notas de aula

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1
1. “INTRODUÇÃO À TRANSMISSÃO DE CALOR”

CALOR ( Q ): É uma forma de energia em trânsito através da fronteira de um
sistema.

FLUXO DE CALOR ( Q ): É a quantidade de calor transferida na unidade de
tempo.
GRADIENTE DE TEMPERATURA: É a variação da temperatura na direção
do fluxo de calor.
A Transmissão de Calor estuda a troca de calor entre corpos, provocada por
uma diferença de temperatura.
Na Termodinâmica, que estuda sistemas em equilíbrio, calculamos o calor
trocado, mas não a velocidade com que a troca de calor ocorre, que será estudada pela
Transmissão de Calor.
Exemplo: Sejam dois corpos em contato a temperaturas diferentes. A
Termodinâmica estuda a temperatura de equilíbrio e a Transmissão de Calor estuda o
tempo necessário para atingi-la.
2. “MECANISMOS DA TRANSMISSÃO DE CALOR”
2.1 CONDUÇÃO
Ocorre em sólidos, líquidos e gases, sendo a única forma de Transmissão
de Calor em sólidos.
O calor é transmitido através de uma agitação molecular em escala
microscópica (não há deslocamento visível de massa).
T2
................
T1
...............
T 1  T2
A lei básica para o estudo da T.C. é a Lei de Fourier:

Q = - k . A . dT
dx
onde: k = condutibilidade térmica do material
A = área de troca (cte)

Q = taxa de transferência de calor

dT= gradiente de temperatura na direção de Q
dx
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O sinal ( - ) é devido à 2a Lei da Termodinâmica (O fluxo de calor é de T 2 p/ T1,
sendo que T1 T2).
Unidades: k = W/m 0C (kcal/h.m.0C)

 Q  = W (kcal/h)
2.2
CONVECÇÃO
O calor é transmitido por uma movimentação macroscópica de massa,
implicando em termos dois sistemas envolvidos a temperaturas diferentes: um sólido e
um fluido, que é o responsável pelo transporte de calor (deslocamento de massa).
A lei básica para o estudo da convecção é a Lei de Newton.

Q = h . A . (Tp - T )
onde: h = coeficiente de T.C. por convecção
Unidade: h = W/m2.0C ( kcal/h.m2.oC )
EXEMPLOS:
1 - Resfriar uma placa por exposição ao ar (espontaneamente).
O calor fluirá por condução da placa para as partículas adjacentes de fluido. A
energia assim transmitida servirá para aumentar a temperatura e a energia interna
dessas partículas fluidas. Então, essas partículas se moverão para uma região de menor
temperatura no fluido, onde se misturarão e transferirão uma parte de sua energia para
outras partículas fluidas. O fluxo, nesse caso, é tanto de energia como de fluido. A
energia é, na realidade, armazenada nas partículas fluidas e transportada como resultado
do movimento de massa destas.
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2 - Resfriar uma placa, rapidamente, usando um ventilador.
onde: V= velocidade do fluido num certo ponto
V=velocidade do fluido longe da placa
Quando V= 0 (na placa), o calor é trocado por condução. Nos outros pontos o calor
é trocado por convecção, porque a velocidade V provoca um gradiente de temperatura.
Quando o movimento do fluido não é provocado (placa exposta ao ar ambiente) a
Transmissão de Calor é conhecida como CONVECÇÃO NATURAL ou LIVRE.
Quando o movimento é provocado (caso do ventilador) a Transmissão de Calor é
conhecida como CONVECÇÃO FORÇADA.
2.3 RADIAÇÃO
É a Transmissão de Calor que ocorre por meio de ondas eletromagnéticas,
podendo ocorrer tanto em um meio material quanto no vácuo.
A lei básica para o estudo da radiação é a Lei de Stefan-Boltzman.

Q = .A.(T14 - T24)
onde:  = constante de Stefan-Boltzman = 5,669x10-8 W/m2K4

Para um corpo negro emitindo calor: Q =.A.T4
Para superfícies pintadas ou de material polido:

Q = Fe.Fg..A.(T14 - T24)
onde: Fe = f (emissividade E)
Fg = fator de forma
T1 = Tplaca e T2 = Tambiente
3. “CONDUÇÃO DE CALOR”
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3.1 HIPÓTESES SIMPLIFICADORAS
a) O fluxo de calor é unidimensional.
b) As superfícies perpendiculares ao fluxo de calor são isotérmicas (T=cte ).
c) O regime é permanente, logo o fluxo de calor é constante e as temperaturas não
mudam com o tempo.
3.2 CONDUÇÃO DE CALOR EM PAREDES PLANAS
3.2.1 UMA PAREDE PLANA
e


Q
dT
Q  k . A.
 dx  k .dT 
dx
A

e

T
2
Q
dx

0 A T  kdT
1
Q

e

T
2
Q
Q
dx


k
dT  (e  0)  k (T2  T1 )


A0
A
T1
T1
T2

Q
kA
(T2  T1 )
e

ou
Q
kA
(T1  T2 )
e
“Resistência Térmica”
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
Q
T  T2
k. A
(T1  T2 )  1
e
e
. A
k
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onde :
5
e
 Rk  resistênci a térmica à condução
k. A
Rk
Rk ( O C / W ) ( O C / kcal.h)
ANALOGIA ENTRE TRANSMISSÃO DE CALOR E O FLUXO DE UMA
CORRENTE ELÉTRICA
Lei de Ohm


Q
T1  T2
Rk
I
QI
T1  T2  U
U
Re
R k  Re
Os bons condutores de eletricidade são também bons condutores de calor.
Quem conduz a eletricidade nos metais são os elétrons livres e quem conduz o
calor nos metais também são os elétrons livres.
e
A.k
onde : k  condutibilidade térmica
Rk 

Q
L
1
'
A. '

onde :  '  condutividade elétrica
Re 
T1  T2
RK
3.2.2 PAREDES PLANAS EM SÉRIE

Q
T1  T2
Rteq
onde : Rteq  Rt1  Rt 2 
e1
e
 2
k1 . A k 2 . A
Genericamente:
n
n
i 1
i 1
Rteq   Rti  
ei
ki . A
onde n = n0 de paredes planas (em série)
3.2.3 PAREDES PLANAS EM PARALELO
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

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
Q  Q1  Q 2

Q
T1  T2
Rteq
onde :
1

Rteq
1
1

e1
e2
k1 . A1 k 2 . A2
Genericamente:
T1  T2
 Q
Req

onde: n = n0 de paredes planas (em
paralelo)
EXERCÍCIOS
m2

1) Calcular o fluxo de calor que passa por uma parede de 5 cm de espessura, 2
de área e k = 10 kcal/h m oC, se as temperaturas superficiais são de 40 0C e 20 0C.
( Q = 8.000 kcal/h)
2) Deseja-se isolar termicamente uma parede de tijolos de 15 cm de espessura,
com k = 15 kcal/h m oC. A área da parede é de 8 m2. O material escolhido para o
isolamento é a cortiça com 2 cm de espessura e k = 0,08 kcal/h.m.0C. As temperaturas
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superficiais são 150 0C e 23 0C. Calcular o fluxo de calor através das paredes e a
temperatura intermediária entre a parede de tijolos e de cortiça.

( Q = 3.098 kcal/h; Tx = 145 ºC)
ecortiça
parede 1
etijolo  15cm
etijolo
k tijolo  15kcal / h.m.O C
parede 2
ecortiça  2cm

Q
k cortiça  0,08kcal / h.m.O C
T1  150 O C
T2  23 O C

T1
T2
Tx
Q?
Tx  ?
kcortiça
ktijolo
3º) Sabendo que o material da parede 2 suporta, no máximo, 1350 oC,
verifique as condições do projeto e proponha modificações, se for o caso.
e1
Ti
e2
Tx
K1
T2
Dados:Ti = 1500 ºC
Te = 50 ºC
e1 = 0,12 m
e2 = 0,14 m
e3 = 0,12 m
k1 = 1,6280 W/m ºC
k2 = 0,1745 W/m ºC
k3 = 0,6980 W/m ºC
e3
Ty
k2
Te
k3
4) A parede de uma sala é construída com um material de k = 5 kcal/h m 0C , com
12 cm de espessura, 30 m2 de área, descontadas três janelas de 2 cm de espessura, de
um material de k = 10 kcal/h m 0C e 2 m2 de área cada uma. Calcular o fluxo total de
calor que passa pela parede e janelas.
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
( Q = 63.750 kcal/h)
5o) A parede externa de uma casa pode ser aproximada por uma camada de 4
polegadas de tijolo comum (k= 0,7 W/m oC) seguida de uma camada de 1,5 polegadas de
gesso (k= 0,48 W/m oC). Que espessura de isolamento de lã de rocha (k= 0,065 W/m oC)
deve ser adicionada para reduzir a transferência de calor através da parede em 80% ?
(e = 0,058m)
eparede
egesso
elã = ?

