modelo de filas para estimação de parâmetros de

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A Pesquisa Operacional e o Desenvolvimento Sustentável
MODELO DE FILAS PARA ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS DE
DESEMPENHO PARA SISTEMAS LOGÍSTICOS
Frederico Samartini Queiroz Alves
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627Belo Horizonte-MG CEP 31270-010
[email protected]
Luís Antônio Capanema Pedrosa
Fundação Dom Cabral
Av. Bernardo Guimarães, 3071 Belo Horizonte-MG CEP 30140-083
[email protected]
Hani Camille Yehia
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Antônio Carlos 6627 Belo Horizonte-MG CEP 31270-010
[email protected]
RESUMO
Este trabalho se aplica, especificamente, ao caso de uma M/M/c com servidores
heterogêneos. É apresentada uma aproximação analítica para que se obtenha o limite superior
para as medidas de performance, na verdade, esse representa o pior caso esperado para tais
medidas. A aproximação desenvolvida se torna interessante pelo fato de ser capaz de estimar
parâmetros de desempenho, como tempo de espera e número médio de pessoas na fila, de uma
forma simples, fácil de ser aplicada, e com um erro menor do que se fosse modelado por uma
M/M/c tradicional que considera a média dos servidores. A validação do esquema proposto é
feita por comparações com simulações rodadas em GPSS.
Espera-se com essa aproximação que vários modelos já existentes dentro da logística
possam ser aperfeiçoados e, também, que o gerenciamento logístico de vários sistemas possa ser
feito de forma mais eficiente.
PALAVRAS CHAVE. Teoria de Filas. Servidores Heterogêneos. Medidas de Desempenho.
Logística e Transportes.
ABSTRACT
This paper considers a heterogeneous M/M/c queue. It is presented an analytical
approximation capable of yielding an upper bound for the system’s performance measures, in
fact, it is the worst case expected for that measures. The developed approximation become
interesting as it can estimate the average waiting time in the queue and the average number of
customer in the queue with a relative simple formula, which can be easy applied, and because it
results in an smaller approximating error than if one uses the traditional M/M/c, which considers
all the servers as equal. The scheme proposed here was validated by comparing it with simulation
outcomes that were run in GPSS.
We hope that the approximation can be used to improve many already existing models in
logistics and also that the logistical management of many systems can be done more efficiently.
KEYWORDS. Queueing Theory. Heterogeneous Servers. Performance Measures. Logistics
and Transportation.
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1. Introdução
As filas são fenômenos que acontecem a todo o momento. Pode-se vê-las em tudo o que
se faz e aonde se vai: filas de carros em um engarrafamento, para comprar um lanche, ao pagar as
contas, etc. As filas que acontecem no dia-a-dia não são apenas as visíveis diretamente, existem
filas nos aeroportos, nos portos e estão presentes em todo o processo de produção e escoamento
de produtos, fazendo com que os preços das mercadorias subam ou desçam conforme a eficiência
na distribuição e na logística. Desta forma, resolver de maneira adequada os problemas de filas
pode ser um fator de redução de custos e de maximização da eficiência de um sistema.
A investigação de sistemas de filas é, portanto, de extrema importância. Dentro deste
contexto são considerados os casos em que as filas são processadas por servidores heterogêneos.
A necessidade de se estudar os sistemas atendidos por esses vem do fato de que na prática o
número de sistemas onde os servidores trabalham com taxas diferentes é grande. Considerando,
por exemplo, seres humanos como servidores, sendo que cada um é encarregado de realizar um
serviço, ainda que esses serviços sejam iguais para todos, cada um terminará o trabalho em um
tempo diferente. Mesmo se os servidores forem considerados máquinas é bem provável que isso
ocorra. Ainda mais, se for considerado que os sistemas enfrentam um processo rápido e
permanente de renovação de tecnologia ou de depreciação, o que faz equipamentos velhos serem
normalmente mais lentos. O mesmo ocorre no transporte de mercadorias, que pode ser feito por
um caminhão mais possante que outro ou por uma estrada mais ou menos rápida.
A motivação para o estudo de sistemas com múltiplos servidores heterogêneos vem da
importância que esses têm atualmente. Na literatura, alguns resultados já foram obtidos nesse
campo. Harten and Sleptchenko (2003) desenvolvem um estudo sobre sistemas de filas MCMS
(Multi-Class Multi-server). Eles consideram um sistema de fila M/M/k com k classes e k
servidores exponencialmente distribuídos e com taxas de processamento diferentes. Eles fazem
uma redução de parte do problema para uma equação diferencial de segunda ordem e mostram
que a solução exata pode ser achada através de decomposição dos autovalores dessas. Com as
soluções exatas para as equações de estado eles computam as medidas de performance para o
sistema e depois as comparam com aproximações heurísticas encontradas na literatura.
Boxma, Deng, and Zwart (2002) estudaram uma fila heterogênea M/M/2. Definem o
tempo de serviço do primeiro servidor como sendo exponencialmente distribuído, enquanto que,
no servidor dois o tempo de serviço é representado por uma distribuição genérica B(.). Eles
mostram que a distribuição do tempo de espera é semi-exponencial se a taxa de chegada de jobs
no sistema for menor que a taxa de processamento do servidor exponencial.
Gall (1998b) neste trabalho generaliza o método de fatorização criado por ele mesmo em
(Gall, 1998a) para as filas G/G/s, só que agora considerando os servidores como sendo
heterogêneos. Ele apresenta três simples propriedades as quais permitem a construção de um
método numérico para os cálculos. Ele compara os resultados achados, com os determinados
através de métodos Markovianos clássicos para o caso de um sistema de fila M/G/s simétrica.
Compara também o atraso médio em fila encontrado por ele com resultados simulados.
Singh (1971) considera um sistema de fila M/Mi/3, onde os três servidores são
heterogêneos. Ele acha as seqüências de melhores taxas de serviços através de investigações
numéricas que minimizam as medidas de performance dos sistemas. Esse foi na verdade uma
continuação do trabalho feito por ele em Singh (1970) onde considerava apenas dois servidores.
Gumbel (1960) caracteriza um sistema de fila M/M/c que atende a uma classe simples
com c servidores heterogêneos. Ele assume que para mais de um servidor vazio, o que irá ser
alocado para servir um cliente que chega, será aleatoriamente escolhido. O autor calcula o erro
que existe entre o sistema com servidores heterogêneos quando este é comparado com um
sistema de servidores homogêneos. Considerando o sistema em estado permanente uma
expressão para as probabilidades de estado é apresentada em uma formulação fechada e a partir
dessa é desenvolvida a formulação para o tamanho esperado da fila.
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2. Modelo Proposto
O modelo abordado neste trabalho corresponde ao apresentado na Figura 1. Há apenas
uma classe de cliente e esses chegam ao sistema de acordo com a distribuição de Poisson com
taxa λ. O número de servidores é c, o tempo que cada cliente passa em cada servidor é
exponencialmente distribuído com taxa μi de processamento, sendo que, i=1, 2, ..., c.
Cada cliente chega individualmente ao sistema, ou seja, não são consideradas as
chegadas em bando (bulk arriving) e também não é considerado nenhum tipo de prioridade. O
sistema tem capacidade infinita, ou seja, não há rejeição de clientes que chegam ao sistema.
Também, não há perda de jobs por nenhum tipo de desistência, troca ou impaciência por parte
deles.
Fig. 1. Sistema de fila única com c servidores heterogêneos.
Considera-se que a fila é do tipo FCFS (First-Come, First-Served), conseqüentemente,
os clientes que chegam primeiro ao sistema são atendidos primeiro. No modelo não é permitido
que um servidor fique ocioso (livre) quando há trabalho a ser realizado, portanto, quando houver
fila. Assim sendo, o primeiro cliente na fila será atendido assim que algum dos servidores
terminar de processar o trabalho que estiver realizando.
Como os servidores são heterogêneos, o tipo de alocação utilizada influencia nas
medidas de desempenho desse sistema e consequentemente no modelo. Estuda-se aqui três tipos
de alocação: i - alocação rápida, em que os servidores mais rápido são alocados primeiro sempre
que estiverem disponíveis; ii - alocação aleatória, onde o próximo job é mandado de forma
aleatória para qualquer um dos servidores que estiverem livres; iii - alocação lenta, na qual os
servidores mais lentos que estiverem livres são alocados primeiro.
