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Cálculo IV - 2008/2
Séries de Fourier
Baseado nas Notas de Peter Stone, Vancouver Island University
http://www.peterstone.name
Prof. Fernando Deeke Sasse
UDESC - Joinville
1 Séries de Fourier para funções com período 2 π
Séries Trigonométricas
Vamos considerar aqui como expressar certas funções em termos de séries trigonométricas
f x = c Ca1 cos x Cb1 sin x Ca2 cos$2 x Cb2 sin$2 x Ca3 cos$3 x Cb3 sin$3 x C . . . ,
N
=cC
>
k= 1
ak cos k x Cbk sin k x
Series desta forma são denominadas séries de Fourier. Foi Jean Baptiste Fourier (1766-1830),
quem as inventou no seu estudo de fluxo de calor. Note que f x é periódica com período 2 π,
pois o menor período de qualquer um dos termos é 2 π.
Exemplo1. Consideremos a função f x definida por
sin$2 x
sin$3 x
sin$4 x
f x = sin x C
C
C
C ...
2
3
4
N
=
> sinkk x .
k= 1
Façamos uma aproximação utilizando 500 termos na soma e vejamos o gráfico:
O restart:
O f := (x,n) -> Sum(sin(k*x)/k,k=1..n);
n
f := x, n /
> sin kk x
k= 1
O plot(f(x,500),x=-2*Pi..4*Pi,color=blue,thickness=2,
labelfont=[HELVETICA,10],font=[SYMBOL,10],ytickmarks=3,
xtickmarks=[evalf(-4*Pi)=`-4p`,evalf(-2*Pi)=`-2p`,
evalf(-Pi)=`-p`,0=`0`,evalf(Pi)=`p`,evalf(2*Pi)=`2p`,
evalf(3*Pi)=`3p`,evalf(4*Pi)=`4p`]);
(1.1.1)
1
2π
0
π
π
2π
3π
4π
x
K1
Aparentemente a série esta convergindo, para todos os valores de x para
O F:=x->PIECEWISE([0, x = 0],[(Pi-x)/2, 0 < x and x < 2*Pi]);
0
x=0
F := x/ 1
(1.1.2)
1
πK
x
0 ! x and x ! 2 π
2
2
sendo F x = F x C2 π .
π
Por exemplo, em x =
temos
2
O f(Pi/2,700);
700
>
sin
k= 1
1
kπ
2
k
(1.1.3)
O evalf(%);
0.7846838791
(1.1.4)
0.7853981635
(1.1.5)
O evalf(F(Pi/2));
O f(Pi/2,infinity);
N
>
sin
k= 1
1
kπ
2
k
(1.1.6)
O evalf(%);
N
>
k= 1
Exemplo2
Consideremos a função definida por
sin
1
kπ
2
k
(1.1.7)
g x = cos x C
cos$2 x
cos$3 x
cos$4 x
C
C
C ...
2
3
4
N
=
> cos kk x
.
k= 1
Façamos um gráfico correspondente a uma soma finita de 500 termos:
O g := (x,n) -> Sum(cos(k*x)/k,k=1..n);
n
g := x, n /
> cos kk x
(1.1.8)
k= 1
O plot(g(x,500),x=-2*Pi..4*Pi,color=coral,thickness=2,
labelfont=[HELVETICA,9],ytickmarks=3,
font=[SYMBOL,9],xtickmarks=[evalf(-2*Pi)=`-2p`,
evalf(-Pi)=`-p`,0=`0`,evalf(Pi)=`p`,evalf(2*Pi)=`2p`,
evalf(3*Pi)=`3p`,evalf(4*Pi)=`4p`]);
5
2,5
2π
π
0
π
2π
3π
4π
x
π
temos
3
O g(Pi/4,infinity);
Quando x =
N
>
k= 1
cos
1
kπ
4
k
Neste caso, o Maple não avalia a soma infinita:
O evalf(%);
1
N cos
kπ
4
k
k= 1
>
De fato, a série converge muito lentamente:
O evalf(g(Pi/4,500));
0.2664068265
(1.1.9)
(1.1.10)
(1.1.11)
O evalf(g(Pi/4,501));
(1.1.12)
0.2649954358
(1.1.12)
0.2678996999
(1.1.13)
0.2678982913
(1.1.14)
O evalf(g(Pi/4,1003));
O evalf(g(Pi/4,1000));
Em x = π , por outro lado, temos
O g(Pi,infinity);
N
> cos kk π
(1.1.15)
k= 1
Neste caso é possível obter o valor da soma infinita:
O value(%);
Kln 2
(1.1.16)
O evalf(%);
K0.6931471806
(1.1.17)
Veja aqui o que aconteceu:
cos$2 π
cos$3 π
cos$4 π
C
C
C ...
2
3
4
1
1
1
1
= K1 C K C K C . . .
2
3
4
5
= Kln$2 ~ K0.6931471806.
g π = cos π C
Por outro lado, em x = 0 a série diverge, pois
1
1
1
1
g 0 = 1 C C C C C . . . = N.
2
3
4
5
ou seja,
O g(0,infinity);
N
> 1k
(1.1.18)
N
(1.1.19)
k= 1
O value(%);
Produto Interno de Funções e Funções Ortogonais
Definimos o produto interno das funções definida por f(x) and g(x), no intervalo a, b como
sendo o valor da integral
b
f. g =
f x g x dx ------- (1).
a
Se consideramos a função f como sendo um vetor infinitamente dimensional, cujas componentes
são dadas pelo conjunto dos infinitos valores f x em pontos x do intervalo, então a definição (1)
é uma extensão natural do conceito usual de produto interno entre vetores, pois a integral é uma
soma infinita do produto dos valores, ou componentes, das duas funções.
O comprimento ou norma de uma função φ x com relação ao produto interno (1) é:
φ =
φ `.` φ
b
=
2
φ x
dx .
a
O valor quadrático médio da função no intervalo a, b é
b
1
b Ka
φ x
dx
a
1
=
2
φ .
b Ka
Por exemplo a norma da função sin no intervalo Kπ, π é
2
sin
π
=
sin2 x dx
Kπ
π
=
Kπ
=
1 Kcos$2 x
dx
2
π
x
sin$2 x
K
2
4
Kπ
= π,
de modo que
sin =
π.
De fato,
O sqrt(Int(sin(x)^2,x=-Pi..Pi));
value(%);
π
sin x
2
dx
Kπ
π
(1.2.1)
Podemos encontrar a projeção de um vetor v na direção de um vetor u tomando o produto interno
de v com um vetor unitário na direção de u.
sin x
Um vetor (função) unitário na "direção" de sin x é dado pela função s x =
. Por
π
x
exemplo, a projeção de g x = e na direção de sin x, considerando funções no intervalo Kπ, π ,
é:
π
x
g `.` s =
=
e s x dx
Kπ
π
1
x
e sin x dx.
π
Kπ
dv
dx
Utilizando a fórmula de integração por partes u
dx = u v K
v
du
dx
sucessivamente obtemos:
x
x
e sin x dx ...
u =e
v = Kcos x
du
= ex
dx
dv
= sin x
dx
x
= Ke cos x K
Kcos x ex dx
x
x
x
= Ke cos x C e cos x dx ...
u =e
v = sin x
du
= ex
dx
dv
= cos x
dx
= Kex cos x Cex sin x K
ex sin x dx .
Portanto
ex sin x dx = Kex cos x Cex sin x Cc
2
e
ex sin x Kcos x
Cc'.