Q
kparede
kgesso
klã
6º) Uma parede é construída com uma placa de lã de rocha (k = 0,05 W/mºC) de 2
polegadas de espessura, revestida por duas chapas de aço, com k = 50 W/mºC e ¼ de
polegada de espessura cada. Para a fixação são empregados 25 rebites de alumínio (k =
200 W/mºC) por metro quadrado, com diâmetro de ¼ de polegada. Calcular a resistência
térmica total de 1 m2 dessa parede. Dado: 1” = 2,54 cm
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(RT = 0,2876 ºC/W)
Aço
Lã de Rocha
Aço
7º) Um equipamento condicionador de ar deve manter uma sala, de 15 m de
comprimento, 6 m de largura e 3 m de altura a 22 ºC. As paredes da sala, de 25 cm de
espessura, são feitas de tijolos com condutividade térmica de 0,14 kcal/h.m.ºC e a área
das janelas podem ser consideradas desprezíveis. A face externa das paredes pode estar
até a 40 ºC em um dia de verão. Desprezando a troca de calor pelo piso e pelo teto, que
estão bem isolados, pede-se (em HP):

a) calcular a potência requerida pelo compressor para retirar o calor da sala; ( Q =1,98
HP)
b) considerando que nesta sala trabalhem 10 pessoas que utilizam 1 computador cada
(cada pessoa libera 200 W e cada computador 500 W), calcular a nova potência

requerida pelo compressor. ( Q =11,4 HP)
DADOS: 1 HP = 64O kcal/h
1 kW = 860 kcal/h
k
T2

3m
Q

T1
Q
6m
e
8º) As superfícies internas de um grande edifício são mantidas a 20 ºC, enquanto
que a temperatura na superfície externa é -20 ºC. As paredes medem 25 cm de
espessura, e foram construídas com tijolos de condutividade térmica de 0,6 kcal/h m ºC.
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
a) Calcular a perda de calor para cada metro quadrado de superfície por hora; ( Q = 96
kcal/h)
b) Sabendo-se que a área total do edifício é 1000 m 2 e que o poder calorífico do carvão é
de 5.500 kcal/kg, determinar a quantidade de carvão a ser utilizada em um sistema de
aquecimento durante um período de 10 h. Supor o rendimento do sistema de
aquecimento igual a 50%. (C = 349 kg)
k
T1
T2

Q
e
9º) Uma empresa vem controlando o seu consumo de energia desde 2001, por
conta do racionamento imposto pelo governo à sociedade. Seu principal gasto é com
energia, inclusive aquela desperdiçada no forno, cuja parede é constituída de uma
camada de 0,20 m de tijolos refratários (k = 1,2 W/m oC) e outra de 0,10 m de tijolos
isolantes (k = 0,8 W/m oC).
Um grave problema é que, sendo a temperatura interna igual a 1700 oC, a parede
mais externa chega a 100
oC,
prejudicando a saúde do operador. Foi proposto o
acréscimo de 2 cm à parede externa, de um determinado material isolante (k = 0,15 W/m
oC)
a fim de que a temperatura nessa face caia para 27 oC. Calcular:
a) a redução percentual de calor com a colocação do isolamento; (Redução = 28,24%)
b) o tempo de amortização do investimento, sabendo que:
Custo do isolante = 100 U$/m2
Custo de energia = 2 U$/GJ
(Tempo = 374 dias)

10º) Calcular o fluxo de calor na parede composta de 1ft 2 de área: ( Q = 30.960
Btu/h)
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onde,
material
a
b
c
d
e
f
g
k (Btu/h.ft.oF)
100
40
10
60
30
40
20
DADO:1 ft = 12”
11º) Seja uma parede composta que inclui um painel lateral em madeira dura com
8mm de espessura; travessas de suporte em madeira dura com dimensões de 40 mm por
130 mm, afastadas com 0,65 m de distância (centro a centro) e com espaço livre
preenchido com isolamento térmico à base de fibra de vidro (revestida de papel, k=0,038
W/m.K); e uma camada de 12 mm de painéis em gesso (vermiculita).
Qual é a resistência térmica associada a uma parede, que possui 2,5m de altura e
6,5 m de largura (logo, possuindo 10 travessas de suporte, cada uma com 2,5 m de
altura)? (R = 0,18534 K/W)
km=0,094 W/m.K
kt=0,16 W/m.K
kisol=0,38 W/m.K
kg=0,17 W/m.K
2,5 m

Q
0,65 m
8 mm
Lateral de Madeira
Travessas de
Suporte
Isolamento Térmico
130 mm
Painel de Gesso
40 mm
12 mm
3.3 CONDUÇÃO DE CALOR EM PAREDES CILÍNDRICAS
3.3.1 UMA PAREDE CILÍNDRICA
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
Q  k . A.
dT
dR
onde :
página
A  2. .R.L



Q dR
Q
dT
log o  Q  k .2. .R.L.

 k .dT 
dR
2. .L R
2. .L

R2
T
2
dR
 R  k T dT
R1
1

R
Q
Q
(ln R2  ln R1 )  k (T2  T1 ) 
ln 2  k (T1  T2 )
2. .L
2. .L R1

Q
2. .k .L(T1  T2 )
R2
ln
R1
“Resistência térmica de uma parede cilíndrica”
R2


2. .k .L(T1  T2 )
R1
Q
 T1  T2 
Q
 2. .k .L 
R


 I
U
ln 2
R
R1
ln
R2
R1
Rt 
2. .k .L
ln

 Q
T1  T2
Req
3.3.2 - PAREDES CILÍNDRICAS EM SÉRIE
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
Q
T1  T2
Rteq
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R1
R
ln 2
R0
R1
 Rt1  Rt 2 

2. .k1 .L 2. .k 2 .L
ln
onde : Rteq
R
R
 i 1
2. .k i .L
n
 ln
Genericamente:
Rteq
onde n = no de paredes cilíndricas (em série)
EXERCÍCIOS
1º) Um tubo metálico de 20m de comprimento, 5 cm de diâmetro interno e 1,5 cm
de espessura é feito de um material de k=65 kcal/h.m.0C.
O tubo é revestido com um isolante térmico de k=0.04 kcal/hm 0C, e espessura de 10 cm.
Sabendo-se que as temperaturas interna e externa são 250 0C e 30 0C, respectivamente,
calcular:

a - o fluxo de calor. ( Q =882 kcal/h)
b - a temperatura na superfície que separa o tubo do isolante. (Tx= 249,9 ºC)
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T1
T2
Tx
K1
L
K2
2º) Um tubo de parede grossa de aço inoxidável (1,8%Cr; 8%Ni, k = 19 W/m oC)
com 2 cm de diâmetro interno e 4 cm de diâmetro externo é coberto com uma camada de
3 cm de isolamento de amianto (k= 0,2 W/m oC). Se a temperatura da parede interna do
tubo é mantida a 600 oC e a superfície externa do isolamento a 100 oC, calcule a perda
de calor por metro de comprimento, e a temperatura na interface aço inox/amianto (T x).

( Q = 680 W/m; Tx = 595,8 ºC)
T1
T1
T2
T2
RK AÇO
RK AMIANTO
Tx = ?
R1
R2
R3
K1
K2
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3º) Uma fábrica de condutores elétricos produz fios de 3 mm de raio com
resistência de 10,3 /m nos quais deve passar uma corrente de 4A. Deseja-se isolá-los
térmica e eletricamente, usando um material plástico de condutividade 0,2 kcal/hm0C.
Sabendo-se que o setor de engenharia fixou a temperatura de operação do fio em 65 0C
e supondo que a temperatura externa do isolante seja 25 0C, determinar a espessura da
capa isolante a ser utilizada. (e = 1,26 mm)
T1
R1
T2
R2
k
4º) Calcular a perda de calor e as temperaturas nas interfaces de uma tubulação
de 1 metro de comprimento, diâmetro interno de 200 mm e diâmetro externo de 220 mm,
de material com condutividade k = 50 W/m 0C. Esta tubulação deverá ser isolada com 50
mm de espessura de um material com k1 = 0,2 W/m 0C e, também, com 80 mm de
espessura de material com k2 = 0,1 W/m 0C. Prever que a temperatura interna no tubo

será 327 ºC e a externa no isolamento será 47 ºC. Faça o desenho da figura. ( Q = 296,7
W; TX = 326,9 ºC; TY = 238,5 ºC)
5º) Um tubo de aço (k=22 Btu/h.ft.ºF) de 1/2" de espessura e 10" de diâmetro
externo é utilizado para conduzir ar aquecido. O tubo é isolado com 2 camadas de
materiais isolantes: a primeira de isolante de alta temperatura (k=0,051 Btu/h.ft. ºF) com
espessura de 1" e a segunda com isolante à base de magnésia (k=0,032 Btu/h.ft.ºF),
também com espessura de 1". Sabendo que estando a temperatura da superfície interna
do tubo a 1000 ºF a temperatura da superfície externa do segundo isolante fica em 32 ºF,
pede-se :

a) Determine o fluxo de calor por unidade de comprimento do tubo; ( Q = 724 Btu/h)
b) Determine a temperatura da interface entre os dois isolantes; (T3 = 587,36 ºC)
c) Compare os fluxos de calor se houver uma troca de posicionamento dos dois isolantes.

( Q = 697 Btu/h)
k1  22 Btu / h. ft.0 F
T1  1000 0 F
T2  32 F
0
e1  1 "
2
 t 2  10"
K 2  0,051Btu / h. ft.0 F
e 2  1"
k 3  0,032 Btu / h. ft.0 F
L  1 ft
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4. “CONDUTIVIDADE TÉRMICA VARIÁVEL”
k  a  bT


dT
Q
Q  k . A .
 dx  kdT
dx
A


T
e
T
2
2
Q
Q
dx    kdT  (e  0)    ( a  bT ) dT
A 0
A
T1
T1
T2
T2

e
Q     a dT   bT dT 
A
 T1

T1


Q

Q

Q
e
b
b


  a (T2  T1 )  (T22  T12 )   a (T1  T2 )  (T12  T22 )
A
2
2


e 
b

 a (T1  T2 )  (T1  T2 ) (T1  T2 ) 
A 
2

e
b


 (T1  T2 ) a  (T1  T2 )
A
2 

km
Parede

Q
Plana
T1  T2
e
A. k m
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Parede

Q
Cilíndrica
T1  T2
R
ln 2
R1
2. .k m .L
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EXERCÍCIOS
1º) Determinar a temperatura T2 e a espessura do revestimento protetor (k=0,84 +
0,0006T W/m oC) de uma chaminé de concreto (k=1,1 W/m oC). A chaminé é cilíndrica
(De = 1300 mm, Di = 800 mm), transporta gases a 425 oC, e a temperatura máxima que o
concreto pode suportar é 200 oC. (T2 = 59,44 ºC; e = 0,2065 m)
425 oC
T  200 oC
T2 = ?
D1 = 1300 mm
R1 = 650 mm
D2 = 800 mm
R2 = 400 mm
kc = 1,1 W/m oC
kR = 0,84 + 0,0006 T (W/m oC)

Q = 2 kW/m = 2000 W/m
 = D3
e=?
 = D2
 = D1
425 oC
RR
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200 oC
RC
T2=?
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2º) Um tubo (Di = 160 mm e De = 170 mm) é isolado com 100 mm de um material com k =
0,062 + 0,0002 T (W/m oC). Sabendo-se que as temperaturas na face externa do tubo e
na face externa do isolamento são, respectivamente, 300 oC e 50 oC, determine a

potência dissipada por metro de tubo. ( Q = 196 W)

Q
50 oC
300 oC
D1 = 160 mm
D2 = 170 mm
R1
R1 = 80 mm
R2 = 85 mm
R3 = 85 + 100 =185 mm
R2
R3
5. “CONVECÇÃO”
Combina condução com movimentação de massa e é característica de meios
fluidos.
Quando um fluido entra em contato com uma superfície sólida aquecida, recebe
calor por condução, a densidade de suas partículas diminui fazendo-as subir, cedendo
lugar às mais frias.
CONVECÇÃO - Natural ou Livre (espontaneamente)
- Forçada (se usarmos um agente mecânico)
“RESISTÊNCIA TÉRMICA”

Q  h. A.T  
T

U

1
Q
h. A I

R
Lei de Ohm

U
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
= R

Rt 
1
h. A
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5.1 EFEITOS COMBINADOS DE CONDUÇÃO E CONVECÇÃO
5.1.1 UMA PAREDE PLANA

h1
Q = T
R teq
h2

Q
T1
onde R teq = Rtf1 + Rtp + Rtf2
T2
R teq =
Tp2T2
Tp1T1
T2  T1
A = cte

Q
1 + e + 1
h1.A k.A h2.A
T1  T2
1
e
1


h1. . A k . A h2 . A
5.1.1.1 COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISSÃO DE CALOR: U
1 = 1
U
h1
+
e
k

logo: Q = A ( T1 - T2 )
1
U
+
1 
h2

É uma conveniência de
notação.

