b - curso de matemática imes

Instituto Municipal de Ensino Superior de Catanduva – SP
Curso de Licenciatura em Matemática – 3º ano – Prática de Ensino da Matemática III
Prof. M.Sc. Fabricio Eduardo Ferreira –– [email protected]
Estudo dos Logaritmos
Situação inicial
Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população
da América Latina irá dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
Nessas condições, podemos organizar o seguinte quadro:
Tempo
início
1 ano
2 anos
3 anos
⋮
𝑥 anos
População
𝑃0
𝑃1 = 𝑃0 ∙ 1,03
𝑃2 = (𝑃0 ∙ 1,03) ∙ 1,03 = 𝑃0 ∙ (1,03)2
𝑃3 = 𝑃0 ∙ (1,03)3
⋮
𝑃𝑥 = 𝑃0 ∙ (1,03)𝑥
Supondo que a população dobrará após 𝑥 anos, temos:
𝑃𝑥 = 2𝑃0
Daí, temos:
𝑷𝟎 ∙ (1,03)𝑥 = 2𝑷𝟎 ⇔ (1,03)𝑥 = 2
Surge então uma questão: como determinar o expoente ao qual 1,03 deve ser elevado para resultar em 2?
Definição de logaritmo
Considere as seguintes questões prévias:
a) Qual expoente devemos elevar 2 para obter 8?
2𝑥 = 8 ⇔ 2𝑥 = 23 ⇔ 𝑥 = 3
b) Qual expoente devemos elevar 3 para obter 1/81?
1
1
3𝑥 =
⇔ 3𝑥 = 4 ⇔ 3𝑥 = 3−4 ⇔ 𝑥 = −4
81
3
Dados os números reais positivos 𝑎 e 𝑏, com 𝑎 ≠ 1, se 𝑏 = 𝑎𝑐 ,
então o expoente 𝒄 chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou seja,
log 𝑎 𝑏 = 𝑐 ⇔ 𝑏 = 𝑎𝑐
com 𝑎 e 𝑏 positivos e 𝑎 ≠ 1.
Nessa equivalência, temos:
Forma logarítmica
𝑐: logaritmo
log 𝑎 𝑏 = 𝑐 {𝑎: base do logaritmo
𝑏: logaritmando
Forma exponencial
𝑏: potência
𝑎𝑐 = 𝑏 {𝑎: base da potência
𝑐: expoente
Observações:
1) Veja que, de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo:
log 3 (-81) ; log 10 0 ; log 0 3 ; log -2 8 ; log 1 6
Experimente aplicar a definição nesses casos.
2) Quando a base do logaritmo for 10, podemos omití-la. Assim, log 2 é o logaritmo de 2 na base 10. Aos logaritmos
na base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs.
2
Condições de existência de logaritmos
Sabemos que a existência de um logaritmo, como por exemplo 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑁, depende das seguintes condições:
i) 𝑁 deve ser um número positivo (𝑁 > 0);
ii) a base deve ser um número positivo e diferente de 1 (1 ≠ 𝑎 > 0).
𝑁>0
log𝑎 𝑁 existe quando e somente quando {
𝑎 > 0e𝑎 ≠1
Exemplos: Determine os valores reais de 𝑥 para os quais existe:
a) log 2 (𝑥 − 3)
b) log 1 (𝑥 2 − 7𝑥 + 10)
3
a) Como a base deve ser positiva, temos que:
𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3 → S = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3}
b) Analisando o sinal da base, temos que:
𝑥 2 − 7𝑥 + 10 > 0 → (𝑥 − 2)(𝑥 − 5) > 0 → S = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 2 ou 𝑥 > 5}
Consequências da definição de logaritmo
1º)
2º)
3º)
4º)
5º)
log 𝑎 1 = 0, pois 𝑎0 = 1, qualquer que seja 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
log 𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎1 = 𝑎 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
log 𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛, pois 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 e para todo 𝑛.
𝑁
𝑎log𝑎 𝑎 = 𝑁, como 𝑁 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 = 1.
log 𝑎 𝑥 = log 𝑎 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦, com 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
Usando a tábua de logaritmos decimais
Principais propriedades da função logarítmica
Lembremos as principais propriedades da função logarítmica de base 10:
I . log1  0 ;
 x  1  log x  0
III . 
.
II . log10  1 ;
0  x  1  log x  0
Característica e Mantissas
Qualquer que seja o número real positivo x que consideremos, estará necessariamente compreendido entre
duas potências de 10 com expoentes inteiros consecutivos. Exemplos:
a) x  0,04  10 2  x  10 1 ;
x  0,351  10 1  x  100 ;
x  3,72  100  x  101 ;
x  45,7  101  x  10 2 ;
x  573  10 2  x  10 3 .
