Análise cap0 - FTP da PUC

Análise Matemática
Cap 0 – Demonstrações
Uma construção Matemática qualquer necessita de certos itens básicos:
Primeiro: Temos o conjunto de objetos, lembrando que para definirmos os
conjuntos podemos apresentar seus elementos explicitamente, ou podemos
apresentar uma regra através da qual diferenciamos dentro de um universo
(conjunto maior) escolhido quais os elementos que observam tal regra e
portanto pertencem ao grupo ou quais e quais os que não observam e portanto
não pertencem. Estaremos no que segue interessados nos conjuntos
numéricos.
Exemplo:
Consideran do U (Universo )  N (naturais) ,
P ( pares )  x  2n, para n  N
I (ímpares )  y  2n  1, para n  N
Segundo: Este conjunto pode relacionar-se com outros conjuntos e até consigo
próprio de formas especificas.
a)r1(P)→N r1(x)= rest[(x+2)/4], onde rest[a/b] é o resto da divisão
b)r2(C)→C, r2(x)=x2
Dentro deste panorama começamos então a procurar especificidades dos
elementos do conjunto mediante o resultado das relações deste conjunto com
outros ou com ele mesmo.
Passamos também a fazer conjecturas sobre as propriedades de certos
elementos mediante o resultado das relações, ou também, inversamente,
passamos a verificar se os elementos que satisfazem certas especificidades
nas relações gozam de certas propriedades.
Formalmente desejamos verificar se os elementos de C que satisfazem uma
série de hipóteses p1, p2, p3, ..., pn, verificam uma certa tese Q. Em termos da
linguagem de lógica proposicional desejamos verificar se:
p1  p2  ...pn  Q
Exemplo:
Se x  P então x 2  P onde P é o conjunto dos pares.
No caso as hipóteses (p1 e p2) são: x é natural e x é par, e a tese (Q) é:x2 é par.
É neste ponto que entram as chamadas demonstrações.
Basicamente temos 3 tipos de demonstrações:direta, por contradição (ou por
absurdo), por contraposição.
a)Direta: Tomamos os elementos que satisfazem as hipóteses p1, p2, p3, ..., pn
e verificamos se pode-se concluir diretamente que estes também verificam
necessariamente Q.
Ex: Desejamos demonstrar que o exemplo b acima é verdadeiro, ou seja que
dado um número par, o quadrado dele também é par
Hipóteses:
x é um número natural par:
ou seja x=2.n para algum n natural.
Tese:
x2 também é par, ou seja
x2=2.m, para algum m natural
Dem: Partindo das hipóteses desejamos obter o resultado da tese.
Então, como x=2.n,
x2=(2.n)2=4.n2=2.(2 n2)
Logo, considerando como (2 n2) é natural pois é o produto de números
naturais, então:
x2=2.m, para m=2.(2 n2), e chegamos na tese diretamente a partir das
hipóteses.
b)Por Contradição: Construímos a negação da conclusão que desejamos
verificar (~Q), assumimos esta negação juntamente com todas as demais
hipóteses p1, p2, p3, ..., pn .
Então devemos obter uma contradição por conclusão.
p1  p2  ...pn  ~ Q  C
(certifique-se que este argumento faz sentido para você)
Ex: Vamos demonstrar que se x for um número par então x.y é par para
qualquer y  N por contradição.
Começamos listando as hipóteses, no caso x é natural par, y é natural
qualquer, ou seja:
(p1) x=2.n e y  N
Devemos então negar a tese ou seja assumir que x.y seja ímpar, ou seja:
(~Q) x.y=2m+1
Juntando os fatos (p1^~Q)
(2.n).y=2m+1
2(n.y)=2m+1
Como n e y são naturais e o produto de dois naturais é um natural, e ainda
como 2 vezes qualquer natural é um natural par, então do lado esquerdo da
equação acima temos um número par e do lado esquerdo um ímpar.
Chegamos então a uma contradição. Então demonstramos que
(x=2.n) e ( y  N )
(x.y=2.m), para n e m naturais
c)Por Contraposição:
Nas demonstrações por contraposição usamos um resultado da Lógica
Matemática, qual seja:
Se P  Q,
então ~ Q ~ P
No caso se considerarmos
P  p1  p2  ...pn a coleção de hipóteses, então demonstrar mos p1  p2  ...pn  Q equivale a demonstrar mos
~ Q ~ ( p1  p2  ...pn )
Ou seja a negação da tese implica na negação do conjunto de hipóteses.
Exemplo:
Desejamos demonstrar que:
Se x2 for ímpar, então x é ímpar.
Hip.: x2=2n+1 para algum n  N
Tese: x=2m+1 para algum m  N
Para demonstrar por contraposição mostramos que:
~(x=2m+1)
~(x2=2n+1)
(negação da teses)
(negação da Hipótese)
Ou seja desejamos demonstrar que se x é par, então x2 é par.
Mas isso já demonstramos diretamente no exemplo (a).
Exercícios:
1) Demonstre que:
a) Se x for natural ímpar então x2 também é ímpar
b) Se x e y for ímpar então xy também é ímpar
c) Se x for par então xy é par, para qualquer y natural
d) Se x é par e y é ímpar então (x+y) é ímpar
e) A soma de x com o seu quadrado é par
f) Se xy for ímpar então x é ímpar e y é ímpar
g) Se dois inteiros são divisíveis por algum natural n, então a soma deles é
divisível por n
h) Se o produto de dois naturais não é divisível por n então nenhum deles é
divisível por n.
i) Se x é par e primo, então x=2
j) Se M for a média aritmética de n números x1, x2, ... xn, então pelo menos
um deles é maior ou igual a M.
Referência bibliográfica:
Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação, Judith L. Gersting, LTC