Q = A . U . ( T1 - T2 )
5.1.2 PAREDES PLANAS EM SÉRIE

Q
(T1  T2 )
1
1 n ei
1
  
A.h1 A i 1 k i A.h2
onde : n
é
o
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
n O de paredes em série
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20
EXERCÍCIOS
1º) A parede de um reservatório tem 10 cm de espessura e condutividade térmica de 5
kcal/h m 0C. A temperatura dentro do reservatório é 150 oC e o coeficiente de transmissão
de calor na parede interna é 10 kcal/h m 2 oC. A temperatura ambiente é 20 oC e o
coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 8 kcal/h m 2 oC. Calcular o fluxo

de calor para 20 m2 de área de troca. ( Q = 10.608 kcal/h)
A = 20 m2
k = 5 kcal/h m 0C
T1 = 150 0C
T2 = 20 0C
Água
Ar

Q
h1= 10 kcal/h m2 0C
h2 = 8 kcal/ h m2 0C
10 cm
2º) A parede de uma fornalha é constituída de três camadas: 10 cm de tijolo refratário (k
= 0,6 kcal/h m oC) 20 cm de amianto (k = 0,09 kcal/h m oC) e 5 cm de argamassa (k = 3
kcal/h m oC). A temperatura dentro da fornalha é de 1000 oC e o coeficiente de
transmissão de calor na parede interna é 10 kcal/h m 2 oC. A temperatura ambiente é 30
oC e o coeficiente de transmissão de calor na parede externa é 2 kcal/h m 2 oC. Calcular o

fluxo de calor por unidade de tempo, sabendo-se que a área de troca é 30 m2. ( Q = 9.682
kcal/h)
Refratário
Argamassa
Amianto
T1 = 1000 0C
T2 = 30 0C



er
h1=10 kcal/h m2 0C
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
eam
Q
ear
h2 = 2 kcal/h m2 0C
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21
3º) Idem ao exercício anterior, considerando que o calor seja de 5.000 kcal/h,
determinar a espessura da parede de amianto. (e = 45,3 cm)
4º) Uma parede de um forno é constituída de duas camadas: 0,20 m de tijolo
refratário (k = 1,2 kcal/h m oC) e 0,13 m de tijolo isolante (k = 0,15 kcal/h m oC). A
temperatura dentro do forno é 1700 oC e o coeficiente de transmissão de calor na parede
interna é 58 kcal/h m2 oC. A temperatura ambiente é 27 oC e o coeficiente de transmissão
de calor na parede externa é 10 kcal/h m 2 oC. Desprezando a resistência térmica das
juntas de argamassa, estime:

a) O calor perdido por unidade de tempo e por m 2 de parede; ( Q = 1.454 kcal/h)
b) A temperatura na superfície interna; (Ti = 1.674,9 ºC)
c) A temperatura na superfície externa. (Te = 172,4 ºC)
k = 1,2 kcal/h m oC
k = 0,15 kcal/h m oC
Ti=?
Te = ?
T1
T2


e1 = 0,2 m
e2=0,13 m
h1 = 58 kcal/h m2 oC
h2 = 10 kcal/h m2 oC
5º) Dois fluidos estão separados por uma placa de aço inoxidável, com 2
polegadas de espessura, área de 10 pé 2 e k = 45 Btu/h pé2 oF. As temperaturas dos
fluidos e o coeficiente médio de transferência de calor são T F1 = 50 oF; TF2 = 0 oF; h1 =
200 Btu/h pé2 oF e h2 = 150 Btu/h pé2 oF. Determinar as temperaturas das superfícies e o
fluxo de transferência de calor através da placa quando a radiação térmica nas

superfícies for desprezível. ( Q = 32.530 Btu/h; T1 = 33,7 ºF; T2 = 21,87 ºF)
k
TF1
T1
T2
TF2
h1
TF1
h2
TF2
Rh1
Rk
Rh2
2”
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
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6º) No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem 650 oC. A
parede da estufa é de aço, tem 6 mm de espessura e fica em um espaço fechado onde
há risco de incêndio, sendo necessário limitar uma temperatura da superfície em 38oC.
Para minimizar os custos de isolação, dois materiais serão usados: primeiro, isolante de
alta temperatura (mais caro, com k = 0,0894 kcal/hm oC, aplicado sobre o aço de k =
37,24 kcal/hm oC) e depois, magnésio (mais barato, com k = 0,0670 kcal/hm oC)
externamente. A temperatura máxima suportada pelo magnésio é 300 oC. Pede-se:
a) Especificar a espessura de cada material isolante (em cm); (em = 4,88 cm; ei = 8,67
cm)
b) Sabendo que o custo do isolante de alta temperatura, por cm de espessura colocado,
é 2 vezes o do magnésio, calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante
de alta temperatura fosse utilizado. (36,6%)
Dados:
Temperatura ambiente = 20 oC
h1 = 490 kcal/hm2 oC
h6 = 20 kcal/hm2 oC
6 mm
ei
em
h1
T1 = 650 oC
h6
T2
T4 = 300 oC
T3
K1
k2
T5 = 38 oC
T6 = 20 oC
k3
7º) O inverno rigoroso na floresta deixou o lobo mau acamado. Enquanto isto, os
três porquinhos se empenham em manter a temperatura do ar interior de suas
respectivas casas em 25 ºC, contra uma temperatura do ar externo de -10 ºC,
alimentando suas lareiras com carvão. Todas as três casas tinham a mesma área
construída, com paredes laterais de 2 m x 6 m, e frente/fundos de 2 m x 2 m, sem janelas
(por medida de segurança, obviamente). Sabe-se que cada quilograma de carvão
queimado libera uma energia de cerca de 23 MJ. Considerando que os coeficientes de
transferência de calor por convecção nos lados interno e externo das casas são iguais a 7
W/m2.K e 40 W/m2.K, respectivamente, e desprezando a transferência de calor pelo piso
e pelo teto que são bem isolados, pede-se:
i) Montar o circuito térmico equivalente para a transferência de calor que ocorre em regime
permanente (estacionário) na casa do porquinho P1;

ii) Calcular a taxa de perda de calor em Watts através das paredes dessa casa; ( Q = 702
W)
iii) Calcular a temperatura da superfície interna das paredes, relativa ao circuito do item (i);
(Ti = 21,96 ºC)
iv) Calcular a perda diária de energia em MJ (megajoules) correspondente ao circuito do

item (i); ( Q = 59 MJ/dia)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
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23
v) Fazer um balanço de energia na casa e calcular o consumo diário de carvão, necessário
para manter a temperatura interior no nível mencionado. Para tanto, considere que o corpo de um
porquinho ocioso em seu lar libera energia a uma taxa de 100 J/s; (C = 2,19 kg/dia)
vi) Qual das casas irá consumir mais carvão? Por quê? Obs: não é necessário calcular,
apenas observe a tabela dada.
Casa pertencente ao porquinho:
Material
Espessura das paredes
Condutividade térmica (SI)
P1
Palha
10 cm
0,07
P2
Madeira
4 cm
0,14
P3
Tijolos
10 cm
0,72
2 m
6m
2m
8º) Uma parede composta (2m X 2m) possui uma blindagem externa de aço (kA =
54 W/m ºC) e eA = 5 mm. Em certas horas do dia a parede externa de aço chega a 100
ºC. A alvenaria tem espessura de 0,3 m e é composta de dois materiais. O primeiro metro
de altura é formado pelo material B (kB = 0,52 W/m ºC) e o segundo metro de material C
(kc = 0,98 W/m ºC). Uma vez que a transferência máxima de calor para a parede é 350
W, deve-se aplicar isolamento interno. O material escolhido foi a cortiça D ((k D = 0,048
W/m ºC). Determinar a espessura de cortiça a ser aplicada para que as especificações do
projeto sejam atendidas. Dados para o ar ambiente: T ar = 20 ºC e har = 25 W/m2 ºC. (e =
22,78 mm)
Isolamento Térmico
Te=100 oC
C
A
D

Q  350W
Ar
Tar = 20 oC
har = 25 W/m2 oC
B
0,005
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
0,3
e=?
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“RESISTÊNCIA TÉRMICA DE CONTATO”
Sistema composto com contato
térmico perfeito
material

Sistema composto com contato
térmico imperfeito
material

material

+*-/
Interface do sistema
material

Interface do sistema
∆T
distribuição de temperatura
distribuição de temperatura
Circuito térmico
R
Circuito térmico
R
R