Assim, dado x > 0, existe sempre um número c inteiro tal que:
10c  x  10c1  log10c  log x  log10c1  c  log x  c  1
Podemos afirmar que:
log x  c  m em que c  Z e 0  m  1
isto é, o logaritmo decimal de x é a soma de um número inteiro c com um número decimal m não negativo e
menor que 1.
O número inteiro c é por definição a característica do logaritmo de x e o número decimal m ( 0  m  1 ) é por
definição a mantissa do logaritmo decimal de x.
b)
c)
d)
e)
Regra da Característica
3
A característica do logaritmo decimal de um número x real positivo será calculada por uma das duas regras
seguintes.
1ª) Se x > 1
A característica do logaritmo decimal de um número x > 1 é igual ao número de algarismos de sua parte inteira
menos 1. Exemplos:
logaritmo característica
log 2,3
c=0
log 31,421
c=1
log 204
c=2
log 6542,3
c=3
2ª) Se 0 < x < 1
A característica do logaritmo decimal de um número 0 < x < 1 é o oposto da quantidade de zeros que precedem
o primeiro algarismo significativo. Exemplos:
logaritmo característica
log 0,2
c=–1
log 0,035
c=–2
log 0,00405
c=–3
log 0,00053
c=–4
Mantissa
A mantissa é obtida nas tábuas (tabelas) de logaritmos. Em geral, a mantissa é um número irracional e por
esse motivo as tábuas de logaritmos são tabelas que fornecem os valores aproximados dos logaritmos de números
inteiros, geralmente entre 1 a 10 000. Ao procurarmos a mantissa de um logaritmo decimal de x, devemos lembrar a
seguinte propriedade
Propriedade da Mantissa
“A mantissa do logaritmo decimal de x não se altera se multiplicarmos x por uma potência de 10 com expoente inteiro”.
Uma conseqüência importante dessa propriedade é:
“Os logaritmos de dois números cujas representações decimais diferem apenas pela posição da vírgula
têm mantissas iguais”.
Desta forma os logaritmos dos números 2, 200, 2000, 0,2, 0,002 tem todos a mesma mantissa 0,3010, mas
as características são respectivamente 0, 2, 3, – 1 e – 3.
Aplicações da tabela de logaritmos decimais
1ª) Calcular log 23,4.
A característica do logaritmo é 1 e a mantissa é 0,369216, que é a mesma do número 234. Temos então:
log 23,4  1  0,369216  1,369216
2ª) Calcular log 0,042.
A característica do logaritmo é – 2 e a mantissa é 0,623249, que é a mesma do número 420. Temos então:
log 0,042  2  0,623249  1,376751 (forma negativa)
Entretanto, é usual escrevermos – 2 + 0,623249 sob a forma 2,623249 (forma mista ou preparada), em que
figura explicitamente a mantissa do logaritmo e a característica – 2 fica substituída pela notação 2 .
3ª) Calcular antilog 1,795185.
Com a mantissa 0,795185 encontramos na tábua o número 624, mas como a característica do logaritmo é 1,
então ele possui duas ordens inteiras (devemos somar 1 nos antilogaritmos positivos). Então temos:
log 62,4  1,795185
4
4ª) Calcular antilog – 1,371611.
Antes de tudo devemos transformar o logaritmo na forma negativa para a forma mista ou preparada, pois na tábua
a mantissa é sempre positiva. Essa transformação é obtida subtraindo 1 de sua parte inteira e adicionando 1 à sua
parte decimal, o que evidentemente não altera o número negativo. Assim temos:
 1,3716  1  0,371611  1  1  1  0,371611  2  0,628389  2,628389  log x  1,371611  2,628389
Com a mantissa 0,628389 encontramos na tábua o número 425, mas como a característica do logaritmo é – 2,
temos dois zeros antes do primeiro algarismo significativo:
log 0,0425  2,628389
Interpolação Linear
Haverão casos em que o valor desejado de um logaritmo não se encontra na tábua de logaritmos utilizada.
Nestes casos utilizaremos um processo chamado de interpolação linear. É notável lembrar que a função logarítmica
não é linear mas tal procedimento nos resulta numa boa aproximação.
1ª) Calcular log 314,3.
Numa tabela de 100 a 999 encontraremos os valores para log 314 = 2,496930 e log 315 = 2,498311.
Representando cartesianamente como uma função linear temos o seguinte esboço:
x
x1 = 314
x2 = 314,3
x3 = 315
y = log x
y1 = log 314 = 2,496930
y2 = log 314,3 = ?
y3 = log 315 = 2,498311
Para determinarmos o valor de y2, consideremos os triângulos AEB e AFD. Como eles são semelhantes, temos:
DF AF
d
0,3



 d  0,0004143
BE AE
0,001381 1
Portanto log 314,3  log 314  d  2,496930  0,0004143  2,4973443 .
