ww.cursoaprovacao.com.br

Raciocínio Lógico
Banco do Brasil
Teoria e Exercícios
Prof. Sérgio Altenfelder
Mais de 360
aprovados na
Receita Federal em 2006
Data de impressão: 29/06/2007
67 das 88 vagas no AFRF no PR/SC
150 das 190 vagas no TRF no PR/SC
150 das 190 vagas no TRF
Visite a loja virtual
Conquiste sua vitória ao nosso lado
w w w. e d i t o r a m a x i m u s . c o m . b r
www.conquistadeconcurso.com.br
w w w. e d i t o r a m a x i m u s . c o m . b r
www.cursoaprovacao.com.br
oaprovacao.com.br
Visite o Portal dos Concursos Públicos
MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
ww
w. c u r s o a p r o v a c a o . c o m . b r
MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃO
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
TABELA VERDADE
Iremos abordar nesta apostila uma diferente forma de argumentação que se associa diretamente com a língua portuguesa.
Apesar de analisarmos frases muitas vezes de forma subjetiva a matéria que transmitirei a vocês abordará de forma
simples, concisa e precisa conclusões das frases ligadas com a nossa língua, que muitas vezes serão levantadas em
questões em sala de aula. Porém com a lógica não teremos como discutir a validade da frase, pois ela irá detalhar
precisamente o certo do errado. Vamos ao que interessa.
Proposições
Chama-se proposição toda sentença declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa. Temos dois tipos de
proposições: simples e composta.
Proposições Simples
Chama-se proposição simples ou sentença toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
Iremos representar uma proposição simples uma letra minúscula qualquer de nosso alfabeto.
Tipos de Sentenças
Declarativas
Exemplos
Carlos é escritor.
Todos os gatos são pardos
Existem estrelas maiores do que o Sol
Imperativas
Segure firme!
Não faça isto
Pegue aquele negócio
Interrogativa
Quem peidou?
Quantos japoneses moram no Brasil?
Exclamativas
Que morena!
Parabéns!
Valores Lógicos das Proposições Simples
Podemos classificar uma proposição simples em verdadeira ou falsa.
Exercícios de Fixação
1. Das sentenças abaixo, assinale quais são proposições e ao descobrir que a sentença é uma proposição atribua o
valor lógico (V ou F) a elas.
a.) O Chile e o Brasil.
i.) Sérgio Altenfelder é professor de Direito Penal
b.) Um beijão.
j.) O triplo de 5.
c.) Aonde estão Carla e Marcos?
k.) Que horas são?
d.) O Brasil foi campeão de futebol em 1982
l.) Pega aquilo no bolso dele.
e.) Que legal!
m.) O Brasil ganhou 5 medalhas de ouro em Atlanta
f.) 5 . 4 = 20
n.) - 4 - 3 = 7
g.) 4 . 2 + 1 > 4
o.) 4 . 2 + 1 < 9
3
3
h.) (-2) > 4
p.) (-2) < 4
Proposições Compostas
Ao utilizarmos a linguagem combinamos idéias simples, ligando as proposições simples através de símbolos lógicos,
formando assim as chamadas proposições compostas.
Conectivos
Vejamos os conectivos (e seus símbolos ) que ligam as proposições simples, formando as proposições compostas.
Conjunções
XXX e YYY
XXX . YYY ou XXX ^ YYY
Disjunções
XXX ou YYY
XXX v YYY
Condicionais
Se XXX, então YYY
Bicondicionais
XXX se e somente se YYY
Conectivos
XXX
YYY ou XXX
XXX
YYY
YYY
Para analisar os valores lógicos das proposições compostas, iremos utilizar uma tabela que prevê todos os possíveis
valores lógicos que uma sentença pode possuir a partir dos valores lógicos das proposições simples. O nome desta tabela
é: TABELA VERDADE.
Número de Linhas da Tabela Verdade
Quando trabalhamos com tabela verdade, é sempre importante verificar quantas linhas deveremos analisar. E para isso é
preciso conhecermos a seguinte fórmula:
2n
onde n é o número de proposições simples que estamos analisando.
Atualizada em 24/4/2007
1
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Por exemplo, caso formos analisar uma proposição composta com duas proposições simples (p e q), poderemos analisá-las
das seguintes maneiras:
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
2
Repare que fórmula já previa quatro linhas para serem analisadas. 2 = 4 linhas
Vamos analisar agora uma proposição composta com três proposições simples (p,q e r).
p
q
r
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
3
Repare que fórmula já previa oito linhas para serem analisadas. 2 = 8 linhas
Exercícios de Fixação
2. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 8 proposições
simples pode possuir em uma tabela verdade.
a.) 16 linhas
b.) 32 linhas
c.) 64 linhas
d.) 128 linhas
e.) 256 linhas
3. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 6 proposições
simples pode possuir em uma tabela verdade.
a.) 64 linhas
b.) 128 linhas
c.) 256 linhas
d.) 512 linhas
e.) 1024 linhas
Negação (~p)
Uma proposição quando negada, recebe valores lógicos opostos dos valores lógicos da proposição original. O
símbolo que iremos utilizar é ~p.
p
~p
V
F
F
V
Valores Lógicos das Proposições Compostas
Tabela verdade do conectivo e, Conjunção ( . ou ^ )
Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso a conjunção e . Simbolicamente temos p . q (lê-se p e
q). Este conectivo traduz a idéia de simultaneidade.
Assim, uma proposição composta do tipo: p . q é verdadeira apenas quando as proposições simples p e q forem
simultaneamente verdadeiras, em qualquer outro caso p . q é falsa.
Resumindo na tabela verdade:
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p.q
V
F
F
F
A conjunção p . q é verdadeira se p e q são verdadeiras ao mesmo tempo. E caso uma delas for falsa, então p . q é falsa.
Veja o exemplo abaixo com frases.
Paris não se situa na África e a África tem uma população predominante negra.
V
V
Conclusão V
Paris não se situa na África e a África não tem uma população predominante negra.
V
F
Conclusão F
Paris situa-se na África e a África tem uma população predominante negra.
F
V
Conclusão F
Paris situa-se na África e a África não tem uma população predominante negra.
F
F
Conclusão F
2
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Tabela verdade do conectivo ou, Disjunção não exclusiva ( )
Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção não exclusiva ou . Simbolicamente temos
p q (lê-se p ou q). Este conectivo traduz a idéia de que pelo menos uma das hipóteses ocorre.
Assim, uma proposição composta do tipo p
q é verdadeira quando pelo menos uma das proposições simples forem
verdadeiras, sendo falsa apenas quando ambas forem falsas.
Resumindo na tabela verdade:
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A disjunção p
tempo então p
q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira. Caso p e q são falsas ao mesmo
q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases.
Paris não se situa na África ou a África tem uma população predominante negra
V
V
Paris não se situa na África ou a África não uma população predominante negra.
V
F
Paris situa-se na África ou a África tem uma população predominante negra.
F
V
Paris situa-se na África ou a África não tem uma população predominante negra.
F
F
Conclusão V
Conclusão V
Conclusão V
Conclusão F
Tabela verdade do conectivo ou, Disjunção exclusiva ( )
Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da disjunção exclusiva ou . Simbolicamente temos p
q (lê-se ou p ou q). Este conectivo traduz a idéia hipóteses mutuamente exclusivas.
Antes de continuar qualquer tipo de explicação é importante salientar a diferença entre os dois tipos de ou . Esse ou que
iremos abordar, dá a idéia de exclusão plena: Ou irei ao shopping ou ao estádio . Repare que o personagem ou vai ao
shopping ou vai ao estádio, ele não poderá ir aos dois locais ao mesmo tempo. Temos aqui, a idéia da disjunção que
estamos apresentando.
Uma proposição composta do tipo p q é verdadeira quando apenas uma das proposições simples forem verdadeiras,
sendo falsa quando ambas forem falsas ou ambas verdadeiras.
Resumindo na tabela verdade:
p
q
p q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F
A disjunção p
tempo então p
q é verdadeira se ao menos uma das proposições p ou q é verdadeira, caso p e q são falsas ao mesmo
q é falsa. Veja o exemplo abaixo com frases. Ir ao cinema e ao teatro serão frases verdadeiras.
Ou irei ao cinema ou ao teatro.
V
V
Conclusão F
Ou irei ao cinema ou não irei ao teatro.
V
F
Conclusão V
Ou não irei ao cinema ou irei ao teatro.
Conclusão V
F
V
Ou não irei ao cinema ou não irei ao teatro. Conclusão F
F
F
Exercício de Fixação
4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 40 = 1 22 = 4
b) 2! = 2 . 0! =1
c) 40 = 1 23 = 6
d) 2! = 2 . 0! =0
e) Sérgio Altenfelder é professor de matemática e de estatística
f) Sergio Altenfelder é professor de matemática ou de português
g) Sérgio está de blusa verde ou de blusa branca
h) 1! = 0 . 0! = 0
i) Londres é a capital da Inglaterra ou a torre Eiffel situase em Londres
j) 22 = 4 23 = 6
k) O meridiano de Greenwich passa por Londres e
Londres é a capital do Chile
l) 4 - 1 = 3 2 x 3. = 8
m) 32 = 9 2 x 3 = 8
n) 4 - 1 = 3 . 2 x 3 = 8
5. Sejam as proposições:
p: A vaca foi para o brejo
q: O boi segue a vaca.
