errata - Editora Vestseller

ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
ERRATA
Data da atualização: 30/07/2010
Nota do Autor:
O livro Matemática em Nível IME/ITA Vol 1 é o resultado da minha primeira
tentativa em escrever livros didáticos. Em razão disto, nas primeiras tiragens
do livro alguns erros foram inevitáveis.Gostaria de agradecer aos alunosleitores que têm contribuido com a detecção destes erros, enviando emails, e
colaborando para que esta obra seja cada vez mais aprimorada.
A seguir estão as erratas de pequenos erros desde a primeira tiragem do livro
disponibilizado pela editora Vestseller. Pode ser que, dependendo da época
de sua compra do livro, alguns erros já tenham sido corrigidos. Em razão
disso os erros constam neste arquivo na ordem em que foram encontrados.
Obrigado pela atenção e pela compreensão! Bons estudos!
Caio Guimarães
Observação à EDITORA VESTSELLER:
1 - O texto a ser corrigido se encontra destacado em amarelo.
2 – O arquivo errata é acumulativo. Ou seja, todos os erros detectados
até o momento se encontram neste arquivo.
3 – Os erros citados a seguir seguem a ordem em que foram
encontrados. O número de página indica a página na versão impressa
do livro.
4 - Favor substituir o trecho do texto exatamente da forma que envio,
incluindo as partes não destacadas em amarelo. Favor retirar o
destaque em amarelo feito no Word antes de substituir na versão a ser
impressa.
5 – À editora, favor corrigir os erros de digitação citados na ultima
página deste arquivo.
Obrigado!
Caio dos Santos Guimarães
Página 13
data da detecção do erro: 12/01/2009
d  z,w   z  w
Im
z
Definição 1.2.3
z-w
OBS:
Atentando-se à desigualdade
triangular no triângulo ao lado,
temos:
w
Re
z  w  zw
Fig. 1.2.2
Ou ainda, fazendo u  w ,
sendo z e u dois complexos
quaisquer, vale que:
z  u  zu
z,u  
Fórmula 1.2.1
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Página 113
data da detecção do erro: 12/01/2009
Exemplo 4.4.b Para o polinômio P(x)  x 4  5.x³  9x²  8 determine a soma
dos quadrados das suas raízes.
Solução:
Não sabemos o método prático de determinar as raízes do polinômio do 4º
grau dado. Porém, para calcular a soma dos quadrados delas não é preciso
que as conheçamos individualmente. Sejam a, b, c, d essas raízes:
Das relações de Girard para o polinômio, obtemos:
S1G  (a  b  c  d)  5
 2
 SG   a.b  b.c  a.c  a.d  b.d  c.d   9
Levando em consideração que:
 a  b  c  d ²  a²  b²  c²  d²  2.  a.b  a.c  a.d  b.c  b.d  c.d
Teremos:
a²  b²  c²  d²   a  b  c  d ²  2.  a.b  a.c  a.d  b.c  b.d  c.d 





S1G 5
a²  b²  c²  d²  7
2
SG
9
Caio dos Santos Guimarães
Página 158
data da detecção do erro: 12/01/2009
Exemplo 5.3.e (IME - adaptada) Seja P(x) um polinômio do 4º grau, em x,
cujo coeficiente do termo de maior grau é 1 e cujas raízes são racionais.
Adicionando-se 3/4 e 3 a essas raízes obtém-se transformadas de P(x) = 0
desprovidas do termo de 3º grau de do 1º grau, respectivamente. Determine
P(x), sabendo-se que ele possui duas raízes iguais e que P’(0) = -15.
Solução: Seja P(x)  x 4  a.x 3  b.x 2  c.x  d
Derivando o polinômio P(x) com relação a x:
P '(x)  4.x 3  3.a.x 2  2.b.x  c
Do enunciado, P’(0) = - 15:
P '(0)  c  15
Calculemos as derivadas de 2ª, e em seguida de 3ª ordem de P(x).
P "(x)  12.x 2  6.a.x  2.b
P "'(x)  24.x  6.a
Do Resultado 5.3.1, sabemos que as constantes -3/4 e -3 anularão P’’’(x) e
P’(x), respectivamente. Portanto:
  3
3
P "'   4   24. 4  6.a  0

 
3
2

P '  3   4.  3   3.a.  3   2.b.  3   15  0
Resolvendo, temos: a = 3 e b = -7. Sabemos então que:
P '(x)  4.x 3  9.x 2  14.x  15
Já conhecemos uma das raízes de P’(x), pois P’(-3) = 0. Utilizando o
algoritmo de Briot-Ruffini, para achar as demais raízes de P’(x):
Portanto, as outras duas raízes de P’(x) serão as raízes de 4.x³  3x  5  0 ,
que são irracionais.
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Ora, mas se P(x) possui raiz dupla, esta raiz deverá ser raiz também de P’(x).
Como todas as raízes de P(x) são racionais, a raiz dupla também deverá ser.
Como -3 é a única raiz racional de P’(x), sabemos que esta deve ser a
própria raiz dupla de P(x).
Ou ainda:
P( 3)  0

 3 4  3.  3 3  7.  3 2  15.x  d
Com isso, podemos escrever o polinômio P(x):
P(x)  x 4  3.x 3  7.x 2  15.x  18
0
 d  18
Caio dos Santos Guimarães
Página 210
data da detecção do erro: 12/01/2009
z(t)  2  4.cos t  i.4.sent 
 2  4.cos t 2   4.sent 2
 4  16.cos t  16.  cos ²t  sen²t 
 20  16.cos t
Ou seja, o máximo do módulo de t ocorre quando cos t  1
z(t) max  z(0)  z(2)  6
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Página 319
data da detecção do erro: 12/01/2009
O erro está no argumento do cosseno. Em vez de 2x deveria ser x
1  cos(x)
x
sen    
2
2
1  cos(x)
x
cos    
2
2
1  cos(x)
x
tg    
2
1
 cos(x)
 
Caio dos Santos Guimarães
Página 101
data da detecção do erro: -
Usando um raciocínio semelhante para polinômios, podemos definir, para a
divisão de polinômios:
P(x)  D(x) 
P(x)
 D(x).Q(x)





Dividendo
Quociente Q
Divisor D

R(x)

Re sto
Para P e D tais que orau de P(x) maior o igual ao grau de D(x)
Definição 4.3.1
(Divisão Euclidiana para Polinômios)
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Página 120 a 122
data da detecção do erro: Demonstração
Seja P(x) um polinômio de grau n com raízes: x1, x 2 ,..., xn . De acordo com o
resultado 4.3.2 podemos fatorar P(x) como:
P(x)  a.  x  x1  .  x  x2  .  x  x3  .....  x  xn 
(Eq. I)
Essa divisão não está inteiramente de acordo com a definição 4.3.1 de
Divisão de Polinômios uma vez que o grau do divisor P(x) é maior que o grau
do dividendo P’(x). Não nos interessa avaliar o o polinômio quociente em
alguns valores de x, mas sim, determinar os coeficientes dessa “divisão”. Ou
seja, a princípio, o resultado independe dos valores de x a serem assumidos
pelos polinômios.
Para efeito de rigor matemático, consideremos que essa divisão é feita para
valores de x que garantirão uma condição necessária para a convergência
mais a diante na prova:
x
x  xk  k  1
x
Apliquemos a operação “log neperiano (ln)” em ambos os lados da igualdade
da equação I:
lnP(x)  ln a.  x  x1  .  x  x 2  .  x  x3  .....  x  xn  
 lnP(x)  ln a  ln  x  x1   ln  x  x 2   ...  ln  x  xn

Ao fazermos isso devemos ter cautela. Como a Equação I deve valer para
todo x real pode ser que o polinômio assuma valores negativos, o que não
permitiria a aplicação do logaritmo. Isso acontecerá sempre que x for menor
que um número ímpar de raízes de P(x), resultando em um número ímpar de
parcelas negativas (x – xk).
Nesse caso, será sempre possível multiplicar ambos os lados por -1, e
rearranjar os sinais das parcelas do lado direito, de modo que ambos os
membros da equação sejam positivos, e o lado direito da equação seja
composto apenas de parcelas positivas. Visto isso, seguiremos a
demonstração para o caso em que as parcelas (x – xk) são positivas (a
Caio dos Santos Guimarães
demonstração, caso contrário, é exatamente análoga tendo feita a alteração
mencionada acima).
lnP(x)  ln a  ln x  x1  ln x  x 2  ...  ln x  xn
Derivando a equação acima com relação a x:
d
d
lnP(x)  ln  a 
dx
dx

