Geometria Analítica - Curso de Graduação em Matemática
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Geometria
Analítica
Licio Hernanes Bezerra
Ivan Pontual Costa e Silva
2ª Edição
Florianópolis, 2010
Governo Federal
Presidência da República
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Curso de Licenciatura em Matemática na
Modalidade à Distância
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Acadêmica do Curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade à Distância.
Ficha Catalográfica
B574g Bezerra, Licio Hernanes
Geometria analítica / Licio Hernanes Bezerra, Ivan Pontual Costa
e Silva. – 2. ed. – Florianópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, 2010.
170p.
ISBN 978-85-99379-87-5
1. Geometria analítica. I. Silva, Ivan Pontual Costa e. II. Título.
CDU 514.2
Elaborada pela Bibliotecária Eleonora M. F. Vieira – CRB – 14/786
Sumário
Apresentação.............................................................................. 7
1. Plano Cartesiano................................................................... 9
1.1 Introdução.................................................................................... 11
1.2 Distância entre dois pontos....................................................... 13
1.3 Circunferência............................................................................. 15
Resumo............................................................................................... 18
Bibliografia comentada..................................................................... 18
2. Retas no Plano..................................................................... 19
2.1 Equações de Retas....................................................................... 21
2.2 Ângulo entre duas retas............................................................. 25
2.3 Distância de ponto a reta........................................................... 28
Resumo............................................................................................... 34
Bibliografia comentada..................................................................... 35
3. Cônicas.................................................................................. 37
3.1 Introdução.................................................................................... 39
3.2 Parábola........................................................................................ 42
3.3 Elipse............................................................................................. 49
3.4 Hipérbole...................................................................................... 52
3.5 Rotação de eixos.......................................................................... 57
3.6 Observações finais...................................................................... 63
Resumo............................................................................................... 66
Bibliografia comentada..................................................................... 66
4. Vetores................................................................................... 67
4.1 Espaço cartesiano........................................................................ 69
4.2 Vetores na geometria analítica.................................................. 72
4.2.1 Vetores e a Física................................................................. 72
4.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana.....................................74
4.2.3 Operações com vetores...................................................... 78
4.2.4 Norma de um vetor............................................................ 82
4.2.5 Produto interno................................................................... 83
4.2.6 Dependência linear ........................................................... 84
4.2.7 Base ortonormal.................................................................. 86
4.2.8 Orientação do espaço......................................................... 87
4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas no espaço................ 87
4.2.10 O produto vetorial............................................................. 88
4.2.11 Produto misto.................................................................... 94
Bibliografia comentada..................................................................... 98
5. Retas e Planos no espaço.................................................... 99
5.1 Equação cartesiana do plano....................................................101
5.2 Equações paramétricas do plano............................................ 105
5.3 Equação da reta......................................................................... 108
5.4 Posições relativas de planos......................................................112
5.5 Posições relativas de reta e plano.............................................115
5.6 Posições relativas de duas retas...............................................117
5.7 Distâncias no espaço................................................................. 125
5.7.1 Distância de ponto a plano............................................... 125
5.7.2 Distância de ponto a reta.................................................. 128
5.7.3 Distância entre planos e de reta a plano........................ 133
5.7.4 Distância de reta a reta..................................................... 135
Bibliografia Comentada.................................................................. 138
6. Superfícies Quádricas...................................................... 139
6.1 Revisão de matrizes...................................................................141
6.2 Determinantes e sistemas lineares......................................... 150
6.3 Quádricas....................................................................................157
6.3.1 Quádricas centrais............................................................ 159
6.3.2 Quádricas não–centrais....................................................166
Bibliografia . .....................................................................................169
Referência............................................................................... 170
Apresentação
Quando formulamos o curso de Licenciatura em Matemática, a
disciplina de Geometria Analítica foi pensada de tal modo que
contemplasse duas abordagens: a clássica, que se refere apenas a
conceitos de Geometria Euclidiana; a vetorial, que utiliza o conceito de vetor, definido a partir da teoria moderna de conjuntos.
Essas duas abordagens são necessárias à formação do professor
de ensino médio e fundamental, que deve compreender tanto
a construção concreta dos conceitos em Matemática (Geometria Analítica clássica) como a formulação totalmente abstrata
de conceitos, usual em Matemática avançada. Assim, dividimos
a disciplina em duas partes: Geometria Analítica Plana, que é
abordada, classicamente, nos capítulos 1-3; a Geometria Analítica
Espacial, na qual usamos vetores para interpretar os conceitos
básicos da Geometria Euclidiana Espacial, que é apresentada nos
capítulos 4-6.
Esperamos que o leitor faça todos os exercícios da primeira parte
e que adquira, ao final, um condicionamento físico e mental, pois
os exercícios são braçais e exigem muita atenção: um leve erro de
cálculo e todo o trabalho é perdido. Gostaríamos, também, que o
leitor, ao final do livro, compreenda a economia de trabalho que o
conceito de vetor oferece no estudo de Geometria Analítica.
Existe uma lacuna, propositalmente deixada para o leitor preencher: como fazer Geometria Analítica Plana usando as técnicas
vetoriais estudadas na Geometria Analítica Espacial? Uma dica
é a seguinte: pense que toda Geometria Analítica Plana pode ser
feita a partir da Espacial no plano z = 0 .
Finalmente, introduzimos matrizes e determinantes no capítulo
6, para a formulação das equações quadráticas em três variáveis.
O conceito de matriz é definido a partir do conceito de função uma forma diferente de se apresentar uma matriz. Na verdade,
o conjunto das matrizes reais, de ordem m × n , que comumente
é introduzido como m×n em Álgebra Linear, é visto aqui como
o conjunto das funções de {1,..., m}× {1,..., n} em . Parece uma
complicação desnecessária, mas essa é uma forma de se introdu-
zir produtos cartesianos de um conjunto. Por exemplo, 3 pode
ser visto como o conjunto das funções de {1, 2,3} em . Ou seja,
é mais um pretexto para se trabalhar conceitos da teoria de conjuntos.
Licio Hernanes Bezerra
Ivan Pontual Costa e Silva
Capítulo 1
Plano Cartesiano
Capítulo 1
Plano Cartesiano
Este capítulo é introdutório, uma vez que é uma preparação e um prenúncio do que virá em seguida. De forma sistemática, entretanto, vamos listar alguns dos objetivos almejados pelos autores: apresentar o plano cartesiano - uma
representação gráfica do produto cartesiano 2 = × ;
introduzir a métrica usual, isto é, como usualmente medimos a distância entre dois pontos no plano cartesiano;
introduzir a noção de lugar geométrico - um conjunto de
pontos que satisfazem uma propriedade geométrica; utilizar a dedução da fórmula de equação de circunferência
como um modo de traduzir algebricamente uma propriedade geométrica, de tal modo que o lugar geométrico definido pela propriedade seja identificado com essa tradução
algébrica. Esperamos que os leitores reflitam, ao final do
capítulo, sobre o seu conteúdo e comparem-no com os objetivos listados.
1.1 Introdução
O plano cartesiano é um conceito introduzido no século XVII, independentemente, pelos matemáticos franceses René Descartes e Pierre de Fermat para representar graficamente pares ordenados ( x, y )
de números reais.
René Descartes (1596-1650).
Também conhecido como
Cartesius, Descartes foi
filósofo, físico e matemático
francês. Notabilizou-se
sobretudo pelo seu trabalho
revolucionário na Filosofia,
mas também foi famoso
por inventar o sistema
cartesiano de coordenadas,
que influenciou o
desenvolvimento do
cálculo moderno.
Basicamente, identifica-se cada ponto de um plano com suas coordenadas em relação a um sistema que consiste de duas retas orientadas
– uma horizontal, outra vertical. O ponto de interseção (em ângulo
reto) desses dois eixos é dito a origem do sistema. O eixo horizontal
é denominado eixo das abcissas e o eixo vertical, eixo das ordenadas. O plano cartesiano fica, assim, dividido em quatro regiões, que
são denominadas quadrantes: o primeiro fica acima do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas; o segundo, acima do eixo
das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; o terceiro, abaixo
12
do eixo das abcissas e à esquerda do eixo das ordenadas; e, o quarto,
abaixo do eixo das abcissas e à direita do eixo das ordenadas. A cada
ponto do plano corresponde, então, um par de coordenadas ( x, y ),
em que | x | é a distância do ponto ao eixo das ordenadas e | y |,
a distância do ponto ao eixo das abcissas. O sinal de x e o sinal de
y dependem do quadrante em que o ponto está situado. A origem
do plano cartesiano, denotada por O, tem, assim, ambas as coordenadas nulas.
y
2º quadrante
1º quadrante
(−,+)
(+,+)
x
0
3º quadrante
4º quadrante
(−,−)
(+,−)
Figura 1.1
Quadrante
Abcissa
Ordenada
1º quadrante
+
+
2º quadrante
—
+
3º quadrante
—
—
4º quadrante
+
—
Tabela 1.1
O plano cartesiano é um modelo da geometria euclidiana plana. Ou
seja, uma vez definidos um sistema de eixos cartesianos (perpendiculares entre si e com uma unidade de medida comum a ambos os
eixos) e interpretados os conceitos primitivos da geometria euclidiana nesse sistema, verifica-se que nele os axiomas da geometria são
válidos e, por conseguinte, os teoremas também o serão.
A geometria euclidiana interpretada no plano cartesiano é dita geometria analítica plana. Chamamos também o plano cartesiano de plano
numérico, pois associamos cada ponto do plano a um par ordenado
de números reais ( x, y ): x, a abscissa e y, a ordenada do ponto, ditas
coordenadas cartesianas do ponto. De agora em diante, escreveremos
P = ( x, y ) para denotar que ( x, y ) é o par associado ao ponto P.
13
Exercício
1) Represente em um plano cartesiano os seguintes conjuntos de
pontos:
a) {(0, −1), (0,3), (−2, 0), (1, 0), (3, 0)} ;
b) {(1,2), (2,3), (3,4)};
c) {( x, x 2 ) / x ∈ , −2 ≤ x ≤ 3} ;
d) {( x, y ) / x ∈ , y ∈ e x = y } ;
e) {( x, y ) / x = y };
f) {( x, y ) / x > y };
g) {( x, y ) / x > 1 e y < 2} ;
h) {( x, y ) / x > 1 ou y < 2} ;
i) {( x, y ) / x > 1 ⇒ y < 2};
j) {( x, y ) / x > 1 ⇔ y < 2}.
1.2 Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ), a distância entre eles é
dada por
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2
d ( A, B) =
que é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo com catetos de comprimentos iguais a | x2 − x1 | e | y2 − y1 |, respectivamente.
y2
y1
B
C
A
x2
x1
Figura 1.2
14
Ponto médio de um segmento
Considere a figura abaixo, na qual M é o ponto médio do segmento
AB. Observe que, por semelhança de triângulos, as coordenadas
x + x y + y2
de M são 1 2 , 1
.
2
2
y
B
y2
y1
M
A
x1
C
x2
x
Figura 1.3
Exercícios
2) Ache o comprimento e o ponto médio dos segmentos, cujos
extremos são dados pelos pontos abaixo:
a) (1, 2) e (2,4);
b) (1, 0) e (0,1);
c) (1,1) e (3,1);
d) (−1, 0) e (−2,3);
e) (−1, −1) e (−2, −4).
3) Divida os segmentos AB abaixo, em n (indicado em cada item)
partes iguais e calcule as coordenadas dos pontos resultantes.
a) A = (1, 0), B = (5, 0), n = 4;
b) A = (0, 0), B = (10,10), n = 8;
c) A = (0, 0), B = (2,3), n = 3;
d) A = (1,1), B = (3, 4), n = 3;
e) A = (1,1), B = (3, 4), n = 4;
f) A = (1,1), B = (5,9), n = 8;
Deduza esse resultado.
15
g) A = (−5, −6), B = (−1, 2), n = 8 ;
h) A = (2, 4), B = (6,12), n = 8;
i) A = (1, 2), B = (2,1), n = 4;
j) A = (3,5), B = (4, 4), n = 4.
4) Sejam A = ( x1 , y1 ) e B = ( x2 , y2 ). Mostre que um ponto P = ( x, y )
pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0,1] tal
que
x = (1 − t ) x1 + t x2
.
y = (1 − t ) y1 + t y2
1.3 Circunferência
Podemos definir uma circunferência, de raio r e centro em C , como
sendo o lugar geométrico dos pontos P tais que d ( P, C ) = r .
Se C = ( x0 , y0 ), então essa circunferência é o conjunto dos pontos
P = ( x, y ) tais que ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r , ou seja,
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 = r 2.
Essa equação é chamada de equação da circunferência de raio r
e centro em ( x0 , y0 ). Por exemplo, a equação ( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 36
é uma equação da circunferência de raio 6 e centro em (3, − 4) . Eu
disse uma equação e não a equação porque, depois de alguns cálculos, a equação acima se torna x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 11 = 0, e esta é outra
equação que descreve a mesma circunferência.
Você saberia escrever qual é
essa recíproca? Escreva-a!
A palavra equação quer dizer igualdade. As igualdades,
( x − 3) 2 + ( y + 4) 2 = 36 e x 2 + y 2 − 6 x + 8 y − 11 = 0 são obviamente diferentes, mas elas são equivalentes, no sentido que os pares de números, x e y, que tornam a primeira equação verdadeira fazem com
que a segunda equação também seja verdadeira, e reciprocamente.
Por exemplo, (3 − 3) 2 + (2 + 4) 2 = 36, ou seja, a primeira equação é
verdadeira quando x = 3 e y = 2; substituindo-se esses valores na
segunda equação, ela fica 32 + 22 − 18 + 16 − 11 = 0, que também, é
verdadeira. Agora, se eu tomar algum outro valor para x e algum
16
outro valor para y que tornem a segunda equação verdadeira, esses
valores também, tornarão a primeira equação verdadeira (experimente fazer isso com alguns pares de números !).
Assim, tanto uma como a outra são equações da mesma circunferência. Vamos ver se você sabe passar de uma para outra.
Exercícios
5) Escreva as equações abaixo na forma ( x − a ) 2 + ( y − b) 2 = r 2.
a) x 2 + y 2 − 2 x + 6 y = 15;
b) x 2 + y 2 − 4 x − 6 y = 23;
c) x 2 + y 2 + 6 y = 0;
d) x 2 + y 2 − x + y − 15,5 = 0;
e) x 2 + y 2 − x − y − 8,5 = 0;
f) 2 x 2 + 2 y 2 − 4 x + 6 y = 12.
6) Esboce no plano cartesiano as circunferências do exercício
anterior.
7) Calcule a distância entre os dois pontos dados em cada item
abaixo.
a) P = (3, 0), Q = (−2, 0) ;
b) P = (0, 10), Q = (0, −2) ;
c) P = (3, 0), Q = (0, 4);
d) P = (1,1), Q = (−1, −1) ;
e) P = (0, 0), Q = (5, 12);
f) P = (1, 1), Q = (9, 16);
g) P = (−1, −1), Q = (23, 6) ;
h) P = (0,1), Q = (40,10);
i) P = (1, −2), Q = (13,33) ;
j) P = (10,11), Q = (150, − 40) .
17
8) Ache uma equação da circunferência em cada item abaixo.
raio = 3;
a) com centro em (1, − 2) e raio
b) com centro em (0, 2) e que passa por (−1,1) ;
c) tal que (1, −2) e (3, 4) sejam diametralmente opostos;
d) que passa por (0, 0), (2, 2) e (−1, −3) ;
e) situada no primeiro quadrante, tangente aos eixos coorderaio = 2;
nados e de raio
f) tangente às retas x = −1 e x = 1, e que passa por (0, 0);
g) situada no 1º quadrante, tangente às retas y = 3 e y = 0, e
que passa por (−1, 2) ;
h) inscrita no triângulo ABC , em que A = (0, 0), B = (4, 0) e
C = (2 3, 2);
i) circunscrita ao triângulo ABC , em que A = (0, 0), B = (4, 0)
e C = (2 3, 2).
9) Ache o centro e o comprimento do raio das seguintes circunferências.
a) x 2 + y 2 = x + 2;
b) x 2 + y 2 = 2 x − 1;
c) x 2 + ( y − 2) 2 = 2 x ;
d) x 2 + y 2 = x + y + 4;
e) x 2 + y 2 = 2 x + 2 y ;
f) 2 x 2 + 2 y 2 = 2 x + 2 y .
10) Ache a interseção das circunferências abaixo (ou seja, encontre o conjunto de pontos correspondentes à interseção das
figuras).
a) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + ( y − 1) 2 = 1;
b) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = x + 2 ;
2
2
2
2
c) x + y = 1 e x + y = x + y ;
d) x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = x + y + 4.
18
11)Sejam A = (1,1) , B = (−1, −1) . Em cada item abaixo, ache as coordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s)
ABC satisfaça(m) as condições dadas.
a) ABC é eqüilátero.
b) AB é a hipotenusa e AC é um cateto de comprimento 2.
c) ABC é isósceles e a altura em relação à base AB é 2.
Resumo
• coordenadas de um ponto;
• distância entre dois pontos;
• ponto médio de um segmento;
• equação da circunferência;
• interseção de circunferências.
Bibliografia comentada
IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São Paulo:
Atual, 1993. v. 7.
A coleção do Iezzi é muito bem organizada, mas o seu conteúdo é dirigido
para os alunos do Ensino Fundamental e Médio, e não especificamente
para o aluno de licenciatura. É um livro que funciona bem, por exemplo,
como um dicionário para um professor de Ensino Médio. Nele se acham
informações claras sobre grande parte da geometria analítica.
Capítulo 2
Retas no Plano
Capítulo 2
Retas no Plano
A intenção deste capítulo é aprofundar os objetivos listados no capítulo anterior. Gostaríamos que os leitores se familiarizassem com o plano cartesiano e compreendessem
ainda mais o que é um lugar geométrico. Neste capítulo,
apresentamos uma forma bem costumeira de como a Matemática é construída: a classificação. As retas compreendem uma classe de lugares geométricos - aqueles que são
traduzidos por uma equação (igualdade) de primeiro grau,
envolvendo as coordenadas de seus pontos.
2.1 Equações de Retas
Vimos, anteriormente, que um ponto é interpretado no plano cartesiano como sendo um par ordenado de números. Vamos ver, agora,
que a reta vai ser interpretada como um conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação linear do tipo ax + by = c, com
a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observemos que o conjunto dos pares ( x, y ) que satisfazem ax + by = c é igual ao conjunto dos pares que satisfazem
kax + kby = kc, k ≠ 0, pois essas equações são equivalentes entre si.
Uma vez interpretada a reta como um conjunto de pontos que
satisfazem ax + by = c, em que a, b, c são números reais fixos e
a 2 + b 2 ≠ 0 (o que é equivalente a a ≠ 0 ou b ≠ 0 ), será que o axioma de geometria euclidiana “por dois pontos distintos passa uma
única reta” é válido? No caso, deve-se verificar se a proposição
“dados dois pares ordenados distintos, existe um único conjunto de pares ordenados que satisfazem uma equação ax + by = c,
a 2 + b 2 ≠ 0, que contém os dois pares” é verdadeira no plano cartesiano, que é o que faremos a seguir.
Proposição 2.1. Se P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ) são distintos então existem a, b e c, com a 2 + b 2 ≠ 0, tais que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c.
22
Além disso, se existem outros a ′, b ′, c ′, com (a ') 2 + (b ') 2 ≠ 0, tais que
a ′x1 + b ′y1 = c ′ e a ′x 2 + b ′y 2 = c ′, então existe um número k tal que
a ' = k .a, b ' = k .b, c′ = k .c.
Demonstração:
Observe que ( y2 − y1 ) x − ( x2 − x1 ) y = ( y2 − y1 ) x1 − ( x2 − x1 ) y1 é uma
equação do tipo procurado, pois é da forma ax + by = c e a equação
é satisfeita pelos pontos P e Q .
Mais adiante, veremos que
essa equação não foi tirada
da cartola.
Vamos mostrar, agora, a segunda parte da proposição.
Vamos supor, então, que ax1 + by1 = c e ax2 + by2 = c, e que
a ′x1 + b ′y1 = c ′ e a ′x 2 + b ′y 2 = c ′.
Temos, então, que a ( x2 − x1 ) + b( y2 − y1 ) = 0 e
a′( x2 − x1 ) + b′( y2 − y1 ) = 0 . (*)
Se x1 = x 2 , então, y1 ≠ y 2 , pois P e Q são distintos. Obtemos, nesse
caso, que b = b ′ = 0. Logo, tanto a como a ′ são não nulos. Assim,
c c′
.
x1 = x 2 = =
a a′
a′ c′
= = k . E, como b = b ′ = 0 , b ' = k ⋅ b .
a c
Se y1 = y 2 , por raciocínio análogo, chegamos ao mesmo resultado.
Logo,
Vamos supor, agora, que x1 ≠ x 2 e y1 ≠ y 2 . Por (*), temos que
y 2 − y1
a′
a
=− =− .
x 2 − x1
b′
a
Logo,
a ′ b′
= = k . Por conseguinte,
a b
k ⋅ c = k ⋅ (ax1 + by1 ) = (k ⋅ a ) x1 + (k ⋅ b) y1 = a ' x1 + b ' y1 = c '.
■
Definição 2.1. (Coeficiente angular de uma reta não vertical): o
coeficiente angular m (ou a inclinação, ou a declividade) da reta que
passa por dois pontos P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ) , tais que x1 ≠ x 2 , é
m=
y2 − y1 .
x2 − x1
Com base no que foi
desenvolvido no caso
anterior, tente verificar este
resultado!
23
y
B
y2
y1
y2 − y1
A
x2 − x1
x1
x2
x
Figura 2.1
Observe que esse número é a razão entre a variação de ordenadas e
a variação de abcissas dos dois pontos. Ele corresponde à tangente
do ângulo que a reta, determinada por esses dois pontos, faz com o
eixo horizontal.
No caso das retas verticais, cujos pontos têm uma mesma abcissa,
dizemos informalmente que elas têm declividade infinita. A equação delas tem a forma x = x 0 , em que x 0 é a abcissa comum a todos
os pontos da reta.
Agora, sejam dados dois pontos, P = ( x1 , y1 ) e Q = ( x2 , y2 ), em que
x1 ≠ x 2 . Seja r a reta que passa por eles. Observe que o que chamamos de reta é um conjunto de pontos que satisfaz uma equação linear em x e y, que é algo muito abstrato. Se esse conjunto realmente
representa uma reta como a que estamos acostumados em geometria euclidiana plana, um ponto ( x, y ), desse conjunto, ( x, y ) ≠ P, é
tal que a declividade da reta que passa por ( x, y ) e P é a mesma que
a da reta P e Q . Traduzindo para a linguagem matemática,
( x, y ) ∈ r , ( x, y ) ≠ P ⇔ y − y1 = y2 − y1 ,
x2 − x1
x − x1
ou seja,
y − y1 =
Esta equação é aquela que
apareceu na demonstração
da primeira proposição
deste capítulo, como
tirada da cartola. Você
lembra? Se não, retome a
discussão que realizamos no
início deste capítulo.
y2 − y1
( x − x1 ) .
x2 − x1
Essa equação é a que vamos chamar de equação reta-2 pontos, para
chamar a nossa atenção sobre o que utilizamos para determinar
uma equação de reta.
Observe que essa equação é da forma ax + by = c.
24
Exemplo: Achar uma equação da reta que passa por (2,1) e (0,3).
3 −1
Resolução: Usando a fórmula acima, temos que y − 1 =
( x − 2),
0−2
ou seja, y = − x + 3 .
y −y
Note que, se m = 2 1 , então a equação reta-2 pontos pode ser
x2 − x1
reescrita como y − y1 = m( x − x1 ) que vamos chamar de equação
reta-declividade mais um ponto.
Exemplo: Achar uma equação da reta que tem declividade 2 e passa por (2,3).
Resolução: Pela fórmula acima, então, temos que uma equação é
y − 3 = 2( x − 2), isto é, y = 2 x − 1.
Conclusão: se a, b e c ∈ , ax + by = c é equação de reta se e só
se a ≠ 0 ou b ≠ 0 . Ou seja, a única coisa que não pode ocorrer é
ambos os coeficientes a e b serem nulos, pois assim a equação se
torna 0 x + 0 y = c , que ou não tem solução ( c ≠ 0), ou todos os pares ordenados são soluções ( c = 0 ), ou seja, o conjunto-solução é o
plano todo.
Temos então um outro modo de achar equação de reta, dados dois
pontos: eu substituo as coordenadas de cada ponto na equação da
forma ax + by = c, obtendo assim um sistema de duas equações, cujas
incógnitas são a, b e c.
Exemplo: Achar equação da reta que passa por (0,1) e (2,3).
Resolução: Substituindo os dois pontos em ax + by = c, obtenho
a ⋅ 0 + b ⋅1 = c
a ⋅ 2 + b ⋅ 3 = c
b = c
b = c
que é equivalente ao sistema
, ou seja,
.
a = − c
2 ⋅ a + 3 ⋅ b = c
Atribuindo um valor qualquer a c, diferente de zero (pois a e b não
podem ser ambos nulos), obtemos a reta cuja equação é x − y = −1.
25
Exercício
1) Achar equação para a reta
a) que passa por (1, 2) e (2,1);
b) que passa por (1,1) e (2, 2);
c) que passa por (0,1) e (0,5);
d) que passa por (2, 0) e (0, 0);
e) que tem declividade (−2) e passa por (0, 0);
f) que tem declividade 3 e passa por (1,1).
2.2 Ângulo entre duas retas
Duas retas distintas no plano podem ser ou concorrentes ou paralelas. Retas paralelas são aquelas que têm mesma declividade. Por
exemplo, as retas r : x = 1 e s : x = −3 são paralelas; assim como as
retas q : y = 2 x + 1 e t : y = 2 x − 3. O caso de retas coincidentes é considerado em alguns livros como um caso particular de retas paralelas. Notemos que duas equações de reta representam a mesma
reta se e só se os coeficientes a, b e c de uma são múltiplos dos coeficientes respectivos da reta. Concluímos, então, que duas retas são
concorrentes se e somente se suas declividades são distintas uma
da outra.
Exercícios
2) Sejam ax + by = d e cx + dy = f , equações das retas r e s, respectivamente. Quais as condições que a, b, c, d devem satisfazer para que as retas sejam concorrentes?
3) Verifique se cada par de equações seguinte corresponde a um
par de retas paralelas ou de retas coincidentes ou de retas concorrentes. Nestes casos, ache o ponto de interseção.
2 x + 3 y = 1
a)
;
4 x + 6 y = 3
2 x + 3 y = 1
b)
;
6y = 3
26
2x + 3y = 1
c)
;
4 x + 2 y = 3
2 x = 1
d)
;
6 y = 3
2 x + 3 y = 1
e)
.
4 x + 6 y = 2
Um caso particular e interessante de retas concorrentes é quando
elas são perpendiculares entre si. Note que o problema se resume
às declividades das retas envolvidas. Excluindo o caso de pares de
retas em que uma é vertical e a outra é horizontal, pares de retas do
y = m1 x + b1
tipo
, com m1 ⋅ m2 ≠ 0 , são perpendiculares se os ângu y = m2 x + b2
los 1 1ee 2 (0 < 1 < 2 < 180 ) , que as retas fazem respectivamente
com o eixo horizontal, forem tais que 2 − 1 = 90.
Os coeficientes angulares (a terminologia que se adapta melhor a
esse caso) das retas são m1 = tan(1 ) e m2 = tan( 2 ) .
Por relações trigonométricas, concluímos então que
1
1
m2 = tan( 2 ) = tan(1 + 90 ) = −
=− .
tan(1 )
m1
Mostramos, deste modo, o seguinte resultado:
y = m1 x + b1 (m1 ≠ 0) e y = m2 x + b2 (m2 ≠ 0)
são perpendiculares ⇔ m2 = −
1 .
m1
Raciocínio análogo poderia ser aplicado para calcular a tangente do
ângulo entre duas retas concorrentes quaisquer, r e s, não perpendiculares entre si. Vejamos os casos:
• r : x = x0 (vertical ) e s : y = mx + b, m ≠ 0
Há dois subcasos, que estão ilustrados pela figura 2.2. Verifique que, em ambos os subcasos:
tan () =
1
1
=
.
m tan 1
27
A
y
θ = θ1− 90°
tg θ1 = m
r
θ1
θ
x0
B
y
θ = 90°− θ1
tg θ1 = m
x
s
r
s
θ
θ1
θ1
x0
Figura 2.2
• r : y = m1 x + b1 e s : y = m2 x + b2 , m1 ⋅ m2 ≠ (−1)
Verifique, de modo análogo ao caso anterior, que
tan () =
m1 − m2
.
1 + m1m2
Exercício
4) Calcule o ângulo entre as retas abaixo.
2 x + 2 y = 1
a)
;
y = 3
y = − (2 + 3) x + 1
b)
;
y = x + 3
y = x − 1
c)
;
=
+
y
(
3
2)
x
( 5 − 1) x + 2 y = 1
d)
.
( 5 + 1) x − 2 y = 0
x
28
2.3 Distância de ponto a reta
Vamos considerar o problema de calcular a distância de um ponto P = ( x0 , y0 ) a uma reta, que não é nem vertical nem horizontal,
r : y = mx + b . Vamos supor, obviamente, que P não pertence à reta.
Quando falamos a distância do ponto à reta, queremos dizer com
isso a menor distância, que corresponde ao comprimento do segmento que vai do ponto P à reta, perpendicularmente.
Uma solução seria encontrarmos a reta s, que passa por P e é perpendicular a r; depois, acharmos o ponto Q de interseção das duas
retas e, então, calcularmos a distância de P a Q.
Exemplo: Calcule a distância do ponto (1, 0) à reta r : y = 2 x + 3.
1
Resolução: A reta s : y − 0 = − ( x − 1) é a reta perpendicular a r
2
y = 2x + 3
que passa por (1, 0). Resolvendo o sistema
1
1 temos que
y = − 2 x + 2
o ponto Q = (−1,1) é a interseção das duas retas. Logo, a distância
pedida é d (P, Q) = 5 .
Outra solução, que é uma versão resumida da primeira, seria achar
o ponto Q da reta r tal que a declividade de P a Q é a de uma
reta perpendicular a r. Ou seja, o ponto Q = ( x1 , y1 ) é a solução do
sistema
y = mx + b
1 .
y − y0
=
−
x−x
m
0
A solução é x1 =
x0 + m ⋅ y0 + m ⋅ b
, y1 = mx1 + b.
m2 + 1
A distância de P a Q é, então, igual a ( x1 − x0 ) 2 + ( y1 − y0 ) 2 , ou
seja,
| b − y0 + m ⋅ x0 |
d ( P, Q ) =
.
m2 + 1
29
Exercícios
5) Calcule a distância do ponto P à reta r, em cada item abaixo.
a) P = (1, −5), r : x = −2;
b) P = (−1, −5), r : y = 2;
c) P = (1,1), r : y = −2 x;
d) P = (0, 0), r : y = −2 x + 3;
e) P = (0,1), r : y = 2 x + 3;
f) P = (3,1), r : y = x.
6) Calcule a área dos triângulos ABC , dados abaixo, calculando a
altura pela fórmula de distância de ponto a reta.
a) A = (1, 0), B = (0, 0), C = (0, -2);
b) A = (1,1), B = (1,3), C = (2,5);
c) A = (0,1), B = (0, 4), C = (1,1);
d) A = (1,1), B =(3, 0), C = (4,3);
e) A = (0, 2), B = (2, 0), C = (1, 4) ;
f) A = (0, 0), B = (−1,1), C = (1,1) .
Observação avançada (no sentido de avançarmos até a unidade
seguinte a essa – Álgebra Vetorial):
A área de um triângulo pode ser calculada via álgebra vetorial, submergindo três pontos do plano cartesiano nos três pontos correspondentes a eles no plano z = 0 . Por exemplo, os pontos AA==(1,1),
(1,1),, BB == (2,3)
(2,3) ee C
C == (3,
(3,4)
4)
A = (1,1), B = (2,3) ee C = (3, 4) corresponderiam a A' = (1,1, 0), B' = (2,3, 0) e C ' = (3, 4, 0).
Esses
pontos
dão
origem
aos
vetores
a
=
(2
−
1)
i
+
(3
−
1)
j e
b = (3 − 1)i + (4 − 1) j , em que i , j e k são vetores unitários na direção dos 3 eixos ortogonais do espaço cartesiano (observe que as
coordenadas do vetor a são as diferenças das coordenadas respectivas de A ' e B ' ; as de b , as diferenças das de A ' e C ' ). No espaço
cartesiano, podemos definir uma função que leva dois trios ordena-
30
dos, ( x1 , y1 , z1 ) e ( x2 , y2 , z2 ) , em um terceiro trio ordenado, chamado de produto vetorial, cujas coordenadas são
( y1.z2 − y2 .z1 , − ( x1.z2 − x2 .z1 ), x1. y2 − x2 . y1 ) .
O cálculo dessas coordenadas segue a seguinte regra prática:
i
x1
x2
j
y1
y2
k
z1 = ( y1.z2 − y2 .z1 )i − ( x1.z2 − x2 .z1 ) j + ( x1. y2 − x2 . y1 )k .
z2
No caso acima, aplicando-se
a
regra,
vê-se
que
a
×
b
, o produto
vetorial de a por b (nessa ordem), é o vetor c = −k . Mostra-se, por
outro lado, que a norma desse vetor (ou do trio ordenado formado
pelas coordenadas do vetor) é duas vezes a área do triângulo formado pela origem e os dois pontos cujas coordenadas
são os trios
ordenados dados pelas coordenadas de a e b . Ou, no nosso
caso,
do triângulo A' B ' C ' . Note que as coordenadas de a e b correspondem a dois pontos, P e Q , e que o triângulo de vértices OPQ
é congruente ao triângulo A ' B ' C ' , como se A' fosse trazido para
a origem, B ' a P (ponto cujas coordenadas são as diferenças das
de A 'e B ' ), e C ' a Q (ponto cujas coordenadas são as diferenças
das de A 'e C ' ).
Finalmente, a área do triângulo ABC , que é a área do triângulo
do trio (0, 0, −1), que são as coordenaA ' B ' C ', é 1, que é a norma
das do vetor 0.i + 0. j − k .
O uso de álgebra vetorial em geometria analítica pode ser visto
em [1], [8] e [9].
Exercícios
7) Achar uma equação de reta em cada item abaixo.
a) que passa por (0, 0) e (0, − 2) ;
b) que passa por (1, 0) e (0, 2);
c) mediatriz do segmento AB, em que A = (−3, 0) e B = (1, 0);
d) mediatriz do segmento AB, em que A = (1, 1) e B = (3, 1);
e) paralela à reta de equação x + y = 1 e que passa por (0, 2);
31
f) paralela à reta de equação x = 1 e que passa por (3, 2);
g) paralela à reta de equação x + 2 y = 1 e que passa por (1, 1);
h) paralela à reta de equação x + 2 y = 1, cuja distância a essa
reta é 2;
i) cuja declividade é 3 e passa por (−1, −1) ;
j) perpendicular à reta de equação 2 x + y = 1 e que passa por
(1, 2);
k) mediatriz do segmento AB, em que A = (1,1) e B = (3,5);
l) bissetriz do (menor) ângulo formado entre a reta de equação x + y = 1 e a reta de equação x + 2 y = 1 (lembrar que a
bissetriz é o lugar geométrico dos pontos no interior do ângulo que eqüidistam das retas dadas).
8) Calcular a distância pedida em cada item abaixo.
a) entre o ponto (0, 2) e a reta de equação x + y = 1;
b) entre as retas r : x + y = 1 e s : x + y = 2;
c) entre o ponto (1, − 2) e a circunferência ( x + 1) 2 + y 2 = 1;
d) entre as circunferências ( x + 1) 2 + y 2 = 1 e
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 1;
e) entre a reta r : x = 2 e a circunferência ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 = 1;
f) entre a reta r : x + y = 1 e a circunferência ( x + 1) 2 + y 2 = 1.
9) Sejam A = (1,1), B = (−1, −1). Em cada item abaixo, ache as coordenadas do(s) ponto(s) C de maneira que o(s) triângulo(s)
ABC satisfaça(m) as condições dadas.
a) AC é hipotenusa de comprimento 4;
b) BC é hipotenusa de comprimento 3;
c) ABC é isósceles e a altura em relação a AB é 3;
d) AB é hipotenusa e a altura do triângulo em relação a ela é 3;
e) Â= 30 e B̂= 60;
f) Â= 90 e B̂= 60;
ˆ B
ˆ = 30.
g) A=
32
Comentamos no início do livro que a Geometria Analítica Plana é
um modelo da Geometria Euclidiana Plana. Isto significa que a interpretação dos conceitos primitivos da Geometria Euclidiana Plana
no Plano Cartesiano resulta na veracidade dos axiomas da teoria
no modelo. Há cinco conceitos primitivos na Geometria Euclidiana
Plana que são as bases para se definirem todos os outros termos
geométricos da teoria. São eles: ponto, reta, relação de incidência,
relação de vizinhança e relação de congruência.
A relação de incidência tem a ver com as expressões seguintes: “a
reta r passa pelo ponto P”, “o ponto P pertence à reta r”, “o ponto P é
incidente com a reta r” “por dois pontos passa uma única reta”, etc.
A relação de vizinhança é simplesmente a relação dada pela expressão “o ponto C está entre os pontos A e B”. Finalmente, a relação de
congruência é a que está contida nas expressões “os lados AB e AC
têm o mesmo tamanho”, “os ângulos de um triângulo eqüilátero
são iguais”. Ou seja, é a relação que nos permite dizer que ângulos
têm o mesmo número de graus ou que segmentos têm o mesmo
tamanho (congruência de triângulos é um conceito definido). Mais
informações sobre a axiomatização da Geometria Euclidiana Plana
pode ser vista no excelente livro do Greenberg (ver bibliografia comentada).
Na Geometria Analítica Plana, pontos são interpretados como pares
ordenados; retas, como conjunto de pares ordenados que satisfazem
uma equação linear em x e y; a relação de incidência é interpretada
como a relação de pertinência entre um par ordenado e um conjunto de pares ordenados; a relação de vizinhança é interpretada
assim: C está entre A = (a, a ') e B = (b, b ') se e só se existe t , 0 < t < 1,,
tal que C = ((1 − t )a + ta’, (1 − t )b + tb’). Finalmente, a relação de
congruência: AB = CD se e só se d ( A, B ) = d (C , D); = se e só se
tan = tan , em que as tangentes são dadas pela fórmula do ângulo
entre duas retas.
É um bom exercício mostrar que os axiomas da Geometria Euclidiana Plana valem na Geometria Analítica Plana. Fazer demonstrações
de teoremas geométricos via Geometria Analítica é bastante interessante. Por exemplo, vamos demonstrar o seguinte teorema:
33
10) Seja ABC um triângulo. Mostre que as mediatrizes dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o circuncentro do
triângulo.
Demonstração: Seja ABC um triângulo qualquer. Escolha eixos cartesianos de tal modo que o eixo das ordenadas coincida com a mediatriz
do lado AB e o eixo das abcissas contenha o lado AB. Assim, o ponto A tem coordenadas (−a, 0) , o ponto B tem coordenadas (a, 0),
a > 0 , e o ponto C tem coordenadas (b, c). Basta mostrar, então, que
a interseção das mediatrizes de AC e BC está sobre o eixo das ordenadas (uma vez que a mediatriz de AB é o eixo das ordenadas).
y
C
A
(−a , 0)
B
(a , 0)
x
Figura 2.4
A mediatriz de AC , a reta r, contém o ponto médio de AC ,
a+b c
, , e é perpendicular à AC . Logo, a equação de r é
2 2
y−
c
a −b
a+b .
=
x −
2
c
2
A mediatriz de BC , a reta s , contém o ponto médio de BC ,
−a + b c
, , e é perpendicular a BC . Logo, a equação de s é
2
2
c
a+b
b−a
y−
= −
x −
.
2
c
2
A interseção dessas duas mediatrizes é o ponto cujas coordenadas são
dadas pela solução do seguinte sistema:
c a −b
a+b
x−
y − =
2
c
2
, ou seja,
y − c = − a +b x − b − a
2
c
2
34
a+b
b−a a −b
a+b
− c x − 2 = c x − 2
, isto é,
y − c = − a +b x − b − a
c
2
2
x = 0
a2 − b2 + c2 .
y
=
2c
Logo, o ponto está sobre o eixo das abcissas, como queríamos mostrar.
11) Seja ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos cartesianos tal que A = (a, 0), B = (b, 0) e C = (0, c) . Mostre que as
alturas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o ortocentro do triângulo (sugestão: mostre que as alturas em relação a AC e a BC encontram-se no eixo das ordenadas, que é o
suporte da altura em relação a AB ).
12) Seja ABC um triângulo. Escolha um sistema de eixos cartesianos tal que A = (−a, 0), B = (a, 0) e C = (b, c). Mostre que as
medianas dos lados encontram-se em um ponto, que é dito o
baricentro do triângulo (sugestão: mostre que as medianas de
AC e BC encontram-se sobre a mediana de AB).
Resumo
• declividade de uma reta não vertical;
• equação da reta, dados dois pontos;
• equação da reta não vertical, dados um ponto e a declividade;
• retas paralelas;
• retas perpendiculares;
• distância de ponto a reta;
• distância entre duas retas paralelas;
• ângulo entre retas concorrentes.
35
Bibliografia comentada
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana. 6. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2004.
LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM,
2002.
LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro: SBM,
1998.
Esses dois livros são complementares. O primeiro é mais próximo ao que
apresentamos até aqui. São livros essenciais, no sentido que há muitos
exercícios, alguns elementares, para que o leitor aprofunde seu conhecimento geométrico no plano cartesiano. Recomendado.
GREENBERG, M. J. Euclidean & non-Euclidean geometry:
development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman, 1993.
Esse livro é a melhor fonte para um estudo axiomático da Geometria Euclidiana Plana que eu conheço. É um livro rigoroso e didático (a junção
dessas qualidades é rara num livro). Além disso, é um excelente livro para
se iniciar nas Geometrias não-Euclidianas.
Capítulo 3
Cônicas
Capítulo 3
Cônicas
Este capítulo apresenta outra classe de lugares geométricos –
aqueles que são descritos por uma equação de segundo grau,
envolvendo as coordenadas dos seus pontos. Ao longo do capítulo, procuramos envolver o leitor em deduções algébricas –
uma cadeia lógica de equações, cujos elos são operações
algébricas, que são bem apresentadas através de produtos notáveis. Vemos aqui, também, dois movimentos rígidos que fazemos com os eixos: translação e rotação. Essas
mudanças de variáveis chamam a nossa atenção para o
fato de que a descrição dos objetos geométricos no plano
cartesiano depende bastante dos eixos de referência. Por
outro lado, tanto a translação como a rotação preservam
as classes de lugares geométricos descritos por equações
polinomiais. Por exemplo, uma equação de segundo grau
permanece de segundo grau depois da mudança de variáveis dada por esses movimentos. O objetivo final deste capítulo é a identificação da cônica a partir dos coeficientes
dos termos de segundo grau de sua equação.
3.1 Introdução
σ
Figura 3.1
Os geômetras gregos anteriores a Apolônio de Pérgamo necessitavam de três tipos de cone para obterem seções cônicas pela interseção de um plano (sempre) perpendicular a uma geratriz qualquer
de um cone circular reto. Notemos que os gregos, naquela época,
imaginavam um cone circular reto como sendo gerado pela revolução de duas retas em torno de um eixo de simetria (conforme figura
3.1). Se o ângulo , que as duas retas geratrizes formam entre si, for
agudo, teremos uma elipse; se for reto, uma parábola; se for obtuso,
uma hipérbole. A palavra elipse, na sua etimologia, significava que
se alcançaria a outra geratriz quando uma das duas fosse interceptada pelo plano; a parábola, que o plano era paralelo à outra geratriz; a
hipérbole, que o plano se afastaria cada vez mais da outra geratriz.
40
Foi Apolônio quem mostrou que bastaria um cone circular reto de duas
folhas qualquer para se obter as três (seções) cônicas; o que deveria variar era o ângulo de interseção do plano com uma das duas geratrizes.
Na verdade, basta fazer a revolução de apenas uma reta (a geratriz)
para gerar um cone de 2 folhas, conforme a definição seguinte.
Definição 3.1: Consideremos um cone de duas folhas, uma figura
que pode ser gerada pela revolução de uma reta g (geratriz) em
torno de outra reta e (eixo) que a corta segundo um ângulo em
um ponto V (veja a figura 3.2). Chamamos de geratriz qualquer
reta do cone que passa por V . Consideremos agora o conjunto de
todos os planos que não passam por V . A curva que resulta da interseção de um plano desse conjunto com o cone é dita uma seção
cônica ou, simplesmente, uma cônica (veja a figura 3.4).
g
θ
V
Apolônio de Pérgamo foi
um matemático grego da
escola alexandrina
(c. 261 a.C.), chamado de
o grande geômetra. Viveu
em Alexandria, Éfeso e
Pérgamo. Sua principal obra
é um tratado intitulado As
cônicas, trabalho composto
de oito livros, dos quais
sobreviveram sete.
Fonte: http://pt.wikipedia.
org/wiki/Apol%C3%
B4nio_de_Perga.
e
Figura 3.2
Note que a interseção de um plano, que passa por V , com o cone
pode resultar ou no ponto V , ou em uma reta (interseção do cone
com um plano tangente a ele) ou em duas retas (interseção do cone
com um plano secante que contenha V ), que alguns autores chamam de cônicas degeneradas (veja a figura 3.3).
r1
A
(um ponto)
r2
B
C
(r1 e r2: um par de
retas concorrentes)
V
r
V
(r: uma reta)
V
α
α
α
Figura 3.3
41
Um conjunto de pontos que satisfaz uma propriedade geométrica é
dito um lugar geométrico. O Teorema de Apolônio, enunciado abaixo, afirma que uma cônica é um dos três lugares geométricos definidos a seguir:
• elipse – seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois
pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é menor que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, é dito uma elipse.
• parábola – seja dada uma reta (diretriz) d , seja dado um ponto
F (foco) fora da reta. O conjunto dos pontos, tais que a distância de cada ponto à diretriz é igual à distância dele até o foco,
é dito uma parábola.
• hipérbole - seja dado um número positivo 2a, sejam dados
dois pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c,
é maior que 2a. O conjunto dos pontos P, tais que a diferença das distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a ±2a, é dito
uma hipérbole.
Figura 3.4 - Seções cônicas
Teorema de Apolônio: Seja C um cone de duas folhas, de vértice V .
Seja p um plano que não contém V . Consideremos a cônica obtida
pela intersecção de C com p . Então:
Paralelo a nenhuma
geratriz: o plano paralelo
a p passando por V
não contém nenhuma
geratriz do cone.
• se p não é paralelo a nenhuma geratriz, então a cônica é uma
elipse. Observe que p corta o eixo e em um ângulo e que
p
p
(note que, quando = , a curva é uma circunfe< ≤
2
2
rência, que é uma elipse, então);
42
• se p é paralelo a somente uma geratriz, a cônica é uma parábola (observe que, nesse caso, = );
• se p é paralelo a duas geratrizes, a cônica é uma hipérbole
(note que, se p cortar o eixo e, 0 < < ).
Elipse
Parábola
Hipérbole
α>θ
α=θ
α<θ
θ
θ
θ
V
V
V
α
α
α
π
π
π
Figura 3.5
Não apresentaremos aqui a prova desse teorema, também chamada
de prova de Dandelin, que utiliza esferas inscritas em um cone —
essas esferas, hoje, são conhecidas como esferas de Dandelin, em
homenagem a esse matemático belga. A prova pode ser encontrada
em alguns livros (por exemplo, em [7]). Há vários sítios na rede com
essa prova, que depende muito de uma boa representação gráfica
para ser bem compreendida. A seguir, um pouco de teoria sobre
cada cônica.
3.2 Parábola
Definição 3.2. Dados uma reta r e um ponto F no plano 2, tais
que F não pertence a r, uma parábola p de foco F e diretriz r é o
conjunto dos pontos P eqüidistantes de F e de r , isto é,
Paralelo a somente uma
geratriz: o plano paralelo a
p passando por V contém
somente uma geratriz
do cone.
Paralelo a duas geratrizes:
o plano paralelo a p
passando por V contém
duas geratrizes do cone.
43
p = {P ∈ 2 | d (P, F) = d (P, r )}.
F
r
Figura 3.6
Uma parábola no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, podemos considerar uma parábola qualquer como
um conjunto de pontos ( x, y ) do plano tais que suas coordenadas
x e y satisfazem uma certa equação.
-5
-3
e o ponto F = 2, . Seja
4
4
( x, y ) um ponto P arbitrário da parábola p, definida a partir dessa
diretriz e desse foco. Temos que
Exemplo 1: Considere a reta r : y =
2
d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇔
3
5
( x - 2) 2 + y + = y +
4
4
2
⇔
2
3
5
⇔ ( x - 2) 2 + y + = y + ;
4
4
que, por sua vez, é equivalente à equação
y = x 2 - 4 x + 3.
Lembre-se que o gráfico da
função g é o conjunto
{( x, g ( x)) : x ∈ } .
Dada agora a função quadrática g : →
g ( x) = x 2 - 4 x + 3, a parábola acima é o gráfico de g.
definida por
Parábola é a primeira cônica ao qual somos apresentados, ainda no
nível fundamental, como sendo a curva que representa o gráfico de
uma função quadrática no plano cartesiano.
44
Definição 3.3. Uma função f : → é dita ser quadrática (ou do
segundo grau) se, e somente se, existirem constantes reais a, b e c,
com a ≠ 0, tais que ∀x ∈ , f ( x) = ax 2 + bx + c.
As funções f : → dadas por f ( x) = x 2, f ( x) = ( x + 3) 2, ou
f ( x) = -0,5 x 2 + 0,9 x são, todas, exemplos de funções quadráticas.
Observe que nem toda parábola é o gráfico de uma função quadrática, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo 2: Vamos obter uma equação para a parábola de foco
F = (-1,1) e diretriz r : y = x. Se P = ( x, y ) é um ponto arbitrário
dessa parábola, temos:
d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇒ ( x + 1) 2 + ( y - 1) 2 =
y-x
2
.
Calculando, obtemos (verifique!) que essa equação é equivalente à
equação
x 2 + 2 xy + y 2 + 4 x - 4 y + 4 = 0.
Note que a equação encontrada no exemplo 1 corresponde a uma
equação que define uma função quadrática. Porém, a equação do
exemplo 2 não corresponde a uma equação de função quadrática,
pois dado um valor arbitrário para x (com exceção de apenas um
valor, descubra qual) existem dois valores possíveis para y . A figura abaixo nos dá um esboço desta parábola, cujos eixos de simetria
não são paralelos aos eixos cartesianos.
y
F
d
x
Figura 3.7
45
Exemplo 3: Vamos obter uma equação para a parábola de foco
F = (0, p ) e diretriz r : y = - p, p > 0 . Se P = ( x, y ) é um ponto arbitrário dessa parábola, temos:
d ( P, F ) = d ( P, r ) ⇔
( x - 0) 2 + ( y - p ) 2 = y + p
⇔
2
3
⇔ ( x - 0) + y + = ( y + p ) 2 ⇔
4
2
⇔
x 2 - 4 yp = 0.
1
, então obtemos a parábola y = ax 2. Deste modo,
4a
2
o foco e a diretriz da parábola y = ax são, respectivamente,
Note que se p =
1
1
0, e r : y = - 4a .
4a
Exercício
1) Obtenha uma equação para as parábolas, cujo foco e cuja diretriz são dados abaixo, esboçando-as:
a) F = (0, -1), r : y = 1;
1
1
b) F = , 0 , r : x = - ;
4
4
c) F = (0, 0), r : y = x + 1.
O eixo de uma parábola é, por definição, a reta perpendicular à sua
diretriz que passa por seu foco. Esse eixo é um eixo de simetria da
figura (a definição de parábola resulta em uma figura simétrica em
relação à reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz) . O
eixo de uma parábola é uma reta vertical se, e somente se, a diretriz
dessa parábola é uma reta horizontal. O eixo de simetria da parábola
intercepta-a em um ponto chamado de vértice. Vamos mostrar que a
equação de uma parábola é da forma y = ax 2 + bx + c, com a ≠ 0, se, e
somente se, o seu eixo de simetria é paralelo ao eixo das ordenadas.
Proposição 3.1. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola, cujo eixo é paralelo ao eixo das ordenadas.
46
Demonstração: Considere a função quadrática y = ax 2 + bx + c , em
que a ≠ 0. Note que essa equação é equivalente à equação
b
b2 b2
+ c.
y = a x2 + x + 2 a
4a 4a
Denotando b 2 - 4ac por ∆, essa equação também é equivalente à
equação
2
∆
b
y+
= a x + .
4a
2a
Fazendo y ' = y +
∆
b
e x' = x +
, podemos reescrever esta equa4a
2a
2
ção da seguinte forma y ' = a ( x ') , que corresponde (ver exemplo 3)
1
a uma parábola cujos foco e diretriz, no eixo 0 x '0 y ' , são 0, e
4a
1
r : y = - , respectivamente (ver figura 3.8).
4a
y
y'
− ∆
4a
x'
0
− b
2a
x
Figura 3.8
Deste modo, no sistema 0 x0 y , y = ax 2 + bx + c é a equação da pa b -∆ + 1
rábola cujo foco é o ponto - ,
e cuja diretriz é a reta
2a 4a
- ∆ -1
.
y=
4a
Por conseguinte, o seu eixo de simetria, que é perpendicular à diretriz,
é uma reta vertical, isto é, paralelo ao eixo das ordenadas.
■
47
Exercício
2) Obtenha o foco e a diretriz das parábolas dadas por
a) y = x 2 ;
b) y = x 2 + 2;
c) y = x 2 + 4 x + 4;
d) y = - x 2 ;
e) y = 2 x 2 - 7 x + 2;
f) y = -2 x 2 + x.
Vamos mostrar agora a recíproca da proposição anterior.
Proposição 3.2. Uma parábola cujo eixo é uma reta vertical é o gráfico de uma função quadrática.
Demonstração: Seja p uma parábola com eixo vertical. Logo, sua diretriz é uma reta horizontal: y = c, em que c denota uma constante.
Seja F = (r , s ) seu foco. Como F não pertence à diretriz, s ≠ c.
Assim, para todo ponto ( x, y ) da parábola, temos que
( x - r )2 + ( y - s)2 = y - c .
Logo, 2( s - c) y = x 2 - 2rx + r 2 + s 2 - c 2 .
Como s ≠ c, podemos definir
a :=
1
r
r 2 + s2 - c2
, b := , c :=
.
2( s - c)
( s - c)
2( s - c)
Assim, a equação acima fica na forma y = ax 2 + bx + c, que define
uma função quadrática.
■
Exercício
3) Aplicando a técnica utilizada na demonstração da proposição
acima, obtenha funções quadráticas cujos gráficos são as parábolas com foco e diretriz, dadas a seguir:
48
1
3
a) F = , 0 , r : y = - ;
2
2
1
7
b) F = , 0 , r : y = ;
2
2
3
5
c) F = 0, - , r : y = - .
4
4
Observação: No exercício 1 b), vimos que uma equação da parábola
1
1
com foco , 0 e diretriz r : y = é x = y 2, cujo traçado cor4a
4
responde à união dos gráficos das funções y = x e y = - x , em
que x ≥ 0 . Da mesma forma, o gráfico da função y - y 0 = x - x0 ,
x ≥ x0 , é um dos ramos da parábola ( y - y0 ) 2 = x - x0 , cujo eixo de
simetria é a reta y = y 0 e o vértice, o ponto ( x0 , y0 ) . Note que
y - y0 = x - x0 ⇒ ( y - y0 ) 2 = x - x0
mas que a recíproca não é válida.
Exercício
4) Esboce o gráfico das funções abaixo.
a) y = x - 2 + 1;
b) y = - x - 2 + 1;
c) y = - x - 2 - 1;
d) y = 2 x - 2 + 1 .
Uma parábola, cujo eixo é paralelo é paralelo a um dos eixos
coordenados, é descrita por uma das duas (famílias de) equações seguintes (a equação normal de uma parábola):
• y - y0 = ( x - x0 ) 2 (o eixo de simetria é a reta y = y0 );
• x - x0 = ( y - y0 ) 2 (o eixo de simetria é a reta x = x0 ).
49
3.3 Elipse
A excentricidade de uma
elipse é um número entre
c
0 e 1 0 < < 1 , que
a
determina a sua forma.
Se este número for
próximo de zero, então
a elipse se aproxima de
uma circunferência e se
for próximo de 1 então a
elipse se aproxima de um
segmento de reta.
Definição 3.4. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois
pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é mec
nor que 2a. A elipse E de focos F1 e F2, de excentricidade , é o
a
conjunto dos pontos P, tais que a soma das distâncias de P a F1 e
de P a F2 é igual a 2a , isto é,
E = {P ∈ 2 | d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a}.
Uma elipse no plano cartesiano é descrita por uma equação algébrica, isto é, podemos representar uma elipse qualquer como um
conjunto de pontos ( x, y ), do plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma certa equação.
Exemplo 1: Considere os focos F1F=1 =(-(c-,c0),
, 0),
eF2F=2 =(c(,c0), 0) , c > 0 , e a exc
centricidade . Seja ( x, y ) um ponto P arbitrário da elipse, definia
da a partir desses dados. Temos que
d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a ⇔
⇔
⇔
( x + c ) 2 + y 2 + ( x - c ) 2 + y 2 = 2a ⇔
( x + c ) 2 + y 2 = 2a - ( x - c ) 2 + y 2
⇔
2
2
2
2
2
⇔ ( x + c ) 2 + y 2 = 4a - 4a ( x - c ) + y + ( x - c ) + y
⇔ a ( x - c) 2 + y 2 = a 2 - cx ⇔
⇔ a 2 ( x 2 - 2cx + c 2 ) + a 2 y 2 = a 4 - 2a 2 cx + c 2 x 2
⇔ a 2 x 2 - c 2 x 2 + a 2 y 2 = a 4 - a 2c 2
⇔
⇔ (a 2 - c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 (a 2 - c 2 ) ⇔
⇔
x2
y2
+
= 1.
a2 a2 - c2
⇔
⇔
50
Definindo o número positivo b tal que b 2 = a 2 - c 2 , temos que
esta equação é equivalente a
x2 y2
+
=1
a2 b2
que é uma equação da elipse dada.
b
(−c, 0)
a
(c, 0)
Figura 3.9
Observações:
• se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);
• se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então ( x, - y )
também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas).
Esses eixos são os eixos de simetria da elipse. Note que, nesse
caso, a figura também é simétrica em relação à origem (0, 0) ,
pois, se ( x, y ) satisfaz a equação, (- x, - y ) também a satisfaz.
Note que se F1 = (0, -c), F2 = (0, c) e a excentricidade for a mesma, a elipse definida a partir desses dados será a mesma que a
resultante de uma rotação de 90° da elipse acima (ver figura 3.10).
Sua equação será, agora,
y2 x2
+
= 1.
a2 b2
Agora, se girarmos a elipse de 45o, as coordenadas dos focos são
diferentes:
c
c
c c
F1 = ,,
, F2 =
.
2
2
2 2
(0,c)
a
b
(0,−c)
Figura 3.10
51
Vamos calcular a sua equação, como antes:
d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a ⇔
2
2
2
2
2
2
⇔
c
c
c
c
x +
+y+
+ x +y = 2a ⇔
2
2
2
2
⇔
c
c
c
c
x +
+y+
= 2a - x +y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⇔
2
c
c
c
c
c
c
⇔ x +
+y+
= 4a 2 + x +y - 4a x +y
2
2
2
2
2
2
2
2
⇔
2
cy
c
c
cx
a x
y
a 2
2
2
2
2
2
2
a 2 cy
c
c
c2x2 c2 y2
a 2 cx
2
2
c 2 xy
a 4
a x
a 2 y
2
2
2
2
2
2
2
a 2 x 2 a 2 y 2 a 2c 2 a 4
c2 x2 c2 y2
c 2 xy
2
2
⇔ (2a 2 - c 2 ) x 2 + (2a 2 - c 2 ) y 2 - 2c 2 xy = 2(a 4 - a 2 c 2 ) ⇔
⇔ (a 2 + b 2 )x 2 + (a 2 + b 2 ) y 2 - 2(a 2 - b 2 ) xy = 2a 2b 2.
a
b
Figura 3.11
52
Exercício
5) Ache equação para a elipse
3
;
5
4
b) cujos focos são (0, -4) e (0, 4), e cuja excentricidade é ;
5
a) cujos focos são (-3, 0) e (3, 0), e cuja excentricidade é
c) cujos focos são (-c + x0 , 0) e (c + x0 , 0),
c
e cuja excentricidade é ;
a
d) cujos focos são (0, -c + y0 ) e (0, c + y0 ),
c
e cuja excentricidade é ;
a
e) cujos focos são (-c + x0 , y0 ) e (c + x0 , y0 ),
c
e cuja excentricidade é ;
a
f) cujos focos são ( x0 , -c + y0 ) e ( x0 , c + y0 ),
c
e cuja excentricidade é ;
a
g) cujos focos são (-2 2, -2 2) e (2 2, 2 2),
4
e cuja excentricidade é ;
5
h) cujos focos são ( - 3,3) e (3,3), e passa pelo ponto (0, 7);
i) cujos focos são ( - 3, -1) e (5, -1), e passa pelo ponto (1, 2).
3.4 Hipérbole
Definição 3.5. Seja dado um número positivo 2a, sejam dados dois
pontos fixos F1 e F2 (ditos focos), cuja distância entre si, 2c, é maior
c
que 2a. A hipérbole H de focos F1 e F2 , de excentricidade , é o
a
conjunto dos pontos P , tais que o valor absoluto da diferença das
distâncias de P a F1 e de P a F2 é igual a 2a, isto é,
H = {P ∈ 2 ; | d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a}.
A excentricidade de uma
hipérbole é um número
c
maior do que 1 1 <
a
que está relacionado com
a abertura da hipérbole.
Quanto maior ele for, maior
é a abertura da hipérbole.
53
Como anteriormente, uma hipérbole no plano cartesiano é descrita
por uma equação algébrica, isto é, é um conjunto de pontos ( x, y ), do
plano cartesiano, tais que suas coordenadas x e y satisfazem uma
certa equação.
Exemplo 1: Considere os focos F1 = (-c, 0), F2 = (c, 0) e a excentricic
dade . Seja ( x, y ) um ponto P arbitrário da hipérbole, definida a
a
partir desses dados. Temos que
| d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a ⇔
⇔
( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 = 2a ⇔
⇔ ( ( x + c ) 2 + y 2 - ( x - c ) 2 + y 2 ) 2 = 4a 2
⇔
⇔ ( x + c) 2 + y 2 + ( x - c) 2 + y 2 =
= 4a 2 + 2 ( x + c ) 2 + y 2 ( x - c ) 2 + y 2
⇔
⇔
x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 = ( x + c ) 2 + y 2 ( x - c ) 2 + y 2
⇔
⇔ ( x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 ) 2 = [( x + c) 2 + y 2 ][( x - c) 2 + y 2 ] ⇔
⇔
x 4 + y 4 + c 4 + 4 a 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 c 2 - 4 x 2 a 2 + 2 y 2 c 2 - 4 y 2 a 2 - 4c 2 a 2 =
= ( x 2 - c 2 ) 2 + y 2 [( x + c) 2 + ( x - c) 2 ] + y 4
⇔ 4a 4 - 4c 2 a 2 = -4 x 2 c 2 + 4 x 2 a 2 + 4 y 2 a 2
⇔
x 2c 2 - x 2a 2 - a 2 y 2 = a 2c 2 - a 4
⇔
⇔
⇔
⇔ (c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 y 2 = a 2 (c 2 - a 2 ) ⇔
⇔
x2
y2
= 1.
a2 c2 - a2
Definindo o número positivo b, tal que, b 2 = c 2 - a 2, temos que esta
equação é equivalente a
54
x2 y2
= 1,
a2 b2
que é uma equação da hipérbole dada.
(−c,0)
(c,0)
(−a,0)
(a,0)
Figura 3.12
Observações:
• se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das ordenadas);
• se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então ( x, - y ) também a satisfaz (simetria em relação ao eixo das abcissas);
• se um ponto ( x, y ) satisfaz a equação acima, então (- x, - y )
também a satisfaz (simetria em relação à origem (0, 0) );
• os pontos dessa hipérbole têm abcissas não nulas e
y 2 b2 b2 b2
b2 2
2
= ≤
. Logo, y ≤ 2 x , ou seja, os pontos dessa
x2 a2 x2 a2
a
b
hipérbole estão entre as retas y = ± x;
a
• os pontos da hipérbole, quando x tende a ± ∞, tendem a se
b
aproximar das retas y = ± x . Por isso, chamamos essas retas
a
de assíntotas da hipérbole.
Note que se F1 = (0, -c), F2 = (0, c) e a excentricidade for a mesma, a
hipérbole definida a partir desses dados será a mesma que a resultante de uma rotação de 90 da hipérbole acima.
55
2
2
Sua equação será, agora, y - x = 1 e suas assíntotas, y = ± a x.
b
a2 b2
(0,c)
(0,a)
(0,−a)
(0,−c)
Figura 3.13
A hipérbole de excentricidade
c
e focos
a
c
c
c c
F1 = ,,
, F2 =
2
2
2 2
pode ser calculada, a partir da definição de hipérbole, analogamente
a como foi feito com a elipse:
| d ( P, F1 ) - d ( P, F2 ) | = 2a ⇔
2
⇔
2
2
c
c
c
c
x+
+ y+
- x + y
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2a ⇔
2
c
c
c
c
⇔ x +
+ y +
+ x + y =
2
2
2
2
c
c
= 4a + 2 x +
+y+
2
2
2
2
c
c
x +y
2
2
2
⇔
56
⇔ x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 =
2
2
2
c2
c2
c2
= x 2 - + y 2 - + 2 xy - + c 2 ( x - y ) 2
2
2
2
⇔
⇔ ( x 2 + y 2 + c 2 - 2a 2 ) 2 =
2
2
2
2 c2 2 c2
c2
= x - + y - + 2 xy - + c 2 ( x - y ) 2
2
2
2
⇔
⇔
x 4 + y 4 + c 4 + 4 a 4 + 2 x 2 y 2 + 2 x 2 c 2 - 4 x 2 a 2 + 2 y 2 c 2 - 4 y 2 a 2 - 4c 2 a 2 =
⇔ = x4 +
c4
c4
c4
- c 2 x 2 + y 4 + - c 2 y 2 + 2 x 2 y 2 + - 2 xyc 2 + c 2 x 2 + c 2 y 2 - 2c 2 xy ⇔
4
4
2
⇔ c 2 x 2 - 2a 2 x 2 + c 2 y 2 - 2a 2 y 2 + 2c 2 xy = 2c 2 a 2 - 2a 4
⇔
⇔ (c 2 - a 2 ) x 2 - a 2 x 2 + (c 2 - a 2 ) y 2 - a 2 y 2 + 2c 2 xy = 2(c 2 - a 2 )a 2
⇔
⇔ (b 2 - a 2 ) x 2 + (b 2 - a 2 ) y 2 + 2(b 2 + a 2 ) xy = 2b 2 a 2.
Observe na equação acima que, se b = a = 2 , então c = 2. Logo,
1
y = , e o gráfico da hipérbole, nesse caso, é o seguinte:
x
( 2, 2)
(− 2 , − 2 )
Figura 3.14
Exercício
6) Ache equação para a hipérbole
a) cujos focos são ( - 5, 0) e (5, 0), e cuja excentricidade é
5
;
3
57
b) cujos focos são (0, -5) e (0,5), e cuja excentricidade é
5
;
4
c) cujos focos são ( - c + x0 , 0) e (c + x0 , 0) ,
c
e cuja excentricidade é ;
a
d) cujos focos são (0, -c + y0 ) e (0, c + y0 ) ,
c
e cuja excentricidade é ;
a
e) cujos focos são (-c + x0 , y0 ) e (c + x0 , y0 ),
c
e cuja excentricidade é ;
a
f) cujos focos são ( x0 , -c + y0 ) e ( x0 , c + y0 ),
c
e cuja excentricidade é ;
a
-5 -5
5 5
g) cujos focos são
,
,
e
,
2 2
2 2
5
e cuja excentricidade é ;
4
h) cujos focos são ( - 5,3) e (5,3), e passa pelo ponto (3,3);
i) cujos focos são ( - 3, -6) e (-3,4), e passa pelo ponto (-3,3).
3.5 Rotação de eixos
Veremos que uma curva no plano cartesiano é uma cônica somente
se as coordenadas cartesianas de seus pontos satisfazem uma equação do tipo
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0.
Além disso, uma cônica c será identificada por uma regra simples:
• c é uma hipérbole somente se B 2 - 4 AC > 0 ;
• c é uma elipse somente se B 2 - 4 AC < 0 ;
• c é uma parábola somente se B 2 - 4 AC = 0 .
58
Essa regra não é da forma “se e somente se” porque a equação geral acima pode representar vários conjuntos diferentes de cônicas:
o conjunto vazio (por exemplo, x 2 + 2 = 0 ), duas retas paralelas (por
exemplo, x 2 - 1 = 0 ), uma reta (por exemplo, x 2 = 0 ).
Lembre que as formas normais das cônicas, isto é, as suas
expressões quando seus eixos de simetria são paralelos aos
eixos coordenados são:
• y - y0 = ( x - x0 ) 2
(parábola cujo eixo de simetria é a reta y = y 0);
• x - x0 = ( y - y0 ) 2
(parábola cujo eixo de simetria é a reta x = x0 );
•
( x - x0 ) 2 ( y - y0 ) 2
+
=1
a2
b2
(elipse cujos eixos de simetria são x = x0 e y = y 0 );
•
( x - x0 ) 2 ( y - y0 ) 2
= ±1
a2
b2
(hipérbole cujos eixos de simetria são x = x0 e y = y 0 ).
Em todas essas equações não há termos (de segundo grau) em xy.
Então a nossa estratégia para identificar uma curva, dada por uma
expressão de segundo grau em x e y , será a seguinte: eliminar esse
termo cruzado por uma mudança de variáveis conveniente. Se essa
curva for uma cônica, então essa curva aparecerá na forma normal
se os seus eixos de simetria forem paralelos aos novos eixos coordenados.
Para isso, iremos então girar os eixos até que fiquem paralelos aos
eixos de simetria da cônica. Como descobriremos a direção desses eixos? Simples, aplicaremos uma rotação de um ângulo simbólico, obtendo uma nova expressão da curva. Calcularemos, então, qual deve
ser o ângulo real zerando o coeficiente de xy na nova expressão.
59
A rotação dos eixos, no sentido anti-horário, de um ângulo ,
0 < < 90, dá origem a novos eixos, em relação aos quais um ponto
P, de coordenadas originais ( x, y ), terá, agora, coordenadas ( x ', y ').
Essas novas coordenadas estão relacionadas às antigas pelas seguintes equações:
Y
Y'
X'
θ
P
y
V
S
x'
U
R
y'
O
x
θ
X
Figura 3.15
x ' = x cos + y sen
y ' = - x sen + y cos .
Essas equações são a expressão algébrica das seguintes relações
geométricas:
OS = OR + RS .
OU = OV - VU
Mas a nossa expressão original é em x e y, ou seja, preciso saber
como essas coordenadas são escritas em função das novas:
x = x ' cos - y ' sen .
y = x ' sen + y ' cos
Substituindo-as na expressão Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , temos:
60
A( x ' cos - y ' sen ) 2 + B( x ' cos - y ' sen )( x ' sen + y ' cos ) +
+C ( x ' sen + y ' cos ) 2 +
+ D( x ' cos - y ' sen ) + E ( x ' sen + y ' cos ) + F = 0.
Fazendo os cálculos,
( A cos 2 + C sen 2 + B cos sen ) x '2 +
+( A sen 2 + C cos 2 - B cos sen ) y '2 +
+[(C - A) 2 cos sen + B(cos 2 - sen 2 )]x ' y '+
+( D cos + E sen ) x '+ ( E cos - D sen ) y '+ F = 0.
Agora, sejam:
A' = ( A cos 2 + C sen 2 + B cos sen ) ,
B' = [(C - A) 2 cos sen + B(cos 2 - sen 2 )] ,
C' = ( A sen 2 + C cos 2 - B cos sen ) ,
D' = ( D cos + E sen ),
E' = ( E cos - D sen ) e F ' = F ,
Então temos A ' x '2 + B ' x ' y '+ C ' y '2 + D ' x '+ E ' y '+ F ' = 0.
Queremos que B ' = 0, isto é,
[(C - A) 2 cos sen + B(cos 2 - sen 2 )] = 0
ou seja, que (C - A) sen 2 + B cos 2 = 0.
Temos, assim, dois casos:
a) C = A e, logo, = 45;
b) C ≠ A e, nesse caso, tg 2 =
B
.
A-C
Agora, fica fácil identificar que curva é descrita pela equação de 2º
grau: A′x′2 + C ′y′2 + D′x′ + E ′y′ + F ′ = 0, A′ ≠ 0 ou C ′ ≠ 0
• se for parábola, ou A ' = 0 ou C ' = 0, o que é equivalente a
A '.C ' = 0 ;
• se for elipse, A ' e C ' têm o mesmo sinal, isto é, A '.C ' > 0 ;
• se for hipérbole, A ' e C ' têm sinais contrários, ou seja, A '.C ' < 0.
61
Mas,
A '.C ' = ( A cos 2 + C sen 2 + B cos sen )( A sen 2 + C cos 2 - B cos sen ) =
= ( A cos 2 + C sen 2 )( A sen 2 + C cos 2 ) - B 2 cos 2 sen 2 +
+ B cos sen ( A sen 2 + C cos 2 - A cos 2 - C sen 2 ) =
= ( A2 + C 2 ) cos 2 sen 2 + AC (sen 4 + cos 4 ) - B 2 cos 2 sen 2 +
+ B cos sen (C cos 2 - A cos 2) =
= ( A2 + C 2 ) cos 2 sen 2 + AC (sen 4 + 2 cos 2 sen 2 + cos 4 ) - 2 AC cos 2 sen 2 +
sen 2
cos 2 - B 2 cos 2 sen 2 =
s 2 sen 2 + AC (sen 4 + 2 cos 2 sen 2 + cos 4 ) - 2 AC cos 2 sen 2 + BB(C
(C -- AA))
2
= ( A2 - 2 AC + C 2 ) cos 2 sen 2 + AC (sen 2 + cos 2 ) 2 +
sen 2
+ B (C - A)
cos 2 - B 2 cos 2 sen 2 =
2
sen 2 2
sen 2
= [( A - C ) - B ]
+ AC + B(C - A)
cos 2 =
4
2
2
2
= [( A - C ) 2 - B 2 ]
sen 2 2
cos 2 2
- B2
+ AC ,
4
2
pois o ângulo é tal que ( A - C ) sen 2 = B cos 2. Agora, como
sen 2 2 + cos 2 2 = 1, essa expressão é igual a
( A - C )2
sen 2 2
sen 2 2
cos 2 2
cos 2 2
- B2
- B2
- B2
+ AC =
4
4
4
4
= ( A - C )2
=
sen 2 2 B 2
cos 2 2
- B2
+ AC =
4
4
4
( A - C ) 2 sen 2 2 - B 2 cos 2 2
B2
+ AC =
4
4
B2
= AC ,
4
novamente, pela igualdade ( A - C ) sen 2 = B cos 2.
62
B2
Assim, A ' C ' = AC - . Então,
4
• A ' C ' = 0 ⇔ AC -
B2
= 0 ⇔ B 2 - 4 AC = 0;
4
• A ' C ' > 0 ⇔ AC -
B2
> 0 ⇔ B 2 - 4 AC < 0;
4
• A ' C ' < 0 ⇔ AC -
B2
< 0 ⇔ B 2 - 4 AC > 0.
4
Terminamos de provar o seguinte teorema:
Teorema. Se uma curva no plano cartesiano é uma cônica
então as coordenadas dos pontos da curva satisfazem uma
equação do tipo Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, em que
A ≠ 0 ou B ≠ 0 ou C ≠ 0, e a curva, então, será
• parábola se, e somente se, B 2 - 4 AC = 0;
• elipse se, e somente se, B 2 - 4 AC < 0;
• hipérbole se, e somente se, B 2 - 4 AC > 0.
Exercícios
7) Identifique as cônicas abaixo, transformando as equações na
sua forma normal.
a) x 2 + 9 y 2 + 6 x - 18 y + 36 = 0;
b) x 2 - 9 y 2 + 6 x - 18 y - 36 = 0;
c) x 2 + 6 x - y - 12 = 0;
d) x 2 + x + 1 - y = 0;
e) - y 2 + x - 12 = 0;
f) x 2 - 4 y 2 + 4 x - 12 = 0;
2
2
g) ( x + y ) + ( x - y ) - 20 x + 8 y = 6.
63
8) Ache um ângulo apropriado para girar os eixos e eliminar o
termo xy nas equações a seguir; calcule a equação nesses novos
eixos e esboce, então, o gráfico correspondente.
a) 2 xy = 1;
b) 3 x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 4;
c) 2 x 2 + xy + y 2 = 3;
d) 21x 2 - 10 3 xy + 31 y 2 = 144 ;
e) 2 x 2 - 3 xy - 2 y 2 + 10 = 0;
f) x 2 - 3 xy + y 2 + x - y = 1;
g) 16 x 2 + 24 xy + 9 y 2 + 60 x - 80 y + 100 = 0;
h) 3 x 2 - 2 xy + y 2 + 2 x + y = 2;
i) 3 x 2 + 8 xy - 3 y 2 - 4 5 x + 8 5 y = 0;
j) 3 x 2 - 2 3 xy + y 2 + 2 x + 2 3 y = 0.
9) Identifique as cônicas abaixo.
a) x 2 + 2 xy + 9 y 2 + 6 x - 18 y = 100;
b) x 2 + 2 xy + y 2 + 3 x - 2 y = 100;
c) x 2 + 2 xy + y 2 + 3 x - 2 y = 100;
d) x 2 + xy + 3 x - 2 y = 100;
e) ( x + y ) 2 + ( x - y ) 2 - 2 y = 100;
f) x 2 + 4 xy + 4 y 2 + 3x - 2 y = 100.
3.6 Observações finais
1
é a hipérbole
x
cujos eixos de simetria são as retas y = x e y = - x , cujos focos são
(- 2, - 2) e ( 2, 2), e 2a = 2 2 . Há outras funções que podem
ser definidas a partir de elipses e hipérboles, que pertencem à classe
das funções irracionais.
Vimos que o gráfico da função recíproca y =
64
Algumas funções irracionais
Funções do tipo
y - y0 = ± b 1 -
( x - x0 ) 2
, b > 0,
a2
cujos gráficos são semi-elipses, ou funções do tipo
y - y0 = ± b 1 +
( x - x0 ) 2
, b > 0,
a2
cujos gráficos são um dos ramos de uma hipérbole, ou do tipo
y - y0 = ± b
( x - x0 ) 2
- 1, b > 0,
a2
cujos gráficos dão semi-hipérboles, são funções ditas irracionais (lembre-se que c, o raio focal da hipérbole satisfaz a relação
c 2 = a 2 + b 2 ). Observe os gráficos a seguir.
i) y - y0 = -
b
a2 - x2
a
y
x
(−a, y0)
(a, y0)
(0, −b+y0)
Figura 3.16
ii) y =
b
a2 + x2
a
y
(0, b)
x
y= bx
a
y=− b x
a
Figura 3.17
65
iii) y =
b
x2 - a2
a
y
(−a, 0)
y = − ab x
x
(a, 0)
y = ab x
Figura 3.18
Exercício
10) Esboce o gráfico de cada função abaixo.
a) y =
1
;
( x - 1)
1
b) y - 1 = ;
x
c) y - 1 =
1
;
( x - 1)
d) x. y = 0;
e) x. y = 2;
f) x 2 + y 2 = 1, y ≥ 0;
g) ( x - 1) 2 + y 2 = 4, y ≥ 0;
h) y = - 1 - x 2 ;
i) y = 1 - 4 x 2 ;
j) y = -
x 2 - 1;
k) y - 2 = 2
x 2 - 1;
l) y - 2 = 2 1 - x 2 ;
m) y - 2 = 2 1 - 4 x 2 ;
n) y - 2 = 2 1 - 2 x + x 2 ;
o) y - 2 = 2 2 x + x 2 ;
2
x2 - 2x .
p) y - 2 =
3
66
Resumo
• seções cônicas;
• equação de parábola;
• equação de elipse;
• equação de hipérbole;
• rotação de eixos;
• identificação de cônicas a partir dos coeficientes dos seus termos de segundo grau.
Bibliografia comentada
LINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando geometria. São
Paulo: Atual, 1994.
Esse livro é uma coletânea de artigos de professores de ensino médio dos
Estados Unidos. A seção sobre cônicas é ótima, recomendo-a para ser lida
por todos aqueles que querem aprender bastante sobre cônicas. Entretanto,
não apresenta a identificação de cônicas via rotação de eixos.
SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003. (Schaum)
Um dos poucos livros modernos onde se pode ler sobre rotação de eixos e
sua conseqüência no estudo de cônicas. Recomendo, fortemente, a todos
que querem fixar este conteúdo.
Capítulo 4
Vetores
Em Matemática, vetor
tem um sentido bem
mais geral do que o
conceito apresentado
aqui. No entanto, os
vetores em geometria
são fundamentais para a
formação de uma intuição a
respeito desses objetos em
contextos mais avançados.
Capítulo 4
Vetores
Neste capítulo, introduziremos a noção de vetor, que será
de enorme utilidade no estudo da geometria analítica.
4.1 Espaço cartesiano
Na primeira parte deste livro, você estudou Geometria Plana,
utilizando coordenadas cartesianas no plano. Ou seja, no plano euclidiano P, foi fixada uma
de medida e foram fixa unidade
dos dois eixos ortogonais, OX e OY (os eixos coordenados), interceptando-se em um ponto O, a origem.
Escolhido
um ponto P ∈ P,
traçam-se retas perpendiculares
a OX e OY , passando por P,
que interceptam OX e OY nos pontos R e S. Os comprimentos dos
segmentos OR e OS , xP e yP, respectivamente, são ditos as coordenadas cartesianas de P. Associamos assim a todo ponto P ∈ P um
par ordenado ( xP , yP ) de números reais. Note que essa associação
depende sempre da escolha da unidade de medida, dos eixos e da
origem; outras escolhas podem associar coordenadas diferentes a
um mesmo ponto.
Reciprocamente, tendo fixados uma unidade de medida, a origem e
os eixos coordenados, dado um par ( x, y ) de números reais, podese obter, de modo único, um ponto P do plano cuja abscissa é x
e cuja ordenada é y. Em outras palavras, fixado um sistema de eixos
ortogonais no plano, existe uma correspondência biunívoca entre os pontos
do plano e pares ordenados de números reais. Esse é o fato fundamental
que nos permite desenvolver a Geometria Analítica plana.
Passos inteiramente análogos podem ser utilizados para estudar a
E, fixados três eixos muGeometria Espacial. No
espaço
euclidiano
tuamente ortogonais OX , OY e OZ intersectando-se na origem O ,
dado um ponto P ∈ E, podem se traçar uma reta perpendicular ao
eixo
OZ
e uma outra reta perpendicular ao plano contendo as retas
OX e OY , o plano XY, passando por P.
70
O comprimento do segmento que vai da origem ao ponto de interseção da primeira perpendicular com o eixo OZ , z P é dito a cota de
P. A segunda perpendicular intersecta o plano XY em um único
ponto, digamos
Aseguir, por este ponto traçamos retas perpen P '.
diculares a OX e OY , interceptando esses eixos em pontos cujas
distâncias até a origem são xP e yP, respectivamente a abscissa e a
ordenada de P. Os números reais xP , yP e z P são as coordenadas cartesianas de P no espaço (ver figura 4.1). Associamos, assim, a todo
ponto P ∈ P um terno ordenado ( xP , yP , z P ) de números reais. Novamente, essa associação depende sempre da escolha dos eixos e da
origem; outras escolhas associariam outras coordenadas ao mesmo
ponto. Usaremos ainda a notação P ( x, y, z ) para indicar que o ponto
P do espaço tem coordenadas cartesianas x, y e z.
z
zp
P(xp , yp , zp)
yp
y
xp
x
Figura 4.1
Exemplo: Uma sala tem 6m de largura por 8m de comprimento e
4m de altura. Estabelecer um sistema adequado de eixos e dar as
coordenadas dos seguintes pontos:
a) dos oito cantos da sala;
b) do ponto de interseção das diagonais do piso;
c) de um ponto situado a 2m de altura e sobre a vertical que contém a interseção das diagonais do plano.
71
z
8
P7
P8
6
P
P6
P5
P4
P1
4
x
y
D
P2
P3
Figura 4.2
Resolução:
a) Embora possamos escolher um sistema de coordenadas de várias maneiras, a escolha de um dos cantos inferiores da sala é a mais simples.
Pela simetria da sala, é natural também que alinhemos os eixos ao
longo das três arestas da sala concorrentes com o canto que tomamos como origem.
Um sistema assim está mostrado na fig. 4.2. Em relação a tal sistema,
temos as seguintes coordenadas para os cantos da sala:
P1 (0, 0, 0), P2 (6, 0, 0), P3 (6,8, 0), P4 (0,8, 0),
P5 (6, 0, 4), P6 (6,8, 4), P7 (0,8, 4), P8 (0, 0, 4).
b) Uma vez que o ponto procurado D está no plano XY , sua terceira
coordenada é nula, isto é, z D = 0. As coordenadas xD e yD de D
são, respectivamente, 3 e 4, como mostra a fig. 4.3. Logo D(3, 4, 0).
D1
D4
4
3
P
D2
8
x
Figura 4.3
6
D3
y
72
c) As duas primeiras coordenadas do ponto buscado P coincidem com
as de D, pois P e D estão em uma mesma vertical. A terceira coordenada de P é 2 porque P está situado duas unidades acima do
plano XY . Logo, P (3, 4, 2).
Exercícios
1) Representar graficamente os seguintes pontos:
A(1,3, 2) , B (0, −1, 0) , C (−2, 0,1) .
2) Representar graficamente:
a) A reta definida pelos pontos A(2,1,3) e B (4,5, −2) .
b) O plano definido pelos pontos A(0, 0,3) , B (2,3,1) e C (0,3, 4).
3) Descreva e represente graficamente os seguintes conjuntos de
pontos:
a) A = {( x, y, z ) : x = y = 0};
b) B = {( x, y, z ) : x = 2 e y = 3};
c) C = {( x, y, z ) : z = 1};
d) D = {( x, y, z ) : x 2 + y 2 = 1}.
4.2 Vetores na geometria analítica
Poderíamos estudar geometria analítica espacial do mesmo modo
como estudamos a plana. Vamos, porém, escolher um caminho diferente. Vamos construir um sistema cartesiano de coordenadas para
o espaço a partir da noção de vetor. Veremos que isso nos permitirá
calcular distâncias entre ponto e reta, entre ponto e plano, etc, de
uma forma mais concisa e eficiente.
4.2.1 Vetores e a Física
Em cursos básicos de Física, é estabelecida uma distinção entre
grandezas escalares e vetoriais. Grandezas escalares (por exemplo,
a temperatura) são especificadas se damos um número (sua mag-
73
nitude) e uma unidade de medida. No caso de grandezas vetoriais,
por outro lado, além de sua magnitude (em uma unidade de medida), requer-se que conheçamos sua direção e sentido espaciais, para
uma descrição completa. Os exemplos mais comuns de tais grandezas são velocidade e força.
Suponha que seu professor de Física apresentasse para você o seguinte esquema (ver figura 4.4): 3 vistas superiores de um mesmo bloco de
massa m sobre uma mesa sem atrito, sendo puxado por duas cordas
com força de magnitude F nos sentidos indicados pelas setas.
45°
m
m
m
45°
A
B
C
Figura 4.4
Esses conceitos (direção
e sentido) às vezes são
tomados como sinônimos
na linguagem corrente,
mas nosso exemplo
ilustra como é importante
diferenciá-los em ciência.
Suponha que seu professor, então, lhe pedisse para descrever como
seria o movimento, usando as leis de Newton. Independentemente
de sua desenvoltura com a Física, você provavelmente se dará conta que, embora as forças sejam as mesmas em magnitude nos três
casos, o movimento resultante é bastante distinto. O caráter vetorial
da força manifesta-se justamente nessa dependência da direção e
sentido, ao contrário da massa - se dissermos que m = 3 kg, temos
toda informação necessária a respeito da mesma. Note ainda que
nos esquemas (b) e (c) da figura 4.4, a direção é a mesma, mas não o
sentido das forças, e isso faz diferença para o movimento.
Outro aspecto fundamental a respeito das grandezas vetoriais, que
é ilustrado na figura 4.4, é como estas se compõem, ou se combinam.
Se juntarmos dois blocos de 2 kg, podemos considerar o composto
como um único bloco de 4 kg. A composição ou adição de forças, por
outro lado, para obter a chamada força resultante é bastante distinta,
e mais complicada, pois devem se levar em consideração a direção e
o sentido daquelas.
74
Para fornecer uma descrição quantitativa de grandezas escalares
e vetoriais, fixado um sistema de unidades, precisamos, portanto,
considerar objetos matemáticos bem distintos: no primeiro caso, números reais; no segundo caso, os vetores. Estes últimos devem ter
associados a eles, num sentido a ser tornado preciso, um número
real dando sua magnitude, além de sua direção e sentido. Por outro lado, deverá estar definida uma operação entre vetores para obter outro vetor, de forma que se possa reproduzir, abstratamente, o
modo como compomos forças na Natureza.
4.2.2 Vetores e a Geometria Euclidiana
A área da Matemática onde a noção de vetor pode ser mais naturalmente definida é a Geometria. Afinal, magnitude, direção e sentido são noções de forte apelo geométrico. Algumas observações de
caráter metodológico podem ser feitas aqui. É comum representar
um vetor por uma seta, ou segmento de reta orientado, e o faremos
normalmente a seguir. No entanto, é fundamental que o estudante
tenha em mente a distinção entre um vetor, que é um objeto matemático que pode ser definido de forma precisa, e sua representação
gráfica, que é um risco em papel. É comum, nos cursos de Física, e
mesmo nas partes práticas do curso de Geometria Analítica, que nos
contentemos com uma noção intuitiva, cuja importância é inegável.
Na Ciência, no entanto, e principalmente na Matemática, uma boa
definição é fundamental. Antes de definirmos vetor, vamos lembrar
os elementos que nossa definição deve contemplar:
• um vetor deve ter magnitude, direção e sentido;
• devemos ser capazes de operar com vetores, obtendo outros
vetores.
A fim de comparar a magnitude e o sentido de vetores com a mesma
direção, é conveniente termos ainda uma operação correspondente
para aumentar ou diminuir a magnitude de um vetor, ou mudar seu
sentido, o que será feito operando números com vetores, obtendo
novos vetores. Consideraremos vetores na Geometria espacial. Podemos começar com a seguinte
Definição Provisória. Um vetor é um par ordenado ( A, B) de pontos do espaço.
75
Você pode perguntar: “Por que par ordenado? Não era para ser
um segmento de reta orientado?” Bem, há uma boa definição de
segmento (não orientado) na geometria, a saber
AB = { A, B} ∪ {C : C está entre A e B}.
B
A
Figura 4.5 - Representação
gráfica de um vetor
no plano.
A relação “estar entre” é um conceito primitivo em Geometria Euclidiana, isto é, não é definido. Agora, o uso de par ordenado serve
para dar conta da noção de orientação do vetor. De fato, podemos
representar um par ordenado ( A, B) graficamente com uma seta
dirigida do ponto A ao ponto B (ver figura 4.5). Podemos então
entender o segmento orientado de A a B como sendo dado pelo par
( A, B) de pontos.
Dessa forma, além de curta e precisa, nossa definição ainda admite
a visualização intuitiva usual.
Um pouco de reflexão, no entanto, mostra que essa definição não
pode funcionar como está. Duas setas com mesmo comprimento,
direção e sentido em posições distintas do espaço corresponderiam
a pares ( A, B) e (C , D) distintos, e portanto a vetores distintos. Isso
significa que magnitude, direção e sentido não seriam suficientes
para especificar o vetor nesta definição. Em suma, uma boa definição de vetor deve ser tal que a especificação do vetor depende
somente de seu módulo, direção e sentido. Em particular, na representação gráfica, setas com mesma magnitude, direção e sentido representariam o mesmo vetor (ver figura 4.6).
1 unidade
1 unidade
1 unidade
Figura 4.6 - Setas com mesmo comprimento, direção
e sentido devem representar o mesmo vetor.
B) e (C , D) na figura 4.7 não são colineNote que os segmentos
( A,
ares, isto é, as retas AB e CD não são as mesmas. Todavia, os seg-
76
mentos têm mesmo comprimento, mesma direção (lados opostos de
um paralelogramo) e mesmo sentido.
B
D
C
A
Figura 4.7 - Um paralelogramo.
Lembremo-nos da seguinte caracterização de um paralelogramo:
Proposição 4.1. Um quadrilátero é um paralelogramo se, e somente
se, suas diagonais cortam-se mutuamente em seus pontos médios.
Demonstração: Ver em [1].
A seguinte definição resume de modo preciso e rigoroso o que significa para dois segmentos orientados ter mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido. Nesse caso, diremos que os segmentos
são equipolentes:
Definição 4.1. Seja ( A, B) um segmento orientado, em que A ≠ B.
Diremos que um segmento orientado (C , D) é equipolente a ( A, B),
em símbolos
(C , D) ( A, B ),
se os segmentos (não orientados) AD e CB têm o mesmo ponto médio. Se A = B, diremos que (C , D) é equipolente a ( A, B) se C = D.
A figura 4.7, juntamente com a Proposição 4.1, esclarece porque essa
definição funciona no caso de segmentos não colineares. Você pode
se convencer, fazendo alguns desenhos, nos quais a definição garante que segmentos colineares que possuem mesmo comprimento,
direção e sentido serão equipolentes.
Exercício
4) Sejam ( A, B), (C , D) e ( E , F ) segmentos orientados arbitrários.
Verifique graficamente as relações abaixo no conjunto dos segmentos orientados do espaço.
77
i) ( A, B ) ( A, B );
ii) Se ( A, B ) (C , D), então (C , D) ( A, B );
iii) Se ( A, B ) (C , D) e (C , D) ( E , F ), então ( A, B ) ( E , F ) .
(As propriedades (i), (ii) e (iii) significam que a relação de equipolência
é uma relação de equivalência)
Definição 4.2. Seja ( A, B) um segmento orientado. A classe de equipolência de ( A, B) é o conjunto
AB = {(C , D) segmento orientado: (C , D) ( A, B)}.
Exercício
5) Use o exercício anterior para mostrar que se ( A, B) e (C , D) são
segmentos orientados,
AB ∩ CD ≠ ∅ ⇒ AB = CD
ou seja, classes de equipolência ou são disjuntos ou do contrário são iguais. Conclua que
( A, B ) (C , D) ⇔ AB = CD.
Definição 4.3. Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados.
Esta definição significa que cada vetor deve ser pensado como
uma coleção de setas, ao invés de uma única seta. Cada seta, ou
mais precisamente cada segmento orientado equipolente ao
segmento orientado ( A, B), é um representante do (mesmo) vetor AB.
Um destaque especial deve ser dado à classe de equipolência dos
pares da forma ( A, A): esta é, por definição, o vetor nulo. Seus representantes podem ser representados graficamente por pontos. Re
presentaremos esse vetor por 0. Quando não quisermos enfatizar
representantes, denotaremos vetores por u , v, w,.
Dado um vetor v , e qualquer representante ( A, B), note que o comprimento | AB | do segmento AB é o mesmo de qualquer outro representante, pois se ( A, B ) (C , D ), então | AB | = | CD | .
78
Um fato que será fundamental para nós é o seguinte:
Teorema 4.1. Dado um segmento orientado ( A, B) e um ponto O,
existe um único ponto X tal que ( A, B ) (O, X ).
Demonstração: Se A = B , pomos X = O. Se A ≠ B, temos dois casos: O não é colinear com A e B, ou é. No primeiro caso, X é simplesmente o quarto vértice do paralelogramo do qual AB e AO são
lados consecutivos. O segundo caso tem dois subcasos:
i) A está entre O e B , O = A ou O está entre A e B . Neste caso,
tome a semi-reta de O a B e X o único ponto tal que o segmento
OX seja congruente a ( A, B ) (no caso O = A, temos claramente
X = B ).
ii) O = B ou B está entre A e O . Neste caso, tome a semi-reta oposta
à semi-reta que vai de O a A e o ponto X como o único ponto tal
que o segmento OX seja congruente a AB.
■
Em particular, se v é um
vetor e O um ponto, então existe um único
ponto X tal que v = OX . Reciprocamente, fixado o ponto O, para
cada ponto X existe um único vetor que tem
(O, X ) como representante, a saber a classe de equipolência OX . Isso significa que,
fixado um ponto O , existe uma correspondência biunívoca entre
vetores e pontos. Esse fato será fundamental para compreender o
que virá a seguir.
4.2.3 Operações com vetores
Além de uma definição adequada de vetores, temos que operar com
eles de modo conveniente. Historicamente, a motivação para essas
definições é que as mesmas reproduzem adequadamente o comportamento de grandezas vetoriais na Física e na Engenharia.
A primeira dessas operações é a chamada soma ou adição de vetores.
O porquê desse nome é que essa operação, como veremos, satisfaz
propriedades algébricas muito parecidas com as da adição de números reais.
79
Sejam u e v vetores. Escolha um ponto O arbitrariamente.
Pelo Teorema 4.1, existem únicos pontos X e Y tais que u = OX e v = OY .
Tomando Y como referência, existe, pelo mesmo teorema, um único
(Y , Z ) (O, X ). Por definição, a soma de u e v é o veZ
ponto
tal que
tor OZ . Esse vetor soma é denotado por u + v. No caso em que O, X ,
Y são não colineares, Z é o quarto vértice do paralelogramo cujos
lados adjacentes são OX e OY (fig. 4.8). Por isso, a regra para obter o
vetor soma é chamada regra do paralelogramo.
z
x
u
v
O
u+v
y
Figura 4.8
A figura 4.8 também deixa claro que se tivéssemos escolhido X
como referência e tomado o único ponto W tal que ( X , W ) (O, Y ),
então W = Z . Isto significa que a soma de vetores é comutativa, isto
é, u + v = v + u. É possível, embora um tanto trabalhoso, mostrar
que, se escolhêssemos um outro ponto O ', e pontos X ' e Y ', obteríamos, repetindo o processo descrito acima, um ponto Z ' tal que
(O ', Z ') (O, Z ), definindo portanto a mesma classe de equipolência,
isto é, o mesmo vetor. Isso significa que o vetor soma u + v não depende do ponto de referência O, somente de u e v .
Sendo 0 o vetor nulo, v + 0 = 0 + v = v, para qualquer vetor v. O vetor nulo, funciona então como o elemento neutro para a operação de
adição de vetores. Será que essa operação tem elementos inversos?
Ou seja, dado um vetor v, será que existe um vetor oposto −v tal
que v + (−v) = (−v) + v = 0 ? A resposta é sim. Seja ( A, B) um representante qualquer de v . Defina −v como a classe de equipolência do
segmento orientado ( B, A). Representantes de −v são representados
graficamente por setas com mesmo comprimento e direção de representantes de v, mas com sentido oposto. Enfatizamos que a esta
altura −v é somente uma notação para o oposto, ou inverso aditivo,
de v. Ainda não falamos da multiplicação de vetores por números,
de modo que a priori não faz sentido (ainda) dizer que −v = (−1) ⋅ v .
80
Exercício
6) Verifique, escolhendo um ponto de referência O , que
v + (−v) = 0.
Outra propriedade da adição de vetores que é idêntica a operações
com números, é a associatividade: (u + v) + w = u + (v + w), para quaisquer vetores u, v, w. Não demonstraremos esta propriedade, mas a
ilustramos na figura 4.9.
v
u
u+v
v+w
w
(u+v)+w = u+(v+w)
Figura 4.9
Em resumo, temos as seguintes propriedades da soma de vetores:
(A1) (Comutatividade) u + v = v + u, para quaisquer vetores u, v.
(A2) (Associatividade) (u + v) + w = u + (v + w), para quaisquer vetores u, v, w.
0 é o vetor nulo, v um vetor qualquer,
(A3) (Elemento
neutro)
Se
v + 0 = 0 + v = v.
(A4) (Inverso aditivo) Dado qualquer vetor v, existe um vetor −v
tal que v + (−v) = (−v) + v = 0.
Exercício
7) Seja w um vetor tal que para todo vetor v, v + w = w + v = v.
Mostre, usando apenas as propriedades (A1) − (A4), que w = 0.
Ou seja, o elemento neutro da adição é único. Seja v um ve
w, w ' vetores tais que v + w = w + v = 0
tor qualquer, e sejam
e v + w ' = w '+ v = 0. Mostre, novamente usando apenas as propriedades (A1) − (A4), que w = w '. O inverso aditivo de cada
vetor v é portanto único, justificando nossa notação −v.
Tendo definido adição de vetores e obtido suas propriedades, é natural definir a subtração de vetores u, v quaisquer pondo u − v = u + (−v).
81
u−v
u
v
Figura 4.10
A interpretação geométrica, no caso em que u e v são não nulos e
com direções distintas, está ilustrada na figura 4.10.
As seguintes propriedades da subtração de vetores podem ser facilmente mostradas, utilizando-se a definição e as propriedades
(A1) − (A4) da adição:
(S1) v − v = 0, para qualquer vetor v;
(S2) u − v = −(v − u ), para quaisquer vetores u, v;
(S3) (u − v) + (v − w) = u − w, para quaisquer vetores u, v, w.
Por exemplo, para checar a propriedade (S2) assumindo (S1) e (S3),
basta notar que (v − u ) + (u − v) = v − v = 0 e, portanto, u − v = −(v − u )
pela unicidade do elemento inverso aditivo.
Outra operação fundamental de vetores é multiplicação por esca
lar. Seja v um vetor, ∈ . Se = 0, definimos ⋅ v = 0 (vetor nulo).
Tome ( A, B) um representante qualquer de v . Se > 0, tome B '
na semi-reta de A a B tal que . | AB | = | AB ' |. Se < 0, tome B '
na semi-reta oposta à semi-reta de A a B tal que | | . | AB | = | AB ' |
(figura 4.11). Então definimos ⋅ v como a classe de equipolência
do segmento orientado ( A, B '). Novamente é possível mostrar que
essa definição não depende da escolha do representante de v, pois
se adotássemos um outro segmento orientado (C , D) equipolente a
( A, B), e aplicássemos o processo acima, obteríamos um segmento
(C , D) equipolente a ( A, B '). A demonstração desse fato, bem como
das propriedades abaixo, usando apenas Geometria Euclidiana é
bastante elaborada e a omitiremos.
λ·v
A
λ·v
v
λ<0
v
B
0<λ<1
Figura 4.11
λ·v
v
C
λ>1
82
Propriedades da multiplicação por escalar:
(M1) ( ) ⋅ v = ⋅ ( ⋅ v), para quaisquer números reais ,
e vetor v.
(M2) ( + ) ⋅ v = ⋅ v + ⋅ v , para quaisquer números reais , e
vetor v.
(M3) ⋅ (u + v) = ⋅ u + ⋅ v, para quaisquer número real e u, v
vetores.
(M4) 1 ⋅ v, para qualquer vetor v.
Como você aprenderá com detalhes em Álgebra Linear, o conjunto
dos vetores, munido da operação de soma satisfazendo (A1) − (A4) e
multiplicação por escalar satisfazendo (M1) − (M4), é um exemplo de
um tipo de estrutura matemática conhecida como espaço vetorial. De
fato, esse nome se deve justamente ao reconhecimento de que as propriedades abstratas da soma e multiplicação por escalar de vetores,
como definidos aqui via Geometria, estão presentes em muitas outras
situações na Matemática. Veremos um outro exemplo mais adiante.
4.2.4 Norma de um vetor
Dado um vetor v , o comprimento de qualquer segmento orientado
que o represente é o mesmo. Para falarmos na medida desse segmento, precisamos escolher uma unidade de medida. Assim, vamos
escolher um vetor não nulo u para ser um vetor unitário. Assim,
todo segmento congruente a qualquer representante seu será um
segmento de medida igual a 1.
Considere, agora, um vetor qualquer v . Se v for o vetor nulo, definimos sua norma como sendo o escalar 0 (zero). Se v for diferente
do vetor nulo, existe um vetor unitário u colinear com v (por que?).
Pela definição de produto por escalar, existe um escalar t tal que
v = t u. Define-se norma do vetor v , denotando-se por , como
sendo o módulo de t. Isto é,
=| t |.
O leitor pode verificar as seguintes propriedades:
83
1) (∀) || v || ≥ 0;
2) || || = 0 ⇔
= 0;
3) (∀ t ∈ ) || t || = | t | || ||;
4) se ≠ 0,
= 1.
|| ||
4.2.5 Produto interno
Como você terá a
oportunidade de aprender
em uma disciplina de
Álgebra Linear, a noção
de produto interno é
muito mais geral do que
a que apresentamos aqui.
Em particular podemos
introduzir várias operações
entre vetores do espaço
que merecem, nessa
acepção mais geral, ser
chamadas de produto
interno. O produto
interno que definimos
aqui é freqüentemente
chamado o produto
interno usual do 3 .
Uma terceira operação entre vetores extremamente útil geometricamente é o chamado produto interno. Antes de introduzi-la, precisamos da definição de ângulo entre vetores.
Definição 4.4. Sejam u e v vetores não nulos no plano. Seja Aum
u
=
AB
C
ponto
qualquer.
Sejam
e
os
únicos
pontos
tais
que
e
B
ˆ
v = AC . O ângulo entre u e v é a medida ∈ [0, ] do ângulo BAC.
Note que escolhas diferentes do ponto A resultam em ângulos congruentes e, portanto, de mesma medida. Logo, a medida só depende
dos vetores u e v, e não de seus representantes. Diremos que dois
vetores u e v, não nulos, são paralelos se o ângulo entre eles é 0
ou . Diremos que são ortogonais se = . É conveniente incluir
2
na discussão o vetor nulo: dizemos que, por definição, o vetor nulo é
ortogonal a todo vetor.
Definição 4.5. Sejam u e v vetores no espaço. Seu produto interno,
denotado por u, v , é definido por
• u , v := u v cos , se u e v são ambos não nulos, em que é
o ângulo entre u e v;
• u , v := 0 , se u, ou v, for nulo.
Note que, ao contrário das operações definidas anteriormente, o resultado do produto interno entre dois vetores é um número real e
não um vetor e, portanto, não é um produto no sentido usual. Mas a
expressão já está consagrada e a mantemos.
84
O produto interno satisfaz as seguintes propriedades:
1) (∀ v)
2
v,v = v ;
2) u , v = v, u (simetria);
3) (∀ t )
tu , v = u , tv = t u , v (homogeneidade);
4) u , v + w = u , v + u, w (distributividade).
A demonstração de algumas dessas propriedades podem ser encontradas em [2].
Note que a propriedade da desigualdade triangular,
|| u + v || ≤ || u || + || v ||
pode ser demonstrada facilmente, utilizando-se as propriedades 1,
2 e 4 (deixo-a ao leitor).
4.2.6 Dependência linear
Seja v um vetor. Sejam v1 ,..., v n n vetores. Dizemos que v é uma
combinação linear dos vetores v1 ,..., v n se existem escalares t1 ,..., t n
tais que v = t1v1 + ... + t n v n. Por exemplo, se v = 3u, dizemos que v é
uma combinação linear de u. Outro exemplo: o vetor zero é combi
nação linear de quaisquer n vetores v1 ,..., v n, pois 0 = 0.v1 + ... + 0.vn .
Observe que o zero à esquerda da equação é o vetor zero; os zeros à
direita são escalares.
Vamos falar agora sobre dependência linear entre vetores. Por definição, o conjunto formado apenas pelo vetor nulo é um conjunto
linearmente dependente (abreviadamente, LD). Os conjuntos formados por um único vetor não nulo são todos linearmente independentes (abreviadamente, LI).
Definição 4.6. Um conjunto de n vetores, n > 1, é linearmente dependente se pelo menos um deles for combinação linear dos outros.
Neste caso, dizemos também que os vetores são linearmente dependentes. Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente, ou que os vetores são linearmente independentes.
85
Proposição 4.2. Um conjunto de n vetores, v1 ,..., v n , é LI se, e somente se, a única forma do vetor zero se escrever co mo combinação
linear de v1 ,..., v n é a trivial, isto é, 0 = 0.v1 + ... + 0.vn.
A demonstração desse teorema é simples: suponha que os vetores
v1, é combinação linear dos ousejam LD. Então um deles, digamos
tros: v1 = t 2 v 2 + ... + t n v n. Ou seja, 0 = 1.v1 + (−t2 ).v2 + ... + (−tn ).vn . Logo,
o vetor zero se escreve de modo não trivial como combinação linear de v1 ,..., v n . Reciprocamente, suponha
que o vetor zero se escre
va de forma não trivial, digamos 0 = t1.v1 + t2 .v2 + ... + tn .vn , em que
t
t
t1 ≠ 0 (sem perda de generalidade). Logo, v1 = − 2 v 2 + ... + − n v n ,
t1
t1
ou seja, v1 é combinação linear dos outros vetores, o que significa
que v1 ,..., v n são LD.
Um corolário dessa proposição é o seguinte:
Corolário 4.1. Se v é combinação linear de n vetores, v1 ,..., v n, e
v1 ,..., v n são linearmente independentes, então essa combinação linear é única, no sentido que, se v = t1v1 + ... + t n v n = s1v1 + ... + s n v n
então t1 = s1 , ..., t n = s n .
A prova segue do fato que 0 = (t1 − s1 ).v1 + ... + (tn − sn ).vn e, como
v1 ,..., v n são LI, t1 − s1 = 0, ... , t n − s n = 0 .
O conceito de dimensão
algébrica de um espaço
vetorial será visto com
cuidado nas disciplinas de
Álgebra Linear.
Note que um conjunto que contenha o vetor nulo é sempre LD (por
quê?). Vemos, também, que dois vetores não nulos são linearmente dependentes se, e somente se, são colineares. Podemos concluir,
ainda, que três vetores não nulos são LD se, e somente se, são coplanares. Logo, três vetores não nulos são LI se, e somente se, quaisquer
representantes deles originados em um ponto qualquer do espaço
formam um triedro, ou seja, cada par de representantes estão em
planos distintos. Um fato importante: no espaço, quatro vetores são
sempre LD e o número máximo de vetores LI é três. Por isso, dizemos que a dimensão algébrica do espaço é três.
Proposição 4.3. Sejam v1 , v 2 , v3 três vetores LI do espaço. Então qualquer vetor é uma combinação linear desses vetores (isso implica que
quatro vetores do espaço são LD).
86
v
A prova dessa proposição é
geométrica.
Seja
um vetor qualquer.
Tome um ponto A, e sejam AB, AC , AD e AP representantes para
v1 , v 2 , v3 e v, respectivamente. Por P, passe um plano paralelo ao
plano que contém AB e AC. Esse plano vai cortar a reta que contém AD em um ponto D'. Analogamente, seja B' o ponto resultante
da interseção do plano paralelo a AC e AD, que passa por P, com a
reta que contém AB, e C' o ponto resultante da interseção do plano paralelo a AB
e AD,
passa
por
que
P, com a reta que contém
AP
AC ' + AD
AC. Afirmo que
um de = AB
' +
' (verifique,
fazendo
senho). Como AB ' = t1 AB, AC ' = t2 AC e AD ' = t3 AD, temos que
v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3.
Observação: Por causa da Proposição 4.3, dizemos que 3 vetores LI
do espaço geram o espaço euclidiano. Note, também, que a combinação é única, pela Proposição 4.2. Isso motiva as seguintes definições:
Definição 4.7. Sejam v1 , v 2 , v3 vetores LI do espaço. Então o conjunto
desses vetores é dito uma base do espaço.
Definição 4.8. Seja = {v1 , v2 , v3 } uma base do espaço. Então, dado
um vetor v qualquer do espaço, existem únicos escalares t1 , t 2 , t 3
tais que v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3. Dizemos que t1 , t 2 , t 3 são as coordenadas
de v na base e escrevemos (v) = (t1 , t2 , t3 ).
4.2.7 Base ortonormal
Um conjunto de vetores unitários (isto é, que têm norma igual a 1),
que são ortogonais dois a dois, é dito um conjunto ortonormal de
vetores.
Proposição 4.4. Se {v1 , v2 , v3 } é um conjunto ortonormal de vetores
do espaço, então {v1 , v2 , v3 } é uma base.
A demonstração segue do fato que, se 0 = t1v1 + t2 v2 + t3v3 ,
0, vk = t1. v1 , vk + t2 . v2 , vk + t3 . v3 , vk , para todo k. Mas, como
o conjunto é ortonormal, essa equação é equivalente à equação
0 = tk . vk , vk = tk . Ou seja, o vetor zero só se escreve da forma trivial
como combinação linear de {v1 , v2 , v3 }.
87
O teorema abaixo nos mostra como calcular produtos internos de
vetores escritos como combinações de vetores de uma base ortonormal.
Teorema 4.2. Seja {v1 , v2 , v3 } uma base ortonormal de vetores do espaço. Então, se u = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3 e v = s1v1 + s 2 v 2 + s3 v3, temos que
u , v = t1s1 + t2 s2 + t3 s3 .
Demonstração:
u , v = t1v1 + t 2 v 2 + t 3 v3 , s1v1 + s 2 v 2 + s3 v3 =
= t1 s1 v1 , v1 + t1 s 2 v1 , v 2 + t1 s3 v1 , v3 + t 2 s1 v 2 , v1 + t 2 s 2 v 2 , v 2 + t 2 s3 v 2 , v3 +
= t1 s1 v1 , v1 + t1 s 2 v1 , v 2 + t1 s3 v1 , v3 + t 2 s1 v 2 , v1 + t 2 s 2 v 2 , v 2 + t 2 s3 v 2 , v3 ++ t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1
+ t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1 + t 2 s 2 + t 3 s3
+ t 3 s1 v3 , v1 + t 3 s 2 v3 , v 2 + t 3 s3 v3 , v3 = t1 s1 + t 2 s 2 + t 3 s3 .
■
4.2.8 Orientação do espaço
Seja {v1 , v2 , v3 } uma base do espaço. Dizemos que essa base é positiva se ela satisfaz à chamada regra da mão direita. Esta regra é muito
utilizada em Física.
Vamos
supor que temos
três
representantes para
AB, AC e AD . Vamos
esses vetores:
girar AB (no sentido do menor
AB e AC ) até AB coincidir com um vetor colinear
ângulo
entre
com AC , com a mão direita apoiada no plano determinado por AB e
AC. Se o dedo
polegar da mão direita apontar para o mesmo lado do
plano que AD, então dizemos que os três vetores satisfazem a regra
da mão direita. Observe que, para orientação, a ordem dos vetores
é importante. Assim, representaremos a base {v1 , v2 , v3 } do espaço
com orientação (positiva ou negativa) pelo triedro (v1 , v2 , v3 ).
4.2.9 Sistema cartesiano de coordenadas
no espaço
Vamos escolher um ponto O do espaço, ao qual chamaremos
de
{
i
,
j
,
k
}
origem. Tomemos uma base ortonormal positiva,
, e seus
88
representantes OX , OY e OZ . A cada
P do espaço vamos
ponto
associar as coordenadas do vetor OP = xi + y j + zk em relação a
essa
de vetor,
escreveremos
base: P ( x, y, z ). Para diferenciar
ponto
OP = ( x, y, z ), para indicar que OP
= xi + y j + zk . Observe que, daa, b, c) e Q( x, y, z ), o vetor PQ é dado pela diferença entre o
dos P(
vetor OQ e o vetor OP : PQ = OQ − OP. Logo,
PQ = ( x − a, y − b, z − c).
Assim, é possível computar, por exemplo, o ângulo entre dois vetores, se conhecemos suas componentes. Em particular, é possível
determinar quando dois vetores são ortogonais, pois isso ocorrerá
se, e somente se, seu produto interno for zero.
Exemplo: Prove que o triângulo de vértices A(2,3,1), B(2,1, −1) e
C (2, 2, −2) é um triângulo retângulo.
Resolução: Devemos calcular produtos internos entre os vetores que
determinam os lados do triângulo a fim de descobrir se algum deles
é zero.
Podemos tomar os vetores:
AB = (0, −2, −2);
AC = (0, −1, −3);
BC = (0,1, −1);
ou os opostos destes. Temos, portanto:
AB, AC = 0 ⋅ 0 + (−2) ⋅ (−1) + (−2) ⋅ (−3) = 8 ≠ 0,
AB, BC = 0 ⋅ 0 + (−2) ⋅1 + (−2) ⋅ (−1) = 0.
Logo, o ângulo entre AB e BC é reto, com vértice B.
Assim, o ∆ ABC é retângulo.
4.2.10 O produto vetorial
Enquanto o produto interno fornece um número, nossa próxima
operação com vetores resulta em um vetor, sendo por isso chamada
de produto vetorial. Ao contrário do produto interno, esta é uma ope-
89
ração genuína entre vetores, que tem algumas propriedades pouco
usuais: o produto vetorial não é comutativo, nem associativo!
Geometricamente, o produto vetorial aparece devido à seguinte
questão: como obter um vetor w = ( x, y, z ) que seja simultaneamente
perpendicular a dois vetores u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) dados?
Devemos ter que u , w = 0 e v, w = 0 e, portanto, o sistema
u1 x + u2 y + u3 z = 0,
v1 x + v2 y + v3 z = 0.
Este sistema admite uma infinidade de soluções. Uma delas é
x = u2 v3 − u3v2
y = u3v1 − u1v3
z = u1v2 − u2 v1
como você pode facilmente verificar. Claro que qualquer múltiplo
do vetor w assim obtido será também solução. Essa forma da solução, no entanto, é a mais conveniente, por razões que ficarão mais
claras à medida que prosseguirmos.
Definição 4.9. Sejam u = (u1 , u2 , u3 ) e v = (v1 , v2 , v3 ) vetores quaisquer.
O produto vetorial de u e v é o vetor
u × v = (u2 v3 − u3v2 , u3v1 − u1v3 , u1v2 − u2 v1 ) .
u×v
v
u
Figura 4.12 - O produto
vetorial.
Usando a definição de produto vetorial, obtemos que u , u × v = 0
v é a da normal
e v, u × v = 0, ou seja, que a direção do vetor u ×
do plano que contém O, X e Y , pontos tais que OX e OY são representantes de u e v , respectivamente. Veremos na próxima seção
que o sentido de u × v é dado pela regra da mão direita, isto é, u × v
é um vetor ortogonal a u e v de tal modo que o triedro (u , v, u × v) é
positivo (ver figura 4.12).
Uma forma mais mnemônica de apresentar a definição 4.9 é a
seguinte.
Considere i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0), k = (0, 0,1). Sabemos que
i = j = k =1
1) 2
90
e que esses vetores sãodois a dois ortogonais. Pela nossa notação,
( x, y, z ) = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k . Vamos considerar
i
j
u1 u2
v1 v2
k
u3
v3
(*)
como se fosse o determinante de uma matriz 3 × 3 sobre o conjunto
dos números reais, desenvolvendo pela primeira linha:
i
j
u1 u2
v1 v2
k
u3
v3
i u j u k u u u u
2
3
u 1 u3 u 1 u 2 u u
u=1 v u2 v u⋅3i =− v2 v3 ⋅⋅ ij ++ v1 v3 ⋅⋅ kj += 1 2 ⋅ k =
2
3
v21 v33
v11 v32
v1 v2
v1 v2 v3
= (u2 v3 − u3v2 ) ⋅ i + (u3v1 − u1v3 ) ⋅ j + (u1v2 − u2 v1 ) ⋅ k .
Note que a última expressão é u × v .
É importante perceber que esta é apenas uma regra para auxiliar a
memorização, e não um procedimento matemático bem definido.
De fato, até aqui você só estudou matrizes com entradas reais, e não
uma matriz que mistura números reais e vetores do espaço!
Outro ponto muito importante é a ordem de u e v ao escrever o
determinante (*). Você deve lembrar que, ao trocar duas linhas, o
determinante de uma matriz muda de sinal. Se você deseja calcular
u × v , escreva as componentes de u na segunda linha e as de v na
terceira, e troque as linhas para calcular v × u.
Exemplo: Vamos computar o produto vetorial de u = (5, 4,3) e
v = (1, 0,1) .
i j k
4 3 5 3 5 4
5 4 3 =
⋅i −
⋅j+
⋅k =
0 1
1 1
1 0
1 0 1
4 3
5 3
5 4
⋅ i + (−1)3
⋅ j + (−1) 4
⋅ k = 4 ⋅ i + (−2) ⋅ j + +(−4) ⋅ k = (4, −2, −4)
0 1
1 1
1 0
Se trocarmos a ordem dos vetores, no entanto, temos:
91
i
j k
1 0
1 =
0 1 1 1 1 0
⋅i −
⋅j+
⋅k =
4 3
5 3
5 4
5 4 3
i j k
0 1
1 1
1 0
1 0 1 = (−1) 2
⋅ i + (−1)3
⋅ j + (−1) 4
⋅ k = (−4) ⋅ i + 2 ⋅ j + 4 ⋅ k = (−4, 2, 4) .
4 3
5 3
5 4
5 4 3
O seguinte Teorema resume algumas propriedades do produto
vetorial.
Teorema 4.3. Para vetores u, v e w quaisquer, e para todo número
real :
(PV1) (Anti-simetria) u × v = −(v × u );
(PV2) (Bilinearidade)
u × (v + ⋅ w) = u × v + ⋅ (u × w);
(u + ⋅ v) × w = u × w + ⋅ (v × w);
(PV3) u × (v × w) = u , w ⋅ v − u , v ⋅ w ;
(u × v) × w = w, u ⋅ v − w, v ⋅ u;
2
(PV4) u × v = u
2
2
2
v − u, v .
Demonstração: Deixada como exercício.
(Sugestão: Escreva u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = ( w1 , w2 , w3 )
e, em cada item, desenvolva ambos os membros da equação separadamente, comparando-os ao final).
Note, que além de não ser comutativo, o produto vetorial não é
associativo.
De fato, aplicando (PV3) a u = v = i e w = j , obtemos que
i × (i × j ) = − j e (i × i ) × j = 0. Em particular, i × (i × j ) ≠ (i × i ) × j .
Do ponto de vista geométrico, além de ser uma maneira de obter
um vetor ortogonal a outros dois dados, o produto vetorial é a ferramenta por excelência para avaliar se três pontos estão em uma
mesma reta, isto é, se são colineares.
Para ver isto, basta perceber
que para qualquer vetor v, v × v = 0. Este fato segue imediatamente
92
da definição de produto vetorial. Ora,
C são co três pontos A, B e
lineares se, e somente se, o vetor AB é paralelo
vetor AC , o que
ao
por sua vez é equivalente a afirmar que AB = ⋅ AC para algum
∈ . Se esse é o caso, a bilinearidade (propriedade (PV 2)) nos dá
AB × AC = ( ⋅ AC ) × AC = ⋅ ( AC × AC ) = 0.
Portanto, se A , B e C são colineares, AB × AC = 0. A recíproca dessa afirmação advém da seguinte proposição, que nos dá o módulo
do vetor u × v .
Proposição 4.5. Se u e v são vetores não-nulos,
u × v = u v sen ,
onde é o ângulo entre u e v.
Demonstração: Usando a propriedade (PV 4) do Teorema 4.3, temos,
2
uu ×
× vv =
= uu
2
22
vv 2 −
− uu ,, vv
2
= uu
=
22
2
− cos
cos 22 )) =
= uu
vv (1
(1 −
2
22
=
= uu
22
2
vv 2 −
− uu
22
22
2
vv 2 cos
cos =
=
2
2
2
vv sen
sen 2 ,,
e, lembrando que sen deve ser não-negativo, o resultado segue.
■
Corolário
4.2. Sejam A, B e C pontos quaisquer do espaço. Se
AB × AC = 0, então A, B e C são colineares.
Demonstração: Se um dos pontos é igual a qualquer outro, a conclu
são vale de imediato. Se os três pontos são distintos, e AB × AC = 0 ,
concluímos
pela Proposição 4.5 que sen = 0, sendo o ângulo en
tre AB e AC , que são, portanto, paralelos.
■
A colinearidade não é a única utilidade do produto vetorial. Sejam
u e v vetores não-nulos e não-paralelos com ângulo entre eles, e
considere um paralelogramo formado por setas representantes desses vetores (fig. 4.13).
u
v
v
θ
u
Figura 4.13
93
A área A desse paralelogramo é bem conhecida da Geometria:
A = b × h,
em que b é o comprimento da base e h o comprimento da altura.
Em nosso caso, b é u e h é v sen , e portanto
A = u v sen = u × v .
Em outras palavras, o módulo do produto vetorial de u e v é numericamente igual à área do paralelogramo definido por u e v.
Exemplo: Calcular a área do triângulo de vértices A(1, −2,1),
B (2, −1, 4) e C (−1, −3,3).
Resolução: A figura 4.14 mostra que, a partir do triângulo ABC ,
podemos construir um paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da
área do triângulo.
D
B
A
C
Figura 4.14
AB
Considerando
que
o
paralelogramo
é
determinado
pelos
vetores
e AC , obtemos que a área do triângulo é:
Área∆ =
1
AB × AC .
2
Mas AB = (1,1,3) e AC = (−2, −1, 2). Portanto
i
j k
AB × AC = 1 1 3 = (5, −8,1).
−2 −1 2
Logo, podemos calcular que AB × AC = 3 10 e, assim,
Área∆ =
3
10 .
2
94
Exercício
8) Se u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e
as definições que
u1
u × v, w = v1
w1
w = ( w1 , w2 , w3 ), mostre usando
u2
v2
w2
u3
v3 .
w3
4.2.11 Produto misto
A operação u × v, w , entre três vetores u, v e w do espaço, aparece
tantas vezes em Geometria que lhe damos um nome especial: produto misto de u, v e w, nessa ordem, e denotamo-la por [u , v, w] .
Na seção anterior ficou como exercício mostrar que, se u = (u1 , u2 , u3 ),
v = (v1 , v2 , v3 ) e w = ( w1 , w2 , w3 ),
u1
[u , v, w] = u × v, w = v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3 .
w3
O fato de o produto misto poder ser escrito como um determinante
ajuda-nos a obter algumas de suas propriedades. O determinante de
uma matriz muda de sinal se duas linhas quaisquer são permutadas
e, portanto, se permutamos duas linhas um número par de vezes,
o determinante não se altera (pode inclusive ser um par de linhas
diferentes a cada vez). Temos, por exemplo, que
u1
v1
w1
u2
v2
w2
u3
v1
v3 = w1
w3
u1
v2
w2
u2
v3
w1
w3 = u1
u3
v1
w2
u2
v2
w3
u3
v3
ou seja, que
[u , v, w] = [v, w, u ] = [ w, u , v] .
Note que, nessas últimas igualdades, as trocas de u, v e w ocorrem
ciclicamente, no sentido anti-horário. Por isso, essas permutações
são ditas cíclicas. Observe que o determinante preserva a orientação
de um triedro, pois (u , v, w) tem a mesma orientação que (v, w, u ), que
tem a mesma orientação que ( w, u , v), que é a orientação contrária às
dos triedros (v, u , w), (u , w, v) e ( w, v, u ). Uma propriedade importante de determinante é a seguinte:
[u , v, w] = [ Ru, Rv, Rw],
95
em que R é uma transformação linear do espaço que preserva os
módulos dos vetores, ou seja, (∀u ) Ru = u , e que preserva a orientação dos triedros. Por exemplo, as rotações no espaço são transformações desse tipo.
Vamos usar essa propriedade de determinante para mostrar que
um triedro (u , v, w), em que w é ortogonal a u e v, é positivo se,
e somente se, [u , v, w] > 0. Para isso, seja o ângulo entre u e v ,
0 < < . Considere a rotação R que leva o vetor u no vetor u .i e o
vetor w, no vetor w .k . Observe que esse triedro será positivo se, e
só se, o vetor v for levado no vetor v cos i + v sen j (convençase disso, fazendo um desenho). Temos então que
u
v cos
0
0
v sen
0
0
0 = ( u v sen ) w = u × v w > 0 .
w
Por conseguinte, como para u e v, não colineares, temos que
[u , v, u × v] = u × v, u × v > 0, concluímos que o triedro (u , v, u × v) é
positivo, ou seja, que o sentido de u × v é dado pela regra da mão
direita.
O produto misto também tem uma função geométrica muito importante. Enquanto o produto vetorial nos permite calcular áreas, o
produto misto serve para calcular volumes. Na figura 4.15, vê-se o
paralelepípedo definido por vetores u, v e w. A base desse paralelepípedo é o paralelogramo definido pelos vetores u e v, cuja área
é u×v .
u× v
w
α
h
α
u
área =
|| u × v ||
v
Figura 4.15 - O paralelepípedo é formado pelos vetores u, v e w.
A área da base é dada por u × v .
96
A altura h é dada por
h = w cos a = w
u × v, w
u × v, w
.
=
u×v w
u×v
Como o volume do paralelepípedo é por definição
V = área da base × altura ,
segue-se que
V = u×v ⋅
u × v, w
u×v
= u × v, w .
Portanto, o módulo do produto misto dos vetores u, v e w é igual ao
volume do paralelepípedo definido por esses vetores.
Exemplo: O produto misto de u = (3,5, 7), v = (2, 0, −1) e w = (0,1,3) é
3 5 7
u × v, w = 2 0 −1 = −13 ,
0 1 3
e, portanto, o volume do paralelepípedo definido pelos vetores u ,
v e w é u × v, w = 13 .
, o segmento
2
representante do vetor w estará no plano contendo os segmentos
representantes de u e v. Ou seja, os vetores u, v e w são coplanares.
Mas isso acontece precisamente quando w e u × v forem ortogonais,
isto é, quando u × v, w = 0. Isso nos ajuda a descobrir se quatro pontos A, B, C e D dados são coplanares, isto é, se estão sobre o mesmo
plano (claro que isso ocorre automaticamente se dois ou mais dos
pontos em questão são iguais). Isso ocorrerá se, e somente se,
AB × AC , AD = 0. Não faremos uma prova mais rigorosa desse fato,
mas o ilustramos em um exemplo.
Na figura 4.15 também notamos que, quando =
Exemplo: Mostrar que os pontos A(1, 2, 4), B (−1, 0, −2), C (0, 2, 2) e
D(−2,1, −3) são coplanares.
Resolução: O quatro pontos dados
serão coplanares se forem copla
nares os vetores, AB, AC e AD. Devemos, portanto, calcular seu
produto misto. Temos
97
−2 −2 −6
AB × AC , AD = −1 0 −2 = 0 ,
−3 −1 −7
e, logo, os pontos são de fato coplanares. Você pode verificar por si só
que a ordem em que nomeamos os pontos é irrelevante.
Exercícios
9) Dados os vetores u = (1,3, 2), v = (0, −1, 0), w = (−2, 0,1), calcule:
a) u , v e v, u ;
b) u × v e v × u;
c) u × v, w e u , v × w ;
d) (u × v) × w;
e) u × v, v × w ;
f) o ângulo entre u e v.
10) Calcule a área do triângulo cujos vértices são:
a) A(0, 0, 0), B (2,1,3) e C (4,5, −2);
b) A(0, 0,3), B (2,3,1) e C (0,3, 4).
11) Sejam u = (1,1, 0), v = (2, 0,1), w1 = 3 ⋅ u − 2 ⋅ v, w2 = u + 3 ⋅ v e
w3 = i + j − 2k . Determine o volume do paralelepípedo definido por w1, w2 e w3.
12) Verificar se são coplanares os pontos:
a) A(1,1,1), B (−2, −1, −3), C (0, 2, −2) e D(−1, 0, −2);
b) A(1, 0, 2), B (−1, 0,3), C (2, 4,1) e D(−1, −2, 2);
c) A(2,1,3), B (3, 2, 4), C (−1, −1, −1) e D(0,1, −1).
13) Para que valor de m os pontos A(m,1, 2), B (2, −2, −3), C (5, −1,1)
e D(3, −2, −2) são coplanares?
14) De um vértice de um cubo, traçam-se uma diagonal do cubo
e uma diagonal da face.
a) Calcular o ângulo entre as duas diagonais.
b) Calcular a área do triângulo definido por estas diagonais e
uma aresta do cubo.
98
15) Determine os ângulos agudos que a reta definida pelos
pontos A(1, −3, 2) e B (3, −9, 6) faz com os eixos do sistema de
coordenadas.
16) Os ângulos , e que o vetor não nulo u = ( x, y, z ) faz,
respectivamente, com os vetores i, j, k são chamados ângulos
diretores do vetor u. Mostre que
z
y
x
a) cos = , cos = , cos =
;
u
u
u
b) cos 2 + cos 2 + cos 2 = 1.
17) Sejam u e v dois vetores não-nulos e com direções distintas.
O plano gerado por u e v é o conjunto
= {P ∈ 3 : existem x, y ∈ tais que OP = x ⋅ u + y ⋅ v}.
Mostre que:
a) Se x ⋅ u + y ⋅ v = x '⋅ u + y '⋅ v, então x = x ' e y = y ';
b) Se u e v são unitários e ortogonais, então para todo ponto
P ∈ , OP = OP, u ⋅ u + OP, v ⋅ v.
Bibliografia comentada
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana plana.
6. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2004.
Este livro contém, de forma rigorosa, os conteúdos de Geometria Euclidiana
Plana. É um livro que toda biblioteca de Matemática deve ter.
SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e matrizes. 3. ed.
São Paulo: Thomson, 2007.
Este livro contém excelente texto sobre vetores, no sentido clássico, como
é também apresentado aqui, e sobre quádricas. Os exercícios por ele propostos são ótimos.
Capítulo 5
Retas e Planos no espaço
101
Capítulo 5
Retas e Planos no espaço
Nosso objetivo é utilizar as ferramentas vetoriais desenvolvidas no capítulo anterior para estudar problemas geométricos. Neste capítulo, nosso foco recairá sobre o estudo
de retas e planos no espaço de três dimensões.
5.1 Equação cartesiana do plano
Um plano no espaço pode ser caracterizado de diversas maneiras. A
primeira que estudaremos vem das seguintes considerações intuitivas. Dada uma direção, que você pode imaginar como sendo uma
reta, existem uma infinidade de planos paralelos entre si, e perpendiculares a essa direção. No entanto, se além de fixarmos uma direção, também fixarmos um ponto, um e somente um plano dessa
família de planos conterá o ponto em questão. Em outras palavras,
um plano ficará fixado se dermos uma direção e um ponto.
v
α
P
Figura 5.1 – Um vetor não-nulo v determina uma infinidade de planos ortogonais
a essa direção e paralelos entre si. Se, além de v, fixarmos um ponto ( P ) , selecionamos
um único plano ( ) ortogonal a v e contendo P.
Mais adiante veremos outras maneiras de descrever planos. No entanto, a fim de verificar que todas essas descrições são equivalentes,
é necessário ter uma definição precisa do que é um plano em nosso
contexto. A idéia intuitiva acima pode ser tornada rigorosa e utilizada para esse fim.
102
Definição 5.1. Um subconjunto P 3 é dito ser um plano se existir um vetor v (a, b, c) não-nulo e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ) 3 tais
que
P {( x, y, z ) 3 : a ( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0} .
Equivalentemente, para todo P 3,
P P P0 P, v 0 .
Você deve tentar reconhecer que essa definição não faz nada mais
que capturar de forma precisa a idéia intuitiva acima. O vetor nãonulo v (a, b, c) é chamado vetor normal ao plano P, assim definido
por razões óbvias. Um resultado dessa definição é a seguinte:
Proposição 5.1. Um conjunto P 3 é um plano se, e somente se,
existirem números a, b, c, d 3 com (a, b, c) (0, 0, 0) tais que
P {( x, y, z ) 3 : ax by cz d }.
Demonstração:
(⇒) Supondo que P seja um plano, pela nossa definição existem um
vetor v (a, b, c) não-nulo e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ) tais que
P P P0 P, v 0 .
Tome as componentes a, b, c de v, notando que (a, b, c) (0, 0, 0) e
escolha d := ax0 + by0 + cz0 . Nesse caso, sendo P ( x, y, z ) um ponto
arbitrário, temos
P P a ( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0
ax by cz ax0 by0 cz0 d
e, portanto, os ponto de P são precisamente os que satisfazem à
equação
ax + by + cz = d .
(⇐) Supondo agora existirem números
(a, b, c) (0, 0, 0) tais que
a , b, c , d 3
com
P {( x, y, z ) 3 : ax by cz d },
podemos por exemplo assumir que a ≠ 0 (os casos b ≠ 0 ou c ≠ 0
são inteiramente análogos). Nesse caso, escolha o vetor v (a, b, c)
103
d
e o ponto P0 , 0, 0. Temos, sendo P ( x, y, z ) um ponto arbitrário,
a
P P ax by cz d
d
a x b( y 0) c( z 0) 0
a
P0 P, v 0
completando a demonstração.
■
Essa Proposição significa que os pontos de um plano são precisamente as soluções ( x, y, z ) de uma equação linear da forma
ax + by + cz = d , com a, b e c não todos nulos. Uma equação dessa
forma será dita uma equação cartesiana para o plano em questão. No
que segue, definiremos um plano por sua equação cartesiana.
Exemplo: Obter uma equação do plano que contém o ponto
A(3, 0,4) e tem como vetor normal v (5, 6, 2).
Resolução: Para qualquer ponto P ( x, y, z ) do plano, temos que ter
que é a equação cartesiana procurada.
Exemplo: A equação z 0 descreve o plano XY . De fato, note que
podemos reescrever essa equação como
0 x 0 y 1z 0 ,
donde inferimos que o vetor (0, 0,1) é normal ao plano. Mas esse vetor é obviamente paralelo ao eixo OZ e, portanto, o plano em questão é perpendicular a esse eixo. Além disso, uma simples inspeção
mostra que o plano contém a origem, e o único plano com essas especificações é o plano XY . Analogamente, as equações x 0 e y 0
descrevem os planos YZ e XZ, respectivamente.
Exemplo: Obtenha a interseção do plano P cuja equação é x 2 y 4
com os eixos coordenados.
Resolução: Para que um ponto P1 ( x, y, z ) esteja na interseção de P
com o eixo OX , deve ser solução simultaneamente das equações do
seguinte sistema:
104
x2 y 4
y0
z 0 .
O único tal ponto é P1 (4, 0, 0). De maneira similar, para que um ponto
P2 ( x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OY , deve ser solução do sistema:
x2 y 4
x0
z 0,
e a solução é o ponto P2 (0, 2, 0). Entretanto, para que um ponto
P3 ( x, y, z ) esteja na interseção de P com o eixo OZ , deveria ser
solução do sistema:
x2 y 4
x0
y0 ,
que obviamente não possui solução. Isso que dizer que o plano P
não intersecta o eixo OZ , sendo portanto paralelo a este (faça um
desenho dessa situação!).
Outra maneira de caracterizar um plano é através de três de seus
pontos.
3
Teorema 5.1. Dados três pontos distintos A, B, C �e não-colineares, existe um único plano que os contém.
Demonstração (Existência): Sejam A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 ,
z2),
C (
x3 , y3 , z3 ) os pontos do enunciado, e considere os vetores AB
e AC . Ambos são não-nulos, por serem os pontos distintos,
não e
paralelos, por serem os pontos não-colineares. O vetor AB AC é
portanto não-nulo (por quê?) e ortogonal a ambos. Seja P o plano
que tem n como vetor normal e contém A, ou em outras palavras, o
conjunto de todos os pontos P ( x, y, z ) tais que
AB AC , AP 0 .
Claramente esse é o plano procurado (fig. 5.2).
(*)
105
C
AC
n = AB × AC
A
AB
P
B
Figura 5.2 – Um plano
por três pontos não-colineares A, B, C . O plano
é
passando
ortogonal ao vetor n = AB × AC e passa por A, o que significa que é paralelo a AB e AC
É imediato verificar que A, B, C P, bastando substituí-los alternadamente no lugar de P em (*). A demonstração de que este é de fato
o único plano contendo A, B, C é mais complexa e será omitida.
■
Exemplo: Obter a equação do plano definido pelos pontos A(3,1,2),
B (5, 2,1) e C (2, 0, 2).
Resolução: A demonstração do Teorema 5.1 nos fornece um méto
do para este problema. Primeiro, calcule que AB AC (7,11,1).
Este vetor será normal ao plano buscado, que ademais deve passar por
A. Portanto se P ( x, y, z ) é um ponto do plano,
AB AC , AP 0 7( x 3) 11( y 1) 1( z 2) 0.
Logo, a equação procurada é
7 x 11 y z 12.
5.2 Equações paramétricas do plano
Sejam u e v vetores não-nulos e não-paralelos, e um ponto P0 . Intuitivamente, se consideramos retas ru e rv paralelas às direções de
u e v, respectivamente, e concorrentes em P0 , teremos um único
plano contendo as retas ru e rv e o ponto P0. De fato, esse é precisamente o plano P que tem u v como vetor normal e contém P0. Seja
P um ponto qualquer do plano, e trace por P paralelas ru′ e rv′ a ru
e rv respectivamente. A reta ru′ intersectará a reta rv no ponto P2 e
rv′ intersectará a reta ru no ponto P1 , como mostra a Figura 5.3.
106
ru
rv
P0
v
u
P1
P0
ru
ru’
P2
P
rv’
rv
Figura 5.3
Agora,
P0 P1 é paralelo a
u , e, portanto, existe t tal que
P0 P2
s v . Analogamente, P0 P2 é paralelo a v , logo
existe
tal
s
que P0 P2 sv.
u Mas pela regra do paralelogramo, P0 P1 P0 P2 P0 P ,
e, portanto,
P0 P t u sv.
Se P0 ( x0 , y0 , z0 ), u (u1 , u2 , u3 ) e v (v1 , v2 , v3 ), então para um ponto
qualquer P ( x, y, z ) do plano podemos escrever
( x x0 , y y0 , z z0 ) t (u1 , u2 , u3 ) s(v1 , v2 , v3 ),
ou
x x0 tu1 sv1
y y0 tu2 sv2
z z0 tu3 sv3 ,
que são as equações paramétricas do plano P, por causa dos parâmetros s, t, cujos valores determinam os pontos do plano.
O argumento acima é bastante geométrico e intuitivo. Sua versão
rigorosa (que omitiremos) é a demonstração do seguinte teorema.
Teorema 5.2. Um conjunto P 3 é um plano se, e somente se,
existirem um ponto P0 P e vetores u, v não-nulos e não-paralelos
tais que
P {P 3 : t , s tais que P0 P t u sv}.
107
Esse teorema garante que um plano fica univocamente caracterizado por suas equações paramétricas.
Exemplo: Obtenha equações paramétricas e cartesianas do plano
que contém o ponto P0 (2,3,1) e é paralelo aos vetores u (3, 4, 2)
e v (2,2, 6).
Resolução: As equações paramétricas podem ser obtidas imediatamente dos dados:
x 2 3t 2 s
y 3 4t 2 s
z 1 2t 6 s .
Para obter uma equação cartesiana, como u v é normal ao plano, a
equação procurada deve ter a forma
28( x 2) 14( y 3) 14( z 1) 0
ou
2x y z 2 .
Exemplo: Se x y z 6 é equação cartesiana de um plano, obtenha equações paramétricas desse plano.
Resolução: Escreva a equação na forma z 6 x y. Os pontos
do plano terão que ser precisamente os da forma P ( x, y, 6 x y ),
com x e y arbitrários. Separando a parte constante e as contribuições de x e y, temos
P ( x, y, 6 x y ) (0, 0, 6) x(1, 0,1) y(0,1,1) .
Note que os vetores (1, 0,1) e (0,1,1) são não-nulos, não-paralelos e ortogonais a (1,1,1), que é normal ao plano. Portanto, P ( x, y, z )
pertencerá ao plano se, e somente se,
x 0 1t 0 s
y 0 0t 1s
z 6 t 1s,
que são as equações paramétricas procuradas.
108
5.3 Equação da reta
Nossa intuição geométrica mais elementar nos diz que dois pontos
determinam uma reta de maneira unívoca. No contexto da Geome3
tria
um vetor
Analítica, dois pontos A, B distintos
determinam
AB. SeP é um ponto qualquer na reta AB, o vetor AP é paralelo ao
vetor AB, e, portanto, existe um número (único) t tal que
AP t AB.
Note que, ao determinar P, são realmente necessários
um ponto (no
caso, A ) e uma direção (nesse caso definida por AB ). Isso motiva a
seguinte definição:
Definição 5.2. Um subconjunto 3 é uma reta se existirem um
ponto A e um vetor v não-nulo tais que
{P 3 : AP t v para algum t } .
As características geométricas dessa situação estão ilustradas na
figura 5.4.
�
v
A
Figura 5.4 – Dado um vetor não-nulo v e um ponto A , há uma única
reta que passa por A e é paralela a v.
Algumas observações são pertinentes:
1) Dada uma reta , o vetor v e o ponto A não precisam de modo
algum ser únicos. Se tomamos outro ponto A ' e outro vetor v '
não-nulo que seja paralelo a v, o conjunto
' {P 3 : A ' P t v ' para algum t }
é exatamente igual a . De fato, sendo v ' paralelo
a v, existe
um número ≠ 0 tal que v ' = ⋅ v. Se P , AP t v, para algum número t. Mas então
t
A ' P = A ' A + AP = A ' A + ⋅ v '.
109
s
Por outro lado, A ' A = s ⋅ v = ⋅ v ', para algum s , pois
(t + s )
A ' . Portanto, A ' P t 'v ', se definimos t ' =
. Logo
P . De forma inteiramente análoga, prova-se que
P ' P ,
e então ', como havíamos afirmado. Um vetor v e um
ponto A nas condições da Definição 5.2 são chamados vetor
diretor e ponto inicial da reta, respectivamente.
2) Dada uma reta , e dados A( x0 , y0 , z0 ) e v (v1 , v2 , v3 ) como na
Definição 5.2, e P ( x, y, z ) um ponto qualquer de 3, a condição
P AP t v
é equivalente a afirmar que as coordenadas x, y e z de P
satisfazem as equações
x x0 v1t
y y0 v2t
z z0 v3t
para algum t . À medida que t “varre” , as ternas ( x, y, z )
correspondentes (isto é, satisfazendo esse sistema de equações)
descrevem toda a reta . Essas são ditas equações paramétricas da reta, pois são escritas em termos de um parâmetro t.
3) Uma analogia mecânica para visualização de uma reta é a seguinte: podemos pensar em uma reta como descrevendo a trajetória de uma partícula pontual em movimento retilíneo uniforme no espaço. Nesse caso, escolher um ponto de referência
equivale a escolher uma posição inicial, e um vetor diretor corresponde ao vetor velocidade. Nesse caso o parâmetro t pode
ser pensado como um instante de tempo. As várias possibilidades de escolha do vetor diretor e do ponto inicial corresponderão ao fato de que partículas com velocidades diferentes e
com posições iniciais diferente podem percorrer uma mesma
trajetória no espaço. Mas não leve a analogia longe demais. Em
mecânica, uma trajetória retilínea não precisa corresponder a
um movimento uniforme. Por exemplo, se uma partícula se
move no espaço de acordo com as equações horárias
110
x(t ) t 3
y (t ) t 3
z (t ) t 3
seu movimento é retilíneo. De fato, fazendo s t 3, obtemos as
equações paramétricas
xs
ys
z s,
que descrevem uma reta passando pela origem e com vetor
diretor (1,1,1). Por exemplo, no instante t 2 a partícula está
no ponto da reta correspondente ao valor 8 (oito) do parâmetro
s. Veja que, como a função F ( x) x 3 é bijetora, para qualquer
valor de s, isto é, para qualquer ponto da reta, existe um único
instante de tempo t tal que s t 3. O movimento em questão
não é uniforme, no entanto, e com as ferramentas que você
aprenderá nos cursos de Cálculo, será possível provar que o
vetor velocidade é dado em termos do tempo por
v(t ) 3t 2 (1,1,1) .
Note que esse vetor muda de norma, mas não de direção e
nem de sentido, sendo sempre paralelo a (1,1,1).
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta que contém o
ponto A(1, 2,3) e é paralela ao vetor v (1,2, 2).
Resolução: Usando a prescrição acima, as equações são
x 1 t
y 2 2t
z 3 2t .
Para se obter um ponto qualquer dessa reta, basta atribuir a t um
valor particular. Para t 0 recobramos A. Para t 1 temos
x2
y0
z 5 ,
e, portanto, (2, 0,5) é um ponto da reta. Já (3, 2,1) não pertence à
reta, pois não existe t tal que as equações
111
3 1 t
2 2 2t
1 3 2t
sejam simultaneamente satisfeitas.
A nossa intuição inicial é formalizada no seguinte resultado:
Teorema 5.3. Dados dois pontos A, B 3 distintos, existe uma
única reta com A, B .
Demonstração: Sendo A e B
distintos,
o
vetor
AB é não-nulo.
Seja a reta definida por A e AB. Um ponto P 3 estará nessa
reta se, e somente se,
AP t AB
para algum t . Pondo t 0 e t 1, vemos que A e B estão
ambos na reta.
Para provar a unicidade da reta, seja ' uma reta qualquer contendo A e B e sejam C um ponto arbitrário nessa reta e v um vetor
diretor. Existem t A , t B com t A t B tais que
CA t A v
CB t B v ,
uma vez que A e B são pontos distintos de ' por hipótese. Subtraindo uma equação da outra, temos
AB (t B t A )v .
Portanto, v é paralelo a AB e ' (veja a Observação 1 acima). O
teorema está demonstrado.
■
Exemplo: Ache a reta que passa pelos pontos A(1,1,1) e B (2,3, 4).
Resolução: Podemos tomar AB (1,4,3) como vetor diretor e A
como ponto inicial. As equações serão
x 1 t
y 1 4t
z 1 3t .
112
Poderíamos escolher B como ponto inicial, e, nesse caso, teríamos
as equações
x 2 t
y 3 4t
z 4 3t .
Finalmente, qualquer múltiplo não-nulo do vetor diretor é ainda vetor
diretor. Por exemplo, podemos tomar v (2,8, 6) (2)(1,4,3)
como vetor diretor, e escolher um ponto inicial diferente de A e
B. Você pode verificar que C (3,7, 7) é um ponto da reta. Com essa
escolha, as equações paramétricas ficam
x 3 2t
y 7 8t
z 7 6t .
Fica a seu encargo mostrar que todo ponto ( x, y, z ) satisfaz um desses sistemas se, e somente se, satisfaz o outro (com valores do parâmetro diferentes para cada sistema!).
5.4 Posições relativas de planos
Sejam e ' planos dados respectivamente por equações
ax by cz d
a ' x b ' y c ' z d '.
Note que esse sistema de equações pode ser olhado de duas formas.
Primeiro, de forma geométrica: o problema algébrico de dar uma
solução do sistema de duas equações lineares com três incógnitas representa geometricamente obter os pontos de interseção de dois planos. De fato, isso pode ser generalizado para sistemas de n (n 2)
equações lineares com três incógnitas. Resolver um tal sistema corresponde geometricamente a obter os pontos comuns a n planos.
Na outra forma, invertemos a ênfase, e vemos que o problema geral
de encontrar a interseção de n planos (n 2) se reduz ao de resolver
um sistema de n equações lineares com três incógnitas. É exatamente o tipo de interplay que torna a Geometria Analítica tão útil.
Sejam n (a, b, c) e n ' (a ', b ', c ') os respectivos vetores normais. Intuitivamente, temos as seguintes três possibilidades:
113
π'
π = π'
P
π'
A
B
π
C
Figura 5.5 – Posições Relativas de Planos: (a) coincidentes, (b) paralelos e (c) transversais.
n n para algum e d d e são coincidentes, isto é, ,
n n para algum e d d e são paralelos,
e são transversos.
n n,
A primeira possibilidade corresponde ao fato trivial de que, se temos
uma equação do plano e a multiplicamos por um número real nãonulo, ainda obteremos uma equação descrevendo o mesmo plano.
Na segunda possibilidade, os planos não podem ter pontos em comum. Isto ocorre porque o sistema é incompatível nesse caso, isto é,
não admite soluções. Com efeito, se subtraímos membro a membro
a segunda equação de vezes a primeira, obtemos que d − d ' = 0,
em contradição com nossa hipótese de que d ' ≠ d .
O terceiro caso é o mais interessante. Como os vetores n e n '
não são paralelos, seu produto vetorial n n ' tem ao menos uma
componente não-nula, digamos a terceira: (n n ')3 ab ' a ' b 0.
Nesse caso você pode verificar (exercício!) que
d b
b
d b b
d ' b ' b '
x d ' b' b'
a b
x
a b
a' b'
a' b'
a d
c
a d c
a ' d ' c '
y a' d ' c'
a b
y
a b
a' b'
a' b'
c
c z
c' z
c'
a
a z
a' z
a'
.
Ou seja, os pontos de interseção são da forma
114
d b
b c
a d
c a
z
z
a' d ' c' a'
d ' b' b' c'
( x, y, z )
,
, z .
a b
a b
a' b'
a' b'
Fazendo z 0, obtemos uma solução particular
d b a d
d ' b' a' d '
P0
,
,0 .
a b a b
a' b' a' b'
a b
t.
a' b'
Deixamos como exercício então, provar que a solução geral Pt se
expressará em termos desse parâmetro como
P0 Pt t.(n n ') .
Podemos introduzir um novo parâmetro t pondo z
Esta é precisamente a forma paramétrica da equação da reta, e, portanto, provamos:
Proposição 5.2. Dois planos quaisquer ou são paralelos ou se intersectam em uma reta.
Note que P0 funciona como o ponto inicial, e o vetor diretor da reta
é ortogonal ao vetor normal de cada plano, como seria de se esperar
(figura 5.6).
π
n
π'
n'
v
v
P0
v
Figura 5.6 – A intersecção de dois planos.
115
Exemplo: Obter a interseção dos planos x y z 1 e x y 3 z 1.
Resolução: Os vetores normais não são paralelos, logo os planos são
transversos, e sua interseção é uma reta. Para obter equações paramétricas para essa reta, tomamos dois pontos arbitrários da mesma, ou
um ponto e um vetor paralelo à reta. Temos que resolver o sistema
x y z 1
x y 3z 1 .
Resolvendo esse sistema em termos da variável z, temos:
x 1 2 z
y z.
Os pontos de interseção são da forma
( x, y, z ) (1 2 z , z , z ) .
Atribuindo valores a z, podemos encontrar pontos particulares. Pondo z 0 e z 1, obtemos os pontos P0 (1, 0, 0) e P1 (1,1,1) , e a reta
que passa por esses pontos tem equações paramétricas
x 1 2t
y t
z t.
Note que isso corresponde a escolher a própria coordenada z como
parâmetro. Alternativamente, podemos tomar, por exemplo, P0 como
ponto inicial, mas escolher (1,1,1) (1,1,3) (4,2,2) como vetor diretor. As equações paramétricas nesse caso serão
x 1 4t
y 2t
z 2t .
5.5 Posições relativas de reta e plano
Sejam agora P : ax by cz d um plano, e
x = x0 + t
: y = y0 + t
z = z + t
0
116
uma reta. Podemos ter P ou P . No primeiro caso,
dizemos que e são paralelos. Para que haja interseção, é necessário e suficiente que
a ( x0 + t ) + b( y0 + t ) + c( z0 + t ) = d ,
(**)
para algum t . Ou seja,
ax0 + by0 + cz0 − d = −t (a + b + c ) .
Mas note que, se ax0 by0 cz0 d e a + b + c ≡ 0, não é possível achar t de modo a satisfazer a equação. Pondo n a, b, c
e v ( , , ), notamos então que para que e sejam paralelos
é suficiente (e de fato necessário) que P0 ( x0 , y0 , z0 ) P e n, v 0 .
O vetor normal ao plano é ortogonal à direção da reta nesse caso,
como seria de se esperar.
Se e não são paralelos, temos duas possibilidades:
i) ax0 by0 cz0 d ,
ou seja, P0 ( x0 , y0 , z0 ) P. Se n, v 0, então, nesse subcaso,
qualquer t satisfaz (**). Isso significa que todo ponto da
reta está no plano, isto é,
P . Geometricamente, se o ponto
inicial da reta está no plano e seu vetor diretor é ortogonal ao
vetor normal do plano, então a reta toda permanece dentro do
plano. Por outro lado, se n, v 0, então só podemos satisfazer
(**) pondo t 0 . Ou seja, nesse subcaso a reta intersectará o
plano somente no ponto P0.
ii) ax0 by0 cz0 d ,
ou seja, P0 ( x0 , y0 , z0 ) P. Nesse subcaso, obrigatoriamente
n, v 0, e só podemos satisfazer (**) pondo
t=
ax0 + by0 + cz0 − d
.
a + b + c
Provamos assim que:
Proposição 5.3. Uma reta não contida em um plano ou é paralela ao
plano, ou o intersecta em um único ponto.
117
Exemplo: Determine a interseção da reta
x 3 2t
: y 1 t
z 2 3t
com o plano P : x 4 y z 2 .
Resolução: É fácil ver, usando o produto interno, que o vetor normal
ao plano não é ortogonal à direção de , e portanto intersecta
P em um único ponto. De acordo com o esquema geral acima (Eq.
(**)), temos que obter t , para o qual
(3 2t ) 4(1 t ) (2 3t ) 2,
isto é, t 1. O ponto de interseção é portanto I (1, 2,5).
5.6 Posições relativas de duas retas
Dadas as retas
x x0 v1t
: y y0 v2t
z z0 v3t
x ' x '0 v '1 t
' : y ' y '0 v '2 t.
z ' z '0 v '3 t
Intuitivamente, temos as seguintes possibilidades:
concorrentes
' e ' são
coincidentes
paralelas
' e ' são
reversas.
Veja a figura 5.7.
A
� = �’
�
B
�’
C
�
�’
D
�’
�
Figura 5.7 – Posição Relativa de Retas: (a) coincidentes, (b) concorrentes, (c) paralelas e (d) reversas. Nos casos
(a) - (c), as retas e ′ estão sobre um mesmo plano, mas em (d) não existe um plano contendo ambas as retas.
118
Se v (v1 , v2 , v3 ) e v ' (v '1 , v '2 , v '3 ), temos que estudar essas possibilidades de acordo com a direção relativa desses vetores diretores.
Dividiremos nossa análise em dois casos.
Caso (i): v é paralelo a v '.
Nesse caso, intuitivamente podemos ter retas paralelas ou coincidentes. Para ver que isso de fato é assim, escreva v ' = ⋅ v, com ≠ 0.
Agora, ou o ponto P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) PP
'00 ( x '0 , y '0 , z '0 ) pertence à reta ,
'
ou não. No caso positivo, existirá tt0 tal que
x0′ = x0 + v1t0′
y0′ = y0 + v2t0′
z0′ = z0 + v3t0′ .
Mas então, dado um pontoPP
'0 ( x '0 , y '0 , z '0 ) arbitrário de ', existe
um s ' tal que
x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1
y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2
z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3
pelo paralelismo dos vetores. Concluímos, então, que P '( x ', y ', z ') ,
com valor do parâmetro t = t0′ + s′. . Portanto, todo ponto de ' está
em . Analogamente, podemos checar que ', ou seja, as retas
coincidem.
Se o ponto P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) não pertence à reta , então podemos verificar que nenhum ponto de ' pertence a , pois se elas tivessem um
ponto em comum, existiriam t0 , s0 , para os quais
x0′ + s0v1′ = x0 + t0v1
y0′ + s0v2′ = y0 + t0v2
z0′ + s0v3′ = z0 + t0v3
e, portanto,
x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1
y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2
z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3 .
119
Logo, P0′ = ( x0′ , y0′ , z0′ ) ∈ para o valor t = t0 − s0 do parâmetro,
e temos uma contradição. Portanto, nesse caso as retas seriam
paralelas.
Exemplo: Determine a posição relativa das retas
x 1 2t
: y 1 t
z 5 3t
x 4s
' : y 2 2s
z 8 6 s.
Resolução: Os vetores diretores são
v (1,3, 2)
e
(4, 2,6) 2(2,1,3), e portanto paralelos. O ponto inicial de
nessa parametrização é (1,1,5). Veja que esse ponto não pertence
a ', pois teríamos que ter 1 4s e 1 2 2s das equações para a
primeira e segunda coordenada dos pontos de ', o que é impossível.
Mas então as retas não têm pontos em comum, isto é, são paralelas.
Exemplo: Determine a posição relativa das retas
x 1 2t
: y 1 t
z 5 3t
x 9 6s
' : y 3 3s
z 7 9 s.
Resolução: Os vetores diretores são 2,1,3 e
6,3,9 32,1,3, e portanto paralelos. O ponto inicial de '
é 9,3,7 . Você pode verificar que esse ponto está na reta ,
resolvendo o sistema
9 1 2t
3 1 t
7 5 3t
que admite a solução t 4, portanto as retas são coincidentes.
Caso (ii): v não é paralelo a v '.
Nesse caso, considere o vetor n v v '. Esse vetor é não-nulo, e
podemos considerar a coleção de todos os planos que têm n como
vetor normal. Note que há infinitos planos com essa propriedade,
todos paralelos (fig. 5.8) entre si.
120
n
Figura 5.8 – A família de planos paralelos a um vetor n .
Para selecionar um dado membro dessa família, basta escolher um
ponto (lembre que uma direção e um ponto fixam um plano de forma unívoca). Os vetores diretores de e ' são paralelos a qualquer
plano dessa coleção, e portanto, como estudamos na seção 5.5, se
tomamos um plano qualquer dessa coleção, ou ( ') será paralela
a , ou estará inteiramente contida nesse plano. Sejam e ′′ os
membros dessa coleção contendo os pontos iniciais P0 ( x0 , y0 , z0 ) e
P0( x0 , y0 , z0 ) de e ', respectivamente. Claro que P e ' P'′' ′ .
Temos então duas possibilidades: ou e ′′ são paralelos ou
= ′′ . O primeiro caso corresponde precisamente a retas reversas, e em particular e ' não se intersectam. No segundo caso, as
retas são coplanares. Mas então, uma vez que o plano = ′′ =
admite equações paramétricas
x = x0 + tv1 + sv1′
y = y0 + tv2 + sv2′
z = z0 + tv3 + sv3′
e como por hipótese P0′ ∈ , existirão (únicos) t0 , s0 tais que
x0′ = x0 + t0v1 + s0v1′
y0′ = y0 + t0v2 + s0v2′
z0′ = z0 + t0v3 + s0v3′ .
O sistema pode ser reescrito na forma
x0′ + (− s0 )v1′ = x0 + t0v1
y0′ + (− s0 )v2′ = y0 + t0v2
z0′ + (− s0 )v3′ = z0 + t0v3 .
Logo, e ' se intersectam em um (único) ponto. Ou seja, as retas
serão concorrentes nesse caso.
121
Note que este último subcaso estabelece um fato intuitivamente bastante natural:
Proposição 5.4. Duas retas distintas contidas em um mesmo plano
ou são paralelas ou se intersectam em um único ponto.
Exemplo: Determine a posição relativa das retas
x 2 t
: y 1 3t
z 1 2t
x 5 4 s
' : y 6 5s
z 4 3s.
Resolução: Note que os vetores diretores v 1,3, 2 e
v ' 4,5,3 não são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas e muito menos coincidentes. Considere o vetor n v v ' (1,5, 7).
O plano com vetor normal n passando pelo ponto inicial
P0 (2,1,1) de (ver fig 5.9) tem equação
x 5 y 7 z 4 .
A reta ' tem vetor paralelo a esse plano, e portanto ou é ela própria
paralela a , ou está inteiramente contida neste. Mas o ponto inicial
PP0'0 (5, 6, 4) não está em , pois 5 56 74 53 4, e portanto ' é paralela a e as retas são reversas (Exercício: obtenha o
plano ′′ contendo ' e verifique explicitamente que e ′′ são
paralelos).
Exemplo: Para as retas do exemplo anterior, obtenha a reta que
intersecta e ' perpendicularmente.
Resolução: A reta estará contida no plano ⊥ que contém a reta
e é perpendicular a . Em particular, ∩ ⊥ = . A figura 5.9
abaixo ilustra essa situação.
�'
π⊥
�
π
π'
�⊥
Figura 5.9 – Reta perpendicular à e à '. ' está contida no
plano ortogonal a ⊥ que contém .
122
Para obter uma equação para esse plano, temos que obter primeiramente um vetor normal. Note que o vetor n v (31,5,8) cumpre
bem esse papel. A seguir, tomemos um ponto de referência. Como
queremos que o plano contenha , podemos tomar P0 (2,1,1). O
plano ⊥ terá então uma equação
31x 5 y 8 z 49.
Você deve verificar explicitamente que P⊥ . A seguir, nossa estratégia é obter o ponto PI′ de interseção de ⊥ com '. Deixamos
449 116 306
,
,
como exercício mostrar que PP'II′
. O próprio vetor n
75 15 25
pode ser usado como vetor diretor para , de modo que podemos
escrever as equações paramétricas
449
t
x
75
116
5t .
:y
15
306
7t
z
25
Verifique que intersecta e é a reta procurada.
Exemplo: Determine a posição relativa das retas
x 1 2t
: y t
z 2 t
x 2 s
' : y 3 s .
z 2 2s
Resolução: Os vetores diretores v (2,1,1) e v ' (1,1,2) não
são paralelos, logo as retas não podem ser paralelas nem coincidentes.
Tomando o vetor n v v ' (3,3,3). O plano com vetor normal
n passando pelo ponto inicial P0 (1, 0, 2) de tem equação
x y z 1.
Note que esse plano contém o ponto inicial PP0'0 (2,3, 2) de ' e portanto ' P′'' ′ . As retas precisam ser concorrentes. De fato, podemos
considerar o sistema
1 2t 2 s
t 3 s
2 t 2 2 s.
123
Deixamos a seu cargo verificar que a (única) solução é t 2, s 1,
e que, portanto, as retas se intersectam no ponto (3,2, 0).
Exercícios
1) Obtenha uma equação do plano que passa pelos pontos (1,1,1),
(1,1,3) e (5,3,1).
2) Determine uma equação do plano cujas interseções com os eixos coordenados são os pontos (3, 0, 0), (0,2, 0) e (0, 0,3).
3) Determine o plano que passa pelos pontos A(0, 2, 0), B (0, 0,3) e
é tal que, juntamente com os planos coordenados (isto é, x 0,
y 0 e z 0 ), determina um tetraedro de volume 5 unidades
no primeiro octante (a região formada por todos os pontos do
espaço com as três coordenadas não-negativas).
4) Determine equações paramétricas para a reta que passa pelo
ponto (1, 2,3) e é paralela à reta cujas equações paramétricas
são x 1 t , y 2 4t e z 5 (t ).
5) Encontre a reta que passa pelo ponto (2, 0,1) e é simultaneamente paralela aos planos x y z 0 e x 2 z 1 0.
6) Dados o ponto P (0,1, 0) e a reta : x 1 t , y 2 2t , z t (t ),
encontre uma equação cartesiana do plano que contém P e .
7) Obtenha uma equação que contém o ponto (2,1,3) e a reta de
interseção dos planos 2 x y z 2 e z 0.
8) Calcule a interseção da reta que passa pela origem e tem direção dada pelo vetor (1,1, 2) com o plano x y 2 z 5.
9) Verifique se as retas
x 3t
x 18s
: y 1 6t (t ) e ' : y 3 s (s )
z 2 3t
z 1
se intersectam. Em caso positivo, obtenha o ponto de interseção.
124
10) Considere as retas
x t
x 1 7 s
: y 1 t (t ), ' : y s
(s ).
z 2 t
z 1 2 s
a) Mostre que e ' são reversas.
b) Ache os planos e ′′ que contêm e ', respectivamente.
c) Determine equações paramétricas para a reta que intersecta
e ' perpendicularmente.
11) Dados os pontos A(2,1, 0) e B (1,3, 2), determine equações
para os seguintes planos:
a) o que contém a origem, A e B;
b) o que A e B e é perpendicular ao plano XY ;
c) o que contém a origem e é perpendicular à reta que passa
por A e B;
d) o que é paralelo ao eixo dos x e contém A e B.
12) Obtenha a interseção dos planos P
: 2 x 3 y z 3 e
' : 2 x 3 y 2 z 1.
P
13) Mostre que a reta : x 1, y 1 t , z 2 3t (t ) está contida no plano da questão anterior e obtenha a projeção de
sobre o plano dessa mesma questão (Sugestão: Claramente,
o que é necessário aqui é descobrir qual o plano ⊥ que contém e é perpendicular ao plano . A reta ' = ⊥ ∩ ' é a
projeção procurada).
14) Considere o plano
P : ax by cz 1, onde a, b e c não são
todos nulos. Obtenha todos os valores de a, b e c para os
quais:
a) é paralelo ao eixo dos z;
b) é paralelo ao plano x 0;
c) as condições (a) e (b) verificam-se simultaneamente.
125
15) Em um tetraedro
ABCD
, os triângulos ABC e BCD são isósceles. Prove que AD e BC são ortogonais.
16) Obtenha a interseção dos planos
1 : 2 x y 2 z 1
2 : x y 2
3 : x 2 y z 0
e obtenha a projeção da reta 1 2 sobre o plano 3 .
17) Um paralelogramo OABC de área 4 6 está contido em um
plano com vetor normal n (1, 2,1), e seus vértices O(0, 0, 0),
A(1, 2,3) e B contido no plano que passa pelos pontos (0, 0,1),
(1, 0,1) e (1,1,1). Determine C .
5.7 Distâncias no espaço
Nesta seção, queremos discutir como calcular distâncias:
a) de ponto a plano;
b) de ponto a reta;
c) de plano a plano;
d) de reta a plano;
e) de reta a reta.
Em cada caso, o que temos em mente é a menor distância possível
entre os pontos dos respectivos conjuntos.
5.7.1 Distância de ponto a plano
Dados um plano
: ax by cz d (com a, b e c não todos nulos) e um ponto P0 ( x0 , y0 , z0 ), é claro que a distância d ( P0 , ) de P0
a é obtida computando-se o comprimento do segmento P0 P ',
onde P ' é o pé da perpendicular baixada de P0 a (figura 5.10).
126
P0
π
P'
Figura 5.10: Distância de Ponto a Plano.
Para obter P '( x ', y ', z '), tudo o que precisamos fazer é escrever equações para a reta que passa por P0 e é perpendicular ao plano.
Basta tomar o vetor normal n (a, b, c) como vetor diretor da reta.
Temos então as equações paramétricas
x x0 at
: y y0 bt
z z0 ct. (1)
A interseção de com ocorre quando
a ( x0 at ) b( y0 bt ) c( z0 ct ) d ,
isto é, quando
t
ax0 by0 cz0 d
.
a 2 b2 c2
A substituição desse valor do parâmetro em (1) nos dá as coordenadas de P ':
ax by cz0 d
cz02 d
x ' x0 a ax00 2by00
2
x ' x0 a ax0 a2 by
czc d
0b
2
x ' x0 a a 2 b 2 c022
ax a by
bczc0 d
cz02 d
y ' y0 b ax00 2by00
2
y ' y0 b ax0 a2 by
(2)
czc d .
0b
2
y ' y0 b a 2 b 2 c022
ax
czc d
b
a by
cz002 d
z ' z0 c ax00 2by00
2
z ' z0 c ax0 a2 by
czc d
b
z ' z0 c a 2 b0 22 c022
a b c
Temos, portanto:
) d ( P0 , P ') ( x ' x0 ) 2 ( y ' y0 ) 2 ( z ' z0 ) 2 ,
d ( P0 ,
127
e daí um cálculo simples usando (2) nos dá a fórmula
dd((PP00,,P))
ax0 by0 cz0 d
a 2 b2 c2
.
Note que essa equação faz sentido inclusive quando P0 . Nesse
caso, a distância é identicamente nula, como seria de se esperar.
A fórmula acima é tão simples e simétrica que vale a pena você
memorizá­la. Apesar disso, sugerimos fortemente que você compreenda a construção geométrica que nos levou a tal fórmula, para que
você possa desenvolvê-la sempre que necessário, ou mesmo para
usar tal construção para calcular a distância diretamente.
Exemplo: Ache uma equação do plano paralelo ao plano
P
0 : x 2 y 2 z 1 cuja distância ao ponto P0 (3, 7,10) é de 100 unidades.
Resolução: Todo plano paralelo a 0 será da forma
Pdd : x 2 y 2 z d ,
onde cada valor de d determina exatamente um de tais planos. A
distância de qualquer d para P0 pode ser calculada através da fórmula da distância de ponto a plano. O resultado é
dd((PP00, ,Pdd ))
13 (2)7 210 d
12 (2) 2 22
9 d
.
3
Quando impomos que d ( P0 , d ) =100, obtemos duas possíveis soluções (conforme assumamos d 9 ou d 9 ):
d 309
,
d 291,
correspondendo aos planos paralelos
: x 2 y 2 z 309
: x 2 y 2 z 291.
Os planos e são paralelos a 0 e simetricamente colocados
com respeito a 0 , ambos distando 100 desse ponto.
128
5.7.2 Distância de ponto a reta
Seja agora P0 ( x0 , y0 , z0 ) um ponto, e
x x1 at
: y y1 bt (t )
z z1 ct
uma reta. Em particular (a, b, c) (0, 0, 0) . Para calcular a distância
d ( P0 , ) , nossa estratégia é simples. Consideramos o plano normal a
v a, b, c passando por P0 . Esse plano intersecta a reta em um
ponto P0′( x0′ , y0′ , z0′ ) , digamos.
A distância d ( P0 , P0′) é exatamente a distância procurada. Essa situação está ilustrada na fig. 5.11 abaixo.
P0
P0’
�
v
π
Figura 5.11 – Distância de Ponto a Reta.
O plano buscado terá equação
a ( x x0 ) b( y y0 ) c( z z0 ) 0.
O ponto de interseção de com ocorrerá para t0 tal que
a ( x1 at0 x0 ) b( y1 bt0 y0 ) c( z1 ct0 z0 ) 0,
que após algumas manipulações algébricas nos dá
t0
a ( x1 x0 ) b( y1 y0 ) c( z1 z0 )
a 2 b2 c2
sendo P1 ( x1 , y1 , z1 ).
v, P0 P1
v, v
,
129
Note que introduzimos uma notação vetorial na última igualdade.
Temos, portanto,
x0′ = x1 + at0
y0′ = y1 + bt0
z′ = z + ct .
1
0
0
Usando a fórmula de distância usual entre pontos, vem
d ( P0 , ) d ( P0 , P0) ( x0 x1 at0 ) 2 ( y0 y1 bt0 ) 2 ( z0 z1 ct0 ) 2
Mas, introduzindo a forma vetorial para t0, você pode verificar que
essa equação pode ser reescrita na forma
v, P0 P1
d ( P0 , ) P0 P1
v .
v, v
Esta fórmula requer explicação. Primeiro, note que o ponto P0′ já não
aparece na equação, só o ponto P0 e os parâmetros da reta . Isto é,
v e P1 ( x1 , y1 , z1 ). A fim de entender o significado geométrico dessa
fórmula, introduzimos a seguinte definição:
Definição 5.4. Sejam u, v vetores, com v 0. A projeção (ortogonal)
de u sobre v é o vetor
v, u
v.
Pvv u
v, v
Muito bem, mas qual o significado geométrico dessa definição? Na
verdade, é bastante simples. Suponha que u, v são ambos não-nulos
e o ângulo entre eles (se u é nulo, a projeção também é). Teremos
então
u v cos
v
v = u cos .
Pvv u =
2
v
v
v
é o vetor unitário na direção e sentido de v, e u cos mede
v
o “segmento projeção” da seta de u sobre v, conforme ilustrado na
fig. 5.12.
Ora,
130
u
⊥
uv = u − Pvu
θ
v
Pvu
Figura 5.12 – Projeção ortogonal de u sobre v . O módulo de v u
é dado por u cos na situação da figura.
A projeção v u , portanto, é um vetor com mesma direção de v e
módulo u cos . Em particular, se u e v são ortogonais, v u é o
vetor nulo. É interessante notar que v u não depende do módulo de v, e
nem do seu sentido, só de sua direção! Pois se consideramos v ' t v, com
t \{0}, teremos
Pv'u
v ', u
t 2 v, u
v ' 2
vP
vvuu .
v ', v '
t v, v
Exercício
18) Verifique, usando a definição, que se v é um vetor não-nulo,
então dados quaisquer vetores u, w e qualquer número t ,
temos
v (u w) v u v w ,
v (t u ) t v u .
Outro aspecto interessante de nossa definição é que, se pomos
vvuu
uv u P
temos
v, uv v, u
v, u
v, v v, u v, u 0 ,
v, v
isto é, uv é ortogonal a v (fig. 5.12). O vetor uv pode então ser pensado também como uma “projeção”, só que em uma direção ortogonal
à de v. Além disso, podemos escrever
vvuu .
u uv P
Ou seja, o vetor u pode ser escrito como uma soma vetorial entre
um vetor com mesma direção de v com outro ortogonal a v. Essa
131
decomposição de fato é única. Com efeito, suponha que escrevamos
u u1 u2, onde u1 é ortogonal e u2 paralelo a v. Nesse caso, podemos escrever u2 = ⋅ v, e temos
0 = u1 , v = u − u2 , v = u − ⋅ v, v = u , v − v, v ,
e, portanto, =
u, v
, isto é
v, v
u2
v, u
vP
vvuu .
v, v
Mas então u1 u v u uv .
A unicidade da decomposição acima tem outra conseqüência interessante. Suponha que u seja um vetor com mesma direção de v . Nesse
caso, se escrevemos u 0 u, estamos de fato decompondo u em
uma soma de um vetor na direção de v (a saber, o próprio u ), e
outro ortogonal a v (o vetor nulo, que é ortogonal a qualquer vetor).
Pela unicidade da decomposição, teremos que uv 0 e Pv u u. Isso
também pode ser verificado diretamente das definições de uv e Pv u,
assumido-se que u t v, para algum t . Moral da história: a projeção em v de um vetor u paralelo a v é o próprio u.
Exercício
19) Mostre que uv⊥ = u sen , e interprete geometricamente.
Voltemos à nossa fórmula de distância. Usando a notação de projeção, podemos reescrevê-la na forma (veja a figura 5.13.)
d ( P0 , ) P0 P1 v ( P0 P1 ) ( P0 P1 )v
P0
⊥
(P0P1)v
−P0P1
P1
v
�
Pv(P0P1)
Figura 5.13 – Calculando a distância de um ponto a uma reta usando projeção ortogonal.
132
Exemplo: Obtenha as projeções do vetor v ( x, y, z ) sobre os vetores unitários i (1, 0, 0), j (0,1, 0) e k (0, 0,1).
Resolução: Usando a definição, temos
Pv
iiv
v, i
i xi .
i, i
Pkkv z k .
Analogamente, obtemos que
Pjjv y j e
Duas últimas observações: Primeiro, sugerimos que você não se preocupe em decorar fórmulas. Tente, ao invés disso, entender bem
a
geometria da situação e levar em conta o significado do vetor P0 P1 v .
Em segundo lugar, a distância calculada pelas fórmulas acima não
depende da escolha do vetor diretor para , pois a projeção sobre v
só depende de sua direção, como vimos, e qualquer outro vetor diretor terá a mesma direção de v . Mas essa fórmula dá a impressão de
que a distância de P0 a depende de qual ponto inicial P1 ( x1 , y1 , z1 )
escolhemos para escrever as equações paramétricas de . Essa dependência, no entanto, é apenas aparente. Com efeito, seja dado outro
ponto P2 ( x2 , y2 , z2 ) sobre a reta . Teremos
P0 P1 P0 P2 P2 P1 ,
e temos também
v ( P0 P1 ) v ( P0 P2 ) v ( P2 P1 ) v ( P0 P2 ) P2 P1 .
Note que na última igualdade
usamos o fato de que P1 e P2 estão em
, e portanto o vetor P2 P1 tem a mesma direção de v. Assim, obtemos
d ( P0 , ) P0 P1 v ( P0 P1 ) P0 P2 v ( P0 P2 ) ,
o que mostra que o resultado é o mesmo, independentemente do ponto inicial. A razão geométrica deste fato está ilustrada na figura 5.14.
P0
⊥
⊥
(P0P1)v = (P0P2)v
P1
�
v
P2
Figura 5.14 – Tomando pontos de referência distintos P1 e P2 sobre , temos P0 P1 ≠ P0 P2 e
v ( P0 P1 ) ≠ v ( P0 P2 ) , mas ( P P ) ( P P ) P P ( P P ) P P ( P P ) .
0
1 v
v
0
1
0
1
v
0
2
0
2
0
2 v
133
Exemplo: Uma partícula movendo-se no espaço sai do ponto
A(2,3, 2) no instante t 0 e tem
movimento retilíneo uniforme
com velocidade v 3i 2 j k (distâncias em metros, intervalos de tempo em segundos). Qual a menor distância que essa partícula tem da origem?
Resolução: A reta ao longo da qual a partícula se move terá equações paramétricas
x 2 3t
y 3 2t
z 2 t,
sendo o parâmetro t o tempo. Queremos calcular a distância d (O, )
O(0, 0, 0). Podemos tomar a projeção do vetor
dessa
reta à origem
OA (2,3, 2) ( AO também funciona, como você poderá verificar)
sobre a direção de v. Calculando:
(3, 2,1), (2,3, 2)
(3, 2,1) (3, 2,1) v .
Pvv (OA)
(3, 2,1), (3, 2,1)
Portanto,
d (O, ) OA v (OA) (2,3,2) (3, 2,1) (1,1,1) 3.
Logo, a distância buscada é
3 metros.
5.7.3 Distância entre planos e de reta a plano
Os dois casos desta seção podem ser calculados por um mesmo método. Comecemos com distância entre planos.
Sejam , ′ planos. Nosso interesse é calcular a distância d( , ′ )
entre eles, supondo que são paralelos (se não são paralelos, então se
intersectam, e definimos sua distância nesse caso como sendo zero).
Podemos então escrever, sem perda de generalidade
: ax by cz d
: ax by cz d
em que (a, b, c) (0, 0, 0) e d d '. Nossa estratégia é a seguinte: escolha arbitrariamente P0 ( x0 , y0 , z0 ) P e tome a distância desse ponto
a ′ . Essa é a distância procurada. Usando a fórmula da distância
de ponto a plano, temos
134
d (
P,, P′'))
d(
ax0 by0 cz0 d '
2
2
a b c
2
d d '
2
a b2 c2
,
no qual usamos o fato de que ax0 by0 cz0 d , pois P0 P
(por
hipótese), para obter a última igualdade.
Exemplo: Dados os planos
P : 2 x 3 y z 1
P′' : ax 6 y 1 b z 2,
obtenha, se possível, os valores de a e b para os quais os planos são
paralelos e calcule a distância entre eles.
Resolução: Para que e ′ sejam paralelos, devemos ter que o vetor
n (2,3,1) normal a é paralelo ao vetor
a
(b 1) ,
n ' (a, 6,1 b) (2) ,3,
2
2
a
(b1)
2 e
1, isto é a 4 e b 3.
2
2
O plano ′ tem equação 4 x 6 y 2 z 2, ou alternativamente
2 x 3 y z 1. A distância será
e portanto é preciso ter
d(
′'))
d (P,, P
1 (1)
2
2
2
2 (3) 1
2 .
14
Se contemplamos calcular a distância entre uma reta e um plano,
novamente o único caso de interesse é quando a reta é paralela ao
plano. Basta tomar novamente um ponto arbitrário da reta e calcular
a distância desse ponto ao plano. Esse caso é tão simples e similar ao
anterior que o deixamos como exercício para você:
Exercício
x 1 t
20) Verifique que a reta : y 3 t (t ) e é paralela ao plano
z 2 t
P :: 2 x y z 3 e calcule a distância entre eles.
135
5.7.4 Distância de reta a reta
O único caso não-trivial é o caso de retas reversas. Se as retas são
coincidentes ou concorrentes, tomaremos a distância entre elas igual
a zero por definição. Se são paralelas, para calcular a distância entre
elas basta tomar um ponto arbitrariamente em uma delas (qualquer
ponto em qualquer uma das duas retas funcionará) e calcular a distância desse ponto a outra reta: essa é a distância buscada. Faremos
isso concretamente em um exemplo.
Exemplo: Calcule a distância entre as retas
x t
x 1 t
: y t (t ) e : y 2 t (t ) .
z t
z 1 t
Resolução: Essas retas são claramente paralelas, pois seus vetores
diretores são iguais e você pode checar que o ponto A '(1, 2,1) está
em ' mas não em . Tomando o próprio ponto A ', podemos usar a
tecnologia da Seção 5.7.2 para computar a distância desse ponto à
reta . Tomemos arbitrariamente um ponto
em , digamos a origem
O(0, 0, 0), e calculemos a projeção de OA (1, 2,1) sobre v (1,1,1)
(vetor diretor de e ' ):
4 4 4
(1, 2,1), (1,1,1)
(1,1,1) , , .
Pvv (OA)
3 3 3
(1,1,1), (1,1,1)
A distância buscada é o módulo do vetor
1 2 1
OA v (OA) , , ,
3 3 3
ou seja,
1 2 1
2
d (, ') , ,
.
3 3 3
3
Você pode tentar repetir o cálculo com outros pontos e checar o
resultado.
Quando as retas, digamos e ', são reversas, já vimos que é possível obter planos e ′ paralelos, contendo respectivamente e '.
A distância entre as retas é a distância entre esses planos (convençase disto, fazendo uma figura). Novamente, basta trabalhar com um
exemplo.
136
Exemplo: Calcule a distância entre as retas reversas
x 1 t
x 2 3s
: y 1 t e ' : y 1 2 s
z 3 t
z 1 s.
Resolução: Para obter os planos paralelos, temos que obter um vetor
normal comum, o que é feito através do produto vetorial dos vetores diretores das retas, n (1,1,1) (3, 2,1) (3,4,1). O plano
contendo é o plano de vetor normal n passando pelo ponto
A(1,1,3) de , que é
P : 3 x 4 y z 2 .
Nem precisamos obter a equação para ′ pois, sabendo que esse
plano é paralelo a ′ só precisamos tomar um ponto nele, digamos
A '(2,1,1) ' , e calcular sua distância a . Portanto
d (, ') d ( A ', )
32 411 2
32 (4) 2 (1) 2
3
.
26
Exercícios
21) Sejam
x x0 v1t
x x '0 v '1 s
: y y0 v2t e ' : y y '0 v '2 s
z z0 v3t
z z '0 v '3 s,
retas reversas. Seja n um vetor não-nulo ortogonal simultaneamente a v (v1 , v2 , v3 ) e v ' (v '1 , v '2 , v '3 ). Sejam A ponto de
e A ' ponto de '. Mostre que
d (, ') n ( AA ') .
Use esse resultado para calcular novamente a distância entre
as retas reversas do segundo exemplo da seção 5.7.4.
22) Considere o plano P : 3 x 6 y 4 z 12. Calcule a distância
desse plano à origem e obtenha o ponto de que realiza essa
distância.
137
23) Calcule a distância entre o ponto P (1, 2,1) à reta
x 1 3t
: y 2 4t (t )
z 3
Idem para a distância entre P e o plano P : x 4 2t s, y t ,
z s (t , s ).
24) Sejam 1 a reta que passa pelos pontos A 2,3, 2 e B 2,1, 0,
e 2 a reta interseção dos planos P11: x y z 3 e P22: x 2 y 0 .
Mostre que as retas 1 e 2 são reversas e calcule a distância
entre elas.
25) Dados dois pontos distintos A e B, obtenha uma equação
para o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes de A e
B. Examinando essa equação, verifique que L é o plano com
vetor normal paralelo à reta que passa por A e B e contém o
ponto médio do segmento AB.
26) Dados três pontos distintos e não-colineares A, B e C , mostre que o lugar geométrico L dos pontos eqüidistantes a A, B
e C é uma reta perpendicular ao plano contendo A, B e C .
Determine a interseção de L e .
27) Dois aeroportos A e B distam 18km. Por um erro no projeto,
os prolongamentos das pistas de decolagem se intersectam em
um ponto O de modo que o triângulo AOB é eqüilátero. Para
tentar compensar a falha, os controladores de vôo determinaram que os aviões saindo de A devem passar a uma altitude
de 2km sobre O , e os que saem de B devem estar a 3km sobre
O. Sabe-se que a distância mínima de segurança entre as aeronaves é de 992m. Você embarcaria em algum desses vôos?
138
Bibliografia Comentada
Além dos livros comentados ao final do capítulo 4, podemos incluir
os seguintes livros:
[1] LIMA, Elon L. de. Geometria analítica e álgebra linear. Rio de
Janeiro: SBM, 2001.
Esse livro contém todo o conteúdo do capítulo 5. O tratamento é rigoroso,
com vários exemplos. É um livro que deve constar em qualquer biblioteca
de matemática.
[2] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2002.
[3] LIMA, Elon L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 1998.
Esses dois livros têm um tratamento similar, são uma introdução à Geometria Analítica Plana e Espacial, respectivamente. O livro sobre coordenadas
no plano tem vários exercícios e passou por várias revisões. O professor
Elon escreveu vários textos universitários de matemática, todos são fontes
confiáveis de consulta.
Capítulo 6
Superfícies Quádricas
Capítulo 6
Superfícies Quádricas
Neste Capítulo, apresentamos uma classe de figuras geométricas em três dimensões – isto é, subconjuntos do 3 – de
grande interesse em aplicações fora e dentro da Matemática,
as (superfícies) quádricas. Antes disso, a fim de introduzir
adequadamente o tema, será necessária uma breve revisão de
certos resultados sobre matrizes e determinantes.
6.1 Revisão de matrizes
Em tratamentos informais, uma matriz é apresentada como uma
tabela retangular de números reais como, por exemplo:
2 3 6
.
−1 0 p
Em que pese seu apelo intuitivo, porém, essa definição deixa a desejar em um tratamento mais cuidadoso porque dá a impressão (errônea) de uma matriz como sendo um objeto matemático mal definido. Isso pode ser facilmente corrigido por uma definição rigorosa,
que, no entanto, permite manter intacta a visualização da matriz
como uma tabela.
Denotamos por I n o conjunto dos n primeiros números naturais,
isto é, I n {1, 2, , n}.
Definição 6.1. Sejam m, n . Uma matriz m por n é uma função
A : I m I n . Para cada (i, j ) I m I n , o valor A(i, j ) é chamado entrada da matriz A .
No exemplo dado acima, temos duas linhas e três colunas e, portanto, gostaríamos de pensar nessa tabela como uma matriz 2 por 3 no
sentido de nossa definição. Se consideramos então a função
A : I 2 I3
142
dada por
A(1,1) 2 , A(1, 2) 3 , A(1,3) 6 ,
A(2,1) 1, A(2, 2) 0 , A(2,3) = p ,
vemos que A pode ser inteiramente descrita pela tabela do exemplo: pela tabela, o número localizado na i ésima linha (contada de
cima para baixo) e na j ésima coluna (contada da esquerda para a
direita) representa o valor (entrada) A(i, j ) da matriz. Por exemplo,
o número localizado na 2ª linha e 3ª coluna é o p, logo escrevemos
A(2,3) = p. Reciprocamente, se nos é dada a função A como acima,
nada nos impede de organizar os valores em uma tabela, já que existe um número finito deles, estabelecendo por convenção que cada
par ordenado (i, j ) no domínio I 2 I 3 de A dá as coordenadas do
número A(i, j ) na tabela, sendo i o número da linha, e j o da coluna, em que A(i, j ) aparece na tabela. Recuperaríamos, nesse caso,
precisamente a tabela do exemplo.
Essa discussão, é claro, visa apenas a colocar a definição de matrizes em bases mais sólidas. No que segue, adotaremos na prática a
apresentação usual de uma matriz por uma tabela. No entanto, você
deverá estar ciente de que essa tabela, que é um desenho no papel,
é apenas uma representação gráfica conveniente da matriz, que é um
objeto matemático abstrato (uma função), podendo ser obtido sem
ambigüidade a partir da tabela. Além disso, se A é uma matriz m
por n, escreveremos seu valor em (i, j ) pondo Aij ao invés de A(i, j ),
que seria uma notação precisa, mas não usada tradicionalmente. Em
termos concretos, escreveremos A na forma
A11 A1n
.
Am1 Amn
Também utilizaremos freqüentemente a notação A [ Aij ]1im ou
1 jn
sua versão mais curta A [ Aij ], quando não houver possibilidade
de confusão.
No espírito acima, damos uma definição precisa de linha e coluna de
uma matriz.
143
Definição 6.2. Seja A uma matriz m por n . Para cada 1 i m (respectivamente, 1 j n ), a i-ésima linha (respectivamente, j-ésima
coluna) da matriz A é a função liA : I n dada por liA (k ) A(i, k )
para 1 k n (respectivamente, c Aj : I m dada por c Aj (k ) A(k , j )
para cada 1 k m ). A tem, portanto, m linhas e n colunas.
Valem aqui observações semelhantes às feitas após a Definição 6.1.
Na prática, se apresentamos a matriz A como uma tabela, sua
i-ésima linha é dada univocamente pelos n números Ai1 , , Ain , dispostos horizontalmente ao longo da i-ésima linha na tabela, e sua jésima coluna, pelos m números A1 j , , Amj dispostos verticalmente
na coluna correspondente na tabela. Esse fato é precisamente o que
justifica os termos linha e coluna dados às funções abstratas da definição 6.2.
No primeiro exemplo, a segunda linha seria formalmente a função
I 2 : I 3 dada por
l2 (1) 1, l2 (2) 0, l2 (3) = p.
Exercício
1) Na função I : I 2 I 2 , dada por I (1,1) I (2, 2) 1 e
I (1, 2) I (2,1) 0, represente–a por uma tabela. Obtenha as
funções correspondentes respectivamente à segunda linha e
à primeira coluna dessa tabela. Faça o mesmo com a função
I : I n I n dada por
1, se i j
.
I (i, j )
0, se i j
Finalmente, dada a tabela
2 3
2 0
3
4
5
1
,
2
6
obtenha a função correspondente (domínio, contradomínio e
valores).
144
Entre as matrizes, há alguns tipos que merecem atenção especial,
e portanto um nome em separado. Seja A uma matriz m por n.
Dizemos que A é uma matriz–linha (ou vetor–linha) se m 1, isto é,
se A tem uma única linha. De forma semelhante, A é dita ser uma
matriz–coluna (ou vetor–coluna) se n 1, ou seja, se A possui uma
única coluna. A matriz nula m por n tem todas as entradas iguais a
zero, e será denotada por 0mn.
Se m n, dizemos que A é uma matriz quadrada, e o número n é a
ordem da matriz A. Sendo
A11 A1n
A
An1 Ann
uma matriz quadrada de ordem n, a seqüência A11 , A22 , , Ann é chamada diagonal principal. Uma matriz quadrada de ordem 1 pode ser
identificada com um número real, sua única entrada.
Entre as matrizes quadradas de uma ordem fixada n, uma se
destaca: a matriz identidade (de ordem n), que representamos por
I n , da forma
1 0
IInn ,
0 1
ou seja, essa matriz tem todas as entradas da diagonal principal
iguais a 1 e todas as demais entradas iguais a zero. Uma matriz quadrada que tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais
a zero é chamada de diagonal. A matriz identidade é um exemplo
desse tipo de matriz.
Dada uma matriz A, m por n, definimos sua transposta, denotada por
At, como a matriz n por m (note a troca!) obtida a partir de A trocando suas linhas por suas colunas. Mais precisamente, cada entrada
(i, j ) da transposta é a entrada ( j , i ) de A. Em símbolos:
( At )ij Aji ,1 i m,1 j n.
145
Como exemplo, a transposta da matriz do primeiro exemplo é
2 −1
3 0 .
6 p
Uma matriz A é dita ser simétrica se é igual à sua transposta, isto é,
se A At, ou equivalentemente se
Aij Aji ,1 i m,1 j n .
Para isso acontecer, a matriz tem que ser necessariamente quadrada
(por quê?). A matriz identidade de qualquer ordem n é simétrica.
De fato, toda matriz diagonal é simétrica. Mais adiante veremos outros exemplos de matrizes quadradas especiais e, em particular, de
matrizes simétricas.
Parte da utilidade das matrizes é que podemos definir operações entre elas, à semelhança do que fazemos com números ou vetores.
Definição 6.3. Sejam A e B ambas matrizes m por n . A soma de A
e B é a matriz A B m por n com entradas dadas por
A B [ Aij Bij ],
isto é, para cada 1 i m, e cada 1 j n, a entrada da soma correspondente a (i, j ) é aij bij.
Note que a soma de matrizes só está definida entre matrizes com
mesmo número de linhas e colunas. A próxima Proposição, cuja demonstração é deixada como exercício, lista as principais propriedades da soma de matrizes.
Proposição 6.1. A soma de matrizes goza das seguintes propriedades:
(S1) ( A B ) C A ( B C ) , para matrizes m por n quaisquer
A, B, C (Associatividade),
(S2) A 0mn 0mn A A, para uma matriz m por n qualquer A
(Existência de Elemento Neutro),
146
(S3) Para uma matriz m por n qualquer A, existe uma
matriz m por n, que denotamos por A, tal que
A (A) (A) A 0mn (Existência de Inverso Aditivo),
(S4) A B B A, para matrizes m por n quaisquer A , B
(Comutatividade).
Você pode verificar, também como exercício, que o elemento neutro
da soma (a matriz nula) é único, assim como também é única, para
cada matriz A, a sua matriz oposta (isto é, seu inverso aditivo). Note
que essas propriedades são idênticas às das somas de números ou de
vetores, o que justifica o nome “soma” dada à operação.
Assim como fizemos com vetores, podemos multiplicar matrizes
por escalares.
Definição 6.4. Seja A uma matriz m por n e um número real.
A multiplicação de por A é a matriz A m por n com entradas
dadas por
A [ Aij ] ,
isto é, A é a matriz obtida a partir de A multiplicando cada entrada
por .
A próxima proposição, cuja demonstração é também deixada como
exercício, lista as principais propriedades da multiplicação de matrizes por escalares.
Proposição 6.2. A multiplicação de matrizes por escalares goza das
seguintes propriedades:
(SM1) ( 1 2 ) A = 1 ( 2 A), para uma matriz m por n A e
1 , 2 ∈ quaisquer,
(SM2) ( 1 + 2 ) A = 1 A + 2 A, ( A + B) = A + B para matrizes m
por n A , B e 1 , 2 , ∈ quaisquer,
(SM3) 1A A para uma matriz m por n A qualquer.
Novamente, note que essas são precisamente as propriedades da
multiplicação de vetores por escalares. Isso não é mera coincidên-
147
cia, pois, com essas operações, tanto as matrizes m por n (com m
e n arbitrários mas fixos) quanto os vetores são exemplos de uma
estrutura algébrica chamada espaço vetorial, que você estudará em
detalhes na Álgebra Linear. Mas as matrizes ainda possuem, além
dessas operações, uma terceira, o produto de matrizes.
Definição 6.5. Sejam A matriz m por n e B matriz n por p . O produto de A por B é a matriz AB m por p com entradas dadas por
n
( AB )ij : Aik Bkj ,1 i m, i j p.
k1
Observe que o produto de matrizes só está definido se o número de
colunas da matriz “à esquerda” for igual ao número de linhas da
matriz “à direita”, sendo o resultado uma matriz com o número de
linhas igual ao da primeira matriz e com o número de colunas igual
ao da segunda matriz. Em particular, pode existir um produto AB
e não existir o produto BA.
Uma situação muito importante é quando consideramos matrizes
quadradas A e B de uma certa ordem fixada n. Nesse caso, o produto AB e o BA das duas matrizes está definido e dá uma matriz
de ordem n em ambos os casos. O interessante é que o produto,
ao contrário do caso com números, não precisa ser comutativo, isto é,
pode acontecer que
AB BA .
Você pode verificar isso explicitamente calculando o produto AB,
sendo o BA sendo, por exemplo,
0 1
2 0
A
e B
.
1 0
0 1
O resultado será
0 1 0 2
AB
BA.
2 0 1 0
Em alguns casos particulares, no entanto, é possível ter AB BA
(você conseguiria pensar em alguns exemplos?). Outra propriedade curiosa do produto de matrizes é que, ao contrário do que
148
acontece com números, podemos ter que AB é a matriz nula com A
e B ambas não nulas, por exemplo, se
0 1
2 0
A
e B
.
1 0
0 1
Listamos agora as propriedades do produto de matrizes.
Proposição 6.3. O produto de matrizes goza das seguintes propriedades:
(P1) ( AB )C A( BC ), para matrizes A m por n, B n por p e
C p por q quaisquer,
(P2) AI n I m A A , para uma matriz m por n qualquer A,
(P3) A( B C ) AB AC , para matrizes A m por n e B, C n
por p quaisquer,
(P4) ( A B)C AC BC , para matrizes A, B m por n e
C n por p quaisquer.
Demonstração: Exercício.
A propriedade (P2) acima mostra que, se A é uma matriz quadrada
de ordem n, a matriz identidade de ordem n, I n , funciona como um
elemento neutro, isto é, AI n I n A A . Mais precisamente, se chamamos de M n o conjunto de todas as matrizes quadradas de uma
ordem fixada n, então o produto de matrizes define uma operação
nesse conjunto com elemento neutro dado por I n . Ora, dado a um
número real não-nulo, sempre existe um número real b tal que
ab ba 1. Ocorre o mesmo com matrizes? Isto é, dada uma matriz
A M n não-nula, será que sempre existe alguma matriz B M n tal
que AB BA IInn ? A resposta, em geral, é não.
Exemplo. Seja
1 0
A
.
0 0
Dada qualquer matriz 2 por 2 B , podemos escrever
a b
B
.
c d
149
Mas temos
e
a b
AB
,
0 0
a 0
BA
,
c 0
e nenhuma dessas duas matrizes pode ser igual à matriz identidade
de ordem 2 (por que?).
Definição 6.6. Uma matriz quadrada de ordem n é dita ser invertível se existir uma matriz B tal que
AB = BA = I n .
Nesse caso, a matriz B é dita ser a inversa de A . (Observe que em
caso positivo, essa condição implica que B também tem que ser quadrada de ordem n).
