Aula 03 e 04 – Matemática – Bruno Fraga / Lafayette / Vitim

Bruno Fraga,
Lafayette
e Vitim Braga
Detalhes que fazem a
diferença
PROF. BRUNO FRAGA
1. Cuidados com Escalas
Ao navegar, um petroleiro choca-se com um
arrecife, abrindo um buraco nos tanques de
armazenamento de óleo. Alguns dias mais tarde,
o óleo se espalhou como mostra o mapa ao lado.
Se a escala do mapa é 1:100.000 e a área do
mancha, no mapa, é 6,5 cm2, qual a área real da
região coberta pela mancha de óleo, medida em
m2?
1. Cuidados com Escalas
Se a escala do mapa é 1:100.000
e a área do
mancha, no mapa, é 6,5 cm2, qual a área real da
região
coberta pela mancha de óleo, medida em
m2?
Jeito errado de fazer
Amapa
Areal

1
100.000
Jeito certo de fazer
Amapa
Areal
1




 100.000 
2
Areal  6,5 1010 cm2
Areal  6,5 106 m2
2. Problemas Geométricos
Roberto pegou uma folha de papel
retangular e dobrou-a em três partes
congruentes, conforme a sequência
representada na figura 1:
Após desdobrar a folha com os cortes
realizados, ela obteve a configuração
Do retângulo obtido, foram recortados
um semicírculo e um triângulo retângulo
isósceles, conforme a figura 2
2. Problemas Geométricos
Um artesão deseja fazer um enfeite de
natal que simula uma vela com faixas
laterais, como apresentado na figura
abaixo:
A linha que circunda a superfície
cilíndrica começa no ponto A e termina
no ponto B de modo que a largura das
faixas seja sempre a mesma. Para produzir
esses
cilindros,
ele
usa
pedaços
retangulares de cartolina e desenha as
linhas laterais. A alternativa que melhor
representa a forma correta dessas linhas é
3. Probabilidade Condicional
A proporção de pessoas infectadas por
um certo vírus em uma determinada
população é de 2%.
O teste para verificar a ocorrência da
infecção tem 99% de precisão, ou seja,
se a pessoa estiver infectada, o teste
indica positivo em 99% das vezes e
negativo em 1%. Da mesma forma se a
pessoa não estiver infectada o teste
indica negativo em 99% das vezes e
positivo em 1%.
Um indivíduo foi escolhido aleatoriamente na população e verificou-se que
seu teste deu positivo. Qual a probabilidade
de que a pessoa realmente esteja
:
infectada pelo vírus?
3. Probabilidade Condicional
A proporção de pessoas infectadas por
um certo vírus em uma determinada
população é de 2%.
O teste para verificar a ocorrência da
infecção tem 99% de precisão, ou seja,
se a pessoa estiver infectada, o teste
indica positivo em 99% das vezes e
negativo em 1%. Da mesma forma se a
pessoa não estiver infectada o teste
indica negativo em 99% das vezes e
positivo em 1%.
Um indivíduo foi escolhido aleatoriamente na população e verificou-se que
seu teste deu positivo. Qual a probabilidade
de que a pessoa realmente esteja
:
infectada pelo vírus?
Invente o tamanho da população: 10.000 pessoas
Diagrama de árvore:
198
Favoráveis
200
2
98
9800
9702
Possíveis
P(infectado|positivo) 

