Física Atómica e Nuclear
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Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 55 Física Atómica e Nuclear Notas de Aula 4 Interação Spin-Órbita Embora a ideia de spin seja subtil, muitos dos efeitos por ele produzidos não são nada subtis. Talvez o facto mais importante seja a duplicação do número de electrões que o “Princípio de exclusão de Pauli” permite, para preencher os estados quânticos de um átomo de muitos electrões. Veremos mais adiante que o estado fundamental dos átomos ficaria muito alterado se os electrões não tivessem o spin. Isto traria grandes consequências sobre as propriedades periódicas dos átomos, e portanto em toda a química e na física do estado sólido. Estudaremos neste capítulo os efeitos do spin, sobre o campo magnético interno do átomo e sobre momento angular total. 4.1 Energia de Interacção Spin - Órbita Estudaremos nesta secção a interacção entre o momento magnético de spin e o campo magnético interno de um átomo de um electrão. Como o campo magnético interno é consequência do momento angular orbital do electrão, chamaremos a essa interacção de interacção spin-órbita. Trata-se de uma interacção relativamente fraca que é responsável, em parte, pela estrutura fina dos estados excitados dos átomos de um electrão. A interacção spin-órbita também ocorre nos átomos com mais de um electrão, mas nesses átomos ela é razoavelmente forte, uma vez que o campo magnético interno é muito forte. Além disso um efeito totalmente análogo à interacção spin-órbita ocorre no núcleo. A interacção spin-órbita nuclear é tão forte que ela governa as propriedades periódicas do núcleo. Vamos supor o modelo de Bohr, onde o electrão está sujeito a um campo magnético Bl devido ao seu movimento em torno do núcleo. O campo interage com o momento magnético do electrão. Para poder calcular o valor desse campo magnético convém considerar o sistema sob o ponto vista do referencial do electrão: o electrão está fixo e o núcleo move-se em torno dele. Veja a Figura 4.1. (a) (b) Figura 4.1. a) Movimento de um electrão movendo-se numa órbita de Bohr, visto pelo núcleo. b) O mesmo movimento visto pelo electrão. Sob o ponto de vista do electrão, o núcleo move-se em torno dele. Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 56 Substituímos o vector posição da órbita do electrão r por r . O campo magnético da carga +Ze que se move, é obtido através da Lei de Biot-Savart: Ze 0 v r Ze30 v r Bl 3 4r 4r (4.1) onde 0 é a permeabilidade no vazio. O núcleo carregado constitui um elemento de corrente j Zev . O momento angular é definido por: L r mev ou L mev r (4.2) que substituindo em (4.1), fica: Ze0 Bl L 4r 3me (4.3) Assim, o campo magnético que é gerado pelo movimento relativo do núcleo em relação ao electrão é proporcional e paralelo ao momento angular orbital do electrão. Veja Figura 4.2. Figura 4.2. Precessão do spin em torno do campo magnético Bl associado ao momento angular orbital, com componentes S z e s, z . O electrão e o seu momento magnético de spin podem assumir diferentes orientações no campo magnético interno do átomo e sua energia potencial será diferente para cada orientação. A energia de interacção entre o spin e o campo magnético orbital é: Vl , s s Bl Notas de Aula 2004/05 (4. 4) Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 57 Substituímos o valor de s, Bl e gs = 2. Além disso, como estamos interessados em calcular a energia potencial em relação ao referencial normal, onde o núcleo está em repouso, temos que reduzir a energia de um factor 2, por causa do efeito relativístico de transformação de velocidades denominado de precessão de Thomas: 1 e Ze0 Vl , s g s S . 2 2me 4r 3me Ze2 0 L SL 2 3 8me r (4.5) ou Vl , s a S L 2 (4.6) Ze2 0 2 , e é conhecida como constante de acoplamento spin-órbita. 8me2 r 3 Podemos escrever esta interacção em termos da energia potencial do electrão Ze 2 , porque: V r 40 r onde a Ze2 1 d Ze2 1 dV r 40 r 3 r dr 40 r r dr (4.7) e sabendo que c 2 1 / 0 0 , obtemos: Vl , s 1 dV r S L 2me2c 2 r dr (4.8) Esta expressão foi deduzida pela primeira vez por Thomas em 1926, que também usou uma combinação do Modelo de Bohr, mecânica quântica e cinemática relativística. Contudo ela está totalmente de acordo com a Mecânica Quântica de Dirac. É uma equação importante tanto na teoria de átomos de muitos electrões, quanto nos átomos de um electrão. Além disso, uma equação semelhante é fundamental para a compreensão da teoria da estrutura dos núcleos. 