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CPV seu Pé Direito no INSPER
INSPER Resolvida – 15/novembro/2013 – Prova A (Marrom)
MATEMÁTICA
17. Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura,
^ = 90º.
em que AB = 4 cm, AD = 3 cm e m(A)
^
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC
e BD = BC, então a medida do lado CD, em centímetros,
vale
a)2 2.
b)10.
c)11.
d)2 3.
e)15.
Como o ΔABD é retângulo
de catetos 3 e 4, a hipotenusa
x
5
BD = 5 e cos α =
4
5
5
b) (1; 0).
Aplicando o Teorema dos Cossenos no ΔBCD, temos:
x2 = 25 + 25 – 2 . 5 . 5 . cos α
Þ x =
4
cos α =
5
INSPERNOV2013
10
Alternativa B
d) (2; 0).
( )
5
e) ; 0 .
2
Resolução:
dB, r = dA, r
CPV
( )
1
a) ; 0 .
2
( )
4
Para que as distâncias da cidade A e da cidade B até a
nova estrada sejam iguais, o ponto C, onde a nova estrada
intercepta a existente, deverá ter coordenadas
3
c) ; 0 .
2
3
Resolução:
18. No plano cartesiano da figura, feito fora de escala, o eixo
x representa uma estrada já existente, os pontos A(8; 2) e
B(3; 6) representam duas cidades e a reta r, de inclinação
45º, representa uma estrada que será construída.
e
mr = 1
r: x – y + n = 0, n Î 
Logo,
|8–2+n|
2
=
|3–6+n|
2
\ | 6 + n | = | – 3 + n | Þ 6 + n = ± (– 3 + n)
Logo,
3
, portanto
2
3
3
r: x – y –
=0 e C
;0
2
2
n=–
( )
Alternativa C
1
2
Seu Pé D ireito
INSPER – 15/11/2013
Melhores Faculdades
nas
19. Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(3, 2, 5), B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) são os vértices
da base de uma pirâmide regular de volume 8.
O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, está localizado no ponto.
a)
b)
c)
d)
e)
(2, 1, 5).
(3, 2, 2).
(3, 2, 6).
(4, 3, 7).
(4, 3, 11).
Resolução:
Pelas coordenadas, concluímos que a base ABCD da pirâmide é um quadrado de lado 2. Portanto, a área da base mede SB = 4.
Como o volume mede 8 e V =
Como V possui coordenadas positivas, concluímos que o vértice V é dado por V ( 4, 3, 11).
SB H
3
obtemos que H = 6.
Z
11
5
4
A
3
B
C
D
2
1
5
1
2
3
4
1
5
X
2
3
2
4
5
2
Alternativa E
Y
CPV
INSPERNOV2013
Seu Pé D ireito
nas
Melhores Faculdades
20. Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B.
Para a maioria das possíveis escolhas, o logaritmo decimal da
soma dos dois números escolhidos não será igual à soma de
seus logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os valores
A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. Com essas informações,
pode-se concluir que o número r pertence ao intervalo
a)
b)
c)
d)
e)
INSPER – 15/11/2013
3
22. Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS está inscrito
na circunferência trigonométrica, os arcos AP e AQ têm
medidas iguais a α e β, respectivamente, com 0 < α < β < π.
[1,0; 1,1].
]1,1; 1,2].
]1,2; 1,3].
]1,3; 1,4].
]1,4; 1,5].
Resolução:
Do enunciado, temos:
log (4 + r) = log 4 + log r
log (4 + r) = log (4 . r)
4+r=4.r
4
r=
= 1,33...
3
Sendo assim, r pertence ao intervalo ]1,3; 1,4]
Alternativa D
21. A partir do momento em que é ativado, um vírus de
computador atua da seguinte forma:
•
•
•
Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá
destruído aproximadamente
a)
b)
c)
d)
e)
50% da memória do computador infectado.
60% da memória do computador infectado.
80% da memória do computador infectado.
90% da memória do computador infectado.
100% da memória do computador infectado.
a)
b)
c)
d)
e)
2o minuto
24% 3o minuto
14,4%
4o minuto
8,64%
–0,8.
0,8.
–0,6.
0,6.
–0,2.
Resolução:
β –α
α
Observando a figura, temos que
β – α = 90º Þ β = 90º + α
Analisando a quantidade destruída do arquivo, temos:
1o minuto
40% Sabendo que cos α = 0,8, pode-se concluir que o valor de
cos β é
ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória
do computador infectado;
ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que
havia restado da memória após o primeiro minuto;
e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40%
do que havia restado da memória no minuto anterior.