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo:
a)
b)
c)
d)
~p
~q
p.q
p q
e)
f)
g)
h)
~p . q
p ~q
~(p . q)
~(p q)
i) ~p ~q
j) ~p . ~q
k) ~(~q)
l) ~(~p)
Atualizada em 24/4/2007
3
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
6. Sejam as proposições simples.
p: João é alto e
Escreva na forma simbólica
a) João não é alto
b) Não é verdade que João não é alto
c) João é alto e é jogador de basquete.
d) João não é alto e é jogador de basquete.
e) João não é alto ou não é jogador de basquete.
f) João não é jogador de basquete.
g) Não é verdade que João não é jogador de basquete
Raciocínio Lógico
q: João é jogador de Basquete.
h)
i)
j)
k)
l)
m)
João é alto ou é jogador de basquete.
João é alto e não é jogador de basquete
Não é verdade que João é alto e é jogador de basquete
Não é verdade que João é alto ou é jogador de basquete
Não é verdade que João não é alto ou é jogador de basquete
João não é alto nem é jogador de basquete.
Tabela verdade do conectivo xxx se e somente se yyy , Bicondicional ( )
Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da bicondicional xxx se somente se yyy .
Simbolicamente temos p
q (lê-se p se e somente se q). Este conectivo traduz a idéia de bicondição. Este conectivo não é
muito usado em nossa língua portuguesa,usamos mais em frases matemáticas,para provar certas teorias.
É importante apresentar um outro conceito que costuma cair de uma frase condicional.
Temos p
q.
p é condição suficiente e necessária para q. Ou ainda p é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo.
q é condição necessária e suficiente para p Ou ainda q é chamado de causa e efeito ao mesmo tempo.
Este conectivo traduz a idéia de bicondição. Assim, uma proposição composta do tipo p
q só será falsa se tivermos p e q
apresentando valores lógicos diferentes; e se p e q possuirem os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.
Resumindo na tabela-verdade:
p
q
p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
A bicondicional p
q só será falsa se tivermos p e q apresentarem valores lógicos diferentes; e se p e q são proposições
com os mesmos valores lógicos a frase será verdadeira.
2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6.
V
V
Conclusão V
2 x 3 = 6 se e somente se 2 + 2 + 2
V
F
6.
Conclusão F
2x3
F
6 se e somente se 2 + 2 + 2 = 6.
V
Conclusão F
2x3
F
6 se e somente se 2 + 2 + 2
F
Conclusão V
6.
Tabela verdade do conectivo Se xxx então yyy , Condicional ( ou
)
Iremos estudar a lógica entre duas proposições p e q através do uso da condicional Se xxx então yyy . Simbolicamente
temos p q (lê-se se p então q). Este conectivo traduz a idéia de condição, em outras palavras, causa e efeito.
É importante apresentar um outro conceito que costuma cair de uma frase condicional.
Temos p q.
p é condição suficiente para q. Ou ainda p é chamado de causa.
q é condição necessária para p Ou ainda q é chamado de conseqüência ou efeito
Este conectivo traduz a idéia de condição. Assim, uma proposição composta do tipo p
q só é falsa se tivermos p é
verdadeira e q falsa; em qualquer outro caso, ela é verdadeira.
Resumindo na tabela-verdade:
p
q
p q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
O condicional p q é falso somente quando p é verdadeira e q é falsa; caso contrário, p
abaixo com frases.
q é verdadeiro. Veja o exemplo
Se o São Paulo ganhou o jogo então ele será o campeão brasileiro de futebol.
V
V
Conclusão V
Se o São Paulo ganhou o jogo então ele não será o campeão brasileiro de futebol.
V
F
Conclusão F
Se o São Paulo não ganhou o jogo então ele será o campeão brasileiro de futebol.
F
V
Conclusão V
Se o São Paulo não ganhou o jogo então ele não será o campeão brasileiro de futebol. Conclusão V
F
F
4
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Como este conectivo é muito difícil de entender, vamos imaginar a seguinte situação: Imaginemos que você seja uma
pessoa que normalmente carrega seu guarda chuva na sua bolsa ou mala ou de qualquer outra forma.
Supor que está chovendo é uma frase verdadeira e que levar o guarda chuva também será verdadeira.
Se não está chovendo então eu levo o guarda chuva.
F
V
Conclusão V
Se não está chovendo então eu não levo o guarda chuva.
F
F
Conclusão V
Vamos interpretar as duas situações acima.Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que não chove,
elas podem ou não carregar seu guarda chuva. Por isso que as frases acima são verdadeiras.
Se está chovendo então eu levo o guarda chuva.
V
V
Conclusão V
Se está chovendo então eu não levo o guarda chuva.
V
F
Conclusão F
Vamos interpretar as duas situações acima.Pessoas que normalmente carregam seu guarda chuva, em dias que chove, elas
sempre carregam seu guarda chuva. Por isso que das duas frases acima uma verdadeira e a outra é falsa.
Ainda sobre o conectivo se então , temos que memorizar 3 conceitos sobre tal conectivo:
Proposições Inversas: para encontrar a inversa de uma proposição composta basta negar as frases.
p q sua inversa é ~p ~q
x
~y sua inversa é ~x
y
Proposições recíprocas: para encontrar a recíproca de uma proposição composta basta inverter as frases.
p q sua recíproca é q p
x
~y sua recíproca é ~y
x
Proposições contrapositivas: para encontrar a contrapositiva de uma proposição composta basta inverter e negar as
frases.
p q sua contrapositiva é ~q ~p
x ~y sua contrapositiva é y
~x
Exercícios de Fixação
7.) Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
2
2
a) 2! = 2
0! = 1
h)
2 =4
3 =6
0
2
2
b) 2 = 0
0! = 0
i)
2 =4
3 =9
c) 2 é impar
3 é impar
j)
2-1=1
5+7=3.4
2
d) 5 = 25
3 - 4 = -1
k)
2 é par
3 é impar
2
e) 5 = 125
3-4=7
l)
2 é impar
3 é par
2
2
f) 5 = 5
3 - 4 = -1
m)
5 = 25
3-4=1
g) 5 - 4 = 1
1 = 20
n)
5-3 8
8 4.5
8.) Sejam as proposições
a: O meu time vai jogar contra um time fraco
Escreva na linguagem simbólica:
a.) Se o meu time vai jogar contra um time fraco, então vou ao estádio
b.) Se o meu time não vai jogar contra um time fraco, então eu vou ao estádio.
c.) Se o meu time não vai jogar contra um time fraco, então eu não vou ao estádio.
d.) Se o meu time vai jogar contra um time fraco, então eu não vou ao estádio.
9.) Sejam as proposições:
p: A vaca foi para o brejo
Forme sentenças, na linguagem natural, que correspondam às proposições abaixo:
a)
p
q
k)
p
~q
b)
~p
~q
l)
~p
q
c)
~(p
q)
m) p
(p q)
d)
(p q)
~q
n)
~p
~(p q)
e)
p
~(p q)
o)
~(p q)
~q
f)
~p
q
p)
~(p
q)
g)
p
q
q)
p
~q
h)
~p
~q
r)
~p
(p q)
i)
p
~(p q)
s)
~(p q)
~q
j)
~p
~(p q)
t)
p
(p q)
Atualizada em 24/4/2007
b: Eu vou ao estádio
q: O boi seguiu a vaca.
5
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
10.) Sejam as proposições:
p: João é alto
q: João é jogador de Basquete
Escreva na forma simbólica
a.) Se João não é alto então ele é jogador de basquete.
b.) Se João não é alto então ele não é jogador de basquete.
c.) É mentira que se João não é alto então ele é jogador de basquete.
d.) João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.
e.) João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete.
f.) João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.
g.) É mentira que João não é alto se e somente se ele é jogador de basquete.
h.) É mentira que João não é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.
i.) Se João é alto então ele é jogador de basquete.
j.) Se João é alto então ele não é jogador de basquete.
k.) Não é verdade que se João é alto então ele é jogador de basquete.
l.) Não é verdade que se João é alto então ele não é jogador de basquete.
m.) João é alto se e somente se ele é jogador de basquete.
n.) É mentira que se João não é alto então ele não é jogador de basquete.
o.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele é jogador de basquete.
p.) Não é verdade que João é alto se e somente se ele não é jogador de basquete.
Montagem de Tabelas Verdades
Pelo uso repetido dos conectivos estudados e da negação, podemos construir proposições compostas progressivamente
mais complexas, cujos valores lógicos não temos condições de determinar imediatamente. No entanto, o valor de uma
proposição sempre pode ser determinado a partir dos valores lógicos das proposições simples componentes e dos
conectivos utilizados. Um modo organizado, sistemático, de fazer isso é a utilização de uma tabela com todas as possíveis
combinações entre os valores lógicos das proposições componentes e com o correspondente valor lógico da proposição
composta. A partir do uso desta técnica, podemos descobrir os valores lógicos das proposições compostas e verificar se
elas são equivalentes, ou negações, ou tautológicas, contraditórias ou ainda contingentes.
