Análise Combinatória e Binômio de Newton

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TÓPICOS DE REVISÃO
MATEMÁTICA I
ANÁLISE COMBINATÓRIA E
BINÔMIO DE NEWTON
Prof. Rogério Rodrigues
1
1.1) Princípio multiplicativo da contagem :
Exemplo ilustrativo 3: Quantos numerais de três algarismos podemos formar usando
apenas os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 6
a) podendo repeti-los?
b) sem repeti-los?
Resolução:
a) Trata-se de um problema composto de 3 etapas, ou seja, preencher as três casas, de
acordo com o enunciado, formando o numeral. Vejamos o número de possibilidades de
cada casa(etapa):
- para a primeira casa, eu posso começar com qualquer um dos 7 algarismos dados,
exceto o zero, são 6 possibilidades; para a segunda casa,já que pode haver algarismo
repetido, eu tenho agora 7 possibilidades (o zero já pode) e para a última casa(etapa),eu
também tenho 7 possibilidades. Como cada possibilidade de uma casa combina com as
outras possibilidades das outras casas, temos o produto da possibilidades como resposta,
ou seja, 6.7.7 = 294 numerais.
b)O caso é análogo ao anterior com uma diferença: se não pode haver repetição, temos
6.6.5= 180 numerais.
Se um experimento é composto de etapas independentes a,b,c,.... com possibilidades
Pa , Pb , Pc , ..., respectivamente, então o número de modos de se realizar esse evento é o
produto das possibilidades das etapas, ou seja, Pa . Pb .Pc ....
Exemplo ilustrativo 4: Uma repartição pública faz seu atendimento obedecendo as
seguintes prioridades na formação da fila: Em primeiro lugar, são atendidos os portadores
de necessidades especiais, depois os idosos, depois o resto das pessoas, por ordem de
chegada. Num determinado dia, há 9 pessoas para serem atendidas, entre as quais, 3 com
necessidades especiais e 2 idosos. De quantos modos distintos se pode montar a fila de
atendimento?
Resolução:
A fila tem 9 posições, ou seja, são 9 etapas.Cada etapa tem seu número de possibilidades
de preenchimento: Como são 3 pessoas com necessidades especiais, as três primeiras
etapas têm possibilidades 3, 2 e 1; em seguida, os idosos, com possibilidades 2 e 1. as
últimas etapas obedecem a ordem de chegada que é única, ou seja, 1,1,1 e1. Então, são
3.2.1.2.1.1.1.1.1= 12 modos de se formar a fila.
Exemplo ilustrativo 5: Suponhamos que numa rifa todos os números dos bilhetes são
formados, como no Exemplo ilustrativo 3, apenas com 3 algarismos do conjunto
2
{0,1,2,3,4,5,6}, podendo haver repetição de algarismos.Se você comprar todos os bilhetes
de números formados apenas com algarismos distintos, qual é a sua chance de ser
sorteado?
Resolução:
Na resolução do citado exemplo, vimos que o número total de numerais possíveis é 294 e
o número de numerais com algarismos distintos é 180. Então, a probabilidade pedida é P
=
180 30
=
= 61,22%.
294 49
Exemplo ilustrativo 6: Considere o Exemplo ilustrativo4. Qual é a probabilidade de, no
citado dia, a fila ser formada com os idosos em ordem decrescente de idade?
Resolução:
Neste caso, teríamos, na ala dos idosos, todo mundo numa única ordem determinada.
Então , seriam
3.2.1.1.1.1.1.1.1= 6 modos. A probabilidade seria P =
6 1
= = 50%.
12 2
1.2) Arranjos, Permutações e Combinações :
Dado um conjunto finito {a1, a2 , a1 , a2 , ..., an-1, an} com n elementos, faz-se o reagrupamento desses
elementos em subconjuntos com p elementos distintos, p≤ n :
1o) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, são diferentes apenas
pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de ARRANJOS. Neste caso, temos
A pn ou An , p ⇒ Arranjos de n elementos tomados de p em p.
