gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
3ª SÉRIE – MATEMÁTICA I
COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR
www.professorwaltertadeu.mat.br
Exercícios de Equações algébricas – 2011 - GABARITO
1) Verifique quais são os números do conjunto A = {-2; -1; 0; 1; 2; 3} que são raízes da equação:
x4 - 4x3 - x2 + 16x – 12 = 0.
Solução. Basta substituir cada número na equação no lugar da variável x e verificar se o resultado é nulo.
i) x = -2: (-2)4 – 4.(-2)3 – (-2)2 + 16.(-2) – 12 = 16 + 32 – 4 – 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz)
ii) x = -1: (-1)4 – 4.(-1)3 – (-1)2 + 16.(-1) – 12 = 1 + 4 – 1 – 16 – 12 = 5 – 29 = - 24 ≠ 0. (não é raiz)
iii) x = 0: (0)4 – 4.(0)3 – (0)2 + 16.(0) – 12 = - 12 ≠ 0. (não é raiz)
iv) x = 1: (1)4 – 4.(1)3 – (1)2 + 16.(1) – 12 = 1 – 4 – 1 + 16 – 12 = 17 – 17 = 0. (é raiz)
v) x = 2: (2)4 – 4.(2)3 – (2)2 + 16.(2) – 12 = 16 – 32 – 4 + 32 – 12 = 48 – 48 = 0. (é raiz)
vi) x = 3: (3)4 – 4.(3)3 – (3)2 + 16.(3) – 12 = 81 – 108 – 9 + 48 – 12 = 129 – 129 = 0. (é raiz)
2) Resolva a equação 2x4 - 7x3 + 5x2 - 7x + 3 = 0, sabendo que 1 e 3 são raízes.
2
Solução. A equação é de grau 4. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes encontramos uma
equação de grau 2, cuja solução sai pela fórmula correspondente.
O quociente é Q(x) = 2x2 + 2. Encontrando as raízes, vem:
2x 2  2  0  x 2  1  x    1  x  i .
1 

S   i, i, , 3 .
2 

3) Qual o menor grau que pode ter uma equação que tenha por raízes 2, 3i, 1+ i?
Solução. O teorema das raízes complexas garante que se um complexo é raiz de uma equação, então seu
conjugado também o é. De acordo com esse resultado, as raízes da equação mencionada são:
{2, 3i, - 3i, 1 + i, 1 – i}. Como há cinco raízes, o menor grau pelo teorema fundamental da álgebra, será 5.
4) Forme uma equação de coeficientes reais de menor grau possível que tenha por raízes 1 e (2 – i).
Solução. Pelo teorema das raízes complexas, as raízes são: {1, 2 – i, 2 + i}. Considerando o coeficiente de
maior grau igual a 1, temos a equação:
(x – 1).(x – (2 –i)).(x – (2 + i)) = 0  (x – 1).(x – 2 + i).(x – 2 – i) = 0 
(x – 1)(x2 – 2x – ix – 2x + 4 + 2i + ix – 2i – i2) = 0  (x – 1)(x2 – 4x + 4 + 1) = 0 
 (x – 1)(x2 – 4x + 5) = 0  x3 – 4x2 + 5x – x2 + 4x – 5 = 0  x3 – 5x2 + 9x – 5 = 0.
5) Na equação 2(x - 3)4.(x + 2)3.(x + 1)2 = 0, identifique as raízes dê a multiplicidade de cada uma.
Solução. O expoente de cada expressão entre parênteses indica o número de raízes iguais da equação. Logo,
temos: r1 = 3 com multiplicidade 4; r2 = -2 com multiplicidade 3; r3 = -1 com multiplicidade 2. Total de oito
raízes. A equação é do oitavo grau.
6) Resolver a equação x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = 0 sabendo que uma de suas raízes é (2-3i).
Solução 1. Como (2 – 3i) é raiz, (2 + 3i) também é pois é o conjugado. Aplicando o dispositivo de BriotRuffini duas vezes, temos:
O quociente é Q(x) = x2 – 1. Encontrando as raízes, vem:
x 2  1  0  x 2  1  x  1 .
S  2  3i, 2  3i,  1, 1 .
Solução 2. Escrevendo a forma decomposta da equação com r3 e r4 sendo as outras duas raízes, temos:
x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = (x – (2 – 3i)).(x – (2 + 3i)). (x – r3).(x – r4) = (x – 2 + 3i).(x – 2 – 3i).(x – r3).(x – r4) 
 x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = (x2 – 2x – 3ix – 2x + 4 + 6i + 3ix – 6i – 9i2 ).(x – r3).(x – r4) 
 x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 = (x2 – 4x + 13).(x – r3).(x – r4).
O produto (x – r3).(x – r4) será o quociente de x4 - 4x3 + 12x2 + 4x – 13 por x2 – 4x + 9.
Comparando, temos: (x – r3).(x – r4) = x2 – 1 
 (x – r3).(x – r4) = (x – 1).(x + 1). Logo, r3 = 1 e r4 = 1.
S  2  3i, 2  3i,  1, 1 .
7) Dada a equação 6x3 - 13x2 + 9x - 2 = 0, de raízes a, b e c, determine:
1 1 1
 