Dupla Negação ~(p)
A dupla negação nada mais é do que a própria proposição. Isto é, p = ~(~p)
p
~p
~(-p)
V
F
V
F
V
F
~(~p) = p
Exemplos
Vamos determinar toso os possíveis valores lógicos da proposição p . ~q, construindo a seguinte tabela-verdade
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p . ~q
F
V
F
F
Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição ~p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~q construindo a seguinte tabela-verdade:
~p
~q
F
V
V
V
Contingência
Sempre que uma proposição composta recebe valores lógicos falsos e verdadeiros, independentemente dos valores lógicos
das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma CONTINGÊNCIA.
Contradição
Vamos determinar os possíveis valores lógicos da proposição p. ~p, construindo a seguinte tabela verdade:
p
V
F
q
F
V
p . ~p
F
F
Exemplo: Hoje é sábado e hoje não é sábado
Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos falsos, independentemente dos
valores lógicos das proposições simples componentes, dizem que a proposição em questão é uma CONTRADIÇÃO
6
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Tautologia
Vamos determinar todos os possíveis valores lógicos da proposição p
p
V
F
~p
F
V
p
Raciocínio Lógico
~p, construindo a seguinte tabela verdade
~p
V
V
Exemplo: O céu está claro ou não está.
Sempre que uma proposição composta recebe todos os seus possíveis valores lógicos verdadeiros, independentemente dos
valores lógicos das proposições simples componentes, dizemos que a proposição em questão é uma Tautologia
Equivalências Lógicas:
Dizemos que duas proposições compostas são equivalentes quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são
equivalentes. Vejamos se essas duas frases são equivalentes: p
q e ~p q
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
p
q
V
F
V
V
~p q
V
F
V
V
Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são equivalentes. Desse modo podemos
dizer que elas são equivalentes.
Analisando outras frases.
A proposição Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco é equivalente a Nossos produtos não são
caros ou não duram pouco . Vamos verificar:
p: Nossos produtos são caros
~p: Nossos produtos não são caros
q: Nossos produtos duram pouco
~q: Nosso produtos não duram pouco
~(p . q): Não é verdade que nossos produtos são caros e duram pouco.
~p ~q: Nossos produtos não são caros ou não duram pouco.
p
V
V
F
F
Como podemos notar ~(p . q)
~p
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p.q
V
F
F
F
~(p . q)
F
V
V
V
~p
~q
F
V
V
V
~q
Analogamente, podemos verificar que a proposição Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou. Garante
o mesmo que Bráulio não passou no concurso e não se matou. Vamos verificar:
p: Bráulio passou no concurso.
~p: Bráulio não passou no concurso.
q: Bráulio se matou.
~q: Bráulio não se matou.
~(p q):Não é verdade que Bráulio passou no concurso ou se matou.
~p . ~q: Bráulio não passou no concurso e não se matou.
p
V
V
F
F
Como podemos notar ~(p
q)
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p
q
V
V
V
F
~(p q)
F
F
F
V
~p . ~q
F
F
F
V
~p . ~q
Negação de Proposições Compostas
Dizemos que uma proposição composta é a negação da outra quando os valores lógicos das suas tabelas verdades são
opostas. Vejamos se uma frase é a negação da outra evice-versa: p
q e p . ~q
Como podemos notar ~(p
q)
p
q
~q
p
q
p . ~q
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
p . ~q. Em outras palavras, a negação da proposição p
q é p . ~q
Percebe-se que os valores lógicos das duas proposições compostas analisadas são opostas. Desse modo podemos dizer
que uma é a negação da outra e vice versa.
Atualizada em 24/4/2007
7
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Exercício de Fixação
11. Se A, B e C são enunciados verdadeiros e X, Y e Z são enunciados falsos. Classifique os enunciados abaixo em
verdadeiros ou falsos:
a) (C Z) . (Y B)
p)
~{[(~A B) . (~B A)] . ~[(A . B) (~A . ~B)]}
b) (A . B) (X . Y)
q)
~{[(~C Z) . (~Z C)] . ~[(C . Z) (~C . ~Z)]}
c) ~(B X) . ~(Y Z)
r)
[A (B . C)] . ~[(A . B) (A .C)]
d) ~(C B) ~(~X . Y)
s)
[B (~X . ~A)] . ~[(A . B) (A .C)]
e) ~B X
t)
[B (~X . ~A)] . ~[(B ~X) . (B A)]
f) ~X A
u)
A (B C)
g) ~X Y
v)
A (B Z)
h) ~[(~B A) (~A B)]
w) A (Y C)
i) ~[(~Y Z) (~Z Y)]
x)
A (Y Z)
j) ~[(~C Y) (~Y C)]
y)
X (B Z)
k) ~[(~X A) (~A X)]
z)
X (B C)
l) ~[A (B C)] [(A B) C]
aa) X (Y C)
m) ~[X (Y Z)] [(X Y) Z]
bb) X (Y Z)
n) [A . (B C)] ~[(A . B) (A .C)]
cc) (X Y) Z
o) ~[X . (~A Z)] [(X . ~A) (X . Z)]
dd) (A B) Z
12. Sendo:
p: Tânia é cantora
q: Tânia é pernambucana
Escreva na linguagem natural as proposições e aponte quais delas podem ser equivalentes:
a.) p q
b.) ~p ~q
c.) ~(~p ~q)
d.) ~( p q )
e.) ~( p q )
f.) ~p ~q
13. Mostre que a proposição (p
q)
~p é uma contradição.
14. Mostre que a proposição (p
q)
~p é uma tautologia.
15. Mostre que a proposição (p
q)
~p é uma contingência.
16. Monte as seguintes tabelas verdades
a.) ~p ~q
f.) ~p
q
b.) p ~q
g.) p ~p
c.) p
~q
h.) ~p
~q
d.) p ~p
i.) ~(p
~p)
e.) (p ~p) [p (p . q)]
j.) ~p [~(p ~q)
(~p . q)]
k.) ~(p
~q)
l.) (~p ~q) p
m.) (p q) ~( p ~q)
n.) (p q)
~( p ~q)
o.) p [(~p . q) ~(p (~q
p)]
Testes que podem cair na prova
17. Assinale quais das alternativas abaixo são as corretas conclusões de:
r
s
Sabemos que o valor lógico de r é verdadeiro e que o valor lógico de s é falso; então pode-se dizer que:
a.) r
s
b.) r s
c.) r
s
d.) r ~s
e.) ~r s
8
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
18. (PUC/RS) Sejam p e q duas proposições. A negação p . q equivale a:
a.) ~p ~q
b.) ~p . ~q
c.) ~p q
d.) ~p q
e.) p . ~q
19. Sejam p e q duas proposições. A negação p
a.) ~p ~q
b.) ~p . ~q
c.) ~p q
d.) ~p . q
e.) p . ~q
~q equivale a:
20. Sejam p e q duas proposições. A negação p
a.) ~p ~q
b.) ~p . ~q
c.) ~p q
d.) ~p q
e.) p . ~q
q equivale a:
21. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
~q
b.) p
~q
c.) ~p q
d.) ~p
q
e.) p . ~q
~q equivale a:
22. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a.) ~p . ~q
b.) ~p
~q
c.) ~p
q
d.) ~p ~q
e.) p
q
q equivale a:
23. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q equivale a:
24. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a.) ~p ~q
b.) ~p . ~q
c.) p q
d.) ~p . q
e.) p ~q
q equivale a:
25. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q tem como contrapositiva a seguinte proposição:
26. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q tem como inversa a seguinte proposição:
27. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q tem como recíproca a seguinte proposição:
Atualizada em 24/4/2007
9
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
28. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q tem como contrapositiva a seguinte proposição:
29. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
~p
e.) p
q
~q tem como inversa a seguinte proposição:
30. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) ~q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
~q tem como recíproca a seguinte proposição:
31. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
p tem como contrapositiva a seguinte proposição:
32. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
p tem como inversa a seguinte proposição:
33. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~q
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
~q
p tem como recíproca a seguinte proposição:
34. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) ~p
~q
c.) q
~p
d.) q
p
e.) ~q
q
q tem como inversa a seguinte proposição:
35. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a.) ~p
q
b.) q
p
c.) q
~p
d.) ~q
p
e.) p
q
q tem como recíproca a seguinte proposição:
36. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 4 proposições
simples pode possuir em uma tabela verdade.
a.) 16 linhas
b.) 32 linhas
c.) 64 linhas
d.) 128 linhas
e.) 256 linhas
37. Assinale a alternativa que exibe a quantidade de linhas que uma proposição composta com 10 proposições
simples pode possuir em uma tabela verdade.
a.) 64 linhas
b.) 128 linhas
c.) 256 linhas
d.) 512 linhas
e.) 1024 linhas
10
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
38. (Mackenzie/SP) Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y = 7. Pode-se concluir que:
a.) se x 3, então y 7
b.) se y = 7, então x = 3
c.) se y 7, então x 3
d.) se x = 5, então y - 5
e.) Nenhuma das conclusões acima é válida
39. Considere o argumento
Pedro foi aceito e faltou às provas.
