Exercıcios Resolvidos de Dinтmica Clсssica Conte´udo

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS
2 de Dezembro de 2004, às 13:31
Exercı́cios Resolvidos de Dinâmica Clássica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica,
Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı́sica
Matéria para a QUARTA prova. Numeração conforme a quarta edição do livro
“Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
Conteúdo
10 Colisões
10.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . .
10.2.1 Impulso e Momento Linear . . .
2
2
2
2
10.2.2 Colisões Elásticas em Uma Dimensão . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Colisões Inelásticas em Uma
Dimensão . . . . . . . . . . . .
10.2.4 Colisões em Duas Dimensões .
10.2.5 Problemas Adicionais . . . . .
Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para
http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
4
5
6
7
jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
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10 Colisões
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Resolvendo para , obtemos
10.1 Questões
Q 10-1
Explique como a conservação de energia se aplica a uma
bola quicando numa parede.
1
&
* *
)2 !3#&
(' '
+ -
,
-54 ) m/s
A velocidade final da bola é 4 ) m/s.
P 10-12 (10-9/6 )
Um carro de ' kg, deslocando-se a 6 m/s, está inicialmente viajando para o norte, no sentido positivo do
eixo 7 . Após completar uma curva à direita de 89 para
o sentido positivo do eixo : em '; 4 s, o distraido motorista investe para cima de uma árvore, que pára o carro
10.2 Problemas e Exercı́cios
em 6 ms. Em notação de vetores unitários, qual é o
10.2.1 Impulso e Momento Linear
impulso sobre o carro (a) durante a curva e (b) durante a
colisão? Qual a intensidade da força média que age sobre o carro (c) durante a curva e (d) durante a colisão?
E 10-3 (10-1/6 edição)
(e) Qual é o ângulo entre a força média em (c) e o sentido positivo do eixo : ?
Um taco de sinuca atinge uma bola, exercendo uma
força média de N em um intervalo de ms. Se a (a) O momento inicial do carro é
bola tivesse massa de kg, que velocidade ela teria
< =>? ' " 6A@B )C'*
kgD m/sA@
após o impacto?
+
Se for a magnitude da força média então a magnie o momento final é )E'*
kgD m/sGF . O impulso que nele
tude do impulso é , onde é o intervalo de
atua é igual à variação de momento:
tempo durante o qual a força é exercida (veja Eq. 10-8).
H
Este impulso iguala a magnitude da troca de momen < , - < + )E'*
kgD m/s F - @CI
tum da bola e como a bola está inicialmente em repouso,
iguala a magnitude do momento final. Resolvendo
(b) O momento inicial do carro é < + )C'*
kgD m/sJF
a euqação para encontramos
e o momento final é < , K , uma vez que ele para. O
impulso atuando sobre o carro é
"!$#
%
" m/s
H
< , - < + - )C'*
kgD m/sJF
E 10-9 (10-5/6 )
(c) A força média que atua no carro é
H
L
<
IM
)C'*
kgD m/s F - @E
'N 4
4
&6 N F - @C
Uma força com valor médio de &
N é aplicada a uma
bola de aço de ' kg, que se desloca a (' m/s, em uma
colisão que dura *) ms. Se a força estivesse no sentido oposto ao da velocidade inicial da bola, encontre a
velocidade final da bola.
Considere a direção inicial do movimento como po 4
sitiva e chame de a magnitude da força média, a e sua magnitude é NQP RS
4 UT
O M
duração da força, a massa da bola, + a velocidade 6 N.
inicial da bola, , a velocidade final da bola. Então a (d) A força média é
força atua na direção negativa e o teorema do impulsoH
momento fornece
L
E) '*
kgD m/sGF
O
M
6
?& !3#
- ./0 , - + http://www.if.ufrgs.br/ jgallas
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"('*6 N.F
"V2 W NXF
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(a) Se for a massa dum chumbinho e for sua velocidade quando ele atinge a parede, então o momento
é
i
/0 !3# ] kgD m/sj
L
e sua magnitude é
N.