2o) Se dois quaisquer desses subconjuntos, formados pelos mesmos elementos, não são diferentes
apenas pela ordem de seus elementos, os agrupamentos são chamados de COMBINAÇÕES. Neste
caso, temos
n
C pn ou Cn , p ou   ⇒ Combinações de n elementos tomados de p em p.
p
Exemplo ilustrativo 7: Verifique a diferença entre as duas situações aparentemente iguais
a seguir:
1a) Formar números de 4 algarismos distintos usando apenas os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
2a) Formar grupos de 4 pessoas usando as pessoas: Lucas, Mateus, Luísa, Mariana, Ana e
Tiago.
► Na 1a situação, os números (agrupamentos) formados com os mesmos algarismos se
diferenciam apenas pela ordem. Por exemplo, 1234 e 4321 são números diferentes. Tratase de contar os ARRANJOS
3
de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos são eles? Basta usar o Princípio da
Contagem, ou seja,
A6 , 4 = 6.5.4.3 = 360 números.
► Na 2a situação, os grupos (agrupamentos) formados com as mesmas pessoas não se
diferenciam apenas pela ordem. Por exemplo, o grupo{Lucas, Mateus, Luísa, Mariana}é
igual ao grupo{Mariana, Luísa, Mateus, Lucas }. Trata-se de contar as COMBINAÇÕES
de 6 elementos tomados de 4 em 4. Quantos são elas? Basta usar o Princípio da
Contagem, corrigindo as repetições. Neste caso, cada grupo de 4 pessoas seria contado
4.3.2.1 vezes repetido. Então, basta dividir o cálculo do Princípio da Contagem por
6
6 .5 .4 .3
4.3.2.1, ou seja, C6,4 =   =
= 15 grupos.
 4  4 .3 .2 .1
Dado um número natural n, chama-se FATORIAL DE n o produto assim indicado:
n ! = n.(n – 1).(n – 2).(n – 3) ...3.2.1
Por exemplo:
a) 5! = 5.4.3.2.1 = 120.
b) 7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040
12!
.
c) Simplificar
10!
12! 12.11.10! 12.11.10/ !
Tem-se
=
=
= 12.11 = 132
10!
10!
10/ !
OBSERVAÇÕES: 1! = 1 e 0! = 1
Exemplo ilustrativo 8: Sete cavalos A, B, C, D, E, F e G disputam um páreo. Quantas são
as classificações possíveis
a) para os cinco primeiros lugares?
b) para os cinco primeiros lugares, se os cavalos A e B chegarão entre os cinco primeiros?
Resolução :
a) São arranjos de 7 cavalos de 5 em 5, já que, por exemplo, o resultado ABCDE é
diferente de EDCBA. Então, temos A7,5 = 7.6.5.4.3 = 2.520 resultados possíveis.
b) São cinco etapas, das quais duas serão ocupadas pelos cavalos A e B; as outras três
etapas poderão ser ocupadas pelos cinco cavalos restantes. Então, temos A5,2.A5,3 =
5.4.5.4.3 = 1.200 resultados.
Exemplo ilustrativo 9: Uma empresa de projetos dispõe de 3 diretores, 5 coordenadores e
6 arquitetos. De quantos modos essa empresa pode montar, com esses funcionários, uma
comissão composta de
a) 9 pessoas?
b) 9 pessoas, tendo 2 diretores, 4 coordenadores e 3 arquitetos?
c) 9 pessoas, tendo pelo menos dois diretores?
4
Resolução :
a) Trata-se de combinar 14 pessoas de 9 em 9, ou seja, C14,9 =
modos.
b) C3,2.C5,4.C6,3 =
14.13.12/ .11.10/ .9/ .8/ .7/ .6/
=2.002
9/ .8/ .7/ .6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1/
3.2/
5.4/ .3/ .2/ 6/ .5.4.
=300 modos.
x
x
2/ .1
4/ .3/ .2/ .1 3/ .2/ .1
c) Então são duas hipóteses, pois “pelo menos 2” significa 1 ou 2 diretores. Então,
somaremos as possibilidades, assim, C3,2. C12,7 + C3,3. C11,6 =
+
3.2/ 12/ .11.10/ .9.8/ .7/ .6/
+
2/ .1 8/ .7/ .6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1/
3/ .2/ .1/ 11.10/ .9/ 6.8/ .7.6/
= 759 modos.