Pedro não foi aceito, então ele faltou às provas
Representando por p a frase Pedro foi aceito e por q a sentença ele faltou às provas, a tradução
correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:
a)
b)
c)
d)
e)
p q ~p q
p q ~p q
~p q p q
p . q ~p q
p q ~p . q
40. Considere as seguintes correspondências
I.
p (~q ~q)
II.
(p q) (q . ~q)
III.
p [(p q) q]
Assinale a alternativa correta:
a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica
b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente
c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica
d) I é tautológica, II é contingente e III é contingente
e) I é contingente, II é contingente e III é tautologia
41. A tabela verdade que corresponde à sentença p
p
q
a)
~(p q)
p ~(p q)
V
V
F
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
V
V
b)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~(p q)
V
V
V
F
p
~(p
V
V
V
V
q)
c)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~(p q)
F
V
F
F
p
~(p
F
V
V
V
q)
d)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~(p q)
V
V
V
F
p
~(p
F
F
F
F
q)
e)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~(p q)
F
F
F
V
p
~(p
F
F
V
V
q)
42. Se T é uma tautologia,
será contingente:
a) T (
)
b) (
) ~T
c) T ( ~
C)
d)
(C . T)
e) (T T) C
~(p
q) é
é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões
Atualizada em 24/4/2007
11
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
43. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de (~A . ~X)
(Y C), B (Y Z) e B Z respectivamente são:
a) verdadeiro, verdadeiro, falso
b) falso, verdadeiro, falso
c) falso, falso, verdadeiro
d) verdadeiro, falso, falso
e) verdadeiro, falso, verdadeiro
44. Considere o argumento
João passou no concurso Logo se João não passou no concurso, então ele faltou às provas
Representando por: p a frase João passou no concurso e por q a sentença ele faltou às provas, a
tradução correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:
a) p q ~p q
b) p q ~p q
c) ~p q ~p q
d) p ~p q
e) p q ~p . q
45. Considere as seguintes correspondências
I.
p (p ~q)
II.
(p p) p
III.
p [(p q) q]
Assinale a alternativa correta:
a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica
b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente
c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica
d) I é tautológica, II é contingente e III é tautológica
e) I é contingente, II é contingente e III é contingente
46. A tabela verdade que corresponde à sentença ~p ~(p
p
q
~q
~p
a)
p ~q
~p ~(p ~q)
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
b)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p
~q
V
V
F
F
~p
c)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p
~q
V
F
F
F
~p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
~(p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
d)
e)
47. Se T é uma tautologia,
será contingente:
a) C (
)
b) (
) ~T
c) T ( ~
C)
d) ~
(T . T)
e) ~
(T T)
12
~q)
V
F
V
V
p
~q
V
V
F
V
~(p
V
V
V
V
~q)
~q
~p
F
V
V
V
~p
~(p
F
V
F
V
~(p
~(p
F
V
V
V
~q)
~q)
~q)
F
F
V
F
~q) é
~p
~(p
V
V
V
F
~q)
é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
48. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de ~[(~A . ~X)
(Y C)], ~B (Y Z) e B Z respectivamente são:
a) verdadeiro, verdadeiro, falso
b) falso, verdadeiro, falso
c) falso, falso, verdadeiro
d) verdadeiro, falso, falso
e) verdadeiro, falso, verdadeiro
49. Considere o argumento
Paulo passou no concurso, ou ele faltou às provas
Logo, se Paulo não passou no concurso, então ele faltou às provas
Representando por: p a frase Paulo passou no concurso e por q a sentença ele faltou às provas, a
tradução correta do argumento acima, para a linguagem simbólica, é:
a) p q ~p q
b) ~p q ~p q
c) ~p q ~p q
d) p . q ~p q
e) p q ~p . q
50. Considere as seguintes correspondências
I.
p (p ~q)
II.
(p p) (q . ~q)
III.
p [(p q) q]
Assinale a alternativa correta:
a) I é contingente, II é contraditória e III é tautológica
b) I é tautológica, II é contraditória e III é contingente
c) I é tautológica, II é contraditória e III é tautológica
d) I é tautológica, II é contingente e III é tautológica
e) I é contingente, II é contingente e III é contingente
51. A tabela verdade que corresponde à sentença ~p
p
q
~q
~p
a)
p ~q
~(p ~q)
V
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
b)
p
V
V
F
F
q
F
F
V
V
~p
F
V
F
V
~q
V
V
F
V
p
~q
V
V
F
V
~p
c)
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p
~q
V
F
F
F
~(p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
p
~q
V
V
F
V
~(p
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~q
F
V
F
V
p
d)
e)
52. Se T é uma tautologia,
será contingente:
a) T (
)
b) (
) ~T
c) T ( ~
C)
d) ~
(C . T)
e) ~
(C T)
~q
V
V
F
V
~(p
V
V
V
V
~(p
~p
~q)
~q)
~p
~(p
F
V
V
V
~q)
~q)
~p
~(p
V
V
V
F
~q)
~p
~(p
F
F
V
V
~q)
F
V
V
V
F
F
V
F
~(p
~q)
F
F
V
F
~q) é
~(p ~q)
F
V
V
V
é uma contradição e C é uma contingência, diga qual dentre as seguintes expressões
Atualizada em 24/4/2007
13
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
53. Se A, B, C são sentenças verdadeiras e X, Y, Z são sentenças falsas, então os valores de verdade de ~[(~A . ~X)
(Y C)], B (Y Z) e B Z respectivamente são:
a) verdadeiro, verdadeiro, falso
b) falso, verdadeiro, falso
c) falso, falso, verdadeiro
d) verdadeiro, falso, falso
e) verdadeiro, falso, verdadeiro
Equivalências Lógicas ou Equivalência entre Proposições
Iremos ver esse tópico novamente, só que agora iremos utilizar um modo de resolver as equivalências de um modo
mais rápido. Mas para isso precisamos decorar as propriedades lógicas.
Propriedade das Equivalências Lógicas
1.
~(p . q)
~p
2.
~(p
3.
p
q
~q
4.
p
q
~p
5.
~(p
6.
p
7.
~(p
q)
~p . ~q
q)
q
~q
~p
q
p . ~q
q
q)
p
p
q
Testes que podem cair na prova
54. (PUC/RS) Sejam p e q duas proposições. A negação p . q equivale a:
a) ~p ~q
b) ~p . ~q
c) ~p q
d) ~p q
e) p . ~q
55. Sejam p e q duas proposições. A negação p
a) ~p ~q
b) ~p . ~q
c) ~p q
d) ~p . q
e) p . ~q
~q equivale a:
56. Sejam p e q duas proposições. A negação p
a) ~p ~q
b) ~p . ~q
c) ~p q
d) ~p q
e) p . ~q
q equivale a:
57. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a) ~p
q
b) ~p
~q
c) ~p q
d) ~p
q
e) p . ~q
~q equivale a:
58. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a) ~p . ~q
b) ~p
~q
c) ~p
q
d) ~p ~q
e) p
q
q equivale a:
59. Sejam p e q duas proposições. A proposição p
a) ~p
q
b) ~p
~q
c) q
~p
d) ~q
p
e) p
q
~q equivale a:
14
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
60. Sejam p e q duas proposições. A proposição ~p
a) ~p ~q
b) ~p . ~q
c) p q
d) ~p . q
e) p ~q
Raciocínio Lógico
q equivale a:
61. (Mackenzie/SP) Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y = 7. Pode-se concluir que:
a) se x 3, então y 7
b) se y = 7, então x = 3
c) se y 7, então x 3
d) se x = 5, então y - 5
e) Nenhuma das conclusões acima é válida
62. Duas grandezas x e y são tais que se x = 3, então y
a.) se x 3, então y 7
b.) se y = 7, então x 3
c.) se y 7, então x 3
d.) se x = 5, então y - 5
e.) Nenhuma das conclusões acima é válida
7. Pode-se concluir que:
63. (MPU/96) Uma sentença logicamente equivalente a: Se Pedro é economista, então Luíza é solteira é:
a.) Pedro é economista ou Luíza é solteira.
b.) Pedro é economista ou Luíza não é solteira.
c.) Se Luíza é solteira, Pedro é economista.
d.) Se Pedro não é economista então Luíza não é solteira.
e.) Se Luíza não é solteira então Pedro não é economista.
64. (ICMS/97) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
a.) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
b.) Rodrigo é culpado.
c.) Se Rodrigo não mentiu, então ele não é culpado.
d.) Rodrigo mentiu.
e.) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
65. (ICMS/97) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo,
a.) seu esforço é condição suficiente para vencer.
b.)seu esforço é condição necessária para vencer.
c.) Se você não se esforçar, então não irá vencer.
d.) você vencerá só se esforçar.
e.) mesmo que você se esforce, você não vencerá.
66. (FISCAL DO TRABALHO/98) Chama-se tautologia a toda proposição que
independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é:
a.) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b.) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c.) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d.) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e.) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
é
sempre
verdadeira,
67. (FISCAL DO TRABALHO/98) A negação da afirmação condicional se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
é:
a.) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b.) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c.) Não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d.) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e.) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
68. (FISCAL DO TRABALHO/98) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o
mesmo que dizer que:
a.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b.) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d.) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e.) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
Atualizada em 24/4/2007
15
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Lógica da Argumentação
Apresentaremos o estudo da tabela verdade através da lógica verbal, através de argumentos.
