérbole.
Exemplo. Mostre que a seguinte equação y =
1
4ρ (x
− h)2 + k descreve uma parábola cujo eixo focal (reta que
passa pelo foco e é perpendicular a reta diretriz) é paralelo ao eixo das ordenadas e cujos foco e diretriz são,
respectivamente, o ponto F(h; k + ρ) e a reta r : yr = k − ρ, para ρ > 0.
Solução.
y
e.f
λ
P(x, y)
F(h, k + ρ)
|y − (k − ρ)|
V
k−ρ
r
x
Pela denição de excentricidade e = 1, assim:
FP = d(P, r)
Usando a equação que nos dá a distância entre dois pontos, temos:
FP =
q
(x − h)2 + (y − (k + ρ))2
A distância do ponto P à reta diretriz (r) é dada por:
y − (k − ρ) d(P, r) = √
02 + 11 Portanto, fazendo a igualdade, temos:
q
(x − h)2 + (y − (k + ρ))2 = |y − (k − ρ)|
Elevando ao quadrado:
(x − h)2 + (y − (k + ρ))2 = (|y − (k − ρ)|)2
(x − h)2 = (y − (k − ρ))2 − (y − (k + ρ))2
4.2.
27
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
Pela diferença de quadrados:
(x − h)2
(x − h)
2
(x − h)2
= [(y − (k − ρ)) − (y − (k + ρ))] [y − (k − ρ) + (y − (k + ρ))]
= [(y − k + ρ) − (y − k − ρ)] [y − k + ρ + (y − k − ρ)]
= [y − k + ρ − y + k + ρ] [y − k + ρ + y − k − ρ]
(x − h)
2
=
(x − h)
2
= 4ρ(y − k)
[2ρ][2y − 2k]
E com isso mostramos que:
y=
1
(x − h)2 + k
4ρ
A letra ρ geralmente é chamada de parâmetro da cônica. O ponto V é chamado de vértice da parábola.
Vamos voltar para crescimento e decrescimento das funções.
Proposição. (Crescimento e decrescimento de funções quadráticas). Sejam a, b, c ∈ R, com a 6= 0,
e f(x) = ax2 + bx + c. Então:
b
∆
para x = − 2a
; f é decrescente
(a) Se a > 0 entãof não assume valor
máximo; f assume seu valor mínimo − 4a
b
b
em −∞, − 2a e crescente em − 2a , +∞ .
∆
b
(b) Se a < 0 então f não assume valor mínimo; f assume seu valor máximo − 4a
para x = − 2a
; f é crescente
b
b
em −∞, − 2a e decrescente em − 2a , +∞ .
(c) Se ∆ < 0 então af(x) > 0 para todo x ∈ R.
(d) Se ∆ ≥ 0 então:
(i) af(x) < 0 para x ∈
(ii) af(x) > 0 para x ∈
/
√ √
−b− ∆ −b+ ∆
,
2a
2a
h
√
√ i
−b− ∆ −b+ ∆
,
2a
2a
b
Prova. (a) Sejam x2 > x1 ≥ − 2a
. A forma canônica da função quadrática nos dá
#
"
2
b 2
b
− (x1 +
)
f(x2 ) − f(x1 ) = a x2 +
2a
2a
b
b
+ x1 +
> 0,
= a(x2 − x1 ) x2 +
2a
2a
b
b
b
uma vez que x2 > x1 ≥ − 2a
implica que x2 − x1 > 0 e x1 + 2a
, x2 + 2a
≥ 0. Como a > 0 e x +
todo x, temos:
(4.1)
b 2
2a
≥ 0 para
2
b
∆
∆
f(x) = a x +
− 2 ≥− 2
2a
4a
4a
Daí, temos
∆
f(x) = −
4a
2
b
∆
∆
⇔ a x+
− 2 =− 2
2a
4a
4a
2
b
b
⇔
x+
=0⇔x=− .
2a
2a
(4.2)
(b) A prova desse item é análoga à prova do item (a), sendo deixada
h como exercício.
i
b 2
b 2
∆
∆
(c) Se ∆ < 0 então x + 2a − 4a2 > 0 para todo x,e daí f(x) = a x + 2a
− 4a
tem o mesmo sinal de a.
2
(d) Tratemos novamente o caso a > 0, sendo o outro caso análogo. Seja ∆ ≥ 0 e x0 situado entre as raízes, isto
é,
√
√
−b − ∆
−b + ∆
< x0 <
.
2a
2a
28
CAPÍTULO 4.
Então
b <
ou ainda x0 + 2a
forma canônica nos dá
√
∆
2a .
FUNÇÕES
√
∆
∆
b
−
< x0 +
<
2x
2a
2a
Elevando ambos os membros ao quadrado chegamos a x0 +
"
f(x0 ) = a
b
x0 +
2a
2
∆
− 2
4a
b 2
2a
<
∆
4a2
e daí a
#
< 0.
A análise para x0 fora do intervalo das raízes é análoga.
Se compararmos a forma canônica da função do segundo grau com a equação do exemplo mostrado na digressão sobre cônicas, percebemos que o gráco de uma função do segundo grau é sempre uma parábola. Assim,
quando a > 0, b < 0, c < 0 e ∆ > 0, o gráco da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c tem aproximadamente
o formato da gura abaixo. Para justicar a gura 4.8, considere as seguintes observações:
y
d
f(x)
x
(0, c)
V
Figura 4.8: gráco de f(x) = ax2 + bx + c para a > 0, b, c < 0, ∆ > 0
.
• Quando a > 0, o item (a) da proposição acima diz que o ponto
b
∆
V = − ,−
2a 4a
é o ponto de mínimo do gráco de f. Já quando a < 0, o item (b) diz que esse ponto é o ponto de máximo
do gráco de f.
Em ambos os casos tal ponto V será denominado o vértice do gráco. Escrevemos V = (xV , yV ), onde
xV = −
b
∆
, yV = −
2a
4a
Observe que, de acordo com essa notação, a forma canônica de f se escreve
f(x) = a[(x − xV )2 + yV ]
• Seja agora d a reta perpendicular ao eixo −x e passando pelo vértice V do gráco. Tal reta d intersecta
o eixo −x no ponto (xV , 0).
Sendo x1 , x2 reais tais que o ponto (x1 , 0) e (x2 , 0) sejam simétricos em relação à reta d, temos então
xV − x1 = x2 − xV . Portanto, a forma canônica f nos dá
f(x1 ) = a[(x1 − xV )2 + yV ] = a[(xV − x2 )2 + yV ] = f(x2 )
Assim, concluímos que o gráco de f é simétrico em relação à reta d.
√
• Se ∆ > 0 então a equação ax2 + bx + c = 0 tem raízes x1 = −b−
2a
pelos pontos (x1 , 0), (x2 , 0).
No caso da gura acima, desde que x1 + x2 = − ab > 0 e x1 x2 =
√
−b+ ∆
.
2a
∆
e x2 =
Assim, o gráco passa
c
a
< 0, temos x1 < 0 < x2 .
4.2.
29
CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO DE FUNÇÕES
• Desde que f(0) = c, o gráco passa pelo ponto (0, c). No caso da gura acima, tal ponto está situado
acima do eixo −x.
O esboço do gráco de f(x) = ax2 + bx + c nos demais casos pode ser feito de modo análogo. Uma outra
observação que podemos ter da função do segundo grau f(x) = ax2 + bx + c é que ela pode ser fatorada da
seguinte forma:
f(x) = ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 )
onde x1 e x2 são as raízes da função quadrática.
Corolário. Seja x0 ∈ R. Em relação à função de segundo grau f(x) = ax2 + bx + c, se af(x0 ) < 0 então
∆ > 0 e x0 pertence ao intervalo formado pelas raízes de f.
Prova. Analisemos o caso a > 0 (o outro caso é análogo): seja x0 um real tal que f(x0 ) < 0. Pela proposição anterior, não pode ser ∆ < 0. Assim, ∆ ≥ 0. Se ∆ = 0 segue da forma canônica que
2
b
f(x) = a x +
≥0
2a
uma contradição. Portanto, ∆ > 0. Segue agora novamente da proposição anterior que x0 pertence ao intervalo
das raízes de f.
Podemos ainda abordar problemas de máximo e mínimo usando um pouco de desigualdades, como nos exemplos
a seguir.
Exemplo. Seja f : R+ → R dada por f(x) =
x2 +1
x+1 .
Qual o valor mínimo que f assume?
Solução
f(x)
x2 + 1
x2 − 1 + 2
=
x+1
x+1
2
2
= x−1+
= (x + 1) +
− 2.
x+1
x+1
(4.3)
=
(4.4)
Pela desigualdade entre as médias (M.A ≥ M.G), vem que
s
√
2
2
≥ 2 (x + 1)
= 2 2.
(x + 1) +
x+1
(x + 1)
√
Com a igualdade ocorrendo se e só√se x + 1 = 2/(x + 1), ou seja, √
se e só se x = 2 − 1 (uma vez que x > 0).
Portanto, o valor mínimo de f é 2 2 − 2, obtido só quando x = 2 − 1. É fácil ver que f não assume valor
máximo, quer dizer, podemos escolher valores para x que tornem f tão grande quanto queiramos. No curso de
Cálculo Diferencial e Integral I, você verá com o seu professor outras formas mais aperfeiçoadas de calcular o
mínimo dessa função.
30
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
4.3 Exercícios Propostos
1. (Função Parte Inteira). A parte inteira de um real x é, por denição, o número bxc denido como o
maior inteiro que não ultrapassa x. Assim, por exemplo, bπc = 3, b−2, 3c = −3, etc. Trace o gráco da
função f : R → R dada por f(x) = bxc.
2. Determine a imagem da função f : R → R dada por f(x) =
1
.
x2 +1
3. Determine a imagem da função f : R∗ → R dada por f(x) = x + x1 .
4. Determine o domínio da função f denida por
f(x) = √
1
1 − x − 2x2
quando x varia no conjunto dos reais.
5. Seja f(x) = ax2 + kx, onde a ∈ R∗− e k ∈ R. Determine o intervalo em que f é decrescente.
6. Sobre a função f : R∗+ → R dada por f(x) = x + x1 , determine:
(a) O valor mínimo que f assume.
(b) A imagem de f.
7. Seja f : R → R a função quadrática dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a 6= 0. Sabendo que x1 = −1 e
x2 = 5 são as raízes de f, e que f(1) = −8, pede-se:
(a) Determinar a, b, c.
(b) Calcular f(0).
(c) Vericar se f assume máximo ou mínimo, justicando sua resposta.
(d) As coordenadas do ponto extremo.