Como vimos acima, a inversa de uma matriz quadrada pode não
existir, isto é, nem toda matriz quadrada é invertível. Mas se existe,
é única: sendo A uma matriz quadrada de ordem n e se B, B ' são
inversas, temos
B = BI n = B( AB ') = ( AB ) B ' = I n B ' = B '.
A primeira igualdade segue de que I n é elemento neutro para o produto em M n; a segunda igualdade de B ' ser inversa de A; a terceira
da associatividade do produto de matrizes; a quarta de B ser inversa de A; e a última igualdade ocorre novamente de I n ser elemento
neutro do produto em M n. A unicidade da inversa justifica o uso do
artigo definido que usamos na Definição 6.6. Também justifica que
denotemos por A1 a matriz inversa de A.
Note ainda que o fato da inversa ser única sempre significa que,
se A1 é a matriz inversa de A, então A é a matriz inversa de A1,
isto é, ( A1 )1 A (por quê?).
Uma questão que surge então naturalmente é: dada uma matriz
quadrada, como saber se ela é invertível? Será possível calcular sua
inversa? A resposta vem do uso do determinante de uma matriz, que
será discutido na próxima Seção.
150
6.2 Determinantes e sistemas lineares
A partir de agora, matriz sempre significará, a menos de menção
explícita em contrário, matriz quadrada de ordem n, com n fixado.
Só nos interessarão de forma mais detalhada os casos n 2,3.
Historicamente, os determinantes de matrizes apareceram como
formas de expressar de maneira concisa soluções para sistemas de
n equações lineares com n incógnitas. Alguns cálculos envolvendo
determinantes de matrizes já ocorriam em tratados chineses do séc.
III a.C., embora no Ocidente só começassem a ser utilizados com esse
fim a partir do séc. XVII d.C.. No século XIX de nossa era, passaram
a ser estudados de forma sistemática, e várias de suas principais
propriedades foram estabelecidas nessa época. Hoje, os determinantes são ferramenta fundamental em vários aspectos do estudo de
matrizes, como a existência de soluções de certos sistemas de equações lineares e na determinação da inversibilidade de uma matriz.
Um desenvolvimento sistemático da teoria dos determinantes e, em
particular sua aplicação aos sistemas lineares, está fora do nosso escopo e será apresentado com detalhes no curso de Álgebra Linear.
Apresentaremos aqui os resultados principais de forma relativamente esquemática, enfatizando os casos n 2,3.
Comecemos considerando um sistema de n equações lineares com
n incógnitas x1 , , xn:
a11 x1 a1n xn b1
an1 x1 ann xn bn
(1)
Usando a definição de produto de matrizes, você pode verificar que
o sistema pode ser reescrito na forma
a11 a1n x1 b1
.
an1 ann xn bn
(2)
151
Se então chamamos
a11 a1n
x1
b1
A , X e b ,
an1 ann
xn
bn
podemos reescrevê-la na forma simples
AX b.
Dessa maneira, o sistema com n equações numéricas se torna uma
única equação entre matrizes, tendo como incógnita a matriz–coluna X . A eq. (2) é chamada forma matricial do sistema (1), e A, a matriz
dos coeficientes desse sistema. A ordem do sistema é a ordem de sua
matriz de coeficientes. Uma solução do sistema (1) é então uma matriz coluna X satisfazendo (2).
Como você pode imaginar, o problema de obter diretamente soluções para (1) fica mais complicado à medida que n, o número de
equações e incógnitas, cresce. Surpreendentemente, o matemático
suíço Gabriel Cramer (1704–1752) desenvolveu um método, hoje conhecido como Regra de Cramer, que dá a solução geral do sistema (1)
em termos de certos determinantes (mediante algumas hipóteses
– veja abaixo).
Para ver como a Regra de Cramer funciona, é interessante considerar dos casos n 2 e n 3, que serão os únicos importantes para
nós, nesse momento.
Iniciando com o sistema de n 2
a11 x1 a12 x2 b1
a21 x1 a22 x2 b2
podemos subtrair a segunda equação multiplicada por a12 da primeira equação multiplicada por a22 e obter
(a11a22 a12 a21 ) x1 b1a22 b2 a12,
e assumindo que a11a22 a12 a21 0, teremos
x1
b1a22 b2 a12
.
a11a22 a12 a21
(3)
152
Similarmente, você pode tentar obter, multiplicando a primeira
equação do sistema por a21, a segunda por a11 e, operando de forma
conveniente, que
(a11a22 a12 a21 ) x2 b2 a11 b1a21 . (4)
Novamente, sendo a11a22 a12 a21 0, teremos
x2
b2 a11 b1a21 .
a11a22 a12 a21
x1
Portanto, há uma única solução , inteiramente determinada pelas
x2
equações acima, desde que nossa hipótese a11a22 a12 a21 0 se verifique.
Note que em ambas as equações, à parte dos denominadores serem
ambos iguais a a11a22 a12 a21 , a solução não parece muito simples de
memorizar.
Isso muda se introduzirmos a seguinte definição:
Definição 6.7. Dada uma matriz 2 por 2 qualquer
b11 b12
B
b21 b22
o determinante de B, denotado por det B, é o número b11b22 b12b21 .
Com essa definição, concluímos que, para existir uma única solução de
nosso sistema, é suficiente que o determinante da matriz dos coeficientes
a11
A
a21
a12
a22
seja diferente de zero. Em caso afirmativo, teremos
b1 a12
a11 b1
det
det
b2 a22
a21 b2
x1
e x2
det A
det A
como você pode verificar diretamente, usando a Definição 6.7. O numerador de cada xi é o determinante da matriz obtida a partir da
matriz dos coeficientes substituindo a i-ésima coluna (i 1, 2 confor-
153
b1
me o caso) dessa matriz pelo vetor–coluna , e o denominador,
b2
comum a todos eles, é det A Regra de Cramer para sistemas 2 por 2 é
precisamente essa.
Exemplo. Use a Regra de Cramer para obter a solução do sistema
2 x1 x2 5
x1 3 x2 6.
Resolução. Primeiro, note que o determinante da matriz dos coeficientes é
2 1
det
2(3) 11 7 0,
1 3
e, portanto, podemos aplicar a regra de Cramer, que nesse caso dá:
5 1
2 5
det
det
7
6 3 (21)
1 6
x1
3 e x2
1,
(7)
(7)
(7)
(7)
3
ou seja, é a (única) solução.
1
E se det A 0? Nesse caso, obtemos de (3) e (4) que:
b1a22 b2 a12 0 x1
b2 a11 b1a21 0 x2 ,.
Temos então duas possibilidades. Na primeira
b1a22 b2 a12 b2 a11 b1a21 0.
Nesse caso, o sistema admite infinitas soluções: qualquer vetor–
x1
coluna é solução do sistema. A segunda possibilidade é se
x2
b1a22 b2 a12 0 ou b2 a11 b1a21 0 Nessa situação, o sistema não
admite nenhuma solução.
Em situações concretas, os sistemas dois por dois são simples o suficiente para que os resolvamos sem utilizar a Regra de Cramer. No
entanto, é possível generalizar essa discussão para sistemas de ordem n qualquer, nos quais o método pode se tornar de grande valia.
O principal resultado a esse respeito pode ser resumido no seguinte
Teorema, que apresentaremos sem demonstração:
154
Teorema 6.1 (Regra de Cramer – Caso Geral). Um sistema com n
equações e n incógnitas
a11 x1 a1n xn b1
,
an1 x1 ann xn bn
cuja matriz dos coeficientes tem determinante diferente de zero, em
símbolos,
a11 a1n
det 0 ,
an1 ann
tem uma única solução dada por
a11 b1
det
an1 bn
xi
a11
det
an1
a1n
ann
,
a1n
ann
com i 1, 2, , n, em que o numerador é a matriz obtida a partir da
matriz dos coeficientes substituindo–se a i-ésima coluna pelo vetor
b1
coluna .
bn
Apesar de dar a solução do sistema de forma explícita, a Regra de
Cramer não é muito utilizada em cálculos numéricos concretos
quando n é grande, pois o cálculo dos determinantes se torna bastante pesado, mesmo usando o computador. Mas com n 3, essa regra é utilíssima, e os cálculos envolvidos podem ser feitos manualmente. Note ainda que não se pode utilizar a Regra de Cramer caso
o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo. Nesse caso, ou
a solução do sistema não existe, ou existem infinitas soluções.
Para utilizar a Regra de Cramer, obviamente temos que calcular determinantes. Para o caso n 3, a definição é:
O caso intermediário, em
que o número de soluções
é finito e maior do que um,
não pode ocorrer. Como
já indicamos, a razão disto
ficará clara quando você
estudar álgebra linear.
155
a11
det a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 a11a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21a32 a31a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21a12 .
a33
Podemos escrever a soma do segundo membro na forma
a11 (a22 a33 a23 a32 ) a12 (a21a33 a23 a31 ) a13 (a21a32 a22 a31 )
ou, ainda, como
a22
a11 det
a32
a21
a23
a12 det
a33
a31
a21
a23
a13 det
a33
a31
a22
.
a32
Chame de A a matriz, 3 por 3, original e, para cada i, j 1, 2,3,
chame de A(ij ) a matriz 2 por 2 obtida a partir de A removendo-se a
i ésima linha e a j ésima coluna. Finalmente, definimos o cofator
do elemento aij por
ij (1)i j det A(iij, )j ,
e podemos, então, escrever
3
det A a1111 a12 12 a13 13 a1 j 1 j .
j1
É interessante notar que (a11 a12 a13 ) é a primeira linha da matriz
A . No entanto, você pode testar por você mesmo que, se tomássemos qualquer linha, o resultado seria o mesmo! Isto é, se considerássemos a i-ésima linha (i 1, 2,3) ainda teríamos
3
det A ai1i1 ai 2 i 2 ai 3 i 3 aij ij .
j1
Esta fórmula é o desenvolvimento do determinante de A pela i-ésima
linha. Tem mais: uma fórmula análoga vale para colunas! Em outras
palavras, se fixamos a j-ésima coluna ( j 1, 2,3), temos
3
det A a1 j 1 j a2 j 2 j a3 j 3 j aij ij.
i1
Essas fórmulas podem ser generalizadas para n qualquer, e são
chamadas de desenvolvimento de Laplace do determinante.
156
Exemplo. Obtenha o determinante da matriz
1 2 3
A 2
1 1.
2 1 2
Resolução. Vamos tomar, por exemplo, a segunda coluna para desenvolver o determinante. A fórmula geral, nesse caso, se torna:
det A (2)12 1 22 (1)32.
Calculando os cofatores:
2 1
12 (1)12 det
2;
2 2
1 3
22 (1) 22 det
8;
2 2
1 3
32 (1)32 det
7.
2 1
Portanto,
det A (2)(2) 18 (1)7 5.
Você pode escolher outra linha ou coluna e desenvolver o determinante a partir dela, para verificar que o mesmo resultado é obtido.
Exemplo. Resolva o sistema 3 por 3
2 x 3 y 7 z 1
x 3z 5
2 y z 0.
Resolução. Considerando a matriz dos coeficientes, temos
2 3 7
det 1 0
3 1 0 .
0 2 1
Portanto, podemos usar a Regra de Cramer. Nesse caso, temos
1 3 7
det 5 0
3
0 2 1
49
x
1
157
2 1 7
det 1 5 3
0 0 1
9
y
1
2 3 1
det 1 0 5
0 2 0
z
18.
1
Definição. Seja A uma matriz quadrada. Cof ( A) é a matriz tal que
sua entrada ij é o cofator ij . Verifique que A.(Cof ( A))t (det A).I n .
(Cof ( A))t é chamado de adjunta clássica de A.
6.3 Quádricas
As (superfícies) quádricas são subconjuntos de pontos ( x, y, z ) 3
que satisfazem uma equação da forma
ax 2 by 2 cz 2 2dxy 2exz 2 fyz gx hy iz j 0 ,
em que a, , j são números reais quaisquer. Por exemplo, a esfera
com centro na origem e raio r 0 é uma quádrica, pois se fazemos
a b c 1, d e f g h i 0 e j r obtemos sua equação
como um caso particular da equação geral. É conveniente escrever
essa equação na forma matricial
(x
y
a
z ) d
e
d
b
f
e x
f y ( g
c z
x
h i ) y j 0
z
d
b
f
g
x
e
f , N h e X y ,
c
i
z
(Verifique). Fazendo
a
M d
e
podemos reescrever aquela equação na forma mais simples
X t MX N t X j 0 .
158
Assim como fizemos no estudo das cônicas (que, aliás, podem ser
pensadas como versões, no plano, das quádricas), dada uma equação na forma quadrática acima, podemos realizar rotações e translações dos eixos coordenados de modo a reduzir a equação a uma
forma mais simples, que nos permita identificar e esboçar as quádricas. No entanto, esse processo é bem mais difícil em três dimensões,
pois no espaço há um número maior de possibilidades geométricas
ao se realizarem rotações e translações. Apesar disso, o resultado
final desse processo pode ser resumido no seguinte resultado, a ser
provado na Álgebra Linear:
Teorema 6.2. Dada uma matriz simétrica M de ordem n, existe
uma matriz ortogonal Q, isto é, tal que
Q ' Q = QQ ' = I n , ,
tal que QMQ t é uma matriz diagonal. Dizemos que Q diagonaliza M .
Dada uma matriz M simétrica qualquer, em geral não é tarefa fácil
obter uma matriz ortogonal que a diagonaliza. Esse processo corresponde, como mencionamos, a obter novos eixos coordenados,
realizando rotações em três dimensões, com respeito aos quais a
equação da quádrica se simplifica. Para nós, os detalhes desse processo não serão importantes. O que importa é que a matriz que realiza a diagonalização existe. Dada a matriz M , seja Q uma matriz 3
por 3 ortogonal que a diagonaliza.
Note que, se A e B são matrizes (quadradas de ordem n) quaisquer, temos
n
n
n
k1
k1
k1
( AB ) ij ( AB ) ji Ajk Bki Bki Ajk ( B t )ik ( At ) kj ( B t At )ij ,
t
t
para quaisquer 1 i, j n e, portanto, AB B t At. Assim,
D QMQ t, S QN e Y QX ,
lembrando-se que Q ' Q = QQ ' = I n , que é o elemento neutro para o
produto de matrizes. Logo,
X t MX N t X j X t Q t QMQ t QX N t Q t QX j
(QX )t QMQ t QX (QN )t QX j Y t DY S tY j.
159
Agora, escrevendo
1
D 0
0
0
2
0
x '
1
0
0 , S 2 e Y y ',
3
z '
3
a equação da quádrica ficará
1 x '2 + 2 y '2 + 3 z '2 + 1 x '+ 2 y '+ 3 z '+ j = 0.
No que segue, omitimos o sobrescrito '.
6.3.1 Quádricas centrais
Temos uma variedade bastante grande de possíveis quádricas. Concentrar-nos-emos inicialmente no caso em que 1 = 2 = 3 = 0:
1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 + j = 0.
As quádricas correspondentes são ditas centrais, pois se um ponto
( x, y, z ) pertence à quádrica, então (x,y,z ) também pertence,
ou seja, quádricas desse tipo permanecem inalteradas se realizamos
uma reflexão em torno da origem. Por exemplo, uma esfera de raio
unitário com centro em (1,1,1) não é uma quádrica central, pois sua
equação pode ser escrita na forma: (verifique!)
x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 2 z 2 0,
que não tem a forma geral. De fato, por uma reflexão em torno da
origem, essa esfera seria levada em uma esfera de raio unitário, mas
com centro em (1,1,1). Geralmente, não é difícil se convencer
de que somente uma esfera com centro na origem pode ser uma
quádrica central.
Mesmo entre as quádricas centrais, existe uma variedade bastante
grande, dependendo dos sinais relativos dos i 's e de j. Temos as
seguintes possibilidades:
i) Os três i 's são nulos.
Esse caso é meramente uma curiosidade. Nesse caso, a equação reduzida se torna
j 0.
160
Se, de fato, j 0, todo ponto de 3 é solução; caso j 0,
o conjunto de soluções é vazio. Portanto, 3 e o conjunto vazio são
tipos particulares de quádricas.
ii) Só dois dos i 's são nulos.
Para fixar idéias, tome 1 = 2 = 0 e 3 ≠ 0 (os demais casos serão
inteiramente análogos, diferindo por uma troca adequada de direções). Nesse caso, a equação reduzida se torna
z2 = −
j
.
3
Se j 0, essa é uma equação do plano XY, que é portanto uma
j
quádrica central! Se
> 0, não podemos ter solução, pois nes3
se caso o segundo membro seria negativo, enquanto que z 2 0,
j
e a quádrica correspondente é novamente o conjunto vazio. Se
< 0,
3
j
escrevemos a = − , e a equação reduzida se torna
3
z 2 a 2 z a,
que descreve um par de planos paralelos ao plano XY ( z a e
z a ).
iii) Somente um dos i 's é nulo.
Suponha que 3 = 0, 1 2 ≠ 0. Nesse caso, 1 e 2 podem ter o mesmo sinal ou sinais opostos.
Caso j 0, teremos, em resumo, que:
1 x 2 ± 2 y 2 = 0.
Para o sinal ‘ ’, todo ponto da forma (0, 0, t ) com t é solução,
e teremos então uma parametrização do eixo Z (verifique!). Do
contrário, teremos
1 x 2 − 2 y 2 = ( 1 x +
2 y )( 1 x −
2 y ) = 0,
que descreve dois planos paralelos ao eixo Z (por quê?).
161
Se j 0, podemos dividir a equação reduzida por j e ficamos com
1 2 2 2
x +
y = 1.
j
j
Se
1 2
, < 0, a solução é o conjunto vazio. Do contrário, escrevemos
j j
j
j
a=
e b=
,
1
2
para obter as possibilidades
x2 y 2
a) 2 2 1
a
b
b)
x2 y 2
1
a 2 b2
c)
x2 y 2
1
a 2 b2
O caso (a) corresponde ao cilindro (reto) de base elíptica, representado
na figura 6.1. Isso porque, para todo plano z constante, a equação
em (a) descreve a mesma elipse, independentemente do valor de z .
z
y
x
Figura 6.1 - Cilindro reto de base elíptica
Um caso particular interessante ocorre quando a b, em que os
cortes transversais do cilindro são circunferências de raio a. Nesse
caso, podemos pensar no cilindro como tendo sido gerado pela rotação da reta paralela ao eixo z passando por (a, 0, 0) em torno do
eixo Z. Esse é o chamado cilindro (reto) de revolução.
Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação
4 z 2 9 y 2 1.
162
Resolução. Note que a interseção da quádrica com os planos
x constante não dependem do valor de x. Basta identificar o aspecto dessa interseção quando x 0. Nesse caso, a equação dada
descreve uma elipse no plano ZY , e temos então um cilindro de base
elíptica.
Os casos (b) e (c) descrevem, por razões semelhantes às do caso (a),
um cilindro (reto) de base hiperbólica, pois suas seções transversais são
hipérboles (fig. 6.2).
z
y
x
Figura 6.2 - Cilindro de base hiperbólica
iv) Nenhum dos i 's é nulo.
Essa é a situação mais rica. Novamente temos dois subcasos:
iv.a) j 0.
Nessa situação, a equação reduzida se torna
1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 0.
Se todos os i 's tiverem o mesmo sinal, podemos escrever essa equação na forma
1 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 0
que só admite uma solução, a saber x y z 0, e, portanto, a quádrica será um único ponto (a origem). Do contrário, teremos dois
dos i 's negativos (positivos) e o terceiro positivo (negativo). Você
pode verificar, como exercício, que todas as possibilidades são dadas
por equações da forma:
163
x 22 y 22
z x 22 y22 ,
z ax 2 by2 ,
z a 22 b 22 ,
ax
bz
y 22 x 222 z 222 ,
y 2 ax 2 cz 2 ,
y a 22 c 22 ,
ay
cz
x 22 y222 z 222 .
x 2 by2 cz 2 .
x b2 c2 .
b
c
2
2
2
z
x
y
Figura 6.3 - Cone duplo de
base elíptica
Estas três possibilidades correspondem a um cone duplo de base elíptica. Vamos considerar a primeira dessas equações. Para ver o porquê
dessa denominação, basta notar que a interseção com um plano paralelo ao plano XY é dada, tomando-se z constante na equação.
Se z 0, temos que ter x y 0, e, portanto, o plano XY intersecta
essa quádrica em um único ponto. Quando z 0, a equação descreve elipses, cujo tamanho, porém, depende do valor de z 2, e em
particular a equação é invariante pela transformação z z , o que
mostra que a figura se mantém inalterada por uma reflexão com
respeito ao plano XY . A interseção dessa quádrica com o plano YZ
y
( x 0 ) são as retas z , e com o plano XZ ( y 0 ) são as retas
b
x
z . A representação desse tipo de cone está na figura 6.3.
b
O eixo Z nesse caso coincide com o eixo do cone. No caso particular
em que a b, temos um cone duplo de revolução, pois podemos penx
sá–lo como tendo sido gerado pela rotação da reta z em torno
a
do eixo Z. As duas equações restantes descrevem cones cujo eixo
coincide com os eixos Y e X , respectivamente.
Exemplo. Identifique e esboce a quádrica dada pela equação
x 2 2 y 2 z 2 0.
Resolução. Podemos escrever essa equação na forma z 2 x 2 2 y 2,
que tem a forma da primeira equação, sendo portanto um cone duplo de base elíptica. Para esboçá–lo, considere elipses representativas
com z 1.
164
iii.b) j 0.
Nessa situação, além do conjunto vazio, as demais possibilidades se
reduzem a um dos grupos abaixo:
• Grupo (E)
x2 y 2 z 2
1,
a 2 b2 c2
• Grupo (H1)
x 22 y 22 z 22
x 22 y22 z 22 1,
ax 2 by2 cz 2 1,
2a 2 2b 2 2c 2 1,
x 2a y 2b z 2c
x 2 y 2 z 2 1,
ax 22 by22 cz 22 1,
a 2 b 22 c 2 1,
ax 2 by 2 cz 2
x 2 y 2 z 2 1,
ax 22 by22 cz 22 1,
a 2 b 2 c 2 1,
a
b
c
• Grupo (H2)
x 22 y 22 z 22
x 2 y22 z 22 1,
1,
ax 22
by2
cz 2
1,
a2
b
c2
2
2
2
2
a x2 b y 2 c z 2
x 22 y22 z 22 1,
ax 2 by2 cz 2 1,
a 22 b 22 c 22 1,
ax 2 by 2 cz 2
x 22 y22 z 22 1,
ax 2 by2 cz 2 1,
a 2 b 2 c 2 1,
a
b
c
O Grupo (E) tem um único representante, o elipsóide (figura 6.4).
z
z
O
O
y
x
x
A
B
Figura 6.4 - (a) Elipsóide e (b) elipsóide de revolução
y
165
Suas interseções com os planos XY , XZ e YZ são respectivamente
as elipses
x2 y 2
x2 z 2
y2 z2
1,
1,
1.
a 2 b2
a2 c2
b2 c2
2a, 2b e 2c são os comprimentos dos eixos do elipsóide, cada um
deles contido em um eixo ordenado (figura 6.4a). Se dois desses três
são iguais, temos um elipsóide de revolução. Por exemplo, se b c, o
x2 ( y 2 z 2 )
elipsóide 2
1 pode ser pensado como gerado pela roa
b2
x2 y 2
tação da elipse 2 2 1, em torno do eixo X (figura 6.4b).
a
b
z
y
x
Figura 6.5 - Hiperbolóide de uma folha
As quádricas do Grupo (H1) são hiperbolóides de uma folha (figura
6.5). Por exemplo, se tomamos a terceira das equações acima, temos
que a interseção da quádrica correspondente com o plano XZ é a
x2 z 2
y2 z2
hipérbole 2 2 1, com o plano YZ é a hipérbole 2 2 1. Por
a
c
b
c
outro lado, a interseção com um plano z d paralelo ao plano XY
é dada por
x2 y 2
d2
,
1
a 2 b2
c2
que é a equação de uma elipse. No caso em que a b, essas elipses
são circunferências, e temos um hiperbolóide de revolução de uma folha,
x2 z 2
gerado pela rotação da hipérbole 2 2 1 situada no plano XZ
a
c
em torno do eixo Z.
166
As quádricas do Grupo (H2) são hiperbolóides de duas folhas (figura 6.6).
z
x
y
Figura 6.6 - Hiperbolóide de duas folhas
Novamente, se tomamos a terceira das equações acima, e reescrevemo-la na forma
z2
x2 y 2
1
,
c2
a 2 b2
fica claro que todo ponto dessa quádrica satisfaz a condição z c.
Ou seja, essa quádrica não possui pontos entre os planos z c
e z c. A interseção da mesma com qualquer plano z d com
d c é dada pela equação
x2 y 2
d2
,
1
a 2 b2
c2
que descreve uma elipse. A quádrica intersecta o plano XZ, segunx2 z 2
do a hipérbole 2 2 11, e com o plano YZ, segundo a hipérboa
c
2
2
y
z
le 2 2 1. Novamente, se a b, temos o hiperbolóide de revolub
c
ção de duas folhas.
6.3.2 Quádricas não–centrais
Essas quádricas correspondem à situação na qual algum dos a i 's da
equação reduzida é não nulo. Os únicos casos que vamos considerar
serão aqueles que possam ser reduzidos aos seguintes grupos:
167
• Grupo (PE)
y22 z22
x y z ,
x yb222 zc222 ,
x b 22 c 22 ,
bx2 cz2
y x 22 z 22 ,
y xa2 zc2 ,
y a 2 c 22 ,
ax2 cy2
z x 22 y 22 ,
z xa2 yb2 ,
z a 2 b2 ,
a
b
• Grupo (PH)
y 22 z 22
x y22 z 22 ,
x by22 cz 22 ,
x by222 cz 222 ,
x byyx222 czz 222 ,
xy
bx22
cz 22 ,,
xy
bbax2222 ccz 2222 ,
y ax222 cz 222 ,
y xax222 cyzz 222 ,
xa22
cy 22 ,
zyy
z axa2222 bccy2222 ,,
z ax 22
byy22 ,,2
2 b
z axx 22 y
2 b
y222zz,2 ,
zx
a
2 y
2
zx
2 b 2 z,22
a 2by
2
a
b ccz 222 ,,
x by2222
y
x byx222 czz 22222 ,
xy bx22 cz 22 ,
xy
bx222
cz 222 ,,
y baax2222 ccz 2222 ,
y xax222 cyzz 222 ,
xa22
cy 22 .,
zyy
z axa2222 bcyc2222 .,
z ax 22 by22 .
z axx 22 byy22 .
z a 2 b 2 .
z a 2 b 2 .
a
b
As equações do Grupo (PE) descrevem o parabolóide elíptico (figura 6.7).
z
y
x
Figura 6.7 - Parabolóide elíptico
Consideremos a terceira das equações do grupo PE. Primeiramente,
note que a quádrica correspondente não possui ponto para os quais
168
x2
z 0 . Sua interseção com o plano XZ é a parábola z 2 , e com
a
y2
o plano YZ é a parábola z 2 . Sua interseção com o plano XY é
b
x2 y 2
dada pela equação 2 2 0 , que só possui solução x y z 0,
a
b
e com os planos z d com d 0 pelas equações
x2 y 2
d,
a 2 b2
que são elipses. Quando a b, temos um parabolóide de revolução.
Finalmente, as equações do Grupo (PH) descrevem parabolóides hiperbólicos (figura 6.8)
z
y
x
Figura 6.8 - Parabolóide hiperbólico
Considere, por exemplo, a primeira dessas equações. A interseção da
y2 d 2
quádrica com os planos z d são as parábolas x 2 2 , e com o
b
c
z2
eixo XZ é a parábola x 2 . Essa figura é formada ao deslizar a
c
y2
parábola x 2 (contida no plano XY ) sobre seu vértice ao longo
b
z2
da parábola invertida x 2 .
c
Exercícios
Identifique e esboce as seguintes quádricas:
2) 4 x 2 4 y 2 z 2 4;
3) 3 x 2 8 y 2 4 z 2 1;
4) 3 x 2 8 y 2 4 z 2 1;
169
5) z 4 x 2 y 2;
6) z 4 x 2 y 2;
2
2
2
7) y x z ;
8) z 2 x 2 2 y 2.
Bibliografia
SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e matrizes. 3.ed.
São Paulo: Thomson, 2007.
LIMA, Elon L. de. Geometria analítica e álgebra linear.
Rio de Janeiro: SBM, 2001.
170
Referências
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São Paulo: Mc Graw Hill, 1987.
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development and history. 3. ed. New York: W. H. Freeman,
1993.
[3] IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São
Paulo: Atual, 1993. v. 1.
[4] IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar. 4. ed. São
Paulo: Atual, 1993. v. 7.
[5]LIMA, E. L. de. Coordenadas no plano. 4. ed. Rio de Janeiro:
SBM, 2002.
[6] LIMA, E. L. de. Coordenadas no espaço. 3. ed. Rio de
Janeiro: SBM, 1998.
[7]LINDQUIST, M. M. et al. Aprendendo e ensinando
geometria. São Paulo: Atual, 1994.
[8] SAFIER, F. Pré-cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.
(Schaum).
[9] SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes. 4. ed. Rio de
Janeiro: LTC, 2007.