3. Aproximação Proposta
Através do diagrama de estados mostrado na figura 2 pode-se montar as equações de
equilíbrio que são fundamentadas na conservação dos Fluxos, onde todo o fluxo entrante tem que
ser igual ao fluxo de saída. Para um processo de Nascimento e Morte (Birth-Death Process)
considerando-se que a taxa de Nascimento é λi = λ, para i = 0, 1, 2, ..., ∞ e que a taxa de Morte é
variável e depende do estado em que o sistema se encontra. Defini-se então um μequivalente como
sendo a taxa de Morte:
(1)
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Fig. 2. Diagrama de transição de estados para o modelo proposto de Servidores Heterogêneos.
Observa-se que, de acordo com a equação 1 acima, μequivalente pode ser representado de
duas maneiras. A primeira representação é feita para o caso em que o sistema contém menos de c
clientes e a segunda para o caso desses conter c ou mais clientes. Defini-se então, mi e mc com o
intuito de facilitar o desenvolvimento da formulação e para melhorar a visualização da
formulação.
(2)
A taxa μ1, na verdade, é a taxa de Morte do sistema quando esse se encontra no estado E1,
o que acontece quando há apenas um cliente no sistema e, portanto, tem-se apenas um servidor
processando trabalho. Para o melhor entendimento da influencia que os μ’s têm sobre o sistema, é
interessante desenvolver as equações de equilíbrio de fluxo e, para isso, utiliza-se o diagrama
apresentado na figura 2.
Observando, por exemplo, p3, pode-se ver como μ1 se alastra por todos os termos do
denominador causando grande influência sobre a fórmula. Seguido por ele vem a taxa μ2 , que
tem um segundo maior peso e assim por diante até μ3 que só aparece no ultimo termo do
denominador de p3. É intuitivo que se houver uma pessoa no sistema, e o tráfego de clientes for
intenso, essa terá maior probabilidade de estar no servidor mais lento, pois, ela ficará mais tempo
sendo atendida nesse do que as outras que estarão em um servidor mais rápido. Outra razão para
imaginar que a única pessoa no sistema está no servidor mais lento é devido à propriedade da
distribuição exponencial de ser sem memória. Se em um momento t qualquer, acontecer de todos
os c servidores estarem ocupados e se, eventualmente, fosse necessário saber qual dos servidores
tem a maior probabilidade de ser o último a terminar o trabalho, devido à falta de memória da
distribuição exponencial essa probabilidade não depende da informação de qual servidor iniciou
o trabalho primeiro. Essa probabilidade depende apenas da taxa de serviço μ, não importando,
portanto, se algum servidor começou o trabalho antes ou não.
Levando em conta o descrito acima, fez-se a seguinte escolha para a atribuição dos μ’s:
Como definido anteriormente, μ1 é a taxa de atendimento do servidor mais lento, μ2 é a
taxa de atendimento do segundo servidor mais lento e assim por diante até μc que é a taxa de
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atendimento do servidor mais rápido. Das equações de fluxo pode-se chegar a seguinte expressão
para a probabilidade pi de se achar i pessoas no sistema:
Para i ≤ c temos:
Para i ≥ c temos:
(3)
Com o intuito de achar p0, coloca-se ele em evidencia na equação 3 e utiliza-se da
propriedade apresentada na equação 4.
(4)
E chegamos a seguinte expressão:
(5)
Para que o sistema seja ergódigo o fator de utilização ρ do sistema tem que ser menor que
a unidade, esse está representado da seguinte forma a seguir:
Substituindo ρ na equação 5 e com algumas manipulações chega-se à fórmula para a
probabilidade de se ter zero clientes no sistema, apresentada abaixo:
(6)
Para se achar o número médio Lq de pessoas na fila, é necessário que se ache a esperança de se
encontrar uma ou mais pessoas na fila, ou seja, mais que c pessoas no sistema. Logo:
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(7)
Com a equação 7 pode-se definir qual será o número médio de clientes na fila. Neste
ponto, é interessante utilizar da Lei de Little, apresentada na equação 8, a seguir, pois, está
fornece uma relação entre Wq e Lq. Através dessa pode-se, então, obter-se a fórmula para Wq.
(8)
Com isso, é obtido o tempo médio de espera em fila:
(9)
4. Resultados
Nesta seção são apresentados os resultados numéricos que servem como fonte para a
investigação da validade e da utilidade da formulação proposta quando empregada ao modelo
desejado (veja seção 2) de servidores heterogêneos. Já que não há nenhum outro modelo existente
na literatura que possa ser usado para obter medidas que sirvam como comparação para os
mesmos casos estudados aqui, utilizou-se simulações para que se tivesse os dados necessários
para avaliar os resultados obtidos com a formulação desenvolvida.
Concentrando na medida de performance tempo médio de espera em fila Wq, pois, ela
representa o mesmo comportamento probabilístico que as outras medidas de performance. Dessa
maneira, espera-se que a avaliação dos resultados para tal medida sirva para entender o
comportamento do sistema de uma forma genérica. Criou-se vários sistemas de filas, onde se
variou o número c de servidores existentes, a divisão da capacidade total de processamento entre
esses servidores e a taxa λ de chegada de clientes.
Para cada um desses sistemas foi calculado o valor para Wq através da formulação criada
e através da formulação existente, M/M/c. Em seguida, simulações foram feitas considerando as
políticas de alocação rápida, aleatória e demorada para cada um desses sistemas. Portanto, para
cada sistema três valores simulados para Wq foram achados; o referente ao caso em que se aloca
sempre o servidor livre mais rápido primeiro, o referente ao caso em que é alocado sempre o
servidor livre mais demorado primeiro e o correspondente ao caso em que se aloca os servidores
de forma aleatória.
As simulações foram feitas na linguagem GPSS (General Purpose Simulation System) e
o "compilador" usado foi o GPSS World Program. O GPSS world foi escolhido, pois, esse
permite obter rapidamente as respostas, permiti a visualização da simulação enquanto essa está
"rodando" e também fornece ferramentas para o tratamento estatístico dos dados. Para cada um
dos sistemas (o número total de casos é multiplicado por três, já que para cada sistema
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consideramos três tipos de alocação diferente) duzentas replicações foram feitas e essas serviram
para definir um intervalo mínimo de 95% de confiança. A partir desse intervalo, extraiu-se a
média dos tempos médios de espera na fila, ou seja, um Wq simulado foi obtido para cada tipo de
alocação de cada sistema.
Para classificar os sistemas empregou-se o índice de Gini. Esse índice varia entre 0 e 1,
onde zero é o caso homogêneo e 1 é o caso mais heterogêneos. Neste trabalho o Gini serviu para
medir a diferença entre as capacidades de processamento que existiam entre os servidores de um
determinado sistema. Com esse foi possível classificar e comparar os sistemas em questão.
Com tudo isso descrito acima, pretendia-se: avaliar a influência da heterogeneidade dos
servidores na formulação proposta, determinar como o sistema se comportava quando era variado
o número de servidores e definir o erro resultante que ocorria na formulação proposta quando era
mudado as políticas de alocação de servidores.
Na figura 4 está mostrado o erro existente entre os valores obtidos através da
aproximação criada e através da MMc em relação aos valores simulados para cada uma das
alocações. Esse erro foi plotado em função do Índice de Gini para que se pudesse observar como
esse se comporta quando se varia a heterogeneidade dos sistemas. Para se calcular o erro fez-se o
seguinte:
(10)
A equação de erro acima, nada mais é do que a normalização do erro em relação aos
valores simulados. Essa normalização é necessária para que se possa comparar o erro para os
diferentes sistemas e para os casos em que as taxas de chegadas eram diferentes.
Pelas figuras 4 e 6, nota-se que o erro em geral aumenta quando é aumentado o número
de servidores. Considerando, por exemplo, a tabela 1 de erro máximo vê-se que esse aumento no
erro ocorre de forma generalizada. Isso se deve ao fato de que, com o aumento do número de
servidores, é aumentado também o número de possibilidades possíveis na qual o cliente em
serviço poderá se encontrar. Como se pode observar, a heterogeneidade dos servidores influencia
no erro resultante. Nessas figuras estão plotados os erros obtidos em cada sistema versus o índice
de Gini. Com o aumento do número de servidores o erro obtido com a formulação criada passa a
ser menor que o erro obtido com a M/M/c. Logo, pode-se dizer que quanto maior o número de
servidores, melhor a formulação criada fica em relação a M/M/c.
Figura. 3. Tempo médio de espera na fila Wq versus
índice de Gini. Os pontos foram obtidos através dos
calculados com MMc, com aproximação criada e através
de simulações para as políticas de alocação rápida,
aleatória e demorada para sistemas com 3 servidores e
para ρ=0.9.
