Aula Funções - UNEMAT Sinop

Capítulo 5
Funções
5.1
Introdução
DeÞnição: Dados dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B,
dizemos que f é uma função ou aplicação se, e somente se, para todo elemento x
de A existe, em correspondência, um único elemento y de B tal que o par (x,y)
pertença a relação f. Uma função geralmente é dada por uma expressão que
estabelece a correspondência entre os conjuntos A e B.
Qualquer função possui sempre os seguintes três elementos básicos:
a) Um conjunto de "saída"chamado Domínio
b) Um conjunto de "chegada"chamado Contradomíno
c)) Uma lei ou regra que permite associar os elementos do Domínio
com o s elementos do contradomínio
Notação: Se é o domíno, ! o contradomínio e " é uma função de
em !, denotamos
"
:
#
!
" (#)
Domínio: O Domínio da função é o conjunto dos pontos para os quais
faz sentido a aplicação da regra de correspondência entre os conjuntos A e B.
Nesse estudo inicial de funções usaremos sempre como domínio um subconjunto
! R e o contradomínio será sempre ! = R$ Notação: O domínio de uma
funação " será denotado por %&'(" )
Imagem: A imagem de uma função " :
R(
! R( é deÞnido
como sendo o conjunto dos pontos ) " R tais que existe # " tal que " (#) = )$
Observe que a imagem de uma função " está contida no contradmínio da função
"$ Denotamos o conjunto imagem da função " por Im(" )$
16
GráÞco: O gráÞco de uma função é um subconjunto do produto
cartesiano R × R$ DeÞnimos o gráÞco de uma função, denotado por Graf(f), o
seguinte conjunto *+," (" ) = {(#( )) " R × R Á ) = " (#)} $ O gráÞco de uma
função " pode ser visualizado geometricamente usando-se o sistema cartesiano
ortogonal onde podem ser vistos o conjunto de pontos da forma (#( " (#))
Função Crescente e Decrescente: Uma função é chamada de função
crescente se #1 - #2 # " (#1 ) $ " (#2 )$ Uma função é chamada de função
decrescente se #1 - #2 # " (#1 ) % " (#2 )$
&
Exemplo: Considere
& a função " cuja regra é dada por " (#) = # ' 1$
Neste caso a expressão # ' 1 só tem sentido para # % 1( portando o domínio da
função, denotado por %(" )( é %(" ) = {# " RÁ# % 1} $ Logo podemos escrever
"
: [1( +()
R&
#
" (#) = # ' 1
&
Como # % 1 # " (#) = # ' 1 % 0 # Im("
& ) = R+ . &
Como #1 - #2 # #1 ' 1 - #2 ' 1 =# #1 ' 1 - #2 ' 1 (Note que isto
vale porque #1 ' 1 % 0 e #2 ' 1 % 0) portanto " (#1 ) - " (#2 )$
Logo " é uma função
& crescente.
GráÞco de " (#) = # ' 1
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
17
5.2
Sistema Cartesiano Ortogonal
Na conceituação de abcissa de um ponto, baseamo-nos na correspondência biunívoca entre os pontos de um eixo e os números reais. Analogamente, o conceito
de sistema cartesiano surgiu para estabelecer-se uma correspondência biunívoca
entre os pontos do plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais
18
5.3
Função AÞm
Função aÞm: Sejam , e . números reais, sendo , não nulo. Uma função aÞm
é uma função " : R
R que a cada # " R associa " (#) = ,# + .$ O gráÞco
de uma função aÞm é uma reta. O número , representa o coeÞciente angular
da reta e o número . representa o coeÞciente linear. Se , / 0 a função aÞm é
crecente e se , - 0 a função aÞm é decrescente
Exemplo : " (#) = 4# + 5
Função linear: Sejam , um número real, sendo , não nulo. Uma função
linear é uma função " : R
R que para cada # " R associa " (#) = ,#$ Este
é um caso particular da função aÞm, neste caso o coeÞciente linear é zero, ou
seja, o gráÞco da função linear sempre passa pela origem
Exemplo: " (#) = #
19
Função constante: Sejam , um número real, sendo , não nulo. Uma
função linear é uma função " : R
R que para cada # " R associa " (#) = .$
Neste caso o coeÞciente angular é zero, ou seja, o gráÞco da função constate é
sempre paralelo ao eixo # e cruza o eixo ) no ponto (0( .)$
Exemplo: " (#) = 2
20
RESUMO: Função AÞm " (#) = ,# + .( , é o coeÞciente angular e . é
21
5.4
Função Modular
Função Modular: DeÞnimos função modular a " : R
R deÞnida por " (#) =
|#|
Da deÞnição de módulo a função modular pode ser escrita como
½
#( # % 0
" (#) =
'#( # - 0
Observe que a função modular só assume valores positivos, ou seja, " (#) =
|#| % 0( para todo # " R$
GráÞco:
) = |#|
5.5
Função quadrática
Função quadrática: Sejam ,,. e 0 números reais, sendo , não nulo. Uma
função quadrática é uma função " : R
R que para cada # " R associa
" (#) = ,#2 + .# + 0$ O gráÞco de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: " (#) = #2 ' 3# + 2
22
Concavidade: No gráÞco da párabola " (#) = ,#2 + .# + 0 :
i) Se , / 0 a parábola tem concavidade voltada para cima e
ii) Se , - 0 a concavidade é voltada para baixo.
Zeros: Os valores de # para os quais temos " (#) = 0 são chamados os
zeros da função quadrática. Os zeros são as abcissas dos pontos onde o gráÞco
da parábola intercepta o eixo dos #$ Para encontrarmos os zeros da função
quadrática devemos resolver a equação ,#2 + .# + 0 = 0$ Uma das formas mais
comuns de resolver essa equação é usando a famosa fórmula de Baskara:
&
'. ± .2 ' 4,0
#=
2,
Fazendo
= .2 ' 4,0(
é chamado de discriminante, podemos escrever a
fórmula de Baskara da seguinte forma:
&
'. ±
#=
2,
Se
/ 0 os zeros são reais e ddistintos. Se
- 0 a equação não possui
zeros reais e se = 0 a equação possui zeros reais e iguais
Vértices da parábola: As coordenadas dos vértices da parábola são dados
por
.
# ='
e
) ='
2,
4,
23
GráÞcos: Portanto Dependendo do valor de
seguintes casos:
24
e do sinal de , temos os
5.6
Função Raiz n-ésima de x
DeÞnimos função raiz n-ésima de # a função " : %&'" (" )
R deÞnida por
&
1
" (#) = # = # $
Se 1 é um número par então %&'(" ) = [0( +() e Im(" ) = [0( +()
Se 1 é um número impar então %&'(" ) = R e Im(" ) = R
Exemplos
Função raiz quadrada de #
( " (#) =
y
&
#
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
25
Função &
raiz quarta de #
" (#) = 4 #
y
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
x
Função &
raiz cúbica de #
" (#) = 3 #
y
2
0
-4
-2
0
2
4
x
-2
26
Função &
raiz quinta de #
" (#) = 5 #
y
3
2
1
0
-4
-2
0
2
4
x
-1
-2
-3
5.7
Função Exponencial
Função Exponencial: Dado um número real , / 0( , 6= 1( deÞnimos função
exponencial de base , à função " : R
R deÞnida por " (#) = ,! $
!
Se , / 1 a função " (#) = , é uma função crescente, ou seja, #1 - #2 se e
somente se " (#1 ) - " (#2 )$ Isto quer dizer que se #1 - #2 então ,!1 - ,!2 $Se
, - 1 a função " (#) = ,! é uma função decrescente, ou seja, #1 - #2 se e
somente se " (#1 ) / " (#2 )$ Isto quer dizer que se #1 - #2 então ,!1 / ,!2 $
Observe que:
a) O domínio da função exponencial é R
b) A função exponencial só assume valores positivos, isto é, " (#) = ,! / 0
para todo # " R
c) O gráÞco da função exponencial sempre passa pelo ponto (0( 1)$
GráÞcos: Dependendo do valor de , temos as seguintes situações
27
Um caso particular da função exponencial e que é muito usado em aplicações
práticas é a função exponencial de base 2 = 2$ 718 3$$ deÞnida por " (#) = 2! $
O gráÞco de ) = 2! tem a seguinte forma:
28
5.8
Função Logarítmica
Logarítmo: Dado , / 0, , 6= 1( e um número real positivo . denominamos de
logarítmo de . na base , ao expoente que se deve elevar à base , de modo que
o resultado obtido seja igual a .$ Matematicamente escrevemos
log" . = # )# ,! = .
Propriedades dos logarítmos:
a) log" 1 = 0
b) log" , = 1
c) log" ,# = '
d) log" . = log" 0 )# . = 0
e) ,log! $ = .
f) log" (.$0) = log" . + log" 0
g) log" %$ = log" . ' log" 0
h) log" .# = '$ log" .
log" $
i) log" . = log
""
Função Logarítmica: Dado um número real ,( , / 0 e , 6= 1( deÞnimos
função logarítmica à função " : R+
R deÞnida por (!) = log !"
Se # $ 1 a função (!) = log ! é uma função crescente, ou seja, !1 % !2 se e
somente se (!1 ) % (!2 )" Isto quer dizer que se !1 % !2 então log !1 % log !2 "
Se 0 % # % 1 a função (!) = log ! é uma função decrescente, ou seja,
!1 % !2 se e somente se (!1 ) $ (!2 )" Isto quer dizer que se !1 % !2 então
log !1 $ log !2 "
Observe que:
a) O domínio da função logarítmica é R+
b) A função logarítmica assume todos os valores reais
c) O gráÞco da função logarítmica sempre passa pelo ponto (1& 0)"
GráÞcos: Dependendo do valor de # temos as seguintes situações:
29
Um caso particular da função logarítmica e que é muito usado em aplicações
práticas é a função logarítmica de base ' = 2" 718 3 deÞnida por (!) =
log! !"Para log! ! usamos a notação ln !" Portanto (!) = ln ! = log! !"
Quando a base do logarítmo é 10 não precisamos escrever a base, ou seja,
para log10 ! usamos a notação log !" Portanto (!) = log ! = log10 !
30
O gráÞco de ( = ln ! tem a seguinte forma:
O gráÞco de ( = log ! tem a seguinte forma:
5.9
Tipos importantes de funções
Função par: Se (!) = (!), para todo ! ! )*+( ) então dizemos que a
função f é uma função par. (note que o gráÞco é uma curva simétrica pelo eixo
y).
31
Exemplos:
(!) = !2 é uma função par pois ("!) = ("!)2 = !2 = (!)
,(!) = cos(!) é uma função par, já que ("!) = cos("!) =
cos ! = (!)
Função ímpar: Se ("!) = (!), para todo ! ! )*+( ) então dizemos
que a função f é uma
função ímpar. (note que o gráÞco é uma curva simétrica pela origem).
Exemplos:
(!) = !3 é uma função impar pois ("!) = ("!)3 = "!3 =
" (!)"
Função injetora: Se para quaisquer !1 e !2 no domínio de f, !1 6= !2 =#
(!1 ) 6= (!2 ), então
dizemos que f é uma função injetora.
Exemplos: (!) = !3 é uma função injetora já que !1 6= !2 # !31 6= !32 #
(!1 ) 6= (!2 )
(!) = !2 não é injetora pois tomando !1 = 3 e !2 = "3 temos
!1 6= !2 mas (!1 ) = 9 e (!2 ) = 9 # (!1 ) = (!2 )
Geometricamente, para uma função : R
R& se qualquer reta paralela ao
eixo dos ! cortar o gráÞco de ´em apenas um ponto a função é uma função
injetora.
Função sobrejetora: é aquela em que sua imagem coincide com seu contradomínio.
Função bijetora: é aquela que é ao mesmo tempo bijetora e sobrejetora.
Função composta: Sejam , : . e : Im(,)
/. A função $ , :
/ dada por
( $ ,) (!) = (,(!)) é a função composta da função com a função ,"
Exemplos: ,(!) = !"3 e (!) = |!| então ( $ ,) (!) = (,(!)) = (!"3) =
|! " 3|
0(!) = '" e 1(!) = sin ! então (1 $ 0) (!) = 1(0(!)) = 1('" ) =
"
sin(' )
Observação: Note que em geral ( $ ,) (!) 6= (, $ ) (!)"No exemplo acima
(, $ ) (!) = ,( (!)) = ,(|!|) = |!| " 3
# (, $ ) (!) = |!| " 3 6= |! " 3| = ( $ ,) (!)
Função inversa: Seja ( = (!) uma função onde : .. Se, para
cada ( ! .& existir exatamente um valor de ! ! - tal que ( = (!)& então
podemos deÞnir uma função , : .
- tal que ! = ,(()" A função , deÞnida
desta maneira é chamada função inversa de e denotada por !1 "
Observação :a) Pela deÞnição podemos concluir que para existir a função
inversa a função deve ser bijetora.
possui uma inversa !1 então
¡
¢
¡ !1
¢b) Se a função
!1
(() = ( e
$ (!) = !
$
Exemplos: A função : [0& +%)
[0& +%) & deÞnida por (!)&= !2 tem
como inversa a função !1 : [0& +%)
[0& +%) dada por !1 (!) = !
A função : R
R& deÞnida
por (!) = !3 tem como inversa
&
!1
!1
3
a função
:R
R dada por
(!) = !
Geometricamente o gráÞco da função inversa !1 e o gráÞco da função
são simétricos em relação ao eixo 2! :
(!) = !2
32
y
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
x
5.10
Construção de GráÞcos
Se 3 é um número real positivo então:
O gráÞco de (!+3) é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para a esquerda.
O gráÞco de (!" 3) é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para a direita.·
O gráÞco de (!) + 3 é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para cima.
O gráÞco de (!) " 3 é o gráÞco de (!) deslocado c unidades para baixo.
O gráÞco de | (!)| é igual ao gráÞco de (!) se ! é positivo e é o gráÞco de
(!) reßetido através do eixo 2! se ! é negativo
33
34
5.11
Exercícios Resolvidos
1) Encontre os zeros da seguintes funções:
a) (!) = 2!2 " 3! " 5
b) (!) = "3!2 + 2!
c) (!) = (7! " 1)(2! " 3)
2) Resolver as inequações:
a) !2 " 4! + 3 $ 0
b) 3!2 " 4! % 0
c) "2!2 + 7! " 3 ' 0
d) !2 + ! + 1 $ 0
e) "2!2 + 5! " 4 ( 0
3) Resolver as inequações exponenciais
a) 4" $ 14
¡ ¢2" ¡ 1 ¢3"!1
% 2
b) 21
"2
c) 3 $ 3"
4) Resolver as inequações logaritmicas
a) log3 (!2 " ! + 3) $ 2
b) 0 % log2 (2! " 1) ' 1
c) log 12 (! + 2) + log 12 (! " 3) $ 2
&
5) Determinar o domínio da função deÞnida por ( = 3"+2 " 3!"
5.12
Exercícios de Fixação
1) Sendo (!) = 3! " 1
a) Calcular (0)
b) Calcular (" 31 )
c) Para que valor de !& temos (!) = 0"
d) Sendo (!) = #! + 4 uma função aÞm e sendo 5 e 6 números reais e
(%)
distintos, calcular (5)& (6) e mostrar que # ($)!#
=#
$!%
2) Resolver as inequações
a) (2! " 3)(! " 1) $ 0
b) (! " 2)(3! + 1) % 0
c) !2 ( 5
d) !2 + 1 % 2!2 " 3 ' "5!
e) 0 % !2 + ! + 1 % 1
f) 4 % !2 " 12 ' 4!
g) 2! + 1 ' !2 % 2! + 3
h) ¡"1 ' !2 " 3¢' 1
i) ¯ !2 + 4! + 3 ¯(2! + 5) % 0
j) ¯2!2 + 3! + 3¯ ' 3
k) !3 " !2 " ! " 2 $ 0
3) Resolver as inequações quocientes
2
a) 2""2 +"!6
+3"!2 ( 0
35
b)
("!2)4
"2 !2"!15 ' 0
!6"2 !"+2
6"2 !5"+1 $ 0
"
2
"!1 " "+1 ' 0
"!3
"!1
"!2 % "!4
2
2
2"+3 ( "!5
"!2
3"+5 ' 4
"+1
2"!3 $ 2
"+1
"
2!" % 3+"
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
4) Resolver as equações exponenciais
a) 2"!3 + 2"!1 + 2" = 52
³&
´"!2
3
b)
2"+4
=1
5) Resolver as inequações exponenciais
¡& ¢2"+4 ¡& ¢3"
3
$
3
a)
"2 !8"!20
%1
b) 5
2
c) (0& 3)4" !2"!2 ( (0& 3)2"!3
6) Resolver as inequações logarítmicas
a) log2 (! " 2) " log 12 (! " 3) % 1 =# 7 = {! ! RÁ3 % ! % 4}
q
q
n
&
& o
b) log 12 (!2 " 23 ) ( 1 =# 7 = ! ! RÁ " 2 ' ! % " 32 ou 32 % ! % 2
c) !(log ")+1 $ #2 ! para 0 % # % 1" p
d) Dar o domínio da função (!) = log(!2 " 2!)
7) Se uma bola é atirada para cima com uma velocidade inicial de 32 +89&
então, após : segundos, a distância 9 acima do ponto de partida, em metros, é
dada por 9 = 32: " 16:2 " Em que instante a bola estará no ponto mais alto e
qual será esta altura? (Faça um esboço do gráÞco da equação).
8) A energia potencial elástica ; armazenada numa mola esticada é dada
pela expressão ; = 12 <!2 onde < é a constante elástica da mola e ! é o quanto
a mola está alongada
Para uma constante elástica igual a 10 unidades
i) Qual o número que exprime o valor de sua energia potencial ; ,
para um alongamento de 2 unidades
ii) De quanto está esticada a mola quando sua energia potencial é de
80 unidades.
9) Desenhar o gráÞco das seguintes funções
i) (!) = |!|
&
ii) (!) = !
iii)
(!) = ¯|2! " 6| ¯
iv)
(!) = ¯!2 + ! " 6¯
10) EspeciÞque o domínio e faça um esboço do gráÞco de cada uma das
funções:
a) ( = log10 (! + 5)
b) ( = " ln !
c) ( = ln("!)
36
d) ( = ln |!|
11) Resolva cada equação em !
a) ln ! = "1
b) ln(2! " 1) = 3
c) '3"!4 = 2
d) ' " = /'&" & onde / é uma constante e # 6= 4
ln(ln !) = 1
12) Se a população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas,
!
então o número de bactérias após : horas é = = (:) = 100"2 3 :
a) Encontre a função inversa de e explique seu signiÞcado.
b) Quando a população atingirá 50.000 bactérias?
13) Após acionado o Flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa
a recarregar o capacitor do ßash, o qual armazena uma carga elétrica dada por
!
>(:) = >0 (1 " '! ) (A capacidade máxima de carga é >0 , e : é medido em
segundos.)
a) Encontre a função inversa de > e explique seu signiÞcado.
b) Quanto tempo levará para o capacitor recarregar 90% da capacidade se
# = 2?
14) Se (!) = ln ! e ,(!) = !2 " 9& encontre as funções $ ,& , $ & $ & , $ ,
15) Expresse a função ? (!) = & 1 " como uma composta de três funções.
"+ "
1
"
16) Faça o gráÞco da função ( =
½
0 se ! " 0
# Essa
1 se ! 0
função é usada no estudo de circuitos elétricos para representar o surgimento
repentino de corrente elétrica, ou voltagem, quando uma chave é instantaneamente ligada:
a) Faça o gráÞco da função de heaviside
b) Faça um esboço da função rampa $ = !%(!)
17) A função de Heaviside @ é deÞnida por @(:) =
37