8. Determine a soma dos valores máximo e mínimo absolutos da função real

0,



−|x − 3| + 2,
f(x) =
1,



|x|,
se
se
se
se
x > 6 ou x < −1
2≤x≤6
1<x<2
−1≤x≤1
9. Considere as funções f1 , f2 , f : R → R, sendo f1 (x) = 21 |x| + 3, f2 (x) = 32 |x + 1| e f(x) igual ao maior valor
entre f1 (x) e f2 (x), para cada x ∈ R. Determine:
(a) Todos os x ∈ R tais que f1 (x) = f2 (x).
(b) O menor valor assumido pela função f.
(c) Todas as soluções da equação f(x) = 5.
10. Seja f a função denida por

 x − 1,
5,
f(x) =

2x + 1,
se x < 3
se x = 3
se 3 < x
Determine o domínio e a imagem de f e faça um esboço de seu gráco.
11. As funções f(x) e g(x), abaixo, possuem os mesmos domínios? Justique sua resposta.
f(x) =
x2 − 1
e g(x) = x − 1
x+1
12. Os termos a1 , a2 , ..., an de uma P.A são os valores f(1), f(2), ..., f(n) de uma função am.
(a) Mostre que cada ai é igual a área de um trapézio delimitado pelo gráco de f, pelo eixo OX e
pelas retas verticais de equações
x=i−
1
1
e x=i+
2
2
4.3.
31
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
y
x
O
1
i
n
(b) Mostre que a soma S = a1 + a2 + ... + an é igual à área do trapézio delimitado pelo gráco de f,
pelo eixo OX e pelas retas verticais x = 12 e x = n + 12 .
n
(c) Conclua que S = a1 +a
n.
2
13. Seja m uma função real de variável real denida como: m(x) = |7 − x|. Diz-se que uma função u, real
de variável real, é contínua no ponto a de seu conjunto de denição se, para todo número natural real
> 0, existe um número real δ > 0 tal que, se y é ponto do conjunto de denição de u e se |y − a| < δ,
então |u(y) − u(a)| < . Quer-se testar a continuidade de m no ponto x = −2. Escolhe-se um = 0, 01.
Determine um δ conveniente, para este valor de . Justique sua resposta.
Obs: |h| é o valor absoluto de h.
32
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
4.4 Composição de funções
Dadas duas funções f : A → B e g : B → C temos, em última análise, regras bem denidas para, partindo de
x ∈ A via f, obter y = f(x) ∈ B e, via g, obter z = g(y) ∈ C. Parece então razoável que possamos formar uma
função que nos permita sair de A diretamente para C. Este é de fato o caso, e a função resultante é denominada
a função composta de f e g.
Definição. (Função composta). Dadas duas funções f : A → B e g : B → C, a função composta de f e
g é a função g ◦ g : AC denida, para cada x ∈ A, por
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
Grosso modo a denição acima signica que, para determinarmos a imagem de x ∈ A por g ◦ f basta determinarmos a imagem de f(x) ∈ B por g. É fácil vericar que g ◦ f, como denida acima, é de fato uma função.
Observe também que, para formarmos a composta de f e g devemos ter o domínio de g igual ao contra-domínio
de f.
Exemplo. Seja f : A → B uma função qualquer e IdA : A → A, IdB : B → B as funções identidade de A
e B, respectivamente. Então
f ◦ IdA = f e IdB ◦ f = f
Prova. Provemos que f ◦ IdA = f. O outro caso é análogo. Basta notar que f ◦ IdA é uma função de A em B
e que, para todo x ∈ A,
(f ◦ IdA )(x) = f(IdA (x)) = f(x)
Exemplo. Considere as funções f, g : R → R dadas por f(x) = x2 e g(x) = 1/(x2 + 1). Temos g ◦ f e f ◦ g funções
de R em R, com
1
1
1
= 2 2
= 4
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) =
(f(x))2 + 1
(x ) + 1
x +1
e
2
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = (g(x)) =
1
x2 + 1
2
=
1
x4 + 2x2 + 1
Esse exemplo mostra algo interessante. Podemos ter g ◦ f 6= f ◦ g. Bem entendido, pode ser que possamos formar
g ◦ f mas não possamos formar f ◦ g. Basta termos f : A → B e g : B → C, com C 6= A. Contudo, mesmo que
possamos formar ambas as funções, o exemplo mostra que ainda podemos ter g ◦ f 6= f ◦ g. Apesar de não ser
comutativa, a operação de composição de funções é associativa.
Proposição. (Associatividade da composição). Sejam f : A → B, g : B → C e h : C → D funções
dadas. Então
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
Prova. Veja primeiro que ambas as funções acima são funções de A em D. Portanto, para serem iguais, devem
associar a cada x ∈ A um mesmo elemento de D. Para ver isto, observemos que
(f ◦ (g ◦ h))(x)
= f((g ◦ g))(x) = f((g(h(x)))
= (f ◦ g)(h(x)) = ((f ◦ g) ◦ h)(x).
A proposição acima é muito importante, na medida em que nos assegura que, se tivermos funções f, g e h e
pudermos compô-las, podemos denotar a função composta f ◦ g ◦ h simplesmente, não nos preocupando com
qual composição efetuar primeiro. É também claro que vale uma observação análoga para mais de três funções.
Exemplo. Sejam f, g : R∗+ → R∗+ funções tais que
f(x) =
x2 + 1
x+2
e (f ◦ g)(x) =
2
3x
3
Determine a expressão em função de g.
Solução. Omitindo x quando conveniente, temos
x+2
g2 + 1
= f ◦ g = f(g) =
3
3g2
4.4.
33
COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES
donde (g2 + 1)/(3g2 ) = (x + 2)/3, ou ainda
3g2 + 3 = 3(x + 2)g2
1
1
e daí g(x) = ± √x+1
. Olhando essa expressão como uma equação do primeiro grau em g2 , obtemos g2 = x+1
1
para cada x ∈ R∗+ . Como g deve ter imagem não-negativa, deve ser g(x) = √x+1
para todo x ∈ R∗+ .
Dada uma função f : A → B, nem sempre a imagem de f é igual ao contra-domínio B. No caso da função
de segundo grau f(x) = x2 , por exemplo, a imagem de f é somente o conjunto dos y ∈ R tais que y ≥ 0. Este
exemplo também mostra que podemos ter dois elementos distintos do domínio com a mesma imagem. De fato,
para todo x ∈ R tem-se f(x) = x2 = (−x)2 = f(−x). Para tratar tais casos, temos as seguintes denições:
Definição. (Funções injetora, sobrejetora e bijetora). Uma função f : A → B é dita
(a) Injetora quando para todo y ∈ B existir no máximo um x ∈ A tal que f(x) = y.
(b) Sobrejetora quando sua imagem for todo o conjunto B, isto é, quando para todo y ∈ B existir x ∈ A com
y = f(x).
(c) Bijetora quando for ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Um outro modo de vericar que se uma função f é injetora é vericar se a condição
f(x2 ) = f(x1 ) ⇒ x2 = x1
é sempre satisfeita. Por outro lado, para garantirmos que uma função f : A → B é sobrejetora devemos ser
capazes de exibir, para cada y ∈ B, um x ∈ A tal que y = f(x).
O caso de uma função bijetora (também denominada bijeção ) f : A → B é o melhor possível. Nela os elementos
de A e B estão em correspondência biunívoca, ou seja, a cada elemento de B corresponde um e um só elemento
de A.
Exemplo. Seja f : R → R uma função tal que f(f(x)) = x para todo x ∈ R. Prove que f é injetiva.
Prova. Sejam x1 , x2 ∈ R tais que f(x1 ) = f(x2 ). Então f(f(x1 )) = f(f(x2 )), donde x1 = x2 . Mas isso é
o mesmo que dizer que f é injetiva.
Quando uma funçãof : A → B for bijetora, podemos obter uma outra função g : B → A simplesmente exigindo que
f(x) = y ⇔ g(y) = x
É claro que o fato de ser f bijetiva garante que g é uma função denida sem ambiguidade. Ao contrário, se
f não fosse sobrejetora, existiria um elemento y de B que não seria imagem de por f de nenhum elemento de
A. Então não teríamos como denir g(y) a partir de f. Por outro lado, se f não fosse injetiva, existiriam dois
elementos x1 e x2 com uma mesma imagem y. Quando tentássemos denir g por meio de f, como decidiríamos
quem seria g(y) : x1 ou x2 ?.
Não é difícil ver que g, denida como acima, é de fato uma função e que (g ◦ f)(x) = x para todo x ∈ A
e (f ◦ g)(y) = y para todo y ∈ B. Ademais, g é a única função que satisfaz essas igualdades, como é imediato
vericar. Tal função g é denominada inversa de f. As observações acima mostram que só tem sentido pensarmos
em uma inversa para f se f for uma bijeção.
Definição (Função inversa). Seja f : A → B uma bijeção dada. A função g : B → A dada por
g(y) = x ⇔ y = f(x)
é denominada a função inversa de f.
Notação. Denotaremos sistematicamente a inversa de uma bijeção f por f−1 .
Surge agora naturalmente a questão de como calcular inversas de bijeções. Esse cálculo é em geral mais
complicado que o de compostas. Vejamos alguns exemplos.
34
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
Exemplo(Inversa de uma função afim). Sejam a e b reais dados, sendo a 6= 0. Considere a função
f : R → R dada por f(x) = ax + b. Mostre que f tem inversa e calcule tal inversa.
Prova. Devemos primeiro mostrar que f é bijeção. Para provar que f é injetora, temos:
f(x2 ) = f(x1 ) ⇒ ax2 + b = ax1 + b ⇒ ax2 = ax1 ⇒ x2 = x1
uma vez que a 6= 0. Para ver que f é sobrejetora, seja dado y ∈ R. Queremos mostrar que existe x ∈ R tal que
f(x) = y, isto é, queremos que seja ax + b = y. Para isso basta tomarmos x = (y − b)/a.
Como a denição de f−1 exige que esse x deve ser exatamente f−1 (y), temos
f−1 (y) =
y−b
a
4.5 Funções Exponênciais e Logarítmicas
Comecemos lembrando as principais propriedades operatórias de potências de mesma base: dados a > 0 e
x, y ∈ R, tem-se:
1. ax > 0.
2. a0 = 1 e 1x = 1.
3. ax+y = ax .ay
4. ax−y =
ax
ay
5. axy = (ax )y .
Observação. Em geral, temos ax 6= (ax )y . Por exemplo, 22 = 28 = 256 e (22 )3 = 26 = 64.
y
3
Definição (Função exponencial de base 0 < a 6= 1). Seja a > 0 um real dado. A função f : R → R∗+ dada
por f(x) = ax é denominada a função exponencial de base a.
