Física fácil - cinemática vetorial e lançamento

Faculdade Estácio
FÍSICA FÁCIL – ERVAL OLIVEIRA
3. Cinemática vetorial
A cinemática vetorial pode descrever quaisquer
movimentos,
independentemente
de
conhecer-se
previamente as trajetórias.
As grandezas vetoriais não podem ser confundidas com
as escalares, que possuem conotação distinta. Devemos
fazer um esforço para visualizar as questões propostas a
seguir de maneira “espacial”, para que, com a adição das
ferramentas matemáticas, o entendimento seja completo.
3.1 Grandezas escalares e vetoriais
As grandezas escalares são aquelas definidas por um
valor numérico e por uma unidade e as grandezas
vetoriais são aquelas que, para serem definidas,
necessitam de um valor numérico, de unidade, de direção
e de sentido.
Por exemplo: para definir o deslocamento de um
automóvel em uma determinada situação, dizemos o
seguinte: deslocou-se 200 km na direção São Paulo–Rio
de Janeiro, no sentido Rio de Janeiro.
Para simplificar as operações envolvendo grandezas
vetoriais, utiliza-se a entidade geométrica denominada
vetor. O vetor se caracteriza por possuir módulo, direção
e sentido, e é representado geometricamente por um
segmento de reta orientado.
Em relação a esse gráfico, podemos afirmar que:
Representamos
graficamente um vetor
por uma letra, sobre a al
com as seguintes características:
a) O módulo do novo vetor é o que resulta da
3.3. Multiplicação por um escalar (por um número)
Podemos multiplicar um vetor
por um número
Dessa operação resulta um novo vetor
multiplicação do valor absoluto de
 pelo
módulo de
b) A direção do novo vetor é a mesma de
colocamos uma seta:
O módulo do vetor representa seu valor numérico e é
indicado
utilizando-se barras verticais:
c) O sentido de R é o mesmo de
oposto ao de
se
.
.
.
se  for positivo e
 < 0.
3.4. Soma de vetores:
Sejam
e
dois vetores. A soma desses
vetores é um terceiro vetor, o vetor resultante:
Na representação gráfica, o comprimento do segmento
orientado em uma determinada escala corresponde ao
módulo do vetor.
Vetores iguais devem ter módulo, direção e sentido
iguais. Vetores opostos têm mesmo módulo, direção e
sentidos contrários:
3.2. Decomposição de um vetor
Consideremos um vetor e um sistema cartesiano
ortogonal. Podemos decompor o vetor, projetando-o
sobre os eixos x e y, gerando as componentes do vetor
em relação a estes eixos. Pode-se calcular as
.
Para determinarmos o módulo, a direção e o sentido
desse vetor resultante, utilizamos a regra do
paralelogramo.
Primeiramente, desenhamos o paralelogramo definido a
partir dos vetores
e.
a) Módulo do vetor resultante:
É dado pelo comprimento da diagonal indicada na figura.
Portanto, v2 = v12 + v22 + 2v1v2cos , onde é o ângulo
entre os dois vetores.
componentes vetoriais utilizando as operações
trigonométricas relacionadas ao ângulo de inclinação
do vetor.
b) Direção: Aquela da reta que contém a diagonal.
Faculdade Estácio
c) Sentido: A partir do vértice formado pelos dois vetores.
Portanto o vetor resultante é obtido desenhando-se uma
das figuras abaixo:
FÍSICA FÁCIL – ERVAL OLIVEIRA
VAM = velocidade de “A” no referencial “M”
VAN = velocidade de “Ä” no referencial “N”
VNM = velocidade do referencial “N” em relação a “M”
PRINCÍPIO DA INDEPENDÊNCIA DOS MOVIMENTOS
(GALILEU)
Quando um corpo se encontra sob ação simultânea de
vários movimentos, cada um deles se processa
independentemente dos demais..
CONSEQÜÊNCIA – Para se conhecer o movimento
resultante
de
um
corpo,
podem-se
estudar
separadamente os movimentos que o compõem.
3.5. Subtração de vetores
Consideremos os vetores
e
. A subtração de vetores
resulta em um terceiro vetor (chamado resultante), cujas
propriedades são inferidas a partir da soma dos vetores
e(
)
O vetor tem módulo e direção iguais ao do vetor
mas
tem o sentido oposto. Reduzimos o problema da
subtração de dois vetores ao problema da soma de
e
.
3.6. Lançamento oblíquo e horizontal:
Neste tipo de movimento, podemos analisar lançamentos
oblíquos e horizontais de corpos sob a ação da
gravidade.
Consideremos, inicialmente, o lançamento oblíquo a
seguir:
MOVIMENTO RELATIVO
“Absolutamente relativo”
“Trabalhando com mais de um referencial ao mesmo
tempo”
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA;
Dado dois sistemas de referência M e N, onde o sistema
N translada relativamente ao sistema M, com velocidade
relativa VNM. Sendo a velocidade do ponto “A” conhecida
no sistema N (VAN ). Qual é o valor correspondente da
velocidade do ponto “A”no sistema M (VAM ).
EQUAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO DE VELOCIDADES
DE GALILEU
VAM = VAN + VNM
No gráfico, vemos um corpo P, lançado com velocidade
inicial v0 , que faz com a horizontal um ângulo  ,
chamado ângulo de tiro. Para facilitar o estudo do
movimento de P ao longo da trajetória, utilizamos a
análise das projeções do movimento nos eixos x e y,
sendo desprezada a resistência do ar.
O ponto P sofre a ação da aceleração da gravidade g. No
eixo x, a projeção de g é nula; logo, o movimento de P no
eixo x é Retilíneo e Uniforme (MRU). No eixo y temos a
Faculdade Estácio
ação de g, que é – g (usando convencionalmente a
orientação do eixo y para cima); assim, o movimento de P
é Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV).
FÍSICA FÁCIL – ERVAL OLIVEIRA
A altura máxima h é obtida por meio da equação de
Torricelli aplicada ao movimento vertical de P, e permite
calcular h admitindo-se vy = 0 quando  y igual a h.
Assim:
Para calcular a velocidade em qualquer instante,
devemos considerar que a componente horizontal da
velocidade do ponto P é constante e vale:
A componente vertical da velocidade do ponto P varia
com o tempo, conforme a equação:
Podemos também escrever a equação de Torricelli para o
movimento de P no eixo y:
Das fórmulas anteriores, obtém-se a equação da
trajetória, que é:
A
equação da trajetória é de segundo grau em x e, portanto,
a trajetória é uma parábola.
A velocidade em um ponto qualquer é obtida com a
aplicação do teorema de Pitágoras:
O alcance horizontal é obtido pela função horária do
movimento horizontal de P, quando o tempo é igual ao
tempo total:
O alcance máximo é obtido sabendo-se que o ângulo de
tiro máximo é  = 45°. Então, o alcance máximo é dado
por:
Nessas condições, a altura máxima atingida é obtida por:
No caso do lançamento horizontal, o ângulo de tiro é nulo
e, portanto,
Orientando o eixo y para baixo, temos:
O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo
decorrido desde o instante do lançamento até o instante
em que o móvel atinge o vértice da parábola. Neste
instante, a componente vertical da velocidade é nula;
logo, podemos concluir:
Portanto:
O tempo de descida é igual ao de subida; assim, o tempo
total é: