Apostila de Aritmetica
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3º Bimestre Aritmética Autor: Leonardo Wernck Aritmética Aritmética SUMÁRIO CAPÍTULO 01 – NÚMEROS DECIMAIS .................................................................. 4 1. Números Decimais Exatos e Inexatos ................................................................ 4 1.1. Números Decimais Exatos ............................................................................. 4 1.2. Números Decimais Inexatos: Dízimas Periódicas ......................................... 5 1.3. Números Decimais Inexatos: Dízima não-periódica ...................................... 6 Exercícios de Fixação .................................................................................................. 7 CAPÍTULO 02 – PROBLEMAS DO 1º GRAU......................................................... 11 Exercícios de Fixação ................................................................................................ 13 CAPÍTULO 03 – SISTEMA MÉTRICO DECIMAL ............................................... 16 1. Medidas de Comprimento ................................................................................ 16 2. Medidas de Superfície ....................................................................................... 16 3. Medidas de Volume ........................................................................................... 17 4. Medidas de Capacidade .................................................................................... 18 5. Medidas de Massa.............................................................................................. 19 6. Medidas Agrárias .............................................................................................. 20 Exercícios de Fixação ................................................................................................ 21 CAPÍTULO 04 – RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................. 31 1. Razão .................................................................................................................. 31 1.1. Escala (E) ..................................................................................................... 31 2. Proporção ........................................................................................................... 32 2.1. Proporção Contínua ...................................................................................... 32 2.2. Estudo das Proporções com Quatro Termos ................................................ 32 2.3. Proporção Contínua com Quatro Termos..................................................... 33 2.4. Média Proporcional ...................................................................................... 33 2.5. Terceira Proporcional ................................................................................... 34 2.6. Quarta Proporcional ..................................................................................... 34 Exercícios de Fixação ................................................................................................ 35 Aritmética CAPÍTULO 01 – NÚMEROS DECIMAIS Números decimais são numerais que indicam um número que não é inteiro. Geralmente após o algarismo das unidades, usa-se uma vírgula, indicando que o algarismo a seguir pertence à ordem das décimas, ou casas decimais. Todos os números decimais finitos ou infinitos e periódicos podem ser escritos na forma de fração, porém, os números decimais irracionais, como o “𝜋”, por exemplo, não podem ser escritos na forma de fração pois são infinitos e não têm período. 