Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 3
15 de março de 2010
Aula 3
Pré-Cálculo
1
Exercício [07]: erros
Se x ∈ R e x 2 = 4, então x = 2.
Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = −2. De fato:
x = −2 satisfaz a hipótese uma vez que −2 ∈ R e (−2)2 = 4; e x = −2 não satisfaz a
tese uma vez que −2 = 2.
Problemas de organização e erros frequentes:
Soluções dos exercícios
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2
Exercício [06]: erros
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Exercício [22]: erros
Se a ∈ R, b ∈ R e a · b = 1, então a = 1 ou b = 1.
Se x ∈ R e x 2 = x, então x = 1.
Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: a = 2 e b = 1/2. De
fato: a = 2 e b = 1/2 satisfazem a hipótese uma vez que 2 ∈ R, 1/2 ∈ R e (2)·(1/2) = 1;
e a = 2 e b = 1/2 não satisfazem a tese uma vez que 2 = 1.
Solução. A sentença é falsa, pois ela possui um contraexemplo: x = 0. De fato: x = 0
satisfaz a hipótese uma vez que 0 ∈ R e (0)2 = 0; e x = 0 não satisfaz a tese uma vez
que 0 = 1.
Problemas de organização e erros frequentes:
Problemas de organização e erros frequentes:
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18
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26
Exercício [01]: erros
Exercício [01]: erros
Se m e n são inteiros ímpares, então m · n é ímpar.
Se m e n são inteiros ímpares, então m · n é ímpar.
Solução. A sentença é verdadeira. De fato: se m e n são inteiros ímpares, então
m = 2 · k + 1 e n = 2 · l + 1 para alguns inteiros k e l. Assim,
Solução. A sentença é verdadeira. De fato: se m e n são inteiros ímpares, então
m = 2 · k + 1 e n = 2 · l + 1 para alguns inteiros k e l. Assim,
m · n = (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1 = 2 · (2 · k · l + k + l) + 1.
m · n = (2 · k + 1) · (2 · l + 1) = 4 · k · l + 2 · k + 2 · l + 1 = 2 · (2 · k · l + k + l) + 1.
Logo, m · n é um número ímpar.
Logo, m · n é um número ímpar.
Problemas de organização e erros frequentes:
Problemas de organização e erros frequentes:
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39
Exercício extra
Verdadeiro ou falso? Justifique!
Se x ∈ R e
Exercício extra
2·x −1
> 1, então 2 · x − 1 > x − 5.
x −5
Resposta: A sentença é falsa. x = −5 é um contraexemplo, pois
x = −5 satisfaz a hipótese, uma vez que
2 · (−5) − 1
−11
11
=
=
>1
(−5) − 5
−10
10
mas x = −5 não satisfaz a tese, uma vez que
2 · x − 1 = −11,
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40
Aula 3
x − 5 = −10
e
− 11 < −10.
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52
O que é um número?
Dicionário Aurélio:
Número.
[Do lat. numeru.]
S. m.
Números
1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.
2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.
3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]
4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística
mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que
é matematicamente definida como conjunto de todos os conjuntos
equivalentes a um conjunto dado.
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53
O que é um número?
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56
O que é um número?
Wikipédia:
Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras).
Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton).
Não é uma definição formal, mas nos revela para que servem e por
qual motivo foram inventados os números:
Número é um composto da unidade (Euclides).
Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada
arbitrariamente como unidade (Euler).
Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se
a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado
é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma
medição e o resultado é um número real.
Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).
Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin
Constant).
Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles).
Número é uma coleção de unidades (Condorcet).
Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer).
Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).
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60
Números naturais
números
naturais
Números naturais
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interpretados como
61
Números naturais como números ordinais
interpretados como
números
ordinais
números
cardinais
(substantivo)
(adjetivo)
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Números naturais como números ordinais
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.
Axiomas de Peano
2
3
4
..
.
N é um conjunto, cujos elementos são chamados números
naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes
propriedades:
(a) Todo número natural tem um único sucessor.
é o sucessor de
é o sucessor de
é o sucessor de
..
.
1
2
3
..
.
Deve ficar claro que o conjunto N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números
naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são
desprovidos de significado. Cada um desses objetos (um número natural)
possui apenas um lugar determinado nesta sequência. Nenhuma outra
propriedade lhes serve de definição. Todo número tem um sucessor (único)
e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é
sucessor).
(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.
(c) Existe um único número natural, chamado um e representado
pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.
(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.
Se 1 ∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X
ainda pertence a X , então X = N.