3/ .2/ .1 6/ .5/ .4/ .3/ .2/ .1
Exemplo ilustrativo 10: De quantos modos diferentes se pode formar uma fila com 6
pessoas A, B, C, D, E e F, sabendo que
a) as pessoas A e B, nessa ordem, ficarão nos primeiros lugares?
b) as pessoas A e B ficarão nos primeiros lugares?
c) as pessoas A e B ficarão lado a lado nesta ordem?
d) as pessoas A e B ficarão lado a lado?
Resolução :
a) Os dois primeiros lugares estão ocupados com as pessoas A e B, nesta ordem. Então,
temos as quatro pessoas restantes para agrupar de 4 em 4, ou seja, A4,4= 4.3.2.1=4!= 24
modos.
b) Neste caso, há duas hipóteses para os dois primeiros lugares: AB ou BA; em cada
hipótese, teremos ainda que agrupar as quatro pessoas restantes de 4 em 4. Então, serão
2.4! = 48 modos.
c) Ficando lado a lado, nesta ordem, A e B serão um bloco único e, das seis etapas,
teremos apenas 5, ou seja, 5! = 120 modos.
d) Neste caso, há duas hipóteses de A e B ficarem lado a lado: AB ou BA; Em cada uma
delas, tem-se ainda 5 etapas, ou seja, serão 2.5! = 240 modos.
Todo arranjo em que o número de elementos dados (n) coincide com o número de elementos dos
agrupamentos formados (p), ou seja, n = p, chama-se PERMUTAÇÃO. Para esse caso, tem-se
An,n = Pn = n!
OUTRAS FÓRMULAS :
►ARRANJOS:
An,p= n(n - 1)(n - 2)(n - 3) ...(n - p + 1)
OU
An,p=
n!
(n - p)!
5
n
n!
Cn,p=   =
 p  p!(n - p)!
► COMBINAÇÕES:
Exemplo ilustrativo 11: Quantos números pares podemos formar com 4 algarismos
distintos do conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5}?
Resolução:
São quatro etapas em que a primeira não pode ser zero e para a última temos três
possibilidades: 0, 2e 4. Então, serão, 5.C4,2.3 = 5.
4!
5.4.3.2/ !.3
.3 =
=180 números.
(4 − 2)!
2/ !
Exemplo ilustrativo 12: Uma sorveteria oferece os seguintes sabores de sorvetes:
Morango, Chocolate, Baunilha, Limão, Leite condensado e Doce de leite. De quantos
modos posso preencher uma casquinha com 4 sabores distintos, se 2 deles serão Limão e
Baunilha?
Resolução:
Teremos C4,2=
4!
4.3.2/ ! 12
=
= = 6 modos.
2!.(4 - 2)! 2!.2/ !
2
1.3) Permutações especiais :
1.3.1) Permutações com repetição:
Exemplo ilustrativo 13: As senhas do sistema de segurança de uma empresa mudam
todos os dias; em cada dia, sorteia-se , no final do dia, um número de 8 algarismos que
dará origem às senhas válidas para o dia seguinte: todas as senhas são permutações dos
algarismos do número sorteado. Num determinado dia, o número sorteado foi 22.335.735;
quantas senhas diferentes foram geradas nesse dia?
Resolução:
Se fizermos simplesmente P8 = 8! , estaremos contando repetidamente cada senha
formada :
- Como o algarismo 2 aparece duas vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa
repetição isolada, 2! Repetições de cada senha contada;
- Como o algarismo 3 aparece três vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa
repetição isolada, 3! Repetições de cada senha contada;
- Como o algarismo 5 aparece duas vezes no numeral sorteado, teríamos, por causa dessa
repetição isolada, 2! Repetições de cada senha contada;
Então, corrigindo as possíveis repetições, teremos que o número de senhas diferentes
geradas nesse dia foi
!
!. !. !"
=
.
= 1.680 senhas.
6
Em geral, para permutações com números de repetições de elementos distintos α, β, λ, ...
tem-se:
,β ,λ ,…
=
!
!β !λ!…
1.3.2) Permutações circulares :
Exemplo ilustrativo 14: Quatro pessoas vão se posicionar sentados em círculo. De
quantos modos isso é possível?