Figura. 4. Erro obtido com a aproximação criada e com a
M/M/c em relação às simulações. Sistemas com 3
servidores e para ρ=0.9.
Na tabela 1 estão os erros máximos obtidos para cada modelo. Através dela pode-se ver,
entre outras coisas, a influência que o coeficiente de utilização ρ tem sobre os sistemas. Com ela
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nota-se que para os casos em que se usa a formulação criada os erros maiores ocorrem quando é
considerada a alocação rápida, enquanto que, nos casos em que se usa a M/M/c o erro é maior
para a alocação demorada. Um resultado importante obtido aqui foi que para todos os casos o
erro máximo encontrado para a formulação criada foi menor que os erros máximos encontrados
com a formulação da M/M/c. Isso é um resultado importante, pois, ao escolher usar a formulação
criada para aproximar algum sistema de servidores heterogêneos, diminui-se a intensidade do
erro máximo ao qual tal aproximação pode acarretar.
A tabela 2 mostra a soma dos erros obtidos para cada um dos sistemas, dividida pelo
número de amostras (sistemas) feitas dentro de cada modelo, ou seja, a média dos erros. Através
dessa espera-se avaliar e comparar, para os vários casos, o erro médio obtido entre as curvas
conseguidas com a fórmula para a M/M/c, com as curvas conseguidas com a fórmula criada. Nela
também pode ser observada a influência das alocações nos resultados. Para a formulação
desenvolvida aqui, o erro médio é menor do que o achado com a formulação da M/M/c quando as
políticas de alocação eram ou a aleatória ou a demorada. Já para o caso da alocação rápida, entre
as duas formulações, a que apresenta o menor erro depende do ρ utilizado e do número c de
servidores empregados. Ainda nessa tabela é possível observar o efeito que o aumento do número
de servidores no sistema tem sobre o tempo médio Wq de espera em fila. Quando se aumenta o
número de servidores, Wq diminui. Isso acontece porque a probabilidade de fila diminui, ou seja,
menos clientes encontram fila ao chegar ao sistema, portanto, menos pessoas esperam, fazendo
com que o número médio desses na fila diminua e consequentemente fazendo com que o tempo
médio de espera diminua também. Entretanto, para servidores heterogêneos, um outro fenômeno
acontece. Dependendo do valor do índice de Gini do sistema, o Wq real se comporta como se o
sistema tivesse menos servidores, ou mais, dependendo também da alocação escolhida. Para um
índice de Gini próximo da unidade o modelo com doze servidores, figura 5, se comportou mais
como um sistema de um servidor. Isso enfatiza o fato de que a formulação criada neste trabalho
se torna cada vez melhor, quando é aumentado o número c.
Figura. 5. Tempo médio de espera na fila Wq versus
índice de Gini. Os pontos foram obtidos através dos
calculados com MMc e com aproximação criada e através
de simulações para as políticas de alocação rápida,
aleatória e demorada para sistemas com 12 servidores e
para ρ=0.9.
Figura. 6. Erro obtido com a aproximação criada e com a
M/M/c em relação às simulações. Sistemas com 12
servidores e para ρ=0.9.
Observa-se também com as tabelas 1 e 2 que para um ρ maior, menor é a influência das
alocações. Isso já tinha sido constatado em Grassmann and Zhao (2004). Com ρ=0.6 a distância
entre a curva feita com a aproximação criada em relação à curva simulada com alocação rápida é
muito grande. Contudo, essa diminui consideravelmente quando aumentamos o ρ do sistema.
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Tabela 1. Erro máximo encontrado nos resultados. Essa Tabela 2. Erro Médio encontrado nos resultados para cada
tabela compara os erros de maior intensidade gerados pela modelo. Essa tabela mostra a soma dos erros ocorridos dividido
pelo número de amostras feitas com a M/M/c e com a
M/M/c com os gerados pela Aproximação criada.
Aproximação criada.
5. Capacidades e Limitações
A formulação desenvolvida neste trabalho fornece um limite superior para as medidas de
desempenho tempo médio de espera na fila e número médio de pessoas na fila. Esse limite serve
para estimar o valor máximo para essas medidas, e pode ser utilizado como ferramenta para um
melhor gerenciamento de vários sistemas de filas que dependam de servidores heterogêneos.