0

d
d
d
ln x  x1 
ln x  x 2  ... 
ln x  xn
dx
dx
dx
P'(x)
1
1
1


 ... 
P(x) x  x1 x  x2
x  xn
(Eq. II)
Vamos dar uma arrumada nos termos à direita na equação II. Para cada
parcela da direita, podemos escrevê-la da seguinte forma:
1
1
1/ x


x  xk
 x   x 
x.  1  k   1  k 
x  
x 

Voltando na equação II:

1
1
1
P'(x)
x 
x  ... 
x

P(x)  x1   x 2 
 xn 
1  x  1  x 
1  x 

 



(Eq. III)
Note agora, que cada parcela do lado direito da igualdade acima se parece
muito com uma soma de PG infinita. Vale relembrar que:
a

1 q
(Soma de P.G. )
a  a.q  a.q²  ... 
q 1
Ora, mas cada parcela da igualdade da Equação III se assemelha bastante
com o valor da soma de uma P.G. infinita.
1
a
x

xk 
1 q

1  x 


A condição de convergência da P.G. infinita (|q|<1) é satisfeita, pois foram
tomados os valores de x tais que:
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
x  xk

xk
1
x
Ou seja, podemos reescrever a equação III como:
x ²
P'(x)  1 x1 x1 ²
 1 x

1 x

  
 ...     2  ...   ...    n  n  ... 
P(x)  x x² x³
  x x²

 x x² x³

Re-arrumando:
 xn
x
x 
x n
xn 
P'(x)  1 1
1  x
    ...     21  22  ...  n2   ...   n11  n21  ...  nn1   ...
x
P(x)  x x
x
x
x 
x
x 

  x
n termos

S*0 S*1 S* 2 S*3

 2  3  ...
1
x
x
x
Para melhor compreensão das propriedades de logaritmos usadas, consulte
um livro de álgebra de ensino médio.
Caio dos Santos Guimarães
Página 58
data da detecção do erro: 20/06/2010
Demonstração:
z1,z 2 ,z 3 formam um triângulo eqüilátero 
 
 z 2 z1 e z 2 z 3 formam um ângulo de  60 

  z1  z 2 
3


   
 
 z1  z 2 .  cis     1  z 3 .cis     0 
3 
 
 3



 z3  z 2  .cis  
1 i 3
 2 
 
 cis  
w
2 2
 3 


 2  
 4  
 z1  z2 .cis      z3 .cis  
0
3 
 3  
 

w ²


 z1  z2 .w  z3 .w²  0
ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Página 67
data da detecção do erro: 30/07/2010
SUBSTITUIR A FIGURA.
Caio dos Santos Guimarães
Página 59
data da detecção do erro: 30/07/2010
Basta analisar se esses pontos formam um triângulo eqüilátero. Vamos usar
o teorema que acabamos de ver para testar se os pontos formam um
triângulo eqüilátero.
Sendo w  cis  2  uma raiz cúbica da unidade diferente de 1:
 3 
M1  M2 .w  M3 .w² 



1
  
  
  
  A  E.cis     w.  C  A.cis     w².  E  C.cis    
2 
 3 
 3 
 3 





1 
  
  
  
 A  1  w.cis     C.  w  w ².cis     E.  w ²  cis    
2 
3
3 
 3 







  4 
1 
 2   
 2   
  
  A  1  cis 
    C.w  1  cis 
    E.  cis 
 cis    

2 
 3 3 
 3 3 
 3 

  3 
 1 i. 3 1 i. 3  
1
  A 1  1  C.w 1  1  E.   
 
 0
 2
2  
2 
2
2

ERRATAS – Matemática Em Nível IME/ITA Vol. 1
Página 62
data da detecção do erro: 30/07/2010
Demonstração:
z1 w 1 1
z 2 w 2 1  0  z1.w 2  z 3 .w 1  z 2 .w 3  z 3 .w 2  z 2 .w 1  z1w 3  0
z3 w 3 1

z 2  z1 w 2  w 1

z 3  z1 w 3  w 1
Caio dos Santos Guimarães
ERROS DE DIGITAÇÃO
1 - Prefácio (3º parágrafo): Palavra ‘ano’ está escrita 2 vezes.
2 – Na página 64, na figura 2.3.1 não aparece a circunferência
3 – na pagina 66, na figura 2.3.8 tem um z perdido perto do ramo de
hipérbole