2
x
e sin x dx =
Temos então
π
ex s x dx =
g `.` s =
π
Kπ
=
ex sin x Kcos x
2
π
=
e
π
K
ex sin x dx
Kπ
π
e
sin Kπ Kcos Kπ
2
π
π
=
π
Kπ
π
sin π Kcos π
2
1
π
Kπ
e Ke
~ 6.515678448.
2 π
Este cálculo pode ser feito automaticamente no Maple:
O Int(exp(x)*sin(x),x=-Pi..Pi)/sqrt(Pi);
dx duas vezes
π
x
e sin x dx
Kπ
(1.2.2)
π
O expand(value(%));
1
K
C
π
2e
π
1
2
eπ
(1.2.3)
π
O simplify(%,power);
Kπ
π
1 e Ke
2
π
(1.2.4)
6.515678450
(1.2.5)
K
O evalf(%);
Duas funções f x e g x definidas num intervalo a, b são ditas ortogonais neste intervalo se
b
f x g x dx = 0.
a
Por exemplo, cada par de funções f x and g x definidas em Ka, a , onde f x é par e g x é
ímpar, são ortogonais em Ka, a . Portanto sin k x é orotgonal a cos m x no intervalo Kπ, π para
todos k e m positivos, pois sin k x é ímpar e cos m x é par.
Notemos ainda que sin k x é ortogonal a sin m x no intervalo Kπ, π para todos inteiros positivos
k e m com k s m.
Provemos tal afirmação:
π
sin k x sin m x dx
Kπ
=
1
2
π
cos k Km x Kcos k Cm x
dx
Kπ
π
=
cos k Km x Kcos k Cm x
dx
0
( pois o integrando é uma função par)
=
sin
k Km x
sin k Cm x
K
k Km
k Cm
= 0.
Se k = m,
π
Kπ
sin2 k x dx
π
0
, if k s m,
π
1 Kcos$2 k x
dx
2
=
Kπ
=
x
sin$2 k x
K
2
4
π
Kπ
= π.
Similarmente, sin k x é ortogonal a sin m x no intervalo Kπ, π para todos inteiros k and m com
k s m.
Isto é verificado a seguir:
π
cos k x cos m x dx
Kπ
=
1
2
π
cos k Cm x Ccos k Km x
dx
Kπ
π
=
cos k Cm x Ccos k Km x
dx
0
( pois o integrando é uma função par)
=
π
sin k Cm
sin k Km
C
k Cm
k Km
0
, if k s m,
= 0.
Se k = m,
π
cos2 k x dx
Kπ
π
=
Kπ
=
1 Ccos$2 k x
dx
2
x
sin$2 k x
C
2
4
π
Kπ
= π.
A função constante com valor 1 é ortogonal a todas as funções sin k x e cos k x, onde k é um
inteiro positivo.
De fato,
π
sin k x dx = 0,
Kπ
pois sin k x ié uma função ímpar e
π
cos k x dx
Kπ
=
sin k x
k
π
Kπ
= 0.
Resumindo, as funções do conjunto 1, sin x, sin$2 x, sin$3 x, . . . , cos x, cos$2 x, cos$3 x, . . .
são mutuamente ortogonais no intervalo Kπ, π .
Determinação dos Coeficientes de Fourier
Vamos agora mostrar como determinar os coeficiente na série de Fourier
f x = c Ca1 cos x Cb1 sin x Ca2 cos$2 x Cb2 sin$2 x Ca3 cos$3 x Cb3 sin$3 x C . . . ,
ou,
N
f x = cC
>
k= 1
ak cos k x Cbk sin k x -------- (1),
de uma função f x definida no the intervalo Kπ, π , assumindo que tal expansão exista. Isso
será feito do mesmo modo como extraimos as componentes de um vetor comum: projetando-o nas
diferentes direções, ou seja, fazendo o produto interno dele com os vetores unitários que apontam
nas diferentes direções.
Inicialmente vamos determinar o coeficiente c, tomando o produto interno dos dois lado da eq. (1)
por 1. Utilizando os resultados da seção anterior obtemos
π
π
f x dx =
Kπ
c dx
Kπ
=cx
π
Kπ
=2 cπ
ou seja,
1
c=
2π
π
f x dx.
Kπ
______________
Este é, na verdade, o valor médio da função f x no intervalo Kπ, π .
Para encontrar o coeficiente ak de cos k x na série de Fourier, devemos fazer o produto interno de
ambos os lados de (1) com cos k x . No lado esquerdo temos
π
f x cos k x dx.
Kπ
Como cos k x é ortogonal a todos os termos, exceto ak cos k x, temos no lado direito,
π
ak
Kπ
cos2 k x dx
π
= ak
Kπ
1
cos$2 k x
C
2
2
x
sin$2 k x
C
2
4k
= ak
dx
π
Kπ
= ak π
Note que isso é ak vezes o quadrado da norma de cos k x. Temos então
π
f x cos k x dx = ak π ,
Kπ
de modo que
1
ak =
π
π
f x cos k x dx.
Kπ
______________
Tomando o produto interno de ambos os lados de (1) por sin k x obtemos de modo similar,
1
bk =
π
π
f x sin k x dx.
Kπ
______________
Resumindo, dada uma função f x definida no intervalo Kπ, π ou, equivalentemente, uma
função com período 2 π, os coeficientes de Fourier de f x são
1
c=
2π
ak =
1
π
π
f x dx,
Kπ
π
f x cos k x dx,
k = 1, 2, . . . ,
Kπ
e
π
1
f x sin k x dx,
k = 1, 2, . . . ,
π Kπ
onde a série de Fourier de f x é:
c Ca1 cos x Cb1 sin x Ca2 cos$2 x Cb2 sin$2 x Ca3 cos$3 x Cb3 sin$3 x C . . . ,
bk =
N
=cC
>
k= 1
ak cos k x Cbk sin k x .
A função h1 x = c Ca1 cos x Cb1 sin x é umas onda senoidal com período 2 π, sendo chamada
onda fundamental da série de Fourier. Cada par de termos hk x = ak cos k x Cbk sin k x, onde k
é maior do que 1, é uma onda senoidal com período
de Fourier.
2π
chamada a k-ésima harmônica da série
k
Exemplo1
Seja
f x =
0
Kπ % x and x ! 0
1
0 % x and x ! π
.
f x pode ser estendida a uma função periódica com período 2 π, de modo que
f x =
0
Kπ % x and x ! 0
1
0 % x and x ! π
,
e f x = f(x C2 π)
Podemos fazer o gráfico desta função inicialmente definindo sua restrição ao intervalo Kπ % x
! π, e depois estendendo-o a uma função periódica, designada por fp, usando a função do Maple
floor, que dá o maior inteiro menor ou igual ao número
O restart:
O trunc(x)^2;
trunc x
2
(1.4.1)
O with(plots):
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
(1.4.2)
O 'f(x)'=f(x);
f x =
0
x!0
1
otherwise
(1.4.3)
O fp := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
fp := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
O fp2:=x->f(x mod 2*Pi);
fp2 := x/f x mod 2 π
O plot(f,-10..10);
(1.4.4)
(1.4.5)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
K10
K5
0
5
10
O 'fp(x)'=fp(x);
fp x =
0
1
x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
!0
(1.4.6)
otherwise
O pp :=evalf( Pi):
O p1 := plot(fp(x),x=-2*Pi-1.2..4*Pi+1.2,discont=true,
thickness=2,color=COLOR(RGB,.4,0,1)):
O p2 := plot([[-2*pp,0],[-pp,1],[0,0],[pp,1],[2*pp,0],[3*pp,
1],[4*pp,0]],
style=point,symbol=circle,color=black):
O p3 := plot([[[-2*pp,1],[-pp,0],[0,1],[pp,0],[2*pp,1],[3*pp,
0],[4*pp,1]]$3],
style=point,symbol=[circle,diamond,cross],color=
black):
O display([p1,p2,p3],ytickmarks=2,labelfont=[HELVETICA,9],
font=[SYMBOL,9],xtickmarks=[-3*pp=`-3p`,-2*pp=`-2p`,
-pp=`-p`,0=`0`,pp=`p`,2*pp=`2p`,3*pp=`3p`,4*pp=`4p`]);
1
2π
π
0
π
2π
3π
4π
Outro modo de se desenhar este gráfico é com as linhas verticais presentes, mesmo que elas a
rigor não façam parte da função:
O f := x -> piecewise(x<0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 1
(1.4.7)
O 'f(x)'=f(x);
f x =
1
x!0
0
otherwise
(1.4.8)
O fp := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
1 x Cπ
fp := x/f x K2 π floor
2
π
(1.4.9)
O fp(x);
1
0
x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
!0
otherwise
O
plot(fp(x),x=-2*Pi..4*Pi,thickness=2,
color=COLOR(RGB,.4,0,1),ytickmarks=2);
(1.4.10)
1
K6
K4
K2
0
2
4
6
8
10
12
x
O ;
Os coeficientes c e ak da série de Fourier são determinados a seguir
π
1
c=
f x dx
2 π Kπ
1
1
=
π= .
