Vetores - Teoria

FÍSICA IN BOX
PROFESSOR CARLOS MAINARDES
Vetores
VETORES
FÍSICA IN BOX
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Introdução
Grandezas escalares Precisam somente do módulo (número
que representa a intensidade) para serem identificadas. Podem
ser visualizadas como um ponto numa escala. Ex: massa, tempo,
temperatura, potência, pressão.
Grandezas vetoriais Precisam de módulo, direção e sentido
para serem identificadas. São representadas por um segmento
de reta com seta. Ex: deslocamento, velocidade, aceleração,
força.
• Vetor Segmento de reta que representa a
grandeza vetorial, apresenta as seguintes
características:
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• Módulo do vetor - é dado pelo comprimento do
segmento em uma escala adequada (d = 5 cm).
• Direção do vetor - é dada pela reta suporte do
segmento (30o com a horizontal). Ex: horizontal,
vertical, inclinada.
• Sentido do vetor – orientação do vetor, é dado
pela seta colocada na extremidade do segmento.
Ex: para cima, para esquerda, para o norte, para
o sudoeste.
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• Um vetor define corretamente a grandeza através do FÍSICA IN BOX
seu comprimento e do ângulo que faz com uma
referência, conforme a figura.
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• Notação: Freqüentemente se representa um vetor
como uma letra em negrito com uma seta em cima:
• O comprimento ou módulo do vetor é simbolizado
pelo caractere sem negrito ou pelo vetor entre
barras: v = | v |
Vetor Oposto
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Adição de Vetores
REGRA DO POLÍGONO
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REGRA DO PARALELOGRAMA
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• Casos especiais:
• α = 0 º Igual a soma de escalares.
• α = 90 º Pitágoras
• α = 180 º Igual a diferença de escalares.
• Para qualquer caso o módulo da soma de dois
vetores pode ser obtido pela “lei dos cossenos”.
Multiplicação de um Vetor por um escalar
•
•
•
•
Vetor A, número k (escalar)
O módulo é dado por |kA|
A direção é o mesmo do vetor A
O sentido depende do sinal de k
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Componentes de um vetor
• Fundamental para a representação e o cálculo
vetorial.
• É a projeção do vetor sobre coordenadas
retangulares (eixos cartesianos).
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Exemplo:
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Considerando que o módulo do vetor deslocamento é
igual a 3,0 m, e o ângulo que este deslocamento faz
com a direção X é igual a 60º, determinar as
componentes deste vetor, dx e dy.
dx = d cosα = 3,0 cos 60º = 3,0 . 0,50
dx = 1,5 m
dy = d senα = 3,0 sen 60º = 3,0 . 0,87
dy = 2,6 m
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Vetores unitários – Versores
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• Possuem módulo igual a 1 unidade.
• Notação: â, ê.
• Os vetores são normalmente escritos em função dos
versores i, j e k
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Soma de vetores de acordo com as componentes
Sejam os vetores
r
A = 2 î + 3 ĵ − 4k̂
e
r
B = − î + 2 ĵ + 2k̂
r
r r
, determine S = A + B
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Multiplicação de Vetores (um vetor por outro)
Há duas formas de se multiplicar vetores :
1) resultando num escalar (produto escalar) ou,
2) Resultando em um novo vetor (produto vetorial)
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Produto Escalar
Também chamado de produto interno.
r r
Definido por: A • B = A ⋅ B ⋅ cos θ
O Trabalho é um exemplo de grandeza física calculada a partir de um produto escalar.
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Pode-se entender o produto escalar como o produto de duas grandezas:
1) o módulo do vetor B e,
2) o valor da projeção do vetor A em relação à B.
Veja que quando θ = 0º o produto é máximo e quando θ = 90º o produto é nulo.
i . i = j . j = k . k = 1 (θ = 0º)
i . j = j . k = i . k = 0 (θ = 90º)
Mostre que:
A)
O produto escalar de um vetor com ele mesmo fornece seu módulo (comprimento) ao
quadrado.
B) Como determinar o ângulo entre dois ou mais vetores.
Exemplo 1:
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Qual o produto escalar entre A = 3i – 4j e B = – 2i + 3k? (– 6)
Faça uma representação gráfica dos vetores
Qual o módulo de A e de B? (5u e 3,61u)
Qual o ângulo entre os vetores? (109º)
Exemplo 2:
Qual o ângulo entre C = i – j + k e D = 2i + 2j – 2k?
Exemplo 3:
Encontre x para que E e F sejam perpendiculares entre si.
E = 2i + 5j e F = xi – 3j
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Produto Vetorial
Também chamado de produto externo.
Tem módulo dado por: Ar × Br = A ⋅ B ⋅ senθ
Tem direção perpendicular aos vetores A e B.
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Direção e sentido dados pela regra da mão
direita.
O Torque e a Força Magnética são exemplos de
grandezas físicas calculadas a partir de um
produto vetorial.
É útil para calcular ângulos.
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