prova de matemática - turmas do 3o ano do

PROVA DE MATEMÁTICA - TURMAS DO 3O ANO DO ENSINO MÉDIO
COLÉGIO ANCHIETA-BA - MARÇO DE 2011.
ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E
ADRIANO CARIBÉ.
RESOLUÇÃO: PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA
Questão 01
2
Sabendo que f(x) = 3x – 2 , f(g(x)) = 6x – 17 e h(f(x)) = 9x – 6x , determine g(h(x)).
2
2
01) 2x + 4x – 5
2
03) 4x + 10x + 5
02) 4x – 16x + 15
2
04) 2x – 6x – 10
05) NRA
RESOLUÇÃO:
Sendo f(x) = 3x – 2 e f(g(x)) = 6x – 17, então 3g(x) – 2 = 6x – 17 ⇒ g( x ) =
2
2
6 x − 15
⇒ g(x) = 2x – 5.
3
Sendo f(x) = 3x – 2 e h(f(x)) = 9x – 6x, então h(3x – 2) = 9x – 6x.
m+2
2
. Substituindo este valor em h(3x – 2) = 9x – 6x:
Fazendo 3x – 2 = m ⇒ x =
3
2
m + 2
m+ 2
h (m) = 9
 − 6
.
3


 3 
2
 x + 2
 x + 2
2
2
Fazendo m = x, h ( x ) = 9
 − 6
 = x + 4 x + 4 − 2x − 4 ⇒ h ( x ) = x + 2x .
3
3




Assim g(h(x)) = 2(x² + 2x) – 5 = 2x² + 4x – 5
RESPOSTA: Alternativa 01.
Questão 02
Os pontos P e Q são conjugados harmônicos do segmento AB , tais que
PA QA
=
= k; k > 0 .
PB QB
Sabendo que PQ = 3cm e que AB = 4cm, calcule k.
01) 1/2
02) 2
03) 5/2
RESOLUÇÃO:
4−x 7−x
=
⇒ 12 − 7 x + x 2 = 7 x − x 2 ⇒ 2x 2 − 14x + 12 = 0 ⇒
x
3− x
7 ± 49 − 24
x 2 − 7x + 6 = 0 ⇒ x =
⇒ x = 1 ou x = 6 (impossível) ⇒
2
PA
3
=k= =3
PB
1
RESPOSTA: Alternativa 04.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
04) 3
05) 7/2
Questão 03.
(UNICAMP-ADAPTADA)
Sabendo que o imposto de renda é calculado em função da renda do cidadão e supondo que a tabela
(incompleta) para o cálculo do imposto de renda fosse a seguinte:
Renda em reais(r)
Porcentagem
Parcela a deduzir em
reais
r ≤ 1 000
isento
0
1 000 ≤ r ≤ 2 000
15%
150
2 000 ≤ r ≤ 3 000
20%
≥ 3 000
27,5%
475
E sabendo ainda que o imposto é calculado aplicando-se à renda a porcentagem correspondente e subtraindo-se
desse resultado a parcela a deduzir, qual o valor da parcela a deduzir para a faixa de R$ 2000 a R$ 3000?
01) R$ 200,00
02) R$ 250,00
03) R$ 300,00
04) R$ 350,00
05) R$ 375,00
RESOLUÇÃO:
A renda média da faixa 1 000 ≤ r ≤ 2 000 é r = 1500, e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa
150
= 0,1 = 10% .
1500
A renda média da faixa 2 000 ≤ r ≤ 3 000 é r = 2500 e a parcela a ser deduzida nessa faixa representa 10% de
2500, ou seja 250.
RESPOSTA: A alternativa 02.
Questão 04.
Na figura ao lado, o arco
mede 80° e o arco
mede 120°. Sabe-se que a medida de
é três
quintos de
.
O ângulo CÊD mede:
01) 20°
02) 25°
03) 30°
04) 35°
05) 40°
RESOLUÇÃO
Como
AB 3
= , pode-se considerar AB = 3β e CD = 5β.
CD 5
Sendo
+
= 200°, então,
+
= 160° ⇒ 3β +5β = 160° ⇒
β = 20° ⇒
= 60° e
= 100°.
Sendo CÊD um ângulo excêntrico externo sua medida é igual a
100° − 60°
= 20° .
2
RESPOSTA: Alternativa 01.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
2
Questão 05.
Sobre produto cartesiano, relações binárias e funções, considere as seguintes afirmativas:
(I)
A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[ x {3; 5} é
(II)
O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N / 4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.
(III) Se f: N* → N* é uma função onde f(1)=f(2)=1 e f(x+1) = f(x) + f(x–1) , então f(7) = 15 .
Logo é verdade que:
01) Apenas a afirmativa I é falsa.
02) Apenas a afirmativa II é falsa.
03) Apenas a afirmativa III é falsa.
04) Apenas uma afirmativa é verdadeira.
05) Todas as afirmativas são verdadeiras.
RESOLUÇÃO:
Essa interseção tem como gráfico os dois segmentos
Destacados na figura abaixo:
(I) A representação gráfica do produto cartesiano [2; 6[
x {3; 5} é interseção entre a faixa retangular
determinada pelas retas x = 2 e x = 6 com as retas y =
3 e y = 5.
Logo a afirmação I é verdadeira.
(II)
O domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N / 4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.
Determinando, em função de y, o valor de x na igualdade 4x + 3y = 35, x =
y∈N
1
3
5
7
35 − 3y
.
4
x=
35 − 3y
∈N
4
Os únicos pares que satisfazem à relação,
são: (8, 1), (5, 5), (3, 9).
x=
35 − 3
= 8∈ N
4
Logo o domínio da relação W = {(x; y) ∈ N x N /
4x + 3y = 35} possui apenas 3 elementos.
x=
35 − 9 26
=
∉N
4
4
A afirmação II é verdadeira.
x=
35 − 15
= 5∈ N
4
x=
35 − 21 14
=
∉N
4
4
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
3
9
11
x=
35 − 27
= 3∈ N
4
x=
35 − 33 2
= ∉N
4
4
(III)
Em f(x+1) = f(x) + f(x–1), fazendo x + 1 = 2 ⇒ x = 1 e x – 1 = 0 o que é impossível pois f: N* → N*.
Logo a afirmação III é falsa.
RESPOSTA: Alternativa 03.
Questão 06.
Uma bicicleta percorre a distância d quando cada uma de suas rodas dá n voltas. Se d aumenta 12m o número
de voltas de cada uma das rodas aumenta 10.
Calcule, aproximadamente, o raio das rodas dessa bicicleta.
01) 15cm
02) 16cm
03) 17cm
04) 18cm
05) 19cm
RESOLUÇÃO:
Considerando-se r a medida do raio de cada roda da bicicleta, quando cada roda completa uma volta ela
percorreu uma distância igual a c = 2π.r.
d
Ao percorrer a distância d, cada roda deu n =
voltas.
2π .r
d + 12
Ao percorrer mais 12m, cada roda deu n + 10 =
voltas
2π .r
d + 12
d + 12
d