Q
Q
onde:
RTC
RTC =
R
1
hTC A
O coeficiente de contato térmico hTC depende do material, da aspereza da
superfície, da pressão de contato e da temperatura.
hTC  para aço inox. ( 3 kW/m2 0C)
hTC  para cobre (  150 kW/m2 0C)
Um meio prático de reduzir a resistência térmica de contato é inserir um material
de boa condutividade térmica entre as duas superfícies. Existem graxas com alta
condutividade, contendo silício, destinadas a este fim. Em certas aplicações podem ser
usadas também folhas delgadas de metais moles.
EXERCÍCIO
1º) Duas barras de aço inoxidável 304, de 3 cm de diâmetro e 10 cm de
comprimento, têm as superfícies retificadas e estão expostas ao ar com uma rugosidade
superficial de aproximadamente 1µm. As superfícies são pressionadas uma contra a
outra com uma pressão de 50 atm e é aplicada à combinação das duas barras uma
diferença de temperatura de 100 oC. Calcule o fluxo de calor axial (Q = 5,52W) e a queda
de temperatura através da superfície de contato (∆T = 4,13 ºC).
Rk1
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
RTc
Rk2
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
Q
10 cm
10cm
Dados:
hc = 1893,94 W/m2 oC (coeficiente de contato)
kaço = 16,3 W/m oC
5.1.3 UMA PAREDE CILÍNDRICA
Comprimento da parede: L

Q
T
Rteq
onde : Rteq  Rtf 1  Rtp  Rtf 2
R2
1
R1
1



h1.2 .R1.L 2 .k .L h2 .2 .R2 .L
ln
Rteq

Q

T1  T2
R
ln 2
R1
1
1


h1 .2. .R1 .L 2. .k .L h2 .2. .R2 .L
5.1.4 PAREDES CILÍNDRICAS
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26
(T1  T2 )
Q
1
1 n 1 R
1

ln


h1.2. .R1.L 2. .L i 1 ki R h2 .2. .Rn 1.L

EXERCÍCIOS
1º) Calcular a perda de calor, por metro linear, de um tubo com diâmetro nominal
de 80 mm (diâmetro externo = 88,9 mm; diâmetro interno = 77,9 mm; k = 37 kcal/h m oC),
coberto com isolação de amianto de 13 mm de espessura (k = 0,16 kcal/h m oC). O tubo
transporta um fluido a 150 oC com coeficiente de transmissão de calor interno de 195
kcal/h m2 oC, e está exposto a um meio ambiente a 27 oC, com coeficiente de

transmissão de calor médio, do lado externo, de 20 kcal/hm 2 oC. ( Q = 296 kcal/h)
Te = 27 oC
R2
R1

Ti =150 oC
Q
R3
Tx
Ty
Tz
2º)
T2= 20 oC
k2
h2
Dados:
L= 300 m
e1= 1,8 cm
R1
R2
Calcular:

T1 = 200 oC
e2= 15 cm
1= 20 cm
k1 = 50 kcal/h m 0C
k2 = 0,15 kcal/h m 0C
h1 = 10 kcal/h m2 0C
h2 = 8 kcal/h m2 0C
Q
h1
Tx
Ty
Tz
R3
k1

a- calcular o fluxo de calor; ( Q = 48.900 kcal/h)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
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27
b- calcular a temperatura nas faces Tx, Ty, Tz. (TX = 174 ºC; TY = 173,9 ºC; TZ = 32 ºC)
3º) Um condutor de uma linha de transmissão de 5000A ( = 1”, r = 3,28.10-6 ),
dissipa calor no ambiente a 35 0C com h = 10 W/m2.0C. Determine a temperatura do
condutor. (T = 138 ºC)

Q
t=?
r=
3,28.10-6
 =1”= 0,0254 m

L = 1m
4º) Por um fio de aço inoxidável de 3 mm de diâmetro passa uma corrente elétrica
de 20 A. A resistividade do aço pode ser tomada como 70 .m, e o comprimento do fio
é 1m. O fio está imerso num fluido a 110 oC e o coeficiente de transferência de calor por
convecção é 4 kW/m2 oC. Calcule a temperatura do fio. (T = 215 ºC)
5º) Um submarino deve ser projetado para proporcionar uma temperatura
agradável à tripulação, não inferior a 20oC. O submarino pode ser idealizado como um
cilindro de 10m de diâmetro e 70m de comprimento.
A construção das paredes do submarino é do tipo sanduíche com uma camada
externa de 19 mm de aço inoxidável (k = 14 kcal/hm oC), uma camada de 25 mm de fibra
de vidro (k = 0,034 kcal/hm oC) e outra camada de 6 mm de alumínio no interior (k = 175
kcal/hm oC). O hi = 12 kcal/hm2 oC, enquanto o he = 70 kcal/hm2 oC (parado) e he = 600
kcal/hm2 oC) (em velocidade máxima).
Determinar a potência requerida em kW, da unidade de aquecimento, sabendo
que a temperatura do mar varia entre 7 oC e 12 oC. Faça o desenho. (P = 40 kW)
6º) Uma tubulação de 20 cm de diâmetro interno, espessura de 1,8 cm e (k = 50
W/ m
que atravessa o galpão de uma fábrica de 300 m, transporta água quente a 200
oC (h = 10 W/ m2 oC). Devido ao mau isolamento térmico, que consiste numa camada de
15 cm (k = 0,15 W/ m oC), durante os meses de junho e julho, quando a temperatura
ambiente cai a 12 oC e o coeficiente de transferência de calor é igual a 8 W/m2 ºC
(período em que o problema se agrava por conta do inverno), há a necessidade de
reaquecer a água quando chega ao seu destino, a partir de uma energia que custa R$
0,10/kW h. Pede-se:
oC)

a) Calcular a taxa de calor; ( Q = 51.048 W)
b) Se a camada de isolamento for aumentada para 25 cm, qual é o custo adicional

justificável para comprar o isolamento? ( Q = 39.682 W; 1.637 R$/ano)
5.1.5 PAREDES ESFÉRICAS
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he Te
T2
R1
hi Ti
T1
R2
k
CONDUÇÃO

Q  k A

Q   k (4. .R 2 )

R2

R2
 
1
1 
Q   ( )  4.k . (T1  T2 )
R1 
 R2

4.k . (T1  T2 )
Q
1 1 
  
 R1 R2 
dT
dR
dT
dR
T
2
dR
Q  2   k .4.  dT
R1 R
T1
Q  R  2 dR   k .4. (T2  T1 )

Q
R1


Q  R 1

R2
R1
 k .4. (T1  T2 )
T1  T2
1 1 1 
  
4.k .  R1 R2 
CONVECÇÃO
Rh 
1
h. A
Rh 
1
h.4. .R 2
EXERCÍCIOS
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1º) Um tambor metálico esférico de parede delgada é utilizado para armazenar
nitrogênio líquido a 77 K. O tambor tem um diâmetro de 0,5 m e é coberto com
isolamento refletivo composto de pó de sílica (k = 0,0017 W.m K). A espessura do
isolamento é de 25 mm e sua superfície externa encontra-se exposto ao ar ambiente a
300 K. O coeficiente de convecção é dado por 20 W/m 2 K. Qual é a transmissão de calor
para o N2 líquido?

( Q = 13,06 W)
respiro
har
Tar
R1
N2
R2
k
.
Q
Tar
Rh
RK
TN2
2º) Calcular a taxa de evaporação do N2, no exercício anterior.
Dados p/ N2: Calor latente de vaporização = hfg = 2.105J/kg
massa específica = dN2 = 804 kg/m3
(m = 5,64 kg/dia ou V = 7 l/dia)
3)º Um tanque de aço (k = 40 kcal/h.m.ºC), de formato esférico e raio interno de
0,5 m e espessura de 5 mm, é isolado com 1½" de lã de rocha (k = 0,04 kcal/h.m.ºC). A
temperatura da face interna do tanque é 220 ºC e a da face externa do isolante é 30 ºC.
Após alguns anos de utilização, a lã de rocha foi substituída por outro isolante, também
de 1½" de espessura, tendo sido notado então um aumento de 10% no calor perdido para
o ambiente (mantiveram-se as demais condições). Determinar:

a) fluxo de calor pelo tanque isolado com lã de rocha; ( Q = 687 kcal/h)
b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante, desprezando a resistência
térmica do aço; (k = 0,044 kcal/h.m.ºC)
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c) qual deveria ser a espessura (em polegadas) do novo isolante para que se tenha o
mesmo fluxo de calor que era trocado com a lã de rocha. (e = 1,66”)
R2
R1
K1
T1
T3
K2
T2
R3
Aço
k1  40kcal / h.m. C
0
R1  0,5m
e  5mm  0,005m
Lã de Rocha
Novo Isolante
k 2  0,04kcal / h.m 0 C e  1 1 "
2


1
e 1 "
2
Q'  110% Q
4º) Um tanque de armazenamento possui uma seção cilíndrica, com comprimento
e diâmetro interno de L = 2 m e Di = 1 m, respectivamente, e duas seções esféricas nas
extremidades. O tanque é fabricado em vidro (Pyrex) com 20 mm de espessura e
encontra-se exposto ao ar ambiente a temperatura de 300 K e coeficiente de
transferência de calor por convecção de 10 W/m 2 K. O tanque é usado para armazenar
óleo aquecido, que mantém a sua superfície interna a uma temperatura de 400 K.
Determine a potência elétrica que deve ser fornecida a um aquecedor submerso no óleo
de modo a manter as condições especificadas. A condutividade térmica do Pyrex pode
ser suposta igual a 1,4 W/m . K. (P = 8.657 W)
r
1m
2m
5º) O tanque da carreta mostrada na figura abaixo possui uma seção cilíndrica,
com comprimento e diâmetro interno de L = 8m e Di = 2m, respectivamente, e duas
seções esféricas nas extremidades. O tanque é usado para transportar oxigênio líquido e
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31
mantém a sua superfície interna a uma temperatura de – 180 ºC. Procura-se um
isolamento térmico, cuja espessura não deve ultrapassar 15 mm, que reduza a taxa de
transferência de calor a não mais que 900 kcal/h. Observe que o tanque encontra-se
exposto ao ar ambiente a uma temperatura que varia entre 12 ºC (no inverno) e 40 ºC (no
verão). (k = 0,008976 kcal/h.m.ºC)
Fonte: http://www.airliquide.com.br/secao_entr_gas.html 15/03/2005 9h10.
6. “RAIO CRÍTICO”
O aumento da espessura de uma parede plana sempre reduz o fluxo de
transferência de calor através da parede. Como é natural, uma redução no fluxo de
transferência de calor realiza-se, com maior facilidade, mediante o uso de um material
isolante de baixa condutividade térmica. Por outro lado, um aumento na espessura da
parede, ou a adição de material isolante, nem sempre provoca uma diminuição no fluxo
de transferência de calor, quando a geometria do sistema tem uma área de seção reta
não constante.
Exemplo: Cilindro oco
Tf
R1