OM %
"VY?& W
(e) A força média é dada acima em notação vetorial na direção da parede.
unitária. Suas componentes : e 7 tem magnitudes (b) A energia cinética dum chumbinho é
iguais. A componente : é positiva e a componente 7
g
g
k
gf 0 gf ?& !3# * =
J
é negativa, de modo que a força está a '* 9 abaixo do
eixo : .
(c) A força na parede é dada pela taxa na qual o momento é transferido
dos chumbinhos para a parede. Como
i
os chumbinhos não voltam para trás, cada chumbinho
P 10-13 (10-??/6 )
transfere U kgD m/s. Se lmn& chumbinhos coA força sobre um objeto de kg aumenta uniforme- lidem num tempo BK segundo, então a taxa média
mente de zero a N em ' s. Qual é a velocidade final com que o momento
i
é transferido é
do objeto se ele partiu do repouso?
l
&
]& N
Tome a magnitude da força como sendo Z\[5 , onOM
1
de [ é uma constante de proporcionalidade. A condição
A força na parede tem a direção da velocidade inicial
que ]\ N quando /' s conduz a
dos chumbinhos.
(d) Se 1 é o intervalo de tempo para um chumbinho
[\ N_^ ' s`ZC
" N/s
ser freado pela parede, então a força média exercida na
i
parede por chumbinho
é
A magnitude do impulso exercido no objeto é
b
a
c
W
b
ed.
c
W
[5XdS
gNh
gf [5 hh Wc
g
gf C
" *
' OM
n 444 44 N
4
; !3#
A força tem a direção da velocidade inicial do chumbinho.
(e) Na parte (d) a força foi mediada durante o interva
& ND s
lo em que um chumbinho está em contato com a parede,
enquanto na parte (c) ela foi mediada durante o intervalo
A magnitude deste impulso é igual à magnitude da
de tempo no qual muitos chumbinhos atingem a parede.
variação do momento do objeto ou, como o objeto parNa maior parte do tempo nenhum chumbinho está em
tiu do repouso, é igual m̀agnitude do momento final:
contato com a parede, de modo que a força média na
a=, . Portanto
parte (c) é muito menor que a média em (d).
,1
&
Z& m/s
P 10-14 (10-13/6 )
Uma arma de ar comprimido atira dez chumbinhos de
g por segundo com uma velocidade de m/s, que
são detidos por uma parede rı́gida. (a) Qual é o momento linear de cada chumbinho? (b) Qual é a energia
cinética de cada um? (c) Qual é a força média exercida
pelo fluxo de chumbinhos sobre a parede? (d) Se cada chumbinho permanecer em contato com a parede por
4 ms, qual será a força média exercida sobre a parede
por cada um deles enquanto estiver em contato? (e) Por
que esta força é tão diferente da força em (c)?
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P 10-26 (10-15/6 )
Uma espaçonave é separada em duas partes detonandose as ligações explosivas que as mantinham juntas. As
massas das partes são &
e &o kg; o módulo do impulso sobre cada parte é de 6 ND s. Com que velocidade relativa as duas partes se separam?
Consideremos primeiro a parte mais leve. Suponha
que o impulso tenha magnitude e esteja no sentido positivo. Seja , a massa e a velocidade da parte mais
f f
leve após as ligações explodirem. Suponha que ambas
as partes estão em repouso antes da explosão. Então,
p
/ , de modo que
f f
6
\
m/s
f
C
f
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O impulso na parte mais pesada tem a mesma magnitu- a velocidade > do bloco de 4 kg pode estar no sentido
de mas no sentido oposto, de modo que - %q g g , ilustrado?