Observe que de ax+y = ax .ay segue que a função exponencial f de base a tem a seguinte propriedade.
f(x + y) = f(x).f(y), ∀x, y ∈ R
Proposição (Crescimento da função exponencial). A função exponencial de base a é uma bijeção de
R em R∗+ , crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Prova. Não provamos que ax é sobrejetiva. Se a > 1, sabemos que x2 < x1 ⇒ ax2 < ax1 , de modo que
f é uma função crescente. Para 0 < a < 1 e números reais x2 < x1 , temos
0<a<1
1
>1
a
x2 x1
1
1
⇒
<
a
a
1
1
⇒
< x
ax2
a 1
x2
⇒ a > ax1 .
⇒
Proposição (Gráficos de ax e (1/a)x ). Seja 0 < a 6= 1 um real dado. Então os grácos de f(x) = ax e
g(x) = (1/a)x são simétricos em relação ao eixo −y e ambos passam pelo ponto (0, 1).
Prova. Basta ver que se f(x) = y então g(−x) = f(x) = y, de modo que (x, y) ∈ Graf(f) e (−x, y) ∈ Graf(g).
Para o que falta, basta notar que a0 = 1. No esboço a seguir dos grácos supomos, sem perda de generalidade,
a > 1. Um caso especial importante de função exponencial é o seguinte:
Definição (O número e). Denimos
e = lim
n→+∞
1
1+
n
n
∼ 2, 71828.
=
4.5.
35
FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS E LOGARÍTMICAS
f
(0, 1)
O
g
Figura 4.9: grácos de f(x) = ax e g(x) = a−x
.
A importância da função exponencial ex se deve ao fato de que tal função aparece de modo natural nos modelos matemáticos que regem vários fenômenos físicos e químicos, por exemplo nas leis de decaimento radioativo.
Observações. O número e pode ser alternativamente denido por
1
1
1
e = lim
1 + + + ... +
n→+∞
1! 2!
n!
1
1
1
+ ...
e = 1 + + + ... +
1! 2!
n!
4.5.1 Logaritmos
Desde que a função exponencial f : R → R∗+ é uma bijeção, podemos considerar sua inversa f−1 : R∗+ → R, a
função logarítmica de base a.
Definição (Função logarítmica de base a). Dado 0 < a 6= 1, a função logarítmica de base a, denotada
loga : R∗+ → R, é denida como a inversa da função exponencial de base a. Em símbolos,
f(x) = ax ⇔ f−1 (x) = loga x
Segue da denição de função inversa que f(x) = y ⇔ f−1 (y) = x, de modo que
ax = y ⇔ loga y = x ⇔ aloga y = y
Assim, o logaritmo de y na base a é o expoente x que temos de dar à base a para obter y. Em particular,
temos então que
loga 1 = 0
. Proposição (Propriedades de logaritmos). Sejam x, y, a, b reais positivos dados, com a, b 6= 1. Temos:
(a) loga (xy) = loga x + loga y
(b) loga (x/y) = loga x − loga y
(c) loga xr = r loga x, para todo r ∈ R
(d)
loga x
loga b
= logb x (Mudança de base).
(e) loga b · logb a = 1
(f) logar x =
1
r
loga x, para todo r 6= 0.
36
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
Prova.
(a) Sejam loga x = u, loga y = v. Então x = au , y = av , de modo que xy = au · av = au+v . Pela denição de logaritmo, temos
loga (xy) = u + v = loga x + loga y
(b) Segue de (a) que
loga x = loga (x/y · y) = loga (x/y) + loga y
de modo que
loga x − loga y = loga (x/y)
(c) Usando o fato de que ar. loga x = x, temos
r
ar. loga x = (aloga x )r = xr = aloga x .
Logo,
loga xr = r loga x
(d) Seja loga x = u, loga b = v. Então x = au e b = ay , donde segue que
bu = (av )u = (au )v = xv
ou seja, que x = bu/v . Mas aí,
logb x =
(e) Fazendo x = a em (d) obtemos
1 = loga a =
loga x
u
=
v
loga b
1
loga a
=
loga b
loga b
(f) Apliquemos sucessivamente os resultados dos itens (e) e (c):
logar x =
1
1
1
=
= loga x.
r
logx a
r · logx a
r
Segue da proposição acima que a função logarítmica f(x) = loga x tem a seguinte propriedade:
f(xy) = f(x) + f(y)
Desde que a inversa de uma função crescente (decrescente) é crescente (decrescente), temos a seguinte proposição.
Proposição (Crescimento da função logarítmica). A função logarítmica de base a é uma bijeção de
R∗+ em R, crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Relembremos agora o gráco de uma função logarítmica.
Proposição (Gráfico da função loga x). Sendo inversas uma da outra, as funções ax e loga x têm grácos simétricos em relação à reta y = x (bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano). Assim, o gráco
de loga x passa pelo ponto (1,0), o que reete o fato de ser loga 1 = 0.
4.5.
37
FUNÇÕES EXPONÊNCIAIS E LOGARÍTMICAS
ax
loga x
Duas funções logarítmicas particularmente importantes são as de bases e e 10. A função logarítmica de
base 10 é muitas vezes denotada simplesmente por log x ao passo que a função logarítmica de base e é em geral
denotada por ln x. Assim, nas notações acima as bases 10 e e cam subentendidas.
38
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
4.6 Exercícios Propostos
1. Sejam a, b, c reais dados, com a > 0, e
b
∆
f : − , +∞ → − , +∞
2a
4a
a função dada por f(x) = ax2 + bx + c. Prove que f tem inversa e calcule tal inversa.
2. Supondo m uma constante real, 0 < m < 1, encontre todos os números reais x que satisfazem a inequação:
logm (x4 + m4 ) ≥ 2 + logm
3. Calcule
∞
X
1
k=2
.
x 2
+ m2
2m
log4
k
k
k2
4. Sejam f, g : R → R funções tais que g(x) = 2x − 3 e (f ◦ g)(x) = 2x2 − 4x + 1. Determine a expressão da
função f.
5. Sejam f, g funções reais de variável real tais que f(x) = 2x + 7 e (f ◦ g)(x) = x2 − 2x + 3. Determine a
expressão da função g.
6. Encontre a expressão f(x) da função f : R → R que satisfaz à equação funcional
2
[f(x)] · f
1−x
1+x
= 64x
para todo x 6= −1.
7. Determine todas as soluções reais de cada uma das equações a seguir:
(a) 32x − 6 · 3x + 9 = 0
(b) 4x − 6x = 2 · 9x .
8. Os valores da base e da altura de um triângulo são denidos por h(0, 5) e h(0, 75), respectivamente, calcule
a área desse triângulo sabendo que:
f(x) =
ex − e−x
, g(x) = ex e h(x) = g(f−1 (x))
ex + e−x
.
9. Seja ai um dos termos da progressão geométrica com oito elementos (2, 1, 21 , 14 , ...), e S = log2 a1 +log2 a2 +
S
... + log2 a8 . Se b = −5
e f(x) = |x + 2b| + |2x − b|. Calcule f(1).
10. Esboce o gráco da função f(x) = |ln(x)|
11. Seja f uma função de uma variável real denida por
f(x) = ln(e2x − ex + 3)
onde ln é o logaritmo neperiano. Calcule o domínio e a imagem de f.
αx
12. Considere
√ as funções f : R → R, f(x) = e , em que α é uma constante real positiva, e g : [0, +∞[→ R,
g(x) = x. Determine o conjunto-solução da inequação
(g ◦ f)(x) > (f ◦ g)(x)
.
4.7.
39
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
4.7 Grácos de Funções
Nesta seção vamos estudar algumas propriedades úteis para esboçar grácos de funções.
Exemplo (A função de proporcionalidade inversa). Esbocemos o gráco da função f : R − {0} → R
dada por
f(x) =
1
x
Solução. Primeiramente, armamos que o gráco de f é simétrico em relação à bissetriz do primeiro e terceiro
quadrantes do plano cartesiano, bem como simétrico em relação à origem.
De fato, pode-se provar facilmente, usando um pouco de geometria plana, que o ponto simétrico do ponto (a, b)
em relação à reta y = x é o ponto (b, a).
Por outro lado,
dado um ponto a, a1 sobre o gráco de f, o ponto a1 , a também está sobre o gráco, uma
vez que f a1 = a. Assim, pela observação do parágrafo anterior o gráco de f é simétrico em relação à reta
y = x.
Para mostrarmos que o gráco de f é simétrico em relação à origem é suciente mostrarmos que (a, b) está no
gráco de f se e só se (−a, −b) também estiver. Mas isso é imediato:
f(a) = b ⇔
1
= b ⇔ f(b) = a
a
Por m, é também claro que, à medida em que |x| aumenta, f(x) se aproxima mais e mais de zero. Por outro
lado, à medida em que |x| se aproxima de zero, |f(x)| aumenta tanto quanto quisermos. A gura abaixo mostra
o formato aproximado do gráco de f, traçado com base nas observações acima, após termos marcado alguns
pontos auxiliares sobre o mesmo.
Figura 4.10: gráco da função f(x) = x−1
.
4.7.1 Paridade de funções
Nesta seção vamos denir os conceitos de funções par e ímpar e entender mais um pouco sobre suas relações
com representações grácas de funções.
Definição (Funções par e ímpar). Seja I ⊂ R um intervalo simétrico em relação à origem. Uma função
f : I → R é denominada
(a) Par, se f(x) = f(−x) para todo x ∈ I.
(b) ímpar, se f(x) = −f(−x) para todo x ∈ I.
Em relação a grácos, uma função f ser par signica que seu gráco é simétrico em relação ao eixo das ordenadas; f ser ímpar é o mesmo que seu gráco é simétrico em relação à origem do plano cartesiano. Isto porque os
pontos (x, y) e (−x, y) são simétricos em relação ao eixo vertical, ao passo que os pontos (x, y) e (−x, −y) são
40
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
simétricos em relação à origem.
Observe que a função de proporcionalidade inversa f(x) =
gráco simétrico em relação à origem do plano cartesiano.
1
x
é ímpar, donde reobtemos o fato de ser seu
Exemplo (Gráfico de x 7→ xn ). Trace um esboço do gráco de fn (x) = xn , onde n > 0 é inteiro.
Solução. Observe primeiro que fn é par quando n for par e ímpar quando n for ímpar, como é imediato
vericar.
Os grácos de f2 (x) = x2 e f4 (x) = x4 são um modelo do que acontece em geral com as funções f2n (x) = x2n .
Primeiramente, f2 e f4 são sempre não-negativas e só se anulam em x = 0. Também é claro que são funções
pares, e daí o gráco é simétrico em relação ao eixo vertical. Por outro lado, à medida em que |x| aumenta,
também é evidente que os valores de f2 e f4 se tornam cada vez maiores. Por último,
|x| < 1 ⇒ x4 < x2
|x| > 1 ⇒ x4 > x2
|x| = 1 ⇒ x4 = x2 = 1,
justicando o fato de o gráco de f4 estar situado abaixo do gráco de f2 no intervalo (−1, 1) e acima fora do
intervalo [−1, 1]. A gura abaixo esboça os grácos de f2 e f4 : Os grácos de f3 (x) = x3 e f5 (x) = x5 são um
x2
x4
Figura 4.11: gráco da função fn (x) = xn para n par.
modelo do que acontece em geral com as funções f2n−1 (x) = x2n−1 . Primeiramente, f3 e f5 são positivas para
x > 0, negativas para x < 0 e se anulam em x = 0. Também é claro que são funções ímpares, e daí o gráco é
simétrico em relação à origem.
Agora, a medida em que |x| aumenta é evidente que os valores de |f| e |g| se tornam cada vez maiores. Por
último
|x| < 1 ⇒ |x5 | < |x3 |
|x| > 1 ⇒ |x5 | > |x3 |
|x| = 1 ⇒ |x5 | = |x3 | = 1,
justicando o fato de o gráco de f5 estar, no intervalo (−1, 1), mais próximo do eixo horizontal que o gráco
de f3 e mais distante fora do intervalo [−1, 1]. A gura a seguir esboça os grácos de f3 e f5 :
4.7.
41
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
x3
x5
Figura 4.12: gráco da função fn (x) = xn para n ímpar.
Vamos agora analisar como podemos movimentar os grácos.
Proposição (Movimentos em um gráfico). Seja f : R → R uma função dada e a 6= 0 um real dado.
então:
(a) O gráco de g(x) = f(x + a) é obtido transladando o gráco de f de −a, paralelamente ao eixo horizontal.
(b) O gráco de g(x) = f(x) + a é obtido transladando o gráco de f de a, paralelamente ao eixo vertical.
(c) O gráco de g(x) = −f(x) é obtido reetindo o gráco de f ao longo do eixo horizontal.
(d) O gráco de g(x) = f(−x) é obtido reetindo o gráco de f ao longo do eixo vertical.
(e) O gráco de g(x) = af(x) é obtido alongando o gráco de f verticalmente do fator a, se a > 0.
(f) O gráco de g(f) = f(ax) é obtido alongando o gráco de f horizontalmente do fator a, se a > 0.
Prova.
(a) Basta mostrarmos que (x, y) é um ponto do gráco de f se e só se (x − a, y) for um ponto do gráco de
g. De fato, se (x, y) pertence ao gráco de f então f(x) = y, e daí
g(x − a) = f((x − a) + a) = y
quer dizer, (x − a, y) pertence ao gráco de g. Provamos a recíproca do mesmo modo.
(b) Basta mostrarmos que (x, y) é um ponto do gráco de f se e só se (x, y + a) for um ponto do gráco de
g. De fato, se (x, y) pertence ao gráco de f então f(x) = y e daí
g(x) = f(x) + a = y + a
quer dizer, (x, y + a) pertence ao gráco de g. Provamos a recíproca do mesmo modo.
Os itens (c),(d),(e) e (f) cam como exercício.
Exemplo. Seja a > 1 um real dado. Prove que os grácos de f(x) = ax e g(x) = ( a1 )x são simétricos em
relação ao eixo −y.
Prova. Basta ver que g(−x) = f(x) e usar o item (d) da proposição anterior.
42
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
f
g
Figura 4.13: grácos de f(x) = ax e g(x) = a−x .
2x
Exemplo. Trace um esboço do gráco de f : R − {−1} → R dada por f(x) = x+1
.
Solução. Em princípio pode parecer que não podemos usar o teorema acima, já que nossa função não tem por
domínio o conjunto dos reais. Contudo, como
2x + 2 − 2
2
2x
=
=2−
x+1
x+1
x+1
podemos raciocinar de modo análogo à prova do teorema, e desenhar o gráco de f do seguindo modo.
Primeiro, traçamos o gráco de x 7→ x1 . Em seguida, transladamos o gráco anterior uma unidade para a
1
. Agora alongamos o gráco anterior na direção vertical, pelo fator 2,
esquerda, obtendo o gráco de x 7→ x+1
2
obtendo o gráco de x 7→ x+1
.
2
. Por m, transladamos o gráco reetindo duas
Reetimos o resultado no eixo horizontal, obtendo x 7→ − x+1
2x
unidades para cima, obtendo o gráco de x 7→ x+1 . O resultado nal é a gura abaixo:
y=2
Figura 4.14: gráco de x 7→
2x
x+1
A reta y = 2 é chamada de assíntota horizontal. Vamos falar um pouco sobre assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas horizontais e verticais.
Existem algumas funções racionais cujos grácos se aproximam bastante de uma reta vertical, que é denox2
minada assíntota vertical. Por exemplo, observemos a função f(x) = (1−x)
, cujo gráco é:
4.7.
43
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
x=1
f
Figura 4.15: gráco da função f(x) = x2 /(1 − x).
Se analisarmos a função f(x), o seu domínio é dado por Dom(f) = {x ∈ R : 1 − x 6= 0} = R \ {1}, assim,
podemos observar que ela não está denida para x = 1. Dessa forma, vericamos que a única assíntota vertical
é x = 1.
g(x)
deveNormalmente, quando queremos encontrar uma assíntota vertical de uma função racional f(x) = h(x)
mos vericar para quais valores a função h(x) não está denida, ou seja, valores em que h(x) = 0 para um certo
x = a, analisando o comportando de f(x) quando x se aproxima de a.
A existência de assíntotas horizontais depende do comportamento de uma função f(x) = y para valores positivos grandes de x e valores negativos grandes de x (ou seja, x −→ ±∞).
Assim, se olharmos por exemplo para a função f(x) = 2x2 /(1 + x2 ):
y=2
f
Figura 4.16: gráco da função f(x) = 2x2 /(1 + x2 ).
Um fato interessante deste exemplo, é o seguinte, calculando sua Im(f) podemos analisar para quais valores
de y = f(x) a imagem está denida, temos:
y
y + yx2
2x2
1 + x2
= 2x2
=
x2 (2 − y)
=
2
=
x
x
y
y
2−y
r
y
= ±
2−y
44
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
Assim, o conjunto Im(f) é dado por Im(f) = [0, 2). Logo, para y = 2 o denominador da última expressão acima
se anula, então uma possível assíntota horizontal é a reta y = 2.
Entretanto, se manipularmos a expressão f(x) = 2x2 /(1 + x2 ), temos:
f(x)
=
2x2
1 + x2
f(x)
=
2
2
=
[(1 + x2 )/(x2 )]
(1/x2 + 1)
Analisando essa última expressão, para valores muito grandes de x a fração 1/x2 vai se aproximando cada vez
mais de 0 e, consequentemente, a função f(x) se aproxima de 2. Ou seja, concluímos, novamente que uma única
assíntota horizontal aparece para y = 2.
No seu curso de Cálculo I, você verá com o seu professor, que para determinar assíntotas horizontais para
uma função y = f(x), basta calcular o limite limx→+∞ f(x) ou o limite limx→−∞ f(x) e vericar se o resultado
é um número real L. Se for, a reta y = L será chamada de assíntota horizontal.
Proposição(Gráfico da função inversa). Sejam A, B ⊂ R e f : A → B uma bijeção. Os grácos de f
e f−1 são simétricos em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes do plano cartesiano.
Prova. Pela denição de função inversa, temos que
(a, b) ∈ Graf(f) ⇔ (b, a) ∈ Graf(f−1 )
Como os pontos (a, b) e (b, a) são simétricos em relação à reta y = x, nada mais há a fazer.
Exemplo Esboce o gráco da função f : R+ → R+ dada por f(x) =
√
x.
Solução. Consideremos a função g : R+ → R+ dada por g(x) = x2 . Como g ◦ f e f ◦ g são ambos iguais à
identidade de R+ , segue que f e g são inversas uma da outra. Já conhecemos o gráco de g, de modo que o
gráco de g é obtido como o simétrico do gráco de g em relação à reta y = x.
g
y=x
f
Figura 4.17: gráco de f(x) =
√
x
E dessa forma encontramos o gráco de f.
Definição (Função periódica). Uma função não constante f : R → R é dita periódica se existir um real
τ > 0 tal que f(x) = f(x + τ) para todo real x. O número τ > 0 é denominado um período de f.
De acordo com o item (b) de Movimento de gráficos, o gráco de uma função periódica apresenta uma
repetição. Mais precisamente, se destacarmos a porção do gráco no intervalo [0, τ), poderemos obter o gráco
inteiro repetindo o pedaço destacado em cada um dos intervalos [kτ, (k + 1)τ), k inteiro.
4.7.
45
GRÁFICOS DE FUNÇÕES
Definição (A parte fracionária de um número real). Para cada x ∈ R dena a parte inteira de x,
denotada bxc, como o maior inteiro que é menor ou igual a x. A parte fracionária de x, denotada por {x}, é
dada por
{x} = x − bxc
A m de esboçarmos o gráco da função f : R → R dada por f(x) = {x} notemos que, para todo x ∈ R, tem-se:
f(x + 1) = f(x)
De fato, se n = bxc então n ≤ x < n + 1, de modo que n + 1 ≤ x + 1 < n + 2. Mas isso equivale a termos
bx + 1c = n + 1 = bxc + 1
Logo,
f(x + 1)
=
{x + 1} = x + 1 − bx + 1c
=
bxc + {x} + 1 − bx + 1c
=
{x} = f(x)
Por m, notemos que para 0 ≤ x < 1, tem-se
f(x) = x − bxc
Portanto:
Figura 4.18: gráco de f(x) = {x}.
46
CAPÍTULO 4.
FUNÇÕES
4.8 Exercícios Propostos
1. Calcule as possíveis assíntotas verticais da função f(x) = log 1 −
3
x
.
2. Esboce os grácos das seguintes funções:
a) y = 12 (1 + ex )
b) f(x) =
c) y = 3 ln(x − 2)
1
x+2
√
d) y = 2 − x
3. Mostre que as coordenadas de um ponto A(x, y) em relação a um novo sistema de coordenadas x 0 Oy 0
rotacionado de um certo ângulo (θ) em relação ao sistema de eixos original (xOy) são dadas por:
A(x 0 , y 0 ) =
y0
x 0 = xcosθ + ysenθ
y 0 = −xsenθ + ycosθ
y
x0
θ
x
4. Usando o resultado da questão anterior, prove que o gráco da função de proporcionalidade inversa
f(x) = 1/x é uma hipérbole equilátera rotacionada de 45 .
Obs: lembre-se que a equação da hipérbole é dada por
x2
y2
−
=1
a2 b 2
sendo ela equilátera quando a = b.
5. Encontre as assíntotas verticais da função
y=
x2 + 1
3x − 2x2
6. Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráco da função
√
f(x) =
2x2 + 1
3x − 5
7. Considere as regiões R1 e R2 denidas a seguir:
• R1 é a região do primeiro quadrante (r ≥ 0, y ≥ 0) limitada pela curva x = y2 , pelo eixo OX e pela
reta y = x − 2.