20π .r = 12
n + 10 = 2π .r
10 = 2π .r − 2π .r

⇒
⇒
12



r=
= 0,19m = 19cm
d
d
12
d
n =


+
−
= 10 
62,8


2π .r
 2π .r 2π .r 2π .r
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 07.
(UFBA/2008/Modificada)
Em um terreno plano horizontal, está fixado um mastro vertical com 27 metros de altura. Do topo do mastro,
é lançado um projétil, descrevendo uma trajetória de modo que sua altura(f(x)), em relação ao terreno, é
2
uma função da forma f(x) = ax + bx + c , onde x representa a distância à reta que contém o mastro. O projétil
alcança a altura de 32 metros, quando essa distância é de 3 metros, e atinge o solo, quando a distância é de
27 metros. Calcule a altura do projétil quando essa distancia é de 9 metros.
01) 34 metros
03) 38 metros
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
02) 36 metros
04) 40 metros
05) 45 metros
4
RESOLUÇÃO:
Fazendo o eixo Oy coincidir com o mastro e a ordenada y = 27 com o topo desse
2
mastro, a função f pode ser representada como f(x) = ax + bx + 27.
Pelos dados da questão os pares ordenados (3, 32) e (27, 0) representam pontos
da curva descrita pelo projétil lançado. Tem-se então o sistema:
1