2
2π
π
1
ak =
π
=
f x cos k x dx
1
π
Kπ
π
cos k x dx
0
1 sin k x π
k
π
0
= 0, k = 1, 2, 3, . . . .
Os cálculos acima podem ser refeitos no Maple:
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
=
(1.4.11)
O assume(k_,integer);
O 1/Pi*Int('f(x)'*cos(k*x),x=-Pi..Pi);
π
f x cos k x dx
Kπ
π
(1.4.12)
O value(subs(k=k_,%));
(1.4.13)
0
(1.4.13)
O coeficiente bk é calculado da seguinte forma:
π
1
bk =
π
=
1
π
=
f x sin k x dx
1
π
π
cos k x
k
0
Kcos k π C1
1 K K1
kπ
=
=
sin k x dx
0
K
1
kπ
=
Kπ
π
k
0
se k é par
2
kπ
se k é ímpar
No Maple esses cálculos são realizados da seguinte forma (usando um artifício de subsitituição
para evitar o símbolo ~).
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
(1.4.14)
O f(x);
0
x !0
1
otherwise
(1.4.15)
O assume(k_,integer);
O 1/Pi*Int('f(x)'*sin(k*x),x=-Pi..Pi);
π
f x sin k x dx
Kπ
(1.4.16)
π
O subs(k_=k,value(subs(k=k_,%)));
K
K1 C K1
πk
k
(1.4.17)
O b := unapply(%,k);
(1.4.18)
b := k/K
K1 C K1
πk
k
(1.4.18)
Os primeiros termos da série com sin são
O seq(b(k)*sin(k*x),k=1..12);
2 sin x
2 sin 3 x
2 sin 5 x
2 sin 7 x
2 sin 9 x
, 0,
, 0,
, 0,
, 0,
, 0,
3
5
7
9
π
π
π
π
π
(1.4.19)
2 sin 11 x
,0
11
π
Portanto, a série de Fourier para f x é dada por
2 sin x
2 sin$3 x
2 sin$5 x
2 sin$7 x
1
C
C
C
C
C ...
2
3π
5π
7π
π
N
1 K K1 k sin k π
1
=
+
.
2 k= 1
kπ
>
No Maple a série de Fourier trunacada na ordem n pode ser construída da seguinte forma:
O FS := (x,n) -> 1/2+Sum(b(k)*sin(k*x),k=1..n);
n
1
FS := x, n / C b k sin k x
2
k= 1
>
Os 8 primeiros termos são
O value(FS(x,7));
1
2 sin x
2 sin 3 x
2 sin 5 x
2 sin 7 x
C
C
C
C
2
3
5
7
π
π
π
π
(1.4.20)
(1.4.21)
A seguir comparamos o gráfico da função f x com os das séries de Fourier truncadas até 10
termos:
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
(1.4.22)
O f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
(1.4.23)
O FS := (x,n) -> 1/2+Sum(b(k)*sin(k*x),k=1..n);
n
1
FS := x, n / C b k sin k x
2
k= 1
>
(1.4.24)
O plot([f_(x),FS(x,1),FS(x,3),FS(x,5),FS(x,7),FS(x,9)],x=-4.
.10,
color=[black,red,blue,green,magenta,coral],linestyle=[3,
1$5]);
1
0,8
0,6
0,4
0,2
K4
K2
0
2
4
6
8
10
x
O ;
Tomando mais termos na série de Fourier em geral dá sucessivamente melhores aproximações
para f f , exceto pelo fato de que a concordância não é muito boa nas "arestas"do gráfico de
f x . Tomemos, por exemplo, 50 termos na série:
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
(1.4.25)
O fp := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
1 x Cπ
fp := x/f x K2 π floor
2
π
(1.4.26)
O FS := (x,n) -> 1/2+Sum((1-(-1)^k)/(k*Pi)*sin(k*x),k=1..n);
n
1
1 K K1 k sin k x
FS := x, n / C
2
kπ
k= 1
>
(1.4.27)
O plot([fp(x),FS(x,50)],x=-4..4,numpoints=80,
color=[black,COLOR(RGB,0.3,0.2,1)],linestyle=[3,1]);
1
0,8
0,6
0,4
0,2
K4
K3
K2
K1
0
1
2
x
3
4
O value(FS(Pi/2,infinity));
1
Quando x =
(1.4.28)
π
, a série torna-se:
2
1
2
1
1
1
1
C
1K C K C K
2
3
5
7
9
π
1
2
1
2
=
C
arctan$1 =
C
.
2
2
π
π
1
C ...
11
π
= 1.
4
De fato,
O FS(Pi/2,infinity);
N
1
C
2
k= 1
>
1 K K1
k
sin
1
kπ
2
(1.4.29)
kπ
O value(FS(Pi,infinity));
1
2
(1.4.30)
0.5000000000
(1.4.31)
O evalf(%);
É interessante notar que quando x = 0, ou mais geralmente, quando x = k π, onde k é um inteiro, a
série de Fourier converge para o valor 1/2. Portanto, esta não é uma genuína expansão de f x . De
fato, a série de Fourier converge para F x , onde
1
x = Kπ
2
F x =
0
Kπ ! x and x ! 0
1
2
x=0
1
0 ! x and x ! π
,
e F x é periódica com período 2 π.
Ou seja,
O F:=x-> PIECEWISE([1/2, x = -Pi],[0, -Pi < x and x < 0],
[1/2, x = 0],[1, 0 < x and x < Pi]);
(1.4.32)
F := x/
1
2
x = Kπ
0
Kπ ! x and x ! 0
1
2
x=0
1
0 ! x and x ! π
(1.4.32)
O FP := x -> F(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi))):
O plot([FP(x)],x=-4..4,
color=[COLOR(RGB,0.1,0.5,1)],linestyle=solid);
1
0,8
0,6
0,4
0,2
K4
K3
K2
K1
0
1
2
x
3
4
Vamos agora construir uma animação mostrando aproximações sucessivas de funções usando
séries de Fourier.