Resolução:
Quatro pessoas geram 4!, ou seja, 24 permutações mas, dispostas em círculo, várias delas
são repetidas. Observe, por exemplo, no sentido horário, a permutação ilustrada abaixo:
A
C
D
B
No sentido horário, teremos os posicionamentos ADBC, DBCA, BCAD e CADB,
começando, respectivamente por A, D, B e C.Mas essas formações são uma só. Então,
para cada permutação, teremos 4 repetições e o número de posicionamentos distintos será
!
=
. !
= 3! = 6 posicionamentos.
De um modo geral, a permutação circular de n elementos é calculada por:
Pc =
!
ou Pc = (n – 1)!
Exercícios Propostos:
1) (CESCEA) – Um automóvel é oferecido pelo fabricante com 7 cores diferentes,
podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc . Sabendo-se que os
automóveis são fabricados nas versões “standard”, “luxo” e “superluxo”, quantas são as
alternativas para o comprador ?
2) (MACK-SP) – Se uma sala tem 8 portas, qual é o número de maneiras distintas de se
entrar nela e sair da mesma por uma porta diferente ?
7
3) (UFMG) – Um teste é composto de 15 afirmações. Para cada uma delas, deve-se
assinalar , na folha de respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação seja,
respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se obter , pelo menos, 80% dos acertos,
qual é o número de maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas ?
4) (UFMG) – Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores
escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elaborar a programação,
eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em
dias consecutivos. Neste caso, qual é o número de maneiras diferentes de se fazer a
programação da semana ?
5) ( UFMG) – Um aposentado realiza diariamente , de Segunda a Sexta-feira , estas
cinco atividades:
a) leva seu neto Pedrinho, às 13 horas, para a escola;
b) pedala 20 minutos na bicicleta ergométrica;
c) passeia com o cachorro da família;
d) pega seu neto Pedrinho , às 17 horas, na escola;
e) rega as plantas de jardim de sua casa.
Cansado, porém, de fazer essas atividades sempre na mesma ordem, ele resolveu que, a
cada dia,
vai realizá-las em uma ordem diferente. Nesse caso, qual é o número de maneiras
possíveis de ele realizar essas cinco atividades ?
6) (UFCE) – Qual é a quantidade de números inteiros compreendidos entre 30.000 e
65.000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7 , de modo que
não figurem algarismos repetidos ?
7) (UnB –DF) – Seis pessoas – A, B, C, D, E e F - ficam em pé uma ao lado da outra
para uma fotografia . Se A e B se recusam a ficar lado a lado e C e D insistem em ficar em
pé uma ao lado da outra, qual é o número de possibilidades para as seis pessoas se
disporem ?
8) (FGV-SP) – Quantos números ímpares de 4 algarismos , sem repetir algarismo num
mesmo número, podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8 ?
9) (MACK-SP) – Um trem de passageiros é constituído de uma locomotiva e 6 vagões
distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o
vagão restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva , qual é o
número de modos diferentes para se montar a composição?
10) (UFBA) – Quatro jogadores saíram de Manaus para um campeonato em Porto Alegre,
num carro de 4 lugares. Dividiram o trajeto em 4 partes e aceitaram que cada um dirigiria
uma vez. Combinaram também que, toda vez que houvesse mudança de motorista, todos
deveriam trocar de lugar. Qual é o número de arrumações possíveis dos 4 jogadores
durante a viagem ?
8
11) (FGV-SP) – Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5
pessoas podem ser formadas, contendo no mínimo um diretor?
12) (UFMG) – Dadas duas retas paralelas, marcam-se 7 pontos sobre uma e 4 sobre a
outra. Qual é o número de triângulos que podemos formar ligando esses 11 pontos?
13) (UFMG) – Numa competição esportiva , dez atletas disputam os três primeiros lugares
Admitindo que não haja empate, quantos resultados são possíveis para as três primeiras
colocações?
14) (PUC-MG) – Qual é o valor de n na equação
n ! + (n - 1) !
(n + 1) ! - n !
=
6
25
?
15) (CESCEM-SP) – As placas dos automóveis são formadas por duas letras e quatro
algarismos. Qual é o número de placas que podem ser formadas com as letras A e B e os
algarismos pares, Sem repetir nenhum algarismo?