69. (MPU/96) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é professora.
Ora, Paula é professora. Portanto:
a.) Ana é advogada
b.) Sandra é secretária
c.) Ana é advogada, ou Paula não é professora
d.) Ana é advogada, e Paula é professora
e.) Ana não é advogada e Sandra não é secretária
70. (AFC/96) Se Beto briga com Glória então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa.
Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora Raul não briga com Carla. Logo,
a.) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória
b.) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema
c.) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema
d.) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória
e.) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória
71. (AFC/96) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a
mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais
velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então,
a.) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro
b.) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade
c.) Carlos e João são mais moços do que Pedro.
d.) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do que Pedro
e.) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade
72. (AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro
falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:
a.) Nestor e Júlia disseram a verdade
b.) Nestor e Lauro mentiram
c.) Raul e Lauro mentiram
d.) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
e.) Raul e Júlia mentiram
73. (AFTN/96) José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo , mas não tem certeza se o mesmo será
exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio tem opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se
Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís está
enganado, então o filme estará exibido. Ora, ou filme Fogo contra Fogo está sendo exibido, ou José não irá ao
cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:
a.) O filme Fogo contra Fogo está sendo exibido
b.) Luís e Júlio não estão enganados
c.) Júlio está enganado, mas não Luís
d.) Luís está enganado, mas não Júlio
e.) José não irá ao cinema
74. José quer ir ao cinema assistir ao filme Fogo contra fogo , mas não tem certeza se o mesmo será exibido. Seus
amigos, Maria, Luís e Júlio tem opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa,
então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís está enganado, então o filme
não estará exibido. Ora, ou filme Fogo contra Fogo está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se
que Maria está certa. Logo:
a.) O filme Fogo contra Fogo está sendo exibido
b.) Luís e Júlio não estão enganados
c.) Júlio está enganado, mas não Luís
d.) Luís está enganado, mas não Júlio
e.) José não irá ao cinema
75. (MPU/96) Se Carlos é mais alto do que Paulo, logo Ana é mais alta do que Maria. Se Ana é mais alta do que
Maria, João é mais alto do que Carlos. Ora, Carlos é mais alto do que Paulo, logo,
a.) Ana é mais alta do que Maria e João é mais alto do que Paulo.
b.) Carlos é mais alto do que Maria e Paulo é mais alto do que João.
c.) João é mais alto do que Paulo e Paulo é mais alto do que Carlos.
d.) Ana é mais alta do que Maria e Paulo é mais alto do que Carlos
e.) Carlos é mais alto do que João ou Paulo é mais alto do que Carlos
76. (FISCAL DO TRABALHO/98) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho
não canta. Ora, o passarinho canta. Logo:
a.) O Jardim é florido e o gato mia
b.) O Jardim é florido e o gato não mia
c.) O Jardim não é florido e o gato mia
d.) O Jardim não é florido e o gato não mia
e.) Se o passarinho canta, então o gato não mia
16
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Arranjo, Combinatória e Permutação
1. Fatorial
Fatorial de n (ou n fatorial): n! = n.(n 1).(n 2). ... .3.2.1, n IN / n
1! = 1 e 0! = 1
2.
Exemplo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
2. Arranjo: ordem importa
Simples
Com repetição
n!
(n p)!
A n, p =
(AR) n, p = np
3. Permutação: caso particular de arranjo
Simples
Pn = n!
Com repetição
(PR)n
, , , ...
=
Circular
n! ,
!. !. !...
+ + + =n.
(PC)n = (n
1)!
4. Combinação: a ordem não importa.
Simples
C n,p =
n!
(n p)!.p!
Com repetição
(CR) n , p = C n + p
1, p
Propriedades:
1a) C n, 0 = 1
2a) C n, 1 = n
3a) C n, n = 1
4a) C n, n p = C n , p
Exercícios
01. Uma prova compõe-se de 20 questões do tipo múltipla escolha tendo cada uma 4 alternativas distintas. Se todas
as 20 questões forem respondidas ao acaso, o número máximo de maneiras de preencher a folha de resposta será:
4
20
a.) 20
b.) 20!
c.) 116.280
d.) 4.845
e.) 4
02. Cinco bandeiras coloridas e distintas, hasteadas em um mastro, constituem um sinal em código. Quantos sinais
podem ser feitos com sete bandeiras de cores diferentes?
a.) 5.040
b.) 120
c.) 480
d.) 2.520
e.) 1.250
03. De quantas maneiras podemos escolher um comitê de cinco pessoas dentre oito?
a.) 56
b.) 20.160
c.) 336
d.) 252
e.) 250
04. Uma Pizzaria oferece as seguintes escolhas de pizza: presunto, cogumelo, pimentão, enchova e mozzarella. De
quantas maneiras podemos escolher dois tipos diferentes de pizza?
a.) 10
b.) 120
c.) 20
d.) 25
e.) 50
05. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que
podem ser formadas com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
a.) 120
b.)240
c.)480
d.) 2.500
e.) 1.250
06. As placas dos automóveis são formadas por duas letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que
podem ser formadas:
a.) Com as letras A e B e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
b.) Com as letras A e B e os algarismos pares.
Atualizada em 24/4/2007
17
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
c.) Com as letras A e B sem repeti-las e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
d.) Com as letras A e B sem repeti-las e os algarismos pares.
e.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
f.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos ímpares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
g.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
h.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos
07. As placas dos automóveis são formadas por três letras seguidas de 4 algarismos. Qual o número de placas que
podem ser formadas:
a.) Com as letras A, B e C e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
b.) Com as letras A, B e C e os algarismos pares.
o.) Com as letras A, B e C sem repeti-las e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo.
d.) Com as letras A, B e C sem repeti-las e os algarismos pares.
e.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos pares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
f.) Com todas as letras do alfabeto e os algarismos ímpares, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
g.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos, sem repetir nenhum algarismo e nenhuma letra.
h.) Com todas as letras do alfabeto e os todos os algarismos
08. Quantos são os anagramas da palavra ORDEM ?
a.) 120
b.) 72
c.) 720
d.) 24
e.) 48
09. Possuo 5 bolas de cores diferentes. De quantos modos posso distribuí-las a cinco meninos, de modo que cada
um receba uma única bola?
a.)120
b.)72
c.)720
d.)24
e.)48
10. Quantos números distintos podemos formar permutando os algarismos do número 777.443
a.) 720
b.) 120
c.) 72
d.) 60
e.) 24
11. Quantos sócios tem um clube de ciclistas, sabendo-se que para numerá-los, foram utilizados todos os números
de três algarismos que não contém 0 nem 8?
a.) 56
b.) 336
c.) 40.320
d.) 512
e.) 5.125
12. Um cofre possui um disco com 26 letras. A combinação do catre é formada por 3 letras distintas, numa certa
ordem. Se o dono esquecesse essa combinação, qual o nº máximo de tentativas que ele precisaria fazer para abrir o
cofre?
a.) 17.576
b.)2.600
c.) 26!
d.) 15.600
e.) 10.000
13. Um cofre possuí um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras. Quantas tentativas
podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?
5
12
a.) 12
b.) 12!
c.) 95.040
d.) 792
e.) 5
14. Quantas comissões de 4 mulheres e 3 homens podem ser formadas com 10 mulheres e 8 homens?
a.) 1.693.440
b.) 876.000
c.) 11.760
d.) 1.450
e.) 720
15. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca
pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos, o aumento possível na quantidade de
telefones será:
a.) 408.240
b.) 81.000
c.) 810.000
d.) 9.000.000
e.) 8.100.000
16. Uma sociedade é composta de 7 dentistas, 5 escritores e 8 médicos. Quantas comissões de 7 membros podem
ser formadas de tal modo que se tenha 2 dentistas, 4 escritores e 1 médico.
a.) 840
b.) 40.320
c.) 8.100
d.) 90.450
e.) 58.100
17. (T.F.C.) Em um campeonato de pedal participam 10 duplas, todas com a mesma probabilidade de vencer. De
quantas maneiras diferentes poderemos ter classificação para os três primeiros lugares?
a.) 240
b.) 270
c.) 420
d.) 720
e.) 740
18. (T.F.C.) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10 funcionários de
uma empresa?
a.) 120
b.) 210
c.) 720
d.) 4.050
e.) 5.040
19. (A.F.C.) Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas os quatros primeiros colocados
classificam-se para as finais. Quantos resultados possíveis existem para os quatro primeiros colocados?
a.) 4.040
b.) 4.050
c.) 5.040
d.) 10.000
e.) 6.300
20. Um cofre possui um disco com 12 letras. A combinação do cofre é uma palavra de 5 letras distintas. Quantas
tentativas infrutuosas podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a combinação?