Note: The function FS has been changed to avoid duplication of frames caused by the zero sine
coefficients
O restart:
O f := x -> piecewise(x<0,0,1);
f := x/piecewise x ! 0, 0, 1
O fp := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
1 x Cπ
fp := x/f x K2 π floor
2
π
(1.4.33)
(1.4.34)
O FS := (x,n) -> 1/2+Sum((1-(-1)^k)/(k*Pi)*sin(k*x),k=1..n);
n
1
1 K K1 k sin k x
FS := x, n / C
2
kπ
k= 1
>
A forma expandida será tipicamente,
O value(FS(x,16));
1
2 sin x
2 sin 3 x
2 sin 5 x
2 sin 7 x
2 sin 9 x
C
C
C
C
C
2
3
5
7
9
π
π
π
π
π
C
2 sin 11 x
2 sin 13 x
2 sin 15 x
C
C
11
13
15
π
π
π
(1.4.35)
(1.4.36)
Façamos os gráficos
O with(plots):
O frames := [seq(plot([fp(x),FS(x,n)],x=-4..4,numpoints=80,
color=[red,COLOR(RGB,.3,0.4,1)]),n=1..30)]:
O plots[display](frames,insequence=true);
1
0,8
0,6
0,4
0,2
K4
K3
K2
K1
0
1
2
x
3
4
O ;
Exemplo2
Consideremos a seguinte função
f x = x, Kπ % x ! π,
e f x é periódica com período 2 π.
Para construir o gráfico de f x definimos inicialmente a função no intervalo Kπ % x ! π e então
fazemos a extensão periódica utilizando o comando floor.
A função periódica será designada por fp.
O restart:
O f := x -> x:
'f(x)'=f(x);
fp := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(fp(x),x=-2*Pi..4*Pi,color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=
2);
f x =x
fp := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
3
2
1
K6
K4
K2
0
K1
2
4
6
8
10
12
x
K2
K3
Os coeficientes de Fourier de f x podem ser determinados da seguinte forma:
π
1
c=
2π
=
f x dx
Kπ
π
1
x dx
2 π Kπ
= 0.
π
1
x cos k x dx
ak =
π Kπ
= 0, k = 1, 2, 3, . . . .
pois x cos k x é uma função ímpar. No Maple temos
O assume(k_,integer):
O 1/Pi*Int(x*cos(k*x),x=-Pi..Pi);
π
x cos k x dx
Kπ
(1.5.1)
π
O value(subs(k=k_,%));
0
(1.5.2)
O outro coeficiente é dado por
1
bk =
π
=
1
π
π
f x sin k x dx
Kπ
π
x sin k x dx
Kπ
π
2
=
π
x sin k x dx,
0
pois x sin k x é uma função par.
Vamos utilizar intergração por partes:
dv
cos k x
x sin k x dx = u
dx, onde u = x and v = K
.
dx
k
dv
du
Usando a fórmula u
dx = u v K v
dx
dx
dx
temos
2
bk =
π
π
x cos k x
K
k
=K
2
K
π
0
π
K
0
cos k x
k
dx
π
2 x cos k x
2 sin k x
C
πk
π k2
0
2 π cos k π
C0
kπ
2 cos k π
=K
C0
k
=K
= K
= K1
K
=
2
k
K1
2
k
2
k
kC1
2
k
k
k par
.
k ímpar
No Maple temos
O assume(k_,integer):
O 1/Pi*Int(x*sin(k*x),x=-Pi..Pi);
π
x sin k x dx
Kπ
π
O subs(k_=k,value(subs(k=k_,%)));
2 K1 1 C k
k
O b := unapply(%,k);
(1.5.3)
(1.5.4)
b := k/
2 K1
k
kC1
(1.5.5)
Os primeiros termos da série são, portanto
O seq(b(k)*sin(k*x),k=1..6);
2
2
1
1
2 sin x , Ksin 2 x ,
sin 3 x , K sin 4 x ,
sin 5 x , K sin 6 x
3
5
2
3
(1.5.6)
A série de Fourier para f(x) é portanto:
2 sin x Ksin$2 x C
2 sin$3 x
sin$4 x
2 sin$5 x
sin$6 x
K
C
K
C ...
3
2
5
3
N
=
> K1
kC1
k= 1
2 sin k x
k
.
Para construir séries finitas truncadas definimos a função
O FS := (x,n) -> Sum(b(k)*sin(k*x),k=1..n);
n
FS := x, n /
>b k
sin k x
(1.5.7)
k= 1
Assim, por exemplo,
O FS(x,9);
9
>2
k= 1
K1
1 Ck
sin k x
k
(1.5.8)
O value(%);
2 sin x Ksin 2 x C
C
2
1
2
1
sin 3 x K
sin 4 x C
sin 5 x K
sin 6 x
3
2
5
3
2
1
2
sin 7 x K
sin 8 x C
sin 9 x
7
4
9
Vamos agora comparar o gráfico da série truncada em k = 2,5, e 20 com o da função fp x :
O plot([fp(x),FS(x,2),FS(x,5),FS(x,20)],x=-4..10,
color=[black,red,blue,green],linestyle=[6,1$5]);
(1.5.9)
3
2
1
K4
K2
0
K1
2
4
6
8
10
x
K2
K3
O ;
Notemos que quando x = 0, ou de de forma mais geral, x = k π, a série de Fourier converge para o
valor 0. Por outro lado, por exemplo,
O fp(3*Pi);
Kπ
(1.5.10)
Portanto, esta não é uma genuína expansão da função f, e sim a expansão de uma função obtida
modificando a definição de f x , de modo nesses pontos a função tenha valor 0. Ou seja,
F x =
0
x = Kπ
x
Kπ ! x and x ! π
f x C2 π = f x
É possível mostrar que a expansão em série de Fourier para esta função coincide com aquela da
função original.
Podemos também construir uma animação para mostrar sucessivas aproximações da função
através da série de Fourier, em sequência.
O frames := [seq(plot([fp(x),FS(x,i)],x=-4..4,numpoints=80,
color=[black,COLOR(RGB,.6,0,3)],linestyle=[3,1]),i=1.
.20)]:
O plots[display](frames,insequence=true);
3
2
1
K4
K3
K2
K1
K1
1
2
x
3
4
K2
K3
O ;
Exercícios
Q1
Em cada um dos casos mostre que as dadas funções são ortogonais no intervalo indicado.
2
(a) f x = x, g x = x ; K2, 2
(b) f x = x3, g x = x2 C1; K1, 1
(c) f x = ex, g x = x eKx KeKx; 0, 2
2
(d) f x = cos x, g x = sin x; 0, π
π π
(e) f x = x, g x = cos$2 x; K ,
2 2
5π
π
(f) f x = ex, g x = sin x;
,
4
4
__________________________________
O ;
Q2
Encontre a série de Fourier para a função f x definida abaixo e compare com os gráficos de
algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f x
f x =
K1
Kπ % x and x ! 0
1
0 % x and x ! π
,
e f x = f x C2 π
__________________________________
O f := x -> piecewise(x<0,-1,1):
'f(x)'=f(x);
f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(f_(x),x=-2*Pi..5*Pi,thickness=2,
color=COLOR(RGB,.4,0,1),ytickmarks=3);
K1
x!0
f x =
1
otherwise
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
1
K5
0
5
10
15
x
K1
__________________________________
O ;
Q3
Encontre a série de Fourier para a função f x definida abaixo e compare com os gráficos de
algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f x
f x = x , Kπ % x ! π,
e f x = f x C2 π
.