onde g , g são a massa e a velocidade da parte mais (a) Seja , + e , a massa e a velocidade inicial
f f
f
pesada. Portanto
e final do bloco à esquerda, e g , g + e g , as correspondentes grandezas do bloco à direita. O momento do
6
g - V 4 ) m/s
g
sistema composto pelos dois blocos é conservado, de
&o
modo que
A velocidade relativa das partes após a explosão é
+Nxz g g +{/ ,|xz g g ,Nj
f f
f f
- - V 4 )X=; 'NC) m/s
donde tiramos que
,
f
P 10-28 (10-38/6 )
A espaçonave Voyager 2 (de massa e velocidade relativa
ao Sol) aproxima-se do planeta Júpiter (de masp
e velocidade r relativa ao Sol) como mostra a
sa
Fig. 10-33. A espaçonave rodeia o planeta e parte no
sentido oposto. Qual é a sua velocidade, em relação ao
Sol, após este encontro com efeito estilingue? Considera stC
km/s e rut6 km/s (a velocidade orbital
de Júpiter). A massa de Júpiter é muito maior do que a
pwv
da espaçonave;
. (Para informações adicionais,
veja “The slingshot effect: explanation and analogies”,
de Albert A. Bartlett e Charles W. Hord, The Physics
Teacher, novembro de 1985.)
Considere o encontro num sistema de referência fixo
em Júpiter. Quando eventuais perdas de energia forem
desprezı́veis, o encontro pode ser pensado como uma
colisão elástica na qual a espaçonave emerge da “colisão” com uma velocidade de mesma magnitude que a
velocidade que possuia antes do encontro. Como a velocidade inicial da espaçonave é
+ x} g g + - g g ,
f f
f
" '
5x
" - N
' 8*BZ 8 m/s
45~
O bloco continua andando para a direita após a colisão.
(b) Para ver se a colisão é inelástica, comparamos os valores da energia cinética total antes e depois da colisão.
A energia cinética total ANTES da colisão é
k
g
+ }
x g f f
g
4 x}
gf +
g
g+
g
'€ "
=6) J
A energia cinética total DEPOIS da colisão é
g
g
k
gf , xRgf g g ,
,
f f
g
g
4 gf 8 x gf '€ 'N 8* \6) J
k
k
, , vemos que a colisão é elástica,
Como + (c) Neste caso temos g + - " m/s e
+$xz g g + - g g ,
+ /2xrn]&
5x=6=
km/s
f f
,
f
f
medida a partir de Júpiter, ela se afastará de Júpiter com
' "
5
x
- '; 8  - " 4 m/s
, km/s. Passando para o sistema original de re 4 ~
ferência no qual o Sol está em repouso, tal velocidade é
Como o sinal indica, a velocidade deve opor-se ao sendada por
tido mostrado.
*,y / , xrn\
5x=6\6o km/s
E 10-33 (10-37/6 )
10.2.2 Colisões Elásticas em Uma Dimensão
E 10-29 (10-35/6 )
Os blocos da Fig. 10-34 deslizam sem atrito. (a) Qual é
a velocidade > do bloco de 4 kg após a colisão? (b) A
colisão é elástica? (c) Suponha que a velocidade inicial
do bloco de " ' kg seja oposta à exibida. Após a colisão,
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Um carro de 6' g de massa, deslocando-se em um trilho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de
m/s, atinge um segundo carro de massa desconhecida, inicialmente em repouso. A colisão entre eles é
elástica. Após a mesma, o primeiro carro continua em
seu sentido original a 44 m/s. (a) Qual é a massa do
segundo carro? (b) Qual é a sua velocidade após o impacto? (c) Qual a velocidade do centro de massa do
sistema formado pelos dois carrinhos?