Q =
T1
R2
T1 - Tf
ln R2/R1 +
1
2kL
h 2  R2 L
h
Se mantivermos T1 , Tf e h constantes o que acontecerá se aumentarmos o raio
externo R2?
Um aumento de R2 provoca Rk e Rh; portanto a adição de material pode  ou  o fluxo
de calor, dependendo da variação da Rtotal = Rk + Rh
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Rc = k
h
Se R2  Rc
Se R2  Rc
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32
Raio Crítico: raio externo do tubo isolado que
corresponde a mínima resistência térmica total.
A adição de material (isolante) diminuirá o fluxo de
transferência de calor.
A adição de material (isolante) aumentará o fluxo de
transferência de calor, até que R2 = Rc depois do que, o

aumento de R2 provocará
Q .
Esse princípio é largamente utilizado na engenharia elétrica, onde material isolante
é fornecido para fios e cabos condutores de corrente, não para reduzir a perda de calor,
mas para aumentá-la. Isso é importante, também, na refrigeração, onde o fluxo de calor
para o refrigerante frio deve ser conservado num mínimo. Em muitas dessas instalações,
onde tubos de pequeno diâmetro são usados, um isolamento na superfície externa
aumentaria o calor transmitido por unidade de tempo.
EXERCÍCIOS
1º) Um cabo elétrico de 15 mm de diâmetro deve ser isolado com borracha (k =
0,134 kcal/h m oC). O cabo estará ao ar livre (h = 7,32 kcal/h m2 oC) a 20 oC. Investigue o
efeito da espessura do isolamento na dissipação de calor, admitindo uma temperatura da
superfície do cabo de 65 oC.
T1=65 oC
T 2 = 20 oC
2º) Deseja-se manter a temperatura de 60 0C em um condutor elétrico de cobre R
= 0,005 /m de 2mm de diâmetro. Determinar a corrente máxima em 1 m de fio:
- Para o condutor nu. (I = 22,4 A)
- Para o condutor isolado com 1 mm de um material com k = 0,15 W/m 0C. (I
= 30,33 A)
Dados: Ar ambiente a 20 0C com h=10W/m2 0C
-Condutor nu:
T
-Condutor isolado:
T(60 0C)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
Rh
Tar
Rk
Rh
Tar(20 0C)
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33
RT
16
8,6
1mm
2mm
R k + Rh
Rc
R
1mm
2 mm
15 mm
3º) a) Calcule o raio crítico de isolamento para o amianto (k=0,17 W/m oC) que reveste
um tubo ficando exposto ao ar a 20 oC com h = 3 W/m2 oC. (Rc = 5,67 cm) b) Calcule a
perda de calor no tubo de 5 cm de diâmetro a 200 oC, quando coberto com o raio crítico


de isolamento e sem isolamento. ( Q com = 105,7 W; Q sem = 84,8 W)
T ar = 20 oC
har = 3W/m2 oC
= 5 cm
200 oC
Amianto
7. “RADIAÇÃO TÉRMICA”
7.1 – INTRODUÇÃO
Radiação Térmica é o processo pelo qual calor é transferido de um corpo sem o
auxílio de um meio, em virtude de sua temperatura, ao contrário dos outros dois
mecanismos:
 condução  choque entre as partículas
 convecção  transferência de massa
 radiação  ondas eletromagnéticas
A radiação térmica é utilizada em muitos processos industriais de aquecimento,
resfriamento e secagem. Ocorre perfeitamente no vácuo, pois a radiação térmica se
propaga através de ondas eletromagnéticas.
É um fenômeno ondulatório semelhante às ondas de rádio, radiações luminosas,
raios-X, raios-gama, etc, diferindo apenas no comprimento de onda (), conhecido como
espectro eletromagnético, conforme figura 7.1.
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34
A intensidade da radiação varia com o comprimento de onda.
Visível
Raios X
Inf .Vermelho
UV
Micro ondas
Raios Gama
10-5
10-4
RAD. TÉRMICA
10-3
10-2
10-1
( m)
1
10
102
103
104
figura 7.1
A análise espectroscópica mostra que a intensidade das radiações térmicas varia
como mostrado na figura 7.2. O pico máximo de emissão ocorre para um comprimento de
onda (máx), cuja posição é função da temperatura absoluta do emissor (radiador).
figura 7.2
A intensidade da radiação térmica é comandada pela temperatura da superfície
emissora (figura 7.2). A faixa de comprimentos de onda englobados pela radiação térmica
é subdividida em ultravioleta, visível e infravermelho, conforme mostra a figura 7.1. Todo
material com temperatura acima do zero absoluto emite continuamente radiações
térmicas.
Poder de emissão (E) é a energia radiante total emitida por um corpo, por
2
unidade de tempo e por unidade de área (kcal/h.m ; W/m2).
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35
7.2. CORPO NEGRO e CORPO CINZENTO
Corpo Negro é um conceito teórico padrão que estabelece um limite superior de
radiação, de acordo com a segunda lei da termodinâmica, com o qual as características
de radiação dos outros meios são comparadas. Portanto, é uma superfície ideal que tem
as seguintes propriedades:
 Absorve toda a radiação incidente, independente do comprimento de onda e
da direção;
 Para uma temperatura e comprimento de onda dados, nenhuma superfície
pode emitir mais energia do que um corpo negro;
 Embora a radiação emitida por um corpo negro seja uma função do
comprimento de onda e da temperatura, ela é independente da direção, ou
seja, o corpo negro é um emissor difuso.
Corpo Cinzento é o corpo cuja energia emitida ou absorvida é uma fração da
energia emitida ou absorvida por um corpo negro, aproximando-se das características
dos corpos reais, como mostra a figura 7.3.
Figura 7.3
Emissividade () é a relação entre o poder de emissão de um corpo real
(cinzento) e o poder de emissão de um corpo negro.

Ec
En
onde, Ec = poder de emissão de um corpo cinzento
En = poder de emissão de um corpo negro
Os corpos cinzentos têm emissividade () sempre menor que 1, e são, na maior
parte os materiais de utilização industrial, sendo que em um pequeno intervalo de
temperatura pode-se admitir  constante e tabelado. Devido às características atômicas
dos metais, isto não ocorre. Entretanto, para pequenos intervalos de temperatura, as
tabelas fornecem valores constantes de emissividade.
7.3. LEI DE STEFAN-BOLTZMANN
Stefan determinou experimentalmente e Boltzmann deduziu matematicamente
que, para um corpo negro:
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En   .T 4
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36
onde,  = 4,88  10 -8 kcal h.m 2 .K 4 (constante de Stefan - Boltzmann)
T = temperatu ra absoluta (Kelvin)
Sist. Inglês    0,173  10 8 Btu h. ft 2 .R 4 ;
Sist. Internacio nal   5,6697  10 8 W m 2 K 4
7.4 TROCA DE RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES
Considerando a troca de calor por radiação entre duas ou mais superfícies,
observa-se que essa troca depende das geometrias e orientações das superfícies e das
suas propriedades radioativas e temperatura. Tais superfícies estão separadas por um
meio não participante, que não emite, não absorve e não dispersa, não apresentando
nenhum efeito na transferência de radiação entre as superfícies. A maioria dos gases
apresenta um comportamento muito aproximado e o vácuo preenche exatamente essas
exigências.
7.4.1 FATOR DE FORMA
Para calcular a troca por radiação entre duas superfícies quaisquer, utiliza-se o
conceito de fator de forma ou fator de configuração.
Inicia-se o cálculo da transferência de calor por radiação entre superfícies com a
determinação da fração da radiação total difusa que deixa uma superfície e é
interceptada por outra e vice-versa.
A fração da radiação distribuída difusamente que deixa a superfície A1 e alcança a
superfície A2 é denominada de fator de forma para radiação F1,2. O primeiro índice
indica a superfície que emite e o segundo a que recebe radiação.
Duas superfícies negras de áreas A1 e A2, separadas no espaço (figura 7.4) e em
diferentes temperaturas (T1 > T2) são apresentadas:
Figura 7.4
Em relação às superfícies A1 e A2 temos os seguintes fatores de forma:
F12  fração da energia que deixa a superfície (1) e atinge (2)
F21  fração da energia que deixa a superfície (2) e atinge (1)
A energia radiante que deixa A1 e alcança A2 é:
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37

Q 12  E n1 . A1 .F12
A energia radiante que deixa A2 e alcança A1 é:

Q 21  E n 2 . A2 .F21
A troca líquida de energia entre as duas superfícies é:



Q  Q12  Q 21  En1 . A1 .F12  En 2 . A2 .F21
Em uma situação em que as duas superfícies estão na mesma temperatura, o
poder de emissão das duas superfícies negras é o mesmo (E n1 = En2) e não haverá

troca líquida de energia ( Q  0 ). Então:
0  En1. A1.F12  En 2 . A2 .F21
(I )
Como En1 = En2, obtém-se:
A1.F12  A2 .F21
(II)
Como tanto a área quanto o fator de forma não dependem da temperatura, esta
relação é válida para qualquer temperatura. Substituindo a equação (I) na equação (II),
obtém-se:

Q  En1. A1.F12  En 2 . A1.F12

Q  A1 .F12 .En1  En 2 
Pela lei de Stefan-Boltzmann, tem-se:
En1   .T1
4


e
Q  A1 .F12  .T1   .T2

4
En 2   .T2 ,
4
4

Q   . A1 .F12 . T14  T24
portanto :


Esta é a expressão para o fluxo de calor transferido por radiação entre duas
superfícies a diferentes temperaturas.
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38
O Fator de Forma depende da geometria relativa dos corpos e de suas
emissividades (), que são encontradas em tabelas e ábacos para o cálculo do fator
forma para cada configuração geométrica (placas paralelas, discos paralelos, retângulos
perpendiculares, quadrados, círculos, etc):

Superfícies negras paralelas e de grandes dimensões, corpo A1 totalmente envolvido
pelo corpo A2, O corpo A1 não pode ver qualquer parte de si:
F12  1

Superfícies cinzentas grandes e paralelas
1
F12 
1
1

1
1

2
Superfície cinzenta (1) muito menor que superfície cinzenta (2)
F12   1

Dois discos paralelos de diâmetros diferentes, distantes entre si por L, com os centros
na mesma normal aos seus planos; disco menor A1 com raio a, disco maior com raio b.
F1, 2 