Uma vantagem para o uso das fórmulas desenvolvidas aqui é que estas incorrem em um
erro máximo menor do que o obtido pelas formulações que consideram os servidores
homogêneos. Outra vantagem é que essas são mais simples de serem usadas e podem ser
incorporadas facilmente em vários modelos já existentes na literatura.
A formulação se torna mais interessante ainda, quando aumentamos o número de
servidores heterogêneos, pois o erro gerado com esse aumento não cresce muito para ela. Isso é
uma grande vantagem já que as outras aproximações existentes sofrem ou com um aumento
excessivo do erro ou com o aumento da complexidade quando se eleva o número desses
servidores.
A limitação mais evidente para essa formulação é a de não conseguir captar muito bem o
comportamento ótimo dos modelos de servidores heterogêneos nos quais usam a política de
alocação que ocupa primeiro os servidores livres que trabalham com taxas de processamento
maiores. Ao alocarmos os servidores mais rápidos, como pode ser visto pelos resultados obtidos
com a simulação, figura 3, há uma região de heterogeneidade ótima para a qual as medidas de
performance para esses sistemas são melhores do que para os casos em que todos os servidores
são iguais. Entretanto, a formulação aqui desenvolvida, por considerar só os casos mais
prováveis, não consegue acompanhar essa região.
Outro ponto fraco das fórmulas criadas, que é conseqüência das simplificações feitas para
que ela fosse mais fácil de ser aplicada, é simplesmente o fato de ela ser uma aproximação. A
formulação gera um erro já que não fornece os resultados exatos, e esse é resultante do fato de
que ela superestimar os sistemas.
6. Possíveis Aplicações em Logística
É impossível pensar e, ainda mais, identificar todos os casos dentro do campo da
logística em que seja possível aplicar o modelo de fila proposto neste trabalho. Pode-se dizer que
a logística trata do planejamento, organização, controle e realização de tarefas associadas à
armazenagem, transporte e distribuição de bens e serviços. Os modelos de filas são muito ricos
quando usados para representar sistemas que se enquadram nessa área, pois esses, muitas vezes,
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representam bem toda a natureza existente. A seguir, estão alguns exemplos muito simples de
aplicações criados somente para efeito de ilustração da utilização do modelo de filas proposto
aqui:
Armazenagem – Uma empresa petroquímica brasileira produz resinas termoplásticas,
como o polietileno, o polipropileno e o PVC. A nafta é um derivado do petróleo e é a principal
matéria-prima da cadeia produtiva dessa empresa. Em 2006, o preço do barril do petróleo chegou
a quase 80 dólares, mas em janeiro de 2007 o preço caiu para 50 dólares o barril. De uma forma
simplificada é possível considerar que: a empresa passou a comprar a nafta com maior
freqüência. As compras ocorriam dependendo da flutuação do preço do barril de petróleo e
representam as chegadas no sistema. Considerando-se que a empresa consiga trabalhar toda a
matéria-prima rapidamente, os servidores podem ser os clientes dessa empresa. Como esses
fazem pedidos que variam em quantidade e em tipo de produto, pode-se dizer que esses são
heterogêneos. Consequentemente, a fila será o estoque e essa não poderá passar os limites
permitidos de armazenagem.
Transporte - Frutas e alimentos são transportados de áreas rurais para áreas urbanas. É
possível modelar esse sistema da seguinte forma: para uma mesma fazenda, há pedidos feitos por
comerciantes localizados em diferentes cidades. Neste exemplo, as chegadas são representadas
pelos pedidos. Os servidores são os caminhões, cuja taxa de serviço de cada um varia de
caminhão para caminhão e de estrada para estrada.
Distribuição de bens e serviços – i) Um supermercado pode ser um exemplo para a
distribuição de serviços, cujos caixas são os servidores, podendo haver uma fila única ou filas
paralelas. Esse tipo de sistema pode ser comparado com os caixas em agências bancárias; ii)
Outro exemplo de distribuição de bens e de serviços seria uma drogaria de Belo Horizonte. A
empresa espalhou por toda a cidade pontos de venda, porém mantém uma central onde é feita a
estocagem de produtos que saem para delivery. Os pedidos feitos pelos clientes foram
considerados como sendo as chegadas e as formas de transporte para a entrega, os servidores.
