Engenharia do Ambiente Mecânica dos Fluidos Ambiental (1º semestre, 3º ano) (Primeiro Exame, 15 de Janeiro de 2014) Duração 2h30 horas. Justifique todas as respostas. Problema I (4 valores) A figura representa um reservatório pressurizado, com fluidos em repouso (Mercúrio com massa volúmica de 13.6 *103kg/m3 e água com 103kg/m3). Na parte superior do reservatório encontra-se ar à pressão absoluta de 180kPa. a) Quando o manómetro A indica uma pressão absoluta de 350kPa, quanto vale h? (1 val) b) Nessas condições quanto vale a pressão relativa indicada pelo manómetro B? (considere a pressão atmosférica igual a 1 bar) (1 val) c) Quanto vale a força exercida sobre a placa que separa o mercúrio da água? (2 val) a) b) Altura da coluna de água: 7.27m PA PInterface Hg g * 0.8 PB PSup Re l H2O g * ( h 0.8 ) Pint erface Psup H2O g * h PA Psup Hg g * 0.8 H2O g * h h P A Psup Hg g * 0.8 H O g PB 1.51bar 1.5kg / cm h 350 180 * 10 2 2 3 PB 180 * 10 3 180 * 10 3 10 3 * 9.8 * ( 6.47 0.8 ) 3 13 .6 * 10 * 9.8 * 0.8 6.47m 10 3 * 9.8 * c)A força resulta da distribuição de pressão hidrostática. Se a placa tivesse água dos dois lados a resultante da força seria nula. A força é devida à diferença de densidade do mercúrio e por isso exerce-se na superfície de 80 cm de profundidade. A diferença de pressões entre os dois lados da placa à profundidade do centro de gravidade e a força sobre a placa são respectivamente: PCG 13.6 1 * 10 3 * 9.8 * 0.8 / 2 49392 N / m 2 F PCG * 0.8 39514 N / m Problema II (5 valores) A Figura ao lado representa uma conduta por onde se escoa água. A conduta é composta por um tubo cilíndrico de 8 cm de diâmetro, que termina numa contracção com 5 cm de diâmetro. Suponha uma situação em que o caudal são 10 l/s. a) Se não existir atrito, quanto vale a pressão P1? (1 val) b) Quanto vale a força exercida pelo escoamento sobre a contracção? (2 val) c) Se o tubo tivesse um comprimento total de 50 metros e uma rugosidade de 0.1 mm quanto valeria a pressão P1se todas as outras condições se mantivessem? (2 val) (viscosidade cinemática da água 10-6m2/s) a) P1 1 1 22 0 0 5.12 12 3 19 .6 19 .6 9.8 * 10 P1 13 .1m 9.8 * 10 3 P1 1.29bar 1.29kPa P P 1 2 1 2 U z U z g 2g 1 g 2g 2 Q U A Q 0.01 0.01 U1 2m / s 2 A1 D1 0.08 2 4 4 Q 0.01 0.01 U2 5.1m / s 2 A1 D2 0.05 2 4 4 b) Num sistema estacionário a variação do fluxo de quantidade de movimento é igual ao somatório das forças aplicadas sobre o fluido. QM s QM E PAE PAS F QM s QM E QU S U E 10 3 * 0.010 * 5.1 2 31 .1N P P 1 2 1 2 1 U z U z PS U S2 U E2 1.1 * 10 4 Pa 2 g 2g E g 2g S PAE PAS 4 1.1 * 10 * * 0.08 2 4 0 55 .3N F 55 .3 31 .1 24 .2N A força aplicada sobre a conduta são 24.2N = 2.5kg c) No caso de haver atrito o caudal só seria o mesmo se a pressão P1 fosse superior para equilibrar a força de atrito sobre a conduta. O acréscimo de pressão seria: 1 50 L 1 P U 2 4f 10 3 * 5.12 4f 0.22bar 2 D 2 0.08 UD 5.1 * 0.08 Re 4 * 10 5 10 6 4f 0.018 Problema IV (2 valores) O diagrama mostra a evolução do coeficiente de resistência dos automóveis ao longo do século passado devido à melhoria da aerodinâmica. Qual o aumento de potência que o carro dos anos 90 (CD =0.4) com 2.5 m2 de área frontal precisaria para se deslocar a 150 km/h se tivesse a forma de um carro dos anos 20 (CD =0.8)? 2 150 * 10 3 1 1 2.5 Pot C D U 2 A U 0.8 0.4 1.2 * 2 2 3600 Pot 43 .4kW 59hp Problema V (9 valores) A figura representa esquematicamente o escoamento de ar numa bomba de injector, onde o jacto que sai do injector arrasta o ar circundante, criando uma depressão que faz o ar atmosférico entrar no tubo. Depois do injector, por difusão, o perfil de velocidades evolui para a forma indicada a jusante 1 injector Figura 3 Secção A Secção B a) Desenhe a linha de corrente que passa pelo ponto 1, tendo o cuidado de representar bem a distância da linha à parede do tubo. (1 val) Justificação: O caudal entre duas linhas de corrente mantém-se constante. Como a parede od tubo exterior é uma parede, o caudal entre a linha de corrente e a parede tem que se manter. Como a velocidade entre o ponto 1 e a parede aumenta, a distância entre esta linha e a parede tem que diminuir. b) Se a velocidade do ar atmosférico arrastado na Secção A for de 5 m/s, quanto vale a pressão nessa