1. Números Decimais Exatos e Inexatos 𝑁 Quando a partir de uma fração irredutível 𝐷 , dividirmos o numerador pelo denominador, dois tipos de números decimais poderão surgir no quociente: decimais exatos (dízimas finitas) ou decimais inexatos periódicos. Há dois tipos de decimais inexatos: os periódicos (dízimas periódicas) e os ilimitados não periódicos (dízimas não periódicas), denominados de números irracionais. Os decimais inexatos ilimitados não periódicos não podem ser escritos em forma de fração, ou seja, esses decimais não possuem uma fração que o gera (Fração Geratriz). Período: é o número que se repete infinitamente nas casas decimais. Anteperíodo ou parte não periódica: são os algarismos que aparecem logo após a vírgula e não se repetem. 1.1. Números Decimais Exatos São aqueles que possuem um número limitado de algarismos na parte decimal. Sumário 4 Aritmética Exemplo: 0,125 Exemplo: 1,35 A fração geratriz de um decimal exato tem para numerador o número dado, sem a vírgula, e para denominador, o 1 seguido de um ou mais zeros, igual ao número de algarismo(s) da parte decimal. Nos dois exemplos anteriores temos: 125 1 Exemplo: 0,125 = 1000 = 8 135 27 Exemplo: 1,35 = 100 = 20 A fração geratriz, na sua forma irredutível, possui denominador com fatores 2 e/ou 5. O número de casas decimais será dado pelo maior expoente dos fatores 2 ou 5 envolvidos. 1.2. Números Decimais Inexatos: Dízimas Periódicas São números decimais inexatos em que, nas casas decimais, aparece um algarismo ou um grupo de algarismos repetindo-se infinitamente, os chamados períodos. 1.2.1. Dízima Periódica Simples São aquelas em que o período começa logo após a vírgula. Exemplo: 0,222222. . . = 0, 2̅ = 0, (2) Exemplo: 1,555555. . . = 1, 5̅ = 1, (5) A fração geratriz de uma dízima periódica simples tem para numerador o número dado sem a vírgula, menos a parte inteira, e para denominador, tantos 9 quantos forem o número de algarismo (s) do período. Nos dois exemplos anteriores, temos: Exemplo: 0,222222. . . = 0, 2̅ = 2−0 9 2 =9 15−1 14 Exemplo: 1,555555. . . = 1, 5̅ = 9 = 9 A fração geratriz, na sua forma irredutível, possui denominador com qualquer fator primo diferente de 2 e 5. Sumário 5 Aritmética 1.2.2. Dízima Periódica Composta São aquelas que possuem anteperíodo. Exemplo: 0,233333 … = 0,23̅ ̅̅̅̅̅ Exemplo: 31,12437437437 … = 31,12437 A fração geratriz de uma dízima periódica composta tem para numerador o número dado sem a vírgula até o primeiro período, inclusive, menos a parte não periódica (parte inteira + anteperíodo), e para denominador, a quantidade de algarismos 9 igual ao número de algarismos do período, seguido de um ou mais zeros relativos ao número de algarismos do anteperíodo. Nos dois exemplos anteriores, temos: Exemplo: 0,233333 … = 0,23̅ = 23−02 90 21 = 90 ̅̅̅̅̅ = 3112437−3112 = 3109325 Exemplo: 31,12437437437 … = 31,12437 99900 99900 A fração geratriz, na sua forma irredutível, possui denominador com qualquer fator primo acompanhado do (s) fator (es) 2 e/ou 5. 1.3. Números Decimais Inexatos: Dízima não-periódica São números decimais inexatos em que, nas casas decimais, NÃO aparece um algarismo ou um grupo de algarismos repetindo-se infinitamente. Neste caso, não existe uma fração geratriz. Exemplo: 0,2354769859265 … Exemplo: 1,6985397452562 … Exemplo: 𝜋 = 3,14159265 … Exemplo: √2 = 1,414213562 … Sumário 6 Aritmética Exercícios de Fixação 0,77…×1,2 01. Calcular o valor da expressão: 1,55…×1,44 a) 5/12 b) 12/5 c) 6/5 d) 5/6 e) 8/5 02. Efetuar 0,1333... 0,2 1 1,2 a) 4/5 b) 5/4 c) 8/5 d) 5/8 e) 4/10 03. Qual a geratriz da dízima 0,3484848...? a) 345/900 b) 348/900 c) 345/990 d) 348/999 04. Efetuando a operação (0,2666...) (0,61414...) obtemos: a) 33/76 b) 43/100 c) 2,66.../6,1414 d) 6,1414.../2,66... 1/ 2 12 1 2 05. O valor de 2 / 3 10 5 2 3 2 5 / 2 0,333... 55 / 3 3 3 5 é: a) 139 b) 120 Sumário 7 Aritmética c) 92 d) 121 e) 100 06. Efetuar (1/9 + 0,333...) (12/25 – 0,23555...) a) 11/9 b) 120 c) 92 d) 121 e) 29/25 07. Qual é o valor da expressão 0,121 0,000361 10 2 1,44 0,06 26 10 10 2 1 ? a) 0,4 b) 1,4 c) 14 d) 140 16 0,75 5 0,00243 08. Calcular o valor da expressão: 2 / 3 4,333... 0 1 3 1 2 09. O valor da expressão: 0,666... 3 1,333... 6 a) 2 5 b) 2 5 c) 6 2 d) 5 2 2 e) 2 5 5 Sumário 1 2 é: 8 Aritmética 10. Resolva a expressão, dando o resultado sob a forma de fração ordinária irredutível. 8 1 3 0,03 30 1 3 3 31,5 a) 1/6 b) 6/7 c) 1/4 d) 0 e) 1/2 1 11. Efetuando 2 8 0 ,1666... 1 32 0 , 5 5 162 1 / 2 a) 39 2 b) 60 3 c) 36 3 d) 78 2 12. Quais os valores de x, y e z, para que a fração 13 seja uma dízima periódica 2 5y 7z x simples? a) x = 1; y = 0 e z = 0 b) x = 0; y = 0 e z = 0 c) x = 0; y = 1 e z = 0 d) x = 0; y = 1 e z < 0 e) x = 0; y = 0 e z > 0 13. Determinar os denominadores das frações ordinárias irredutíveis que, convertidas em decimais, dão origem a dízimas periódicas simples de dois algarismos no período: a) 99, 33 e 9 b) 33, 11 e 9 c) 99, 33 e 11 d) 99, 33 e 3 e) 11, 9 e 3 Sumário 9 Aritmética 14. Determinar os denominadores das frações ordinárias irredutíveis que convertidas em decimais, dão origem a uma dízima periódica composta, com um algarismo na parte não periódica e um algarismo no período. a) 3 - 15 - 18 - 30 - 45 - 90 b) 6 - 9 -15 -18 - 45 - 90 c) 6 - 15 - 18 -54 - 90 d) 6 - 15 - 30 - 45 - 90 15. Consideremos a fração 1 , x = 15 , y = 13 e z =17, esta fração será uma: 2 3y 5z x a) decimal exato b) decimal finita c) dízima periódica simples d) dízima periódica composta 16. Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com dois algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é: a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 17. Seja M um conjunto cujos elementos são números naturais compostos por três algarismos distintos e primos absolutos. Sabe-se que o inverso de cada um deles é dízima periódica simples e que, invertendo-se a posição dos algarismos das centenas com os das unidades, em todos eles, os respectivos inversos são dízimas periódicas compostas. O número de subconjuntos de M é: a) 16 b) 256 c) 1024 d) 2048 e) maior que 3000 Sumário 10 Aritmética CAPÍTULO 02 – PROBLEMAS DO 1º GRAU A resolução algébrica de um problema é feita por meio de equações. Os elementos que utilizamos na resolução de problemas são os seus dados e a sua transformação em linguagem matemática. Quando a resolução de um problema nos leva a uma equação de primeiro grau ou a um sistema de equações do primeiro grau, afirmamos que esse é um problema do primeiro grau. Não existe uma solução padrão para os problemas matemáticos, cada um deles apresenta uma resolução própria e a melhor maneira de aprendermos a resolvê-los é exercitando alguns deles. Antes, porém, façamos um treinamento de como transformar a linguagem escrita para a linguagem matemática. 1º) Um número adicionado a seu dobro... Se chamarmos esse número de x, seu dobro será 2x. E assim podemos escrever: 𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 2º) Um número é diminuído de sua terça parte... Se chamarmos esse número de x, sua terça parte será x/3. E assim podemos escrever: 𝑥− 𝑥 2𝑥 = 3 3 3º) Determine o número cujo triplo quando adicionado a 11 e à sua metade... Se chamarmos esse número de x, seu triplo será 3x e sua metade será x/2. E assim podemos escrever: 3𝑥 + 11 + 𝑥 2 4º) A soma de dois números é 17... Sumário 11 Aritmética Se chamarmos esse número de x, o outro será 17-x. Dessa maneira nossa resolução será por meio de uma equação do primeiro grau. Se preferirmos utilizar duas incógnitas, se chamarmos um deles de x e o outro de y, podemos escrever: 𝑥 + 𝑦 = 17. Dessa maneira nossa resolução será por meio de um sistema de equações do primeiro grau. Sumário 12 Aritmética Exercícios de Fixação 01. O dobro de um número aumentado de 23 é igual a 71. Qual é esse número? 02. A soma de um número com o seu triplo e sua metade é igual a 49. Qual é esse número? 03. O dobro de um número, diminuído de sua quinta parte, é igual a esse número aumentado de uma unidade. Qual é esse número? 04. Carla e Pedro têm juntos 48 anos. A idade de Pedro é 3/5 da idade de Carla. Qual a idade de cada um deles? 05. As idades de duas pessoas somam 80 anos. Subtraindo-se 15 anos de idade da mais velha e acrescentando-se à da mais nova, as idades tornam-se iguais. Qual a idade da mais velha? 06. Um filho tem 11 anos e sua mãe 35. Daqui a quantos anos a idade da mãe será o triplo da idade do filho? 07. Um pai tem 30 anos a mais que seu filho. Se este tivesse nascido 2 anos mais cedo sua idade seria, atualmente, a terça parte da idade do pai. Calcule a idade atual do filho. 08. Um pai tem 37 anos e seu filho 7. Daqui a quantos anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho? 09. Um pai tem 55 anos e seus filhos 9, 11 e 13 anos. No fim de quanto tempo a idade do pai será igual à soma das idades dos filhos? 10. Se o triplo da minha idade, subtraímos o quíntuplo da idade que eu tinha há 12 anos, terei a minha idade atual. Qual é a minha idade? Sumário 13 Aritmética 11. Pedro disse a João: “Eu tenho duas vezes a idade que tu tinhas quando eu tinha a idade que tu tens, e quando tu tiveres a idade que eu tenho nossas idades somarão 90 anos”. Calcular as idades atuais de Pedro e João. 12. O quociente da divisão de um número pela soma de seus dois algarismos é 7. Qual é esse número se o dobro das dezenas excede o triplo das unidades de 3? 13. Um tanque é alimentado por 2 torneiras. A 1ª pode enchê-lo em 5 horas e a 2ª em 4 horas. Em que tempo as duas torneiras o encherão juntas? 14. Pedro propõe 16 problemas a um de seus amigos, informando que dará 5 pontos por problema resolvido e lhe tirará 3 pontos por problema não resolvido. No final, seu amigo tinha nota zero. Quantos problemas seu amigo resolveu? 15. Júnior e Aline têm 100 livros. Se tirarem 25 livros de Junior e derem a Aline, eles ficarão com o mesmo número de livros. Quantos livros têm cada um? 16. Dividir R$ 520,00 por 3 pessoas de modo que a segunda receba 2/5 da primeira e a terceira 5/6 da segunda. Determinas a quantia que cada um receberá. 17. Um número é composto por 2 algarismos, cujo produto é 24. Trocando-se a posição dos algarismos, o número resultante excederá em 18 unidades o número primitivo. Determinar o número primitivo. 18. O número inteiro e positivo N, de dois algarismos, quando dividido por 13, dá quociente A e resto B e, quando dividido por 5, o quociente é B e o resto A. A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima dá: 19. Um gavião ao passar por um bando de pombas falou: “bom dia, minhas cem pombas!”. Uma das pombas replicou: “Cem pombas não somos, mas se a nós for acrescentadas outro tanto de nós, mais a metade de nós, mais a quarta parte de nós e vós gavião, cem pombas seremos nós”. O número primitivo é: 20. O produto de dois números ímpares e consecutivos excede a soma deles de 47 unidades. Achar os números. Sumário 14 Aritmética 21. Um tanque é alimentado por 2 torneiras. A 1ª pode enchê-lo em 5 horas e a 2ª em 4 horas. Em que tempo as duas torneiras o encherão juntas? 22. Um número é composto de três algarismos cuja soma dos valores absolutos é 14. O algarismo das unidades é a metade do das dezenas. Se somarmos 198 ao número dado, obteremos para soma o número escrito em ordem inversa. Qual é o número? 23. Certa quantia é dividida em partes iguais, entre certo número de pessoas. Se aumentarmos de 6 o número de pessoas, cada uma receberá menos R$3,00, e se, ao contrário, o número de pessoas diminuir de 2, cada uma terá R$2,00 a mais. Achar o número de pessoas e a parte de cada uma. Sumário 15