4.2 Momento Angular Total Se não existisse interacção spin-órbita, os momentos angulares orbital L e de spin S do electrão atómico, seriam independentes um do outro e obedeceriam cada um separadamente, a lei de conservação de momento angular da mecânica quântica. Ambos os vectores precessariam aleatoriamente em torno do eixo z. Entretanto a interacção spin-órbita existe e corresponde a um campo magnético forte, cuja orientação é dada por L , que actua sobre o electrão produzindo um torque sobre o momento magnético de Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 58 spin, que está orientado segundo S . O torque força um acoplamento entre L e S , fazendo com que a orientação de um dependa da orientação do outro. A Figura 4.3 mostra a precessão dos vectores L e S , devida a interacção spin-órbita. Esses vectores movem-se de maneira que a sua soma, o momento angular total J , obedece a lei da conservação do momento angular em mecânica quântica. Portanto um átomo num espaço livre, sem que haja torques actuando sobre ele, tem um momento angular total igual a: J LS (4.9) mantendo um valor constante de J e da componente z, Jz. O momento angular total satisfaz as relações de comutação: J , J iJ x y z e etc. Figura 4.3. No modelo vectorial o acoplamento dos vectores do momento angular orbital L , e de spin S corresponderá ao momento angular total J . A figura apresenta o caso típico do estado l=2, j=5/2 2 1/ 2 e mj=3/2. Os vectores L e S precessam uniformemente em torno da sua soma J , enquanto J precessa aleatoriamente em torno de z. A intensidade e a componente z do momento angular total J , são especificadas por dois números quânticos: j e mj: J j j 1 (4.10) e Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. J z m j 59 (4.11) onde m j j , j 1, j 2..., j 1, j (4.12) são os valores permitidos do número quântico mj. Os valores permitidos do número quântico j, são obtidos através da componente z de J : J z Lz S z (4.13) Lz e S z satisfazem as condições de quantização: Lz m S z ms e (4.14) Alguns autores chamam m de ml. Definimos: J z m j (4.15) m j m ms (4.16) ou m j m ms (4.17) O maior valor possível de m é l, e o maior valor possível de ms é s=1/2, porque estamos tratando de um sistema com um electrão, portanto o valor máximo de mj será: m j max l 1 2 (4.18) De acordo com a equação (4.11) o maior valor permitido de mj, também é o maior valor permitido de j. Como os demais números quânticos de momento angular, os valores possíveis de j diferem por números inteiros. Estes valores fazem parte de uma série decrescente: 1 1 3 5 j l , l , l , l ,... 2 2 2 2 Notas de Aula 2004/05 (4.19) Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 60 Figura 4.4. Diagramas vectoriais para L S . Para determinar o limite inferior da série, podemos utilizar a desigualdade vectorial: LS L S (4.20) cuja validade poderá ser comprovada pela análise dos diagramas vectoriais apresentados na Figura 4.4. Escrevendo L S como J , obtemos a desigualdade: J LS (4.21 ) ou, escrevendo em função dos números quânticos: J j j 1 l l 1 ss 1 (4.22) Como temos somente um electrão, s=1/2 e em geral vão existir dois membros da série que satisfazem a desigualdade acima, que são: 1 1 j l ,l . 2 2 (4.23) e se l=0, teremos somente o valor j=1/2. Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 61 ______________________________________________________________________ Exemplo 4.1. Determine os valores possíveis dos números quânticos j, mj, para os estados onde l=2. Resolução: Como temos estamos tratando de átomos de um electrão, teremos s=1/2. Os valores possíveis de j, são 1 1 1 1 5 3 , l . Substituindo o valor de l=2, obtemos: j 2 ,2 , . Como 2 2 2 2 2 2 5 3 1 1 3 5 m j j , j 1, j 2..., j 1, j , teremos para cada j: m5 / 2 , , , , , e 2 2 2 2 2 2 3 1 1 3 m3 / 2 , , , . 