1 2
L  a2  b2 
2
2a
L
2

 a 2  b 2  4a 2 b 2

7.5 EFEITO COMBINADO CONVECÇÃO - RADIAÇÃO
Uma parede plana qualquer submetida a uma diferença de temperatura, tem na
face interna a temperatura T1 e na face externa uma temperatura T 2, maior que a
temperatura do ar ambiente T3, como mostra a figura 7.5. Neste caso, através da parede
ocorre uma transferência de calor por condução até a superfície externa. A superfície
transfere calor por convecção para o ambiente e existe também uma parcela de
transferência de calor por radiação da superfície para as vizinhanças. Portanto, a
transferência de calor total é a soma das duas parcelas:
Figura 7.5



Q  Q conv  Q rad
EXERCÍCIOS
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39
1º) Duas placas grandes de metal, separadas de 2" uma da outra, são aquecidas a 300
ºC e 100ºC, respectivamente. As emissividades são 0,95 e 0,3 respectivamente. Calcular

a taxa de transferência de calor por radiação através do par de placas. ( Q = 1.295
kcal/h)
2º) Um duto de ar quente, com diâmetro externo de 22 cm e temperatura
superficial de 93 ºC, está localizado num grande compartimento cujas paredes estão a 21
2
ºC. O ar no compartimento está a 27 ºC e o coeficiente de película é 5 kcal/h.m ºC.
Determinar a quantidade de calor transferida por unidade de tempo, por metro de tubo,
se:

a) o duto é de estanho (  = 0,1) ( Q = 263 kcal/h)

b) o duto é pintado com laca branca ( = 0,9) ( Q = 543 kcal/h)
Tt
Tar; h

Q conv

Q rad
duto
2
3º) Em uma indústria, vapor d' água saturado a 44 kgf/cm e 255 ºC escoa por um
tubo de parede fina de diâmetro externo igual a 20 cm. A tubulação atravessa um amplo
recinto de 10m de comprimento, cujas paredes estão à mesma temperatura de 25 ºC do
ambiente (har = 5 kcal/h.m2 ºC). Deseja-se pintar a superfície externa do tubo de
maneira que ao sair do recinto, o vapor no interior do tubo se encontre com apenas 5%
de sua massa não condensada. No almoxarifado da indústria dispõe-se de 3 tintas cujas
emissividades são: tinta A: a=1; tinta B: b = 0,86 e tinta C: c = 0,65. Sabendo-se que o
calor latente de vaporização nestas condições é 404 kcal/kg, determinar:
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40
a) a tinta com a qual devemos pintar o tubo, sabendo-se que a vazão de vapor é 55,2
kg/h; (c = 0,65)

b) a energia radiante por unidade de comprimento após a pintura; ( Q = 1.392 kcal/h)
c) a vazão de vapor se utilizar a tinta A. (m = 74,6 kg/h)
Tt
Tar; h

Q conv

Q rad
duto
4º) Um reator em uma indústria trabalha a 600 ºC em um local onde a temperatura
2
ambiente é 27 ºC e o coeficiente de película externo é 40 kcal/h.m ºC. O reator foi
construído de aço inox ( = 0,06) com 2 m de diâmetro e 3 m de altura. Tendo em vista o
alto fluxo de calor, deseja-se aplicar uma camada de isolante (k= 0,05 kcal/h m ºC e  =
0,75) para reduzir a transferência de calor a 10 % da atual. Desconsiderando as
resistências térmicas que não podem ser calculadas, pede-se:

a) O fluxo de calor antes da aplicação do isolamento; ( Q = 618.368 kcal/h)
b) A parcela transferida por convecção após o isolamento, sabendo-se que a temperatura

externa do isolamento deve ser 62 0C; ( Q = 57.701 kcal/h)
c) A espessura do isolante a ser usada nas novas condições. (e = 8,2 mm)
Desprezando as resistências térmicas de convecção interna e condução na parede de
aço do reator, a temperatura da base do reator pode ser considerada a mesma do fluido.
5º) Duas superfícies planas negras e de grandes dimensões são mantidas a 200
ºC e 300 ºC. Determine:
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41

a) Determine o fluxo líquido de calor entre as placas, por unidade de área; ( Q = 3.274
W/m2)
b) Repita para o caso em as temperaturas de ambas as placas são reduzidas em 100 ºC

e calcule a percentagem de redução da transferência de calor. ( Q = 1.741,5 W/m2;
46,84%)
A1
T1
1
A2
T2
2
6º) Repetir o exercício anterior (5º) (itens a e b) considerando que as superfícies
são cinzentas com emissividades 0,73 e 0, 22, respectivamente.
A1
T1
1
A2
T2
2
7º) Os gases quentes do interior de uma fornalha são separados do ar ambiente a
25 ºC (h = 17,2 Kcal/h.m2.ºC) por uma parede de tijolos de 15 cm de espessura. Os
tijolos têm uma condutividade térmica de 1,0 kcal/h.m.ºC e uma emissividade de 0,8. No
regime permanente mediu-se a temperatura da superfície externa da parede da fornalha
como sendo 100 ºC. Considerando que a fornalha está em um grande compartimento
cuja temperatura da superfície interna é igual à temperatura ambiente, qual é a
temperatura da superfície interna da parede da fornalha? (T = 355,5 ºC)
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Te = 1000C
Ti=?
42
Ar Ambiente (2)
Tar = 250C
har=17,2 kcal/h.m2 0C
K=1kcal/h.m0C
 = 0,8
Forno (1)
e=15 cm
8º) Um reator de uma indústria trabalha a temperatura de 600 oC. Foi construído
de aço inoxidável ( = 0,06) com 2,0 m de diâmetro e 3,0 m de comprimento. Tendo em
vista o alto fluxo de calor, deseja-se isolá-lo com uma camada de lã de rocha (k = 0,05
kcal/m.oC e  = 0,75) para reduzir a transferência de calor a 10% da atual. Calcular:

a) o fluxo de calor (radiação e convecção) antes do isolamento; ( Q = 313.930 kcal/h)
b) a espessura de isolante a ser usada nas novas condições, sabendo que a temperatura
externa do isolamento deve ser igual a 62 oC. (e = 0,1753 m)
T1
r
Re ator  T1  600 o C
material  aço inox
k, 
L

q
e=?
  0,06
d  2m
L  3m
Ar
T2, h2
Ar  T2  25 0 C
h  17,2kcal/h .m. 0 C
Isolante  Lã de Rocha
k  0,05kcal/h .m. 0 C
  0,75
9º) Exercício do Provão de Eng. Mecânica – ENC 2003
Em uma empresa existem 500 metros de linha de vapor a 150 ºC, com diâmetro externo
de 0,1 m, sem isolamento térmico, em um ambiente fechado a 30 ºC. O vapor estava
sendo gerado a partir da queima de lenha que produzia energia a baixo custo, porém
causando grandes danos ambientais. Diante disso, esse processo foi substituído por um
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43
sistema de gás natural adaptado à caldeira que polui menos e ainda apresenta vantagens
no custo do kWh.
Objetivando a racionalização de energia nessa empresa, propõe-se o isolamento
da tubulação a partir de uma análise dos custos envolvidos. Para tanto, considere um
coeficiente de transferência convectiva de calor h = 7 W/m2. K entre a tubulação e o ar
ambiente. Despreze as resistências térmicas por convecção interna e condução na
parede da tubulação e suponha que as temperaturas das paredes internas do recinto
sejam iguais 27 ºC.
a) cite dois fatores importantes que devem ser considerados na seleção de um isolante
térmico; (valor: 2,0 pontos)
b) determine a economia de energia diária, em Joules, que pode ser obtida isolando-se a
tubulação com uma camada de 0,05 m de lã de vidro (k = 0,04 W/m.K). Despreze trocas
térmicas radiativas entre o isolante e o ambiente e considere o coeficiente de convecção
h = 3,5 W/ m2. K; (valor: 6,0 pontos) (Ec = 26.127 MJ/dia)
c) O orçamento para a colocação do isolamento térmico é de R$ 60.000,00 e o custo do
kWh é R$ 0,10. Calcule o tempo de amortização do investimento. (valor: 2,0 pontos)
(Tempo = 83 dias)
Dados / Informações adicionais
K = ºC + 273,15
Taxa de transferência de calor por radiação: expressão
Taxa de transferência de calor por condução em um cilindro: expressão
Emissividade da parede externa da tubulação:  = 0,9
Constante de Steffan-Boltzmann:  = 5,67 x 10-8 W/m2. K
8. “ALETAS”
8.1 INTRODUÇÃO
São freqüentes as situações em que se procuram meios para aumentar a
quantidade de calor transferido, por convecção, de uma superfície.


A lei de Newton: Q = h A ( T1 - T2 ) sugere que se pode aumentar Q mediante o
aumento de h, (T1 - T2) ou de A. Conforme já verificamos, h é função da geometria, das
propriedades do fluido e do escoamento. A modulação de h mediante o controle destes

fatores oferece um procedimento pelo qual Q pode ser aumentado ou diminuído. No que

se refere ao efeito de (T1 - T2) sobre Q encontram-se freqüentemente dificuldades, por
exemplo nos sistemas de refrigeração de motores de automóveis, em dias muito quentes,
pois T2 será muito elevada. Em relação à área da superfície que se expõe ao fluido, esta
pode ser, muitas vezes, “estendida”, mediante o uso de aletas.
Constituem aplicações familiares destes dispositivos de transferência de calor com
superfícies aletadas os radiadores de automóveis, as montagens de transistores de
potência e dos transformadores elétricos de alta tensão.
Tendo como referência a extensão de uma parede plana o calor passa da parede
para a aleta mediante condução e sai da superfície da aleta por efeito convectivo.
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Portanto, a diminuição da resistência superficial convectiva R h provocada por um
aumento na área superficial é acompanhada por um aumento da resistência condutiva
Rk. Para que se eleve o fluxo de transferência de calor da parede, mediante a extensão
da superfície, a diminuição de Rh deve ser maior que o aumento em Rk. Na verdade, a
resistência superficial deve ser o fator controlador nas aplicações práticas de aletas
(Rk<Rh ou, preferivelmente, Rk<<<<Rh)
8.2 CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SEÇÃO UNIFORME
A aleta desenhada a seguir está fixada em uma superfície com temperatura T p e
em contato com um fluido com temperatura T .
dqconv= h.P.dx (Tp-T)
e
A
qx
T
qx+dx
dx
BASE
Tp
Z
L
Fazendo um balanço de energia em um elemento diferencial da aleta. Sob as
condições de regime permanente a partir das quantidades de energia:
dT
dx
Energia entrando pela face esquerda
 q x  kA
Energia saindo pela face direita
dT 
 q x  dx  kA 
dx  x  dx
Energia perdida por convecção
 qconv  h.( P.dx)(T  T )
Obtém-se a equação:
qx  q
xdx
 k . At .
 qconv
dT 
dT
d 
dT  
  k . At .

  k . At .
dx  h.P.dx T  T 
dx 
dx dx 
dx  
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onde P é o perímetro da aleta, At área da seção transversal da aleta e (P.dx) a área entre
as seções x e (x+dx) em contato com o fluido. Considerando h e k constantes a equação
pode ser simplificada:
 h.P.dx.T  T  
d 
dT 
  k . At .
dx
dx 
dx 
h.P.T  T   k . At .
d 2T
dx 2
d 2T
 m 2 .T  T 
2
dx
onde ; m 
h. P
,
k . At
é o coeficiente da aleta ( m1 )
A equação diferencial linear de segunda ordem, acima, tem solução geral:
T  T  Cemx  Cemx
onde C1 e C2 são constantes e determinadas por meio das seguintes condições de
contorno:
1º) que a temperatura da base da barra seja igual à temperatura da parede na qual ela
está afixada, ou seja:
em x  0T  T p
2º) depende das hipóteses adotadas:
Caso (a)  Barra infinitamente longa
Sua temperatura na extremidade se aproxima da temperatura do fluido: T = T
T  T  0  C1em.  C2 e m.
Se o segundo termo da equação é zero, a condição de contorno é satisfeita apenas se
C1=0. Substituindo C1 por 0:
C2  Ts  T
A distribuição de temperatura fica:
T  T  T p  T .e m. 
(I)
Como o calor transferido por condução através da base da aleta deve ser transferido por
convecção da superfície para o fluido, tem-se:
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qaleta   k . A.
dT
dx
página
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(II)
x
 0
Diferenciando a equação (I) e substituindo o resultado para x=0 na equação (II), obtemse:

q aleta  k . A.  m.T p  T .e  m .0

x0


h.P
 k . A.
.T p  T 
k.A


qaleta  h.P.k. A.Tp  T 
A equação calcula o calor transferido aproximado, na unidade de tempo, em uma
aleta finita, se seu comprimento for muito grande em comparação com a área de sua
seção transversal.
Caso (b)  Barra de comprimento finito, com perda de calor pela extremidade
desprezível
A segunda condição de contorno exigirá que o gradiente de temperatura em x = L seja
zero, ou seja, dT dx  0 em x=L. Com as seguintes condições:
C1 
T p  T
1  e 2.m. L
e
C2 
T p  T
1  e 2.m.L
mx
mx
Substituindo as equações anteriores em: T  T  Ce  Ce
Obtém-se :
 e m.x
e  m.x
T  T  T p  T .

2.m.L
1  e 2.m.L
1 e





Considerando que o co-seno hiperbólico é definido como: coshx  e x  e x 2 , a equação
anterior pode ser escrita na forma adimensional simplificada:
T  T
cosh mL  x 

T p  T
cosh (m.L)
A transferência de calor pode ser obtida por meio da equação (II), substituindo o
gradiente de temperatura na base:
dT
dx
x0
1
1

 T p  T .m.

2.m.L
1  e 2.m.. L
1 e
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
 e m.L  e m.L

 m.L



T

T
.
m
.

p

 m.L

e e



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dT
dx
página
47
 TP  T .m. tgh m.L 
x0
O calor transferido, na unidade de tempo é:
q aleta  h.P.k . A.TP  T . tgh m.L 
Caso (c)  Barra de comprimento finito, com perda de calor por convecção pela
extremidade
Neste caso, o princípio é o mesmo e o fluxo de calor transferido é:
qaleta 
 senhm.L   h m.k . coshm.L  

h.P.k. A.T p  T .






cosh
m
.
L

h
m
.
k
.
senh
m
.
L


8.3 TIPOS DE ALETAS
Diversas aplicações industriais apresentam vários tipos de aletas e alguns dos
mais encontrados industrialmente, são mostrados a seguir:
1) Aletas de Seção Retangular
Aleta
de
seção
retangular
assentada
longitudinalmente em uma superfície plana.
Considerando que a aleta tem espessura b (= Z) e
largura e (espessura pequena em relação à
largura), o coeficiente da aleta m pode ser
calculado assim:
P  2.Z  2.e
At  Z .e
m
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
h. P
k . At
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48
2) Aletas de Seção Não-Retangular
As aletas de seção triangular, como as
aletas de seção parabólica, trapezoidal,
etc, também são comuns. O cálculo do
coeficiente m pode ser feito de modo
similar ao caso anterior, considerando uma
área transversal média.
3) Aletas Curvas
As aletas colocadas sobre superfícies curvas
podem ter colocação radial (transversal)
como na figura ou axial (longitudinal),
assentando aletas do tipo retangular. O
assentamento radial ou axial de aletas sobre
superfícies cilíndricas depende da direção do
escoamento do fluido externo, onde a aletas
devem prejudicar o mínimo possível o
coeficiente de película, ou seja, não podem
provocar estagnação do fluido. O cálculo do
coeficiente m é feito da seguinte forma:
P  2.2. .r   2.e  4. .r
At  2. .r.e
m
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
h. P
k . At
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4) Aletas Pino
Em certas aplicações aletas tipo pino são
necessárias
para
não
prejudicar
demasiadamente o coeficiente de
película. A figura mostra uma aleta pino
de seção circular. Neste caso o cálculo
do coeficiente m é feito assim:
P  2. .r
At   .r 2
m
h. P
k . At
8.4 EFICIÊNCIA DE UMA ALETA
Em uma superfície sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal
uniforme, como mostra a figura a seguir, as aletas têm espessura e, altura l (= L) e
largura b (=Z). A superfície base está na temperatura T s (=Tp) maior que a temperatura
ambiente T.
O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao
fluxo transferido pela área exposta das aletas (AAL) mais o fluxo transferido pela área
exposta da superfície base (AP):
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q P  h. AP .TP  T 
q  qP  q AL , onde 
q A L  h. AAL .T?  T 
A diferença de temperatura para a área das aletas (T ? -T) é desconhecida. A
temperatura TP é da base da aleta, pois à medida que a aleta perde calor, a sua
temperatura diminui, ou seja, AAL não trabalha com o mesmo potencial térmico em
relação ao fluido.
Por este motivo q A L, calculado com o potencial (TP - T), deve ser corrigido,
multiplicando este valor pela eficiência da aleta (). A eficiência da aleta pode ser
definida como:

calor realmente trocado pela aleta
calor que seria trocado se AA L estivesse na temperatu ra TP
Portanto,

q AL
h. AA L .TP  T 
Sendo assim, o fluxo de calor trocado pela área das aletas é:
q AL  h.AAL .TP  T .
O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pela extremidade é desprezível é
obtido por meio da equação:
q A L  h.P.k. At .TP  T . tgh m.L 
Desprezar a transferência de calor pela extremidade da aleta é uma simplificação
para as aletas de uso industrial. Entretanto, como as aletas têm espessura pequena, a
área de troca de calor na extremidade é pequena; além disto, a diferença de temperatura
entre a aleta e o fluido é menor na extremidade. Portanto, na maioria dos casos, devido à
pequena área de troca de calor e ao menor potencial térmico, a transferência de calor
pela extremidade da aleta pode ser desprezada.
Igualando as duas equações para o fluxo de calor, tem-se:
h. AAL .TP  T .  h.P.k. At .TP  T . tgh m.L 
Isolando a eficiência da aleta, obtém-se:
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h.Pk. At
. tgh m.L 
h. AA L

A área de troca de calor da aleta pode ser aproximada para:
AA L  P.L
Substituindo, obtém-se:
1

1
h 2 .P 2 . k . At
h.P.L 
. tgh m.L  
k . At
h.P .L
. tgh m.L  
tgh m.L 
h.P
k . At
.L
O coeficiente da aleta (m) pode ser introduzido na equação acima para dar a
expressão final da eficiência da aleta:

tgh m.L 
m.L
onde,
e
m
h. P
( coeficiente da aleta )
k . At
e m. L  e  m. L
tgh m.L   m.L
e  e  m. L
A equação anterior mostra que a eficiência da aleta é função do produto "m.L". De
acordo com as funções hiperbólicas, à medida que o produto "m.L" aumenta a eficiência
da aleta diminui, pois o numerador aumenta em menor proporção. Portanto, quanto maior
o coeficiente da aleta e/ou quanto maior a altura, menor é a eficiência. Em compensação,
quanto maior a altura, maior é a área de transferência de calor da aleta (AAL).
O fluxo de calor trocado em uma superfície aletada por ser calculado:
q  q p  q A L
q  h.A p .T p  T   h.AA L .T p  T .
Colocando o ∆T e o coeficiente de película em evidência, obtemos:
q  h. Ap   . AA L . Tp  T 
A eficiência da aletas é obtida a partir da equação demonstrada e as áreas Ap (da
parede aletada) e AAL (das aletas) são obtidas por meio de relações geométricas.
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senh (x) = ex - e-x
2
cosh (x) = ex + e-x
2
tgh (x) = senh (x)
cosh (x)
8.5 FUNÇÃO HIPERBÓLICA:
TP
52
TAR ()



Q = Q P + Q AL
e

Q P = h . AP . ( TP - TAR)

Q

Q AL = h..AAL. (TP - TAR)
z
L

Q = h. ( AP + .AAL).(TP - TAR)
 = tgh ( m.L )
m.L
m=
P.h
A.k
(m-1)
P = 2 .(z + e)
A = z.e
AP = A’P - ( NAL . z. e) 
AAL = NAL . P . L

projeção na parede
Área da parede aletada
Área da aleta
EXERCÍCIOS
1º) Uma aleta de aço (k = 43W/m oC) de 3 cm de comprimento e 1 cm de diâmetro
transfere calor de uma parede a 200 0C para um fluido a 25 oC, com h = 120 W/m2 oC.
Determinar o fluxo de transferência de calor da aleta, no caso em que a extremidade está

isolada e os efeitos de radiação térmica são desprezíveis. ( Q = 16 W)
e=1 cm
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
k = 43W/m oC
L = 3 cm
e= 1 cm
Tp= 200 oC
Tar= 25 oC
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h = 120 W/m 2 oC
L=3 cm

Q =?
2º) Uma parede de 1,0 m x 1,0 m a 200 0C deve ser aletada para dissipar 15 kW
no ar ambiente a 30 0C com h = 10 W/m2 0C. Determinar a altura e o número de aletas
necessário sabendo que a espessura das aletas é 1,5 mm, o produto m.L = 1,419 e a
condutividade térmica do material da aleta é 35 W/m 0C. (N = 87 aletas)
T p  200 O C
T
Tar  30 O C
Tp
L

Q
z  1m
e  1,5mm
L?
N AL  ?

Q  15kW
h  10W / m 2 O C
e
k  35W / m.O C
mL  1,419
Z
3º) O dissipador de um equipamento eletrônico (caixa de transistor) consiste de
uma placa onde são colocadas 12 aletas. A temperatura da placa é 80 0C, a temperatura
do ar ambiente, 25 0C com h = 0,03 kW/m2 K e a condutibilidade da aleta k = 0,15 kW/m

K. Calcular a potência dissipada. ( Q = 113 W)
L = 25mm
e = 1mm
6mm
80 0C
40mm
70mm
Z = 100 mm
NAL = 12
TP = 80 0C
TAR = 25 0C
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
1 mm
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h = 0,03 kW/m2 K
k = 0,15 kW/m K
100mm
25 mm
4º) Uma placa (150 mm x 100 mm) a 80 ºC deve dissipar 0,153 kW para o ar
ambiente a 30 ºC com h = 0,04 kW/ m 2 K. Na placa devem ser colocadas 8 aletas
longitudinais (k = 0,15 kW/mK), com 1 mm de espessura e 150 mm de largura.
Determinar a altura “L” da aleta. (L = 30 mm)
DADO: arctg  tgh-1 (mL) = ½ ln (1 + mL)
(1 – mL)
T
T p  80 O C
Tp
Tar  30 O C
z  150mm
L
e  1mm

Q
L?
e
Z
5º) Em uma placa plana a 100 ºC com dimensões 1000 mm x 1000 mm são
colocadas 40 aletas (k = 202 W/m ºC). O sistema dissipa calor para o ar ambiente a 20 ºC
com h = 7 W/m2 ºC.

a) Calcular o calor dissipado pela placa sem aleta; ( Q = 560 W)

b) Calcular o calor dissipado pela placa aletada; ( Q = 1.831,5 W)
z  1m
L  30mm
e
e  3mm
k  202W / m o C
N AL  40
L
L
L
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1m
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55
6º) Têm-se duas aletas de seção circular e altura “L”. Uma de cobre, com =5mm
e a outra de aço, dissipando calor. Ambas têm o mesmo rendimento. Determinar o  da
aleta de aço. (D = 52,87 mm)
Dados: kcu = 370W/m ºC e kaço = 35W/m ºC
7º) Uma parede plana (0,3m x 1,0m) e k = 35W/m ºC é mantida a 100 ºC no ar
ambiente a 30 ºC, com h = 15W/m2 ºC, e deve dissipar 1kW. Sabendo-se que a
espessura da aleta é de 3mm e sua altura 80mm, pede-se:
a) verificar a possibilidade;
b) se não for possível, determine o número de aletas necessário. (N = 22 aletas)
T
Tp
L

Q
e
Z
8º) Um recipiente de cobre (k = 280 W/m ºC) está contendo uma partida de doce
de banana e deve dissipar 1000 W para manter a temperatura a 100 ºC em um ambiente
a 30 ºC e h = 15W/m2 ºC. A parede exposta tem uma superfície com altura de 500mm e
largura 600mm. O proprietário dispõe de um barramento de cobre com seção retangular
de espessura 3mm, largura 80mm e comprimento de 6m. Como a temperatura do doce
ficou acima dos 100 ºC necessários ele perguntou ao seu sobrinho (engenheiro) como
poderia resolver o problema, utilizando o material disponível. Este respondeu que para
reduzir a temperatura teria que dissipar mais calor colocando um ventilador ou
aumentando a superfície de troca de calor, solução mais econômica que seria obtida pela
soldagem de aletas na superfície exposta do recipiente. Indique quantas aletas devem
ser cortadas e quais as suas dimensões, sendo dispostas na parede na posição vertical
(desconsidere o fluxo através da solda). (N = 9 aletas)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
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600
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56
100OC
6m
3mm

Q
80
mm
500
9º) A dissipação de calor em um transistor de formato cilíndrico pode ser
melhorada inserindo um cilindro vazado de alumínio (k = 200 W/m.K) que serve de base
para 12 aletas axiais. O transistor tem raio externo de 2 mm e altura de 6 mm, enquanto
que as aletas tem altura de 10 mm e espessura de 0,7 mm. O cilindro base, cuja
espessura é 1 mm, está perfeitamente ajustado ao transistor e tem resistência térmica
desprezível. Sabendo que ar fluindo a 20 ºC sobre as superfícies das aletas resulta em
2
um coeficiente de película de 25 W/m .K, calcule o fluxo de calor dissipado quando a
temperatura do transistor for 80 ºC. (Q = 2,2 W)
10º) Uma placa plana de alumínio (k = 175 kcal/h.m. ºC) de resistência térmica
desprezível tem aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura,
espaçadas entre si de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está
2
em contato com ar a 40 ºC e coeficiente de película 25 kcal/h.m .ºC. No lado sem aletas
2
escoa óleo a 150 ºC e coeficiente de película 225 kcal/h.m .ºC. Calcule, por unidade de
área da placa:
a) Fluxo de calor pela placa aletada desprezando a resistência da película de óleo; (Q =
7.292 kcal/h)
b) Idem ao item anterior, levando em conta a resistência à convecção na película de óleo.
(Q = 5.625 kcal/h)
FENÔMENOS DE TRANSPORTE II
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har
Tar
e
∆
T0
Tp
h0
L
l
Z
11º) Um tubo de diâmetro 2" e 1,2 m de comprimento transporta um fluido a 150
2
ºC, com coeficiente de película de 1800 kcal/h.m . ºC. Para facilitar a troca de calor com o
ar ambiente foi sugerido o aletamento do tubo, com aletas longitudinais de 2 mm de
espessura e 19 mm de altura, montadas com espaçamento aproximado de 6 mm (na
base). O tubo e as aletas de aço tem coeficiente de condutividade térmica igual a 40
kcal/h.m. ºC e emissividade 0,86. O ar ambiente está a 28 ºC, com coeficiente de película
2
15 kcal/hm ºC. Desprezando a resistência da película interna, pede-se:
a) o calor transferido por convecção pelo tubo sem as aletas (Q = 350 kcal/h)
b) o calor transferido por radiação pelo tubo sem as aletas (Q = 191 kcal/h)
c) o número de aletas (N = 20 aletas)
d) o calor transferido por convecção pelo tubo aletado (Q = 1.862 kcal/h)
e) o calor transferido por radiação pelo tubo aletado (Q = 1.054 kcal/h)

L
Tar
har
e
l
Tp
12º) Determine a porcentagem de aumento da transferência de calor associada
com a colocação de aletas retangulares de alumínio (k = 200 W/m.K) em uma placa plana
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de 1m de largura. As aletas têm 50 mm de altura e 0,5 mm de espessura e a densidade
de colocação é 250 aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são
igualmente espaçadas e ocupam toda a largura da placa). O coeficiente de película do ar
2
sobre a placa sem aletas é 40 W/m .K, enquanto que o coeficiente de película resultante
2
da colocação de aletas é 30 W/m .K. (aumento de Q = 1.253%)
n  250 aletas
l  50 mm  0, 05 m
har
Tar
e
e  0, 5 mm  0, 0005 m
Consideremos uma placa de : 1m  1m  b  1m
∆
T0
h0
Tp
sem aletas  h  40 W m2 . K
com aletas  h  30 W m2 . K
L
l
kaletas  200 W m. K
Z
13º) Determinar o aumento do calor dissipado por unidade de tempo que poderia
ser obtido de uma placa plana usando-se por unidade de área 6400 aletas de alumínio (k
= 178 kcal/h.m ºC), tipo pino, de 5 mm de diâmetro e 30 mm de altura. Sabe-se que na
base da placa a temperatura é 300 ºC, enquanto que o ambiente está a 20 ºC com
2
coeficiente de película de 120 kcal/h.m ºC. (Q = 83.398 kcal/h; 248%)

Tp
Tar, har
Q conv


Q
L
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9. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
1. Incropera, Frank P. / De Witt, David P. – Fundamentos de Transferência de Calor e de
Massa – Ed. LTC Livros Técnicos e Científicos, 2003.
2. Kreith, F. / Bohn, Mark S. – Princípios de Transferência de Calor – Ed. Pioneira
Thomson Learning, 2003.
3. Braga Filho, W. – Transmissão de Calor – Ed. Pioneira Thomson Learning, 2004.
4. Bejan, A. – Transferência de Calor – Ed. Edgard Blücher, 1996.
5. Schimitdt, Frank W. / Henderson, Robert E. / Wolgemut, Carl H. – Introdução às
Ciências Térmicas – Tradução da 2ª edição americana, Ed. Edgard Blücher. 1996.
6. Irving Granet, P.E. – Termodinâmica e Energia Térmica, Ed. Prentice-Hall do Brasil.
1995.
7. Kern, Donald Q. – Processos e Transmissão de Calor, 1987.
8. Holman, Jack P. – Transferência de Calor – Ed. Mac Graw-Hill, 1983.
9. Thomas, Lindon C. – Fundamentos da Transferência de Calor, 1980.
10. Mello, Hilton A. / Intrator, Edmond – Dispositivos Semicondutores, 1976.
11. Murat, Júlio César Mendes – Notas de Aula, 2003 e 2004.
12. Oliveira, Antônio D. – Notas de Aula, 1994 e 1995.
13. Simões, José Gabriel – Notas de Aula, 1993.
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