• R2 é a região limitada pela curva x = y2 , pelo eixo OY e pela reta y = 2.
Faça um esboço da região R1 e de R2 .
8. Considere a região R limitada pelas curvas y = −x3 − 1, pelo eixo OY e pela reta y = x + 1. Faça um
esboço da região R.
4.8.
47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
9. Seja A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 6 9}, B = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 6 4}, e C = {(x, y) ∈ R2 |y > 0}. Represente
os conjuntos A − B, A − C, A ∩ C, (A − B) ∩ C e A − (B ∩ C) no plano cartesiano.
10. Considere as seguintes relações:
• A = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y2 ≤ 16}
• B = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| > 4}
• C = {(x, y) ∈ R2 |x2 ≥ y}
Faça o esboço da região R = A ∩ B ∩ CC .
11. Em cada item abaixo, determine se a armação é verdadeira ou falsa, assinalando V ou F, respectivamente.
Justique suas respostas.
a) Se f é uma função tal que f(1) = 5 = f(3). Então f não possui função inversa.
b) O gráco de f = log3 (9x) é uma translação vertical do gráco de y = log3 (x).
12. Esboce a região R limitada pelas curvas y + x = 6, y + x3 = 0 e 2y − x = 0.
13. Partindo do gráco de f(x) =
√
3
x, expresse:
(a) a função f1 , obtida transladando-se o gráco de f duas unidades para a direita;
(b) a função f2 , obtida aplicando-se uma contração horizontal de três unidades no gráco de f1 ;
(c) a função f3 , obtida alongando-se verticalmente de cinco unidades o gráco de f2 .
14. Esboce a região do plano que consiste de todos os pontos (x, y) tais que
|x − y| + |x| − |y| ≤ 2
15. Esboce o gráco da função g(x) = |x2 − 1| − |x2 − 4|.
CAPÍTULO 5.
POLINÔMIOS
5
Polinômios
5.1 Funções Polinomiais
Diz-se que p : R → R é uma função polinomial quando existem números a0 , a1 , ..., an tais que, para todo
x ∈ R, tem-se
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0
(5.1)
Se an 6= 0, dizemos que p tem grau n.
A soma e o produto de funções polinomiais são ainda funções polinomiais. Um exemplo interessante do produto
é:
(x − a)(xn−1 + axn−2 + ... + an−2 x + an−1 ) = xn − an
Dizemos então que xn − an é divisível por x − a.
Seja p(x) a função polinomial apresentada. Para quaisquer x, a reais, temos
p(x) − p(a) = an (xn − an ) + an−1 (xn−1 − an−1 ) + .. + a1 (x − a)
Como cada parcela do segundo membro é divisível por x − a, podemos escrever, para todo x ∈ R:
p(x) − p(a) = (x − a).q(x)
p(x) = (x − a).q(x) + p(a)
onde q é uma função polinomial.
Se p tem grau n, q tem grau n − 1.
Em particular, se a é uma raiz de p, isto é, p(a) = 0, então
p(x) = (x − a)q(x)
para todo x ∈ R. A recíproca é óbvia.
Portanto, a é uma raiz de p se, e somente se, p(x) é divisível por x − a. Mais geralmente a1 , ..., ak são raízes
de p se, e somente se, para todo x ∈ R vale
p(x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x − ak )q(x),
onde q é uma função polinomial de grau n − k se p tem grau n.
Daí resulta que uma função polinomial de grau n não pode ter mais do que n raízes.
Uma função polinomial p chama-se identicamente nula quando se tem p(x) = 0 para todo x ∈ R. Neste caso,
p tem uma innidade de raízes. (Todo número real é raiz de p.) Então nenhum número natural n é grau de p,
a m de não contradizer o resultado acima. Isto signica que na expressão
p(x) = an xn + ... + a1 x + a0
48
5.2.
49
INTERPOLADOR DE LAGRANGE
todos os coecientes an , an−1 , ..., a1 , a0 são iguais a zero. Concluímos então que a única função polinomial
identicamente nula é do tipo
0xn + 0xn−1 + ... + 0x + 0
Se nos ativermos à letra da denição, a função polinomial identicamente nula não tem grau, pois nenhum dos
seus coecientes é 6= 0.
Dadas as funções polinomiais p e q, completando com zeros (se necessário) os coecientes que faltam, podemos
escrevê-las sob as formas
p(x) = an xn + ... + a1 x + a0
e
q(x) = bn xn + ... + b1 x + b0 ,
sem que isto signique que ambas têm grau n, pois não estamos dizendo que an 6= 0 nem que bn 6= 0.
Suponhamos que p(x) = q(x) para todo x ∈ R, ou seja, que p e q sejam funções iguais. Então a diferença
d = p − q é a função identicamente nula, pois d(x) = p(x) − q(x) = 0 para todo x ∈ R.
Mas, para todo x ∈ R, tem-se
d(x) = (an − bn )xn + ... + (a1 − b1 )x + (a0 − b0 ).
Pelo que acabamos de ver sobre funções polinomiais identicamente nulas, segue-se que an −bn = 0, ..., a1 −b1 =
0, a0 − b0 = 0, ou seja:
an = bn , ..., a1 = b1 , a0 = b0
Portanto as funções polinomiais p, q assumem o mesmo valor p(x) = q(x) para todo x ∈ R se, e somente se,
têm os mesmos coecientes.
5.2 Interpolador de Lagrange
Um polinômio de grau n é dado quando se conhecem seus n + 1 coecientes. Segundo a boa prática matemática,
para determinar n + 1 números é necessário (e muitas vezes suciente) ter n + 1 informações. No nosso caso,
vale o seguinte resultado:
Dados n+1 números reais distintos x0 , x1 , ..., xn e fixados arbitrariamente os valores y0 , y1 , ..., yn , existe um, e
somente um, polinômio p, de grau 6 n, tal que
p(x0 ) = y0 , p(x1 ) = y1 , ..., p(xn ) = yn
A parte "somente um"decorre imediatamente do que foi visto na seção anterior pois se p e q são polinômios de
grau 6 n com n + 1 raízes, logo p − q = 0 e p = q.
A existência de um polinômio p de grau 6 n que assume valores pré-xados em n + 1 pontos distintos dados pode ser provada de duas maneiras diferentes. A primeira delas segue as mesmas linhas do caso n = 2, já
estudado no capítulo anterior, e consiste em resolver o sistema de n + 1 equações e n + 1 incógnitas a0 , a1 , ..., an
abaixo indicado:
an xn
0 + ... + a1 x0 + a0
=
y0
an xn
1
=
y1
+ ... + a1 x1 + a0
···
an xn
n
+ ... + a1 xn + a0
=
yn
Este sistema, no qual as quantidades conhecidas são as potências sucessivas de x0 , x1 , ..., xn , tem sempre solução
única quando estes
Q n + 1 números são dois a dois diferentes. [Seu determinante é o determinante de Vandermonde, igual a
(xi − xj ).]
i<j
Outra maneira de provar que existe sempre um polinômio de grau 6 n que assume nos n + 1 pontos distintos x0 , x1 , ..., xn os valores arbitrados y0 , y1 , ..., yn consiste em exibir explicitamente esse polinômio, usando
a chamada fórmula de interpolação de Lagrange.
50
CAPÍTULO 5.
POLINÔMIOS
Apresentamos a seguir os polinômios que resolvem o problema, destacando em especial os casos mais simples, n = 1 e n = 2.
n = 1:
p(x) = y0
n = 2:
p(x) = y0
x − x1
x − x0
+ y1
x0 − x1
x1 − x0
(x − x1 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x2 )
(x − x0 )(x − x1 )
+ y1
+ y2
(x0 − x1 )(x0 − x2 )
(x1 − x0 )(x1 − x2 )
(x2 − x0 )(x2 − x1 )
Caso geral:
p(x) =
n
X
i=0
Y x − xk yi ·
xi − xk
k6=i
Esta é a fórmula de interpolação de Lagrange.
5.3 Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios p(x) e d(x), o dividendo e o divisor, podemos calcular p(x)/d(x) desde que
• d(x) 6= 0;
• o grau de d(x) seja menor ou igual ao grau de p(x).
Nesse caso, existe um único polinômio q(x), o quociente, e um único polinômio r(x), o resto, tais que
p(x) = d(x)q(x) + r(x)
ou
r(x)
p(x)
= q(x) +
d(x)
d(x)
, e r(x) = 0 ou o grau de r(x) é menor que o grau de d(x).
Exemplo. Dividir p(x) = 3x4 − 4x3 − 2x2 + 5 por d(x) = x2 − 2x + 1.
Solução.
3x4 − 4x3 − 2x2 + 0x + 5
−3x4 + 6x3 − 6x2
x2 − 2x + 1
3x2 + 2x + 1
2x3 − 5x2 + 0x + 5
−2x3 + 4x2 − 2x
−x2 − 2x + 5
+x2 − 2x + 1
Esse método é conhecido por método das chaves.
−4x + 6
5.3.1 Algoritmo de Runi
Se o divisor tem a forma (x − a), em que a é um número real, podemos calcular
p(x)
x−a
usando um algoritmo rápido, conhecido como método de Ruffini (ou Briot-Runi).
Esse método é uma versão sintética do algoritmo anterior, para o caso em que o divisor tem grau 1 e o coeciente
que multiplica x é igual a 1.
5.4.
51
EQUAÇÕES RECÍPROCAS
Método das chaves
4x3 + 3x2 − 25x + 1
−4x3 + 8x2
x−2
4x2 + 11x − 3
+11x2 − 25x + 1
−11x2 + 22x
−3x + 1
+3x − 6
−5
Diagrama de Ruffini
2
4 3 − 25 1
4 11 − 3 0
A segunda linha nos fornece o polinômio q(x) que tem grau n − 1, ou seja q(x) = 4x2 − 11x − 3.
5.3.2 Raízes Múltiplas
Dizemos que uma raiz k é uma raiz múltipla de um polinômio p(x) quando ela é raiz de p(x) e também raiz do
seu quociente da divisão de p(x) por (x − k). Ou ainda, quando p(x) possui o fator (x − k) mais de uma vez em
sua fatoração. O número de vezes n em que aparece o fator dirá a ordem de multiplicidade da raiz (se n = 2,
trata-se de raiz dupla, se n = 3, raiz tripla, e assim em diante).
Exemplos.
p(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1 = (x − 1)(x − 1)(x − 1)
possui 1 como raiz de multiplicidade três.
p(x) = x2 = (x − 0)(x − 0)
possui 0 como raiz de multiplicidade dois.
Vamos supor um polinômio, sem perda de generalidade, com uma raiz múltipla de ordem n e demais raízes
quaisquer.
p(x) = (x − k)n .q(x)
A expressão acima representa tal polinômio onde q(x) contém os demais fatores devido às outras raízes de p(x).