__________________________________
O f := x -> abs(x);
f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(f_(x),x=-2*Pi..6*Pi,
color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=2);
f := x/ x
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
3
2
1
K5
0
5
10
x
15
__________________________________
O ;
Q4
O ;
Encontre a série de Fourier para a função f x definida abaixo e compare com os gráficos de
algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f x .
f x =
0
Kπ % x and x ! 0
x
0 % x and x ! π
,
e f x = f x C2 π
__________________________________
O f := x -> piecewise(x<0,0,x):
'f(x)'=f(x);
f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(f_(x),x=-2*Pi..6*Pi,
color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=2);
0
x !0
f x =
x
otherwise
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
3
2
1
K5
0
5
10
x
15
O ;
Q5
Encontre a série de Fourier para a função f x definida abaixo e compare com os gráficos de
algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f x .
f x = x2, Kπ % x ! π,
e f x = f x C2 π
__________________________________
O f := x -> x^2;
f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(f_(x),x=-2*Pi..6*Pi,color=COLOR(RGB,.4,0,1),
thickness=2);
2
f := x/x
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
9
7
5
3
1
K5
0
5
10
x
15
O ;
Q6
Encontre a série de Fourier para a função f x definida abaixo e compare com os gráficos de
algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f x .
3
f x = x , Kπ % x ! π,
e f x = f x C2 π
O f := x -> x^3;
f_ := x -> f(x-2*Pi*floor((x+Pi)/(2*Pi)));
plot(f_(x),x=-2*Pi..6*Pi,
color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=2);
f := x/x3
f_ := x/f x K2 π floor
1 x Cπ
2
π
30
20
10
K5
0
K10
5
10
x
15
K20
K30
O ;
2 Séries de Fourier para funções periódicas gerais
Teoria Geral
Dada uma função f x definida para α % x ! β, podemos estender f x para uma função
periódica fp x , com período T = β Kα definida para todos os números reais da seguinte forma.
Para um número x maior que β, subtraia T de x até que o número resultanteu = x Kk T, onde k é
um inteiro positivo, esteja no intervalo α % x ! β. Similarmente, para um número x menor do
que α, adicione um conveniente múltiplo inteiro kT de T de modo que u = x Ck T esteja no
intervalo α % x ! β. Em cada um dos casos defina a função estendida f x como sendo f u .
Em outras palavras, dado qualquer número real x, há um único inteiro (positivo ou negativo) k tal
que u = x Ck T está no intervalo α % x ! β, e definimos f x como sendo igual a f u . Uma
situação típica é ilustrada abaixo.
α u=x-2T
β
x
Vamos supor agora que temos uma função periódica com período T . A função f x pode ser
descrita completamente especificando como os seus valores são obtidos em qualquer intervalo
α % x ! β , onde β Kα = T . Em particular, f x é determinada por seus valores no intervalo 0
% x ! T.
Tx
Definimos uma função periódica g x = f
. Esta função tem período 2 π, e o gráfico de
2π
2π
g x é obtidos dilantando (ou encolhendo) o gráfico de f x por um fator
. Note que g x
T
pode ser descrita completamente pela especificação de x no intervalo 0 % x ! 2 π.
A sua série de Fourier
c Ca1 cos x Cb1 sin x Ca2 cos$2 x Cb2 sin$2 x Ca3 cos$3 x Cb3 sin$3 x C . . . ------- (i),
pode ser especificada no intervalo 0 % x ! 2 π por
1
c=
2π
2π
0
1
g x dx, ak =
π
2π
0
1
g x cos k x dx and bk =
π
k = 1, 2, 3, . . . .
2π
g x sin k x dx,
0
Podemos, no entanto, computar os coeficientes relativamente à função original f x .
Por exemplo, para k = 1, 2, 3, . . . ,
1
ak =
π
2π
g x cos k x dx
0
T
2π
T
2π
u=
1
=
π
2π
Tx
2π
f
0
du =
cos k x dx ...
2π
T
T
2
=
T
=
du = dx
u
x =$2 π implica u = T
2kπu
T
du
f x cos
2kπx
T
dx,
0
2π
T
x =$0 implica u =$0
dx
f u cos
0
T
2
T
x=
x
pois a variável de integração é muda.
1
Similarmente, c =
T
T
2
f x dx and bk =
T
0
T
f x sin
0
2kπx
T
dx for k = 1, 2, 3, . . . .
2πx
, é razoável definir a série de Fourier de f x por:
T
N
2kπx
2kπx
cC
ak cos
Cbk sin
T
T
k= 1
=
2πx
2πx
4πx
4πx
6πx
c Ca1 cos
Cb1 sin
Ca2 cos
Cb2 sin
Ca3 cos
T
T
T
T
T
6πx
Cb3 sin
C ...
T
------- (ii).
Como f x = g
>
Sumário
Seja f x uma funçãp definida no intervalo α, β e seja T = β Kα.
Podemos estender f x a uma função periódica com período T impondo f x Ck T = f x para
cada inteiro k.
A série de Fourier da função f x is:
N
F x = cC
>
k= 1
c Ca1 cos
2πx
T
Cb1 sin
ak cos
2πx
T
2kπx
T
Cbk sin
=
4πx
Ca2 cos
T
2kπx
T
Cb2 sin
------- (i)
4πx
T
Ca3 cos
6πx
T
Cb3 sin
6πx
T
C ...
,
onde c =
ak =
1
T
β
f x dx,
α
β
2
T
f x cos
2kπx
T
dx
α
2
e bk =
T
β
2kπx
T
f x sin
dx.
α
Notas:
• Supomos que as integrais envolvidas na definição dos coeficientes de Fourier c, ak and bk
existem e resultam em valores reais.
• Sob condições adequadas a série de Fourier converge a f x , caso em que a série de Fourier
(i) é chamada expansão de Fourier de f x . Se f x e a derivada f '(x) são contínuas por
partes, ou seja, se f x and f '(x) são contínuas exceto em um número finito de pontos em
qualquer período, e não temos descontinuidades infinitas nesses pontos, então a série de
Fourier converge a f x em em cada ponto onde f x é contínua. Em qualquer ponto de
descontinuidade x = d a série de Fourier converge para a média dos valores dos limites à direita
e à esquerda:
lim f x
x/dK
C limC f x
x/d
2
=
f d K Cf d C
.
2
y = f(x)
f(d-) + f(d+)
_________
2
x=d
Examplo 1
Seja a função f definida por
f x =
π
1 Kx , 0 % x ! 2,
2
com f x C2 = f x ,
e considere a correspondente função (dilatada) g x definida por g x = f
x
.
π
Então
g x =
π Kx
, 0 % x ! 2 π,
2
com f x C2 π = f x
Façamos os gráficos de f x e g x :
O restart
O f := x -> Pi*(1-x)/2:
O 'f(x)'=f(x);
f x =
1
π 1 Kx
2
O f_ := x -> f(x-2*floor(x/2)):
O g := x -> (Pi-x)/2:
O 'g(x)'=g(x);
1
1
g x =
πK
x
2
2
(2.3.1)
(2.3.2)
O g_ := x -> g(x-2*Pi*floor(x/(2*Pi))):
O pi := evalf(Pi):
O plot([f_(x),g_(x)],x=-2..10,y,color=[COLOR(RGB,.4,0,.8),
red],thickness=[1,2],
xtickmarks=[0=`0`,2=`2`,pi=`p`,4=`4`,6=`6`,2*pi=`2p`,8=
`8`,3*pi=`3p`,10=`10`],
ytickmarks=3,font=[SYMBOL,10],labelfont=[HELVETICA,10])
;
y
1
0
2
π
4
62π
8
3π 10
x
K1
O
A série de Fourier de g x é:
N
> sinkk x = sin x C sin$22 x C sin$33 x C sin$44 x C sin$55 x C sin$66 x C sin$77 x
k= 1
C
sin$8 x
C ...
8
.