16) (UFBA) – Numa eleição para a diretoria de um clube concorrem 3 candidatos a
diretor, 2 a vice-diretor, 3 a primeiro secretário e 4 a tesoureiro . Qual é o número de
resultados possíveis para essa eleição ?
17) (UFCE) – O mapa de uma cidade é formado por 6 bairros distintos. Deseja-se pintar
esse mapa com as cores vermelha, azul e verde do seguinte modo: um bairro deve ser
vermelho, dois bairros azuis e os demais verdes. De quantos modos distintos isso pode
ser feito?
18) (ITA-SP)- Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 (cinco)
algarismos distintos, obtidos com 1, 3, 4, 6 e 7, qual será a posição do número 61.473 ?
19) (FGV-SP) – Quantos anagramas da palavra sucesso começam com s e terminam com
o?
20) ( FEI-SP) – Quantas diagonais possui um dodecágono ?
21) (PUC – MG) - Os habitantes de certa ilha têm predileção por uma loteria na qual o
jogador deve escolher pelo menos 5 das 35 letras que compõem o alfabeto utilizado no
lugar. Vence o jogo quem acertar as 5 letras sorteadas independentemente da ordem do
sorteio. Pela aposta em uma quina, o jogador paga um pin, unidade monetária da ilha.
Caso um apostador decida aumentar suas chances de ganhar marcando 7 letras, quanto
deverá pagar pelo jogo, em pins?
22) (PUC – MG) - As portas de acesso de todos os apartamentos de certo hotel são
identificadas por meio de números ímpares formados com 3 elementos do conjunto M =
{3, 4,6,7,8}. Nessas condições, qual é o número máximo de apartamentos desse hotel?
9
23) (PUC – MG) - Com os elementos de A = {0,2,5,6}, é possível formar x números
naturais compreendidos entre 100 e 1000, sem que haja algarismos repetidos em um
mesmo número. Sendo assim, qual é o valor de x ?
24) (UFMG) – Em uma lanchonete, os sorvetes são divididos em três grupos: o vermelho,
com 5 sabores; o amarelo, com 3 sabores; e o verde, com 2 sabores. Pode-se pedir uma
casquinha com 1, 2 ou 3 bolas, mas cada casquinha não pode conter 2 bolas de um mesmo
grupo. Qual é o número de maneiras distintas de se pedir uma casquinha ?
25) (UFMG) – Na figura a seguir, qual é o número de ligações distintas entre X e Z ?
26) (UFMG) – O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem
entre si essas 28 peças, ficando cada um com 7 peças. De quantas maneiras distintas se
pode fazer tal distribuição?
27) (UFMG) – Num grupo constituído de 15 pessoas, cinco vestem camisas amarelas,
cinco vestem camisas vermelhas e cinco vestem camisas verdes. Deseja-se formar uma fila
com essas pessoas de forma que as três primeiras vistam camisas de cores diferentes e que
as seguintes mantenham a seqüência de cores dada pelas três primeiras. Nessa situação, de
quantas maneiras distintas se pode fazer tal fila?
28) (UFMG) - A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito
integrantes, composta de um presidente, um vice-presidente, um secretário, um tesoureiro
e quatro conselheiros. Nessa situação, de quantas maneiras distintas se pode compor essa
comissão?
29) (UFMG) - A partir de um grupo de oito pessoas, quer-se formar uma comissão
constituída de quatro integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, que, sabe-se,
não se relacionam um com o outro. Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser formada. Nessas condições, de
quantas maneiras distintas se pode formar essa comissão?
30) (CEFET - MG) - Em um bar vende-se três tipos de cervejas: S, B e K. Qual é o
número de maneiras diferentes que uma pessoa pode comprar quatro garrafas dessas
cervejas?
10
31) (CEFET - MG) - Um teste possui 10 questões com apenas duas opções de respostas:
(V) verdadeira ou (F) falsa. Para se obter pelo menos 70% de acertos, qual é o número de
maneiras diferentes de marcar o gabarito?
32) (CEFET - MG) - De um pequeno aeroporto saem 7 vôos por dia, com diferentes
destinos, sendo 3 pela manhã e 4 à tarde. Por motivos técnicos, dois desses sete vôos só
podem sair à tarde. Qual é o número de ordens possíveis para as decolagens?
