Lista de Exercícios 3

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Disciplina: Vetores e Geometria Analítica
Professor: Almir Rogério Silva Santos
Período: 2011/1
Lista de Exercícios 3
1. Determinar uma equação vetorial da reta r definida pelos pontos A = (2, −3, 4) e B = (1, −1, 2)
e verificar se os pontos C = ( 52 , −4, 5) e D = (−1, 3, 4) pertencem a r. Resposta: (x, y, z) =
(2, −3, 4) + t(−1, 2, −2), C ∈ r e D , r. Existem outras possibilidades para a equação da reta.


x=2+t



y=3−t
2. Dada a reta r : 
determinar o ponto de r tal que


 z = −4 + 2t
(a) a ordenada seja 6. Resposta: (−1, 6, −10)
(b) a abscissa seja igual à ordenada. Resposta:
5 5
2 , 2 , −3
(c) a cota seja o quádruplo da abscissa. Resposta: (−4, 9, −16)


x = 1 + 3t



y = 2 − 4t . Se P = (m, n, −5) ∈
3. A reta r passa pelo ponto A = (4, −3, −2) e é paralela à reta s : 


 z=3−t
r, determinar m e n. Resposta: m = 13 e n = −15.
Figure 1:
4. Com base na figura 1, escrever equações paramétricas para as retas que passam pelos pontos
(a) A e B
(b) C e D
(c) A e D
(d) B e C
(e) D e E
(f) B e D
1
5. Os pontos M = (2, −1, 3), N = (1, −3, 0) e P = (2, 1, −5) são pontos médios dos lados de um
triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto médio é
M. Resposta: x = 2 + t, y = −1 + 4t e z = 3 − 5t. Existem outras respostas.
6. Obter equações reduzidas na variável x da reta
(a) que passa por A = (4, 0, −3) e tem a direção de ~
v = (2, 4, 5);


x=2−t



y = 3t
(b) dada por 
.


 z = 4t − 5
7. Determinar o ângulo entre as seguintes retas e verificar se elas se intersectam.


x = −2 − t



y=t
(a) r1 : 
e
r2 : x2 = y + 6 = z − 1. Resposta: 60o


 z = 3 − 2t
(
y = −2x + 3
o
(b) r1 :
e
r2 : y = z+1
−1 ; x = 4. Resposta: 30
z=x−2



y
x−4
z+1
 x=1
2
o
y
(c) r1 :
=
=
e
r1 : 
.
Resposta:
θ
=
arccos
z
−
2
3 48 11


=
2
−1
−2
4
3
da reta
8. Encontrar equações paramétricas
(
( que passa por A = (3, 2, −1) e é simultaneamente
x=3
y=x−3
ortogonal às retas r1 :
e r2 :
. Resposta: x = 3 + t, y = 2 − t e z = −1.
y = −1
z = −2x + 3
9. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção.
(
(
y = 2x − 3
y = −3x + 7
(a) r1 :
e
r2 :
Resposta: (2,1,3)
z = −x + 5
z=x+1
(
y−4 z+1
y = 2x − 3
=
Resposta: Não se intersectam.
(b) r1 :
e
r2 : x =
z = −x − 10
3
−2

(

x=2+t


y=6−x

y=4−t
(c) r1 : 
e
r2 :
Resposta: Coincidem.

z
=2−x

 z = −t
10. Determine o valor de k para que o plano Π : kx − 4y + 4z − 7 = 0 seja paralelo ao plano cuja
equação geral é dada por Ω : 3x + y − z − 4 = 0. Resposta: k = −12.
11. Determinar uma equação geral e paramétrica do plano
(a) paralelo ao plano Π : 2x − 3y − z + 5 = 0 e que contenha o ponto A(4, −2, 1). Resposta:
2x − 3y − z − 13 = 0


x = 2 + 2t



y = 1 − 3t e que contenha o ponto A = (−1, 2, 3). Resposta:
(b) perpendicular à reta r : 


 z = 4t
2x − 3y + 4z − 4 = 0.
2
(c) que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A = (5, −1, 4) e B = (−1, −7, 1) e
seja perpendicular a ele. Resposta: 4x + 4y + 2z + 3 = 0.
(d) que passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (−1, 2, −1) e C = (1, 1, −1). Resposta: 3x + 6y +
2z − 7 = 0.
(e) que passa pelos pontos A = (2, 1, 0), B = (−4, 2, −1) e C = (0, 0, 1). Resposta: x − 2y = 0.
(f) contém os pontos A = (1, −2, 2) e B = (−3, 1, −2) e é perpendicular ao plano Π1 :
2x + y − z + 8 = 0. Resposta: x − 12y − 10z − 5 = 0.
(g) contém o ponto A = (1, −1, 2) e o eixo z. Resposta: x + y = 0


x = 1 + t − 2s



y=1−s
12. Sendo 
equações paramétricas de um plano Π, obter uma equação geral.


 z = 4 + 2t − 2s
Resposta: 2x − 2y − z + 4 = 0
13. Determine a interseção dos planos Π1 : 3x + y − 3z − 5 = 0 e Π2 : x − y − z − 3 = 0.
14. Achar a distância do ponto P à reta r, nos casos:
√
(a) P = (2, 3, −1), r : x = 3 + t, y = −2t e z = 1 − 2t. Resposta:
q
(b) P = (3, 2, 1), r : y = 2x, z = x + 3 Resposta: 72
117
3
(c) P
q= (0, 0, 0), r é a interseção dos planos 2x − y + z − 3 = 0 e x + y − 2z + 1 = 0. Resposta:
54
35
15. Achar a distância do ponto P = (2, −1, 2) ao plano π : 2x − 2y − z + 3 = 0. Resposta:
7
3
√
16. Achar a distância entre os planos paralelos Π1 : x + y + z = 4 e 2x + 2y + 2z = 5. Resposta:
3
2
17. Achar a distância entre r1 : x = 2 − t, y = 3 + t e z = 1 − 2t e r2 : x = t, y = −1 − 3t e z = 2t.
Resposta:
√3
5
3