secção? (1 val) Resposta: Entre a atmosfera e a secção A, a dissipação de energia é baixa e por isso podemos aplicar a equação de Bernoulli e por isso a diferença de pressão é igual (em módulo) à variação da energia cinética: -0.5*1.2*52 = -15Pa c) Nestes dois perfis de velocidade onde é que a tensão de corte é máxima? (1 val) Resposta: A tensão de corte é máxima onde o gradiente de velocidades é máximo, i.e., na interface entre o ar que sai do injector e o ar que entra da atmosfera. d) Represente a evolução do termo difusivo da equação na secção A? (1.5 val) Resposta: Na Secção A, o módulo da tensão de corte (linha verde) é nulo na linha central, aumenta até à interface entre os dois fluidos e por isso cada camada de fluido é mais puxada para trás do que para a frente e a sua velocidade baixa. Depois da interface entre os dois fluidos a tensão de corte diminui e o fluido é mais puxado para a frente e a velocidade aumenta. Depois a tensão de corte volta a ser nula na generalidade da secção de entrada do ar atmosférico e depois aumenta sobre a superfície do tubo exterior, voltando o fluido a ser puxado para trás. O fluxo difusivo é a derivada da tensão de corte e por isso a segunda derivada da velocidade e mede o efeito da tensão de corte sobre a velocidade do fluido e por isso tem que ter a forma indicada na figura pela linha azul. Quando o módulo da tensão de corte aumenta, a velocidade do fluido diminui e o termo difusivo é negativo (a concavidade do perfil de velocidade é virada para baixo). Quando a tensão de corte começa a diminuir, o fluido aumenta de velocidade e o termo difusivo é positiv. e) Entre a Secção A e a secção B o perfil de velocidade vai evoluindo. A jusante da secção B o perfil de velocidade está completamente desenvolvido. Como deverá evoluir a pressão até à saída? (1.5 val) Resposta: Se o perfil de velocidade a jusante da secção B, não evolui significa que o fluxo de quantidade de movimento se mantém constante e a tensão de corte na parede também se mantém constante. Neste sistema as forças aplicadas sobre o fluido são a tensão de corte na parede e as forças de pressão. Se a tensão de corte se mantém constante, então a diferença de pressão entre secções equidistantes também se mantém constante, i.e. o gradiente de pressão é constante e a evolução da pressão é linear. f) Faça um esboço da evolução do termo convectivo ao longo da linha central, entre as duas secções. (1.5 val) Resposta: Na zona onde o perfil de velocidades se mantém a velocidade não evolui e por conseguinte a aceleração é nula e o termo convectivo (que é igual à aceleração num escoamento estacionário) também é nulo. Entre o injector e a zona onde o perfil de velocidade deixa de evoluir, a velocidade na linha central diminui e por isso a aceleração é negativa e o termo convectivo é negativo. O termo convectivo mede a diferença entre a quantidade de movimento que sai de um volume elementar e a que entra. Quando a velocidade diminui, a quantidade que sai é inferior à que entra e por isso o termo convectivo é negativo. g) Como deverá variar a pressão entre as duas secções? (1.5 val) Resposta: Na zona onde o perfil de velocidades evolui, o somatório das forças aplicadas sobre o fluido é diferente de zero. Neste perfil de velocidades há zonas onde a velocidade diminui e zonas onde a velocidade aumenta. Para concluirmos sobre o sinal da pressão temos que analisar o fluxo de quantidade de movimento globalmente. Entre as duas secções o fluxo de massa mantém-se e o fluxo de quantidade de movimento diminui e por isso o somatório das forças é negativo. Como a tensão de corte é negativa, a informação sobre a evolução do fluxo de quantidade de movimento é insuficiente. Temos que juntar mais informação. O fluido exterior é arrastado para a secção A e por isso a pressão na secção A tem que ser inferior à pressão atmosférica. A jusante da secção B o fluxo de quantidade de movimento mantém-se e por isso a pressão diminui para equilibrar o atrito (e decai linearmente como visto em (e). Se em “A” a pressão é inferior à atmosférica e em “B” é superior, entre as duas tem que aumentar. Isso significa que a redução do fluxo de quantidade de movimento é consequência da força de pressão e da força de atrito.