a.) 125
b.) 95040
c.) 95.039
d.) 792
e.) 512
18
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
21. Os números dos telefones de uma cidade são constituídos de 6 dígitos distintos. Sabendo que o primeiro dígito
nunca pode ser zero, se os números dos telefones passarem a ser 7 dígitos distintos, o aumento possível na
quantidade de telefones será:
a.) 408.240
b.) 81.000
c.) 810.000
d.) 9.000.000
e.) 8.100.000
22. Calcule quantos números não múltiplos de dois, de 4 algarismos distintos, podemos formar.
a.) 5.040
b.) 2.520
c.) 1.472
d.) 5.264
e.) 3.120
23. Calcule quantos números múltiplos de cinco, de 4 algarismos distintos, podemos formar.
a.) 1.008
b.) 5.040
c.) 4.032
d.) 5.264
e.) 3.120
25. Uma sociedade é composta de 7 engenheiros, 6 escritores e 4 médicos. Quantas comissões de 5 membros
podem ser formadas de tal modo que se tenha:
a.) exclusivamente engenheiros.
b.) 2 engenheiros, 2 escritores e 1 médico.
c.) pelo menos 2 médicos
24. Num determinado programa de auditório existem 10 engenheiros e 6 médicos. De quantas maneiras poderão
formar comissões de 7 pessoas com pelo menos 4 engenheiros?
a.) 9.360
b.) 46.200
c.) 210
d.) 4.200
e.) 220
26. (A.F.C.) Em uma empresa existem dez supervisores e seis gerentes. Quantas comissões de seis pessoas
podem ser formadas, de maneira que participam pelo menos três gerentes em cada uma delas?
a.) 60
b.) 675
c.) 2.400
d.) 3.136
e.) 3.631
27. Com a palavra Pernambuco, determinar;
a.) todos os anagramas possíveis
b.) os anagramas que começam por Per, nesta ordem
c.) os anagramas que começam por Per, em qualquer ordem
d.) quantos anagramas começam por consoante
e.) quantos anagramas começam por consoante e terminam por vogal
28. 10 pessoas sentam na primeira fileira de um curso de Financeira. De quantas maneiras poderão sentar-se,
sendo que quatro determinadas pessoas devem ficar sempre juntas? (sabe-se que a primeira fileira possui dez
carteiras)
a.) 17.280
b.) 120.960
c.) 210
d.) 5.040
e.) 45.620
29. 5 pessoas vão ao cinema, encontrando 5 lugares. De quantas maneiras poderão sentar-se?
a.) indistintamente
b.) ficando duas determinadas pessoas sempre juntas
c.) ficando duas determinadas pessoas nas extremidades.
30. É necessário colocar 7 livros diferentes em uma estante. De quantas maneiras poderão ajeitar esses livros na
estante?
a.) indistintamente
b.) ficando dois livros determinados sempre juntos
c.) ficando dois determinados livros nas extremidades.
31. Oito pessoas sentam na primeira fileira de um curso de Financeira. De quantas maneiras poderão sentar-se,
sabe-se que a primeira fileira possui oito carteiras?
a.) indistintamente
b.) ficando duas determinadas pessoas sempre juntas.
c.) ficando três determinadas pessoas sempre juntas.
d.) ficando duas determinadas pessoas nas extremidades.
32. Determinar quantos anagramas tem as palavras:
a.) representante
b.) matemática
c.) Cuiabá
33. Suponha que no início de um jogo você tenha R$ 50,00. A cada jogada, se você vencer ganha R$ 10,00, e se
perder, paga R$ 10,00. Ao final de 3 jogadas os possíveis valores do dinheiro que lhe pode restar são?
a.) a.) 20, 40, 60 ou 80
b.) 30, 50, 70 ou 90
c.) 10, 30, 50 ou 70
d.) 20, 50, 60 ou 90
e.) 10, 20, 40 ou 60
Atualizada em 24/4/2007
19
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
PROVAS DA UNB
(Petrobras 2004)
As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são noticias acerca da bacia de Campos RJ, extraídas e adaptadas da revista
comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS.
S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.
S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em 1995.
S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o Programa de Desenvolvimento Tecnológico em Águas Profundas
(PROCAP), em 1986.
Quanto as informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes:
1) A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974,
então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em
1995.
2) A negação de S3 pode ser expressa por: Ou não iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o Programa de
Desenvolvimento Tecnológico em Águas Profundas (PROCAP), em 1986.
Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS.
Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo no território nacional, a
PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a produção de 100 mil barris/dia.
Julgue se cada uma dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente à assertiva acima.
3)
4)
Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio da importação do petróleo e
derivados não foi instituído pelo governo brasileiro no mesmo ano.
Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da importação de petróleo e derivados, então a
PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano a produção de 100 mil barris/dia.
(Analista de Sistemas
SERPRO
2004)
A lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou falsas (F) . Para as
proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas ¬ e
, podem ser definidas de acordo com as tabelas de
interpretação abaixo.
P
V
F
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
F
V
P
Q
V
F
V
V
Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas:
Uma argumentação é uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de
suas (n-1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima e última proposição.
Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.
1)
A seqüência de proposições
Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto dos números irracionais é infinito.
O conjunto dos números irracionais é infinito.
Existem tantos números racionais quanto números irracionais
É uma argumentação da forma
P
Q
Q
P
2)
A Argumentação
Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo.
Lógica não é fácil.
Sócrates não foi mico de circo
É valida e tem a forma
P
Q
¬P
¬Q
3)
20
A tabela de interpretação de (P
¬ Q)
¬ P é igual a tabela de interpretação de P
Atualizada em 24/4/2007
Q.
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
A expressão ( y) (
x) P(x, y) é uma fórmula sintaticamente correta da lógica de predicados clássica. Diz-se que
uma tal fórmula é semanticamente válida quando as suas variáveis x e y e o predicado P têm alguma interpretação
que os verifique. Quanto a esse assunto, julgue o item subseqüente.
4)
Se x e y assumem valores no conjunto dos números inteiros e o predicado P(x,y) é interpretado como x < y, então a
formula é semanticamente válida.
(TCU
2004)
Texto para os itens 1 a 8
Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬,
e
são operadores lógicos que constroem
novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do
raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos,
esse operadores estão definidos para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
¬P
F
V
P
Q
V
F
F
F
P Q
V
F
V
V
Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi a praia e R represente a
proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes:
1.
2.
3.
4.
A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comercio e José não foi à praia pode ser corretamente
representada por ¬ P (¬ R ¬ Q).
A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P
¬Q.
Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a
sentença representada por ¬P Q é falsa.
O número de valorações possíveis para (Q
¬R)
P é inferior a 9.
As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas
quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se a conclusão (proposição
abaixo da linha tracejada). Os símbolos ¬ e
são operadores lógicos que significam, respectivamente, não e então,
e a definição de V é dada na seguinte tabela verdade.
Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à forma de dedução.
5. Considere a seguinte argumentação.
Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto, juízes não são deuses.
Essa é uma dedução da forma IV.
6. Considere a seguinte dedução.
De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um carro. Portanto, o réu não
roubou uma motocicleta.
Essa é uma dedução da forma II.
7. Dadas as premissas P
Q; ¬Q; R
P, é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a forma de dedução IV.
8. Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas premissas forem verdadeiras.
Atualizada em 24/4/2007
21
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então Q(x) é verdade e,
para x = c, se P(c) é verdade, então conclui-se que Q(c) é verdade. Com base nessas informações, julgue os itens a
seguir.
9. Considere o argumento seguinte.
Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos
contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável é julgada regular. A prestação
de contas da Presidência da República expressou, de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a
legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da
Presidência da República foi julgada regular.
Nesse caso, o argumento não é válido.
10. Considere o seguinte argumento.
Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato anti-econômico é considerada irregular. A prestação de
contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Conclui-se que a prestação de contas da prefeitura dessa
cidade apresentou ato anti-econômico.
Nessa situação, esse argumento é válido.
Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e
processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 letras de um
alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
11. Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser
gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
12. Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 letras, sendo permitida a
repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11.000 códigos distintos. O número total de códigos diferentes
formados por 3 letras distintas é superior a 15.000.
13. O número total de códigos diferentes formandos por três letras distintas é superior a 15.000.
(Papiloscopista 2004)
A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos da matemática, julgue os itens que se
seguem.
1. Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora. Se uma das
equipes
A
tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as
possibilidades de A vencer a disputa.
2.
O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra
8
Papiloscopista é inferior a 10
3. Considere a seguinte situação hipotética.
Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de 6 caracteres, sendo
três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3 dígitos, cada um escolhido no intervalo de 0 a 9,
não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais.
7
Nessa situação, a empresa dispõe de até 10 códigos distintos para catalogar seus bens.
Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses
indivíduos fizeram as seguintes declarações.
A afirmou que C matou o líder.
B afirmou que D não matou o líder.
C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime.
D disse que C não matou o líder.
Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas
declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.
4.
5.
22
A declaração de C não pode ser verdadeira.
D matou o líder.
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Texto para os itens de 6 a 10
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A
partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P
Q,
que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P
Q, que será F
somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P
Q, que será V
somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e
será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas
a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
6.
7.
8.
As tabelas de valorações das proposições P
QeQ
¬P são iguais.
As proposições (P
Q)
S e (P
S)
(Q
S) possuem tabelas de valorações iguais.
O número de tabelas de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis
4
proposicionais é igual a 2 .
Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada
válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira),
caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas
informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as
mesmas valorações, julgue os itens que se seguem.
9.
De acordo com a regra da contradição, P
Q é verdadeira quando ao supor P
¬Q verdadeira, obtém-se uma
contradição.