Derivando a expressão p(x) em relação a x (devemos nos atentar que o membro direito trata de um produto de
funções dependentes de x):
p 0 (x) = n(x − k)n−1 .q(x) + (x − k)n .q 0 (x)
Evidenciando alguns termos comuns:
p 0 (x) = (x − k)n−1 .[nq(x) + (x − k)q 0 (x)]
Chamando n.q(x) + (x − k)n−1 .q 0 (x) = q2 (x), temos:
p 0 (x) = (x − k)n−1 q2 (x)
E assim, chegamos a seguinte conclusão:
Se p(x) possui uma raiz k com multiplicidade de ordem n, então k será raiz de p 0 (x) com multiplicidade de ordem n − 1.
5.4 Equações Recíprocas
Dizemos que uma equação polinomial é recíproca se, quando o número k atende à equação, tivermos que 1/k
também atende.
52
CAPÍTULO 5.
POLINÔMIOS
As equações recíprocas são caracterizadas por possuírem coecientes equidistantes do centro da equação simétricos ou anti-simétricos, tornando assim possível classicá-las quanto a dois tipos de espécies:
• Equação recíproca de 1a Espécie: Quando os termos equidistantes do centro da equação são iguais,
dizemos que a equação recíproca é de primeira espécie.
a0 .xn + a1 .xn−1 + a2 .xn−2 + ... + a2 x2 + a1 x + a0 = 0
• Equação recíproca de 2a Espécie: Quando os termos equidistantes do centro da equação são iguais em
módulo, porém com sinais contrários, dizemos que a equação recíproca é de segunda espécie:
a0 xn + a1 xn−1 + a2 xn−2 + ... − a2 x2 − a1 x − a0 = 0
Exemplos.
• 2x3 − 3x2 − 3x + 2 = 0 (Primeira Espécie)
• 4x5 − 21x4 + 17x3 + 17x2 − 21x + 4 = 0 (Primeira Espécie)
• 15x4 − 28x3 − 230x2 − 28x + 15 = 0 (Primeira Espécie)
• 2x3 − 7x2 + 7x − 2 = 0 (Segunda Espécie)
Vamos resolver uma equação recíproca. Temos:
15x4 − 28x3 − 230x2 − 28x + 15 = 0
O primeiro passo é dividir a equação pelo monômio do termo central (x2 ):
15x2 − 28x − 230 −
28 15
+ 2 =0
x
x
O segundo passo, é colocarmos os coecientes iguais em evidência:
1
1
15 x2 + 2 − 28 x +
− 230 = 0
x
x
Agora, devemos fazer uso de um articio:
x+
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
1
=y
x
1
x+
x
2
x2 + 2 +
Com isso:
x2 +
Substituindo, temos:
= y2
1
= y2
x2
1
= y2 − 2
x2
15(y2 − 2) − 28y − 230 = 0
E assim, recaímos em uma equação do segundo grau
15y2 − 28y − 260 = 0
As raízes da equação acima são:
y1 =
Voltando para a equação na variável x. temos:
26
5
e y2 = −
5
3
x2 + 1 =
e
26
x
5
5
x2 + 1 = − x
3
Vemos assim que essa equação possuí duas raízes reais e duas raízes complexas:
√
√
−5/3 + i 11
−5/3 − i 11
x1 = 5, x2 = 1/5, x3 =
e x4 =
2
2
5.5.
53
TEOREMA DAS RAÍZES RACIONAIS
5.5 Teorema das Raízes Racionais
Segundo o teorema, se o número racional qp , com p e q primos entre si (ou seja,
uma raiz da equação polinomial com coecientes inteiros
p
q
é uma fração irredutível), é
an xn + an−1 xn−1 + ... + a2 x2 + a1 x1 + a0 = 0
então p é divisor de a0 e q é divisor de an .
Exemplo Encontre quais são as raízes a equação
x3 − 7x + 6 = 0
• p deve ser divisor de 6, portanto: ±6, ±3, ±2, ±1;
• q deve ser divisor de 1, portanto: ±1;
Portanto, os possíveis valores da fração
p
q
são: ±6, ±3, ±2, ±1.
Substituindo esses valores, descobrimos que 1 e 2 são suas raízes.
5.6 Relações de Girard
Estudaremos agora algumas relações inerentes a cada polinômio que auxiliam na busca de novas raízes. Cabe
ressaltar que essas relações por si só nunca permitirão que encontremos as raízes do polinômio. Elas apenas
auxiliarão a nossa busca, junto a outras informações conhecidas a respeito da equação analisada.
Antes de enunciarmos as famosas Relações de Girard, vamos primeiro denir um termo que será mencionado no próprio teorema, para que a compreensão posterior seja facilitada.
Sejam a, b, c, d, ... raízes de um polinômio. Denimos como somas de Girard:
 1
σ


 2G
σG
σ3


 G
...
= a + b + c + d + ...
= a.b + a.c + ... + b.c + b.d + ... + c.d + ...
= a.b.c + a.b.d + b.c.d + ...
O índice numérico associado a cada soma nos diz o número de termos agrupados em cada parcela da soma. Ou
seja, a soma de índice 1 de Girard é a soma das raízes tomadas uma a uma. A soma de índice 2 é a soma das
raízes tomadas duas a duas, e assim por diante.
Definição(Relações de Girard).
Dado um polinômio p(x) = an .xn + an−1 xn−1 + ... + a1 .x + a0 , é válido que:
σ1G = −
an−1
,
an
σ2G =
an−2
,
an
σ3G = −
an−3
an−k
, · · · σkG = (−1)k
an
an
Exemplo. Para o polinômio p(x) = ax2 + bx + c de raízes m, n, mostre que σ1G = −b/a e σ2G = c/a.
Solução.
ax2 + bx + c ≡
≡
a(x − m)(x − n)
a(x2 − mx − nx + mn)
≡ a(x2 − (m + n)x + mn)
≡ ax2 − a(σ1G )x + a(σ2G )
54
CAPÍTULO 5.
POLINÔMIOS
5.7 Teorema de Bolzano
Estudaremos agora um resultado do matemático italiano Bernard Bolzano.
Definição. (Teorema de Bolzano). Sejam a e b (a < b) números reais e, f uma função contínua no
intervalo [a, b] tal que f(a) e f(b) têm sinais opostos. Então, existe um real c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0 (ou ainda,
existe uma raiz real de f entre a e b).
As condições para o teorema de Bolzano supõem que a função é contínua no intervalo estudado e que f(a)
e f(b) têm sinais contrários. Ora, se a função tem sinais contrários em a e em b, e deve ser contínua em [a, b],
para atravessar de um lado para o outro da reta Ox, ela teve que cruzá-la em algum ponto!
O teorema de Bolzano pode não parecer, mas é uma ferramenta poderosíssima de busca de raízes de funções
contínuas (como é o caso dos polinômios). Muitos métodos computacionais (os chamados métodos numéricos)
de determinação de raízes utilizam esse teorema aparentemente "óbvio".
Sejam a e b (a < b) números reais e f uma função contínua no intervalo [a.b].
• Se f(a).f(b) = 0, a ou b (ou ambos) é raiz de f.
• Se f(a).f(b) > 0, f possui um número par de raízes reais (ou zero raízes reais) em [a, b].
• Se f(a).f(b) < 0, f possui um número ímpar de raízes reais em [a, b].
Interpretação geométrica.
Exemplos
p(a)
p(b)
a
b
a
r1
r2
r1
p(b)
p(a)
Figura 5.1: número ímpar de raízes.
r3 b
5.7.
55
TEOREMA DE BOLZANO
p(b)
p(b)
p(a)
p(a)
a
a
b
r1 = r2
b
Figura 5.2: número par de raízes.
p(b)
p(a)
a
b
r1
r2
r3
r4
p(b)
a
r1
r2
b
p(a)
Figura 5.3: número par de raízes.
Exemplo Quantas raízes reais a equação x3 − 3x2 + 7x + 1 pode apresentar no intervalo ] − 1, 1[?
Solução.
Temos p(x) = x3 − 3x2 + 7x + 1, então:
p(−1) = (−1)3 − 3(−1)2 + 7(−1) + 1 = −10 < 0
p(1) = 13 − 3(1)2 + 7(1) + 2 = 6 > 0
Como p(−1) e p(1) têm sinais contrários, a equação pode ter uma ou três raízes reais no intervalo dado.
Exemplo Determinar m de modo que a equação:
x5 − 2x4 + 3x3 − 5x2 + x + (m − 3) = 0
tenha ao menos uma raiz real compreendida entre 0 e 2.
Solução.
A condição para isso é que p(0) e p(2) tenham sinais contrários. Temos:
p(0) = m − 3
e
p(2) = m + 3
portanto:
p(0).p(2) < 0 =⇒ (m − 3)(m + 3) < 0 =⇒ |m| < 3 =⇒ −3 < m < 3.
56
CAPÍTULO 5.
POLINÔMIOS
5.8 Exercícios Propostos
1. Verique que a equação ex
positivo.
2
−x
= x3 − 4x2 + x + 2 possui pelo menos uma solução para algum valor de x
2. Encontre todas as raízes da equação x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0.
3. Seja p(x) = αx3 + βx2 + γx + δ um polinômio de terceiro grau cujas raízes são termos de uma progressão
aritmética de razão 2. Sabendo que p(−1) = −1, p(0) = 0 e p(1) = 1, determine os valores de α e γ.
P
n+1
4. Seja f : N → R uma função tal que n
k=0 f(k) = 2008 n+2 , onde N e R são, respectivamente, o conjunto
1
dos números naturais e o dos números reais. Determine o valor numérico de f(2006)
.
5. Sejam a, b e c as raízes do polinômio p(x) = x3 + rx − t, onde r e t são números reais não nulos. Determine
o valor da expressão a3 + b3 + c3 em função de r e t.
6. Considere o polinômio de grau mínimo, cuja representação gráca passa pelos pontos P1 (−2, −11), P2 (−1, 0),
P3 (1, 4) e P4 (2, 9).
a) Determine os coecientes do polinômio.
b) Calcule a soma de todas as raízes.
7. Efetue as seguintes divisões:
a)
x2 +x−6
x−2
b)
8. Resolva a seguinte inequação:
9. Resolva a seguinte inequação:
x2 +5x+4
x2 +3x−4
2x3 − 3x2 + 11x + 6 < 0
(x2 − 1)(x + 3)(x − 2)
>0
(x − 5)(x + 7)
10. Sejam a, b, c números reais com a 6= 0.
a) Mostre que a mudança x + 1/x = z transforma a equação
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0
numa equação de segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação x4 + 3x3 − 2x2 + 3x + 1 = 0.
c)
x3 −x2 −2x
x−2
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6
Funções Trigonométricas
Uma das formas elementares de introduzir as funções trigonométricas é utilizar o chamado ciclo trigonométrico.