Com o modelo pode-se prever qual a diferença no tamanho da fila para o caso dos motoqueiros
saírem da central e para o caso deles saírem de pontos distribuídos pela cidade.
Gerenciamento de pessoas - Em um salão de corte de cabelo, os barbeiros são servidores
heterogêneos. A taxa de cliente que chega é tal que sempre há fila no salão. Vale ou não a pena o
dono do salão contratar mais um funcionário? Às vezes, ao contratar outro funcionário, o salão
passará a ter funcionários ociosos, fazendo com que, talvez, a margem de lucro diminua. Uma
solução é usar o modelo para prever o tamanho médio da fila e a probabilidade de ócio no
sistema para os casos i) com o funcionário extra e ii) sem o funcionário extra.
É importante deixar claro, que em todos os exemplos dados acima, é necessário que
modificações sejam feitas no modelo e, também, suposições para que esse se adapte melhor à
prática.
Há mais exemplos a serem dados, mas o interessante é ilustrar que com o modelo de filas
desenvolvido é possível aproximar de forma mais eficaz alguns sistemas com servidores
heterogêneos e obter as medidas de desempenho desses; para que, então, seja possível tomar
decisões, gerenciar e otimizá-los.
7. Conclusões
Em diferentes campos do conhecimento, a teoria de filas vem sendo aplicada. A criação
de modelos analíticos mais realistas é uma rica oportunidade para várias aplicações.
Particularmente, para a área de Pesquisa Operacional e, mais especificamente, no campo da
logística, existe uma vasta gama de casos em que esses modelos podem ser aplicados. A
possibilidade de modelar o comportamento de sistemas de filas por meio de modelos mais
complexos e que representam melhor a realidade de vários casos é muito relevante.
A formulação desenvolvida é uma generalização da formulação existente para M/M/c.
Tal formulação consiste, inicialmente, na expansão dos estados de probabilidade possíveis e,
finalmente, na redução desses estados, através de uma escolha: a de manter apenas os estados de
maior probabilidade. O resultado foi que um limite superior foi obtido para as medidas de
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desempenho dos sistemas em questão. Logo, é possível prever o pior caso no qual o desempenho
desses sistemas pode resultar.
Com o intuito de avaliar a aplicabilidade da fórmula, ela foi comparada com o caso já
desenvolvido na Teoria de Filas que não considera a heterogeneidade dos servidores. Devido à
dificuldade encontrada para que se pudesse fazer a comparação direta entre o desenvolvido no
presente artigo e o já existente na literatura, simulações foram realizadas com o intuito de
calcular a distância entre essas e os casos a serem comparados para que, então, fosse possível
compará-los. Chegou-se a conclusão de que a utilização da formulação criada neste trabalho é
uma alternativa muito útil à tradicional M/M/c, pois, além de ser capaz de captar o
comportamento desses sistemas mais efetivamente, a primeira se reduz à segunda quando os
servidores são homogêneos e quando o coeficiente de utilização do sistema é tão grande (perto da
unidade) que os efeitos das políticas de alocação se tornam desprezíveis. Portanto, o modelo
desenvolvido é um avanço em direção ao entendimento do comportamento dos sistemas de filas.
Espera-se que vários sistemas, que antes eram avaliados através de formulações que
consideravam os servidores iguais e que, consequentemente, subestimavam suas medidas de
performance, possam ser recalculados e revistos com a nova formulação. Espera-se, também, que
haja, a partir dessa, uma abertura para a continuação de vários trabalhos existentes na literatura,
visto que esses consideram os servidores como sendo homogêneos. Entretanto, a falta de modelos
exatos e que sejam aplicáveis na realidade, continua sendo o maior obstáculo para aqueles que
procuram modelar os sistemas de servidores heterogêneos através de teoria de filas.
Referências
Boxma, O. J., Deng, Q., e Zwart, A. P. Waiting-time asymptotics for the M/G/2 queue
with heterogeneous servers. Queueing Systems, 40, Feb 2002.
Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications., volume I. Wiley,
New York., (3rd),1968 edition, 1957.
Gall, Pierre Le. The stationary g/g/s queue. Journal of Applied Mathematics and Stochastic
Analysis, 11:1:59–71, 1998a.
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