Podemos verificar este resultado:
O
O Tg := 2*Pi;
Tg := 2 π
(2.3.3)
O bg:=k-> 2/Tg*int(g(x)*sin(k*x), x = 0 .. Tg);
Tg
2
bg := k/
g x sin k x dx
0
Tg
O sum(bg(k)*sin(k*x), k = 1 .. 8);
1
1
1
1
1
sin x C
sin 2 x C
sin 3 x C
sin 4 x C
sin 5 x C
sin 6 x
2
3
4
5
6
C
1
1
sin 7 x C
sin 8 x
7
8
Portanto, a série de Fourier de f x é
N
> sin kk π x = sin π x C sin$22 π x C sin$33 π x C sin$44 π x C sin$55 π x C sin$66 π x
k= 1
C
sin$7 π x
sin$8 π x
C
C ...
7
8
.
Podemos verificar este resultado:
(2.3.4)
(2.3.5)
O T := 2;
T := 2
(2.3.6)
O assume(k, integer);
O b:=k-> 2/T*int(f(x)*sin(2*k*Pi*x/T), x = 0 .. T);
T
2
2kπx
T
f x sin
0
b := k/
dx
(2.3.7)
T
O sum(b(k)*sin(2*k*Pi*x/T), k = 1 .. 8);
1
1
1
1
sin π x C
sin 2 π x C
sin 3 π x C
sin 4 π x C
sin 5 π x
2
3
4
5
C
(2.3.8)
1
1
1
sin 6 π x C
sin 7 π x C
sin 8 π x
6
7
8
Façamos os gráficos de f x junto com a série de Fourier truncada:
sin$2 π x
sin$3 π x
sin$4 π x
ftr = sin π x C
C
C
.
2
3
4
O f := x -> Pi*(1-x)/2;
f := x/
1
π 1 Kx
2
(2.3.9)
O f_ := x -> f(x-2*floor(x/2));
f_ := x/f x K2 floor
1
x
2
(2.3.10)
O ftr := sum(b(k)*sin(2*k*Pi*x/T), k = 1 .. 4);
1
1
1
ftr := sin π x C
sin 2 π x C
sin 3 π x C
sin 4 π x
2
3
4
(2.3.11)
O plot([f_(x),ftr],x=-2..5,`f(x)`,
color=[COLOR(RGB,.4,0,.8),red]);
1,5
1
f(x)
0,5
K2
K1
0
K0,5
K1
K1,5
1
2
3
x
4
5
O ;
Exemplo 2
Seja f definida por:
f x =
0
0 % x and x ! 1
2
1 % x and x ! 3
,
sendo f x C3 = f x
Façamos o gráfico de f x :
O restart;
O f := x -> piecewise(x<1,0,2):
O 'f(x)'=f(x);
f x =
0
x!1
2
otherwise
(2.4.1)
O f_ := x -> f(x-3*floor(x/3)):
O 'f_(x)'='f(x-3*floor(x/3))';
1
x
3
f_ x = f x K3 floor
(2.4.2)
O ``=value(rhs(%));
0
=
1
x !1
3
x K3 floor
2
(2.4.3)
otherwise
O plot(f_(x),x=-1..8,y,color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=2);
2
1,5
y
1
0,5
K1
0
1
2
3
4
x
O ;
O coeficiente constante da série de Fourier de f x é
c=
1
3
5
6
7
8
3
f x dx
0
1
=
3
3
2 dx
1
4
= .
3
O f := x -> piecewise(x<1,0,2):
O T := 3;
T := 3
(2.4.4)
O c:=1/T*Int('f(x)',x=0..3);
c :=
3
1
3
f x dx
(2.4.5)
4
3
(2.4.6)
0
O c:=value(%);
c :=
O ;
os coeficientes da função cosseno são dados por
2
ak =
3
3
1
3
dx
2kπx
3
dx
cos
2kπx
3
dx
4
3
=
.
sin
3 2kπ
2kπx
3
2
=
3
2 cos
1
4
=
3
=
2kπ
3
3
1
2
sin
kπ
=K
Para k = 1, 2, 3, 4, . . . , sin
2kπx
3
f x cos
2kπx
3
2
sin
kπ
tem valores
3
1
3
1
2kπ
.
3
3
3
,K
, 0,
2
2
a1 = K
3
3
,K
, 0,
2
2
3
, . . . , se modo que os coeficientes ak são:
2
3
3
3
3
3
, a2 =
, a3 = 0, a4 = K
, a5 =
, a6 = 0, a7 = K
, ....
2π
4π
5π
7π
π
De fato,
O a:=k->2/T*int('f(x)'*cos(2*k*Pi*x/T),x=0..3);
3
2
2kπx
T
'f x ' cos
0
a := k/
dx
(2.4.7)
T
O a(n);
2 2 sin n π cos n π Ksin
2
nπ
3
(2.4.8)
nπ
O interface(showassumed = 0); n := 'n'; assume(n, integer);
1
n := n
(2.4.9)
O a(n);
2
nπ
3
nπ
2 sin
K
(2.4.10)
O ;
Os coeficientes da função seno são dados por
2
bk =
3
2
=
3
4
=
3
3
f x sin
1
3
2 sin
1
3
sin
1
2kπx
3
2kπx
3
dx
2kπx
3
dx
2kπx
4
3
=K .
cos
3 2kπ
3
=K
dx
2kπx
2
cos
3
kπ
3
1
3
1
=K
=
2
kπ
2kπ
3
1 Kcos
2
kπ
cos
2kπ
3
K1 .
2kπ
K1 tem valores
3
3
3
3
3
3
3
3
K , K , 0, K , K , 0, K , K , 0, K , . . . , de modo que os coeficientes bk são:
2
2
2
2
2
2
2
Para k = 1, 2, 3, 4, . . . , cos
3
3
3
3
3
, b3 = 0, b4 = K
, b5 = K
, b6 = 0, b7 = K
, ....
b1 = K , b2 = K
π
2π
4π
5π
7π
O b:=k->value(2/T*Int('f(x)'*sin(2*k*Pi*x/T),x=0..3));
3
2
b := k/value
2kπx
T
'f x ' sin
0
dx
(2.4.11)
T
O b(k);
2 K2 cos k π
2
C1 Ccos
2
kπ
3
(2.4.12)
kπ
O value(b(n));
2 K1 Ccos
2
nπ
3
(2.4.13)
nπ
O ;
O FS:=h->c+sum(a(n)*cos(2/T*n*Pi*x)+b(n)*sin(2/T*n*Pi*x),n=1.
.h);
h
FS := h/c C
>
n= 1
a n cos
2nπx
T
Cb n sin
2nπx
T
(2.4.14)
O FS(6);
(2.4.15)
4
K
3
K
2
πx
3
3 cos
3 sin
K
π
4
πx
3
π
sin
3
2
10
πx
3
3 cos
1
C
5
K
π
2
πx
3
π
1
2
8
πx
3
3 cos
1
4
C
sin
(2.4.15)
π
K
π
3
K
5
4
πx
3
3 cos
3
4
sin
8
πx
3
π
10
πx
3
π
O ;
O plot([f_(x),seq(FS(i),i=1..7)],x=-1..5,y,
color=[black,red,blue,green,magenta,coral,brown,navy],
linestyle=[3,1$5]);
2
1,5
y
1
0,5
K1
0
1
2
3
4
5
x
O f_(x);
0
2
x K3 floor
1
x !1
3
(2.4.16)
otherwise
O ;
Façamos uma animação do processo de convergência. Note que nos extremos da onda quadrada a
convergência é muito lenta.
O frames := [seq(plot([f_(x),FS(i)],x=-1..5,y,
color=[black,red],numpoints=50+i,linestyle=[3,1]),i=1.