Resolução:
...
Observe que a quantidade destruída por minuto forma uma P.G.
de razão q = 60%.
Como durante um dia há 1440 minutos, podemos aproximar a soma
da quantidade destruída nos 1440 minutos pela soma infinita da
P.G. (há uma quantidade muito grande de termos). Sendo assim:
40%
S∞ =
= 1 ou 100%
1 – 60%
Alternativa E
cos β = cos (90º + α) = – sen β
Portanto: sen2 β = 1 – 0,64 = 0,36 Þ sen β = ± 0,6
sen β = 0,6 Þ cos β = – 0,6
Alternativa C
INSPERNOV2013
CPV
4
INSPER – 15/11/2013
Seu Pé D ireito
nas
23. Analisando o comportamento das vendas de determinado
produto em diferentes cidades, durante um ano, um
economista estimou que a quantidade vendida desse produto
em um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu
preço (P), em reais, de acordo com a relação
Melhores Faculdades
24.Sendo k uma constante real positiva, considere o gráfico do
polinômio de 3o grau P(x), mostrado na figura.
Q = 1 + 4 . (0;8)2P.
No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de
relação, escrever o preço P em função da quantidade Q.
Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida
acima, o economista obteve.
( )
c) P = 0,5 0,8
d) P =
a) P = log0,8 Q - 1
4
Q–1
b) P = log0,8
.
8
Dentre as figuras a seguir, a única que pode representar o
gráfico da função Q(x), definida, para todo x ≠ 0, pela lei
P(x)
Q(x) =
é
x
a) b)
Q -1
4
0,8 Q - 1
8
e) P = 0,5 . log0,8
c) d)
( )
Q
–1 .
4
Resolução:
Q = 1 + 4 . (0,8)2P
e)
Q–1
= (0,8)2P
4
Q–1
log0,8
= log0,8 (0,8)2P
4
Q–1
log0,8
= 2P
4
Q–1
0,5 . log0,8
=P
4
Resolução:
P = log0,8 Q - 1
4
Alternativa A
CPV
INSPERNOV2013
Temos que P(x) = ax(x – k) . (x + k), a > 0 e
Q(x) é do 2o grau, suas raízes são k e –k e sua concovidade é
voltada para cima (a > 0).
Alternativa A
Q(x) =
P(x)
Þ Q(x) = a(x – k) . (x + k)
x
Seu Pé D ireito
nas
Melhores Faculdades
25. Um polígono regular possui n lados, sendo n um número
par maior ou igual a 4. Uma pessoa uniu dois vértices desse
polígono por meio de um segmento de reta, dividindo-o em
dois polígonos convexos P1 e P2, congruentes entre si.
O número de lados do polígono P1 é igual a:
n
a)
2
n
b)
2
n
c)
2
n
d)
2
n
e)
2
+1
–1
–2
Dividindo o polígono de n lados em dois polígonos convexos
congruentes, obteremos dois outros polígonos congruentes que
n
possuem
+ 1 lados.
2
26. A equação x3 – 3x2 + 7x – 5 = 0 possui uma raiz real r e
duas raízes complexas e não reais z1 e z2.
O módulo do número complexo z1 é igual a
a) 2.
b) 5.
c) 2 2.
d) 10.
e) 13.
Resolução:
Como a soma dos coeficientes é igual a zero, uma das raízes da
equação é 1. Por Briot-Ruffini, obtemos:
1 1 –3 7 –5
1 –2 5
, de onde resulta x2 – 2x + 5 = 0
0
Δ = (–2)2 –4 . 1 . 5 = – 16 Þ x =
| Z1 | =
b = a.
b = a – 9.
b = a – 6.
b = a + 9.
b = a + 6.
12 + 22 =
A representação das retas no plano cartesiano pode ser:
y
y–a
= 10 6
Þ
y–b
= 9
b
6
Alternativa B
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Resolução:
5
27. No plano cartesiano, a reta r, de coeficiente angular 10,
intercepta o eixo y em um ponto de ordenada a. Já a reta s,
de coeficiente angular 9, intercepta o eixo y em um ponto
de ordenada b. Se as retas r e s interceptam-se em um ponto
de abscissa 6, então
+2
INSPER – 15/11/2013
5
2 ± 4i
= 1 ± 2i.