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(a) Seja , + , , a massa e as velocidades inicial
f f
f
e final do carro que originalmente se move. Seja g e
6 g , a massa e a velocidade final do carro originalmente
" Z kg
g
parado ( +  . Então, de acordo com a Eq. 10-18,
temos
(b) A velocidade do centro de massa do sistem formado
- g
pelos dois corpos satisfaz a equação
f
,1
+_
„
f
x} g f
x} g ‰ …{† +Nx} g g +_
f
f
f f
g
Desta expressão obtemos para :
g
Resolvendo para …Š† com +{\ encontramos
+ - ,
g
f
f +
* 'N *
f
,‚x} +
f
f
…Š† =
m/s
f
f
x} g
" Bx/ - 44 f
6'* g`=88 g
5x 44
(b) A velocidade do segundo carro é dada por
E
; 6'
g , f g + f
x}
6'*ƒx 88
f
8 m/s
E 10-37 (10-43/6 )
Duas esferas de titânio se aproximam frontalmente com
velocidades de mesmo módulo e colidem elasticamente.
Após a colisão, uma das esferas, cuja massa é de 6 g,
permanece em repouso. Qual é a massa da outra esfera?
(c) A velocidade do centro de massa do sistema formado Seja , + , , a massa e as velocidades antes e
f
f
f
pelos dois carrinhos satisfaz a equação
depois da colisão de uma das partı́culas e g , g + , g , a
„
massa e as velocidades antes e depois da colisão, da ou xz g G…{†‡ + x} g g + f
f f
tra partı́cula. Então, de acordo com a Eq. 10-28, temos
Lembrando que g + / , temos
- g
E g
f
+
, x
g +
f
xz g f
x} g
+
6'* f
f
f f
…{†‡
= 86 m/s
xz g
6'5x88
Suponha
que
a
esfera
esteja
viajando
originalmente no
f
sentido positivo e fique parada após a colisão. A esfera Observe que usamos gramas em vez de kilogramas.
está viajando originalmente no sentido negativo. Substituindo +‹ , g +Œ - e , na expressão
f
f
- 6 g . Ou
E 10-34 (10-41/6 )
acima, obtemos /
seja,
f
Um corpo de " kg de massa colide elasticamente com
6 g
f g Z g
outro em repouso e continua a deslocar-se no sentido
6
6
original com um quarto de sua velocidade original. (a)
Qual é a massa do corpo atingido? (b) Qual a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois 10.2.3 Colisões Inelásticas em Uma Dimensão
corpos se a velocidade inicial do corpo de " kg era de
'; m/s?
(a) Sejam , + , , a massa e as velocidades antes E 10-41 (10-23/6 )
f f
f
e depois da colisão do corpo que se move originalmen- Acredita-se que a Cratera do Meteoro, no Arizona
te. Sejam g e g , a massa e a volcidade final do corpo (Fig. 10.1), tenha sido formada pelo impacto de um meoriginalmente em repouso. De acordo com a Eq. 10-18 teoro com a Terra há cerca de 20.000 anos. Estima-se a
c
temos
massa do meteoro em ‹Ž f kg e sua velocidade em
- g
)
m/s. Que velocidade um meteoro assim transmiti
f
,1
+_
g
ria
à Terra numa colisão frontal?
f
f
x}
f
Seja  a massa do meteoro e  a massa da Terra.
Resolvendo para g obtemos, para ,1= +ˆ^E' ,
f
f
Seja  a velocidade do meteoro imediatamente antes
da colisão e a velocidade da Terra (com o meteoro)
+ - ,
- E^C' f
f g após a colisão. O momento do sistema Terra-meteoro é
f
f
, x} +
C^C'Bx=
f
f
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momento total do sistema
formado pelos dois carros
fornece-nos }
x
‘›œ‰ donde tiramos
M M
M
M M
‹
x} ›
M
de modo que encontramos para g
k
A energia cinética inicial do sistema é +2 ^
c
M M
|‘
)
f enquanto que a energia cinética final é
g
c
‘’xz‘
" 8o?& W x f
g
k
gf ,
xz › ‰
4
M
?& ! fQf m/s
g
M
M
g
g
f Para ficar mais fácil de imaginar o que seja esta veloM xza›Q M xza›œ
g g
cidade note que, como 6 4 Œ“
E'”6 4 •R6;&6 4 ,
temos
gf
M M x} ›
M
4 ?& ! fQf m/s 4 ?& ! fQf 6&6 4 * m/ano
Como )š da energia cinética original é perdida, temos
k
k
, =;)6
+ , ou seja,
&o8 m/ano
g g
g
o8 mm/ano
gf
M M
\ž)E6Xg f j
M M
M xza›
É uma velocidade MUITO difı́cil de se medir, não?...