33) (CEFET - MG) - Num plano, existem vinte pontos dos quais três nunca são
colineares, exceto seis que estão sobre uma mesma reta. Qual é o número total de retas
determinado pelos vinte pontos?
34) (CEFET - MG) - Para se compor uma diretoria são necessários 6 membros, sendo um
presidente e um vice-presidente. Sabendo-se que 9 pessoas se candidataram aos cargos,
qual é o número de maneiras distintas para se pode formar essa diretoria ?
35) (CEFET - MG) -A senha de um banco é constituída de 4 algarismos escolhidos entre
os 10 de 0 a 9, seguidos de 3 letras dentre as 26 do alfabeto. Um cliente, ao determinar sua
senha, decidiu que a parte numérica começaria por algarismo par e terminaria por
algarismo ímpar, e que a parte literal teria início e término com vogal. Qual é o número de
possibilidades que esse cliente poderia criar para sua senha ?
36) (CEFET - MG) - O Conselho de Administração de um sindicato é constituído por dez
pessoas, das quais uma é o presidente. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem
preenchidos pelos conselheiros, sendo que o presidente do conselho e o da diretoria não
devem ser a mesma pessoa. Calcule o número de maneiras diferentes para compor os
cargos.
************************************************************************
RESPOSTAS :
1) 42 2) 56 3) 576 4) 720 5) 60 6) 66 7) 144 8) 840 9) 600 10) 24 11) 55
12) 126 13) 720 14) n = 5 15) 240 16) 72 17) 60 18) 76a 19) 60 20) 54 21) 21
22) 50 23) 18 24) 61 25) 41
31) 176
32) 240 33) 176
26)
28!
(7!) 4
34) 2.520
27) (5!)3.3!
28)
14!
4!.6!
35) 1.625.000 36) 3.024
29) 55
30) 15
11
2) BINÔMIO DE NEWTON
2.1) Números Binomiais (Triângulo de Pascal):
A fórmula de Combinação é comumente escrita assim :
=
!
!
–
!
Esse resultado recebe o nome de Número binomial ou Coeficiente binomial. Os números
binomiais podem ser dispostos em forma matricial, ou seja,
►Números com o mesmo numerador n na mesma linha;
►Números com o mesmo denominador p na mesma coluna.
Essa matriz é o TRIÂNGULO DE PASCAL ou de TARTÁGLIA :
0
0
1
1
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
0
.
.
.
7
0
.
.
.
5
1
.
.
.
3
1
4
1
6
1
7
1
4
2
6
2
7
2
.
4
3
6
3
7
3
3
3
5
3
.
.
.
2
2
3
2
5
2
.
.
2
1
5
4
6
4
7
4
.
.
.
4
4
5
5
6
5
7
5
.
.
.
6
6
7
6
.
.
.
7
7
.
.
.
.
.
..
12
Os respectivos valores calculados são:
1
1
1
1
2 2
1 3 3
1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
.
.
.
.
.
. . .
No triângulo acima, observe, por exemplo, que
1) Na mesma linha os números equidistantes são iguais, ou seja
! " .
2) Dois números consecutivos da mesma linha têm soma igual ao que se encontra na
$%
vertical entre eles na linha seguinte, ou seja
# $% = $%
.
3) Todo número de denominador nulo vale 1, assim como todo número de
numerador e denominador iguais também vale 1, ou seja,
&'( = 1 e & ( ! %
4) A soma dos números de uma mesma linha é uma potência de 2, ou seja,
&'( # &%( # &)( # … # &
"%
( # & ( = 2n
5) Todo número de denominador igual a 1 vale o próprio numerador, ou seja,
&%( ! .
Exemplos Ilustrativos:
*
*
15) Resolva a equação &+( ! &+) (.
Resolução: Há duas hipóteses em que esses números são iguais:
1a) x = x2 ⇒ x(x – 1) =0, em que x =0 ou x = 1.
2a) são binomiais complementares e x + x2 = 6 ⇒ x2+ x – 6 = 0 ⇒∆= 1 + 24 = 25 e x= 2
ou x = -3.
Então, o conjunto solução da equação é S = {0, 1, 2}, já que -3 não convém pois faz o
denominador ficar negativo ou maior do que o numerador.
