Exame_1cham_2013_2014(Resolução)

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Engenharia do Ambiente
Mecânica dos Fluidos Ambiental (1º semestre, 3º ano)
(Primeiro Exame, 15 de Janeiro de 2014)
Duração 2h30 horas. Justifique todas as respostas.
Problema I (4 valores)
A figura representa um reservatório pressurizado, com
fluidos em repouso (Mercúrio com massa volúmica de
13.6 *103kg/m3 e água com 103kg/m3). Na parte superior
do reservatório encontra-se ar à pressão absoluta de
180kPa.
a) Quando o manómetro A indica uma pressão
absoluta de 350kPa, quanto vale h? (1 val)
b) Nessas condições quanto vale a pressão relativa
indicada pelo manómetro B? (considere a pressão
atmosférica igual a 1 bar) (1 val)
c) Quanto vale a força exercida sobre a placa que
separa o mercúrio da água? (2 val)
a)
b) Altura da coluna de água: 7.27m
PA  PInterface   Hg g * 0.8
PB  PSup Re l   H2O g * ( h  0.8 )

Pint erface  Psup   H2O g * h
PA  Psup   Hg g * 0.8   H2O g * h
h
P
A
 Psup    Hg g * 0.8
H O g
PB  1.51bar  1.5kg / cm
h
350  180 * 10
2

2
3

PB  180 * 10 3  180 * 10 3  10 3 * 9.8 * ( 6.47  0.8 )
3
 13 .6 * 10 * 9.8 * 0.8
 6.47m
10 3 * 9.8 *
c)A força resulta da distribuição de pressão
hidrostática.
Se a placa tivesse água dos dois lados a resultante da
força seria nula. A força é devida à diferença de
densidade do mercúrio e por isso exerce-se na
superfície de 80 cm de profundidade. A diferença de
pressões entre os dois lados da placa à profundidade do
centro de gravidade e a força sobre a placa são
respectivamente:
PCG  13.6  1 * 10 3 * 9.8 * 0.8 / 2  49392 N / m 2
F  PCG * 0.8  39514 N / m
Problema II (5 valores)
A Figura ao lado representa uma conduta por onde se escoa
água. A conduta é composta por um tubo cilíndrico de 8 cm de
diâmetro, que termina numa contracção com 5 cm de diâmetro.
Suponha uma situação em que o caudal são 10 l/s.
a) Se não existir atrito, quanto vale a pressão P1? (1 val)
b) Quanto vale a força exercida pelo escoamento sobre a
contracção? (2 val)
c) Se o tubo tivesse um comprimento total de 50 metros e
uma rugosidade de 0.1 mm quanto valeria a pressão P1se
todas as outras condições se mantivessem? (2 val)
(viscosidade cinemática da água 10-6m2/s)
a)
P1
1
1

 


22  0    0 
5.12  12 

3
19 .6
19 .6

 9.8 * 10
 
P1
 13 .1m
9.8 * 10 3
P1  1.29bar  1.29kPa
 P

 P

1 2
1 2


U  z   

U  z 
 g 2g
1  g 2g
2
Q
U
A
Q 0.01
0.01
U1 


 2m / s
2
A1
D1
0.08 2


4
4
Q 0.01
0.01
U2 


5.1m / s
2
A1
D2
0.05 2


4
4
b)
Num sistema estacionário a variação do fluxo de quantidade de movimento é igual ao somatório das forças
aplicadas sobre o fluido.
 QM s   QM E  PAE  PAS  F
 QM s   QM E  QU S  U E   10 3 * 0.010 * 5.1  2   31 .1N
 P

 P

1 2
1 2
1


U  z   

U  z   PS   U S2  U E2  1.1 * 10 4 Pa
2
 g 2g
 E  g 2g
S

PAE  PAS
4
 1.1 * 10 *
 * 0.08 2
4

 0  55 .3N
F  55 .3  31 .1  24 .2N
A força aplicada sobre a conduta são 24.2N = 2.5kg
c)
No caso de haver atrito o caudal só seria o mesmo se a pressão P1 fosse superior para equilibrar a força de
atrito sobre a conduta. O acréscimo de pressão seria:
1
50 
 L 1

P  U 2  4f   10 3 * 5.12  4f
  0.22bar
2
 D 2
 0.08 
UD 5.1 * 0.08
Re 

 4 * 10 5

10 6
4f  0.018
Problema IV (2 valores)
O diagrama mostra a evolução do
coeficiente de resistência dos
automóveis ao longo do século
passado devido à melhoria da
aerodinâmica.
Qual o aumento de potência que o
carro dos anos 90 (CD =0.4) com
2.5 m2 de área frontal precisaria
para se deslocar a 150 km/h se
tivesse a forma de um carro dos
anos 20 (CD =0.8)?
2
 150 * 10 3 
1
1