10. Considere que, em um pequeno grupo de pessoas
G
envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de
indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que
o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto
concluir que P e Q mentem.
Considere as quatro sentenças enumeradas a seguir.
I) Para cada y, existe algum x, tal que x < y.
II) Para cada x e para cada y, se x < y então existe algum z, tal que x < z e z < y.
III) Para cada x, se 0 < x, então existe algum y tal que x = y × y.
IV) Existe algum x tal que, para cada y, x < y.
Suponha que, nessas sentenças, x, y e z sejam variáveis que podem assumir valores no conjunto dos números
naturais ( I ), no dos números inteiros ( ), no dos números racionais (Q) ou no conjunto dos números reais (R).
Em cada linha da tabela a seguir, são atribuídas valorações V e F, para cada uma das quatro sentenças
enumeradas acima, de acordo com o conjunto no qual as variáveis x, y e z assumem valores.
Julgue os itens subseqüentes, a respeito dessas sentenças.
11. As avaliações dadas para as sentenças I e III estão corretas.
12. As avaliações dadas para as sentenças II e IV estão corretas.
(Agente da Policia Federal 2004)
Texto para os itens de 01 a 08
Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos , , , e
sejam operadores
lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica
proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F),
mas nunca ambos.
Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.
01. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) (¬ Q) também é verdadeira.
02. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R
(¬ T) é falsa.
03. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P R)
(¬ Q) é verdadeira.
Atualizada em 24/4/2007
23
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
Considere as sentenças abaixo.
I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.
II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.
III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.
IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido.
V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente,
muitos europeus fumam.
Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.
P
Q
R
T
Fumar deve ser proibido.
Fumar de ser encorajado.
Fumar não faz bem à saúde.
Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.
04. A sentença I pode ser corretamente representada por P (¬ T).
05. A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) (¬ R).
06. A sentença III pode ser corretamente representada por R
P.
07. A sentença IV pode ser corretamente representada por (R (¬ T))
P.
08. A sentença V pode ser corretamente representada por T
((¬ R) (¬ P)).
Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime,
foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele,
conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia,
capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de Erimanto.
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze trabalhos a
serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um
trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércules poderia preparar,
julgue os itens subseqüentes.
09. O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 × 10!.
10. O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho matar o leão de Neméia na primeira posição é inferior a 240
× 990 × 56 × 30.
11. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerinéia na primeira posição e
capturar o javali de Erimanto na terceira posição é inferior a 72 × 42 × 20 × 6.
12. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de
Erimanto nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! × 8!.
(Escrivão da Policia Federal 2004)
Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar
para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada
nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria,
alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso,
não há livro nacional disponível de capa dura.
Com base nas informações acima, é possível que Pedro, em sua
pesquisa, tenha
01.
02.
03.
04.
encontrado um livro de administração de capa dura.
adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.
selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.
comprado um livro importado de direito de capa flexível.
Para uma investigação a ser feita pela Polícia Federal, será necessária uma equipe com 5 agentes. Para
formar essa equipe, a coordenação da operação dispõe de 29 agentes, sendo 9 da superintendência
regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe,
todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a ordem de escolha dos agentes não será
relevante.
Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.
05.
Poderão ser formadas, no máximo, 19 × 14 × 13 × 7 × 5 × 3 equipes distintas.
06.
Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de
equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá formar é inferior a 19 × 17 × 11 × 7.
07.
Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de
São Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no
máximo, 12 × 11 × 9 × 8 × 4 equipes distintas.
24
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
(Delegado da Policia Federal 2004)
Texto para os itens de 41 a 50
10 DOS CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO E DE CLASSIFICAÇÃO NA PRIMEIRA ETAPA
10.1 Todos os candidatos serão submetidos a duas provas objetivas
uma de Conhecimentos Básicos
(P1), composta de 50 itens, e outra de Conhecimentos Específicos (P2), composta de 70 itens
e a uma
prova discursiva.
10.2 A nota em cada item das provas objetivas, feita com base nas marcações da folha de respostas, será
igual a: 1,00 ponto, caso a resposta do candidato esteja em concordância com o gabarito oficial definitivo
da prova; 1,00 ponto, caso a resposta do candidato esteja em discordância com o gabarito oficial definitivo
da prova; 0,00, caso não haja marcação ou haja marcação dupla (C e E).
10.3 O cálculo da nota em cada prova objetiva, comum às provas de todos os candidatos, será igual à soma
algébrica das notas ,obtidas em todos os itens que a compõem.
10.4 Será reprovado nas provas objetivas e eliminado do concurso o candidato que se enquadrar em pelo
menos um dos itens a seguir:
a) obtiver nota inferior a 8,00 pontos na prova de Conhecimentos Básicos (P1);
b) obtiver nota inferior a 17,00 pontos na prova de Conhecimentos Específicos (P2);
c) obtiver nota inferior a 36,00 pontos no conjunto das provas objetivas.
10.5 Para cada candidato não eliminado segundo os critérios definidos no subitem 10.4, será calculada a
nota final nas provas objetivas (NFPO) pela soma algébrica das notas obtidas nas duas provas objetivas.
11 DA NOTA FINAL NA PRIMEIRA ETAPA
11.1 A nota final na primeira etapa (NFIE) do concurso público será a soma da nota final nas provas
objetivas (NFPO) e da nota na prova discursiva (NPD).
11.2 Os candidatos serão ordenados por cargo/área/localidade de vaga de acordo com os valores
decrescentes de NFIE.
12 DOS CRITÉRIOS DE DESEMPATE
Em caso de empate na classificação, terá preferência o candidato que, na seguinte ordem:
a) obtiver maior nota na prova discursiva;
b) obtiver maior nota na prova de Conhecimentos Específicos (P2);
c) obtiver maior número de acertos na prova de Conhecimentos Específicos (P2);
d) obtiver maior número de acertos na prova de Conhecimentos Básicos (P1).
Julgue os itens seguintes, de acordo com as normas estabelecidas no texto acima, adaptado do Edital n.º 25/2004
DGP/DPF REGIONAL, de 15 de julho de 2004.
01.
De acordo com o texto acima, se um candidato marcar ao acaso todas as respostas dos 120 itens que compõem as
duas provas objetivas, a probabilidade de ele ser reprovado nessas provas será igual a 8/50 × 17/70 × 36/120.
02.
Do ponto de vista lógico, é equivalente ao texto original a seguinte reescritura do subitem 10.4:
10.4 Será aprovado nas provas objetivas o candidato que se enquadrar em todos os itens a seguir:
a) obtiver nota maior ou igual a 8,00 pontos na prova de Conhecimentos Básicos (P1);
b) obtiver nota maior ou igual a 17,00 pontos na prova de Conhecimentos Específicos (P2);
c) obtiver nota maior ou igual a 36,00 pontos no conjunto das provas objetivas.
03.
Se um candidato é considerado reprovado nas provas objetivas por não atender o disposto na alínea a) do
subitem 10.4 do texto, também não atenderá o disposto na alínea c) do mesmo subitem.
04.
De acordo com o estabelecido no subitem 10.4, é possível que um candidato obtenha NFPO igual a 75 e seja
considerado reprovado nas provas objetivas .
05
De acordo com o subitem 10.5 do texto, após a aplicação do concurso, se um candidato não teve a sua nota final
nas provas objetivas (NFPO) calculada pela soma algébrica das notas obtidas nas duas provas objetivas, então esse
candidato foi eliminado do concurso segundo os critérios definidos no subitem 10.4.
06.
Considere que um candidato obteve x acertos na prova P1 e que a sua nota nessa prova tenha sido a mínima
necessária para que ele não fosse reprovado de acordo com o disposto na alínea a) do subitem 10.4 do texto. Nessas
condições, existem mais de 20 valores possíveis para o número de acertos x desse candidato.
07.
De acordo com os critérios de desempate apresentados no item 12 do texto acima, a probabilidade de que dois
candidatos fiquem empatados no concurso é igual a zero.
08.
Os critérios b) e c) do subitem 12.1 são redundantes, uma vez que, se dois candidatos alcançarem a mesma
NFIE no concurso, o que conseguir maior nota na prova P2 terá maior número de acertos nessa prova que o outro
candidato.
09.
Mantém-se a correção lógica e semântica do texto substituindo-se o critério c) do subitem 12.1 por: obtiver menor
número de erros na prova de Conhecimentos Específicos (P2).
10.
O seguinte critério, inserido como alínea e) do subitem 12.1, seria redundante com os já existentes e não traria
qualquer alteração na classificação estabelecida pelos critérios de a) a d) : obtiver maior nota na prova de Conhecimentos
Básicos (P1).
Atualizada em 24/4/2007
25
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
(PROVA Banco do Brasil 2007
Raciocínio Lógico
Mato Grosso)
Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas
não, como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições
porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são representadas
simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto
A, B, C etc. Uma proposição da forma A ou B é F se A e B
forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma Se A então B é F se A for V e B for F, caso contrário é V.
Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais que a última
proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.
65. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. Portanto José será aprovado no
concurso.
66. É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego. Portanto, Célia tem um bom
currículo.
67. Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
A frase dentro destas aspas é uma mentira.
A expressão X + Y é positiva.
O valor de .
