Lista 12 - Moodle PROFMAT

MA13 – Exercícios das Unidades 19 e 20
2014
Lista 12
Geometria, Coleção Profmat, SBM.
Problemas selecionados das seções 8.1 (pág. 344) e 8.2 (pág. 353).
1) Seja ABCD um tetraedro regular.
a) Prove que as arestas AB e CD são ortogonais.
b) Dentre todas as seções paralelas às arestas AB e CD encontre a de maior área.
2) Sejam ABCD um tetraedro qualquer e M, N, P e Q os baricentros das faces BCD,
ACD, ABD e ABC, respectivamente. Prove que:
a) os segmentos AM, BN, CP e DQ se intersectam em um único ponto (baricentro do
tetraedro).
AG BG CG DG
=
=
=
=3
GM GN GP GQ
b)
3) Em uma pirâmide quadrangular regular a altura mede h e a aresta da base mede a. Se
α
é o plano que passa por dois vértices adjacentes da base e pelo ponto médio da altura
α
calcule, em função de a e h, a área da seção que
determina na pirâmide.
4a
a2 + h2
9
Resp:
4) Considere um cubo de bases ABCD e EFGH e arestas laterais AE, BF, CG e DH.
Tome sobre a face ABCD um ponto X tal que
AXE.
∠AXF = ∠AXH = 90 o
. Calcule o ângulo
5) Considere um cubo de aresta a e bases ABCD e
A′B ′C ′D ′
nomeadas da maneira
A′D ′
usual. Se X, Y e Z denotam, respectivamente os pontos médios das arestas
, AB e
CC ′
, faça o que se pede:
a) Mostre que o plano (XYZ) passa pelo centro do cubo.
b) Calcule, em função de a, a área da seção do cubo pelo plano (XYZ).
Problemas suplementares
6) Em um tetraedro, mostre que os segmentos que unem os pontos médios das arestas
opostas cortam-se em um único ponto.
7) ABCDEFGH é um paralelepípedo. Estude as possíveis seções produzidas no
paralelepípedo por um plano que contém os vértices A e C.
8) Em um tetraedro regular de aresta a calcule:
a) a distância entre duas arestas opostas.
b) o cosseno do ângulo entre duas faces.
9) As moléculas de metano (CH4) tem o formato de um tetraedro regular, com um átomo
de hidrogênio em cada vértice, cada um deles ligado ao átomo de carbono no centro do
tetraedro. Calcule o ângulo formado por duas dessas ligações.
10) Em uma pirâmide quadrangular regular a altura mede h e a aresta da base mede a.
Calcule, em função de a e h, os raios das esferas inscrita e circunscrita.