2ª) Calcular antilog 3,249504.
A mantissa 0,249504 não aparece numa tabela de 0000 a 9996, porém está compreendida entre as mantissas
0,247973 e 0,250420. Representando cartesianamente como uma função linear temos o seguinte esboço:
x
x1 = 1770
x2 = ?
x3 = 1780
y = log x
y1 = log 1770 = 3,247973
y2 = log x2 = 3,249504
y3 = log 1780 = 3,250420
Para determinarmos o valor de x2, consideremos os triângulos AFD e AEB. Como eles são semelhantes, temos:
5
AF DF
d
0,001531
0,01531



d 
 6,256640
AE BE
10 0,002447
0,002447
Portanto x2  1770  d  1770  6,256640  1776,25664 .
Cologaritmo
Denomina-se cologaritmo de um número 𝑁 (𝑁 > 0) numa base 𝑎 (𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 0) o oposto do logaritmo do número
𝑁 na base 𝑎 ou o logaritmo do inverso de 𝑁 na base 𝑎.
ou
colog 𝑎 𝑁 = − log 𝑎 𝑁
colog 𝑎 𝑁 =
1
log 𝑎 𝑁
Exercícios
1. Usando as familiares leis dos expoentes, demonstre as seguintes propriedades úteis dos logaritmos:
a) log a mn  log a m  loga n
c) log a m r   r  log a m
b) loga m / n  loga m  loga n
d) log a s m  log a m / s
2. Mostre que:
a) log b N 
log a N
log a b
b) log N b 
1
log b N
c) log N b  log 1 1 / b 
N
(Mudança de base)
3. Determine as características, no sistema decimal, de:
log 7; log 0,032; log 105 e log 0,00010.
4. Calcule, utilizando a tabela de mantissas:
a) log 3210
c) log 5,72
b) log 25,4
d) log 0,74
e) log 0,00357
5. Calcule, utilizando a tabela de mantissas:
a) antilog 3,8768
b) antilog 1,8035
c) antilog 0,9175
d) antilog 1,5145
e) antilog 3,6693
f) antilog 2,1271
6
6. Calcule, utilizando a tabela de mantissas:
a) antilog – 2,0899
c) antilog – 0,4473
b) antilog – 3,2147
d) antilog – 1,6517
7. Observe o cálculo de log 2 3.
log 2 3 
log 3 0,4771

 1,585
log 2 0,3010
Agora, calcule utilizando a tabela de mantissas do apêndice:
a) log 3 2
c) log 5 3
b) log 2 5
d) log 5 6
e) log 6 4
8. Em Química, define-se o pH de uma solução como logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva
concentração de H3O+ (íon hidroxônio). O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H3O+ é
4,8 ∙ 10−8 mol/ℓ (em média). Qual será o pH desse líquido?
OBSERVAÇÃO
Existem calculadoras com a tecla ln
, que permitem calcular os logaritmos naturais dos números reais positivos.
Os logaritmos naturais tem a base 𝒆, ou seja, ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥 (logaritmo natural de 𝑥). O número 𝑒, base dos
logaritmos naturais, é caracterizado pelo fato de que seu logaritmo natural é igual a 1, ou seja, ln 𝑒 = 1. O número
𝑒 é irracional. Um valor dessa importante constante é 𝑒 = 2,7182818284 … Os logaritmos naturais, de base 𝑒,
são muito importantes nas aplicações.
9.
Sabemos que o número de bactérias de uma cultura, depois de um tempo 𝑡, é dado por 𝑁 = 𝑁0 ∙ 𝑒 𝑟𝑡 , em que
𝑁0 é o número inicial (quando 𝑡 = 0) e 𝑟 é a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de
bactérias dobrará se a taxa de crescimento contínuo é de 5% por minuto?
10. Em quantos anos 500 g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão
a 100 g? Use 𝑄 = 𝑄0 ∙ 𝑒 −𝑟𝑡 , em que 𝑄 é a massa da substância, 𝑟 é a taxa e 𝑡 é o tempo em anos.
11. Na América Latina, a população cresce a uma taxa de 3% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a
população da América Latina irá dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
12. (Fuvest – SP) A intensidade 𝐼 de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de 𝐼 = 0 até
𝐼 = 8,9 para o maior terremoto conhecido. 𝐼 é dado pela fórmula:
𝐼=
2
𝐸
log10
3
𝐸0
na qual 𝐸 é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e 𝐸0 = 7 ∙ 10−3 kWh.
a) Qual é a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter?
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada?