1 1. (C) Um terno pitagórico é um terno de números naturais que

Escola Secundária com 3º CEB de Lousada
Ficha de Trabalho de Matemática do 8º Ano – N.º27
Assunto: Correcção da Ficha de Preparação para o Teste Intermédio (Parte 2)
Abril 2011
1.
(C)
Um terno pitagórico é um terno de números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.
NOTA: A hipotenusa (h) tem de ser o maior lado.
⇔
⇔
⇔
2. (C)
Em polígonos semelhantes, a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança (r).
3.
→ 3ª hipótese
4. Baricentro → 2ª hipótese
5. Em polígonos semelhantes, a razão entre as áreas é igual à razão de semelhança ao quadrado.
1
e
Logo
É a 3ª hipótese: “A razão entre os perímetros dos triângulos A e B é .”
12 2
6 2
3 3
1
6.
No m.d.c escolhem-se apenas os
16
8
4
2
1
2
2
2
2
factores comuns e de menor expoente.
R: 3ªopção (4)
7. 4ª opção: nenhuma das anteriores
Um terno pitagórico obtém-se do terno original (3 , 4 , 5) multiplicando por um número natural. A 2ª opção é o
produto desse terno por ½ mas não é um número natural (apesar de verificarem o teorema de Pitágoras).
8. São triângulos rectângulos, logo podemos usar o Teorema de Pitágoras para determinar os seus lados.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
cm
⇔
⇔
⇔
9.
cm
m.m.c. (10, 25) =
10 2
5 5
1
25 5
5 5
1
No m.m.c escolhem-se os factores
comuns e não comuns de maior expoente.
2
10. Critério AA: Os triângulos são semelhantes porque têm de um para o outro dois ângulos geometricamente
iguais:
•
90° que fazem com o solo (a árvore e o bastão).
•
Ângulos de incidência do sol.
Como os triângulos são semelhantes, então os comprimentos dos lados correspondentes são directamente
proporcionais:
⇔
cm (1 c.d.)
R: O pinheiro tem aproximadamente 6,2 m de altura.
11.
11.1 Os triângulos são semelhantes porque têm três lados correspondentes directamente proporcionais
(critério LLL)
A razão de semelhança é 2.
⇔
11.2
⇔
R: A área do triângulo B é 21,2 m2.
12. Dois processos possíveis:
1ª Processo:
3
A2
A1
A1
A2
A3
A3
ou
Com outros valores.
2º Processo:
A∆1
Atrap.1
Atrap.2
A∆2
13.
14.
14.1. São funções a f e a h porque cada elemento do conjunto A corresponde a um e um só elemento do
conjunto B.
14.2. Df = {Manuel, João , Pedro} D’f = {12 , 13 , 14}
Dh = {Porto, Lisboa, Braga} D’f = {20 , 25}
Conjunto de chegada = {12 , 13 , 14}
Conjunto de chegada = {17 , 20 , 25}
15. a) O João percorreu 360 km.
b) Esteve 1 hora parado (das 12 às 13 horas).
c) Depois de almoço percorreu 210 km (360 – 150).
d) Chegou a Lisboa às 15 horas.
4
e) A correspondência é uma função porque cada valor da variável independente corresponde a um e um só
valor da variável dependente.
f) A variável independente é “horas” e a dependente é “distância” (km).
g) O objecto cuja imagem por f é 360 é 15.
16.
D = 35 + 40 = 75 cm
⇔
d = 30 ×2 = 60 cm
⇔
⇔
⇔
⇔
17. O terno 10, 12 e 14 forma os lados de um triângulo rectângulo se verificar o Teorema de Pitágoras.
⇔
⇔
→ Igualdade Falsa
⇔
Logo, este terno não forma um triângulo rectângulo.
18.
18.1.
O raio é determinado com recurso ao teorema de Pitágoras.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
5
⇔
18.2.
19.
19.1.
19.2.
f(n) = n2 – 1
→
f(5) = 52 – 1 = 24
f(6) = 62 – 1 = 36 – 1 = 35
f(n) = 2n2
→
f(5) = 2 × 52 = 2 × 25 = 50
f(6) = 2 × 62 = 2 × 36 = 72
f(n) = n – 2
→
f(5) = 5 – 2 = 3
f(6) = 6 – 2 = 4
f(n) =
→
f(5) =
f(6) =
f(n) = 80
⇔ n2 – 1 = 80
⇔ n2 = 80 + 1
⇔ n2 = 81
⇔ n=
⇔ n=9
20.
R: É o 9º termo.
20.1.
Lei de formação: Adicionar 3 ao termo anterior.
20.2.
1º
4
2º
3º
7
10
…..
Termo geral: f(n) = 3n + 1
+3
+3
21.
20.3.
f(40) = 3 × 40 + 1 = 121 fósforos
20.4.
f(n) = 100
9 = 3 × 3=32
⇔ 3n + 1 = 100
2=2
⇔ 3n = 100 – 1
⇔n=
⇔ n = 33 quadrados
6=2×3
m.m.c.( 2 , 6 , 9 ) = 32 × 2 = 18
R: Voltarão a encontrar-se todos passados 18 dias, numa quarta-feira.
6
22.
m.d.c. ( 360 , 504) = 23 × 32= 72
bolinhos de bacalhau
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
504
252
126
63
21
7
1
2
2
2
3
3
7
rissóis
360 = 23 × 32 × 5
504= 23 × 32× 7
R: O António pode fazer 72 pratinhos, levando cada um deles 5 bolinhos de bacalhau e 7 rissóis.
23. O produto de dois números é igual ao produto dos seus mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum.
a×b=M×D →
M = m.m.c (a , b)
e
D = m.d.c. (a , b)
⇔
⇔
→ m.d.c. (10 , 18) = 2
24.
24.1.
24.2.
24.3.
24.4
24.5
24.6
24.7
24.8
7
25.
25.1.
25.2.
25.3.
25.4.
25.5.
25.6.
26. 26.1.
26.1.1. As funções g e i.
26.1.2. A função f.
26.1.3. As funções f , g , h e i (são todas funções afins porque são rectas)
26.2.
A ordenada na origem de h(x) é -4. (valor onde intersecta o eixo dos yy)
26.3.
Um ponto de g(x) é por exemplo (1 , 3)
logo
Um ponto de i(x) é por exemplo (1 , -1)
logo
26.4. g(x) = 3x
h(x) = 3x – 4
(como estas duas rectas são paralelas, têm o mesmo declive.
Logo K é o mesmo)
i(x)= - x
f(x) = 2
CONTEÚDOS DO 7º ANO
27.
(B)
2 é par e é primo.
8
28.
28.1. 2 e 17
28.2. 2 , 36 e 120
28.3. 1 , 2 e 120
28.5. 1 e 36
28.6. 1
28.7. 120
28.4. 36 , 45 e 120
29.
29.1. Verdadeira. 2 é par e é primo.
29.2. Falsa
29.3. Verdadeira
29.4. Falsa
29.5. Falsa
porque
.
9
Se o resultado fosse 3, ficaria
30.
30.1.
Existe proporcionalidade directa entre o preço da assinatura e o tempo da sua duração porque o
quociente entre as grandezas correspondentes é constante.
30.2. A constante de proporcionalidade directa é 3 e representa o custo mensal da assinatura (valor unitário).
30.3.
30.4.
⇔
meses
R: Corresponde a 6 meses.
€
30.5.
R: Pagaria 36€.
31.
31.1.
31.2.
31.3.
9
32.
∈
0,54
Q
∈
∈
14
33.
IN
Q
31.1.1.
4 , +6
31.1.2.
-2,5 ; -1/2
33.1.
;
Q+
∉
-3,(6)
∉
Z
∈
Q
-9
∉
IN
∉
∈
0
Q+0
Q
5/2
33.2.
33.3.
34.
-1 -1/2 0
-2,5 -2
-5
1
2
5/2 3
+4
5
6
x
+6 > 4 > 5/2 > 0 > -1/2 > -2 > -2,5
100% + 21% = 121% = 1,21
150 € × 1,21 = 181,5 €
R: O Manuel pagará 181,5 € pela bicicleta.
35. 35.1. …
35.2. …
35.5. …
é um número natural
35.3. …
35.6.
35.4. …. Q
35.7. …. maior…
36.
36.1.
36.2.
(×5)
(×7)
36.3.
36.4.
(×2) (×7)
10
36.5.
36.6.
36.7.
÷5
36.8.
÷5
36.9.
(×2)
37.
(×1)
Positiva → 100% - 40% = 60% = 0,6
30 alunos × 0,6 = 18 alunos
R: 18 alunos tiraram positiva.
38.
39.
5b – 2a → 5 × 4 – 2 × 2 = 20 – 4 = 16
O perímetro é o comprimento da linha que limita a figura, ou seja, os dois semi-círculos exteriores e dois
lados do quadrado exteriores.