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
O que é isto?
Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um
número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às
variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição Para qualquer x, tem-se que x ! 2 > 0 possui
interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por
exemplo, ao conjunto {!4, !3, !2, !1, 0}.
Com base nessas informações, julgue os próximos itens.
68. A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x2 > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no
conjunto .
69. A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2,
3, 9, 10, 15, 16}.
No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários
desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte
desafio inspirado nos enigmas de Smullyan.
Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta.
Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta,
ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente
mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades.
Com base no texto acima, julgue o item a seguir.
70. Se a primeira pessoa diz Nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas são da mesma
cor , então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.
26
Atualizada em 24/4/2007
Banco do Brasil 2007
Prof. Sérgio Altenfelder
Raciocínio Lógico
GABARITO
TABELA VERDADE
1.
a) Não é proposição
b) Não é proposição
c) Não é proposição
d) É proposição e falsa
e) Não é proposição
f) É proposição e verdadeira
g) É proposição e verdadeira
h) É proposição e falsa
i) É proposição e falsa
j) Não é proposição
k) Não é proposição
l) Não é proposição
m) É proposição e falsa
n) É proposição e falsa
o) É proposição e falsa
p) É proposição e verdadeira
2. E
3. A
4.
a) verdadeira
b) verdadeira
c) verdadeira
d) falsa
e) verdadeira
f) verdadeira
g) verdadeira ou falsa depende da blusa
que uso no primeiro dia de aula.
h) falsa
i) verdadeira
j) verdadeira
k) falsa
l) verdadeira
m) verdadeira
n) falsa
5.
a) A vaca não foi para o brejo.
b) O boi não seguiu a vaca.
c) A vaca foi para o brejo e o boi seguiu a
vaca.
d) A vaca foi para o brejo ou o boi seguiu
a vaca.
e) A vaca não foi para o brejo e o boi
seguiu a vaca.
f) A vaca foi para o brejo ou o boi não
seguiu a vaca.
g) Não é verdade que a vaca foi para o
brejo e o boi seguiu a vaca.
h) Não é verdade que a vaca foi para o
brejo ou o boi seguiu a vaca.
i) A vaca não foi para o brejo ou o boi não
seguiu a vaca.
j) A vaca não foi para o brejo e o boi não
seguiu a vaca.
k) Não é verdade que o boi não seguiu a
vaca.
l) Não é verdade que a vaca não foi para o
brejo.
6.
a) ~p
c) p q
e) ~p ~q
g) ~( ~q)
i) p ~q
k) ~( p q)
m) ~p ~q
b) ~(~p)
d) ~p q
f) ~q
h) p q
j) ~( p q)
l) ~( ~p q)
7.
a) verdadeira
c) falsa
e) verdadeira
g) falsa
i) verdadeira
k) verdadeira
m) falsa
b) verdadeira
d) verdadeira
f) verdadeira
h) falsa
j) verdadeira
l) verdadeira
n) verdadeira
8.
a) a
c) ~a
b) ~a
b
d) a
~b
b
~b
9.
a) Se a vaca foi para o brejo então o boi
seguiu a vaca.
b) Se a vaca não foi para o brejo então o
boi não seguiu a vaca.
c) Não é verdade que a vaca foi para o
brejo se e somente se o boi seguiu a
vaca.
d) Se a vaca foi para o brejo e o boi seguiu a
vaca então o boi não seguiu a vaca.
e) Se a vaca foi para o brejo então não é
verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi
seguiu a vaca.
f) Se a vaca não foi para o brejo então o boi
seguiu a vaca.
g) A vaca foi para o brejo se e somente se o boi
seguiu a vaca.
h) A vaca não foi para o brejo se e somente se o
boi não seguiu a vaca.
i) Se a vaca foi para o brejo então não é
verdade que a vaca foi para o brejo e o boi
seguiu a vaca.
j) Se a vaca não foi para o brejo então não é
verdade que a vaca foi para o brejo ou o boi
seguiu a vaca.
k) Se a vaca foi para o brejo então o boi não
seguiu a vaca.
l) A vaca não foi para o brejo se e somente se o
boi seguiu a vaca.
m) Se a vaca foi para o brejo então a vaca foi
para o brejo e o boi seguiu a vaca.
n) Se a vaca não foi para o brejo então não é
verdade que a vaca foi para o brejo e o boi
seguiu a vaca.
o) Não é verdade que se a vaca foi para o brejo
ou o boi seguiu a vaca então boi não seguiu a
vaca.
p) Não é verdade que se a vaca foi para o brejo
então o boi seguiu a vaca.
q) A vaca foi para o brejo se e somente se o boi
não seguiu a vaca.
r) Se a vaca não foi para o brejo então a vaca
foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
s) Não é verdade que se a vaca foi para o brejo
e o boi seguiu a vaca então o boi não seguiu a
vaca.
t) A vaca foi para o brejo se e somente se a
vaca foi para o brejo e o boi seguiu a vaca.
10.
a) ~p
q
b) ~p
~q
c) ~(~p
q)
d) p
~q
e) ~p
q
f) ~p
~q
g) ~(~p
q)
h) ~(~p
~q)
i) p
q
j) p
~q
k) ~(p
q)
l) ~(p
~q)
m) p
q
n) ~(~p
~q)
o) ~(p
q)
p) ~(p
~q)
11.
a) V
e) F
i) F
m) V
q) V
u) V
y) V
cc) F
b) V
f) V
j) F
n) V
r) F
v) F
z) V
dd) F
c) F
g) V
k) F
o) V
s) F
w) V
a) V
d) V
h) F
l) V
p) V
t) F
x) V
bb) V
12.
a) Tânia é cantora e é pernambucana.
b) Tânia não é cantora ou não é pernambucana.
c) Não é verdade que Tânia não é cantora ou
não é pernambucana.
d) Não é verdade que Tânia é cantora e é
pernambucana.
e) Não é verdade que Tânia é cantora ou é
pernambucana.
f) Tânia não é cantora e não é pernambucana.
a c
b d
e f
13. é contradição
14. é tautologia
15. é contingência
16.
a) F, F, F ,V
b) F, V ,F, F
c) F, V, V, V
d) F, F
e) V, V, V, V
f) V, V, V, F
g.) V, V
h.) V, F, F, V
i) V, F
j) V, V, V, V
k) V, F, F, F
l) F, V, F, F
m) V, F, V, F
n) V, F ,V, V
Atualizada em 24/4/2007
o) V, V, V, F
17. D
21. A
25. C
29. E
33. E
37. E
41. E
45. D
49. A
53. B
57. B
61. C
65. A
69. B
73. A
18. A
22. E
26. A
30. C
34. B
38. C
42. E
46. E
50. C
54. A
58. E
62. B
66. A
70. A
74. E
19. D
23. C
27. D
31. A
35. B
39. D
43. A
47. A
51. D
55. D
59. C
63. E
67. E
71. E
75. A
20. E
24. C
28. C
32. C
36. A
40. E
44. D
48. B
52. D
56. E
60. C
64. A
68. A
72. B
76. C
ARRANJO, COMBINATÓRIA E
PERMUTAÇÃO
2. D
3. A
4. A
1. E
5. C
6. a.) 480 ; b.) 2.500 ; c.) 240 ; d.) 1.250 ;
e.) 78.000 ; f.) 78.000 ; g.) 3.276.000;
h.) 6.760.000
7. a.) 3.240 ; b.) 16.875 ; c.) 720
d.) 3.750 ; e.) 1.872.000 ; f.) 1.872.000
g.) 78.624.000 ; h.) 175.760.000
8. A
9. A
10. D
11. D
12. D
13. A
14. C
15. E
16. A
17. D
18. B
19. C
20. C
21. A
22. B
23. A
24. a.) 21 ; b.) 1.260; c.) 2.041
25. B
26. D
27. a.) 3.628.800 ; b.) 5.040 ; c.) 30.240 ;
d.) 2.177.280 ; e.) 967.680
28. B
29. a.) 120; b.) 48 ; c.) 12
30. a.) 5.040 ; b.) 1.440 ; c.) 240
31. a.) 40.320 ; b.) 10.080 ; c.) 4.320
d.) 1.440
33. a.) 32.432.200 ; b.) 151.200 ; c.) 360
34. A
Provas UNB
Petrobras 2004
1. F
2. V
3. F
4. F
SERPRO 2004
1. V
2. V
3. V
4. F
TCU 2004
1. V
2. V
5. V
6. F
9. F
10. F
13. F
14. V
3. F
7. V
11. F
15. F
4. V
8. V
12. F
16. V
Papiloscopista 2004
1. V
2. F
5. V
6. F
9. V
10. V
3. F
7. F
11. F
4. V
8. V
12. V
Agente da Policia Federal 2004
1. F
2. F
3. V
5. V
6. V
7. V
9. V
10. V
11. F
4. F
8. F
12. V
Escrivão da Policia Federal 2004
1. F
2. V
3. F
4. V
5. F
6. F
7. F
Delegado da Policia Federal 2004
1. F
2. V
3. F
4. F
5. V
6. V
7. F
8. F
9. F
10. V
Banco do Brasil 2007 Mato Grosso
1. V
2. F
3. F
4. F
5. F
6.V
27