9a + 3b + 27 = 32
9a + 3b = 5
x2
72a = −8 ⇒ a = −
⇒
⇒
+ 2x + 27
9 ⇒ f (x ) = −

9
729a + 27b + 27 = 0 81a + 3b = −3 − 1 + 3b = 5 ⇒ b = 2

f (9) = −
81
+ 18 + 27 = −9 + 45 = 36 .
9
RESPOSTA: Alternativa 02
Questão 08.
A medida de um dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é cinco vezes a medida do outro. Calcule o
ângulo entre a altura e a mediana relativas à hipotenusa.
01) 20°
02) 30°
03) 40°
04) 50°
05) 60°
RESOLUÇÃO:
De acordo com a condição da questão,
AĈB = 5AB̂C = 5α ⇒ α + 5α = 90° ⇒ α = 15° .
Por propriedade, a medida da mediana AM é igual à
metade da medida da hipotenusa. Então o triângulo ABM
é isósceles.
Sendo AM̂C externo ao triângulo ABM, sua medida é igual a 2α = 30° (Todo ângulo externo a um triângulo
tem por medida a soma dos ângulos internos que não lhe são adjacentes).
No triângulo retângulo AHM, tem-se: 2α + β = 90° ⇒ 30° + β = 90° ⇒ β = 60°.
RESPOSTA: Alternativa 05.
Questão 09.
Determine a imagem da relação binária real definida pela sentença y =
01) R*
02) R
*
+
03) ]1; + ∞[
x 2 +2
x2
.
04) [1; + ∞[
05) ]2; + ∞[
RESOLUÇÃO:
O conjunto imagem da relação binária real definida pela sentença y =
x 2 +2
x2
coincide com o domínio da sua
relação inversa.
Para derminar a inversa dessa relação, nela deve-se substituir suas variáveis pelas ordenadas do par ordenado
(y, x):
x=
y2 + 2
2
2
⇒ y 2 x = y 2 + 2 ⇒ y 2 ( x − 1) = 2 ⇒ y 2 =
⇒y=±
2
x
−
1
x
−1
y
Que somente é um número real para x – 1 > 0 ⇒ x > 1.
Logo o conjunto imagem pedido é ]1; +∞[.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
RESPOSTA: Alternativa 03.
5
Questão 10.
Na figura AC é bissetriz do ângulo  e AB = AC.
Sabendo que 18°< β < 30°, então
01) 10°< α < 20°
04) 40°< α < 48°
02) 20°< α < 32°
05) 48°< α < 54°
03) 32°< α < 40°
RESOLUÇÃO:
O ângulo AĈB é externo ao triângulo ACD, logo a sua medida é igual
a (α + β).
Como o triângulo ABC é isósceles (AB = AC), tem-se:
AB̂C = AĈB = α + β .
No triângulo ABD:
2(α + β ) + α = 180° ⇒ 3α + 2β = 180° ⇒ 2β = 180° − 3α.
Sendo 18°< β < 30°, então, 36°< 2β < 60°.
Como 2β = 180° − 3α, substituindo na última desigualdade 2β por esse valor:
36°< 180° − 3α < 60° ⇒ −144° < − 3α < −120° ⇒ 120° < 3α < 144° ⇒ 40° < 3α < 48°.
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 11.
2
Dado o conjunto A = {(x; y) ∈ R / 2 ≤ x ≤ 7 , 0 ≤ y ≤ 5 e y ≤ x }, calcule a área da região que representa
graficamente o conjunto A no plano cartesiano.
01) 25 u.a.
02) 50 u.a.
03) 20,5 u.a.
04) 18,5 u.a.
05) NRA
RESOLUÇÃO:
Representando as três leis, que determinam o conjunto A, no plano cartesiano
tem-se o gráfico ao lado. A região que representa graficamente o conjunto A é
o pentágono ABCDEF cuja área é a soma da área do retângulo BCDE com a
do trapézio ABEF.
3(2 + 5)
Portanto, S = 5 × 2 +
= 10 + 10,5 = 20,5 .
2
RESPOSTA: Alternativa 03.
(UNICAMP/ ADAPTADA)
K
O preço unitário de um produto é dado por P =
+ 20 , sendo K uma constante e n, o número de unidades
n
Questão 12.
adquiridas. Sabendo que quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 27,00, calcule quantas
unidades do referido produto podem ser adquiridas com R$ 650,00.
01) 23
02) 25
03) 27
04) 29
05) 31
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
6
RESOLUÇÃO:
1. Se quando foram adquiridas 10 unidades o preço unitário foi de R$ 27,00:
k
+ 20 = 27 ⇒ k + 200 = 270 ⇒ k = 70 ⇒
10
70
O preço unitário é dado pela relação p =
+ 20 .
n