O quadrado tem de lado 1,3 m de lado. Logo, o raio de cada semi-círculo é metade do lado do quadrado, ou
seja, 1,3 ÷ 2 = 0,65 m
Perímetro = 2 × Psemi-círculo + 2 × ladoquadrado = 2 × 2,041 + 2 × 1,3 = 6,682 m
Psemi-círculo =
m
Área = Aquadrado + 2 × Asemi-círculo = Aquadrado + Acírculo = 1,69 + 1,32665 ≅ 3 m2
Aquadrado = l2 = 1,32 = 1,69 m2
Acírculo = πr2 ≅ 3,14 × 0,652 = 1, 32665 m2
11
40. Na desigualdade triangular, a soma dos dois lados menores tem de ser superior ao lado maior para ser
possível construir um triângulo.
4,2 + 2,8 = 7 e não é superior a 7. Logo não é possível construir um triângulo com estas medidas.
41.
Regra: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º
41.1.
g = 180º - (47º + 43º) = 180º - 90º = 90º
41.2. Regra: A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360º.
x = 360º - (115º + 94º + 110º) = 360º - 319º = 41º
42.
42.1.
42.2.
capacidade do cone = 0,423 l
Capacidade da pirâmide = 0,378 l
Logo, quem tem mais capacidade é o cone.
43.
43.1.
a)
b e a (por exemplo)
→
pertencem ao mesmo plano
b)
c e j (por exemplo)
→
não pertencem ao mesmo plano
c)
i e j (por exemplo)
→
que se intersectam
12
43.2.
44.
d)
c e b (por exemplo)
→
fazem um ângulo de 90º
e)
cea
→
não se intersectam
Os planos α e β são concorrentes.
Existem 3 critérios de igualdade de triângulos: LLL; LAL e ALA
44.1. Critério ALA: dois triângulos são geometricamente iguais se têm um lado geometricamente igual e os
ângulos adjacentes a esse lado geometricamente iguais.
Têm um lado igual (5) e os ângulos adjacentes a esse lado são respectivamente iguais (30°= 30° e 50°=50°).
Logo, os triângulos são geometricamente iguais.
44.2. Critério LLL.: Dois triângulos são geometricamente os três lados de um são geometricamente iguais aos
três lados do outro.
É falso porque só têm 2 lados respectivamente iguais (8=8 e 8=8 mas 7≠9).
Logo, os triângulos não são geometricamente iguais.
44.3. Critério LAL.: Dois triângulos são geometricamente iguais se tiverem dois lados e o ângulos por eles
formado geometricamente igual.
Têm dois lados iguais (3,2 = 3,2 e 2,5 = 2,5) e o ângulo por eles formado também é igual (são ângulos
verticalmente opostos).
Logo, os triângulos são geometricamente iguais.
45.
45.1.
45.2.
x = 65° →
são ângulos de lados paralelos
y = 180° - 65° = 115°
→
são ângulos de lados paralelos suplementares
x = 180° - 60° = 120°
→
são ângulos suplementares (o ângulo externo é suplementar
13
ao interno)
→
y = 180° - 85° = 95°
são ângulos suplementares (o ângulo externo é suplementar
ao interno)
→
z = 85° + 60° = 145°
o ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes
→
45.3.
como o triângulo é equilátero, os lados são todos iguais.
A lados iguais opõem-se ângulos iguais.
→
x = 90° - 60° = 30°
são ângulos complementares
46.
y
4
W
2
U
V
S
-5
5
x
-2
T
R
-4
47.
47.1. Não é uma equação porque não tem igualdade.
47.2. É uma equação porque é uma igualdade e tem pelo menos uma letra.
47.3. Não é uma equação porque não tem pelo menos uma letra.
47.4. É uma equação porque é uma igualdade e tem pelo menos uma letra.
47.5. Não é uma equação porque não é uma igualdade.
14
48.1. 12 – 2x + 3 – 1 – x = - 3x +14
48.
48.2. -2r + 3 – y+ 5 – r – 3y = -4y – 3r + 8
49.
→
Igualdade falsa
R: -3 não é solução da equação
50.
R: As equações são
equivalentes porque têm o
mesmo conjunto solução.
⇔
⇔
⇔
⇔
CS = {4}
51.
59.1
3x = -27
x=-9
S = {-9}
59.2
2x = -10
x=-5
S = {-5}
59.3
= -4
x=-8
S = {-8}
59.4
-3x = 8
x=
S=
52.
52.1.
⇔
⇔
⇔
⇔
S=
15
52.2.
⇔
⇔
⇔
⇔
S=
52.3.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
S=
52.4.
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
S=
16