13
16) Usando apenas as propriedades enunciadas, calcule a soma
5
5
6
7
8
9
10
#
#
#
#
#
.
2
3
4
5
6
7
3
Resolução: Segundo a propriedade 2, enunciada acima, temos que
&/( # &/( ! &0( , &0( # &0( = &1( , &1( # &1/( ! &/( , &/( # &0( ! &02( ,
&02( # &12( ! &31 ( e, pela propriedade dos complementares, , &31 ( . &3 (. Portanto, a
soma vale 0.
17) Um salão de festas tem 10 portas. De quantos modos distintos pode-se abrir este
salão?
Resolução: Para que o salão fique aberto é necessário que se abra, pelos menos 1
porta,ou seja, 1, 2, 3, ..., 8, 9 ou 10 portas. Portanto, basta calcular de quantos modos se
abre 1 porta, 2 portas,..., 9 portas ou 10 portas:
&33 ( # &3 ( # … # &32 ( # &33 ( = 210 - &33 ( = 1.024 – 1 = 1.023 modos.
!
18) Prove que
Resolução:
Temos que
=
!
!
–
#
19) Prove que
.
"
e
!
$%
=
"
–
$%
$%
=
!
!
– $
!
=
!
!
–
!
.
.
Resolução:
Desenvolvendo o lado esquerdo da equação , temos:
!
!
–
!
+
$3 ! !
!
=
– "3 !
mesmo denominador, tem-se
!
–
$3
$3
!
– "3 !
! $
"
!
"
+
!
" "3 !
$3
=
!
!
– "3 !
$3 !
$3 !
"
=
!
.
Reduzindo-se ao
$3 .
$3
14
2.2) Binômio de Newton :
Vamos escrever o desenvolvimento de potenciação com binômios do tipo (a + b), usando
o seguinte artifício algébrico:
Que em cada termo do desenvolvimento, apareça potências de a e de b.
a) ( a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = 1a2b0 + 2a1b1 + 1a0b2 . Como os coeficientes 1, 2 e 1 são os
valores dos números binomiais da linha de numerador 2, no Triângulo de Pascal, temos,
finalmente :
(a + b)2 = & (4 5 # &3(43 53 # 4 5 & (
b) ( a + b)3 = 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3 = & (4 5 # &3(4 53 # & (43 5 # & (4 5
Analogamente, teremos:
c) ( a + b)4 = & (4 5 # &3(4 53 # & (4 5 # & (43 5 # & (4 5
Generalizando, temos:
(a + b)n = ∑
an – p bp = &'(8 9' # &%(8
7'
9 # : # & (8' 9
–% %
Exemplos Ilustrativos :
)
20) Desenvolva
+
# + ) 4.
Resolução:
Temos que o primeiro termo(a) é
)
+
# +
) 4
+& ( 2< "3
)
+
. +)
= & ( 2< "3
3
4
30
;=
<
# & ( 2< "3
<
=
;
+
;
ou 2x -1 e o segundo (b) é x2. Então, teremos:
# &3( 2< "3
<
<
3
# & ( 2< "3
<
#
.
+24x2 + 8x5 + x8
2
21) Determine o termo em x no desenvolvimento de
>
+
. )+
)
?
.
15
Resolução:
Pela fórmula da página anterior, percebe-se dois detalhes importantes comuns a todos os
termos do desenvolvimento binomial
1o) A ordem de cada termo tem sempre 1 unidade a mais do que o valor de p, ou seja, o
primeiro termo tem p=o, o segundo termo tem p = 1, ..., o enésimo termo tem p igual a
n – 1. Então um termo qualquer é sempre Tp+1 . Assim, por exemplo, o sexto termo tem
p igual a 5, é T6.
2o) O primeiro termo sempre aparece elevado a n – p e o segundo termo sempre aparece
elevado a p. Então,
Qualquer termo do desenvolvimento de (a + b)n é do tipo Tp + 1 =
an – p.bp
Voltando ao problema proposto, tem-se:
Tp + 1 =
1
> 1"
+
,(-2x2)p =
1
3 7 – p. x p – 7.(-2)p. x2p =
1
3 7 – p. (-2)p. x3p - 7
Como o termo pedido tem x2 , temos 3p – 7 = 2 ⇒ p = 3 e será o quarto termo. Logo a
7–3
1
resposta é T4 =& (3
. (-2)3. x3.3 – 7 ⇒ T4 = - 22.680x2.