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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70
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Sucessor de n é n ∪ {n}
0
∅
1
{∅}
2
3
..
.
Sucessor de n é {n}
0
∅
0 ∪ {0}
1
{∅}
{0}
{∅, {∅}}
1 ∪ {1}
2
{{∅}}
{1}
{∅, {∅}, {∅, {∅}}}
..
.
2 ∪ {2}
..
.
3
..
.
{{{∅}}}
..
.
{2}
..
.
(n − 1) ∪ {n − 1}
n
n
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Números naturais como números ordinais: símbolos
{n − 1}
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79
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Cuneiforme Babilônica
Escrita Maia
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80
Aula 3
Pré-Cálculo
81
Números naturais como números ordinais: símbolos
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Chinesa
Escrita Romana
1
I
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82
Números naturais como números ordinais: símbolos
2
II
3
III
4
IV
5
V
10
X
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50
L
100
C
500
D
1000
M
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83
Números naturais como números ordinais: símbolos
Escrita Egípcia
Escrita Egípcia
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84
Aula 3
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85
Números naturais como números ordinais: operações
Números naturais como números ordinais: ordem
Ordem
Adição
Dados m, n ∈ N, diz-se que m é menor do que n, e escreve-se m < n, para
significar que existe algum p ∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o
sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo
iterado p vezes.
n + 1 é, por definição, o sucessor de n.
n + 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1.
n + 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1.
n + (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.
Propriedades
Multiplicação
n · 1 é, por definição, n.
n · 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n.
n · 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.
n · (p + 1) é, por definição, n · p + n = n + n + · · · + n (com p + 1 parcelas).
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Y
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Pré-Cálculo
(Tricotomia) Se m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes
alternativas: m = n, m < n ou n < m.
(Monoticidade) Se m < n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes
desigualdades m + p < n + p e m · p < n · p.
(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X de N possui um menor
elemento.
(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)
110
Números naturais como números cardinais
X
(Transitividade) Se m < n e n < p, então m < p.
Pode-se demonstrar que estas operações são comutativas, associativas
e distributivas.
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Números naturais como números cardinais
119
X
Y
Aula 3
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121
Números naturais como números cardinais
Números naturais como números cardinais
A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo
matemática que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles
respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.
Definições
Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode
definir uma função bijetiva f : X → Y .
Diz-se que um conjunto X é finito, e que X tem n elementos quando se
pode estabelecer uma função bijetiva f : In → X , onde n ∈ N e
In = {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal
do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o
conjunto vazio é finito e diz-se que ele tem 0 elementos.
Diz-se que um conjunto X é infinito quando ele não é finito. Isto quer dizer que X
não é vazio e que, não importa qual seja n ∈ N, não existe função bijetiva f : In → X .
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129
Números naturais como números cardinais
X
Y
Aula 3
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Números naturais como números cardinais
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?
(Ir para o GeoGebra)
(Ir para o GeoGebra)
Aula 3
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131
132
Aula 3
Pré-Cálculo
133
Números naturais como números cardinais
Um pequeno comentário gramatical
Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, as
palavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.
Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, dois
meses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,
isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” não
são substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas
(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral
e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,
resolveram chamar numeral apenas. Este comentário visa salientar a
diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto N, e
o seu emprego como números cardinais.
O Hotel Infinito de Hilbert
[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]
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Semelhança dos nomes dos números
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
100
1000
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Giuseppe Peano
Sânscrito
Grego
Antigo
Latim
Alemão
Inglês
Francês
Russo
eka
dva
tri
catur
panca
sas
sapta
asta
nava
daca
cata
sehastre
en
duo
tri
tetra
pente
hex
hepta
octo
ennea
deca
ecaton
xilia
unus
duo
tres
quatuor
quinque
sex
septem
octo
novem
decem
centum
mille
eins
zwei
drei
vier
fünf
sechs
sieben
acht
neun
zehn
hundert
tausend
one
two
three
four
five
six
seven
eight
nine
ten
hundred
thousand
un
deux
trois
quatre
cinq
six
sept
huit
neuf
dix
cent
mille
odyn
dva
tri
chetyre
piat
shest
sem
vosem
deviat
desiat
sto
tysiaca
Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)
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136
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137
David Hilbert
Leitura extraclasse
Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)
Aula 3
Pré-Cálculo
138
Leitura extraclasse
Aula 3
Pré-Cálculo
139
Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube
Capítulos 1, 2 e 3.
Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.
A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,
Sociedade Brasileira de Matemática, 2003.
http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw
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140
Aula 3
http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY
http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI
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