.50)]:
plots[display](frames,insequence=true);
2
1,5
y
1
0,5
K1
0
1
2
3
4
5
x
O ;
Exemplo 3
Seja f definida por
K1
f x =
K2 % x and x ! 0
0
0 % x and x ! 1 ,
1
1 % x and x ! 2
com f x C4 = f x .
Para fazer o gráfico de f x inicialmente definimos a função no intervalo K2 % x ! 2, e depois
estendemos a definição de f x para todos os números reais usando a periodicidade. Tal função
estendida é denotada por f_ x .
O restart;
O f := x -> piecewise(x<0,-1,x<1,0,1):
O 'f(x)'=f(x);
K1
x !0
f x =
0
x !1
1
otherwise
(2.5.1)
O f_ := x -> f(x-4*floor((x+2)/4)):
O 'f_(x)'='f(x-4*floor((x+2)/4))';
(2.5.2)
1
1
xC
4
2
f_ x = f x K4 floor
(2.5.2)
O plot(f_(x),x=-4..8,color=COLOR(RGB,.4,0,1),thickness=2);
1
0,5
K4
0
K2
2
4
x
K0,5
6
8
K1
O ;
Calculemos os coeficientes da série de Fourier. O termo constante é dado por
2
1
c=
4
=
f x dx
K2
1
4
K1
1
=K .
4
O T := 4;
T := 4
(2.5.3)
O f := x -> piecewise(x<0,-1,x<1,0,1):
O c:=1/4*int(f(x),x=-T/2..T/2);
1
c := K
4
(2.5.4)
O ;
Os coeficientes dos cossenos são dados por
1
ak =
2
1
=
2
1
=
2
0
K2
2
K
kπ
2
f x cos
K2
kπx
K1 `.` cos
2
0
sin
kπx
2
K2
kπx
2
1
dx C
π
1
C
2
dx
2
1 `.` cos
1
2
kπ
kπx
2
dx
2
sin
kπx
2
1
1
kπ
=0C
=K
kπ
2
Para k = 1, 2, 3, 4, . . . , sin
coeficientes ak são:
0 Ksin
1
sin
kπ
kπ
2
kπ
.
2
tem valores 1, 0, K1, 0, 1, 0, K1, . . . , de modo que os
1
1
1
1
a1 = K , a2 = 0, a3 =
, a4 = 0, a5 = K
, a6 = 0, a7 =
, ...
π
3π
5π
7π
De fato,
O a:=k->2/T*int('f(x)'*cos(2*k*Pi*x/T),x=-T/2..T/2);
1
T
2
2
2kπx
T
'f x ' cos
K
a := k/
1
T
2
dx
(2.5.5)
T
O a(n);
sin
K
1
nπ
2
nπ
(2.5.6)
O b:=k->2/T*int('f(x)'*sin(2*k*Pi*x/T),x=-T/2..T/2);
1
T
2
2
K
b := k/
2kπx
T
'f x ' sin
1
T
2
dx
(2.5.7)
T
O b(n);
1
nπ
2
K2 cos n π C1 Ccos
(2.5.8)
nπ
O FS:=h->c+sum(a(n)*cos(2/T*n*Pi*x)+b(n)*sin(2/T*n*Pi*x),n=1.
.h);
h
FS := h/c C
>
a n cos
n=1
2nπx
T
Cb n sin
2nπx
T
(2.5.9)
O FS(6);
K
1
K
4
cos
1
πx
2
π
3 sin
C
1
πx
2
π
K
sin π x
π
C
1
3
cos
3
πx
2
π
(2.5.10)
sin
C
3
πx
2
π
K
cos
1
5
5
πx
2
π
C
3
5
sin
5
πx
2
π
K
1 sin 3 π x
3
π
O ;
O plot([f_(x),seq(FS(i),i=1..7)],x=-3..3,y,
color=[black,red,blue,green,magenta,coral,brown,navy],
linestyle=[3,1$5]);
1
y
K3
K2
K1
0,5
0
1
2
3
x
K0,5
K1
O f_(x);
K1
x K4 floor
1
1
xC
4
2
!0
0
x K4 floor
1
1
xC
2
4
!1
1
(2.5.11)
otherwise
Façamos uma animação do processo de convergência. Note que nos extremos da onda quadrada a
convergência é muito lenta.
O frames := [seq(plot([f_(x),FS(i)],x=-5..5,y,
color=[black,red],numpoints=50+i,linestyle=[3,1]),i=1.
.50)]:
O
plots[display](frames,insequence=true);
1
y
K4
0,5
0
K2
2
4
x
K0,5
K1
O ;
Exercícios
Para cada função f definida a seguir,
(a) Determine as fórmulas para os coefiecientes de Fourier da funcção f e mostre os primeiros
termos da série.
(b) Compare os gráficos de algumas séries de Fourier truncadas com o gráfico de f .
1
2
f x =
0
0 % x and x ! 2
3
2 % x and x ! 4
f x C4 = f x
f x =
1
2
,
K1 % x and x ! 0
Kx
0 % x and x ! 1
f x C2 = f x .
3
4
f x = sin x, 0 % x ! π,
f x Cπ = f x
π
π
%x ! ,
2
2
f x Cπ = f x
f x = sin x, K
,
O ;
3 Forma complexa da série de Fourier
Base exponencial complexa e coeficientes da expansão
Seja a série de Fourier de uma função periódica f x dada por
N
kπx
Cbk sin
L
k= 1
onde f x C2 L = f x . Usando as fórmulas de Euler
ei θ = cos θ Ci sin θ
e
iθ
Ki θ
e Ce
cos θ =
2
iθ
e KeKi θ
sin θ =
2i
F x =c+
>
kπx
L
ak cos
, (i)
podemos reescrever (i) como
N
F x =c+
>
ak
k= 1
e
kπi x
L
K
Ce
2
kπi x
L
e
Cbk
kπi x
L
K
Ke
2i
kπi x
L
.
ou
N
F x =c+
>
ak Ki bk
Definindo c0 = c, ck =
ak Ki bk
2
e
2
k= 1
ak Ci bk
and cKk =
>
k= 1
ck e
C
ak Ci bk
K
e
2
kπi x
L
.
temos
2
N
F x = c0 +
kπi x
L
kπi x
L
K
CcKk e
kπi x
L
,
ou
N
F x = c0 +
>c e
k= 1
kπi x
L
k
KN
k = K1
N
F x =
>c e
+
>ce
k = KN
kπi x
L
k
k
kπi x
L
,
.
Esta é a chamada série de Fourier complexa de f x . Os coeficientes da séries são dados por
ck =
ak Ki bk
2
L
1
=
2L
KL
L
1
=
2L
L
kπix
f x cos
L
dx Ki
KL
kπix
L
f x cos
KL
K
f x e
kπi x
L
kπix
L
kπix
L
Ki f x sin
L
1
=
2L
f x sin
dx
dx
dx.
KL
Similarmente,
ak Ci bk
cKk =
L
1
=
2L
KL
f x cos
KL
1
=
2L
1
além disso, c0 =
2L
L
kπix
f x cos
L
L
1
=
2L
2
dx Ci
f x sin
KL
kπix
L
Ci f x sin
kπi x
L
L
f x e
kπix
L
kπix
L
dx
dx
dx.
KL
L
f x dx.
KL
Portanto
1
ck =
2L
L
K
f x e
kπi x
L
dx,
KL
para todos valores inteiros de k.
Notas:
• Como f x C2 L = f x
ck pode também ser escrito como
1
ck =
2L
2L
K
f x e
kπi x
L
dx.
0
• Se f x é uma função real, então cKk = ck, onde z denota o complexo conjugado de z e
ck = a2k Cb2k para k s 0.
