Exdercícios sobre planos e retas .

MA141 - Prof. Stefano De Leo
[A05-3.1]
Planos e Retas
→
−
1) Escrever a equação do plano que passa pelo ponto P1 = (2, 1, −1), sabendo que o vetor V = (1, −2, 3)
é normal ao plano.
Res
−−→
Consideramos um ponto qualquer, P = (x, y, z), que pertence ao plano. O vetor P1 P que pertence ao
→
−
plano é perpendicular ao vetor V , então temos
−−→ →
−
P1 P · V = 0
⇒
(x − 2, y − 1, z + 1) · (1, −2, 3) = 0
⇒
x − 2 − 2y + 2 + 3z + 3 = 0 .
x − 2y + 3z + 3 = 0
2) Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (3, −1, 2), P2 = (4, −1, −1) e P3 = (2, 0, 2)
.
Res
−−→ −−→ −−→
Os vetores P1 P , P1 P2 e P1 P3 pertencem ao plano. Consequentemente
¯
¯
¯ x−3 y+1 z−2 ¯
¯
¯
−−→ −−→
−−→
1
0
−3 ¯¯ = 0 ⇒ 3 (x − 3) + 3 (y + 1) + z − 2 = 0 .
P1 P · P1 P2 × P1 P3 = 0 ⇒ ¯¯
¯ −1
1
0¯
3x + 3y + z − 8 = 0
3) Escrever a equação do plano que passa pelos pontos P1 = (2, −1, 3) e P2 = (3, 1, 2), sabendo que o
→
−
vetor V = (3, −1, −4) é paralelo ao plano.
Res
−−→ −−→
→
−
Os vetores P1 P e P1 P2 pertencem ao plano e o vetor V é paralelo ao plano. Consequentemente
¯
¯
¯ x−2 y+1 z−3 ¯
¯
¯
−−→ −−→
→
−
1
2
−1 ¯¯ = 0 ⇒ −9 (x − 2) + y + 1 − 7 (z − 3) = 0 .
P1 P · P1 P2 × V = 0 ⇒ ¯¯
¯
3
−1
−4 ¯
9x − y + 7z − 40 = 0
[A05-3.2]
4) Escrever a equação do plano que passa pelo ponto P1 = (3, 4, −5), sabendo que V e W , V = (3, 1, −1)
e W = (1, −2, 1), são vetores paralelos ao plano.
Res
−−→
→ −
−
→
O vetor P1 P pertence ao plano e os vetores V e W são paralelos ao plano. Consequentemente
¯
¯
¯ x−3 y−4 z+5 ¯
¯
¯
−−→ −
→
−
→
3
1
−1 ¯¯ = 0 ⇒ −x + 3 − 4 (y − 4) − 7 (z + 5) = 0 .
P1 P · V × W = 0 ⇒ ¯¯
¯
1
−2
1¯
x + 4y + 7z + 16 = 0
5) Escrever as equações paramêtricas da reta
½
2x + y − z − 3 = 0 ,
x+y+z−1 = 0 .
Res
Seja z = t o nosso parámetro. Re-escrevemos o sistema em forma matricial
¶
¶ µ
¶µ
¶
µ ¶ µ
¶µ ¶ µ
µ
2 + 2t
3+t
1 −1
x
3+t
x
21
=
=
⇒
=
−1 − 3t
1−t
−1 2
y
1−t
y
11
P (t) = (2, −1, 0) + (2, −3, 1) t
6) Dada a reta
½
2x + y − z − 3 = 0 ,
x+y+z−D = 0 ,
determinar o valor de D que garante que a reta cruze o eixo x. Calcular o ponto de intersecção.
Res
A reta que representa o eixo x é dado pela intersecção dos planos y = 0 e z = 0. Consequentemente,
impondo y = z = 0 no sistema dado temos 2x = 3 e x = D que implica D = 32 .
P0 =
MA141 Stefano De Leo
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¢
2 , 0, 0