2 2 2 2 dados por: j l _____________________________________________________________________________________ 4.3 Estrutura Fina Em primeiro lugar vamos determinar a energia de interacção spin-órbita em termos dos números quânticos l, s e j. A seguir mostraremos como essa expressão é usada para prever a estrutura detalhada dos níveis de energia dos átomos de hidrogénio. Vl ,s 1 dV r S L 2 2 2m c r dr (4.24) Temos que obter o produto S L , em função de l, s e j começamos por fazer o produto escalar: J J L S L S L L S S 2S L (4.25) uma vez que L S = S L . Então: 1 S L J J LLS S 2 (4.26) ou 1 S L J 2 L2 S 2 2 (4.27) Num estado quântico associado aos números quânticos l, s e j, cada termo à direita tem um valor fixo, e consequentemente o produto S L também tem um valor fixo: Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 2 S L j j 1 l l 1 ss 1 2 62 (4.28) Substituindo em Vl,s, obtemos: Vl , s 2 j j 1 l l 1 ss 1 1 dV r 2 4mec r dr (4.29) Lembrando que não existe nenhuma órbita fixa do átomo descrito pela teoria quântica, a energia da interacção spin-órbita para o estado é o valor esperado dessa quantidade: Vl , s 2 j j 1 l l 1 ss 1 1 dV r 2 4mec r dr (4.30) 1 dV r é calculado usando a função potencial V(r) para o r dr sistema e a densidade de probabilidade (normalmente calculada em termos da densidade de probabilidade radial Pnl r 2 Rnl* Rnl ) para o estado em questão. onde o valor esperado Por causa da interacção spin-órbita todos os níveis de energia dos átomos com um electrão, com excepção dos estados s, se subdividem em dois subestados, e produzem estruturas múltiplas ou duplas das linhas espectrais, que são denominadas genericamente pelo nome de estrutura fina. A estrutura fina não pode ser explicada através da interacção Coulombiana entre os núcleos e os electrões, mas sim pela interacção magnética entre o momento magnético orbital e o momento intrínseco do spin, a interacão spin-órbita. Agora vamos explicar o simbolismo necessário para identificar os níveis de energia dos átomos. Os termos do momento angular orbital são indicados por: S l0 P l 1 D l2 F l 3 . . . . . . (4.31) O simbolismo usual é: Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. n 2 S 1 LJ n nº quântico principal S nº quântico de spin L nº quântico do momento angular orbital J nº quântico do momento angular to tal 63 (4. 32) Este simbolismo com as letras maiúsculas S, L e J, só é aplicável aos átomos com muitos electrões. No caso dos átomos de um electrão, utilizamos s, l e j, ou seja, letras minúsculas. Para s =1/2 e 2s+1=2 (multiplicidade), obtemos o simbolismo: n 2l j (4. 33) 1 1 onde l n 1 e que j l , l . 2 2 ______________________________________________________________________ Exemplo 4.2. Determinar os valores possíveis dos números quânticos j, para os estados onde l=1 e 2 escrever os níveis de energia na notação espectroscópica n L J para S=1/2. Através dos valores indicados em (4.20), l=1 corresponde a P. n=2 e 1 1 1 1 3 1 j l , l 1 ,1 , . Então teremos 22P1/2 e 22P3/2. Devemos lembrar que quando 2 2 2 2 2 2 existe somente um electrão envolvido, como é o caso dos átomos de um electrão, podemos representar l=1 por “p” em vez de “P”. A Figura mostra o desdobramento do nível de energia (estrutura fina) do estado P num sistema de um electrão, em dois estados P1/2 e P3/2. A constante a aparece na equação (4.6) e pode ser escrita como: a~ Z4 1 n3 l l 1 2 ______________________________________________________________________ Como conhecemos explicitamente as funções de onda do átomo de hidrogénio, podemos prever com detalhes e com exactidão, a estrutura dos seus níveis de energia. O que temos utilizado até agora para o átomo de hidrogénio foi a equação de Schrödinger não relativística, que dá os estados de energia Enl. Observa-se porém que um nível de energia do hidrogénio sofre um deslocamento devido a dependência relativística da massa com a velocidade comparável ao deslocamento produzido pela interacção spinórbita, que também é um efeito relativístico, mas de natureza distinta. Um tratamento completo de todos os efeitos relativísticos nos níveis de energia do átomo de hidrogénio só pode ser feito em termos da teoria de Dirac. Podemos calcular as duas correcções separadamente e escrever: Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. Enlj Enl Erel Els 64 (4.34) Os dois termos da correcção, o correspondente a variação da massa relativística Erel, e o termo do acoplamento spin-órbita, juntos, correspondem a correcção de estrutura fina EFS. Não desenvolveremos estes cálculos porque são muito longos e de facto o único efeito importante num átomo típico é a interacção spin-órbita. O resultado do cálculo relativístico completo de Dirac para os níveis de energia do átomo de hidrogénio é: Enlj Enl EFS EFS En 2 1 3 Z 2 n j 1 / 2 4n (4.35) (4.36) onde e2 40c (4.37) ou 0c 2 1 e 4 137 (4.38) que corresponde a