2
Alternativa B
y
temos:
y – b = 54
–a + b = 6 Þ b = a + 6
a
6
y – a = 60
Alternativa E
x
28. Um dirigente sugeriu a criação de um torneio de futebol
chamado Copa dos Campeões, disputado apenas pelos
oito países que já foram campeões mundiais: os três sulamericanos (Uruguai, Brasil e Argentina) e os cinco europeus
(Itália, Alemanha, Inglaterra, França e Espanha). As oito
seleções seriam divididas em dois grupos de quatro, sendo
os jogos do grupo A disputados no Rio de Janeiro e os do
grupo B em São Paulo. Considerando os integrantes de cada
grupo e as cidades onde serão realizados os jogos, o número
de maneiras diferentes de dividir as oito seleções de modo
que as três sul-americanas não fiquem no mesmo grupo é
a)140.
b)120.
c)70.
d) 60.
e)40.
Resolução:
Para que as três seleções Sul-Americanas não fiquem no mesmo grupo,
é necessário que duas Sul-Americanas fiquem num dos grupos.
Assim, temos:
Escolha da cidade
C2,1
2
2 . 3 . 10 = 60 opções
Escolha das
Sul-Americanas
C3,2
3
Escolha das
Europeias
C5,2
10
Alternativa D
INSPERNOV2013
CPV
6
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Seu Pé D ireito
nas
29. Para fazer parte do time de basquete de uma escola, é
necessário ter, no mínimo, 11 anos. A média das idades dos
cinco jogadores titulares desse time é 13 anos, sendo que
o mais velho deles tem 17 anos. Dessa forma, o segundo
mais velho do time titular pode ter, no máximo,
a)
b)
c)
d)
e)
Se a média das idades e a quantidade de atletas do time são
conhecidas, podemos calcular a soma total das idades:
x=
Portanto, a soma das idades da equipe é 13 . 5 = 65 anos.
Sabemos que o mais velho tem 17 anos, o segundo mais velho tem
x anos e especulamos que cada um dos demais atletas tem 11 anos.
Assim:
17 + x + 11+ 11 + 11 = 65, de modo que x = 15 anos.
N
→ 13 =
(x–2 + y–2)–1 é equivalente a
x2y2
a)2
x + y2
( )
xy
x+y
d) (x + y)2
Resolução:
CPV
(x–2 + y–2)–1 =
INSPERNOV2013
Dessa forma, das igualdades envolvendo matrizes fornecidas
a seguir, a única que relaciona corretamente esses preços
unitários com os dados da tabela é
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
5 5 3
a) [x y z] . 6 3 3 = [96 105 79]
4 5 2
x 5 5 3 96
b)
y . 6 3 3 = 105
z
4 5 2
79
5 5 3
c)
6 3 3 . [x y z] = [96 105 79]
4 5 2
5 5 3
x
96
d)
6 3 3 . y = 105
4 5 2
z
79
Resolução:
e)x2 + y2
96,00
105,00
79,00
x 96
5 5 3
e)
y . 105 = 6 3 3
z
79
4 5 2
2
x2 + y2
c)
2
Total pago
(R$)
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta
e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z.
5
30. Sendo x e y dois números reais não nulos, a expressão
Quantidades compradas de
cadernos canetas
lápis
5
5
3
6
3
3
4
5
2
åxi
Alternativa C
b)
Amigo
Júlia
Bruno
Felipe
Resolução:
31. Três amigos foram a uma papelaria para comprar material
escolar. As quantidades adquiridas de cada produto e o total
pago por cada um deles são mostrados na tabela.
17 anos.
16 anos.
15 anos.
14 anos.
13 anos.
åxi
Melhores Faculdades
x2
Montando os sistemas lineares, temos:
Júlia
Bruno
Felipe
Passando para a forma matricial, obtemos:
y2
.
1
1
= 2
= 2
1
1
x + y2
x + y2
+
x2 y2
x2 . y2
Alternativa A
5x + 5y + 3z = 96
6x + 3y + 3z = 105
4x + 5y + 2z = 79
[ ] [ ] [ ]
96
5 5 3
x
6 3 3 . y = 105
79
4 5 2
z
Alternativa D
Seu Pé D ireito
nas
Melhores Faculdades
32. A figura abaixo mostra o fluxograma do processo que é
utilizado em uma cooperativa agrícola para definir o destino
das frutas enviadas a ela pelos produtores da região.
INSPER – 15/11/2013
7
33. Os organizadores de uma festa previram que o público do
evento seria de, pelo menos, 1.000 pessoas e que o número
de homens presentes estaria entre 60% e 80% do número
de mulheres presentes.
