gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROF. WALTER TADEU
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Poliedros – 2013 - GABARITO
1. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4
desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces
desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de vértices que concorrem em cada vértice
para calcular o número de arestas, temos:
pV
4.6  3.4  4.5 24  12  20 56
A


 28
,
2
2
2
2
ii) A  2  V  F  28  2  14  F  F  30  14  16
i) A 
2. (UFPE) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com quatro lados e 1 face
com dez lados. Determine o número de vértices deste poliedro.
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o
número de arestas e sabendo que F = 10 + 10 + 1 = 21, temos:
nF
3.10  4.10  1.10 30  40  10 80
A


 40
. Há 21 vértices.
2
2
2
2
ii) A  2  V  F  40  2  V  21  V  42  21  21
i) A 
3. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa
pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas
b) 12 vértices e 11 arestas
c) 22 vértices e 11 arestas
d) 11 vértices e 22 arestas
e) 12 vértices e 22 arestas.
Solução. Como há 11 faces triangulares, essas faces deverão estar apoiadas em 11 bases. Logo
há 12 faces com a base contendo 11 arestas e, portanto, 11 vértices. O total de vértices será 12,
contando o vértice da pirâmide unindo todas as faces triangulares. Sendo assim, temos:
A + 2 = V + F => A + 2 = 12 + 12 => A = 24 – 2 = 22.
4. (Mack) A soma dos ângulos de todas as faces de uma pirâmide é
lados do polígono da base da pirâmide é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
18rad . Então o número de
e) 12
Solução. Expressando em graus a soma dos ângulos, temos 18rad  18x180º  3240º .
Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
S  ( V  2).360º
3240º
 ( V  2).360º  3240º  V  2 
 V  2  9  V  11.

360º
S  3240º
Se há 11 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há
outros 10.
5. (Mack) Considere uma pirâmide cuja base é um polígono convexo. Se a soma das medidas dos
ângulos internos de todas as suas faces é 3600º, o número de lados da base dessa pirâmide é igual a:
a) 11
b) 12
c) 9
d) 10
e) 8
Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
S  ( V  2).360º
3600º
 ( V  2).360º  3600º  V  2 
 V  2  10  V  12 .

360º
S  3600º
Se há 12 vértices, um deles é da pirâmide, reunindo todas as faces triangulares. Na base há
outros 11.
6. (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e 12 pentagonais. O número
de vértices do poliedro é:
a) 80
b) 60
c) 50
d) 48
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o
número de arestas e sabendo que F = 80 + 12 = 92, temos:
nF
3.80  5.12 240  60 300
A


 150
. Há 60 vértices.
2
2
2
2
ii) A  2  V  F  150  2  V  92  V  152  92  60
i) A 
7. Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares, 7 faces pentagonais e 2 faces hexagonais. O
número de vértices desse poliedro é:
a) 24
b) 48
c)73
d) 96
Solução. Utilizando a fórmula que associa o número de arestas em cada face para calcular o
número de arestas e sabendo que F = 15 + 7 + 2 = 24, temos:
nF
3.15  5.7  6.2 45  35  12 92
A


 46
. Há 24 vértices.
2
2
2
2
ii) A  2  V  F  46  2  V  24  V  48  24  24
i) A 
8. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.
a) 6
b) 4
c) 5
d) 12
e) 9
Solução. Utilizando a fórmula que associa essa soma e o número de vértices, vem:
S  ( V  2).360º
720º
i) 
 ( V  2).360º  720º  V  2 
 V2 2 V  4
360º
S  720º
2A

2A
F 
ii) 
 A2 4
 3A  6  12  2A  3 A  2A  12  6  A  6 .
3
3
A  2  V  F
III ) F 
2A 2(6) 12


4
3
3
3
9. (UFPE) Calcule a oitava potência do comprimento, em metros, da aresta de um icosaedro regular,
sabendo-se que sua área mede 15m 2.
Solução. O icosaedro regular possui 20 faces que são triângulos equiláteros. Temos:
A  15m 2
 L2 3 

  15  5. L2 3  15  L2 3  15  L2  3
i) 
 L2 3   20.

5
3
 4 
A  20. 4 
.




 
ii) L   L
8
2 4

4
 3 
34
34
 
 

 32  9 m
4
2
3
 3
3
 
10. (UNITAU) A soma S das áreas das faces de um tetraedro regular em função de sua aresta a é:
a) a
2
b)
a2 3
c) 4a
2
d)
a2 5
e)
a2 2
Solução. O tetraedro regular possui 4 faces que são triângulos equiláteros. Temos:
 a2 3 
  S  a2 3 .
S  4.

 4 
11. (UEL) Para explicar a natureza do mundo, Platão “[...] apresenta a teoria segundo a qual os ‘quatro
elementos’ admitidos como constituintes do mundo - o fogo, o ar, a água e a terra - [...] devem ter a
forma de sólidos regulares. [...] Para não deixar de fora um sólido regular, atribuiu ao dodecaedro a
representação da forma de todo o universo.” (DEVLIN, Keith. Matemática: a ciência dos padrões.
Porto: Porto Editora, 2002. p.119.)
As figuras a seguir representam esses sólidos
geométricos, que são chamados de poliedros
regulares. Um poliedro é um sólido limitado por
polígonos. Cada poliedro tem um certo número
de polígonos em torno de cada vértice. Uma
das figuras anteriores representa um octaedro.
A soma das medidas dos ângulos em torno de cada vértice desse octaedro é:
a) 180º
b) 240º
c) 270º
d) 300º
Solução. O octaedro regular possui 8 faces que são triângulos
equiláteros. Em cada vértice concorrem 4 arestas. Logo os
vértices formam ângulos tetraédricos de 60º. A soma será 240º
e) 324º