Campus Cornélio Procópio Disciplina: Fenômenos de Transporte 2

U NIVERSIDADE T ECNOLÓGICA F EDERAL DO PARANÁ
Campus Cornélio Procópio
P RIMEIRA L ISTA DE E XERCÍCIOS
Disciplina: Fenômenos de Transporte 2
Curso: Engenharia Mecânica
Turma: M91
Data: 6/9/2016
Número de exercícios: 10
Nome completo:
Valor: 10,0 pontos
Matrícula:
Exerc. 1) Para um escoamento no plano xy, a componente x da velocidade é dada por u = 3x2 y − y 3 . Encontre uma
possível componente y para escoamento em regime regime permanente e incompressível. Ela também é válida para
escoamento incompressível em regime transiente? Por quê?
Exerc. 2) A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente e incompressível, no
2
plano xy, é u = A/x, em que A = 2[ ms ] e x é medido em metros. Determine a mais simples componente y da
velocidade para esse campo de escoamento.
#»
Exerc. 3) Considere o campo de velocidade V = Axyı̂ − 12 Ay 2 ̂ no plano xy, no qual A = 0, 25[m−1 s−1 ] e as
coordenadas são medidas em metros. É esse um possível campo de escoamento incompressível? Calcule a aceleração
de uma partícula fluida no ponto (x, y) = (2, 1).
Exerc. 4) Considere o escoamento de ar de baixa velocidade entre dois discos paralelos, conforme mostrado. Suponha
que o escoamento é incompressível e não viscoso e que a velocidade é puramente radial e uniforme em qualquer seção.
A velocidade do escoamento é V = 15[ m
uma forma
s ] em R = 75[mm]. Simplifique a equação da continuidade para
#»
aplicável a este campo de escoamento. Mostre que uma expressão geral para o campo de velocidade é V = V (R/r)êr
para ri ≤ r ≤ R. Calcule a aceleração de uma partícula fluida em r = ri e r = R.
#»
#»
Exerc. 5) Expanda (V · ∇)V em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a
aceleração convectiva de uma partícula fluida.
Exerc. 6) Considere um escoamento em regime permanente, laminar, incompressível e completamente desenvolvido,
entre duas placas planas infinitas, mostrado na figura. O escoamento ocorre devido ao movimento da placa esquerda
#»
#»
bem como de um gradiente de pressão que é aplicado na direção y. Dadas as condições de que V 6= V (z), w = 0, e
que a aceleração gravitacional age na direção negativa de y, prove que u = 0 e que o gradiente de pressão na direção y
deve ser constante.
Exerc. 7) Considere um escoamento com as componentes da velocidade u = z(3x2 − z 2 ), v = 0 e w = x(x2 − 3z 2 ).
a) Este escoamento é uni, bi ou tridimensional?
b) Demonstre se este é um escoamento incompressível ou compressível;
c) Se possível, deduza uma função de corrente para este escoamento.
Exerc. 8) Dada a equação da quantidade de movimento para escoamento laminar e incompressível, de um fluido
newtoniano,
#»
DV
#»
= ρ #»
g − ∇p + µ∇2 V
ρ
Dt
a)
b)
c)
d)
Explique o significado de cada termo nessa equação (inclusive aqueles embutidos na derivada material);
Escreva-a na forma expandida, para cada componente escalar, em um escoamento tridimensional;
Simplifique essa equação para o caso bidimensional (direções x e y somente), viscoso e em regime permanente;
Simplifique a equação para um escoamento na direção z, invíscido, em regime permanente;
Exerc. 9) Considere o escoamento unidimensional incompressível através do duto circular mostrado. A velocidade na
m
rad
seção À é dada por U = U0 + U1 sen(ωt), no qual U0 = 20[ m
s ], U1 = 2[ s ] e ω = 0, 3[ s ]. As dimensões do duto
são L = 1[m], R1 = 0, 2[m] e R2 = 0, 1[m]. Determine a aceleração da partícula na saída do duto. Trace um gráfico
dos resultados como uma função do tempo para um ciclo completo.
Exerc. 10)
∂vr
∂vr
vθ ∂vr
v2
∂vr
ρ
+ vr
+
− θ + vz
∂t
∂r
r ∂θ
r
∂z
∂vθ
vθ ∂vθ
vr vθ
∂vθ
∂vθ
ρ
+ vr
+
+
+ vz
∂t
∂r
r ∂θ
r
∂z
∂vz
∂vz
vθ ∂vz
∂vz
ρ
+ vr
+
+ vz
∂t
∂r
r ∂θ
∂z
∂p
∂ 1 ∂ (rvr )
1 ∂ 2 vr
2 ∂vθ
∂ 2 vr
+µ
+ 2
−
+
∂r
∂r r ∂r
r ∂θ2
r2 ∂θ
∂z 2
1 ∂p
∂ 1 ∂ (rvθ )
1 ∂ 2 vθ
∂ 2 vθ
2 ∂vr
= ρgθ −
+µ
+ 2
+
+
r ∂θ
∂r r ∂r
r ∂θ2
r2 ∂θ
∂z 2
∂p
1 ∂
∂vz
1 ∂ 2 vz
∂ 2 vz
= ρgz −
+µ
r
+ 2
+
2
∂z
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z 2
= ρgr −
Simplifique a equação da quantidade de movimento para escoamento laminar e incompressível, de um fluido newtoniano, em coordenadas cilíndricas, mostrada acima para os seguintes casos:
a) Escoamento bidimensional (em θ e z), invíscido e estacionário (permanente);
b) Escoamento viscométrico de um líquido em espaço anular entre dois cilindros verticais concêntricos, em regime
permanente, no qual o cilindro externo possui velocidade angular constante ωexterno 6= 0 (ωinterno = 0).
2