x › Ÿe;)6 .
que, simplificada, fornece-nos ^ M
M
Resolvendo para › encontramos
E 10-42 (10-21/6 )
)
‘›`
M =; 6€)C M 6*) 6*
Um trenó em forma de caixa de 4 kg está deslocando-se
ž)E6
sobre o gelo a uma velocidade de 8 m/s, quando um pa
C
" 8 toneladas
cote de &
kg é largado de cima para dentro dele. Qual
C
" 8?& # kg
é a nova velocidade do trenó?
A razão das massas é, obviamente, a mesma razão dos
„
Precisamos considerar apenas a componente horizonpesos„ e, chamando de M o peso do vagão, temos que o
tal do momento do trenó e do pacote. Seja 0– , E– a maspeso do carrinho auxiliar é
sa e a velocidade inicial do trenó. Seja ˜— , a massa do
„
„
pacote e velocidade final do conjunto trenó x pacote.
=; 6€) M 6*) 6?& # 8; o*
A componente horizontal do momento deste conjunto
&
4 8;‚ # N
conserva-se de modo que
Observe que o resultado final não depende das velocida – – – x}˜—‰3j
des em jogo.
conservado durante a colisão. Portanto, no sistema de
referência Terra antes da colisão temos
‚% ‘’xz‘X‰3j
de onde tiramos
– –
–™xz —
0
8* 4 4 x/C
\6 m/s
10.2.4 Colisões em Duas Dimensões
E 10-63 (10-49/6 )
P 10-53 (10-29/6 )
Um vagão de carga de 6* t colide com um carrinho auxiliar que está em repouso. Eles se unem e *)š da energia
cinética inicial é dissipada em calor, som, vibrações, etc.
Encontre o peso do carrinho auxiliar.
Seja e a massa e a velocidade inicial do vagão,
M M
a› a massa do carrinho auxiliar e a velocidade final dos dois, depois de grudarem-se. Conservação do
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Em um jogo de sinuca, a bola branca atinge outra inicialmente em repouso. Após a colisão, a branca deslocase a 6 m/s ao longo de uma reta em ângulo de 9 com
a sua direção original de movimento, e o módulo da velocidade da segunda bola é de m/s. Encontre (a) o
ângulo entre a direção de movimento da segunda bola e
a direção de movimento original da bola branca e (b) a
velocidade original da branca. (c) A energia cinética se
conserva?
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(a) Use a Fig. 10-20 do livro texto e considere a bo
la branca como sendo a massa e a outra bola como
6; I¡*¢ 9 x " (¡¢ N
' 9 'N) m/s
f
sendo a massa g . Conservação das componentes : e 7
do momento total do sistema formado pelas duas bolas (c) A energia cinética inicial é
nos fornece duas equações, respectivamente:
g
g
k
+ gf + gf 'N) n 6?
+ ,` I¡¢£ xz g ,` I¡*¢"£ g
f
f
f
- , sen£ x}0 g , sen£ g A energia cinética final é
f
f
g
g
k
Observe que as massa podem ser simplificadas em amgf 0 , x gf g ,
,
f
bas equações. Usando a segunda equação obtemos que
g
gI¥
,
;
6
gf \¤ 6 x *
=oV( 4 4 f sen £ 9
\
sen
sen £ g f
g ,
Portanto a energia cinética não é conservada.
Portanto o ângulo é £ g /'N&9 .
(b) Resolvendo a primeria das equações de conservação
acima para + encontramos
f
10.2.5 Problemas Adicionais
+ ,` I¡*¢"£ xz g , (¡¢"£ g
f
f
f
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