constante de estrutura fina de Sommerfeld: velocidade do electrão na primeira órbita de Bohr / velocidade da luz. 0 é a massa reduzida do electrão. O mais importante deste resultado é o facto da energia da estrutura fina do átomo de hidrogénio depender somente de j (inclui o spin) e não de l. Os resultados da teoria de Dirac e do modelo de Sommerfeld são essencialmente os mesmos: ESommerfeld E n 2 n 1 3 Z 2 n 4n (4.39) j + 1/2 e n são inteiros que vão de 1 a n. Como o modelo de Sommerfeld é baseado no modelo de Bohr, ele é de facto somente uma aproximação grosseira da realidade física. Esta modelo contrasta com a teoria de Dirac, porque esta representa uma expressão extremamente refinada da nossa compreensão da realidade. O facto dessas duas teorias levarem essencialmente aos mesmos resultados para o átomo de hidrogénio é uma coincidência que provocou enorme confusão na década de 20, quando as teorias quânticas modernas se desenvolveram. A coincidência ocorreu porque os erros Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 65 introduzidos com o modelo de Sommerfeld, ao ignorar a interacção spin-órbita e ao utilizar a mecânica clássica para o cálculo da variação da energia devido à dependência relativística da massa com a velocidade, se cancelam no caso do átomo de hidrogénio. A Figura 4.5 mostra os níveis de energia do átomo de hidrogénio previsto por Bohr, Sommerfeld e Dirac. Para tornar visíveis os desdobramentos dos níveis de energia, denominados de estrutura fina, os deslocamentos dos níveis de energia de Sommerfeld e Dirac em relação aos de Bohr foram ampliados por um factor (137)2 = 1.88 104. No diagrama dos níveis de energia de Dirac não aparecem os valores do número quântico mj, que especifica a orientação espacial do átomo, pois sua energia não depende dessa orientação na ausência de campos externos. Existe um número quântico espacial similar no modelo de Sommerfeld e cujos valores não aparecem na Figura 4.5, pela mesma razão. Também não aparecem os níveis de energia do átomo de hidrogénio determinados pelas medidas de espectroscopia óptica. Eles estão em excelente acordo com os níveis tanto de Sommerfeld quanto de Dirac. Figura 4.5. Níveis de energia do átomo de hidrogénio para n=1, 2 e 3, segundo Bohr, Sommerfeld e Dirac. Os deslocamentos dos níveis de Sommerfeld e de Dirac em 2 2 relação aos de Bohr foram aumentados de um factor 1 / 1 / 137 1.88 10 4 . Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues Física Atómica e Nuclear – Capítulo 4. Interação Spin-Órbita. Momento Angular Total. Estrutura Fina. 66 A única diferença entre os resultados desses dois tratamentos é que, contrariamente a Sommerfeld, o modelo de Dirac prevê a existência de uma degenerescência para a maioria dos níveis (além da trivial devido a orientação espacial já mencionada) porque a energia depende dos números quânticos n e j mas não do número quântico l. Como em geral existem dois valores de l para o mesmo valor de j (ver a Figura 4.5), a teoria de Dirac prevê que a maioria dos níveis são duplos. Foi Lamb e Retherford que em 1947 verificaram experimentalmente que na verdade para n=2 e j=1/2 existem dois níveis separados, denominados deslocamento de Lamb (ver a Figura 4.6). A separação entre estes dois níveis é tão pequena que a frequência se encontra na faixa de microondas. Essas medidas de grande precisão, podem ser explicadas através da teoria de electrodinâmica quântica. Figura 4.6. Deslocamento de Lamb: estrutura fina do nível n=2 no átomo de hidrogénio de acordo com Bohr, Dirac e a Electrodinâmica Quântica, incluindo o deslocamento de Lamb. A degenerescência em j é levantada. O núcleo do átomo também tem influência sobre o espectro do átomo. A interacção entre o campo magnético interno produzido pelo movimento do electrão e o momento magnético do spin do núcleo faz com que haja um desdobramento dos níveis de energia. Este desdobramento denominado de hiperfino, mesmo com a escala exagerada, não pode ser explicitada na figura 4.5, porque é 10-3 menor que o desdobramento spin-órbita. Este efeito pode ser explicado quantitativamente através da mecânica quântica de Schrödinger e pode ser utilizado para medir os spins e momentos magnéticos nucleares. Na verdade, todos os aspectos do comportamento do átomo de hidrogénio podem ser explicados em detalhe pelas teorias da física quântica. Notas de Aula 2004/05 Ana Rodrigues