Neste caso os coeficientes na forma trigonométrica da série de Fourier podem ser recuperados
a partir dos coeficientes complexos ck através das formulas:
ak = ck CcKk = ck Cck = 2 Re ck ,
bk = i ck KcKk = i ck Kck =K2 Im ck .
_________________________________________________
Ortogonalidade
kπi x
L
As funções ηk x = e
, para k = . . . , K3, K2, K1, 0, 1, 2, 3, . . . , que aparecem na série de
Fourier complexa
N
>ce
F x =
kπi x
L
k
k = KN
,
formam um conjunto
K
kπi x
L
K
2 πi x
L
K
πi x
L
2 πi x
L
πi x
L
...,e
, ...,e
,e
, 1, e
,e
que é mutuamente ortogonal relativamente ao produto escalar
, ...,e
L
f x ,g x =
f x g x dx .
KL
De fato,
L
ηk x ,ηm x =
e
kπi x
L
K
e
m πi x
L
dx
KL
=
0
msk
2L
m=k
(ii)
Verifiquemos a relação (ii). Suponhamos que m s k. Então
L
ηk x , ηm x =
L
=
e
ηk x ηm x dx
KL
kπi x
L
K
e
m πi x
L
dx
KL
L
=
e
kKm πi x
L
dx
KL
=
kKm πi x
L
L
e
k Km π i
=
L
k Km π i
=
L
k Km π i
L
KL
kKm πi
e
K1
KeK k K m
kKm
K K1
m Kk
= 0.
Por outro lado,
L
ηk x , ηk x =
KL
πi
ηk x ηk x dx
kπi x
L
, ... ,
L
=
e
kπi x
L
K
e
kπi x
L
dx
KL
L
=
1 dx
KL
= 2 L.
No Maple este resultado pode ser calculado da seguinte forma:
O f := k -> exp(I*k*Pi*x/L) ;
f := k/e
Ikπx
L
(3.1.1)
O fc := k -> exp(-I*k*Pi*x/L) ;
K
fc := k/e
Ikπx
L
(3.1.2)
O assume(k, integer); assume(m, integer);
O int(f(k)*fc(m), x = -L .. L);
0
(3.1.3)
O int(f(k)*fc(k), x = -L .. L);
2L
(3.1.4)
Podemos definir a magnitude de f x pela relação
L
f x
=
f x ,f x =
L
f x f x dx =
KL
f x
2
dx.
KL
Podemos mostrar que as regras acima satisafazem aquelas que definem formalmente um produto
interno, ou seja,
(a) f x , g x = g x , f x ----- o produto interno é simetricamente conjugado.
(b) ISe r e s são escalares complexos, então
r f x Cs g x , h x = r f x , h x Cs f x , h x
e
h x , r f x Cs g x = r h x ,f x Cs h x , f x ----- o produto interno é
bilinear.
(c) f x , g x is real e não negativo e f x , f x = 0 quando f x = 0 ----- o produto interno
é positivo definido.
Do ponto de vista de espaços vetoriais uma função é considerada como um vetor que pode ser
expressa como uma combinação linear dos vetores de base {ηk x , ηKk x
N
f x =
>ce
k = KN
ou
k
kπi x
L
N
f x =
>cη
k = KN
k
k
x ,
kπi x
L
onde ηk x = e
.
As componentes de f x com relação a esta base são as componente de Fourier ck . Estas
componentes podem ser determinadas projetando-se f x sobre cada função de base, ou seja,
N
>cη
f x , ηm x =
k = KN
N
=
>c
k = KN
k
k
k
,ηm x
x
ηk x , ηm x
= cm ηm x , ηm x
= cm 2 L .
Hence
cm =
1
=
2L
1
f x , ηm x
2L
L
K
f x e
m πi x
L
dx .
KL
O ;
Examplo 1
Seja f definida por
f x = x, 0 % x ! 2 π,
f x C2 π = f x .
Determinemos a expansão de Fourier desta função na forma complexa. O gráfico desta função é
mostrado abaixo:
O restart;
O f := x -> x-2*Pi*floor(x/(2*Pi));
plot(f(x),x=-2*Pi..20,color=COLOR(RGB,.4,0,.9));
1 x
f := x/x K2 π floor
2 π
6
5
4
3
2
1
K5
0
5
10
x
15
20
O ;
O coeficiente constante é
2π
1
c0 =
2π
1
=
2π
x dx
0
2
2π
x
2
0
= π.
Os outros coeficientes são dados por
1
ck =
2π
2π
Ki k x
xe
dx.
0
Notemos que
eKi k x
xe
dx = u
dx, onde u = x e v =
.
Ki k
dv
du
dx = u v K v
Usando a fórmula de integração por partes u
dx
dx
dv
dx
Ki k x
K2 k π i
=
2π
x eKi k x
Ki k
1
ck =
2π
2πe
K2 k π i
De fato,
O assume(k, integer);
O L := Pi;
0
1
K
2π
1
eKi k x
2π
Kk2
1
=
C0
Kk i
i
= .
k
K
2π
0
dx , temos
eKi k x
dx
Ki k
2π
0
(3.2.1)
L := π
(3.2.1)
O c:=k->int(x*exp(-I*k*Pi*x/L), x = 0 .. 2*Pi)/(2*L);
2π
K
xe
c := k/
O
1
2
Ikπx
L
dx
0
(3.2.2)
L
c(k);
I
k
(3.2.3)
π
(3.2.4)
O c(0);
A série até uma ordem h é dada por
O FS :=h-> c(0)+sum(c(n)*exp(I*n*Pi*x/L), n = 1 .. h)+sum(c
(n)*exp(I*n*Pi*x/L), n = -h .. -1);
h
FS := h/c 0 C
>c n
e
In πx
L
K1
C
n=1
>cn
e
In πx
L
(3.2.5)
n = Kh
O FS(7);
1
1
1
1
1
1
Ix
2 Ix
3 Ix
4 Ix
5 Ix
6 Ix
7 Ix
π CI e C
Ie C
Ie C
Ie C
Ie C
Ie C
Ie
2
3
4
5
6
7
K
(3.2.6)
1
1
1
1
1
1
I eK7 I x K
I eK6 I x K
I eK5 I x K
I eK4 I x K
I eK3 I x K
I eK2 I x KI eKI x
7
6
5
4
3
2
Os coeficientes ak e bk na correspondente série trigonométrica para f x são dados por
O a:=k->2*Re(c(k)); b:=k->-2*Im(c(k));
a := k/2 R c k
b := k/K2 I c k
(3.2.7)
O a(k);b(k);
0
K
2
k
(3.2.8)
O FStrig := h-> c(0)+sum(a(n)*cos(n*Pi*x/L)+b(n)*sin(n*Pi*
x/L), n = 1 .. h);
h
FStrig := h/c 0 C
>
n=1
a n cos
nπx
L
Cb n sin
nπx
L
(3.2.9)
O FStrig(7);
π K2 sin x Ksin 2 x K
K
2
sin 7 x
7
2
1
2
1
sin 3 x K
sin 4 x K
sin 5 x K
sin 6 x
3
2
5
3
(3.2.10)
O plot([f(x), seq(FStrig(i), i = 1 .. 7)], x = -3 .. 3, y,
color = [black, red, blue, green, magenta, coral, brown,
navy], linestyle = [3, `$`(1, 5)]);
6
5
4
y
3
2
1
K3
K2
K1
0
1
2
3
x
O plot([f(x),FStrig(30)], x=-9 .. 9, y, color = [black, red],
linestyle = [3,1]);
6
5
4
y
3
2
1
K8
K6
K4
K2
0
2
4
6
x
O
8