Vetores - Teoria
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FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Vetores VETORES FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Introdução Grandezas escalares Precisam somente do módulo (número que representa a intensidade) para serem identificadas. Podem ser visualizadas como um ponto numa escala. Ex: massa, tempo, temperatura, potência, pressão. Grandezas vetoriais Precisam de módulo, direção e sentido para serem identificadas. São representadas por um segmento de reta com seta. Ex: deslocamento, velocidade, aceleração, força. • Vetor Segmento de reta que representa a grandeza vetorial, apresenta as seguintes características: FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES FÍSICA IN BOX • Módulo do vetor - é dado pelo comprimento do segmento em uma escala adequada (d = 5 cm). • Direção do vetor - é dada pela reta suporte do segmento (30o com a horizontal). Ex: horizontal, vertical, inclinada. • Sentido do vetor – orientação do vetor, é dado pela seta colocada na extremidade do segmento. Ex: para cima, para esquerda, para o norte, para o sudoeste. PROFESSOR CARLOS MAINARDES • Um vetor define corretamente a grandeza através do FÍSICA IN BOX seu comprimento e do ângulo que faz com uma referência, conforme a figura. PROFESSOR CARLOS MAINARDES • Notação: Freqüentemente se representa um vetor como uma letra em negrito com uma seta em cima: • O comprimento ou módulo do vetor é simbolizado pelo caractere sem negrito ou pelo vetor entre barras: v = | v | Vetor Oposto FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Adição de Vetores REGRA DO POLÍGONO FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES REGRA DO PARALELOGRAMA FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES • Casos especiais: • α = 0 º Igual a soma de escalares. • α = 90 º Pitágoras • α = 180 º Igual a diferença de escalares. • Para qualquer caso o módulo da soma de dois vetores pode ser obtido pela “lei dos cossenos”. Multiplicação de um Vetor por um escalar • • • • Vetor A, número k (escalar) O módulo é dado por |kA| A direção é o mesmo do vetor A O sentido depende do sinal de k FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Componentes de um vetor • Fundamental para a representação e o cálculo vetorial. • É a projeção do vetor sobre coordenadas retangulares (eixos cartesianos). FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Exemplo: FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Considerando que o módulo do vetor deslocamento é igual a 3,0 m, e o ângulo que este deslocamento faz com a direção X é igual a 60º, determinar as componentes deste vetor, dx e dy. dx = d cosα = 3,0 cos 60º = 3,0 . 0,50 dx = 1,5 m dy = d senα = 3,0 sen 60º = 3,0 . 0,87 dy = 2,6 m FÍSICA IN BOX Vetores unitários – Versores PROFESSOR CARLOS MAINARDES • Possuem módulo igual a 1 unidade. • Notação: â, ê. • Os vetores são normalmente escritos em função dos versores i, j e k FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Soma de vetores de acordo com as componentes Sejam os vetores r A = 2 î + 3 ĵ − 4k̂ e r B = − î + 2 ĵ + 2k̂ r r r , determine S = A + B FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Multiplicação de Vetores (um vetor por outro) Há duas formas de se multiplicar vetores : 1) resultando num escalar (produto escalar) ou, 2) Resultando em um novo vetor (produto vetorial) FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Produto Escalar Também chamado de produto interno. r r Definido por: A • B = A ⋅ B ⋅ cos θ O Trabalho é um exemplo de grandeza física calculada a partir de um produto escalar. FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Pode-se entender o produto escalar como o produto de duas grandezas: 1) o módulo do vetor B e, 2) o valor da projeção do vetor A em relação à B. Veja que quando θ = 0º o produto é máximo e quando θ = 90º o produto é nulo. i . i = j . j = k . k = 1 (θ = 0º) i . j = j . k = i . k = 0 (θ = 90º) Mostre que: A) O produto escalar de um vetor com ele mesmo fornece seu módulo (comprimento) ao quadrado. B) Como determinar o ângulo entre dois ou mais vetores. Exemplo 1: FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Qual o produto escalar entre A = 3i – 4j e B = – 2i + 3k? (– 6) Faça uma representação gráfica dos vetores Qual o módulo de A e de B? (5u e 3,61u) Qual o ângulo entre os vetores? (109º) Exemplo 2: Qual o ângulo entre C = i – j + k e D = 2i + 2j – 2k? Exemplo 3: Encontre x para que E e F sejam perpendiculares entre si. E = 2i + 5j e F = xi – 3j FÍSICA IN BOX Produto Vetorial Também chamado de produto externo. Tem módulo dado por: Ar × Br = A ⋅ B ⋅ senθ Tem direção perpendicular aos vetores A e B. PROFESSOR CARLOS MAINARDES FÍSICA IN BOX Direção e sentido dados pela regra da mão direita. O Torque e a Força Magnética são exemplos de grandezas físicas calculadas a partir de um produto vetorial. É útil para calcular ângulos. PROFESSOR CARLOS MAINARDES FÍSICA IN BOX PROFESSOR CARLOS MAINARDES Treine Online!