 2.5
Pot   C D U 2 A U  0.8  0.4  1.2 * 
2
2


 3600 
Pot  43 .4kW  59hp
Problema V (9 valores)
A figura representa esquematicamente o escoamento de ar numa bomba de injector, onde o jacto que sai do
injector arrasta o ar circundante, criando uma depressão que faz o ar atmosférico entrar no tubo. Depois do
injector, por difusão, o perfil de velocidades evolui para a forma indicada a jusante
1
injector
Figura 3
Secção A
Secção B
a) Desenhe a linha de corrente que passa pelo ponto 1, tendo o cuidado de representar bem a distância
da
linha
à
parede
do
tubo.
(1
val)
Justificação: O caudal entre duas linhas de corrente mantém-se constante. Como a parede od tubo
exterior é uma parede, o caudal entre a linha de corrente e a parede tem que se manter. Como a
velocidade entre o ponto 1 e a parede aumenta, a distância entre esta linha e a parede tem que
diminuir.
b) Se a velocidade do ar atmosférico arrastado na Secção A for de 5 m/s, quanto vale a pressão nessa
secção?
(1
val)
Resposta: Entre a atmosfera e a secção A, a dissipação de energia é baixa e por isso podemos
aplicar a equação de Bernoulli e por isso a diferença de pressão é igual (em módulo) à variação da
energia cinética: -0.5*1.2*52 = -15Pa
c) Nestes dois perfis de velocidade onde é que a tensão de corte é máxima? (1 val)
Resposta: A tensão de corte é máxima onde o gradiente de velocidades é máximo, i.e., na interface
entre o ar que sai do injector e o ar que entra da atmosfera.
d) Represente a evolução do termo difusivo da equação na secção A? (1.5 val)
Resposta: Na Secção A, o módulo da tensão de corte (linha verde) é nulo na linha central, aumenta
até à interface entre os dois fluidos e por isso cada camada de fluido é mais puxada para trás do que
para a frente e a sua velocidade baixa. Depois da interface entre os dois fluidos a tensão de corte
diminui e o fluido é mais puxado para a frente e a velocidade aumenta. Depois a tensão de corte
volta a ser nula na generalidade da secção de entrada do ar atmosférico e depois aumenta sobre a
superfície do tubo exterior, voltando o fluido a ser puxado para trás. O fluxo difusivo é a derivada
da tensão de corte e por isso a segunda derivada da velocidade e mede o efeito da tensão de corte
sobre a velocidade do fluido e por isso tem que ter a forma indicada na figura pela linha azul.
Quando o módulo da tensão de corte aumenta, a velocidade do fluido diminui e o termo difusivo é
negativo (a concavidade do perfil de velocidade é virada para baixo). Quando a tensão de corte
começa a diminuir, o fluido aumenta de velocidade e o termo difusivo é positiv.
e) Entre a Secção A e a secção B o perfil de velocidade vai evoluindo. A jusante da secção B o perfil de
velocidade está completamente desenvolvido. Como deverá evoluir a pressão até à saída? (1.5 val)
Resposta: Se o perfil de velocidade a jusante da secção B, não evolui significa que o fluxo de
quantidade de movimento se mantém constante e a tensão de corte na parede também se mantém
constante. Neste sistema as forças aplicadas sobre o fluido são a tensão de corte na parede e as
forças de pressão. Se a tensão de corte se mantém constante, então a diferença de pressão entre
secções equidistantes também se mantém constante, i.e. o gradiente de pressão é constante e a
evolução da pressão é linear.
f) Faça um esboço da evolução do termo convectivo ao longo da linha central, entre as duas secções.
(1.5
val)
Resposta: Na zona onde o perfil de velocidades se mantém a velocidade não evolui e por conseguinte
a aceleração é nula e o termo convectivo (que é igual à aceleração num escoamento estacionário)
também é nulo. Entre o injector e a zona onde o perfil de velocidade deixa de evoluir, a velocidade
na linha central diminui e por isso a aceleração é negativa e o termo convectivo é negativo. O termo
convectivo mede a diferença entre a quantidade de movimento que sai de um volume elementar e a
que entra. Quando a velocidade diminui, a quantidade que sai é inferior à que entra e por isso o
termo convectivo é negativo.
g) Como
deverá
variar
a
pressão
entre
as
duas
secções?
(1.5
val)
Resposta: Na zona onde o perfil de velocidades evolui, o somatório das forças aplicadas sobre o
fluido é diferente de zero. Neste perfil de velocidades há zonas onde a velocidade diminui e zonas
onde a velocidade aumenta. Para concluirmos sobre o sinal da pressão temos que analisar o fluxo
de quantidade de movimento globalmente. Entre as duas secções o fluxo de massa mantém-se e o
fluxo de quantidade de movimento diminui e por isso o somatório das forças é negativo. Como a
tensão de corte é negativa, a informação sobre a evolução do fluxo de quantidade de movimento é
insuficiente. Temos que juntar mais informação. O fluido exterior é arrastado para a secção A e por
isso a pressão na secção A tem que ser inferior à pressão atmosférica. A jusante da secção B o fluxo
de quantidade de movimento mantém-se e por isso a pressão diminui para equilibrar o atrito (e
decai linearmente como visto em (e). Se em “A” a pressão é inferior à atmosférica e em “B” é
superior, entre as duas tem que aumentar. Isso significa que a redução do fluxo de quantidade de
movimento é consequência da força de pressão e da força de atrito.
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