a b c
1
1
1


ab ac bc
Solução. Utilizando as Relações de Girard, temos:
a)
b)
c) a 2  b 2  c 2
9

bc  ac  ab 
9

9
96
6
a) 1  1  1  bc  ac  ab  
 6   .    .
2
a b c
abc
2
62
abc    2
6

6
( 13)

13
c  b  a   6
1
1
1
c

b

a
 13   6  13 .
b)




 6   .  
2
ab ac bc
abc
 6 2 2
abc    2
6

6
(a  b  c ) 2  a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc
( 13)

.
2
6

 13 
 9  169 9 169  108 61
     
 


36
36
 6 
 3  36 3
2(ab  ac  bc )  2 9   9

6 3
c) a  b  c  
8) Resolver a equação x3 - 3x2 - 4x + 12 = 0, sabendo que duas raízes são opostas.
Solução. Considere as raízes como r, s e t. Considere ainda s e t as raízes opostas. Logo s = - t. A soma das
raízes vale (r) + (s) + (t) = r – t + t = r. Pelas relações de Girard, S = -(-3)/1 = 3  r = 3. Sabendo uma das
raízes aplica-se o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
O quociente é Q(x) = x2 – 4. Encontrando as raízes, vem:
x 2  4  0  x 2  4  x  2 . S   2, 2, 3 .
OBS: Poderíamos utilizar a relação de Girard para o produto: (-t).(t).(3) = -(12)/1 -3t2 = -12 
t2 = 4  t = 2 e s = -t = -2. S = {-2, 2, 3}.
9) Resolver a equação x3 - 15x2 + 66x – 80 = 0, sabendo que suas raízes estão em progressão aritmética.
Solução. Há três raízes: r. s e t. Como estão em PA, s = (r + t)/2  r + t = 2s.
A soma das raízes vale (r) + (s) + (t) = (r + t) + (s) = (2s) + (s) = 3s. Pela relação de Girard, S = -(-15)/1 = 15.
Logo, 3s = 15  s = 5 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:
O quociente é Q(x) = x2 – 10x + 16. Encontrando as raízes, vem:
10  6

x  2  8 .
 ( 10)  ( 10) 2  4(1)(16) 10  36
x


2(1)
2
x  10  6  2

2
S  2, 5, 8 .
10) Resolver a equação x3 - 7x2 + 14x - 8 = 0, sabendo que a soma de duas de suas raízes é igual a 3.
Solução. Há três raízes: r. s e t. Considerando r + t = 3, a soma das raízes será (r + t) + s = -(-7)/1 
 3 + s = 7  s = 4 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:
O quociente é Q(x) = x2 – 3x + 2. Encontrando as raízes, vem:
3 1

x  2  2 .
 ( 3)  ( 3)2  4(1)( 2) 3  1
x


2(1)
2
x  3  1  1
2

S  1, 2, 4 .
11) Resolva a equação x3 – 2x2 – 3x + 6 = 0, sabendo que o produto de duas de suas raízes é -3.
Solução. Há três raízes: r. s e t. Considerando r.t = -3, o produto das raízes será (r.t).s = -(6)/1 
 (-3)s = - 6  s = 2 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:
O quociente é Q(x) = x2 – 2. Encontrando as raízes, vem:
x  3
.
x2  3  0  x2  3  
x   3