Chamamos o ciclo trigonométrico a uma circunferência de raio 1 centrada na origem de um plano cartesiano.
y
P(x, y)
r=1
y
θ
O
x
x
Sabemos da trigonometria, que sin(θ), cos(θ) e tan(θ) são razões trigonométricas que relacionam ângulos e
lados de um triângulo retângulo. Na gura acima, os lados x e y são chamados de cateto adjacente e cateto
oposto, respectivamente, em relação ao ângulo θ. O lado r é chamado de hipotenusa, é o lado que é oposto ao
ângulo reto (π/2) do triângulo.
Podemos denir as razões trigonométricas da seguinte forma:
cateto oposto
• (Seno). sin(θ) = hipotenusa =
• (Cosseno). cos(θ) =
y
r
= y =⇒ y = sin(θ).
cateto adjacente =
hipotenusa
cateto oposto
x
r
• (Tangente). tan(θ) = cateto adjacente =
= x =⇒ x = cos(θ).
y
x
=⇒ y = x. tan(θ).
A partir desses resultados encontrados podemos retirar uma importante relação. Usando o teorema de Pitágoras, temos:
x2 + y2 = 12
57
58
CAPÍTULO 6.
Assim,
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sin2 θ + cos2 θ = 1
Essa identidade é chamada de relação fundamental da trigonometria.
Obs. Temos outras razões trigonométricas também conhecidas:
hipotenusa
• (Secante). sec(θ) = cateto adjacente =
hipotenusa
r
x
• (Cossecante). csc(θ) = cateto oposto =
• (Cotangente). cot(θ) =
= 1/x =⇒ sec(θ) = 1/ cos(θ).
r
y
= 1/y =⇒ csc(θ) = 1/ sin(θ).
cateto adjacente =
cateto oposto
x
y
=⇒ cot(θ) = 1/ tan(θ).
Exemplo. Mostre que tan2 (θ) = sec2 (θ) − 1.
Solução. Usando a relação fundamental da trigonometria, temos:
sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1
Dividindo ambos os lados da equação por cos2 (θ):
sin2 (θ)
1
+1=
2
cos (θ)
cos2 (θ)
Assim,
Daí,
sin(θ)
cos(θ)
2
+ 1 = sec2 (θ)
tan2 (θ) + 1 = sec2 (θ)
tan2 (θ) = sec2 (θ) − 1
No ciclo trigonométrico, o ângulo α é medido em radianos. Devemos estar atento ao fato de escolher qual sentido iremos percorrer esse ângulo no ciclo, no sentido horário (−) ou anti-horário (+). Sendo assim, percorrendo
o ciclo, temos:
π
2
π
2
(+)
β = α + 2π
α
π
0, 2π
α
π
β
0, 2π
−α
(−)
3π
2
3π
2
Ao completar uma volta no círculo, teremos percorrido 360◦ ou 2π rad e voltamos para o ponto inicial do
ciclo. Neste ponto, é necessário entendermos um conceito chamado arcos côngruos. Dois arcos são côngruos
quando representam o mesmo ponto no ciclo trigonométrico. Desta forma, a diferença entre dois arcos côngruos
é alguma quantidade inteira de voltas, ou seja, se α e β são côngruos (α ≡ β), então β − α = 2π.m, em que m
é algum número inteiro.
6.1.
59
IDENTIDADES E TRANSFORMAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6.1 Identidades e Transformações Trigonométricas
Além da relação fundamental da trigonometria, temos algumas identidades que podem nos proporcionar uma
manipulação de certas expressões complicadas com o intuito de simplicá-las. Uma identidade é uma igualdade
que é sempre verdadeira, independentemente do valor das variáveis que nela aparecem. Para isso, vamos estudar
as principais identidades trigonométricas.
6.1.1
Fórmulas de adição e subtração
1. Cosseno da soma: cos(a + b) = cos(a).cos(b) − sen(b).sen(a).
Demonstração.
y
+ b)
Q
π
2
− (a
a
P
S
b
T
O
a
N
VM
x
Observando as construções geométricas feitas no círculo trigonométrico acima, podemos deduzir que os
triângulos OMP, OVS e QTS são retângulos e semelhantes. Então, podemos construir algumas relações:
(a) OM = cos(a)
(b) OS = cos(b)
(c) MP = sin(a)
(d) SQ = sin(b)
(e) ON = cos(a + b)
(f) NQ = sin(a + b)
(g) OP = 1 que é o raio de tamanho unitário.
Os triângulos OVS e OMP são semelhantes, logo:
∆OVS ∼ ∆OMP
OV
OS
=
OM
OP
Substituindo as relações (a),(b) e (g) na igualdade acima, temos:
OV
cos(b)
=
cos(a)
1
60
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
OV = cos(a). cos(b)
Os triângulos QTS e OMP são semelhantes, logo:
∆QTS ∼ ∆OMP
TS
SQ
=
MP
OP
Substituindo as relações (c),(d) e (g) na igualdade acima, obtemos:
TS
sin(b)
=
sin(a)
1
TS = sin(a). sin(b)
Sendo assim, vamos demonstrar que cos(a + b) = cos(a).cos(b) + sen(b).sen(a).
Observando o círculo trigonométrico, notamos que:
ON = OV − NV
Podemos concluir também, que:
NV = TS
Se substituirmos os resultados encontrados, temos:
cos(a + b) = cos(a). cos(b) − sin(a). sin(b)
As outras demonstrações cam como exercício.
2. Seno da soma: sen(a + b) = sen(a).cos(b) + sen(b).cos(a).
3. Cosseno da diferença: cos(a − b) = cos(a).cos(b) + sen(a).sen(b).
4. Seno da diferença:sen(a − b) = sen(a).cos(b) − sen(b).cos(a).
5. Tangente da soma: tan(a + b) =
tan(a)+tan(b)
1−tan(a). tan(b)
6. Tangente da diferença: tan(a − b) =
tan(a)−tan(b)
1+tan(a). tan(b)
Além dessas identidades, temos também algumas transformações (Ver Exercícios) que podem nos ajudar no
cálculo de limites trigonométricos.
6.2
As Funções Trigonométricas
A relação fundamental
cos2 α + sin2 α = 1
sugere que, para todo ângulo α, os números cos α e sin α são as coordenadas de um ponto da circunferência.
Indicaremos com a notação C essa circunferência, portanto: C = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 = 1}.
6.2.
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
61
y
1
x
(x, y)
1
y
y
α
−1
1
x
x
−1
Observa-se que, para todo ponto (x, y) ∈ C, tem-se −1 ≤ x ≤ 1 e −1 ≤ y ≤ 1, sendo assim, temos que:
−1 ≤ sin(α) ≤ 1
e
−1 ≤ cos(α) ≤ 1
Nossa primeira função a ser estudada é a Função Seno, f(α) = sin(α). Ao darmos uma volta no ciclo trigonométrico, teremos alguns pontos que são bem notáveis e os respectivos valores dos senos, Observe a tabela
abaixo:
α (rad)
0
π
6
π
2
π
3π
2
2π
f(α) = sin(α)
0
1/2
1
0
−1
0
α (graus)
0◦
30◦
90◦
180◦
270◦
360◦
Com esses dados, podemos plotar o gráco da função seno, temos:
2
sen(α)
1
α
−2π− 3π
2
−π
− π2
−1
−2
π
2
π
3π
2
2π
f(α) = sin(α)
62
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Dessa forma, podemos observar que o domínio da função seno é o conjunto R. Em contrapartida, a imagem
da função seno é limitada pelos valores −1 e 1, portanto: Im(f) = [−1, 1]. O nome que é dado para a curva
do gráco acima é chamado de senóide. A função seno é uma função ímpar, ou seja, f(−α) = sin(−α) = − sin(α).
Vimos no capitulo 4 que uma função é periódica quando f(x) = f(x + τ), onde τ > 0 é denominado um
período de f(x). Assim, vamos calcular o período da função seno, temos:
f(x) = f(x + τ)
sen(x) = sen(x + τ)
Porém, da seção anterior, vimos que dois arcos são côngruos quando o segundo é a soma do primeiro mais um
certo múltiplo inteiro de 2π. Com isso,
x + τ = x + 2πm, m ∈ Z∗
τ = 2πm
Como m ∈ Z∗ para m = 1 temos o período fundamental da função seno, assim:
τ = 2π
Vamos agora estudar a Função Cosseno, f(α) = cos(α). Para a tabela dos cossenos temos o seguinte:
α (rad)
0
π
6
π
2
π
3π
2
2π
f(α) = cos(α)
1
√
α (graus)
0◦
30◦
90◦
180◦
270◦
360◦
3
2
0
−1
0
1
E para a representação gráca, temos:
2
cos(α)
1
−2π− 3π −π − π2
2
π
2
f(α) = cos(α)
α
π 3π 2π
2
−1
−2
O gráco da função acima, é denominado de cossenóide. Para calcularmos o período da função cosseno,
usaremos o mesmo articio que usamos para a função seno, assim:
cos(x) = cos(x + τ)
x + τ = x + 2πm
E assim,
τ = 2π
O domínio da função cosseno também é o conjunto dos reais R, assim Dom(f) = R. A imagem também
é limitada entre os valores −1 e 1, logo, Im(f) = [−1, 1]. A função cosseno é uma função par, ou seja,
6.2.
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
63
f(−α) = cos(−α) = cos(α).
Nossa próxima função, é a Função Tangente:
f(α) = tan(α) =
sen(α)
cos(α)
Em uma primeira análise, podemos observar que cos(α) 6= 0, pois sabemos que não existe divisão por zero na
matemática. Dessa forma, a função apresenta descontinuidades quando cos(α) = 0, ou seja, nos pontos:
π
2


+ 2πm
3π
2
ou
+ 2πm = 0
π
+ πm, m ∈ Z∗
2

Podemos concluir que o domínio da função tangente é o conjunto Dom(f) = {x ∈ R|x 6= π2 + πm}. Ao contrário
das outras funções (seno, cosseno) a imagem da função tangente é o conjunto dos números reais R. Construindo
a tabela da função tangente, temos:
α (rad)
0
π
6
π
4
π
2
π
3π
2
2π
α (graus)
0◦
30◦
45◦
90◦
180◦
270◦
360◦
f(α) = tan(α)
0
√
3
3
1
@
0
@
0
Plotando esses dados em um gráco, obtemos a seguinte representação:
tan(α)
2
1
α
−2π− 3π −π
2
− π2
π
2
π
3π
2
2π
−1
−2
Observe que para α = π2 + πm, com m ∈ Z∗ , temos as chamadas assíntotas verticais. Vamos calcular agora
f(α) = tan(α)
qual o período da função tangente. Temos:
f(x) = tan(x)
Utilizando o mesmo articio usado anteriormente com as outras duas funções, temos:
f(x) = f(x + τ)
tan(x) = tan(x + τ)
Como sabemos que a função tangente apresenta descontinuidades, temos que manipular a equação acima para
que possamos estudar o problema sem nos preocuparmos com essas descontinuidades, assim:
sen(x)
sen(x + τ)
=
cos(x)
cos(x + τ)
sen(x)cos(x + τ) = sen(x + τ)cos(x)
64
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen(x + τ)cos(x) − sen(x)cos(x + τ) = 0
Mas sabemos que, sen(a − b) = sen(a)cos(b) − sen(b)cos(a), daí:
sen[(x + τ) − x] = 0
sen(τ) = 0
Acontece que, sen(τ) = 0, se e somente se, τ = πm, com m ∈ Z∗ , assim:
τ = πm
Como queremos o período fundamental, m = 1, daí:
τ=π
No ciclo trigonométrico, podemos observar os três eixos trigonométricos da seguinte forma:
y
t
t
1
Q
x
P
y
sen(α)
α
−1
tan(α)
1
cos(α)
α
x
tan(α)
M
R
−1
Observando a gura acima, podemos concluir que a função tangente é uma função ímpar, assim:
f(−x) = tan(−x) = − tan(x)
Além dessas três funções trigonométricas principais, não podemos deixar também de conhecer outras três funções
também importantes para esse capítulo. São as funções:
• Função Secante: f(α) = sec(α) = 1/cos(α)
• Função Cossecante: f(α) = cossec(α) = 1/sen(α)
• Função Cotagente: f(α) = cotg(α) = 1/tan(α)
Comecemos nosso estudo pela função secante. O domínio da função secante é o mesmo da função tangente,
visto que cos(α) 6= 0. Assim: Dom(f) = {x ∈ R|x 6= π2 + πm}.
O eixo das secantes é representado no ciclo como segue na gura abaixo:
6.2.
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
65
1
P
1
α
−1
O
1
Q
sec(α)
u
s
−1
Olhando para o triângulo retângulo 4OPQ, o cosseno do ângulo α é dado por:
cos(α) =
Daí,
OQ =
OP
OQ
1
cos(α)
OQ = sec(α)
A reta s que tangencia o ciclo no ponto P e intersecta com o eixo dos cossenos u é a reta secante. Observe que,
a medida que o ponto P se aproxima de π/2, o segmento OQ → ∞, o mesmo ocorre para −π/2. Dessa forma,
o domínio da função secante é dado por:
A imagem desta função é dada por:
π
Dom(f) = x ∈ R|x 6= + πm
2
f(α) = sec(α)
Im(f) = R−] − 1, 1[
Plotando o gráco da função secante, temos a seguinte representação:
2
sec(α)
1
α
−2π− 3π −π
2
− π2
π
2
π
3π
2
2π
−1
−2
É fácil perceber que para os valores de α =
π
2
+ πm, com m ∈ Z temos assíntotas verticais.
A Função Cossecante apresenta um comportamento parecido, observe a gura abaixo:
66
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
v
R
1 α
cossec(α)
P
1
α
−1
O
1
s
−1
No triângulo retângulo 4OPR, utilizando alguns artifícios de geometria plana, podemos observar que o
ângulo OR̂P = α. Assim, calculando o seno desse ângulo, temos:
sen(α) =
OP
OR
sen(α) =
1
OR
Daí,
OR =
1
sen(α)
Portanto,
OR = cossec(α)
A reta s que tangencia o ciclo no ponto P e cruza a reta v no ponto R dene um segmento OR que tem a
medida dada por cossec(α). À medida em que o ponto P se aproxima de 0, o segmento OR → ∞, dessa forma,
o domínio da função cossecante é dado por:
Dom(f) = {x ∈ R|x 6= πm}
A imagem dessa função é dada por:
Im(f) = R−] − 1, 1[
Plotando o gráco da função cossecante, temos:
6.2.
AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
67
2
csc(α)
1
α
− π2
−2π− 3π −π
2
π
π
2
3π
2
−1
2π
f(α) = csc(α)
−2
Podemos perceber que temos assíntotas verticais quando α = πm, com m ∈ Z.
Para a Função Cotangente o comportamento observado é descrito da seguinte forma:
v
cotg(α) T
M
d
α
P
α
−1
O
1
−1
Podemos perceber que o segmento MT é dado por:
OM
MT
1
tan(α) =
MT
tan(α) =
Daí,
MT =
1
= cotg(α)
tan(α)
O segmento MT nos dá o valor da cotangente do ângulo α, sendo assim, a medida que o ponto P se aproxima
de ângulos da forma πm, com m ∈ Z, o segmento MT → ∞. Assim,
Dom(f) = {x ∈ R|x 6= πm}
Dessa forma, para ângulos α = πm , com m ∈ Z, temos uma família de assíntotas verticais.
Plotando o gráco da função, temos:
68
CAPÍTULO 6.
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
cotg(α)
1
α
− π2
−2π− 3π −π
2
π
π
2
3π
2
2π
−1
−2
6.3 Funções Trigonométricas Inversas
Como foi visto na seção anterior, as funções circulares estudadas são periódicas, dessa forma, será que é possível
calcular a função inversa da função seno por exemplo?
f(x) = sen(x) ⇒ y = sen(x) ⇒ x = sen(y)?
Entretanto:
f
π
6
=f
5π
6
=
1
2
Ou seja, para dois valores diferentes de x temos o mesmo valor f(x).
Para uma função ter inversa, ela deve ser bijetora (injetora e sobrejetora ao mesmo tempo). Portanto, para
resolvermos esse impasse, devemos restringir o domínio da função seno em um certo intervalo.
Vamos restringir a função ao intervalo − π2 , π2 (ramo principal) e com contra domínio [−1, 1], isto é,
h π πi
→ [−1, 1]
f: − ,
2 2
Daí, para
f(x) = sen(x)
Temos,
Onde a inversa é denida por
h π πi
f−1 : [−1, 1] → − ,
2 2
f−1 (x) = arcsen(x)
Nesse intervalo restrito, a função seno é injetora e sobrejetora, logo ela tem inversa.
6.3.
69
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
sen(α)
2
f(α) = sen(α)
1
α
− π2
π
2
−1
−2
Dessa forma, o gráco da função inversa é representado da seguinte forma:
π/2
−1
1
−π/2
Exemplo. Determine α tal que α = arcsen 12 .
Solução. Temos:
α = arcsen
1
1
π
π
⇔ sen(α) = e − ≤ α ≤
2
2
2
2
Isto é, arcsen 21 não é qualquer α tal que sen(α) =
é, α = π6 .
1
2
mas aquele α (único) que está no intervalo − π2 , π2 , isto
Para a função cosseno, o intervalo que será restringido é dado por [0, π] e o contra-domínio [−1, 1], isto é,
f : [0, π] → [−1, 1] tal que f(x) = cos(x), notamos que:
70
CAPÍTULO 6.
2
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
cos(x)
1
x
π
π
2
−1
3π
2
f(x) = cos(x)
−2
É fácil observar que nesse intervalo, a função cosseno é bijetora, assim, podemos denir sua inversa. Temos:
f−1 : [−1, 1] → [0, π]
Onde,
f−1 (x) = arccos(x)
Como os grácos de f e f−1 são simétricos em relação à reta y = x, temos:
π
−1
1
√
Exemplo. Determine α tal que α = arccos( 23 ).
Solução.Temos:
√ !
√
3
3
α = arccos
⇒ cos(α) =
e0≤α≤π
2
2
Então,
α=
π
6
Para a Função Tangente restringimos ao intervalo aberto − π2 , π2 e com contra-domínio R, isto é,
i π πh
f: − ,
→R
2 2
Nesse intervalo, a função é bijetora, logo, ela possui inversa.
6.3.
71
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
2
tan(x)
1
x
− 3π
2
−π
− π2
π
2
π
3π
2
−1
−2
f(x) = tan(x)
Sua inversa é denida como:
i π πh
f−1 : R → − ,
2 2
E seu gráco é representado por:
π
2
−1
1
− π2
Exemplo. Determinar α tal que α = arctg1.
Solução. Temos:
α = arctg(1) ⇔ tg(α) = 1 e −
isto é,
π
π
<α<
2
2
π
4
As outras funções inversas (arccossec(x), arcsec(x) e arccotg(x)) serão deixadas como exercícios para o leitor.
α=
72
CAPÍTULO 6.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
6.4 Exercícios Propostos
1. Usando o ciclo trigonométrico e propriedades de geometria plana, demonstre que:
sen(α) = cos
π
2
−α
2. Seja f a função denida por f(x) = asen(x) + bcos(x). Mostre que
−
p
a2 + b2 ≤ f(x) ≤
p
a2 + b2
3. Demonstre as seguintes transformações trigonométricas
(a) sin(a) + sin(b) = 2 sin
a+b
2
(b) sin(a) − sin(b) = 2 cos
a+b
2
cos
a−b
2
sin a−b
2
(c) cos(a) + cos(b) = 2 cos a+b
sin a−b
2
2
(d) cos(a) − cos(b) = −2 sin a+b
sin a−b
2
2
(e) sen(2a) = 2sen(a)cos(a)
(f) cos2 (x) =
1+cos(2x)
2
(g) sen2 (x) =
1−cos(2x)
2
(h) cos(3x) = 4cos3 (x) − 3cos(x)
(i) sen(3x) = 3sen(x) − 4sen3 (x)
4. Sendo a, b, c, d números reais e positivos, determinar a imagem e período da função f : R → R dada por
f(x) = a + bsen(cx + d).
5. Encontre o domínio, o contra-domínio e esboce o gráco das funções:
(a) f(x) = arcsec(x)
(b) f(x) = arccossec(x)
(c) f(x) = arccotg(x)
6. Determine o maior domínio D ⊂ R da função
f : D → R, f(x) = logx( π4 −x) (4senxcosx − 1)
7. Seja S = x ∈ R|arcsen
e−x −ex
2
8. Determine o valor da soma
.
+ arccos
6
X
ex −e−x
2
sen
n=1
9. Se os números reais α e β, com α + β =
10. Simplique a expressão
4π
3 ,0
2α
3n
=
π
2
sen
. Determine S.
α
3n
≤ α ≤ β, maximizam a soma sen(α) + sen(β). Calcule α.
2 sen x +
11
2 π
+ cotg2 x tg x2
1 + tg2 x2
6.4.
73
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
11. Sendo [−π/2, π/2] o contradomínio da função arcoseno e [0, π] o contradomínio da função arcocosseno,
determine o valor de
4
3
cos arcsen + arccos
5
5
12. Determine o conjunto imagem e o período de
f(x) = 2sen2 (3x) + sen(6x) − 1
13. Encontre o período e esboce o gráco da função f(x) = |sen(x)|.
14. Se
3π
4
< x < π, simplique
q
2cotg(x) +
1
sen2 (x)
1 + cotg(x)
15. Determine os possíveis valores de m:
sen2 (x) =
m2 + 2m + 1
3