22) Prove que &'( # &%( # &)( # … # &
Resolução:
n
Sabemos que (a + b) =& (4 5 # & 3(4
"%
( # & ( = 2n.
5 # : # & (4 5 para todo a e b reais.
–3 3
Então, se a = b = 1, temos (1 + 1)n = & (1 1 # & 3(1
&'( # &%( # &)( # … # & "%( # & ( = 2n
1 # : # & (1 1 , ou seja,
–3 3
Exercicios Propostos:
1) (FGV – SP) – Sabendo que x e y são números positivos, x – y = 1 e x4 + 4x3y + 6x2y2 +
+ 4xy3 + y4 = 16, calcule o valor de x.
2) (UFCE) – Determine o coeficiente do termo em x3 no polinômio P(x) = (x – 1).(x + 3)5
3) (UFCE) – Sejam α e β números reais. Suponha que, ao desenvolvermos (αx + βy)5, os
coeficientes dos monômios x4y e x3y2 sejam iguais a 240 e 720, respectivamente. Qual é
o valor de
@
A
?
16
4) (PUC – PR) – Sabendo que o desenvolvimento de B2< .
um deles é 240ax6, calcule o valor de a.
;
C possui 7 termos e que
5) (Unifor – CE) – Qual o termo independente de x no desenvolvimento de < #
;D
3
?
6) (UFOP – MG) – Se o número binomial &E ( é o dobro do número binomial &E"3(,
determine n em função de k.
7) (ITA – SP) – Considere o conjunto S = { (a , b) ∈ N x N : a + b = 18}.
3 !
Calcule a soma de todos os números da forma F!G! , ∀(a , b) ∈ S.
8) (UFOP – MG) – Seja a Fórmula do Binômio de Newton (a + b) = ∑H7'& H (a
n
n–i
bi,
válida para qualquer a,b ∈R e n ∈IJ$ . Então, com base na fórmula acima
A) deduza uma fórmula para calcular ∑K7 & K (.
B) determine o número de subconjutos que se pode formar a partir de um
conjunto com 6 elementos.
9) (UFSJ – São João Del Rey) – A fórmula conhecida como binômio de
Newton estabelece que (a + b)n = &'(8 9' # &%(8 – % 9% # : # & (8' 9 em que a
e b são números reais , n é número natural e &E ( !
E!
!
–E !
.
Escolhendo valores
adequados para a e b, use a fórmula acima para calcular o valor da expressão abaixo:
& ( # & 3 ( # & ( # … # &32( # & (
231 # 23 # 232 # 2
10) (UFES) – Qual é o valor do termo independente de x no desenvolvimento de
< #
3 0
;
. < .
3 0
;
?
11) (UFOP - MG) – Qual é a ordem e o coeficiente do termo em x2 no desenvolvimento
de < #
3
M
√;
0
?
12) (FGV – SP) – No desenvolvimento do binômio (a + b) n + 5, ordenado segundo
potências decrescentes de a, o quociente entre o termo que ocupa a (n + 3)-ésima posição
por aquele que ocupa a (n + 1)-ésima é
GD
F
, isto é
D
NO P M
NO P Q
=
GD
FD
. calcule o valor de n.
13) (Mackenzie – SP) – Qual é o termo independente de x no desenvolvimento de
(3 + 6x2)11 ?
17
14) (ITA – SP) – Sabendo que a soma dos coeficientes do polinômio em x e y obtido no
desenvolvimento de (x + y)m é igual a 1.024, calcule o número de arranjos de m elementos
tomados 2 a 2.
15) (UECE) – Calcule a soma das soluções da equação &30 ( ! &
16) (ITA – SP) – Resolva a equação &;3/
( ! &
"3
3
(.
;"3
3/
(.
;$3
************************************************************************
► Respostas:
1) x =
2) 180 3)
4)
5) 13.440 6) n = 3k – 1 7) 218 8) A) 2n B) 64
9)
3/
o
2
10) -20 11) 4 termo, 20 12) 6 13) T1 = 311 14) 90 15) 5
16) S = {5}