S   3, 3, 2 .
12) (UFMT) A divisão de um polinômio de coeficientes reais P(x) por (x + 1) apresenta como quociente um
polinômio Q(x) de grau 3 com o coeficiente do termo de maior grau igual a -1 e,
como resto, (x – 3). O gráfico de Q(x) é mostrado na figura.
A partir dessas informações, qual é a soma dos coeficientes de P(x)?
Solução. Pela divisão indicada por (x +1), temos: p(x) = (x + 1).q(x) + (x – 3).
Como q(x) é de grau 3, as raízes indicadas no gráfico são x = 0(dupla) e x = 1,
pois são onde intersectam o eixo X. A multiplicidade 2 da raiz nula está
indicada na parte quadrática do gráfico. Logo, q(x) = -1(x – 0)2.(x – 1) 
 q(x) = -x2.(x – 1) = - x3 + 1. Substituindo em p(x), temos:
P(x) = (x + 1).(- x3 + 1) + x – 3 = - x4 + x – x3 + 1 + x – 3 = - x4 – x3 + 2x – 2.
A soma dos coeficientes será: (-1) + (-1) + (2) + (-2) = - 2.
13) Qual a multiplicidade da raiz x = 1 na equação x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 = 0?
Solução. A multiplicidade será encontrada pelo número de vezes que aparecer o resto zero na divisão do
polinômio p(x) = x4 – x3 – 3x2 + 5x – 2 por (x – 1). Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:
Como há três divisões exatas sucessivas, a multiplicidade da raiz é 3. A forma
decomposta seria: (x – 1)3.(x + 2) = 0.
14) Resolva as equações em C.
a) 6x4 -11x3 - 6x2 + 9x - 2 = 0
Solução. Pela pesquisa de raízes, temos as possibilidades: {± 1, ± 2, ± 1/3}. A soma dos coeficientes não é
nula. Logo, x = 1 não é raiz.
i) x = -1: 6(-1)4 – 11(-1)3 – 6(-1)2 + 9(-1) - 2 = 6 + 11 – 6 – 9 – 2 = 0. É raiz.
ii) x = 2: 6(2)4 – 11(2)3 – 6(2)2 + 9(2) - 2 = 96 - 88 – 24 + 18 – 2 = 0. É raiz.
Com essas raízes e o dispositivo Briot-Ruffini o grau cai para 2 e as raízes são calculadas.
O quociente é Q(x) = 6x2 – 5x + 1. Encontrando as raízes, vem:

x
 ( 5)  ( 5)2  4(6)(1) 5  1 
x


2(6)
12
x 

5 1 1

12
2.
5 1 1

12
3
1 1 

S   1, , , 2 .
2 3 

b) 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0
Solução. Pela pesquisa de raízes, temos as possibilidades: {± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 3/2, ± 1/2}. A soma dos
coeficientes não é nula. Logo, x = 1 não é raiz.
i) x = -1: 2(-1)3 + 9(-1)2 + 13(-1) + 6 = - 2 + 9 – 13 + 6 = 0. É raiz.
ii) x = 2: 2(2)3 + 9(2)2 + 13(2) + 6 = 16 + 36 + 26 + 6 ≠ 0. Não é raiz.
iii) x = -2: 2(-2)3 + 9(-2)2 + 13(-2) + 6 = -16 + 36 - 26 + 6 = 0. É raiz.
Com essas raízes e o dispositivo Briot-Ruffini o grau cai para 1 e as raízes são calculadas.
O quociente é Q(x) = 2x + 3. Encontrando as raízes, vem:
2x  3  0  x  
3 . S   3 ,  2,  1 .


2
 2