198
198
 67%

198  98 296
Vamos ganhar
algumas questões!
PROF. LAFAYETTE JOTA
1. Tentativa e
Eliminação
Um professor, depois de corrigir as provas de
sua turma, percebeu que várias questões
estavam muito difíceis. Para compensar,
decidiu utilizar uma função polinomial f, de
grau menor que 3, para alterar as notas x da
prova para notas y = f(x), da seguinte maneira:
 A nota zero permanece zero.
 A nota 10 permanece 10.
 A nota 5 passa a ser 6.
#comofaz
Identificar o significado de cada letra!
x:
y:
Regras:
 A nota zero permanece zero.
 A nota 10 permanece 10.
 A nota 5 passa a ser 6.
TESTANDO LETRA D:
#comofaz
Identificar o significado de cada letra!
x: nota antiga
y: nota nova
Regras:
 A nota zero permanece zero.
 A nota 10 permanece 10.
 A nota 5 passa a ser 6.
TESTANDO LETRA C:
E aí, tá certo?
Ainda testando letra C:
Atualizando:
#comofaz
Testando Letra B:
Resolução do Anexo 01
Resolução do Anexo 01
Padrões 2-D
2. Reconhecimento de Padrões
Visuais
2. Reconhecimento de Padrões
Visuais
Pavimentações
3. Existem Variações
e Variações
Um tipo de aumento...
E outro tipo de redução.
Resolução
#1
Resolução
#2
Primeiro Passo:
Segundo Passo:
4. Orientações Importantes!
 Leia até entender bem o que está
acontecendo!
 Nenhuma questão é questão de honra. Se
estiver demorando demais, PULE.
 Isso inclui: ler as alternativas e voltar para o
enunciado!
 Gráficos: o que significa cada eixo? Siga o
sentido -------- >>>>>>
 Se houver letras, você tem que saber o que
cada uma significa.
Aumento, diminuição, novo, antigo: ENEM
ama “duas situações”
Distâncias
Inacessíveis
QUAL A DISTÂNCIA DA TERRA À LUA ?
QUAL É A MEDIDA DO RAIO DA TERRA ?
COMO É POSSÍVEL FAZER ESSAS MEDIÇÕES ?
O raio da Terra.
Eratóstenes e a circunferência da Terra
ERATÓSTENES VIVEU NO EGITO ENTRE OS ANOS 276 E 194 ANTES DE CRISTO. Ele era
bibliotecário-chefe da famosa Biblioteca de Alexandria, e foi lá que encontrou, num velho
papiro, indicações de que ao meio-dia de cada 21 de junho na cidade de Syenne, 800 km ao sul
de Alexandria, uma vareta fincada verticalmente no solo não produzia sombra.
Primeira indagação
Se o mundo é plano como uma mesa, então as sombras das varetas têm
de ser iguais.
Se isto não acontece é porque a Terra deve ser curva!
Quanto mais curva fosse a superfície da Terra, maior seria a diferença no
comprimento das sombras. O Sol deveria estar tão longe que seus raios de luz chegam à
Terra paralelos.
E o raio da Terra?
As retas paralelas são os raios de luz do Sol e a reta transversal é a que passa pelo
centro da Terra e pela vareta em Alexandria. O ângulo B (também igual a 7°), é a uma
fração conhecida da circunferência da Terra e corresponde à distância entre Siena e
Eratóstenes mediu A = 7°
Alexandria!
(aproximadamente).
Conclusão
 Eratóstenes sabia que essa distância valia cerca de 800 km e então pensou:
7° = 1/50 da circunferência (360°) e isso corresponde a cerca de 800 km.
 Oitocentos quilômetros vezes cinqüenta são quarenta mil quilômetros, de
modo que deve ser este o valor da circunferência da Terra.
 O mundo não é chato
 VALOR ENCONTRADO ATUALMENTE: cerca de 40.072 km ao longo da linha
do equador. Um erro muito pequeno para uma medida tão simples, e feita
há tanto tempo! Com a circunferência, podemos calcular o diâmetro e o
raio ou ainda o volume e a área da superfície, através de fórmulas simples.
O método da paralaxe
EXISTEM DIVERSAS MANEIRAS DE SE OBTER UMA MESMA MEDIDA. No caso
da distância da Terra à Lua, por exemplo, podemos usar o método da
paralaxe. O termo paralaxe designa um ângulo entre dois segmentos de reta
que partem de um determinado astro e se dirigem um para o centro da Terra
e o outro para o observador.
Qual o tamanho da lua?
TODAS AS VEZES QUE VEMOS um objeto sob um ângulo de 1 grau é porque
ele está, necessariamente, afastado de nós 57 vezes o seu tamanho. Como
sabemos disso? É fácil. Basta recordar o conceito de tangente e verificar que
a tangente de 1° (um grau) vale aproximadamente 0,01745.
CONCLUSÕES DEFINITIVAS
 Acontece que vemos a Lua Cheia sob um ângulo médio de 31 minutos de
arco, o que nos diz que ela está distante de nós cerca de 115 vezes o seu
diâmetro. Se você já conhece a distância da Terra à Lua, agora também já
pode saber o seu diâmetro. Daí também não será difícil calcular o volume,
a área da superfície...
 PODEMOS LAMENTAR QUE AS AULAS de geometria da maioria de nós
nunca tenham ido tão longe. Podemos imaginar o estado de êxtase ao qual
Eratóstenes, Hiparco, Aristarco e tantos outros se depararam ao vislumbrar
métodos tão simples, descobertas tão soberbas.
Não tem a menor importância se os resultados divergiram dos que hoje
obtemos quando disparamos um raio laser contra a Lua, e o fazemos refletir
de volta, com intuitos semelhantes. Não importa que agora já dispomos de
algoritmos que permitem medidas muito mais ousadas. O importante é
ressaltar o quanto a imaginação vale mais que o conhecimento.
Exercícios
Uma das primeiras estimativas do raio da Terra é atribuída a Eratóstenes, estudioso grego que viveu,
aproximadamente, entre 275 a.C. e 195 a.C. Sabendo que em Assuã, cidade localizada no sul do Egito,
ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical não apresentava sombra, Eratóstenes decidiu
investigar o que ocorreria, nas mesmas condições, em Alexandria, cidade no norte do Egito. O estudioso
observou que, em Alexandria, ao meio dia do solstício de verão, um bastão vertical apresentava sombra
e determinou o ângulo θ entre as direções do bastão e de incidência dos raios de sol. O valor do raio da
Terra, obtido a partir de θ e da distância entre Alexandria e Assuã foi de, proximadamente, 7500 km. O
mês em que foram realizadas as observações e o valor aproximado de θ são:
a) junho; 7º.
b) dezembro; 7º.
c) junho; 23º.
d) dezembro; 23º.
e) junho; 0,3º.
Exercício
Por volta de 250 a.C., o matemático grego Eratóstenes, reconhecendo que a Terra era esférica,
calculou a sua circunferência. Considerando que as cidades egípcias de Alexandria e Syena
localizavam-se em um mesmo meridiano, Eratóstenes mostrou que a circunferência da Terra
media 50 vezes o arco de circunferência do meridiano ligando essas duas cidades. Sabendo que
esse arco entre as cidades media 5.000 estádios (unidade de medida utilizada na época),
Eratóstenes obteve o comprimento da circunferência da Terra em estádios, o que corresponde a
39.375 km no sistema métrico atual. De acordo com estas informações, a medida, em metros,
de um estádio era
(A) 15,75 (B) 50,00 (C) 157,50 (D) 393,75 (E) 500,00