Para que tal previsão esteja errada, basta que o número de:
a) homens presentes na festa seja igual a 360.
b) homens presentes na festa seja igual a 500.
c) homens presentes na festa seja igual a 1.000.
d) mulheres presentes na festa seja igual a 650.
e) mulheres presentes na festa seja igual a 1.000.
Resolução:
Como não temos dados sobre o público máximo da festa, teremos
que invalidar alguma alternativa usando as quantidades mínimas
informadas: “...o público [...] seria de pelo menos 1000 pessoas” e
“o número de homens presentes [estaria entre] 60% [no mínimo]
das mulheres presentes”.
A alternativa que cuja informação é SUFICIENTE para invalidar
a previsão sobre o público total da festa é a Alternativa A, que
afirma que o número de homens presentes seria 360.
Nesse caso, teríamos (x e y indicam as quantidades de homens e
de mulheres da festa):
De acordo com o fluxograma, se o peso de uma fruta
recebida pela cooperativa é 320 gramas, então essa fruta,
necessariamente,
x = 360, mas: 60% . y ≤ x ≤ 80% . y a) será enviada para exportação.
b) será enviada para a fábrica de geleias.
c) não será enviada para comercialização no mercado
interno.
d) não será enviada para compostagem.
e) não será enviada para a fábrica de geleias.
→ 0,6 . y ≤ 360 ≤ 0,8 . y → 288 ≤ y ≤ 600
Ou seja, nessa hipótese, o público total da festa seria formado por,
no máximo, x + y = 360 + 600 = 960 pessoas, o que contradiria
a informação inicial.
Alternativa A
Com a única informação disponível sobre a fruta (m = 320g),
existem somente três possíveis destinos:
34. Dentro de um grupo de tradutores de livros, todos os que
falam alemão também falam inglês, mas nenhum que fala
inglês fala japonês. Além disso, os dois únicos que falam
russo também falam coreano.
Sabendo que todo integrante desse grupo que fala coreano
também fala japonês, pode-se concluir que, necessariamente,
D1. Se a aparência da casca e a rigidez não estiverem normais E
a fruta estiver podre: compostagem!
D2. Se a aparência da casca e a rigidez não estiverem normais E
a fruta não estiver podre: fábrica de geleias!
D3. Se a aparência da casca E a rigidez estiverem normais:
exportação!
Alternativa C
Resolução:
a) todos os tradutores que falam japonês também falam russo.
b) todos os tradutores que falam alemão também falam
coreano.
c) pelo menos um tradutor que fala inglês também fala
coreano.
d) nenhum dos tradutores fala japonês e também russo.
e) nenhum dos tradutores fala russo e também alemão.
Resolução:
As informações fornecidas permite montar o seguinte diagrama:
Alternativa E
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CPV
8
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Seu Pé D ireito
nas
35. Considere, no plano cartesiano, o triângulo retângulo
determinado pelos eixos coordenados e pela reta de equação
12x + 5y = 60. A medida do raio da circunferência inscrita
nesse triângulo é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
Resolução:
12x + 5 y = 60
R
R
5–R
R
R
R
5–R
Observando o desenho, podemos concluir que
12 – R + 5 – R = 13 Þ R = 2
CPV
INSPERNOV2013
COMENTÁRIO ANÁLISE QUANTITATIVA
A prova de Análise Quantitativa do processo seletivo
do Insper novembro/2013 trouxe, como de costume,
questões interpretativas e contextualizadas.
Reconhecemos algumas figuras já presentes em
provas anteriores, porém criativamente alteradas
quanto aos seus objetivos.
Notamos, também, a presença de questões que
exigiram bom senso e noções de grandeza, além de
habilidades e competências matemáticas.
Acreditamos que esta prova dotará à Banca
Examinadora de condições de selecionar os melhores
candidatos.
Incidência de Assuntos
12 – R
12 – R
Melhores Faculdades
Alternativa B
17,5% Geometria Plana
15,0% Lógica
7,5% Equações Algébricas
7,5% Trigonometria
7,5% Geometria Analítica
5,0% Geometria Espacial
5,0% Probabilidades
5,0% Exponenciais e Logaritmos
2,5% Funções
2,5% Razão e Proporção
2,5% Porcentagem e Juros
2,5% Sequências e Progressões
2,5% Polinômios
2,5% Números Complexos
2,5% Análise Combinatória
2,5% Estatística
2,5% Matrizes