Se n produtos foram vendidos por R$650,00, então, o valor do preço unitário é de
650
reais, logo:
n
650 70
=
+ 20 ⇒ 650 = 70 + 20n ⇒ 20n = 580 ⇒ n = 29 .
n
n
RESPOSTA: Alternativa 04.
Questão 13.
Na figura, AB // CD , AB = 4cm e CEFD é um quadrado de lado 8cm.
Sabendo que HE = HF = x, calcule, em cm, aproximadamente, o valor de y = HD
01) 6,1
02) 6,4
03) 7
04) 7,2
05) 7,4
RESOLUÇÃO:
Sendo AB // CD , os triângulos ABJ e CDJ são semelhantes e seus elementos
correspondentes
são
proporcionais,
logo:
AB h ABJ
4
x
=
⇒ =
⇒ 2 x = 15 − x ⇒ 3x = 15 ⇒ x = 5 .
CD h CDJ
8 15 − x
2
2
2
2
No triangulo retângulo HGF, x = 16 + u ⇒ 25 = 16 + u ⇒ u = 9 ⇒ u = 3.
2
2
2
2
2
No triangulo retângulo DIH, y = (8 - u) + 4 ⇒ y = 5 + 16 ⇒ y =
RESPOSTA: Alternativa 02.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
7
41 = 6,4 .
Questão 14.
Dadas as funções representadas nos gráficos abaixo, considere as seguintes afirmativas:
+
+
v(x) : R → R
I)
f é bijetora, g é injetora e h é sobrejetora.
II) v não é injetora e não é sobrejetora.
III) O conjunto imagem da função v é o intervalo ] 0; 200 ] .
IV) g(4) < g(3).
V) O gráfico de f
–1
é:
O número de afirmativas verdadeiras acima é igual a:
01) 01
02) 02
03) 03
04) 04
05) 05
RESOLUÇÃO:
I.
f é bijetora porque é injetora ( para todo real x’ ≠ x’’, f(x’) ≠ f(x’’) e também sobrejetora, pois, o seu
conjunto imagem é igual ao seu contradomínio R.
g é injetora e h é sobrejetora.
II.
VERDADEIRA
v não é injetora pois existe x’ ≠ x’’,tal que, f(x’) = f(x’’) e não é sobrejetora, pois o seu conjunto imagem é
diferente do seu contradomínio R. VERDADEIRA
III.
Pela análise do gráfico de v conclui-se que seu valor máximo é y = 200 e seu valor mínimo é y > 0. Logo
o seu conjunto imagem é o intervalo ] 0; 200 ]. VERDADEIRA.
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8
IV.
V.
Pela análise do gráfico de g(x) chega-se à conclusão de que g é uma função decrescente, assim
g(4) < g(3).
VERDADEIRA.
Pela análise do gráfico de f(x), verifica-se que f(0) = −2 e f(1) = 0.
Analisando o gráfico dado no item V, percebe-se que f(−2) = 0 e f(0) = 1, logo, esse é o gráfico de f −1(x).
VERDADEIRA.
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO DISCURSIVA
Atenção
:
Esta questão
somente será aceita se:
1. apresentar todo o desenvolvimento do raciocínio necessário para a sua resolução.
2. a sua resolução for toda escrita a caneta (todos os cálculos, todas as justificativas e respostas).
3. toda resolução (todos os cálculos, justificativas e respostas) estiver limpa e organizada.
4. cada justificativa vier acompanhada dos cálculos correspondentes.
5. a resposta estiver completa e não apenas destacada.
Se pelo menos, um dos itens acima não for observado, a questão será ZERADA.
Questão 15.
Prove que na figura ao lado, as retas r e s são paralelas.
RESOLUÇÃO:
Inicialmente prolongando o segmento CD determina-se o triângulo ABC, onde AB̂C mede 40°.
Aplicando aos ângulos da figura o conceito de ângulos suplementares, determina-se: ED̂B = 60° , DB̂G = 140° e
EF̂G = 120° .
A soma dos ângulos internos de um pentágono mede 540°, logo no pentágono BDEFG,
80° + 120° + 140° + 60° + x = 540° ⇒ x = 540° – 400° ⇒ x = 140° ⇒ FĜH = 40°
Como os CÂB e FĜH são ângulos correspondentes formados por duas retas coplanares, r e s, e uma
transversal e ambos medem 40°, as retas r e s são paralelas como se queria demonstrar.
09-1797(M)_2ªAval-Matem-3ºEM-U1(prof)_15-04_ado
9